giao án chương 3 đại số 11

Trờng THPT Cô Tô Giáo án Đại số và giải tích
HC Kè II
Chơng 4: Giới hạn
Ngy son:
Ngy ging:
I. Mc tiờu ca chng
Chng ny cung cp nhng kin thc m u v gii tớch, ni dung ca
chng xoay quanh vn gii hn v liờn tc. Hc sinh s c thy nhng vn
m i s khụng thc hin c trong nhiu bi toỏn nhng gii tớch s giỳp cỏc
em lm c iu ú.
II. Ni dung:
- Gii hn ca dóy s
- Gii hn ca hm s
- Hm s liờn tc
III. Yờu cu
Hc sinh nm vng cỏc khỏi nim, tớnh cht t ú ỏp dng vo lm bi tp. Hu
bn cht t ú bit ng dng thc t nõng cao nim hng say trong hc tp, cụng
vic.
Tit 49: GII HN CA DY S
I/ Mc tiờu:
Giỳp hc sinh nm c:
1. V kin thc:
+ Khỏi nim gii hn ca dóy s.
+ nh ngha gii hn dóy s
2. V k nng: Tỡm gii hn dóy s s dng nh ngha
3 .V thỏi : cn thn v chớnh xỏc.
II/ Chun b:
1. Hc sinh: ễn tp kin thc dóy s v nghiờn cu bi mi.
2. Giỏo viờn: giỏo ỏn, bng ph, phiu hc tp.
3. Phng tin: phn v bng.
III/ Phng phỏp: Gi m, vn ỏp.

IV/ Tin trỡnh bi hc:
1. ổ n định tổ chức:
2. Kim tra bi c : Cho dóy s (u
n
) vi u
n
=
n
1
. Vit cỏc s hng u
10
, u
20
, u
30
,
u
40
, u
50
,u
60
, u
70
, u
80,
u
90
, u
100

?
3. Ni dung bi mi:
Hot ng ca hc sinh Hot ng ca giỏo viờn Phn ghi bng
Thc hnh hot ng 1
n 10 20 30
u
n
0,1 0,05 0,0333
n 40 50 60
Lp bng giỏ tr ca u
n
khi
n nhn cỏc giỏ tr 10, 20,
30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
(vit u
n
di dng s thp
I. GII HN HU HN
CA DY S
1) nh ngha:
Hot ng 1
1
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
u
u
0,02
5
0,02 0,0167
n 70 80 90
u

n
0,01
4
0,012
5
0,0111
Khi n trở nên rất lớn thì
khoảng cách từ u
n
tới 0 càng
rất nhỏ.
01,0〈
n
u
10001,0
1
〉⇔〈⇔ n
n
Bắt đầu từ số hạng u
100
trở đi
thì khoảng cách từ u
n
đến 0
nhỏ hơn 0,01
Tương tự
001,0
〈
n
u

1000〉⇔ n
H/s trả lời có thể thiếu chính
xác
Đọc hiểu Ví dụ 1 (SGK)
Dãy số ở HĐ1 là dãy giảm
và bị chặn, còn dãy số ở
VD1 là dãy không tăng,
không giảm và bị chặn
Dãy số này có giới hạn là 2
Đọc hiểu Ví dụ 2 (SGK)
phân, lấy bốn chữ số thập
phân)
GV: Treo bảng phụ hình
biểu diễn (u
n
) trên trục số
Cho học sinh thảo luận và
trả lời câu a)

01,0〈
n
u
?
Ta cũng chứng minh được
rằng
n
u
n
1
=

có thể nhỏ
hơn một số dương bé tuỳ
ý, kể từ một số hạng nào
đó trở đi, nghĩa là
n
u

có thể nhỏ hơn bao nhiêu
cũng được miễn là chọn n
đủ lớn. Khi đó ta nói dãy
số (u
n
) với u
n
=
n
1
có giới
hạn là 0 khi n dần tới
dương vô cực.
Từ đó cho học sinh nêu
đ/n dãy số có giới hạn là
0.
G/v chốt lại đ/n
Giải thích thêm để học
sinh hiểu VD1. Và nhấn
mạnh: “
n
u
có thể hơn

một số dương bé tuỳ ý, kể
từ một số hạng nào đó trở
đi.
Có nhận xét gì về tính
tăng, giảm và bị chặn của
dãy số ở HĐ1 và ở VD1?
Cho dãy số (u
n
) với
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
a) Nhận xét xem khoảng cách
từ u
n
tới 0 thay đổi như thế
nào khi trở nên rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng u
n
nào
đó của dãy số thì khoảng
cách từ u
n
đến 0 nhỏ hơn
0,01? 0,001?
TLời

a) Khoảng cách từ u
n
tới 0
càng rất nhỏ.
b) Bắt đầu từ số hạng u
100
trở
đi thì khoảng cách từ u
n
đến 0
nhỏ hơn 0,01
Bắt đầu từ số hạng u
1000
trở đi
thì khoảng cách từ u
n
đến 0
nhỏ hơn 0,001
ĐỊNH NGHĨA 1
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn
là 0 khi n dần tới dương vô
cực nếu
n
u
có thể hơn một
số dương bé tuỳ ý, kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:

0lim
=
+∞→
n
n
u
hay
+∞→→ nkhiu
n
0
ĐỊNH NGHĨA 2
Ta nói dãy số (v
n
) có giới hạn
là số a (hay v
n
dần tới a) khi
+∞→n
, nếu
( )
0lim
=−
+∞→
av
n
n
Kí hiệu:
av
n
n

=
+∞→
lim
hay
+∞→→
nkhiav
n
2
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
Ta có:
*
11
Nn
n
n
u
k
n
∈∀〈=
Do đó dãy số này có giới hạn
là 0
Lúc này dãy có giới hạn là c
Vì
*
0 Nncu
n
∈∀=−
n
u
n

1
2
+=
Dãy số này có giới hạn
như thế nào?
Để giải bài toán này ta
nghiên cứu ĐN2
GV giải thích thêm sự vận
dụng Đ/n 2 trong c/m của
ví dụ 2
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
k
n
1
,
+
∈
Zk
Dãy số này có giới
hạn ntn?
Nếu u
n
= c (c là hằng số)?
2) Một vài giới hạn đặc biệt
a)
;0

1
lim =
+∞→
n
n

+
+∞→
∈∀=
Zko
n
k
n
,
1
lim
b)
0lim
=
+∞→
n
n
q
nếu
1
〈
q
c) Nếu u
n
= c (c là hằng số)

thì
ccau
n
n
n
===
+∞→+∞→
limlim
CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho
au
n
n
=
+∞→
lim
, ta viết tắt là lim u
n
=
a
4. Cñng cè
Đ/n giới hạn hữu hạn của dãy số: “|u
n
| có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý, kể
từ một số hạng nào đó trở đi”.
5. Dặn dò
Đọc trước phần còn lại.
Bài tập về nhà: Bài 1,2 (SGK-121)
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
**************************************************************
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 50: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. Mục tiêu : Qua bài học , học sinh cần nắm :
1. Kiến thức : Một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính tổng của cấp
nhân lùi vô hạn .
2. Kĩ năng : Cách tính giới hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .
3. Tư duy : Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgich . khả năng
phân tích , tổng hợp
4. Thái độ : Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học .
B. Chuẩn bị :
1. Giáo viên : Giáo án , phiếu học tập .
2. Học sinh : Chuẩn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
3. Phương tiện dạy học : bảng phụ , phấn màu .
C. Phương pháp : Vấn đáp , gợi mở , hoạt động nhóm .
3
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
D. Tiến trình bài học :
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa giới hạn dãy số , công thức các giới hạn đặc
biệt .
Chứng minh rằng :
2 1 2
lim
3 4 3
n

n
n
→∞
+
=
+

3.Bài mới :
Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Tóm tắt bài học

HS nắm các định lí .
HS trao đổi nhóm và trình
bày bài giải
a/
2
2
2 1
1
lim
n
n n
n
→+∞
− +
+
=
2
2
1 3
2

lim 2
1
1
n
n n
n
→∞
− +
=
+
b/ Chia cả tử và mẫu cho n :

2
1 3
lim
1 5
n
n
n
→+∞
+
−
=
2
1
3
3
lim
1
5

5
n
n
n
→ +∞
+
−
=
−
+ Dãy số thứ nhất có công
bội
1
2
q =
+ Dãy số thứ hai có công bội
1
3
q = −
+ Cả hai dãy số đều có công
bội q thoả :
1 1q
−〈 〈
+ HS thảo luận theo nhóm .
+ Tổng cấp nhân

1
(1 )
1
n
n

u q
S
q
−
=
−

lim 0, 1
n
q q
= 〈
+ Tính được :

1
lim
1
n
u
S S
q
= =
−

Hoạt động 1 :
GV giới thiệu các
định lí
Hoạt động 2 :
GV cho học sinh thảo
luận ,trao đổi các ví
dụ sgk

GV phát phiếu học
tập số 1
GV cho học sinh thực
hành theo nhóm trên
cơ sở các ví dụ sgk
Phương pháp giải :
+ Chia cả tử và mẫu
cho n
2
+ Áp dụng các định lí
và suy ra kết quả
Tương tự ta có cách
giải thế nào ở câu b.
Hoạt động 3:
GV giới thiệu các ví
dụ , các em có nhận
xét gì về công bội q
của
Các dãy số này .
Từ đó GV cho HS
nắm định nghĩa
+ GV cho tính
( )
1 2 3
lim
n
n
u u u u
→+∞
+ + + +

II/ Định lí về giới hạn hữu
hạn
1. Định lí 1:( Sgk )
2. Ví dụ :Tính các giới
hạn sau
a/
2
2
2 1
1
lim
n
n n
n
→+∞
− +
+
b/
2
1 3
lim
1 5
n
n
n
→+∞
+
−
( Phiếu học tập số 1 )
+ Phuơng pháp giải :

III/ Tổng cấp số nhân lùi vô
hạn.
1. Định nghĩa (sgk )
2. Các ví dụ :
+ Dãy số
1 1 1 1
, , , , ,
2 4 8 2
n

+ Dãy số
1
1 1 1 1
1, , , , ,( ) ,
3 9 27 3
n−
− − −
3. Tổng cấp nhân lùi vô hạn :

1
,( 1)
1
u
S q
q
= 〈
−
4
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
+ Các nhóm hoạt động trao

đổi , và trình bày bài giải
Câu a.
1
1 1
,
3 3
u q
= =
Nên
1
1
3
1
2
1
3
S
= =
−
Câu b.
1
1
1,
2
u q
= =−
Nên
1 2
1
3

1
2
S
= =
+
+ GV cho học nhắc
công thức
cần áp dụng .
Hoạt động 4 :
+ GV phát phiếu học
tập và cho học sinh
thảo luận theo nhóm
+ GV hướng dẫn :
Tham khảo ví dụ sgk ,
cần xác định u
1
và
công bội q
4.Ví dụ : Tính tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn .
a/
1
3
n
n
u
=
b/ Tính tổng
1
1 1 1 1

1
2 4 8 2
n
−
 
− + − + + −
 ÷
 
( Phiếu học tập số 2 )
4. Củng cố: GV dùng bảng phụ để tóm tắt bài học .
5. Dặn dò
Đọc trước phần còn lại.
Bài tập về nhà: Bài 3,4,5,6 (SGK-121+122)
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 51: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I/ Mục tiêu: Giúp học sinh nắm được:
1. Về kiến thức: Định nghĩa giới hạn vô cực và các tính chất.
2. Về kỹ năng: Biết sử dụng t/c của giới hạn vô cực vào giải toán.
3. Về thái độ: Cẩn thận, chính xác.
II/ Chuẩn bị:
1. Học sinh: Kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số và các tính chất
Soạn bài mới phần giới hạn vô cực của dãy số.
2. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ.
3. Phương tiện: Phấn và bảng.

III/ Phương pháp: Vấn đáp gợi mở.
IV/ Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
Bài 3a, b (SGK-121)
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo
viên
Phần ghi bảng
Đọc hiểu Hoạt động 2 (SGK) Giải thích thêm cho IV. Giới hạn vô cực.
5
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
U
n
cũng tăng lên vô hạn.
U
n
> 384.10
9

9
10.384
10
〉⇔
n
⇔
n >384.10
10
Vậy Chồng giấy có bề dày

lớn hơn khoảng cách từ trái
đất tới mặt trăng khi n >
384.10
10

H/s phát biểu.
H/s phát biểu.
H/s tiếp thu kiến thức mới.
Đọc hiểu ví dụ 6.
H/s tiếp thu kiến thức mới.
H/s tiếp thu kiến thức mới.
Đọc hiểu VD 7&VD8 (SGK).
h/s hiểu HĐ2.
Nhận xét gì về giá trị
u
n
khi n tăng lên vô
hạn?
Giải câu b) ntn?
Người ta c/m được
rằng u
n
=
10
n
có thể lớn
hơn một số dương bất
kỳ kể từ một số hạng
nào đó trở đi. Khi đó
dãy số (u

n
) nói trên
được gọi là dần tới
dương vô cực khi
+∞→n
Tổng quát em nào có
thể nêu được đ/n dãy
số dần tới vô cực?
Đ/n dãy số dần tới âm
vô cực?

G/v giải thích thêm
cho h/s hiểu đ/n.
G/v nhấn mạnh: ” u
n

có thể lớn hơn số
dương bất kỳ, kể từ
một số hạng nào đó
trở đi.
lim q
n
=0 với |q| < 1,
còn nếu |q| > 1 thì
sao?
Ta thừa nhận các kết
quả sau.
Ta thừa nhận định lí
sau
1. Định nghiã:

HĐ 2 Xét dãy số (u
n
), u
n
=
10
n
a) Khi n tăng lên vô hạn thì
u
n
cũng tăng lên vô hạn.
b) Để u
n
> 384.10
9
thì n>
384.10
10
tức là để u
n
lớn hơn
384.10
9
thì n > N
0
=384.10
10
.
U
n

có thể lớn hơn một số
dương bất kỳ kể từ một số
hang nào đó trở đi
Đ/N: Ta nói dãy số (u
n
) có
giới hạn +
∞
khi n
+∞→
nếu
u
n
có thể lớn hơn một số
dương bất kỳ kể từ một số
hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim u
n
=+
∞
hay
u
n
+∞→

khi n
+∞→
Dãy số (u
n
) được gọi là có

giới hạn -
∞
khi n
+∞→
nếu
lim (u
n
)= +
∞
Kí hiệu: lim u
n
=-
∞
hay u
n
−∞→

khi n
+∞→
NHẬN XÉT.
lim u
n
= +
⇔∞
lim (-u
n
) =-
∞
Ví dụ 6. Cho dãy số (u
n

) vơi
u
n
= n
2

2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim n
k
=+
∞
với k nguyên
dương.
b) lim q
n
=+
∞
nếu q >1.
3. Định lí
a) Nếu lim u
n
=a và limv
n
∞±
thì lim
n
n
v
u
=0.

b) Nếu lim u
n
=a >0, lim v
n

=0 và v
n
> 0 với mọi n thì
lim
+∞=
n
n
v
u
.
c) Nếu lim u
n
=+
∞
và
limv
n
=a >0 thì lim u
n
v
n
=+
∞
6
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch

Ta có: -2n
2
+20n+11=
n
2
(-2 +
)
2
1120
n
n
+
Vì lim n
2
=+
∞
và lim






++−
2
1120
2
n
n
=-2 < 0 nên

lim n
2

−∞=






++−
2
1120
2
n
n
Vậy lim (-2n
2
+20n +11) =-
∞
Giải thích thêm cho
h/s hiểu bài.
Giải ntn?
Gý: sử dụng định lí 2.
Giới hạn có kết quả
ntn?
VD: Tìm lim(-2n
2
+20n+11).
lim(-2n

2
+20n+11) =
lim n
2
∞−=






++−
nn
1120
2
4. C ñ ng cố:
Đ/N giới hạn vô cực: “u
n
có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số
hang nào đó trở đi
⇔
lim u
n
=+
∞
”
Các tính chất của giới hạn.
Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK.
5. Dặn dò
Bài tập về nhà: Bài 7,8 (SGK-121+122)

V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 52: LUYỆN TẬP GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I/ Mục tiêu bài day:
Củng cố cho học sinh:
1.Về kiến thức : Các kiến thức về giới hạn của dãy số
2.Về kĩ năng : Giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn.
Vận dụng các định lí về giới hạn để tính g/hạn của các dãy số
đơn giản
3.Về tư duy & thái độ : Nghiêm túc học tập,tích cực hoạt động , quan sát &
phán đoán chính xác
II/ Chuẩn bị:
Giáo viên: Giáo án , Sách giáo khoa, đồ dùng dạy học, thiết bị dạy học hiên
có
Học sinh: ôn tập lí thuyết & làm bài tập trước ở nhà
7
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
Phương pháp : Gợi mở , vấn đáp đan xen hoạt động nhóm
III/ Tiến trình bài dạy:
1/ Ổn định
2/ Kiểm tra bài cũ:
Định nghĩa dãy số có giới hạn là không & có giới hạn là a?
Nêu định lí 1 và 2?
3/ Bài mới:
Hoạt động 1: Làm BT 1 SGK/121

Hoạt động
HS
Hoạt động GV Nội dung
HS thảo
luận
n
n
U
U
U
U
2
1

8
1
2
1
4
1
2
1
2
1
3
3
2
2
1
=

==
==
=
HS xung
phong lên
chứng minh
HS :
Do
1
2
1
<=q
Nên theo
định lí
limq
n
= 0
nếu
1<q
HS thấy
được ứng
dụng thực
tế của toán
học .
Nhận xét: U
n
là khối lượng chất
phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n nên
U
1

= ? , U
2
= ? , U
n
= ?
HS chứng minh bằng quy nạp đến U
n
HS lên bảng làm bài
Giải thích vì sao
0)
2
1
lim( =
n

)(
10
1
)(
10
1
.
10
1
)(
10
1
)(10
9366
6

kgkggg ===
−
BT 1 SGK/121
a)

8
1
,
4
1
,
2
1
321
=== UUU
Bằng quy nạp ta chứng
minh được
n
n
U
2
1
=
Vậy số hạng tổng quát U
n
của dãy (U
n
) là
n
n

U
2
1
=
b) CMR ( U
n
) có giới hạn là
không
0)
2
1
lim(
2
1
lim)lim( ===
n
n
n
U
c)
)(
10
1
)(
10
1
96
kgg =
Vì
0→

n
U
nên
9
9
22
10
1
2
1
>⇔
<=
n
n
n
U
Ta cần chọn n
0
sao cho
9
102
0
>
n
Chẳng hạn
với n
0
= 36 thì 2
36
= ( 2

4
)
9

=16
9
>10
9
Nói cách khác , sau chu kì
thứ 36
( nghĩa là sau 36.24000 =
864000 năm) chúng ta
không còn lo lắng về sự độc
8
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
hại của khối lượng chất
phóng xạ còn lại
HĐ2 : Làm BT 2SGK / 121
Hoạt động HS Hoạt động GV Nội dung

HS thảo luận nhóm
HS đại diện nhóm
lên trình bày
HS nhóm khác
nhận xét & bổ sung
n
n
U
n
∀<

−
3
1
1
Chứng minh : limU
n
= 1
Cho HS thảo luận
nhóm
GV chiếu slide đáp
án bài toán n
BT 2SGK / 121
Vì
0
1
lim
3
=
n
nên
3
1
n
có thể nhỏ hơn
một số
dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi (1)
Mặt khác ta có ;
)2(
11

33
1
n
nn
U
n
∀=<
−
Từ (1) & (2) ta suy ra
1−n
U
có thể
nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý , kể
từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
lim(U
n
-1) = 0
Do đó limU
n
= 1
HĐ3 : Làm BT 3/121 SGK
Hoạt động HS Hoạt động GV Nội dung
HS thảo luận & trình
bày trên giấy Rôky
HS giải thích thêm
)(0
1
lim
*
+

+∞→
∈= Zk
n
k
n

0lim =
+∞→
n
n
q
nếu
1<q
cc
n
=
+∞→
lim
Vận dụng định lí về
giới hạn dể tìm các
giới hạn trong bài
tập 3
Phân công nhóm I
làm câu a
nhóm II làm câu b
nhóm III làm câu c
nhóm IV làm câu d
Các HS còn lại
làm ,nhận xét & bổ
sung

0)
4
3
lim( =
n
vì
1
4
3
<
BT 3/121 SGK
a)
2
2
3
1
6
lim
23
16
lim =
+
+
=
+
−
n
n
n
n

b)
2
3
1
2
51
3
lim
12
53
lim
2
2
2
2
=
+
−+
=
+
−+
n
n
n
n
nn
c)
5
)
2

1
(1
5)
4
3
(
lim
24
4.53
lim =
+
+
=
+
+
n
n
nn
nn
d)
4
3
)
2
4(
11
9
lim
24
19

lim
2
2
=
−
+−
=
−
+−
n
n
n
n
n
n
nn
HĐ4 : Làm BT 4/122SGK
Hoạt động HS Hoạt động GV Nội dung
9
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
HS thảo luận & trả lời
Đây là cấp số nhân lùi
vô hạn , có công bội
1
4
1
<=q
Nên
q
U

S
−
==
1
Slim
1
n
Tính limS
n
với
S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ +
U
n
HS vận dụng công thức
tính & trình bày tại chỗ
BT 4/122SGK
a) Theo giả thiết ta có:
n
n
U
U
U

U
4
1

4
1
4
1
4
1
.
4
1
4
1
3
3
2
2
1
=
=
==
=
b) S
n
=
3
1
4

1
1
4
1
=
−
4. Cũng cố :
Các phép biến đổi thường dùng khi tính giới hạn của dãy số?
5. Dặn dò:
Làm các bài tập còn lại ở SGK
Đọc trước bài: “Giới hạn của hàm số”.
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 53: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. Mục tiêu:
Giúp học sinh nắm chắc
1. Về kiến thức:
- Khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
2. Về kỹ năng:
-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới
hạn của hàm số.
- Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
3. Về tư duy và thái độ:

- Rèn luyện tư duy logic, tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi.
II. Chuẩn bị :
1. Giáo viên: phiếu học tập
2. Học sinh: nắm vững định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số.
III. Phương pháp dạy học:
10
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
- Gợi mở, vấn đáp.
- Tổ chức hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ ( 15’)
Tính các giới hạn sau:
(
)
2
3 1
)lim )lim 2
2
2 3 5.4
)lim )lim
3 7 1 4
n n
n
n
a b n n n
n
n
c d
n

−
+ −
+
− −
+ −
3. Bài mới
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học sinh Ghi bảng
HĐ1: Hình thành định
nghĩa
HĐTP1: Hoạt động 1
sgk.
Cho HS hoạt động theo 4
nhóm.
- Cho nhóm 1,2 trình
bày, nhóm 3,4 nhận xét.
HĐTP2: Thảo luận về
định nghĩa.
-Với tính chất trên, ta nói
hàm số
1
22
)(
2
−
−
=
x
xx

xf
Có giới hạn là 2 khi x
dần tới 1. Vậy giới hạn
của hàm số là gì ?
-Chính xác hoá định
nghĩa và ký hiệu. Lưu ý
HS khoảng K có thể là
các khoảng (a;b) ,
);(),;(),;( +∞−∞+∞−∞ ab
HĐ2:
HĐTP1: Củng cố định
nghĩa.
-Cho HS nêu tập xác
định của hàm số và
hướng dẫn HS dựa vào
định nghĩa để chứng
minh bài toán trên.
-Lưu ý HS hàm số có thể
không xác định tại
0
x

nhưng lại có thể có giới
hạn tại điểm này.
- Chia nhóm hoạt động ,
trả lời trên phiếu học
tập.
- Đại diện nhóm 1,2
trình bày, nhóm 3,4
nhận xét, bổ sung.

-Thảo luận và trình bày
phát thảo định nghĩa.
-TXĐ : D = R\
{ }
3−
Giả sử
)(
n
x
là dãy số bất
kỳ sao cho
3−≠
n
x
và
3−→
n
x
khi
+∞→n
Ta có :

6)3lim(
3
)3)(3(
lim
3
9
lim)(lim
2

−=−=
+
−+
=
+
−
=
n
n
nn
n
x
x
xx
x
x
xf
Vậy
6)(
lim
3
−=
−→
xf
x
I. Giới hạn hữu hạn của
hàm số tại một điểm:
1. Định nghĩa : (sgk)
VD1:
Cho hàm số

3
9
)(
2
+
−
=
x
x
xf
.
CMR:
6)(
lim
3
−=
−→
xf
x
11
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
HĐTP2: Cho hàm số
f(x) = x.
CMR:
0
)(
lim
0
xxf
xx

=
→
HĐ3: Giới thiệu định lý
(tương tự hoá)
-Nhắc lại định lý về giới
hạn hữu hạn của dãy số.
-Giới hạn hữu hạn của
hàm số cũng có các tính
chất tương tự như giới
hạn hữu hạn của dãy số.
HĐ4: Khắc sâu định lý.
-HS vận dụng định lý 1
để giải.
-Lưu ý HS chưa áp dụng
ngay được định lý 1 vì
0)1(lim
1
=−
→
x
x
. Với x
≠
1:

2
1
)2)(1(
1
2

2
+=
−
+−
=
−
−+
x
x
xx
x
xx
-HS dựa vào định nghĩa
và bài toán trên để
chứng minh và rút ra
nhận xét:
c
x
xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
- Trả lời.

-HS làm theo hướng dẫn
của GV.
3)2(lim
1
)2)(1(
lim
1
2
lim
1
1
2
1
=+=
−
+−
=
−
−+
→
→
→
x
x
xx
x
xx
x
x
x

●Nhận xét:
cc
xx
xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
(c: hằng số)
2.Định lý về giới hạn hữu
hạn:
Định lý 1: (sgk)
VD2: Cho hàm số
x
x
xf
2
1
)(
2
+
=
Tìm
)(

lim
3
xf
x→
.
VD3: Tính
1
2
lim
2
1
−
−+
→
x
xx
x
4. Củng cố:
Qua bài học các em cần:
- Nắm vững định nghĩa giới hạn hàm số.
- Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
5. Dặn dò:
BTVN: Bài tập 1sgk trang 132.
Đọc trước phần còn lại.
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:

12
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
Ngày giảng:
Tiết 54: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần hiểu được:
1. Về kiến thức:
+ Định nghĩa giới hạn một bên của hàm số và định lý của nó.
+ Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
2. Về kỹ năng:
+ Vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của
hàm số.
+ Biết vận dụng các định lý về giới hạn của hàm số để tính các giới hạn đơn
giản.
B. Chuẩn bị của thầy và trò:
1. Chuẩn bị của thầy: Giáo án
2. Chuẩn bị của trò: Làm bài tập ở nhà và xem trước bài mới.
C. Phương pháp dạy học:
+ Nêu vấn đề, đàm thoại.
+ Tổ chức hoạt động nhóm.
D.Tiến trình bài cũ:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ : Thông qua các hoạt động trong giờ học.
3. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi bảng
Nghe và chép bài
H: Sử dụng công thức (2)
152
)5(lim)(lim
2
2

2
2
−=−=
−=
−
−
→
→
xxf
x
x

H: Sử dụng công thức (1)
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf

x→
không tồn tại
vì
−
→2
)(lim
x
xf

≠
+
→2
)(lim
x
xf
1)(lim)(lim
1)(lim
22
2
−==⇔
−=
+−
→→
→
xfxf
xf
xx
x
Do đó cần thay số 4 bằng số
-7

GV giới thiệu giới hạn
một bên.
H: Khi
−
→ 2x
thì sử
dụng công thức nào ?
H:
−
→2
)(lim
x
xf
= ?
H: Khi
+
→ 2x
thì sử
dụng công thức nào ?
H:
+
→2
)(lim
x
xf
= ?
H: Vậy
)(lim
2
xf

x→
= ?
H: Trong biểu thức (1)
xác định hàm số
)(xfy =
ở ví dụ trên cần
thay số 4 bằng số nào để
hàm số có giới hạn là -1
khi
2→x
?
3. Giới hạn một bên:
ĐN2: SGK
ĐL2: SGK
Ví dụ: Cho hàm số



<−
≥+
=
)2(25
)1(243
)(
2
xkhix
xkhix
xf
Tìm
−

→2
)(lim
x
xf
,
+
→2
)(lim
x
xf
,
)(lim
2
xf
x→
( nếu có ).
Giải:
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x

1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf
x→
không tồn tại
vì
−
→2
)(lim
x
xf

≠
+
→2
)(lim

x
xf
II. Giới hạn hữu hạn của
hàm số tại vô cực:
ĐN 3: SGK
13
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
)(xf
dần tới 0
)(xf
dần tới 0
Hàm số trên xác định trê n
(-
∞
; 1) và trên (1; +
∞
).
HS nêu hướng giải và lên
bảng làm.
cc
x
=
±∞→
lim
0lim =
±∞→
k
x
x
c

Định lý 1 vẫn còn đúng.
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
Cho hàm số
2
1
)(
−
=
x
xf

có đồ thị như hvẽ
6
4
2
-2
-4
-5
5
H: Khi biến
x
dần tới
dương vô cực, thì
)(xf
dần tới giá trị nào ?
H: Khi biến
x
dần tới âm

vô cực, thì
)(xf
dần tới
giá trị nào ?
GV vào phần mới
H: Tìm tập xác định của
hàm số trên ?
H: Giải như thế nào ?
Với c, k là các hằng số
và k nguyên dương,
=
±∞→
c
x
lim
?
=
±∞→
k
x
x
c
lim
?
H: Khi
+∞→x
hoặc
−∞→x
thì có nhận xét
gì về định lý 1 ?

Ví dụ: Cho hàm số
1
23
)(
−
+
=
x
x
xf
. Tìm
)(lim xf
x −∞→

và
)(lim xf
x +∞→
.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên
(-
∞
; 1) và trên (1; +
∞
).
Giả sử (
n
x
) là một dãy số
bất kỳ, thoả mãn

n
x
< 1 và
∞−→
n
x
.Ta có
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
n
n
x
x

x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim =
−
+
=
−∞→−∞→
x
x
xf
xx
Giả sử (
n
x
) là một dãy số
bất kỳ, thoả mãn
n
x
> 1 và
∞+→
n
x
.
Ta có:
3

1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
n
n
x
x
x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim =

−
+
=
+∞→+∞→
x
x
xf
xx
Chú ý:
a) Với c, k là các hằng số và
k nguyên dương, ta luôn
có :

cc
x
=
±∞→
lim
;
0lim =
±∞→
k
x
x
c
.
b) Định lý 1 về giới hạn hữu
hạn của hàm số khi
0
xx →

vẫn còn đúng khi
+∞→x

hoặc
−∞→x
Ví dụ: Tìm
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
Giải: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
, ta có:
14
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
2
35
lim
2
2
+

−
+∞→
x
xx
x
=
2
2
1
3
5
lim
x
x
x
+
−
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x
xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→

+
−
= 5
HS lên bảng trình bày
H: Giải như thế nào?
H: Chia cả tử và mẫu
cho
2
x
, ta được gì?
Kết quả ?
Gọi HS lên bảng làm
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
=
2
2
1
3
5
lim

x
x
x
+
−
+∞→
=
)
2
1(lim
)
3
5(lim
2
x
x
x
x
+
−
+∞→
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x

xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+
−
=
5
01
05
=
+
−
4. Cñng cè :
Xem lại giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
5. Dặn dò:
Đọc trước phần còn lại:
E/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu:
Giúp học sinh:
1. Về kiến thức:
- Nắm được định nghĩa giới hạn vô cực.
- Nắm được các qui tắc về giới hạn vô cực.

2. Về kĩ năng:
Vận dụng các giới hạn đặc biệt và các qui tắc về giới hạn vô cực để giải một
số bài toán về giới hạn.
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: Chuẩn bị các phiếu học tập, giáo án
- Học sinh: Đọc qua nội dung bài mới.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn tại một điểm, tại ± ∞?
3. Bài mới :
Hoạt động 1: Giới hạn vô cực
HĐ CỦA GIÁO VIÊN HĐ CỦA HỌC SINH NỘI DUNG GHI BẢNG
15
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
- Giáo viên : gọi học
sinh đứng tại chỗ đọc
định nghĩa 4 SGK
- Giáo viên hướng dẫn
học sinh ghi định
nghĩa bằng kí hiệu.
-
+∞=
+∞→
)(lim xf
x
thì
?))((lim =−
+∞→
xf

x
- Giáo viên đưa đến
nhận xét.
- Học sinh đọc định
nghĩa 4
- Học sinh tiếp thu và
ghi nhớ.
- Học sinh:

−∞=−
+∞→
))((lim xf
x
- Học sinh tiếp thu và
ghi nhớ.
III. Giới hạn vô cực của hàm
số :
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định
trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới
hạn là - ∞ khi
+∞→x
nếu với
dãy số (x
n
) bất kì, x
n
> a và

+∞→
n
x
, ta có
−∞→)(
n
xf
.
Kí hiệu:
−∞=
+∞→
)(lim xf
x
hay
−∞→)(xf
khi
+∞→x
.
Nhận xét :
−∞=−⇔+∞=
+∞→+∞→
))((lim)(lim xfxf
xx
Hoạt động 2: Một vài giới hạn đắc biệt
HĐ CỦA GIÁO VIÊN HĐ CỦA HỌC SINH NỘI DUNG GHI BẢNG
- Giáo viên gọi học sinh
tính các gới hạn sau:
*
5
lim x

c +∞→
,
5
lim x
c −∞→
,
6
lim x
c −∞→
- Giáo viên đưa đến một
vài gới hạn đặc biệt.
- Học sinh lên bảng tính
các giới hạn.
- Học sinh lắng nghe và
tiếp thu
2. Một vài giới hạn đắc
biệt:
a)
+∞=
+∞→
k
x
xlim
với k
nguyên dương.
b)
−∞=
−∞→
k
x

xlim
nếu k là số
lẻ
c)
+∞=
−∞→
k
x
xlim
nếu k là số
chẵn.
Hoạt động 3: Một vài qui tắc về giới hạn vô cực
Phiếu học tập số 01:
- Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).
- Tìm giới hạn
)2(lim
3
xx
x
−
+∞→
HĐ CỦA GIÁO
VIÊN
HĐ CỦA HỌC
SINH
NỘI DUNG GHI BẢNG
- Giáo viên hướng
dẫn học sinh phát
biểu quy tắc tìm giới
hạn của tích .

- Vận dụng tìm giới
hạn ở phiếu học tập
số 01
- Học sinh tiếp thu
và ghi nhớ.
- Học sinh tính giới
hạn.
3. Một vài qui tắc về giới hạn vô
cực:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích
f(x).g(x)
Nếu
0)(lim
0
≠=
→
Lxf
xx
và
+∞=
→
)(lim
0
xg
xx

( hoặc - ∞ ) thì
)().(lim
0
xgxf

xx→
được
tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
)().(lim
0
xgxf
xx→
L > 0
+ ∞ + ∞
- ∞ - ∞
L < 0
+ ∞ - ∞
16
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
- ∞ + ∞
Phiếu học tập số 02
- Nêu nội dung quy tắc tìm giới hạn của thương.
- Xác định giới hạn
2
2
)2(
12

lim
+
+
−→
x
x
x
HĐ CỦA GIÁO
VIÊN
HĐ CỦA HỌC
SINH
NỘI DUNG GHI BẢNG
- Giáo viên hướng
dẫn học sinh phát
biểu quy tắc tìm giới
hạn thương.
- Giáo viên yêu cầu
học sinh cả lớp làm
ví dụ 7 theo nhóm.
- Gọi học sinh đại
diện cho nhóm trả
lời các kết quả cảu
mình.
- Giáo viên yêu cầu
học sinh cả lớp giải
ví dụ 8 vào giấy
nháp và gọi một học
sinh trình bày để
kiểm tra mức độ hiểu
bài của các em.

- Học sinh tiếp thu
và ghi nhớ.
- Học sinh cả lớp
giải các ví dụ ở
SGK.
- Học sinh đại diện
nhóm mình lên trình
bày kết quả.
- Học sinh trả lời
vào phiếu học tập
theo yêu cầu của câu
hỏi trong phiếu
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(
)(
xg
xf
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
Dấu
của
g(x)
)(
)(

lim
0
xg
xf
xx→
L ± ∞
Tuỳ
ý
0
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0
+ - ∞
- + ∞
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng
cho các trường hợp
−+
→→
00
, xxxx
,
−∞→+∞→ xx ,
4. Củng cố :
- Nắm các quy tắc xác định giá trị giới hạn của các hàm số tại vô cực .
- Tính các giới hạn sau:
32
23
2

2
1
52
lim;
2
22
lim;
1
54
lim
xx
xx
x
x
x
xx
xxx
−
−+
−
−+
+
−−
+∞→→−→
5. Dặn dò
- Nắm vững quy tắc tìm giới hạn của tích và thương.
- Bài tập về nhà: 4, 6 SGK.
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
17
Trờng THPT Cô Tô Giáo án Đại số và giải tích
Ngy son:
Ngy ging:
Tit 56: Luyện tập
I.Mc Tiờu:
Cng c cho hc sinh:
1. V kin thc:
nh ngha v cỏc tớnh cht v gii hn ca hm s
2. V k nng:
p dng nh ngha v cỏc tớnh cht v gii hn ca hm s lm cỏc bi
tp nh: Chng minh hm s cú gii hn ti mt im, tỡm gii hn ca cỏc hm
s.
3. V t duy :
- áp dng thnh tho nh ngha v cỏc nh lý v gii hn hm s trong
vic tỡm gii hn ca hm s
- Bit quan sỏt v phỏn oỏn chớnh xỏc
4 . Thỏi :
- Cn thn, chớnh xỏc, nghiờm tỳc, tớch cc hat ng
II. Chun B:
1. Hc sinh:
- Nm vng nh ngha v cỏc tớnh cht v gii hn ca hm s, lm bi tp
nh, v bi tp
2. Giỏo viờn:
- H thng bi tp, bi tp trc nghim v phiu hc tp, bỳt lụng
- Bng ph h thng nh ngha v cỏc tớnh cht v gii hn ca hm s
III. Phng Phỏp:
- Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm.

IV. Tin Trỡnh Bi Hc:
1. n nh lp:
2. Kim tra bi c:
H1: gi HS nờu nh ngha v gii hn hu hn ca hm s ti mt im,
gii hn mt bờn v cỏc nh lý v gii hn hu hn ca hm s.
3. Bi mi:
- Gv h thng li cỏc kin thc treo bng ph lờn v i vo bi mi.
HOT NG
GIO VIấN
HOT NG HS NI DUNG GHI BNG
H2: ỏp dng nh
ngha tỡm gii hn
cỏc hm s:
- Chia nhúm HS ( 4
nhúm)
- Phỏt phiu hc tp
cho HS.
- Quan sỏt hot ng
ca hc sinh, hng
dn khi cn thit.
Lu ý cho HS:
- HS lng nghe v tỡm hiu
nhim v.
- HS nhn phiu hc tp v
tỡm phng ỏn tr li.
- Thụng bỏo kt qu khi
hon thnh.
Phiu hc tp s 1:
p dng nh ngha tỡm gii hn
cỏc hm s sau:

a/
23
1
lim
4

+

x
x
x
b/
x
x
x

+

3
3
lim
5
phiu hc tp s 2:
cho cỏc hm s:



<
+
02

01
/
xkhix
xkhix
a



<

01
0
/
2
2
xkhix
xkhix
b
Xột tớnh gii hn ca cỏc hm s
18
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
- sử dụng định nghĩa
giới hạn hạn hữu hạn
của hàm số tại một
điểm.
- Gọi đại diện nhóm
trình bày.
- Gọi các nhóm còn
lại nhận xét.
- GV nhận xét, sữa

sai ( nếu có) và đưa
ra đáp án đúng.
HĐ3: áp dụng định lý
tìm giới hạn các hàm
số:
- Chia nhóm HS ( 4
nhóm)
- Phát phiếu học tập
cho HS.
- Quan sát hoạt động
của học sinh, hướng
dẫn khi cần thiết .
Lưu ý cho HS:
- Gọi đại diện nhóm
trình bày.
- Gọi các nhóm còn
lại nhận xét.
- GV nhận xét, sửa
sai ( nếu có) và đưa
ra đáp án đúng.
- Đại diện các nhóm lên
trình bày
- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
2 a/ xét hai dãy số:
n
b
n
a
nn

1
;
1
−==
. Ta có:
+∞→→→ nkhiba
nx
0;0
( )
11
1
limlim =








+=
+∞→+∞→
n
af
n
n
n
( )
0
2

limlim ==
+∞→
+∞→
n
bf
n
n
n
Suy ra: hàm số đã cho
không có giới hạn khi
0
→
x
.
b/ Tương tự: hàm số cũng
không có giới hạn khi
0→x

- HS lắng nghe và tìm hiểu
nhiệm vụ.
- HS nhận phiếu học tập và
tìm phương án trả lời.
- thông báo kết quả khi
hoàn thành.
- Đại diện các nhóm lên
trình bày
- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
trên khi
0→x

.
Đáp án:
1a/ TXĐ:






+∞∪






∞−=






= ;
3
2
3
2
;
3

2
\RD






+∞∈=
;
3
2
4x
giả sử (x
n
) là dãy số bất kì,
4;;
3
2
≠






+∞∈
nn
xx
và

+∞→→
nkhix
n
4
Ta có:
( )
2
1
212
14
23
1
limlim =
−
+
=
−
+
=
n
n
n
x
x
xf
Vậy
2
1
23
1

lim
4
=
−
+
→
x
x
x
b/ TXĐ:
( ) ( )
+∞∪∞−=
;33;D
,
( )
+∞∈=
;35x
Giả sử {x
n
} là dãy số bất kì,
( )
3;;3 ≠+∞∈
nn
xx
và
+∞→→ nkhix
n
5
Ta có:
( )

4
2
8
3
3
limlim −=
−
=
−
+
=
n
x
x
x
xf
Phiếu học tập số 3:
Tìm giới hạn các hàm số sau:
a/
2
4
lim
2
2
+
−
−→
x
x
x

b/
6
33
lim
6
−
−+
→
x
x
x
c/
1
72
lim
1
−
−
−
→
x
x
x
d/
1
72
lim
1
−
−

+
→
x
x
x
Đáp án:
a/
( )( )
( )
42lim
2
22
lim
22
=−=
+
+−
=
−→−→
x
x
xx
xx

( )( )
( )
( )
( )
( )
6

1
33
1
lim
336
6
lim
336
3333
lim/
66
6
=
++
=
++−
−
=
++−
++−+
=
→→
→
xxx
x
xx
xx
b
xx
x

c/Ta có:
( )
01lim
1
=−
−
→
x
x
, x -1 < 0
với mọi x<1
và
( )
0572lim
1
<−=−
−
→
x
x
19
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
Vậy:
+∞=
−
−
−
→
1
72

lim
1
x
x
x
d/ tương tự :
−∞=
−
−
+
→
1
72
lim
1
x
x
x
4. Củng cố:
Nhắc lại các công thức đã sử dụng?
5. Dặn dò:
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
TiÕt 57: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. MỤC TIÊU:

1. Kiến thứ: Khái niệm hàm số liên tục tại 1điểm ,hàm số liên tục trên 1
khoảng
2. Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng xét tính liên tục của hàm số.
3. Tư duy: Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm
số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản.
4. Thái độ: Cẩn thận, chính xác.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
GV: giáo án, phiếu học tập, bảng phụ.
HS: ôn tập các kiến thức cũ về giới hạn của hàm số.
III.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: phương pháp gợi mở, vấn đáp.
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
PHT: Cho 2 hàm số f(x) = x
2
và g(x) =
2
2
2 1
2 1 1
2 1
x khi x
khi x
x khi x

− + ≤ −

− < <



− + ≥


a, Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x
→
1
b, Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 (GV
treo bảng phụ)
§¸p ¸n: f(1) = 1 =
1
lim ( )
x
f x
→
; g(1) = 1 nhng kh«ng tån t¹i
1
lim ( )
x
g x
→
3. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của
GV
Ghi bảng
HS nêu Định nghĩa về
Thế nào là hàm số
liên tục tại 1 điểm?
I. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên

khoảng K và x
0

K∈
.Hàm số y =
20
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
hàm số liên tục tại 1 điểm

TXĐ D = R\ {3}

?)2()(lim
2
fxf
x
=
→

4)(lim
2
−=
→
xf
x
f(2) = -4
Hàm số liên tục tại x
0
= 2

+ TXĐ: D = R
+ f(1) = a
+
2)(lim
1
=
→
xf
x
+hàm số liên tục tại x
0
= 1
⇔
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
⇔
a = 2.
+ a
2≠
thì hàm số gián
đoạn tại x
0
=1

TXĐ : D = R

)0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
==
+−
→→
f(0) = 0
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx
1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf
xx

Tìm TXĐ của
hàm số?
Xét tính liên tục
của hàm số tại x
0

=
2 ta kiểm tra điều
gì?
Hãy tính
)(lim
2
xf
x→
?
f(2)=?
Kết luận gì về tính
liên tục của hàm số
tại x
0
= 2?

+ Tìm TXĐ ?
+Tính f(1)?
+Tính
?)(lim
1
xf
x→
+ a = ? thì hàm
số liên tục tại x
0
=1?
+ a = ? thì hàm số
gián đoạn tại x
0

=
1?
Tìm TXĐ?
Hàm số liên tục tại
x
0
= 0 khi nào?
Tính f(0)?
f(x) được gọi là liên tục tại x
0
nếu
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
* Hàm số y = f(x) không liên tục tại
x
0
được gọi là gián đoạn tại điểm
đó.
Ví dụ:
1.Xét tính liên tục của hàm số:
f(x)=
3
2
−x
x

tại x
0
= 2
GiÈi:
*TXĐ : D = R\{3}
*
4
32
2.2
3
2
lim)(lim
22
−=
−
=
−
=
→→
x
x
xf
xx
*f(2) =
4
32
2.2
−=
−
)2()(lim

2
fxf
x
=⇒
→
Vậy hàm số liên tục tại x
0
=2
2.Cho hàm số
f(x) =
2
1
1
1
1
x
khi x
x
a khi x

−
≠

−


=

Xét tính liên tục của hàm số tại x
0

=
1
Gi¶i:
*TXĐ: D = R
*f(1) = a
*
1
)1)(1(
lim
1
1
lim)(lim
1
2
11
−
+−
=
−
−
=
→→→
x
xx
x
x
xf
xxx
=
2)1(lim

1
=+
→
x
x
+ a =2 thì
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
Vậy hàm số liên tục tại x
0
= 1
+ a
2≠
thì
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
Vậy hàm số gián đoạn tại x
0
=
1
3. Cho hàm số f(x) =
2

1 0
0
x khi x
x khi x

+ >

≤

Xét tính liên tục của hàm số tại x =
0
Gi¶i:
*TXĐ: D = R
*f(0) = 0
*
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx

1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf

xx

21
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
+
−
→
→
≠
0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf
Hàm số không liên tục tại
x
0
= 0

HS định nghĩa tương tự
TXĐ : D = R
Tính
?)(lim
0
xf
x
−
→

Tính
?)(lim
0
xf
x
+
→
Nhận xét
)(lim
0
xf
x
−
→
và
?)(lim
0
xf
x
+
→
Kết luận gì?
Hàm số liên tục
trên nửa khoảng (a
; b ] , [a ; +
)∞
được
định nghĩa như thế
nào?
Vì

+
−
→
→
≠
0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf

Nên
)(lim
0
xf
x→
không tồn tại và do đó
hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
Định nghĩa 2:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó.
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên
(a ;b) và

)()(lim afxf
ax
=
+
→

)()(lim bfxf
bx
=
−
→

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục
trên 1 khoảng là 1 “đường liền”
trên khoảng đó.

4. Củng cố:
ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm.
ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng.
5. Dặn dò:
Đọc trước phần còn lại.
BTVN: Bài:1, 2(SGK-140+141)
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
TiÕt 58: HÀM SỐ LIÊN TỤC

I.MỤC TIÊU :
Giúp học sinh nắm chắc:
1.Kiến thức : Các định lí cơ bản.
2.Kỹ năng: Kỹ năng xét tính liên tục của hàm số.
3.Tư duy: Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm
số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản.
4. Thái độ: Cẩn thận ,chính xác.
II.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
22
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
GV: giáo án , phiếu học tập, bảng phụ.
HS: ôn tập các kiến thức cũ về giới hạn của hàm số.
III.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: phương pháp gợi mở ,vấn đáp.
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
Bài 1(SGK-140)
3. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của
GV
Ghi bảng
Tổng,hiệu ,tích ,thương các
hàm số liên tục tại 1 điểm.
TXĐ:D=R \{ 2;
π
π
k+
2
,k
Z∈

}
hàm số liên tục tại mọi điểm
x
2≠
và x
≠
π
π
k+
2
( k
)Z∈
+ x > 1 : f(x) = ax + 2
Hàm số liên tục trên (1 ; +
)∞
+ x< 1: f(x) = x
2
2
−+x
Hàm số liên tục trên (-
)1;∞
f(1) = a +2 .
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→
aaxxf
xx
.

1)1(lim)(lim
2
11
=++=
−−
→→
xxxf
xx
a =-1thì hàm số liên tục trên
R.
a
≠
-1 thì hàm số liên tục
trên
( -
);1()1; +∞∪∞
.
Các hàm đa thức
có TXĐ là gì?
Các hàm đa thức
liên tục trên R.
Tìm TXĐ?

kết luận gì về tính
liên tục của hàm
số ?
+ x > 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính
liên tục của hàm
số?

+ x< 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính
liên tục của hàm
số?
+ Xét tính liên tục
của hàm số tại x =
1?
Tính f(1)?
?)(lim
1
xf
x
−
→
?)(lim
1
xf
x
+
→
III,Một số định lí cơ bản.
ĐL 1: SGK
ĐL 2: SGK.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số
y =
2
costan)1(
−
−+
x

xxx
TXĐ : D = R \{ 2;
π
π
k+
2
,k
Z∈
}
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x
2≠
và x
≠
π
π
k+
2
( k
)Z∈
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =
2
2 1
1 1
ax khi x
x x khi x
+ ≥




+ − <


Xét tính liên tục của hàm số trên
toàn trục số.
+x >1:f(x) = ax + 2 nên hàm số
liên tục.
+x < 1: f(x) = x
1
2
−+x
nên hàm số
liên tục.
+tại x = 1:
f(1) = a +2 .
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→
aaxxf
xx
.
1)1(lim)(lim
2
11
=++=
−−
→→
xxxf

xx
a = -1 thì
)1()(lim)(lim
11
fxfxf
xx
==
−+
→→
nên hàm số liên tục tại x = 1.
a
1−≠
hàm số gián đoạn tại x = 1
Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên
R.
a
≠
-1 thì hàm số liên tục trên
( -
);1()1; +∞∪∞
.
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục
trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
23
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch

GV treo bảng phụ hình 59/
SGK và giải thích.
GV nhấn mạnh ĐL 3 được
áp dụng đẻ CM sự tồn tại

nghiệm của phương trình
trên 1khoảng.

a = -1 ; b = 1
hàm số f(x) = x
5
+ x -1
liên tục trên R nên liên tục
trên đoạn [-1;1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
f( -1) .f(1) = -3 < 0.
kết luận gì về tính
liên tục của hàm
số trên toàn trục
số?

HS quan sát hình
vẽ
a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x
5

+ x -1 liên tục ko?
Tính f (-1)?
f(1) ?
Kết luận gì về
dấu của f(-
1)f(1)?
tồn tại ít nhất 1 điểm c

∈
( a; b) sao
cho f( c) = 0.
Nói cách khác:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
nằm trong (a ; b).
Ví dụ : Chứng minh rằng phương
trình :x
5
+ x -1 có nghiệm trên(-
1;1).
Giải: Hàm số f(x) = x
5
+ x -1 liên
tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1;
1] .
f(-1) = -3
f(1) = 1
do đó f( -1) .f(1) = -3 < 0.
Vậy phương trình có ít nhất 1
nghiệm thuộc ( -1; 1).
4. Củng cố:
Một số định lí cơ bản.
5. Dặn dò:
BTVN: các bài tập SGK. Bài tập 2, 3, 4, 5, 6 (SGK-141)
V/ Rút kinh nghiệm
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 59: BÀI TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC
24
Trêng THPT C« T« Gi¸o ¸n §¹i sè vµ gi¶i tÝch
I. Mục tiêu:
Củng cố cho học sinh:
1. Về kiến thức: Khài niệm hàm số liên tục tại một điểm và vận dụng định
nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số
2. Về kĩ năng: Vận dụng định nghĩa,các tính chất trong việc xét tính liên tục
của các hàm số.
3. Về tư duy thái độ: Tích cực hoạt động, giải các bài tập trong sách giáo
khoa
II. Chuẩn bị:
Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa
Học sinh: Ôn tập lý thuyết và làm bài tập ở nhà
III. Phương pháp : Gợi mở, vấn đáp và hướng dẫn
IV. Tiến trình bài học :
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa, các định lý của hàm số liên tục ?
Vận dụng: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số:f(x) =
3
2 1x x+ −
tại
0
3x =
3. Bài mới:
HĐ CỦA HỌC SINH HĐ CỦA GIÁO VIÊN NỘI DUNG GHI BẢNG

TXD: D = R
( )
2
2
3
8
lim
lim
2
x
x
x
g x
x
→
→
=
−
−
( )
2
2
12
lim 2 4
x
x x
→
=
+ +
g (2) = 5

( )
( )
2
2
lim
x
g
g x
→
⇒ ≠

Hàm số y = g(x) không
liên tục tại
0
2x =
Học sinh trả lời
- HS vẽ đồ thị
- Dựa vào đồ thị nêu các
khoảng để hàm số y = f(x)
liên tục
-Dựa vào định lí chứng
minh hàm số liên tục trên
HD: Tìm tập xác định?
Tính
( )
2
lim
x
g x
→

và f
( 2)
rồi so sánh
HD: Thay số 5 bởi số
nào để hàm số liên tục
tại
0
2x =
tức là để
( ) ( )
x 2
limg x 2g
→
=
HD: - Vẽ đồ thị y = 3x +
2 khi
x < - 1 ( là đường
thẳng)
- Vẽ đồ thị y =
2
1x −

nếu
1x ≥ −
( là đường
parabol )
Bài tập 2:
( )
3
8

, 2
2
5 , 2
x
x
g x
x
x

−
≠

=
−


=

a/ Xét tính liên tục của
hàm số
y = g (x) tại
0
2x =
KL: Hàm số y = g(x)
không liên tục tại
0
2x =
b/ Thay số 5 bởi số 12
Bài tập 3:
( )

2
3 2 , 1
1 , 1
x x
f x
x x
+ < −

=

− ≥ −

a/ Hàm số y = f(x) liên tục
trên các khoảng
( )
; 1−∞ −

và
( )
1;− +∞
b/ -Hàm số liên tục trên
các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
25