Phương trình LG không mẫu mực

Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Naờm hoùc 2006 2007
41
BAI 3: PHNG TRINH LNG GIAC KHễNG MU MC

Trong giai toan ta thng gp mụt sụ phng trinh ma cach giai tuy ủc thu cua tng phng
trinh, co thờ goi ủo la nhng phng trinh khụng mõu mc. Mụt sụ PTLG thờ hiờn tinh khụng
mõu mc ngay dang cua chung, nhng cung co nhng phng trinh ma thoat trụng thõy rõt
binh thng nhng cach giai lai khụng mõu mc (hay cach giai khụng mõu mc thng hay
hn, gon hn cach giai mõu mc)
Trong dang phng trinh nay phng phap ủanh gia bõt ủng thc rõt thng gp. No gụm
mụt sụ dang nho sau:
I. PHNG PHAP TễNG BINH PHNG:
2 2
A = 0
A + B 0
B =0

=



Hờ qua
:
( )
(
)
( )
( )
1
n

2
i=1
f 0
f 0
f 0

f 0
i
n
x
x
x
x
=


=

=



=


Vi
(
)
f 0, 1,
i

x i n
=

Bi toỏn 1:
Giai phng trinh:

(
)
(
)
2
2 sin 1 0 1
x x xy+ + =

Giai
(
)
(
)
2
2 sin 1 0 1
x x xy+ + =

( )
2
2
sin cos 0
x xy x
+ + =

( )
( )
1 0
sin 1
1 0
sin 1
x
xy
x
xy
+ =




=




=





=

1
2
2
1
2
x
y k
x
y l



=





= +





=

= +




V
i
(
)
,k l
Z

Nhõn xet
:
ủụi vi bi toỏn nay ta dờ

nhin thõy dang cua no cho nờn no tr nờn dờ dang. Do
ủo mụt kinh nghiờm trong giai toan loai nay co le la cõn thõn nhõn dang no. Thc hiờn ủc
bc nay bai toan xem nh ủc giai khoang 7 phõn.
Bi toỏn 2:
Giai phng trinh:

4 cos 2cos 2 cos 4 7
x x x
+ + =

Giai


4 cos 2cos 2 cos 4 7
x x x
+ + =


(
)
(
)
(
)
4 cos 1 2 cos 2 2 cos 4 1 0
x x x
+ + + + + =

Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Nhóm học sinh lớp 11A1
42

1 cos 0
1 cos 2 0
1 cos 4 0
x
x
x
+ =



⇔ + =


+ =

vơ nghiêm
Vây phương trinh đa cho vơ nghiêm.
Nhân xet: Trong bài tốn nay ta đa sư dung mơt bât đang thưc quen thc cua lương
giac:
cos 1
x
≤

Mơt sơ BðT lương giac thương dung đê ươc lương:
sin 1
x
≤
,
cos 1
x
≤
,
2 2
sin cos
a x b x a b
+ ≤ +
.
Nê


u m, n la

ca

c sơ

t
ư
nhiên l
ơ
n h
ơ
n 2 thi


2 2
sin cos sin cos 1
m m
x x x x
± ≤ + =

II. PHƯƠNG PHAP ðƠI LÂP:

(Co

n co

tên go

i la


ph
ươ
ng pha

p g
ă
p nhau
ơ
c
ư
a-ch
ă
n trên ch
ă
n d
ươ
i 2 vê

):

A M
A = M
B M
B = M
A=B
≥




≤ ⇔
 




Bài tốn 1: Giai phương trinh:
5 2
cos 0
x x
+ =

Giai


5 2
cos 0
x x
+ =

2 5
cos
x x
⇔ = −

Vi
2
1 cos 1 0 1 1 1
x x x
− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Ma
[ ]
1,1 ; cos >0
2 2
x
π π
 
− ⊂ − ⇒
 
 
v
ơ
i
1 1
x
− ≤ ≤

5
cos <0
x
⇒
−
v
ơ
i
1 1
x
− ≤ ≤

Do
đ
o

ta co


2
0
x
≥
va


5
cos <0
x
−
nên ph
ươ
ng tri

nh
5 2
cos 0
x x
+ =
vơ nghiê

m.

Bài tốn 2:

Gia

i ph
ươ
ng tri

nh:
sin .sin 2 1
x x
= −


Giai

sin .sin 2 1
x x
= −

sin 1
sin 2 1
sin 1
sin 2 1
x
x
x
x
 =




= −


⇔

= −



=



1
2
1
2
2
2
4
2
2
4
x k
x k
x k
x k
π

π
π
π
π
π
π
π


= +







= − +



⇔



= − +








= +




vơ nghiê
m
Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Naờm hoùc 2006 2007
43
Nhõn xet: Bi toỏn nay co thờ xem nh mụt bai toan mõu. Bng cach lõp luõn tng t ta
giai ủc cac phng trinh co dang tng t:
sin .sin 1
sin .sin 1
ax bx
ax bx
=
=

cos .cos 1
cos .cos 1
ax bx
ax bx
=
=

Bi toỏn 3:

Giai phng trinh:
2
sin 1
x x x
= + +

Giai

Ta xet hai trng hp:
- Nờu
[ ]
1,0 ,0 sin 0
2
x x






Ma
2
1>0
x x+ +
,suy ra vụ nghiờm.
- Nờu
(
)
(
)

, 1 0,x


thi
sin 1
x


Ma
2
2
1 3 1 3
1 > 1
2 4 4 4
x x x

+ + = + + + =


, suy ra phng trinh vụ nghiờm.
Kờt luõn: phng tinh ủa cho vụ nghiờm.
Nhõn xet:
Bi toỏn nay ủa s dung mụt phng phap tim nghiờm trong ủai sụ. o la phng
phap chia khoang. Phng phap nay thng ủc dung trong cac bai toan giai phng trinh
co tri tuyờr ủụi, co miờn gia tri lụn xụn, hay trong cac bai toan bõt phng trinh.ủụi vi
phng phap nay ta chia miờn xac ủinh ra tng khoang ma trờn khoang ủo ham f khụng ủụi
dõu.
Bi toỏn 4: Giai phng trinh:

1

cot cos sin
4
n
n n
tgx gx x x

+ = +


(
)
; >1
n n

Z

Giai
iờu kiờn:
cos 0
sin 0
2
x
k
x
x

Do tg va cotg luụn cung dõu nờn
cot
1 1
cot cot 2 1
4 4 4
n
n
n
tgx gx
tgx gx tgx gx



+ = + =







Dõu ủng thc xay ra khi va vhi khi
2
1 1 1 1
cot
4 4 2 2
tgx gx tg x tgx x arctg k

= = = = +



V

i
; >1
n n

Z
ta xe

t vờ

pha

i :

2 2
2 sin cos sin cos 1
n n
n x x
= + = + =

Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Nhóm học sinh lớp 11A1
44

1 1
cot 1
4 2
n
tgx gx x arctg k
π
   
⇒ + = ⇔ = ± +
   
   


>2
n
ta co

:
2
cos cos
n
x x
≤


2
sin sin
n
x x
≤

2 2
cos sin cos sin cos sin 1
n n n n
x x x x x x
⇒ + ≤ + ≤ + =

' '
2
k
x
π
= ⇔ =
(loa

i)
Vâ

y cos sin <1,
2
n n
k
x x x
π
+ ∀ ≠ va


1
cot 1
4

n
tgx gx
+ ≥

Cho nên v
ơ
i
>2
n
ph
ươ
ng tri

nh vơ nghiê

m.,
Kê

t l

n: nghiê

m cu

a ph
ươ
ng tri

nh la


:

1
2
x arctg k
π
 
= ± +
 
 
, k
∈
Z

Nhân xet: qua bài tốn nay ta thây viêc sư dung bât đăng thưc kinh điên trong cac bai toan
giup ta tim đươc gia tri lơn nhât (hay nho nhât) cua mơt biêu thưc đê chăn no lai va đem ap
dung vao phương trinh bơi vi thơng thương điêu kiên xay ra đăng thưc khơng nhiêu giup ta co
thê giai nhanh cac phương trinh. Phương phap sư dung bât đăng thưc la mơt phương phap
kinh điên đươc sư dung rất phơ biên.
Bài tốn 5:
Giai phương trinh:

(
)
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1
x x x x x x+ =

Giai
Sư dung bât đăng thưc BCS ta co:

(
)
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1
x x x x x x+ =

cos .cos 2 .cos 3 sin .sin 2 .sin 3
x x x x x x
⇔ +
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos 3 sin 3
x x x x x x
≤ + +
(
)
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 1
x x x x x x
= + ≤ + =

(
)
( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin 3 sin sin 2 cos3 0 2
' '
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 3

x x x x x x
x x x x x x
= ≥

= ⇔

+ = +



Ta xet
(
)
3 sin 0
x x k
π
⇔ = ⇔ =
thoa (2)
Vây nghiêm cua (1) la:
,x k k
π
= ∈
Z

Nhân xet: Bài tốn nay lam ta nhơ đên cac tổng hưu han ơ bai trươc. Ta cung co thê ap dung
bât đăng thưc BCS (như Bài tốn nay) hay bât đăng thưc Cauchy đê tim đươc gia tri nho nhât
hay lơn nhât cua tơng đo.
Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Naờm hoùc 2006 2007
45

III. PHNG PHAP PHAN CHNG: (Nguyờn ly cc biờn)
1
1
1
1
1 1
A A
A=A
B B
B=B
A+B=A B








+


Bi toỏn1
: Giai phng trinh:

12 16
sin cos 1
x x
+ =

Giai

Ta co:
12 2
sin sin
x x

;

16 2
cos cos
x x



12 16
sin cos 1
x x x
+

Vi thờ
12 16
sin cos 1
x x
+ =
( )
12 2
16 2
sin sin
2

cos cos
x x
k
x k
x x


=

=

=


Z

Nhõn xet: Bi toỏn nay thuục dang phng trinh tụng quat sau:
sin cos 1
m n
x x
+ =
vi
m ,n t nhiờn.
Ta co:
(
)
( )
2
2
2 2

sin sin 1
sin sin
cos cos cos cos 2
m
m
n n
x x
x x
x x x x

=





=





T ủo ta xet 4 kha nng cho dang toan nay:
1.Nờu m,n cung chn. Khi ủo:
( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2
cos 0

cos 1
x
x
k
x k
x
x

=



=

=

=




=


Z

2. Nờ

u m,n cu

ng le

. Khi
ủ
o

:

( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2
cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x



=

=


=





= +
=





=


Z

3. Nờ

u mch

n, n le

. Khi
ủ
o

:

( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2
cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x



=


=


=

= +
=





=


Z

4. Nờ

u m le

, n ch

n. Khi
ủ
o

:
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Nhóm học sinh lớp 11A1
46

( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2
cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x
π
π
π
 =


=


=


⇔ ⇔ ∈



= +
=





= ±


Z

Bài tốn 2
: Gia

i ph
ươ
ng tri

nh:

1 1 1
2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6
x x x
+ + =
+ + −

Giai
ðiêu kiên:
(
)
( )
( )
cos 2 1 1
cos 4 1 2
cos6 1 3
x
x
x
≠ −


≠ −


≠


1 cos 2 ,1 cos 4 ,1 cos6 >0
x x x
⇒ + + −

Theo bât đăng thưc Cauchy:
( ) ( )
1 1 1
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 . 9 4
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6

x x x
x x x
 
+ + + + − + + ≥
 
+ + −
 

ðă
t
1 cos 2 1 cos 4 1 cos6
S x x x
= + + + + −


2
3 1 2sin 2 2sin 4 sin 2
x x x
= + − =


( )
2 2 2
3 1
3 sin 4 cos 4 2sin 2 2sin 4 sin 2
2 2
x x x x x
= + − + − −

( )

2
2
9 1 1
sin 4 2sin 2 cos 4
2 2 2
x x x
= − + −
( )
9
5
2
S⇒ ≤

Dâ

u
đă
ng th
ư
c xa

y ra
(
)
(
)
( )
2sin 2 1 cos 2 0 6
sin 4 2sin 2 0 sin 2 0
cos 4 0 cos 4 0

cos 4 0 7
x x
x x x
x x
x
+ =
+ = =
 

⇔ ⇔ ⇔
  
= =
=
 



Hê

ph
ươ
ng tri

nh na

y vơ nghiê

m
9
<

2
S⇒

T
ư
c la


1 1 1
>2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6
x x x
+ +
+ + −

Vâ

y ph
ươ
ng tri

nh
đ
a

cho vơ nghiê

m.