Chuyên đề Mệnh đề, tập hợp

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa



ĐẠI SỐ 10
Chương I.
Mệnh Đề - Tập Hợp















www.saosangsong.com.vn/
SAVE YOUR TIME & MONEY
SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL
SUIT YOUR PACE

Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn

2
2
§ 1. Mệnh đề
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. Mệnh đề là một câu khẳng định đúng (mệnh đề đúng ) hoặc sai (mệnh đề sai)
2. Mệnh đề “ Không phải P ” là mệnh đề phủ định của P , kì hiệu
P
. Nếu P đúng thì
P

sai , P sai thì
P
đúng.
3. Mệnh đề P(x) chứa biến x có giá trị đúng hoặc sai tùy theo giá trị của x .
Mệnh đề “
)x(P,x
∀
” đúng khi P(x) đúng với mọi x , sai
x
∃
, P(x) sai .
Mệnh đề “
)x(P,x
∃
” đúng khi tồn tại x sao cho P(x) đúng, sai khi ∀ x, P(x) sai .
)(,)(,;)(,)(, xPxxPxxPxxPx ∀=∃∃=∀
4. Mệnh đề “ Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo , kí hiệu P => Q . Mệnh đề P => Q
chì sai khi P đúng và Q sai .
5. Mệnh đề “ P nếu và chỉ nếu Q ” ( hay “ P khi và chì khi Q ” ) được gọi là mệnh đề
tương đương và kì hiệu P Ù Q . Mệnh đề PÙ Q đúng khi P và Q cùng đúng hay

cùng sai ( hay khi P => Q và Q => P đều đúng .
6. Định lí “ P => Q ” là mệnh đề đúng , P : giả thiết , Q kết luận .
P là điều kiện đủ để có Q , Q là điều kiện cần để có P .
Khi đó mệnh đề “ Q => P ” là mệnh đề đảo của mệnh đề “ P => Q ”
Định lí “ PÙ Q ” đọc là : P là điều kiện cần và đủ để có Q .

B. Giải toan :
Dạng 1 : Xét tính đúng sai của một mệnh đề
Ví dụ 1 : Tìm xem các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) “ 12 là số nguyên tố ”
b) “ Phương trình : x
2
+ 4x – 3 = 0 có 2 nghiệm thực ”
c) “ π không là số hữu tỉ ”
d) “ Nếu tam giác ABC và A’B’C ‘ có diện tích bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau ”
e) “ Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60
0
”
Giải a) Vì 12 chia hết cho 3 nên 12 không là số nguyên tố nên mệnh đề cho là sai .
b) Phương trình : x
2
+ 4x – 3 = 0 có hai nghiệm là x
1
= - 2 + 7và x
2
= - 2 – 7 , vậy
mệnh đề cho là đúng .
c) Số π là số vô tỉ , không phải là số vô tỉ , do đó mệnh đề cho đúng .
d) Xét mệnh đề P = “ Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ bằng nhau ” và mệnh đề Q = “Tam
giác ABC và tam giác A’B’C’c ó diện tích bằng nhau ” .

Rõ ràng nếu P đúng thì Q đúng , do đ ó mệnh đề P => Q l à đ úng .
e) Xét mệnh đề P = “ Tam giác ABC đều ” và mệnh đề Q = “ Tam giác ABC cân và có một
góc bằng 60
0
”
Rõ ràng nếu P đúng thì Q đúng , vậy P => Q là đúng .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
3
3
Ngược lại nếu Q đúng thì tam giác ABC có ba góc bằng nhau , do đó ABC là tam giác đều , tức
P đúng , vậy Q => P là đúng .
Vậy mệnh đề cho là đúng .
Ví dụ 2 : Tìm x để các mệnh đề sau là đúng :
a) “ x là số nguyên trong khoảng (0 ; 15 ) và chia hềt cho 3 ”
b) “ 2x
2
– 5x + 2 = 0 ”
c) “ x là số dương thỏa (x – 2)
2
> x
2
+ 13 ”
d) “ x không là thỏa phương trình : (2x – 5)(x + 6) = 0 ”
Giải a) Trong khoảng (0 ; 15 ) , những số nguyên chia hết cho 3 là 3 , 6, 9
, 12 . Vậy mệnh đề đúng khi x = 3 , 6 , 9 , 12 .
b) Phương trình : 2x
2
– 5x + 2 = 0 có hai nghiệm là x = 2 và x = ½ . Vậy
mệnh đề đúng khi x = 2 , ½ .

c) Ta giải bất phương trình: (x – 2)
2
> x
2
+ 13
Khai triển , rút gọn , ta được : - 4x > 9 Ù x < - 9 / 4 . Vì x > 0 nên bất phương trình này vô
nghiệm . Vậy không có x để mệnh đề là đúng , có nghĩa là mệnh đề đã cho sai với mọi x .
d) Ta giải phương trình: (2x – 5)(x + 6) = 0 , được hai nghiệm x = 5/2 hay x = - 6 . Vậy mệnh
đề cho là đúng khi x ≠ 5/2 và x ≠ - 6 .
Dạng 2 : Phủ định một mệnh đề
Ví dụ 1 : Xét tính đúng sai các mệnh đề sau v à phủ định mệnh đề ấy .
a) P = “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau ”
b) Q = “
2
> 3/2 ”
c) R = “ Phương trình : x
4
+ 3x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm ”
Giải : a) P đúng .
P
= “ Hình vuông có hai đường chéo không bằng nhau ”
b) Vì
2
= 1, 41. . . và 3/2 = 1, 5 nên Q sai . Q = “
2
≤ 3/2 ”
c) Vì x
4

≥ 0 , x
2
≥ 0 nên x
4
+ 3x
2
+ 1 > 0 , do đ ó R l à mệnh đề đúng .
R
= “Phương trình :
x
4
+ 3x
2
+ 1 = 0 c ó nghiệm ”
V í dụ 2 : Tìm xem các mệnh đề sau đúng hay sai và phủ định các mệnh đề ấy .
a) “ x , x∀
2
+ x + 1 > 0 ”
b) “ ∀ x , x
2
≥ x ”
c) “ x , x∃
3
– 4x
2


+ 3x - 3 > 0 ”
d) “ x , x∃
2

+ 4x + 5 = 0 ”
e) “ ∀
n
∈
N , (2n + 1)
2
– 1 chia hết cho 4 ” .

Giải : a) Vì x , x
∀
2
+ x + 1 = (x + ½)
2
+ ¾ > 0 , nên “
∀
x, P(x) ” là mệnh đề đúng . Phủ định
của mệnh đề này là : “ x, x∃
2
+ x + 1 ≤ 0 ” : mệnh đề này là sai .
b) Phủ định mệnh đề là : “ ∃ x , x
2
< x ” . Mệnh đề này đúng vì nếu lấy x =
½ thì : (1/2)
2
< ½ là đúng . Suy ra mệnh đề “
∀
x, P(x) ” là sai .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
4

4
c) Mệnh đề “ x, P(x) ” là đúng vì nếu lấy x = 10 thì : P(10) = 10∃
3
– 4.10
2
+ 3.10 – 3 = 627 > 0
là đúng . Suy ra mệnh đề phủ định
“
∀
x , x
3
– 4x
2


+ 3x – 3 ≤ 0 ” : mệnh đề sai .
d) Phủ định mệnh đề là : “
∀
x , x
2
+ 4x + 5 ≠ 0 ” . M ệnh đ ề này đúng vì
∀
x , P(x) = (x + 2)
2


+ 1 > 0 . Do đó mệnh đề “
∃
x, P(x) ” là sai .

e) Ta chứng minh mệnh đề này đúng .
Ta có : (2n + 1)
2
– 1 = 4n
2
– 4n = 4n(n - 1) => đpcm .
Phủ định mệnh đề là : “ ∃ n , (2n + 1)
2
– 1 không chia hết cho 4 .
Dạng 3 : “Điều kiện cần “ , “Điều kiện đủ ” và “Điều kiện cần và đủ ”
Ghi nhớ : Với mệnh đề đúng : “ P => Q ” , có thể phát biểu : “ P là điều kiện đủ để có Q ” hay “
Q là điều kiện cần để có P ”
Ví dụ 1 : Nối kết các mệnh đề sau bằng thuật ngữ “ Điều kiện cần ” , “ Điều kiện đủ ” và “ Điều
kiện cần và đủ ”
a) “ ABCD là hình chữ nhật ” , “ ABCD có ba góc vuông ”
b) “ Tam giác ABC và DEF đồng dạng ” , “ Tam giác ABC và DEF có ít nhất một góc bằng
nhau ”
c) “ a = b ” , “ a
2
= b
2
”
d) “ a là số nguyên lẻ ” , “ a
2
là số nguyên lẻ ”
Giải : a) Vì mệnh đề kéo theo “ ABCD là hình chữ nhật ” => “ ABCD có ba góc vuông ” là đúng
, nên ta có thể phát biêu :
“ ABCD là hình chữ nhật ” là điều kiện đủ để “ ABCD có ba góc vuông ”
Hay “ ABCD có ba góc vuông ” là điều kiện cần để “ ABCD là hình chữ nhật ”

b) Vì mệnh đề kéo theo “ Tam giác ABC và DEF đồng dạng ” => “ Tam giác ABC và DEF có
ít nhất một góc bằng nhau ” là đúng , nên ta có thể phát biểu :
“ Để tam giác ABC và DEF có ít nhất một góc bằng nhau thì điều kiện đủ là chúng đồng dạng ”
“ Để hai tam giác ABC và DEF đồng dạng thì điều kiện cần là chúng có ít nhất một góc bằng
nhau ”
c) Vì mệnh đề kéo theo “ a = b ” => “ a
2
= b
2
” là đúng , nên ta có thể phát biểu :
“ Để a
2
= b
2
thì điều kiện đủ là a = b ”
“ Để a = b thì điều kiện cần là a
2
= b
2
”
d) Vì mệnh đề kéo theo “ a là số nguyên lẻ ” => “ a
2
là số nguyên lẻ ” là đúng , nên ta có thể
phát biểu :
“ Để a
2
là số nguyên lẻ thì điều kiện đủ là a là số nguyên lẻ ”
“ Để a là số nguyên lẻ thì điều kiện cần là a
2
là số nguyên lẻ ” .

Ví dụ 2 : Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết các mệnh đề này đúng hay sai .Sử dụng
mệnh đề tương đương , nếu được .
a) “ Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ”
b) “ Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng và có một cạnh bằng nhau ”
c) “ Nếu hai số nguyên lẻ thì tích của chúng là số lẻ m
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
5
5
Giải a) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác là hình
vuông ” . Mệnh đề này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau nhưng không phải là hình vuông .
b) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam
giác ấy bằng nhau “ . Mệnh đề này sai vì hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng là 3,
4,6 và 6, 8, 12 thì đồng dạng và có một cạnh bằng nhau là 6 nhưng không bằng nhau .
c) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu tích của hai số nguyên là lẻ thì hai số nguyên là lẻ ” . Mệnh
đề này đúng , do đó có thể phát biểu : “ Hai số nguyên là lẻ khi và chỉ khi tích của chúng là số lẻ ”
* Dạng 4 : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Để chứng minh mệnh đề “A => B ” đúng , ta chứng minh mệnh đề “ AB => “ là đúng , theo
các bước sau :
• Giã sử B sai , ta chứng minh giả thịết A hay một tính chất đã biết là đúng cũng sai .
• Kết luận mệnh đề “ A = > B ” là đúng .
Ví dụ 1: Chứng minh nếu tích hai số nguyên a và b là lẻ thì a và b là lẻ
Giải :
A = “ ab lẻ ” , B = “ a lẻ và b lẻ ”
Giả sử B sai tức a chẵn hay b chẵn , thế thì ab là số chẵn , tức A sai . Vậy mệnh đề “ A = > B ”
là đúng .
Ví dụ 2 : Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng :
“ a
2
+ b

2
≥ 2bc ” , “ b
2
+ c
2
≥ 2ca ” , “

c
2
+ a
2
≥ 2ab ” với a, b , c là ba số bầt kì .
Giải : Giả sửi cả ba bất đẳng thức trên đều sai, thế thì :
“ a
2
+ b
2
< 2bc ” , “ b
2
+ c
2
< 2ca ” , “

c
2
+ a
2
<
2ab ” . Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
a

2
+ b
2
+ b
2
+ c
2
+ c
2
+ a
2
< 2bc + 2ca + 2ab
=> (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
< 0 : mệnh đề này sai , vậy mệnh đề cho là đúng .
B. Bài tập rèn luyện .
1.1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau :
a) “ Phương trình : x
2
– 2x – 4 = 0 có nghiệm nguyên ”
b) “ d là trung trực của AB Ù
∀
M
∈
d, MA = MB ”

c) “ ABCD là hình bình hành ” => ” ABCD có các góc đối bằng nhau ” :
d) “( C ) không phải là đường tròn tâm O , bán kính 5 Ù
∃
M
∈
(C ) , OM ≠ 5 ”
1.2. Tìm giá trị của biến số sao cho các mệnh đề sau là đúng :
a) “ x ∈ Z và x
2
< 5 ” b) “ x
∈
Z và 2x
2
– 9x + 4 = 0 ”
c) “ n là số nguyên dương chia hết cho 3 và 5 nhỏ hơn 50 ”
d) “ x < 3 => x
2
> 9 ”
e) “ x nguyên thỏa ”
⎩
⎨
⎧
<−
>−
1743
052
x
x
1.3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phủ định các mệnh đề này .
a) “ ∀

x
∈
N , x
2

≥
x ”
b) “
∀
n
∈
Z , n
2
+ n là số chẵn ”
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
6
6
c) “
∀ n ∈ N , 2n
2
+ 1 chia hết cho 3 ”
d) “ Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60
0
”
e) “ Tồn tại một hình thang có ba góc tù ”
1.4. Sử dụng thuật ngữ “ điều kiện cần ” , “ điều kiện đủ “ hay “ điều kiện cần và đủ ” để
nối kết các cặp mệnh đề sau sao cho mệnh đề này là đúng .
a) “ ABC là tam giác vuông ” , “ AB
2

+ BC
2
= AC
2
”
b) “ a và b là hai đường thẳngsong song và a cắt đường thẳng c ” , “ b cắt đường
thẳng c ”
c) “ a + b > 2 ” , “ a > 1 và b > 1 ”
d) “ a chia hết cho 3 và a chia hết cho 6 ” , “ a chia hết cho 18 ”
* 1.5. Chứng minh các định lí sau :
a) Với mọi số nguyên dương n , nếu n
2
là số lẻ thì n là số lẻ .
b) Với mọi số nguyên dương n, nếu n
2
chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3 .
c) CMR nếu a, b, c là ba cạnh tam giác vuông ( a cạnh huyền ) thì b hay c chia hết
cho 3 .
d) Trên đường tròn có bán kính là 100m, lấy 630 điểm tùy ý . CMR có ít nhất hai
điểm cách nhau không đến 1m .
1.6. Chọn câu đúng :
a) “ ∏ là số không nhỏ hơn 4 ” b) “ Nếu a + b > c + d thì a > c và b > d ”
∃
x
∈
N , x
2
= 2 ”
c) “ Nếu a > 3 thì a > 0 ” d) “
1.7. Chọn câu sai :

a) Điều kiện cần để ABCD là hình chữ nhật là ABCD là hình vuông.
b) Điều kiện đủ để ABCD là hình bình hành là ABCD là hình thoi .
c) Cả a và b đều đúng . d) Cả a và b đều sai .
1.8. Chọn câu đúng :
a) Điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là nó có một trung tuyến ứng với một cạnh
thì bằng nửa cạnh ấy .
b) Điều kiện cần và đủ dể tứ giác nội tiếp được trong đường tròn là nó có hai góc
vuông .
c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai .
1.9. Chọn câu đúng: Phủ định của mệnh đề “
∀
x
∈
Z , x
2
– x – 1 ≠ 0 ” là :
a) “
∀
x
∈
Z , x
2
– x – 1 = 0 ” b)
“
∃
x
∈
Z , x
2
– x – 1 ≠ 0 ”

b) “
x
∈
Z , x
∃
2
– x – 1 > 0 ” d)
“
∃
x
∈
Z , x
2
– x – 1 = 0 ”
1. 10 . Chọn câu đúng :
a) “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì chữ số tận cùng của nó là 5 hay 0 ”
b) “ Nếu hai số dương có tích nhỏ hơn 1 thì có ít nhất một số nhỏ hơn 1 ”

c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai .
D.Hứơng dẫn – Đáp số .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
7
7
1.1. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
1.2 . a) x = - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 .
b) x = 4
c) n chia hết cho 15 , vậy n = 15 , 30 , 45 .
d) Mệnh đề p => q chỉ sai khi p đúngvà q sai . Vậy mệnh đề cho là sai khi

x < 3 và x
2
9 , tức khi – 3
≤
≤
x < 3 . Vậy mệnh đề đúng khi x < - 3
hay x 3 .
≥
e) x nguyên , x > 5/2 và x < 7 , vậy x = 3 , 4, 5,6 .
1.3. a) Vì x
2
– x = x(x – 1) 0 với mọi x là số tự nhiên nên mệnh đề cho là
đúng. Phủ định là mệnh đề : “
≥
∃
x
∈
N , x
2
< x ”
b) Ta có n
2
+ n = n(n + 1) . Vì n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên
trong hai số có một số lẻ , một số chẵn , do đó n(n + 1) luôn là chẵn . Vậy
mệnh đề cho là đúng và phủ định là : “
∃
n
∈
Z , n
2

+ n là số lẻ ”
c) Mệnh đề này sai vì chọn n = 3 thì 2n
2


+ 1 = 19 không chia hết cho 3 .
Phủ định là : “
∃
n
∈
N , 2n
2
+ 1 không chia hết cho 3 ”
d) Sai , chẳng hạn tam giác đều có ba góc đều không nhỏ hơn 60
0
. Mệnh
đề đảo là : “ Tồn tại một tam giác không có góc nào nhỏ hơn 60
0
”
e) Mệnh đề này sai vì hình thang có các cặp góc bù nhau . Phủ định là :
“ Mọi hình thang đều không có 3 góc tù ”
1.4. Các độc giả tự phát biểu điều kiện cần .
a) Để tam giác ABC vuông điều kiện đủ là
AB
2
+ BC
2
= AC
2
. Ta không có

tương đương v ì tam giác ABC c ó th ể vuông tại A , khi đó ta không có
AB
2
+ BC
2
= AC
2
.
b) Để b cắt c , điều kiện đủ là a // b và a cắt c .
c) Để a + b > 2 , điều kiện đủ là a > 1 và b > 1 .
d) Để a chia hết cho 3 và cho 6 , điều kiện đủ là a chia hết cho 18 .


1.5. a) Giả sửi n là số chẵn , thế thì ; n = 2k . Suy ra : n
2
= 4k
2
=> n
2
là số
chẵn : vô lí . Vậy mệnh đề cho là đúng .
b) Nếu n không chia hết cho 3 tức n = 3k
±
1 . Thế thì :
n
2
= 9k
2
6k + 1 = 3(3k±
2

±
2k) + 1 .
Vậy n
2
không chia hết cho 3 : vô lí , do đó mệnh đề cho là đúng .
c) Nếu b và c không chia hết cho 3 , thế thì : b = 3m
±
1 , c = 3n
±
1
Suy ra : b
2
+ c
2
= 9(m
2
+ n
2
)
±
6m
±
6n + 2 . Số này chia cho 3 thì dư
2 .
Trong khi :
• Nếu a = 3k => a
2
chia hết cho 3 .
• Nếu a = 3k 1 => a±

2
= 3(3k
2

±
2k) + 1 => a
2
chia 3 dư 1 .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
8
8
Do đó a
2
luôn khác 3k + 2 , do đó mệnh đề : a
2
= b
2
+ c
2
là sai .
Vậy mệnh đề cho là đúng .
d) Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm
đều cách nhau 1m trở lên . Thế thì chu vi đường tròn sẽ lớn 630 dây cung
, mỗi dây cung đều dài hơn 1m trở lên . Do đó chu vi đường tròn lớn hơn
630m . Nhưng đường tròn có bán kính là 100m , theo công thức chu vi
đường tròn là 2∏R = 200. 3, 1415….< 630m : vô lí . Vậy mệnh đề cho là
đúng .
1.6. (c)
1.7. (b)

1.8. (a)
1.9. (d)
1. 10 . (c)

§ 2. Tập hợp
A. Tóm tắt giáo khoa .
1.a ∈ X : a là phần tử của tập hợp X .
a ∉ X Ù a không là phần tử của tập hợp X .
Có thể xác định một tập hợp bằng 2 cách :
* Liệt kê các phần tử giữa hai dấu móc .
* Chỉ rõ tính chất cho các phần tử của tập hợp .
là tập hợp không chứa phần tử nào cả .
∅
2. A là tập con của B ( A B , B A ) Ù
⊂ ⊃
∀
x
∈
A, x
∈
B .
3.a. A
∪ B =
{x
hoặc x ∈ B }
/ x A ∈
/ x A ∈
⊂
E
C

b. A B =
{x
và x ∈ B } ∩
c. Khi A E : A = {x
∈/ x ∉A}







B. Giải toán .
Dạng toán 1 : Xác định tập hợp bằng cách liệt kê hay bằng tính chất đặc trưng

A
B
A B
A
B
AUB
E
A
C A
E
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
9
9
Ví du 1 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp :

3
a) A =
{x
b) B = {x Q / x 3x 0}
∈
Z / 3 x 2}∈−<<
−=
Z / 4x 8x 3 0}∈−+=

c) C = {x
2
Giải a) Ta tìm số nguyên x sao cho – 3 < x < 2 , vậy : A = { - 2 , - 1 , 0 , 1 } Giải a) Ta tìm số nguyên x sao cho – 3 < x < 2 , vậy : A = { - 2 , - 1 , 0 , 1 }
b) Ta giải phương trình : x
3
– 3x = 0 Ù x(x
2
– 3) = 0 b) Ta giải phương trình : x
3
– 3x = 0 Ù x(x
2
– 3) = 0
Ù x = 0 hoặc x
2
= 3 Ù x = 0 hoặc x
2
= 3
3 hoặc x = - 3 Ù x = 0 hoặc x = Ù x = 0 hoặc x =
Vì x là số hữu tỉ do đó x = 0 . Vậy B = { 0 }
c) Ta giải phương trình: 4x
2

– 8x + 3 = 0 , được nghiệm : x = 3/2 hoặc x = ½
Vì x là số nguyên nên cả hai nghiệm đều bị loại và C =
∅
.
Ví dụ 2 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng :
a) A = { 2 , 3, 5 , 7 } b) B = { 0 , 5 , 10 , 15 , 20 }
c) C = { N , A , V , E , M , I , T }
d) D = { - 5 , - 2 , - 3 , -
2
, - 1, 0 , 1 ,
2
3 , 2 , 5}
Giải a) x ∈ A Ù x là số nguyên tố nhỏ hơn 8 . Do đó ta viết :
A =
{x
là số nguyên tố nhỏ hơn 8 }
/ x
b) x ∈ B Ù x là số tự nhiên chia hết cho 5 và không lớn hơn 20 . Do đó ta viết : B =
{x
∈
N / x
chia hết cho 5 và x 20 } ≤
c) x ∈ C Ù x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM . Do đó ta viết :
C = { x / x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM }
d) x ∈ D Ù x
2
là số nguyên và x
2
≤ 5 . Do đó ta viết :
D = { x / x

2
∈ N và x
2
5 } ≤
Ví dụ 3 : Cho E = { x
∈ Z /
3x 8
x1
+
+
∈ Z }
a) Tìm tất cả các phần tử của E .
b) Tìm các tập con của E có chứa đúng 3 phần tử .
c) Tìm các tập con của E có chứa phần tử 0 , và không chứa các ước số của 12 .
Giải a) Ta có :
3x 8 3(x 1) 5 5
3
x1 x1 x1
+++
==+
++
+

∈
Z Ù x + 1 chia hết 5 Ù x + 1 = 1 hay ±
±
5 .
Suy ra : x ∈ { 0 , - 2 ; - 6 ; 4 } .
b) Các tập con của (E) chứa đúng 3 phần tử là : { 0 ; - 2 ; - 6 } , { 0 ; - 2 ; 4}; { 0 ; - 6 ; 4 } và {
- 2 ; – 6 , 4 }.

c) Vì những số - 2 ; - 6 , 4 đều là ước số của 12 , do đó tập con cần tìm là {0}.
Dạng toán 2 :
Xác định hợp , giao và phân bù của hai tập hợp
Ví dụ 1 : Cho E = { x ∈ Z / x
2
≤ 9 } , B = { x / x
3
– 4x = 0 } , C = { x
∈
Z / | x – 1| < 3 .
a) Hãy xác định các tập hợp E , A, B bằng cách liệt kê .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
10
10
b) Tìm A B , A ∪ B ,
C
A , B .
E E
C
∩
c) Tìm , . Biểu diễn các tập hợp này bằng biểu đồ Ven .
A
(A B)
C
∩
EE
(A B) , ( A) B
CC
∪∪

Giải a) Ta có : x
2
9 Ù - 3 x ≤ 3 . Vì x nguyên nên : E = { - 3 , - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} ≤ ≤
Ta có : x
3
– 4x = 0 Ù x( x
2
– 4) = 0 Ù x = 0 ,
±
2 . A = { - 2 ; 0 ; 2}.
Ta có : | x - 1| < 3 Ù - 3 < x – 1 < 3 Ù - 2 < x < 4 . Vì x nguyên nên B = { - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
b) Ta có : A B = { 0 ; 2 } , A B = { - 2 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } . A là tập con của E nện A
= { - 3 ; - 1; 1 ; 3 } .
∩ ∪
E
C
Vì B là tập con của E nên B = { - 3 ; - 2 }
E
C
c) Vì A B là tập con của A nên ta có : ∩
A
B
A B
(A B) = { - 2 }
A
C
∩
Vì A B là con của E nên ta có : ∪
C
A

(A B)
(A B ) = { - 3 }
E
C
∪
Ta có : A B = { - 3 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
E
C
∪





A
B
AUB
C
E
AUB
E
A
B
C
E
( A )UB
E


Ví dụ 2 : Một lớp có 44 học sinh trong đó có 28 học sinh không dự thi môn điền kinh nào trong hội

khỏe Phù Đổng , có 6 học sinh thi môn chạy 1000m , có 7 học sinh thi môn chạy 100m và 7 học
sinh thi bơi lội . Biết rằng các học sinh có thể thi hai môn nhưng học sinh thi bơi thì không thi chạy
. Hỏi có bao nhiêu học sinh :
a) thi cả hai môn chạy .
b) chỉ thi môn chạy 1000m hoặc môn chạy 100m .
Giải a) Biểu diễn biểu đồ Ven , E là tập hợp các học sinh của lớp , A , B , C lần lượt là tập hợp
các học sinh thi chạy 1000 m , chạy 100m và bơi .
A
B
C 7
E
28
4
2
3
Tổng số các phần tử của A, B và C là : 44 – 28 = 16
Vì C và A B cách biệt nên số phần tử của tập hợp A
∪
B là :
16 – 7 = 9 .
∪
Số học sinh thi cà hai môn chay là số phần tử của tập hợp A
∩

B . Nếu gọi n(X) là số phần tử của tập hợp X , thì ta có : n(A) +
n(B) = n( A
∪
B) + n(A
∩
B) . Suy ra số học sinh thi cả hai môn

chạy là : n(A B) = 6 + 7 – 9 = 4
∩
Số học sinh chỉ thi môn chạy 1000 m là : n(A) – n(A
∩
B) = 6 – 4 = 2 .
Số học sinh chỉ thi môn chạy 100 m là : n(B) – n(A
∩
B) = 7 – 4 = 3 .
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
11
11
C. Bài tập rèn luyện .
1.11. Xác định bằng cách liệt kê các tập hợp sau :
a) A = {x ∈ N /
x
là ước số của 12}
b) B = { x ∈ Q / (x
2
– x – 1)(2x
2
– 5x + 2) = 0 }
c) C = {x ∈ Z / x
2

≤
225 và x chia hết cho 3 }
d) D = { x ∈ N/ x là 6 chữ số thập phân đầu tiên của giá trị gần đúng của số π }
1.12. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của tập hợp :
a) A = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 } b) B = { 12 ; 23 ; 34 ; 45 ; 56 ; 67 ; 78 ; 89 }

c) C = { 15 ; 24 ; 33 ; 42 ; 51 ; 60 } d) D = { P; R ; A ; O ; T ; E ; H ; Y }
1.13 . Trong các tập hợp sau , tập hợp nào là tập con của tập hợp nào ?
a) A = { 1 ; 0 ; 5 }, B = {x ∈ N / | x – 1 | < 6 }, C = { x / x
2
– 6x + 5 = 0 }
b) N = tập hợp các hình chữ nhật , T = tập hợp các hình thoi , B = tập hợp
các hình bình hành ; V = tập hợp các hình vuông .
1. 14. Cho A = { x ∈ Z / 1 ≤ x
2
18 } , B = { x ≤
∈
N / x là ước số của 16 } , C = { x
∈
R / x
3

– 9x
2
+ 8x = 0 }
a) Liệt kệ các phần tử của A, B, C .
b) Tìm A B , B ∩
∩
C , A ∪ ( B
∩
C ) , B
∩
(A C ) , A ∪
∩
B C ∩
c) Tìm các tập con của C mà không phải là tập con của A.

d) Tìm các tập con của A đồng thời là tập con của B và không có phần tử
chung với C .
1. 15. Một lớp có 47 học sinh trong đó có 14 học sinh thi môn chuyên Toán , 10 học sinh
thi môn chuyên Lí và 11 học sinh thi môn chuyên Hóa . Biết rằng có 25 học sinh không dự
thi môn nào cả và mỗi học sinh chỉ dự thi không quá hai môn . Hỏi có bao nhiêu học sinh
thi cả hai môn .
1. 16 . Chọn các câu đúng : Trong các tập hợp sau , tập hợp nào là tập hợp rỗng ?
A = { x ∈ Q / x
2
– 2x – 2 = 0 }; B = { x
∈
Z /
1
2x 1
+

∈
Z }
a) Chỉ A b) Chỉ B c) Cả A và B d) Không tập hợp nào
1.17. Cho A B , mệnh đề nào sau đây là đúng ? ⊄
a) ∀ x
∈
A , x ∉ B b)
∃
x
∈
A , x
∉
B
c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai

1.18. Cho hai tập hợp A và B không rỗng sao cho A
∩
B =
∅
, mệnh đề nào sau đây
là đúng ?
a) ∀ x
∈
A , x ∉ B b)
∃
x
∈
B , x
∉
A
c) . Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai
1. 19. Dùng biều đồ Ven để xét xem các mệnh đề n ào sau đ ây l à sai ?
a) A
∩
A = A b) A
∪
A = A
c) (A
∩
B)
⊂
A d) (A
∪
B )
⊂

B

Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
12
12
1. 20. Dùng biều đồ Ven để xét xem các mệnh đề n ào sau đ ây là sai ?
a) (A ∩ B) A b) (A ∪ B ) ⊂
⊃
B
c) (A ∪ B) ∩ B = B d) (A
∩
B ) ∪ B = A
D. Hướng dẫn giải hay đáp số
1.11. a) A = { 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 36 ; 144 } b) B = {2 ; ½ }
c) C = { - 3 ; 3 ; - 6 ; 6 ; - 9 ;9 ; 12 ; - 12 ; - 15 ; 15 }
d) D = { 1 ; 4 ; 5 ; 9 ; 2 }
1.12. a) A = {x / x = 2
k
, k∈N và 0
≤
k
≤
4}
b) B = { x
∈
N/ x gồm 2 chữ số liên tiếp nhau }
c) C = { x ∈ N/ x gồm hai chữ số có tổng là 6}
d) D = {x / x là các mẫu tự tạo thành từ HARRY POTTER }
1.13 . a) A B , C ⊂ A , C ⊂ B ⊂

b) V ⊂ N B , V T ⊂ B . ⊂ ⊂
1. 14. a) A = { - 1 ; 1 ; - 2 ; 2 ; - 3 ; 3 ; - 4 ; 4 }
B = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 } ; C = { 0 ; 1 ; 8 }
b) A ∩ B = { 1 ; 2 ; 4 } , B C = { 1 ; 8 } , A ∪ ( B ∩
∩
C ) = { - 1 ; 1 ; -
2 ; 2 ; - 3 ; 3 ; - 4 ; 4 ; 8 } , B
∩
(A C ) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 } , A B ∪ ∩
∩
C =
{ 1}
c) Tập con này là : { 0} , { 8 } , {0 ; 8 } , {1; 0 }, {1 ; 8 } , {1 ; 8 ; 0}
∅
, { 2 } , { 4} , {2 ; 4 } d) Tập con này không chứa 1 :
1.15 . Vẽ biểu đồ Ven : số học sinh dự thi môn chuyên là
47 – 25 = 22 . Số học sinh thi cả hai môn là :
TL
H
E
22
n(T ∩ L ) + n( L
∩
H) + n(H
∩
T ) = n(T) + n(L) +
n(H) – n(A B
∪ C) = 14 + 10 + 11 – 22 = 13 ∪
1.16 . (a)
1.17. (b)

1.18. (c)
1.19. (d)
1.20. (d)

§ 3. Các tập hợp số
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. N : tập hợp các số tự nhiên , kể cả 0 .
N* : tập hợp các số tự nhiên khác 0
Z : tập hợp các số nguyên
Q : tập hợp các số hữu tỉ
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
13
13
R : tập hợp các số thực
Ta có : N* N ⊂ Z Q R ⊂ ⊂ ⊂
2. Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ thì hữu hạn hay vô hạn tuẩn hòan .
Biểu diễn thập phân của một số v ô tỉ thì vô hạn không tuẩn hòan .
3. ( - ; + ) = R ∞ ∞
[a ; b] = {x ∈ R / a x b } , (a ; b) = {x ≤ ≤
∈
R / a < x < b }
[a ; b) = {x ∈ R / a x < b } , (a ; b] = {x ≤
∈
R / a < x
≤
b }
( - ; a] = {x ∈ R / x a }, ( - ∞ ≤
∞
, a ) = {x

∈
R / x < a }
[a ; +
∞ ] = {x ∈ R / x a }, ( a ; + ≥
∞
) = {x
∈
R / x > a }
4. a là giá trị gần đúng của
a
với độ chính xác h
Ù
a
∈ [a – h ; a + h] . Kí hiệu :
a
= a
±
h
h: cận trên của sai số tuyệt đối , Δ
a
= |
a
- a | : sai số tuyệt đối
a = 7345,9834
* được quy tròn đến hàng chục là a = 7350 ( a chính xác đến 10)
* được quy tròn đến hàng đơn vị là a = 7346 (a chính xác đến 1)
* được quy tròn đến hàng phần chục là a = 7346,0 (a chính xác đến 0 , 1)
* được quy tròn đến hàng phần trăm là a = 7345,98 ( a chính xác đến 0, 01 )
Chữ số gọi là chắc ( hay đáng tin ) nếu sai số tuyệt đối không vượt quá 1 đơn vị của hàng
chứa chữ số đó .

* Với a = 1379625 ± 300 : các chữ số 5 , 2 , 6 là không chắc , các chữ số còn lại là
chắc .
Cách viết chuẫn là cách viết trong đó mỗi chữ số đều chắc .
* Viết a = 1,234 m 0, 02m là không chuẫn , quy tròn thành : a = 1 , 2 m . ±
±* Viết a = 1379625 300 là không chuẫn , quy tròn thành : a = 1380000
B. Giải toán .
Dạng toán 1 : Viết đúng các kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng
Ví dụ : Gọi A = { x ∈ R / - 2 ≤ x 6}, B = {x≤
∈
R / 3
≤
x
≤
10 }
Dùng các kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viêt các tập hợp A , B , A ∩ B , A B ,
, .
∪
R
A
C
R
B
C
Giải
A = [- 2 ; 6 ] , B = [ 3 ; 10] - 2 3 6 10
A
∩ B = [3 ; 6]
A
∪ B = [ - 2 ; 10 ]
R

A
C
= ( - ; - 2) ∪ (6 ; + ∞ ) ∞
R
B
C
= ( - ; 3) (10 ; + )
∞ ∪ ∞

Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
14
14
Ví dụ 2 : Cho A = [ - 2 ; 5] , B = ( 4; +
∞
) , C = ( -
∞
; 1 ) ,dùng các kí hiệu đoạn , khoảng , nửa
khoảng để viêt các tập hợp :
a) A B , B C , B ∩ C , A B C ∪ ∪ ∪ ∪
b) , ,
C
∪
C
,
R
B
C
R
C

C
R
B
R
C
R
B
C
∩

C

R
C
Giải
- - 2 1 4 5 + ∞
∞




CA
B
a) A B = [ - 2 ; + ) , B C = ∪ ∞ ∩
∅
, A B ∪ C = R ∪
b) = ( - ; 4] , = [ 1; +
R
B
C

∞
R
C
C
∞
)
= R , = [1 ; 4]
R
B
C
∪
R
C
C
R
B
C
∩
R
C
C
Dạng toán 2 : Viết số gần đúng với độ chính xác cho trước
Ví dụ 1 : Cho a = 32, 59251 , hãy viết a với độ chính xác đến 1 , phần chục , phần trăm , phần
ngàn .
Giải * Vì chữ số tiếp sau hàng đơn vị là 5 nên số qui tròn của a đến đơn vị là a = 33 .
* Vì chữ số tiếp sau hàng phần chục là 9 > 5 nên số qui tròn của a đến phần chục là a = 32, 6 .
* Vì chữ số tiếp sau hàng phần trăm là 2 < 5 nên số qui tròn của a đến phầntrăm là a = 32, 59 .
* Vì chữ số tiếp sau hàng phần ng àn là 5 nên số qui tròn của a đến phần ngàn là a = 32,
593 .
Ví dụ 2 : Viết những số gần đúng sau dưới dạng chuẫn :

a) a = 2375 26 b) b = 23, 24 ±
±
0, 3
c) c = 1, 36378 0, 07 ±

Giải a) Vì sai số tuyệt đối Δ
a
< 26 không vượt quá 100 nên những chữ số từ hàng trăm trở lên là
chữ số đáng tin . Do đó viết lại a dưới dạng chuẫn theo phép qui tròn đến chữ số hàng trăm là a =
2400 .
b) Vì sai số tuyệt đối
Δ
b
< 0 , 3 không vượt quá 1 nên những chữ số từ hàng đơn vị trở lên là
chữ số đáng tin . Do đó viết lại a dưới dạng chuẫn theo phép qui tròn đến chữ số đơn vị là a = 23 .
c) Vì sai số tuyệt đối
Δ
c
< 0 , 07 không vượt quá 0, 1 nên những chữ số từ hàng phần chục trở
lên là chữ số đáng tin . Do đó viết lại a dưới dạng chuẫn theo phép qui tròn đến chữ số hàng phần
chục là c = 1, 4 .
C. Bài tập rèn luyện .
1.21. Cho A = {x ∈ R / - 5 ≤ x 2 } , B = {x ≤
∈
R / x 6} v à C = {x ≥
∈
R / 0 ≤ x 10 }.
Viết các tập hợp sau dùng kí hiệu đoạn , khoảng . . .
≤
a) A , B , C , A

∪ B C ∪
b) (B C) , ( A ) ( B) , ( A )
R
C
∪
R
C
∪
R
C
R
C
∩
( C)
R
C
c) ,
AC
A
C
∪
)CB(
C
C
∩
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
15
15
1. 22. Dùng kì hiệu khoảng , đoạn để viết lại các tập hợp sau :

a) b)
2x 12
4x 6
>
⎧
⎨
−>−
⎩
3(x 2) 12
2(x 5) 10
−
<
⎧
⎨
+
<
⎩
c)
14 5(x 1)
4(2 x) 2
<
+
⎧
⎨
−≤
⎩

d) e)
2x x 7
5x 3x2

>+
⎡
⎢
−> +
⎣
2x 1
x5
3
7x 9
3x 4
2
−
⎡
>−
⎢
⎢
+
⎢
+<
⎢
⎣

1.23. Làm tròn các số sau với độ chính xác cho trước :
a) 432, 739 với độ chính xác 0, 1 .
b) 5, 995 với độ chính xác 0, 01
c)
2
+ 3 3 với độ chính xác 0, 0001
d) (2
2

- 5 )
2
với độ chính xác 0,001
e) +10/3 với độ chính xác 0, 0001
2
3π−π
1.24. Hãy giải phương trình sau và viết nghiệm với độ chính xác đến 0, 001.
a) 3x
2
– x – 5 = 0 b) 7x
2
+ 5x – 13 = 0
1.25. Ác-xi-mét (287-212 trước C.N ) đã ước tính số
π
có giá trị trong khoảng 223/71 và
22/7 . Nếu lấy trung bình cộng hai số này làm giá trị gần đúng của
π
, thì sai số tuyệt đối
của giá trị ấy lớn nhất là bao nhiêu ?
1.26. Hãy viết những số sần đúng sau dưới dạng chuẫn các :
a) a = 4, 3617 0,35 b) b = 12, 67 ±
±
2
c) c = 3581656 ± 3000 d) d = 0,9386
±
0, 002
1.27 . Xem số hữu tỉ x có biểu diễn là số thập phân vô hạn tuần hòan 12, 343434….Hãy
viết x duới dạng p/q.
1.28. Chọn câu đúng : Tập hợp những số thực x thỏa : 3x + 2 > 4x – 5 là :
a) ( - ; - 7) b) ( - ; 7) c) (7 ; + ∞ ∞

∞
) d) ( - 7 ; + ∞ )
1.29. Chọn câu đúng : Tập hợp những số thực thỏa : (2x – 6)(x + 5) 0 là : ≥
a) [- 5 ; 3 ] b) [ - 5 ; + ) c) [3 : + ∞
∞
) d) ( - ; - 5] ∪ [3 ; +∞
∞
)
1.30. Chọn cầu đúng : Số a = 35, 67
±
0, 2 viết dưới dạng chuẫn là :
a) 36 b) 35, 6 c) 35.,69 d) 35,7

D. Hướng dẫn giải hay đáp số .
1.21. a) A = [ - 5 ; 2] , B = [6 ; +
∞
) , C = [ 0 ; 10 ]
A
∪ B C = [ - 5 ; + ∞ ) ∪
R
b)
C
(B ∪ C) = ( - ; 0) , ( A ) ∪ ( B) = R ∞
R
C
R
C
( A )
∩ ( C) = ( -
R

C
R
C
∞
; - 5 )
c) = (2 ; 10] , = [ 0 ; 6)
AC
A
C
∪
)CB(
C
C
∩
1. 22. a) (6 ; 10) b) ( - ∞ ; 0) c) (9/5 ; +
∞
)
d) ( - ; ¾) ∪ (7 ; + ∞ ) e) (- ∞
∞
; +
∞
)
1.23. a) 432,7 b) 6, 00 c) 6, 6103 d) 0,351 e) 3,7782
1.25. Giá trị gần đúng là a = (223/71 + 22/7)/2 = 3, 14185. . .

π
= 3, 14159 …
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
16

16
Suy ra : | a –
π
| < 3, 1419 – 3, 1415 = 0 , 0004 . Vậy sai số tuyệt đối
không vượt quá 0 , 0004 .
1.26. a) a = 4 b) b = 10 c) c = 3580000 d) d = 0,94
1.27. x = 12, 343434… Ù 100x = 1234,3434. . .= 1222 + 12, 343434….
Ù 100x = 1222 + x Ù 99x = 1222 Ù x = 1222/99
1.28. (b)
1.29. (d)
1.30. (a)
§4. Trắc nghiệm cuối chương
A. Câu hỏi :
1 : Phủ định của mệnh đề “
∀
n
∈
N* ,
n(n + 3) là số chẵn ” là :
a) ∀ n ∈ N*, n(n + 3) là số lẻ b) ∃ n
∈
N* , n( n + 3) là số chẵn
c) ∃ n ∈ N* , n( n + 3) là số lẻ d) Cả ba câu trên đều sai
2 : Có bao nhiêu sô nguyên n để mệnh đề sau là đúng : “ |2n + 1 | < 3 ”
a) 1 b) 2 c) 3 d) nhiều hơn 3
3 : Xét hai mệnh đề :
I : “ Điều kiện cần để tam giác ABC cân là nó có hai góc bằng nhau ”
II : “ Điều kiện đủ để tứ giác ABCD là hình vuông là nó có 4 cạnh bằng nhau ”
Mệnh đề nào là đúng ?
a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không mệnh đề nào

4 : Mệnh đề nào dưới đây là sai ?
a) ∃ x ∈ Z / 2x
2
– x – 3 = 0 b)
∃
x
∈
N/ x
2

≤
x
c) ∀ x ∈ R / x
2
+ 2x ≥ - 1 d)
∀
x
∈
R , x
2
2x
≥
5 : Miền tô đậm dưới đây biểu diễn tập hợp nào ? ( Hình 1 )
a) A
∩
B b)
C
c) d)
AUB
(A B)∩

B
(A B)
C
∩
B
A
C





A
B
C
A
B

Hình 1 Hình 2
6 : Miền tô đậm biều diễn tập hợp nào ? ( Hình 2)
a) A
∩
B C b) c) d)
∪ C)BA( ∪∩
AUC
B
C
AUBUC
B
C

7 : Cho ba tập hợp A, B, C , thế thì :
a) Nếu A ⊂ B và B C thì A C b) Nếu A B và A C thì A (B C) ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
17
17
c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai
8 : Cho ba tập hợp : A = ( - 4 ; 3) , B = { x
∈
R / 2x + 4 > 0 và x < 5}
và C = { x ∈ R / (x + 3)(x – 4) = 0 }. Chọn câu đúng nhất :
a) C ⊂ A b) C ⊂ B c) A ⊂ B d) C ⊂ AUB
9 : Cho ba tập hợp :
A : tập hợp các tam giác có 2 góc tù
B : tập hợp các tam giác có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp
C : tập hợp các số nguyên tố chia hết cho 3
Tập hợp nào là tập hợp không rỗng ?
a) Chì A và B b) Chỉ B và C c) Chỉ C và A d) Cả A, B và C
10 : Số
3
7
thuộc tập hợp nào :
a) Q b) Z
N
C
R
C
c) Q d) không thuộc tập hợp nào
R
C

11 : Cho A = ( - 5 ; 2) , B = ( - 2 ; 4) . Tập hợp là tập hợp :
AUB
B
C
a) ( - 5 ; - 2 ] b) ( – 5 ; - 2) c) (2 ; 4) d) [2 ; 4)
12 : Cho A = ( - ; 5) , B = ( 0 ; 8) và C = ( 7 ; + ∞
∞
) . Vây A
∩
B
∩
C =
a) (5 ; 7) b) ( 7 ; 8) c) ( -
∞
; +
∞
) d)
∅


B. Bảng trả lời : 1.(c) 2.(b) 3.(a) 4.(d) 5.(c) 6.(d) 7.(c) 8.(d) 9.(b) 10(b)
11(a) 12(b)

C.Hướng dẫn giải .
1 (c)
2 (b) : Ta có : - 3 < 2n + 1 < 3 Ù - 2 < n < 1 . Vậy n
∈
{ - 1; 0 }
3 (a): Chỉ (I) là đúng .
4 (d) : * (a) đúng vì phương trình 2x

2
– x – 3 = 0 có nghiệm nguyên là x = -
1
(b) đúng vì với x = 0 thì là x = 0 , mệnh đề là đúng
(c) đúng vì x
2


+ 2x + 1 = (x + 1)
2
0 , ≥
∀
x .
Vậy (d) là sai ( có thể lấy x = 1)
5 (c)
6 (d)
7 (c) : Vẽ biểu đồ Ven , ta thấy ngay cả hai phát biểu đều đúng .
8(d) : B = ( - 2 ; 5 ), C = {- 3 ; 4} . Vì A ∪ B = ( - 4 ; 5) nên C ⊂ A B :
(d) đúng
∪
Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp
www.saosangsong.com.vn
18
18
9(b) : Không có tam giác nào có hai góc tù => A =
∅

Tam giác có độ dài 3 , 4, 5 là một tam giác vuông => B ≠
∅

Vì 3
∈
C nên C ≠
∅
. Vậy (b) đúng .
10(b) : Số
3
7
là số hữu tỷ nên
3
7

∈
Z
R
C
11 (a): Ta có : A ∪ B = ( - 5 ; 4) , do đó : = (- 5 ; - 2]
AUB
B
C
12 (b) : Ta có : A ∩ B = (0 ; 5) => A
∩
B
∩
C = (7 ; 8)