Chương II hàm số bậc nhất, bậc hai của trần sĩ tùng

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 14





1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x
0
là một nghiệm của (1) nếu "f(x
0
) = g(x
0
)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
Px
1
()
thì cần điều kiện P(x)
¹
0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
Px
()
thì cần điều kiện P(x)
³

0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm
số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f
1
(x) = g
1
(x) (1) có tập nghiệm S1
và f
2
(x) = g
2
(x) (2) có tập nghiệm S
2
.
· (1) Û (2) khi và chỉ khi S
1
= S
2
.
· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S
1
Ì S
2
.
3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó
thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ
quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.



Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x
xx
55
312
44
+=+

b) x
xx
11
515
33
+=+
++

c) x
xx
2
11
9
11
-=-

d) x
xx
22
315
55
+=+


Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) xx
112
+-=-
b)
xx
12
+=-

c)
xx
11
+=+
d)
xx
11
-=-

e)
x
xx
3

11
=

f) xxx
2
123
=-+

Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) xxx
2
3(32)0
+=
b) xxx
2
1(2)0
+ =

c)
x
x
xx
1
2
22
=

d)
xx
x

xx
2
43
1
11
-+
=++
++

CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 15

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
xx
21
-=+
b) xx
12
+=-

c) xx
212
-=+
d)
xx
221

-=-

Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
xx
xx
11
=

b)
xx
xx
22
11

=


c)
xx
xx
22
=

d)
xx
xx
11
22

=


Bài 6.
a)









Chú ý: Khi a
¹
0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.


Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a)
mxmx
2
(2)23
+-=-
b)
mxmxm
()2
-=+-

b)
mxmmx
(3)(2)6
-+=-+
d) mxmxm
2
(1)(32)
-+=-

e) mmxxm
22
()21
-=+-
f)
mxmxm
2
(1)(25)2
+=+++

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:
a)
xaxb
baab
ab
(,0)

-=-¹
b)
abxabbx
(2)2(2a)

++=++

c)
xabxbcxb
babc
acb
2
3(,,1)
111
+++
++=¹-
+++

d)
xbcxcaxab
abc
abc
3(,,0)

++=¹

Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R.
a)
mxn
(2)1
-=-
b) mmxm
2
(23)1

+-=-

c)
mxxmxmx
2
(2)(1)()
++=+ d) mmxxm
22
()21
-=+-

Bài 4.
a)
II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
a
¹
0 (1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
=-

b
¹
0
(1) vô nghiệm
a = 0
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 16



1. Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =
c
a
.
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =
c
a
-
.
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
b
b
2
¢
=
.
2. Định lí Vi–et
Hai số
xx
12
,
là các nghiệm của phương trình bậc hai

axbxc
2
0
++=
khi và chỉ khi
chúng thoả mãn các hệ thức
b
Sxx
a
12
=+=-
và
c
Pxx
a
12
==
.



VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình
axbxc
2
0
++=

Để giải và biện luận phương trình
axbxc
2

0
++=
ta cần xét các trường hợp có thể xảy
ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình
bxc
0
+=
.
– Nếu a
¹
0 thì mới xét các trường hợp của
D
như trên.

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
xxm
2
5310
++-=
b)
xxm
2
212150
+-=

c) xmxm
22
2(1)0

+=
d) mxmxm
2
(1)2(1)20
+ +-=

e) mxmx
2
(1)(2)10
-+ =
f) mxmxm
2
2(3)10
-+++=

Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
a) xmxmx
2
3
10;
2
-++==-
b)
xmxmx
22
230;1
-+==

c) mxmxmx
2

(1)2(1)20;2
+ +-==
d) xmxmmx
22
2(1)30;0
+-==

Bài 3.
a)




III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax
2
+ bx + c = 0 (a
¹
0)
ax
2
+ bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
bac
2
4
D
=-

Kết luận
D
> 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
a
1,2
2
D
-±
=
D
= 0
(1) có nghiệm kép
b
x
a
2
=-
D
< 0
(1) vô nghiệm

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 17

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình axbxca
2
0(0)
++=¹
(1)

·
(1) có hai nghiệm trái dấu
Û
P < 0
·
(1) có hai nghiệm cùng dấu
Û

P
0
0
D
ì
³
í
>
î


·
(1) có hai nghiệm dương
Û
P
S
0
0
0
D
ì
³

ï
>
í
ï
>
î

·
(1) có hai nghiệm âm
Û
P
S
0
0
0
D
ì
³
ï
>
í
ï
<
î

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì
D
> 0.

Bài 1. Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt
iii) có hai nghiệm dương phân biệt
a)
xxm
2
5310
++-=
b)
xxm
2
212150
+-=

c) xmxm
22
2(1)0
+=
d) mxmxm
2
(1)2(1)20
+ +-=

e) mxmx
2
(1)(2)10
-+ =
f) mxmxm
2
2(3)10

-+++=

g)
xxm
2
410
-++=
h) mxmxm
2
(1)2(4)10
+++++=

Bài 2.
a)






VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
Ta sử dụng công thức
bc
SxxPxx
aa
1212
;
=+=-==
để biểu diễn các biểu thức đối

xứng của các nghiệm x
1
, x
2
theo S và P.
Ví dụ:
xxxxxxSP
2222
121212
()22
+=+-=-

xxxxxxxxSSP
3322
12121212
()()3(3)
éù
+=++-=-
ëû

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

bc
SxxPxx
aa
1212
;
=+=-==
(S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x
1
và x
2
.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

xSxP
2
0
-+=
, trong đó S = u + v, P = uv.


Bài 1. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A =
xx
22
12
+
; B =
xx
33
12
+

; C =
xx
44
12
+
; D =
xx
12
- ; E =
xxxx
1221
(2)(2)
++
a)
xx
2
50
=
b)
xx
2
2370
=
c)
xx
2
31030
++=

d)

xx
2
2150
=
e)
xx
2
2520
-+=
f)
xx
2
3520
+-=

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Bài 2. Cho phương trình: mxmxm
2
(1)2(1)20
+ +-=
(*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Bài 3. Cho phương trình: xmxm
2
2(21)340
-+++=

(*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
.
b) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A =
xx
33
12
+
.
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
xx
22
12
,
.
HD: a) m
2
2
³ b) xxxx
1212
1

+-=-
c) A = mmm
2
(24)(1645)
++-

d) m
127
6
±
= e) xmmxm
222
2(881)(34)0
-+-++=

Bài 4. Cho phương trình: xmxmm
22
2(1)30
+-=
(*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m.

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả: xx
22
12
8
+=
.
HD: a) m = 3; m = 4 b) xxxxxx
2
121212
()2()480
+-+ =
c) m = –1; m = 2.
Bài 5. Cho phương trình: xmmxm
223
(3)0
+=
.
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
HD: a) m = 0; m = 1 b) xxx
222
1;527;527
==-=
.
Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình:
xxx

22
22sin2cos
aa
+=+
(a là tham số).
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a.
b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
Bài 7. Cho phương trình:
a)


















Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 19

1. Định nghĩa và tính chất
·
AkhiA
A
AkhiA
0
0
ì
³
=
í
-<
î
·
AA
0,
³"

·
ABAB

=
·
AA
2
2
=
·

ABABAB
.0
+=+Û³
·
ABABAB
.0
-=+Û£

· ABABAB
.0
+=-Û£
· ABABAB
.0
-=-Û³

2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
· Dạng 1:
fxgx
()()
=
C
fx
fxgx
fx
fxgx
1

()0
()()
()0
()()
é
ì
³
í
ê
=
î
Û
ê
ì
<
ê
í
ê
-=
î
ë

Cgx
fxgx
fxgx
2
()0
()()
()()
ì

³
ï
Û
é
=
í
ê
ï
=-
ë
î

· Dạng 2:
fxgx
()()
=
[ ] [ ]
C
fxgx
1
22
()()
Û=
C
fxgx
fxgx
2
()()
()()
é

=
Û
ê
=-
ë

· Dạng 3:
afxbgxhx
()()()
+=
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.


Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) xx
213
-=+
b) xx
4725
+=+
c) xx
2
320
-+=

d) xxx
2
6921
++=-
e) xxx

2
45417
=-
f)
xxx
2
41745
-=

g) xxxx
12324
++=+
h) xxx
12314
-+++-=
i)
xxx
122
-+-=

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
xx
4747
+=+
b)
xx
2332
-=-
c)

xxx
1213
-++=
d) xxxx
22
2323
=++
e) xxx
2
252750
-+-+=
f) xx
3710
++-=

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) xxx
2
2110
-+ =
b) xxx
2
25170
+=
c) xxx
2
25150
=

d) xxx

2
4320
+++=
e) xxx
2
442110
=
f) xxx
2
63100
++++=

Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx
15
-=
b) mxxx
12
-+=+
c)
mxxx
21
+-=

d)
xmxm
322
+=- e) xmxm
2
+=-+

f) xmx
1
-=+

Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) mxx
24
-=+
b)
Bài 6.
a)


IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 20



Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
Dạng 1:
fxgx
()()
= Û
[ ]
fxgx

gx
2
()()
()0
ì
ï
=
í
³
ï
î

Dạng 2:
fxgx
fxgx
fxhaygx
()()
()()
()0(()0)
ì
=
=Û
í
³³
î

Dạng 3: afxbfxc
()()0
++=
Û

tfxt
atbtc
2
(),0
0
ì
ï
=³
í
++=
ï
î

Dạng 4:
fxgxhx
()()()
+=
· Đặt
ufxvgx
(),()
== với u, v
³
0.
· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5:
fxgxfxgxhx
()()().()()
++=
Đặt tfxgxt
()(),0

=+³
.



Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
xx
233
-=-
b)
xx
5108
+=-
c) xx
254
=

d)
xxx
2
128
+-=-
e)
xxx
2
242
++=-
f) xxx
2

3912
-+=-

g) xxx
2
3912
-+=-
h) xxx
2
3102
=-
i) xxx
22
(3)49
-+=-

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
22
69466
-+=-+
b)
xxxx
2
(3)(8)2611
+=-+
c) xxxx
2
(4)(1)3526
++-++=

d)
xxxx
2
(5)(2)33
+-=+

e) xx
22
1131
++=
f) xxxx
2
284(4)(2)0
-+ +=

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) xx
111
+ =
b) xx
3712
+-+=

c) xx
22
972
+ =
d) xxxx
22
3583511

++-++=

e) xx
33
112
++-=
f) xxxx
22
5845
+-++-=

g) xx
33
575131
+ =
h) xx
33
91714
-++++=

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
xxxx
363(3)(6)
++-=++-
b) xxxxx
23132(23)(1)16
+++=+++-

c) xxxx

13(1)(3)1
-+ =
d) xxxx
72(7)(2)3
-++ +=

e) xxxx
14(1)(4)5
++-++-=
f) xxxxx
2
321492352
-+-=-+-+

g)
xxxx
2
2
11
3
+-=+-
h) xxxx
2
999
+-=-++

V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 21

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
242252462514
-+-+++-=

b) xxxx
5412211
+-+++-+=

c) xxxxxx
22212234213286214
+ ++ =

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)












Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định
của phương trình (mẫu thức khác 0).

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
xxxx
21050
1
23(2)(3)
+=-
-+-+
b)
xxx
xxx
1121
221
+-+
+=
+-+

c)
xx
xx
211
322
++
=
+-
d)
xx
x
2

2
35
1
4
-+
=-
-

e)
xxxx
xx
22
252215
13
-+++
=

f)
xx
xx
22
342
(1)(21)
+-
=
+-

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mxm

x
1
3
2
-+
=
+
b)
mxm
xm
2
3
+-
=
-
c)
xmx
xxm
1
2
1

+=


d)
xmx
xx
3
12

++
=

e)
mxm
m
x
(1)2
3
++-
=
+
f)
xx
xmx
1
=
++

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)

VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 22



1. Cách giải:
txt
axbxc
atbtc
2
42
2
,0
0(1)
0(2)
ì
ï
=³
++=Û
í
++=
ï
ỵ

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
· (1) vơ nghiệm Û
vônghiệm
cónghiệmképâm

cónghiệmâm
(2)
(2)
(2)2
é
ê
ê
ë

· (1) có 1 nghiệm Û
cónghiệmképbằng
cónghiệmbằngnghiệmcònlạiâm
(2)0
(2)10,
é
ê
ë

· (1) có 2 nghiệm Û
cónghiệmképdương
cónghiệmdươngvànghiệmâm
(2)
(2)11
é
ê
ë

· (1) có 3 nghiệm Û
cónghiệmbằngnghiệmcònlạidương
(2)10,

· (1) có 4 nghiệm Û
cónghiệmdươngphânbiệt
(2)2

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
· Dạng 1:
xaxbxcxdKvớiabcd
()()()(),
++++=+=+

– Đặt
txaxbxcxdtabcd
()()()()
=++Þ++=-+

– PT trở thành: tcdabtK
2
()0
+ =

· Dạng 2:
xaxbK
44
()()
+++=

– Đặt
ab
tx

2
+
=+ Þ
abba
xatxbt,
22

+=++=+
– PT trở thành:
ab
ttKvới
4224
21220
2
aaa
ỉư
-
++-==
ç÷
èø

· Dạng 3: axbxcxbxaa
432
0(0)
++±+=¹
(phương trình đối xứng)
– Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
x
2
, ta được:

PT Û
axbxc
x
x
2
2
11
0
ỉưỉư
++±+=
ç÷
ç÷
èø
èø
(2)
– Đặt txhoặctx
xx
11
ỉư
=+=-
ç÷
èø
với t
2
³
.
– PT (2) trở thành: atbtcat
2
20(2)
++-=³

.


Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
xx
42
340
=
b)
xx
42
540
-+=
c)
xx
42
560
++=

d)
xx
42
3520
+-=
e)
xx
42
300
+-=

f)
xx
42
780
+-=

Bài 2. Tìm m để phương trình:
i) Vơ nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm
iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm
a) xmxm
422
(12)10
+-+-=
b) xmxm
422
(34)0
-++=

c)
xmxm
42
8160
+-=

VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a

¹
0)
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 23

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
xxxx
(1)(3)(5)(7)297
++=
b)
xxxx
(2)(3)(1)(6)36
+-++=-

c) xx
44
(1)97
+-=
d) xx
44
(4)(6)2
+++=

e) xx
44
(3)(5)16
+++=
f)
xxxx

432
635623560
-+-+=

g)
xxxx
432
410
+-++=

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 24



1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

axbyc
abab
axbyc
2222
111
1122
222
(0,0)
ì
+=

+¹+¹
í
+=
î

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
= ,
x
cb
D
cb
11
22
= ,
y
ac
D
ac
11
22
= .

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.


Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
543
798
ì
-=
í
-=
î
b)
xy
xy
211
548
ì
+=
í
-=
î
c)
xy
xy

31
625
ì
-=
í
-=
î

d)
(
)
( )
xy
xy
2121
22122
ì
ï
++=-
í
=
ï
î
e)
xy
xy
32
16
43
53

11
25
ì
+=
ï
í
ï
-=
î
f)
xy
y
31
5x23
ì
ï
-=
í
+=
ï
î

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
18
18
54
51

ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
xy
xy
101
1
12
253
2
12
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
+=
ï-+
î
c)
xyxy

xyxy
2732
7
23
4548
1
23
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
-=-
ï-+
î

d)
xy
xy
26315
56411
ì
-++=
í
+=
î
e)
xyxy

xyxy
29
3217
ì
+ =
í
++-=
î
f)
xyxy
xyxy
438
356
ì
++-=
í
+ =
î

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mxmym
xmy
(1)1
22
ì
+-=+
í
+=
î

b)
mxmy
mxmy
(2)5
(2)(1)2
ì
+-=
í
+++=
î
c)
mxym
mxym
(1)231
(2)1
ì
-+=-
í
+-=-
î

d)
mxmy
mxmym
(4)(2)4
(21)(4)
ì
+-+=
í
-+-=

î
e)
mxym
mxymm
22
(1)21
2
ì
+-=-
í
-=+
î
f)
mxym
xmym
21
225
ì
+=+
í
+=+
î

Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a)
mxym
mxymm
22
(1)21

2
ì
+-=-
í
-=+
î
b)
mxy
xmym
1
4(1)4
ì
-=
í
++=
î
c)
mxy
xmym
33
210
ì
+-=
í
+-+=
î

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D

¹
0
Hệ có nghiệm duy nhất
y
x
D
D
xy
DD
;
æö
==
ç÷
èø

D
x

¹
0 hoặc D
y

¹
0
Hệ vô nghiệm
D = 0
D
x
= D
y

= 0 Hệ có vô số nghiệm

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 25

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a)
mxym
xmym
21
225
ì
+=+
í
+=+
î
b)
mxmy
mxmy
6(2)3
(1)2
ì
+-=
í
=
î
c)
mxmym

xmy
(1)1
22
ì
+-=+
í
+=
î

Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
axyb
xy
325
ì
+=
í
+=-
î
b)
yaxb
xy
234
ì
-=
í
-=
î
c)
axyab

xya2
ì
+=+
í
+=
î

d)
abxabya
abxabyb
()()
(2)(2)
ì
++-=
í
-++=
î
e)
axbyab
bxayab
22
2
ì
+=+
í
+=
î
f)
axbyab
bxbyb

2
2
4
ì
ï
-=-
í
-=
ï
î

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyz
xyz
xyz
31
225
230
ì
+-=
ï
-+=
í
ï
=
î
b)
xyz
xyz

xyz
328
26
36
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
î
c)
xyz
xyz
xyz
327
2438
35
ì
-+=-
ï
-++=
í
ï
+-=
î

Bài 8.
a)

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 26




1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
fxy
gxy
(,)0
(,)0
ì
=
í
=
î
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.

· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình:
XSXP
2
0
-+=
.
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
fxy
fyx
(,)0(1)
(,)0(2)
ì
=
í
=
î

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) Û
fxyfyx
fxy
(,)(,)0(3)
(,)0(1)
ì
-=
í
=

î

· Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) Û
xygxy
().(,)0
-=
Û
xy
gxy
(,)0
é
=
ê
=
ë
.
· Như vậy, (I) Û
fxy
xy
fxy
gxy
(,)0
(,)0
(,)0
é
ì
=
í
ê

=
î
ê
ì
=
ê
í
ê
=
î
ë
.
· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
axbxycyd
axbxycyd
22
1111
22
2222
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
.
· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).

· Khi x
¹
0, đặt
ykx
=
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để
giải (sẽ học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
.





IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 27

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
22
48
24
ì
+=
í
+=
î
b)
xxy
xy
2
24
231
ì
-=
í
-=
î
c)
xy
xy
2

()49
3484
ì
-=
í
+=
î

d)
xxyyxy
xy
22
32360
23
ì
-+++-=
í
-=
î
e)
xy
xyxy
3410
3()9
ì
-+=
í
=+-
î
f)

xy
xyxy
232
60
ì
+=
í
+++=
î

g)
yxx
xy
2
4
250
ì
+=
í
+-=
î
h)
xy
xyy
22
235
324
ì
+=
í

-+=
î
i)
xy
xxyy
22
25
7
ì
-=
í
++=
î

Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xy
xym
22
6
ì
+=
í
+=
î
b)
xym
xyx
22
22

ì
+=
í
-+=
î
c)
xy
xym
22
321
ì
-=
í
+=
î

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyxyxy
22
11
2()31
ì
++=
í
+ +=-
î
b)
xy

xxyy
22
4
13
ì
+=
í
++=
î
c)
xyxy
xyxy
22
5
8
ì
++=
í
+++=
î

d)
xy
yx
xy
13
6
6
ì
+=

ï
í
ï
+=
î
e)
xxyy
xyxy
3333
17
5
ì
++=
í
++=
î
f)
xxyy
xxyy
4224
22
481
37
ì
ï
++=
í
++=
ï
î

Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xyxym
xym
22
32
ì
++=
í
+=-
î
b)
xym
xyxymm
222
1
23
ì
+=+
í
+=
î
c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4
ì
++=+

í
+=
î

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xyxy
yxyx
22
22
22
22
ì
ï
-=+
í

-=+
ï
î
c)
xxy
yyx
3
3
2
2
ì
ï
=+
í
=+
ï
î

d)
y
xy
x
x
yx
y
34
34
ì
-=
ï

ï
í
ï
-=
ï
î
e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=

ï
î
f)
xy
y
yx
x
2
2
1
2
1
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î

Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xxmy
yymx
2
2
3

3
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xymm
yxmm
22
22
(34)(34)
(34)(34)
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
c)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)
ì

ï
+=-
í
+=-
ï
î

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
31
3313
ì
ï
-+=-
í
-+=
ï
î
b)
xxyy
xxyy
22
22
241
3227
ì

ï
-+=-
í
++=
ï
î
c)
yxy
xxyy
2
22
34
41
ì
ï
-=
í
-+=
ï
î

d)
xxyy
xxyy
22
22
35438
59315
ì
ï

+-=
í
=
ï
î
e)
xxyy
xxyy
22
22
239
455
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
f)
xxyy
xxyy
22
22
3840
5760
ì
ï
-+=
í

=
ï
î

Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xmxyym
xmxymym
22
22
(1)
ì
ï
++=
í
+-+=
ï
î
b)
xyy
xxym
2
2
12
26
ì
ï
-=
í
-=+

ï
î
c)
xxyym
yxy
22
2
4
34
ì
ï
-+=
í
-=
ï
î

Bài 9. Giải các hệ phương trình sau:
a)



Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 28

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mxmxm

22
43+-=+
b)
abxaaababx
2222
()22()()
++=+++
c)
axabbxab
2222
2
+=++
d) aaxbaxb
2
()45
+=+-

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
xmxm
xx
21
1
1
++-
-=
-
b)
mx
mxm

x
2
21
1
-=+
-

c)
mxm
x
xx
211
21
11
-+
=

d)
xxm
123
-+-=

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
xxm
2
212150
+-=
b) xmxm
22

2(1)0
+=

b)
xmxm
2
10
-+-=
d) xmxmm
2
2(2)(3)0
+-=

Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x
0
. Tính nghiệm còn lại:
a) xmxmx
2
0
3
10;
2
-++==-
b) xmxmx
22
0
230;1
-+==
.
Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:

i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thoả: xx
33
12
0
+=
; xx
22
12
3
+=

a) xmxmm
2
2(2)(3)0
+-=
b) xmxm
22
2(1)0
+-+=

c) xmxm
22
2(1)20

-++-=
d) mxmxm
2
(2)2(1)20
+ +-=

e) mxmxm
2
(1)2(4)10
+++++=
f)
xxm
2
410
-++=

Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm
xx
12
,
, tìm hệ thức giữa
xx
12
,
độc lập với m.
a) xmxm
2
(1)0

+ =
b) xmxmm
2
2(2)(3)0
+-=

c) mxmxm
2
(2)2(1)20
+ +-=
d) xmxm
22
2(1)20
-++-=

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) xx
22
612
+-=
b) xx
22
1131
++=

c) xx
1617823
+=-
d) xxx
2

283(4)
=-

e) xxx
2
39120
-++-=
f)
xxx
2
5121
=-

g) xxx
22
(3)49
=-
h)
xx
3131
++=-

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a) xx
431032
=-
b) xxx
5324
-++=+

c) xxx
34213
+ =+
d) xxxx
22
33363
-++-+=

e) xxx
22335
+ =-
f) xxx
33524
=-

g) xxx
222114
+++-+=
h) 811 +-=-+ xxx
Bài 9. Giải các phương trình sau:
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 29

a) xxxx
21212
+ =
b)
x
xxxx
3

2121
2
+
+-+ =
c) xxxx
4
22
112
++-=
d) xxxx
22
137
+=

e) xxxx
22
23134
+-+=+
f)
xxxx
22
23219
+++=-

g) xxxx
22
2422
+=-
h)
xxxx

22
2535236
+++=-

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
mxym
xmya
21
221
ì
+=+
í
+=-
î
b)
mxym
xmym
3
21
ì
+=
í
+=+
î

c)
xym

xym
24
233
ì
-=-
í
+=+
î
d)
xy
yxm
25
2105
ì
+=
í
-=+
î

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyyx
22
1
6
ì
++=-
í
+=-

î
b)
xy
xxyy
22
4224
5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xyyx
xy
22
33
30
35
ì
ï
+=
í
+=
ï
î

d)
xy
xyxy
33
5522
1
ì
ï
+=
í
+=+
ï
î
e)
xyxy
xyxy
22
4422
7
21
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
f)
xyxy
xyxy

22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
xy
xy
22
22
1
()(1)5
1
()(1)49
ì
++=
ï
ï
í
ï
++=
ï
î

b)
( )
yxxy
xy
xy
22
22
22
(1)2(1)
1
124
ì
+=+
ï
æö
í
++=
ç÷
ï
ç÷
èø
î

c)
xy
xy
xy
xy
22
22

11
4
11
4
ì
+++=
ï
ï
í
ï
+++=
ï
î
d)
xy
xy
xy
xy
22
2
3
11
1
()(1)6
ì
+=
ï
ï
++
í

ï
++=
ï
î

e)
xyyxyxxy
yx
xy
xyxy
22
226
1
4
ì
+++=
ï
í
+++=
ï
î
f)
xy
xy
xy
xy
1
4
1
()15

ì
+=
ï
ï
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î

Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xxy

yyx
3
3
2
2
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
c)
xxy
yyx
3
3
38
38
ì
ï
=+
í
=+
ï
î

d)
xy
y

yx
x
2
2
1
2
1
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
e)
xy
x
yx
y
2
2
3
2
3
2
ì
+=

ï
ï
í
ï
+=
ï
î
f)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï

=
ï
î

Bài 14. Giải các hệ phương trình sau:
a)