Giáo trình phương trình vi phân

NGUYỄN
MẠNH
QUÝ
GIÁO TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(Sách dành cho Cao đẳng
Sư phạm)
NHÀ
XUẤT
BẢN
ĐẠI
HỌC sư PHẠM
MỤC
LỤC
Lòi nói
đầu
7
Chương
I.
Phưong
trinh
vi
phân
cấp
một
9
§1. Mở đáu
9
1.
Sơ

lược
về
phương
trinh
vi
phân
9
2.
Các bài toán cơ
bản
của
lí
thuyết
phương
trinh
vi
phân
11
§2. Một số bài toán dán tới phương trinh vi phân (Phẩn dọc thêm) 14
1.
Bài toán
vật
rơi
tự
do
dưới
tác
dụng
của
trọng

lực
14
2.
Bài toán
nước
chảy
qua
một
cái
phễu
15
3.
Bài toán tính lãi
chổng
(lãi
gộp)
của
ngân hàng
17
\
£3.
Nhũng khái niệm cơ bán của phương trình vi phàn cấp một 19
1.
Những
khái
niệm
cơ bàn
19
2.
Ý

nghĩa
hình
học
của
phưong
trinh
vi
phân
cấp
một:
Hướng
trường
22
3.
Bài toán
ngược
của
bài toán tích phân phương
trinh
vi
phân
24
§4. Cách giải một sô dạng phương trinh vi phân ca bản
25
Ị.
Phương
trinh
giải
được
đối

với
đạo
hàm
25
2.
Phương
trinh
vi
phân vài các
biến
số
phân
li
29
dv
3.
Phưong
trinh
dạng
— -
f(ax
+
by)
31
dx
4.
Phương
trinh
thuần
nhất

—
=
f(x,y)
32
dx
5.
Phương
trinh
dạng
dy
=
fí
ax
+ by + c
ì
33
dx
^
px
+
qy
+
r
)
6.
Phương
trinh
dưới
dạng
vi

phân toàn
phần
35
§5. Phuong trinh vi phản tuyên tinh cấp một 40
1.
Nghiệm
cùa phương trình
vi
phân
tuyến
tính
thuần
nhất
40
2.
Nghiệm
của
phương trình
tuyến
tính không
thuần
nhất
40
3.
Phương pháp
hằng
số
biến
thiên
42

4.
Phường
trinh
Becnuli
43
§6. Cách giãi một số dạng phương trinh vi phân chua giải ra đạo hàm 44
1.
Phương trình không
chứa
X,
y,
tức
là có
dạng
F(y')
=
ũ
44
2.
Phương trình không
chứa
y,
tức
là có
dạng
F(x,
y')
=
0
45

3.
Phương
trinh
không
chứa
X,
tức
là có
dạng
F(y,
y')
=
ũ
46
3
4.
Phương
trinh
Lagrăng
47
5.
Phưong trình Clerõ
(Clairaut)
48
Phụ lục 1. Định li vế sự tốn tại và duy nhất của nghiệm cùa phương trinh vi phán
52
Phụ lục 2. Phương pháp tính gán đúng nghiệm của phương trình vi phân • Sơ đô
chúng minh định li tòn tại và duy nhát của nghiệm của phương trinh vi phân 58
Phụ lục 3. Điếm bất thường - Nghiệm bài thường cùa phương ÍT
inh

vi phàn
60
Phụ lục 4. Hình bao của mật họ đương cong
66
Phụ lục 5. Quỹ đạo trục giao
72
Bài tập chuông ị
75
Chuông
li.
Phương trình
vi
phân
cấp
cao
84
§1. Các khái niệm cơ bân cùa phương ưinh vi phân cấp cao 84
§2. Các phương trinh đơn giàn giải được bằng giám cấp 87
1.
Phuưng trình không chúa hàm
sô'
phải
tìm và các
dạo
hàm
của
nó
tới
cấp
k

-
1
87
2.
Phương
trinh
không
chứa
biến
số
độc
lập
90
3.
Phương
trinh
có
vế
trái là
một
đạo
hàm đúng
92
4.
Phương
trinh
có
vế
trái là hàm
số

thuần
nhất
đối
với
các
biến
số
y, y',
ý
1
"
1
94
§3. LI thuyết tống quát vé phương ừinh vi phàn tuyến tinh
95
1.
Định
nghĩa
và kí
hiệu
95
2.
Sự
bất
biến
cùa tính
tuyến
tính và tính
thuần
nhất

của
phương trình
96
3.
Tinh
tuyến
tinh
của
toán
tử
L
100
4.
Nghiệm
của
phương trình
vi
phân
tuyến
tính
thuần
nhất
100
5.
Hệ
hàm
số
phụ
thuộc
tuyến

tính và
độc
lập
tuyến
tinh
102
6.
Nghiên
cứu
thêm
vế
hệ
nghiệm
ca
bản
106
§4. Phương trình vi phấn tuyển tinh thuần nhất hệ sá hàng sò 109
1.
Phương
trinh
tuyến
tính
thuần
nhất
hệ
số
hằng
số
109
2.

Các phương
trinh
đưa
về
phương trình
tuyến
tính
hệ
số
hằng
số
(Phấn
đọc
thêm)
114
§5. Phương Ưình vi phân tuyên tinh không thuần nhất 118
1.
Nghiệm
tổng
quát
của
phương trình
vi
phân
tuyến
tinh
không
thuần
nhất
118

2.
Phương pháp
hằng
số
biến
thiên
121
§6. Phương trinh vi phàn tuyển tính không thuần nhất hệ sô hảng sớ 123
Bài tập chương li
129
Chuông
HI.
Hệ
phương trình
vi
phân
134
§1. Nhùng khái niệm cơ bán của hệ phương trinh vi phân 134
1.
Hệ
phương trình
vi
phân
134
2.
Một
số
ví
dụ
(phần

đọc
thêm)
136
4
§2. Quan hệ giũa hệ phương trình vi phân với phương trinh vi phàn cấp cao 138
1.
Đưa phương trình
vi
phân
cấp
cao
vé
hệ
phương
trinh
vi
phân
138
2.
Đưa
hệ
phưong trình
vi
phân
về
một
phương
trinh
vi
phân

cấp
cao
138
§3. Hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một. 144
1.
Dạng
vecto
của
hệ
phương
trinh
vi
phân
tuyến
tính
cấp
một
144
2.
Toán
từ
vi
phân
tuyến
tính
146
3.
Nghiệm
cùa
hệ

phương trình
vi
phân
tuyến
tính
thuần
nhất
cấp
một
147
4.
Hệ
vectơ
phụ
thuộc
tuyến
tính và
độc
lập
tuyến
tính
150
§4. Hệ phương trinh vi phấn tuyến tính thuần nhất cấp một hệ số hàng số. í 54
§5. Hệ phương trinh vi phân tuyên tính không thuần nhất cấp mật 161
1.
Nghiệm
tổng
quát
của
hệ

phương
trinh
tuyến
tinh
không
thuần
nhất
161
2.
Phương pháp
hằng
số
biến
thiên
164
Bài tập chuông HI 168
Hưởng
dẫn
và Đáp
số
bài
tập
172
Chuông I 172
Chuông li
178
Chuông UI 182
5
LỜI

NÓI
ĐẨU
Cuốn
sách này là
tập
HI
trong
bộ
giáo trình
Giải
tích
viết
theo
chương
trinh
CĐSP đào
tạo
giáo
viên
THCS
do
Bộ
Giáo
dục
và Đào
tạo
ban
hành năm
2004.
Bộ

sách
gồm:
Tập I: Phép tinh vi phân và tích phân hàm số một biến số
Tập li: Phép tinh vi phân và tích phán hàm số nhiều biền số
Tập HI: Phương trinh vi phán
Theo
chường
trình,
phương
trinh
vi
phân có
thể
xem
là môn
học
tiếp
nối
của
Giãi tích
theo
nghĩa:
bài toán tìm
nghiệm
của
phương
trinh
vi
phân
thực

chất
là bài toán mỏ
rộng
tim
nguyên
hàm.
Tuy
nhiên,
do
những
ứng
dụng
rộng
rãi
trong
khoa
học
và
kĩ
thuật,
cùng
với
những
vân
đế
mới
này
sinh
trong
lí

thuyết
cũng
như
trong
thực
hành,
phương
trinh
vi
phân
đã
phát
triển
mạnh
mẽ
trở
thành
một
môn
học
riêng.
Nội
dung
của
cuốn
sách
trinh
bày
những
kiến

thức
cơ bàn
của
lí
thuyết
phương
trinh
vi
phân,
chủ
yếu
tập
trung
vào các phương pháp
giải
các
loại
phương
trinh
vi
phân.
Tuy
nhiên,
để
sinh
viên có
thể
bao
quát
được

những
vấn
đề
lởn
đặt
ra
trong
lí
thuyết
phường
trinh
vi
phân và
thấy
được
những
ứng
dụng
to
lớn
của
phương
trinh
vi
phân,
chúng tôi
soạn
thêm
phẩn
tham

khảo
để
trinh
bày
một
số
vấn
đề
khó
của
lí
thuyết,
ví
dụ:
các
định
lí
về
sự
tổn
tại
và
duy
nhất
của
nghiệm
của
các phương trình
vi
phân,

nghiệm
bất
thường,
điểm
bất
thường
và đưa thêm vào
những
bài toán
thực
tế
rất
quen
thuộc
trong
khoa
học
và xã
hội
hiện
nay
dẫn
tói phương trình
vi
phân.
Nhũng
phần
này dành
cho
sinh

viên
tự
đọc
và có
thể
lấy
làm các
đề
tài
xêmine.
Để
sinh
viên
dễ
tiếp
thu,
các
kiến
thức
được
trình bày
theo
một
trinh
tự
hợp
li,
phù
hợp
với

sự
phát
triển
tự
nhiên,
dẫn
dắt
từ
dễ
đến
khó;
những
vấn
đề
tương
tự
được
trinh
bày
theo
một
cấu
trúc
hầu
như
song
song.
Ví
dụ:
-

Trinh
bày phương pháp
hằng
số
biến
thiên
dựa
trên cơ
sỏ
của
phép
đổi
biến
số
để
sinh
viên
thấy
được
việc
xem
các
hằng
số
tích phân
tuy
ý như là các hàm
số
lả
hoàn toàn

tự
nhiên,
có
lí.
-
Định
nghĩa
hệ
nghiệm
cơ
bản
của
phưong
trinh
vi
phân
tuyến
tính
cấp
cao
và
hệ
phương
trinh
vi
phân
tuyến
tính không
dựa
trên

hệ
nghiệm
độc
lập
tuyến
tính mà là
hệ
nghiệm
mà
tất
cả
các
nghiệm
khác
của
phương trình
hoặc
hệ
phương
trinh
được
biểu
diễn
qua
một
tổ
hợp
tuyến
tính cùa
hệ

nghiệm
đó.
-
Phần
trình bày
về
lí
thuyết
phương trình
vi
phân
tuyến
tính
cấp
một,
và
đặc
biệt
là lí
thuyết
phương
trinh
vi
phân
tuyến
tính
cấp
cao
và lí
thuyết

hệ
phưong
trinh
vi
phân
tuyến
tính
cấp
một
cả
vé
mặt
cấu
trúc
lẫn
hình
thức,
thậm
chí
cả
về
ngôn
từ,
hầu
như
song
song.
Theo
ý chúng tôi chì
cắn

làm
cho
sinh
viên
nắm
vững
lí
thuyết
phương trình
vi
phân
tuyến
tính
cấp
cao,
từ
đó
sinh
viên có
thể
tự
mình
soi
sáng lí
thuyết
phương trình
vi
phân
tuyến
tính

cấp
một
và dùng làm cơ
sở
để
tiếp
thu
li
thuyết
hệ
phương trình
vi
phân
tuyến
tính.
7
Li
thuyết
hệ
phương trình
vi
phân
tuyến
tinh
là
một
li
thuyết
khó,
bởi

vì
một
nghiệm
của
hệ
đã
bao
gồm
n
hàm
số
cán
tim,
và
ta
phải
tìm
được
n
nghiệm
như
thế
độc
lập
tuyến
tinh
thi
mới
tim
được

nghiệm
tống
quát cùa
hệ
phuong
trình
(tức
là
phải
tim
n
2
hàm
số).
Hi
vọng
với
cách
trinh
bày ờ trên và
hình
thức
trinh
bày
dưới
dạng
vectơ
biểu
diễn
bằng

ma
trận
cột
sê làm
giảm
những
khó khăn và
nhấm
lẫn
trong
quá trình
tim
nghiệm
tổng
quát
này.
Cuốn
sách
được
biên
soạn
để
phục
vụ
đôi
tượng
sinh
viên.
Để
tăng

cường
tính
thực
hành,
phát
huy
tính tích
cực
học
tập
của
sinh
viên,
tác già
đã
cô'
gắng
thể
hiện
qua
các khía
cạnh
sau
đây:
-
Khi
trình bày
mỗi
khái
niệm

hoặc
định
lí,
đều
dẫn
dắt
từ
nhiều
khía
cạnh
và
bằng
nhiều
ví
dụ
cụ
thể,
bằng
minh
hoa
hình
học
hoặc
những
bài toán
từ
thụt
tế.
Đặc
biệt,

khái
niệm
nghiệm
cùa
phuong
trinh
vi
phân là
một
khái
niệm
phứt;
tạp.
Trong
giáo trình
(đặc
biệt
trong
phẩn
phụ
lục)
đua
rất
nhiều
ví
dụ
để
phân
tích các
loại

nghiệm
của
phuong
trinh
vi
phân.
-
Phần
lớn
mỗi
chương
mục
đều
có
lời
mờ
đầu,
giới
thiệu
nhũng
vấn
đề
được
nghiên
cứu
trong
chuông
mục
hoặc
nêu lên mõi

quan
hệ
với
các vãn
đề
trong
các chuông
mục
khác.
-
Hệ
thống
bài
tập
được
soạn
thảo
kĩ
lưỡng,
phong
phú,
đa
dạng,
có đáp
số
và
hướng
dẫn
và
được

phân
loại
hợp
lí.
Tuy
nhiên
mỗi
chương
đều
có
những
bài
tập
tổng
hợp
(chưa phân
loại),
để
sinh
viên
tự
nhận
dạng
và
đề
ra
cách giãi các phương
trinh.
Các bài
tập

yêu cáu
giải
theo
nhiều
cách.
- Toàn
bộ
lí
thuyết
phương
trình,
hệ
phương
trinh
vi
phân
tuyến
tính
được
trình bày
dưới
dạng
tổng
quát.
Nhưng
khi
giảng
dạy,
theo
ý chúng

tôi,
có
thể
chi
cán làm
cho
sinh
viên
nắm
vững
lí
thuyết
phương
trinh
tuyến
tính
cấp
hai,
và
hệ
hai
phuong
trình
vi
phân
tuyến
tinh
cấp
một,
từ

đó
sinh
viên có
thể
tự
suy
luận
sang
trường
hợp
tổng
quát.
Cuốn
sách
sẽ
là tài
liệu
để
sinh
viên
sử
dụng
trong
các xêmine như
vậy.
Để
tránh
gặp
các
số

quá
to,
việc
đánh
số
các
định
nghĩa,
định
li,
ví
dụ,
phương
trình ,
chi
được
thực
hiện
trong
từng
chương,
mục
và
cũng
chỉ
làm
khi
cần
thiết.
Khi

trích
dẫn,
tác già nêu rõ
chương,
mục,
số
thứ
tự
các
định
nghĩa,
định
lí
được
nhắc
đến,
vi
dụ
định
li
3
chuông
li,
mục
1
§2 ,
trừ
trường
hợp
chúng

nằm
ngay
trong
chuông
mục
đang
xét.
Chúng tôi
xin
chân thành
cảm
ơn
GS.
TSKH.
Nguyễn
Thừa
Hợp
và
GS.
TS.
Vũ
Tuấn
đã
đọc
và
góp
nhiều
ý
kiến
sáu

sắc
cho
giáo trình
này.
Việc
viết
sách
thể
hiện
tinh
thắn
đổi
mới
trong
học
tập
còn
mới
mẻ và
nhiều
khó
khàn.
Tác già
mong
nhận
được
nhiều
ý
kiến
đóng góp

của
các nhà
khoa
học,
các
thầy,
cô giáo
trực
tiếp
giảng
dạy
và các
sinh
viên
trực
tiếp
học
tập
theo
giáo trình
này.
Tác
giả
8
CHƯƠNG
I
PHƯƠNG TRÌNH
VI
PHÂN
CÁP MỘT

•
§1.
Mỏ
ĐẦU
1.
Sơ
lược
về
phương trình
vi
phân
Trong
thực
tế, khi
nghiên
cứu các quy luật của các
hiện
tượng
tự
nhiên
và xã hội,
thông
thường
ta
không
tìm
ngay
được
mối
liên

hệ
giữa
các
đại
lượng
đang
xét,
nhưng
lại
có
thể
thiết
lập
được
mối
liên
hệ
giữa
các
đại
lượng
ấy
cùng
với
các
đạo
hàm
hoặc
vi
phân

của
chúng. Như vậy ta
nhận
được
các
phương trình
có
chứa
các hàm số
chưa
biết
và các đạo
hàm
hoặc
vi
phân
của
chúng.
Các phương trình đó
gọi
là phương trình vi phân. Các hàm
số
thoa
mãn
phương trình
vi
phân
gọi là
nghiệm của phương trình vi phân.
Việc

tìm các
nghiệm
của
phương trình
vi
phân
gọi
là
giải phương trình
vi
phân
(các
nghiệm
đó
thường
tìm
được
qua
tích phân nên còn
gọi
là lích phân phương trình vi phân).
Phương trình
vi
phân đơn
giản
nhất
có
dạng:
y'
=

f(x)
trong
đó
f(x)
là
một
hàm
số
cùa
biến
số
X,
y
là hàm
số
chua
biết
thoa
mãn phương
Mình.
Sau
đây là
một
số
phương trình
vi
phân
thường
gặp,
xuất

phát
từ
các bài toán
trong
thực
tế:
Ì)
Phương trình
chuyển
động
của
chất
điểm:
ms"
(t)
=
F[t,
sít),
s'
(t)]
trong
đó
t là
thời
gian
chuyển
động.
s(t)
là quãng
đường

đi
được
của
chất
điểm
tại
thời
điểm
t.
m
là
khối
lượng
của
chất
điểm.
s'
(t)
là
vận
tóc
của
chuyển
động.
s"
(t)
là
gia
tốc
của

chuyển
động.
F
là
một
hàm
số
của
các
biến
số
t,
s, s'
biểu
thị
lực
tác
dụng.
Đặc
biệt,
phương trình
chuyển
động
cùa
một
vật
roi
là
s"(t)
=

-g,
trong
đó
g
là
gia tốc
trọng
trường.
2)
Phương trình
dao
động
tự
do
của
con
lắc:
§
+
Ịsine = 0,
dt
2
/
9
trong
đó
t
là
thòi
gian

của dao
động
g
là
gia
tốc
trọng
trường
/ là
độ
dài
cùa
con
lắc
9(t)
là góc
lệch
của con
lắc
tại
thời
điểm
t
so
với
phương
thẳng
đứng
3)
Phương trình

điện
lượng
của
một
dòng
điện
trong
mạch
đơn:
L
ậ
+R
^
+
I
Q
= E(t)
,
dt
2
dt c
trong
đó
t
là
thời
gian
Q(t)
là
điện

lượng
trong
tụ
điện
tại
thời
điểm
t
E(t)
là
hiệu
số
điện
thế
của
dòng
điện
L
là
tụ
cảm
R
là
điện
trở
c
là
điện
dung
4)

Phương trình phân
huy của
chất
phóng
xạ:
dí
trong
đó
t
là thòi
gian
R(t) là
lượng
chất
phóng
xạ
tại
thời
điểm
t
k
là
hệ
số
phóng
xạ
5)
Phương trình
truyền
nhiệt

trong
một dây
dẫn:
ổu(x, t)
2
ổ
2
u(x,
t)
———
=
<x
^—,
õt ổx
2
trong
đó
t
là
thời
gian
truyền
nhiệt
X
là
vị
trí
của
một
điểm

thuộc
dây
dẫn (đặt
trên
một
trục
số)
u(x,
t) là
nhiệt
độ
của
dây
dẫn
tại
thời
điểm
t
và
tại
vị
trí
X.
oe
là
hệ
số
truyền
nhiệt.
6)

Phương trình
truyền
sóng
(chẳng
hạn
trên
một dây
đàn)
a
2
u(x,
t)
2
a
2
u(x,
t)
,
= a
7 •
ót
2
ổx
2
trong
đó
t là
thời
gian
truyền

sóng
X
là
vị
trí
của
điểm
nhận
sóng
truyền
tới
u(x, t) là
độ
lệch
của dây so
với
vị
trí
thăng
bằng
tại
thời
điểm
t
và tại
vị
trí
X.
10
7)

Phương trình
thế
năng:
a
2
u(x,
y)
|
d
2
u(x,
y) ^
0
ổx
2
õy
2
trong
đó
(x,
y)
là
toa
độ
của
điểm
u(x,
y)
là
thế

năng
tại
điểm
đó.
Trong các phương trình vi phân trên, hàm số cần tìm có thể phụ thuộc một biên số hay
nhiều biến
số.
Nếu
trong
một phương trình
vi
phàn,
hàm
số
cẩn
tìm là
hàm
số
của
một
biến
số độc lập thì phương trình đó
gọi
là
phương trình vi phán thường.
Còn nếu phương trình
chứa
hàm số cần tìm là hàm số của nhiều biến số độc lập thì
gọi
nó là

phương trình đạo
hàm riêng.
Phương trình đạo hàm riêng
(thường
được
gọi là phương trình toán lí)
cũng
đã
phát
triển
thành một
môn
học
riêng,
không
thuộc
phạm
vi
cùa
cuốn
sách
này.
Phương trình
vi
phân có thể
viết
dưới
dạng
đạo hàm (như các phương trình ờ trên)
hoặc

dưới
dạng
vi
phân,
ví
dụ:
(x
+
y)dx
+
(x
- y)dy
=
0,
hoặc
xdx
+
ydy
+
z(x,
y)dz(x,
y)
=
0.
Cấp cùa mội phương trình vi phân
là cấp cao
nhất
cùa đạo hàm
(hoặc
vi phàn) cùa

hàm số chưa biết
tham
gia
trong
phương trình.
Trong
các ví
dụ
ờ
trên,
ví dụ 4 là phương
trình
vi
phân
cấp
một,
các
ví
dụ
còn
lại
đều
là phương trình
vi
phân
cấp hai.
2. Các bài toán cơ bản của
lí
thuyết
phướng

trinh
vi
phân
Bài
toán
cơ
bản
cùa lí
thuyết
phương
trình
vi
phân là tìm
nghiệm
cùa
một
phương
trình
vi
phân
đã
cho
và
nghiên
cứu
các tính
chất
của
nghiệm
đó.

Có
ba
vấn
đề
cơ
bản sau
đây
đật
ra cho
việc
tìm
nghiệm
cùa
một
phương
trình
vi
phân
đã
cho:
a. Sự
lốn tại của nghiệm
Ngay
trong
bài toán tìm nguyên hàm - bài toán đơn giản
nhất
cùa phương trình vi
phân -
cũng
đã phải xét sự tổn

tại
cùa
nghiệm
(nguyên
hàm).
Ví
dụ,
trong
giải
tích ta đã
biết,
nếu
hàm
số
f(x)
liên tục
thì phương
trình
y'
=
im
có các
nghiệm
là các
nguyên
hàm
cùa hàm
số
f(x).
Nhưng nêu các phương trình

có
dạng
rộng
hơn,
chang
hạn
y'
=
f(x,
y)
thì
với
điều
kiện
nào cùa hàm
số
f,
phương trình sẽ
có
nghiệm?
Mặt
khác qua đây ta
nhận
thấy,
nghiệm
cùa phương trình
vi
phân
thường
nhận

được
li
thông qua một
hoặc
nhiều
lần tích phân. Các
nghiệm
tìm
được
bằng
con
đường
tích phân
còn
gọi
là
nghiệm
giải
được
bằng
cẩu phương.
Cẩn chú
ý
rằng
dù phương
trình
vi
phàn
cho
nghiệm

dưới
dạng
một tích phân không thể
biểu
diễn
được
dưới
dạng
hàm số
sơ
cấp
(ví
dụ
í^-í-dx
)
thì
phương
trình
đó
vẫn
được
gọi
là
giải
được
bằng
cầu phương.
J
X
Tuy nhiên cẩn

chú
ý
là ngoài
những
nghiệm
giải
được
bằng
cầu
phương,
phương trình
vi
phân vẫn có thể có
những
nghiệm
tìm
được
không
bằng
con
đường
cầu
phương.
Ví
dụ,
rõ ràng phương
trình
dx-(x-l)dy
=
0

ngoài
nghiệm
tìm
được
bằng
cầu phương
y
=
In
IX
-
11
+
c
còn
có
nghiệm
X
=
Ì
(vì chúng
thoa
mãn phương trình
vi
phân) nhưng không
nhận
được
bằng
cẩu phương.
6. Sự

duy nhất của nghiệm
Như trên
đã
thấy,
một
phương
trình
vi
phân
thường
có
rất
nhiều
nghiệm.
Nhưng nếu ta
cho thêm một
điều
kiện
phụ thì phương trình
có
thể chỉ
có
một nghiêm duy
nhất
thoa
mãn
điều
kiện
phụ
dó.

Chẳng
hạn, phương trình
Ỷ
=
2x,
có
các
nghiệm
y(x)
=
X
2
+
c,
trong
đó
c
là
một
hằng
số
tuy
ý.
Nhưng
nếu
ta
buộc
thêm
điều
kiện:

tại
X
=
2
ta
có
y(2)
=
3,
thì
ngay
lập
tức
giá trị của
hằng
số
c
được
xác
định:
3
=
2
2
+
C
hay c
=
- Ì,
do

đó
ta chỉ
có
một
nghiệm
duy
nhất
y
=
X
2
- Ì,
thoa
mãn
điều
kiện
đã
cho.
Điều
kiện
đó
gọi
là
điều
kiện
đẩu.
Cũng
như
trên,
vấn

đề
đặt
ra
là,
với
những
phương trình có
dạng
tổng
quát
hơn,
chẳng
hạn
y'
=
f(x,
y),
thì
hàm số
f
phải
thoa
mãn các
điều
kiện
nào
để
nghiệm
ứng
với

các
điều
kiện
tương
tự
cho
trước
là
duy
nhắt?
c.
Phương pháp giải một phương trình vi phân
Do tính
phức
tạp và đa
dạng
của phương trình
vi
phân, không có một cách
giải
tổng
quát
nào
áp
dụng
cho tất cả các phương trình
vi
phân. Vì thế
người
ta

phải
phân
loại
các
phương
trình
vi
phân
và
tìm
cách
giải
riêng
cho
từng
loại.
12
Ví
dụ
loại
phương
trình
vi
phân
đơn
giản
nhất
Ý
=
f(x),

có thể
giải
được
bằng con
đường
đơn
giản:
tìm nguyên
hàm.
Trong
giáo trình
ta
sẽ đưa
ra
dẩn
dẩn các
dạng
cùa phương trình
vi
phân và cách
giải
của
từng
dạng.
Đó
cũng
là
trọng
tâm
của

giáo
trình này.
Ngoài
ra, đi sâu
thêm
vào lí
thuyết
phương trình
vi
phân,
còn đặt ra
nhiều
vấn đề
nghiên
cứu
các tính
chất
cùa
nghiệm.
Chẳng
hạn:
•
Khoảng xác định của nghiệm
Ví
dụ
cho
phương
trình
thì
nghiệm

y = y(x)
của
nó (nếu có) có
được
xác
định
trẽn
toàn đoạn
[a, p]
không?
Qua
định
lí
tồn
tại
của
nghiệm
la sẽ
thấy
nghiệm
đó
chi
chắc
chắn
xác
định
trẽn
một
khoảng
chứa

trong
đoạn
[oe,
P),
mà
khoảng
đó
lại
rít
khó xác
định
trong
thực
hành.
» Sự
phụ thuộc liên tục cửa nghiệm vào điêu kiện dấu
Như trên
đã
nói,
ứng
với
một
điều
kiện
đầu
dã cho, ta
có
thể
xác
định

một
nghiệm
duy
nhất của
phương trình'*'. Vấn để
là nếu
thay
đổi
điều
kiện
đẩu
thì
các
nghiệm
tương
ứng
quan
hệ
với
nhau
như
thí
nào?
Có
thể
chứng
minh
được
rằng,
trong

một
số
điều
kiện
nhất
định,
nghiệm
y
=
y(x,
Xo,
y
0
) phụ
thuộc
liên tục
vào
điều
kiện
đẩu
Xo,
y
0
.
'Sựphụ
thuộc liên tục cùa nghiệm vào tham
số
Rõ ràng
nghiệm
của

phương
trình
Cũng
có thể
chứng
minh
được
rằng,
trong
một
số
điểu
kiện
nhất
định
của
hàm
số f,
nghiệm
đó
phụ
thuộc
liên tục
vào
X.
'Tính
khả vi của nghiệm
Có
thể
chứng

minh
rằng:
Nếu
trong
lân cận
của
điểm
(x„,
y
0
)
hàm
số
f(x,
y)
có đạo hàm liên
tục
đến cấp
k
thì
nghiệm
y(x)
thoa
mãn
điều
kiện
đầu
(Xo,
y
0

) của
phương
trình
'*' Như vậy, nghiệm đó phụ thuộc vào điều kiên đáu và có thê viết dưới dạng y = y(x. x,„ y„).
y'
=
f(x,
y),
trong
đó
hàm số
f(x,
y) xác
định
trẽn
hình
chữ
nhật
D
ý'
=
f(x,
y,
Xì,
trong
đó X
e ì c
R là
một
tham

số,
cũng
phụ
thuộc
tham
số
X:
y
=
y(x,
X).
13
y'
=
f(x,
y)
có
đạo
hàm
liên tục
đến
cấp
k
+
Ì
trong
một
lân
cận của
điểm

X,,.
Và còn
rất
nhiều
vấn để
khác
nữa
Tuy nhiên, việc nghiên cứu
các
tính
chất của
nghiệm
của
một phương trình vi phán
xuất
phát
từ các dữ
kiện
đã
cho
trong
phương trình là một bài toán
khó và,
do hạn chế
cùa
chương trình, không
được
xét
đến
trong

giáo
trình này.
§2. MỘT SÔ BÀI TOÁN DAN TỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(PHẦN
ĐỌC THÊM)
Trong
mục này ta
đưa
ra
một sô
bài toán
thuộc
các lĩnh vực khác
nhau
dẩn
tới
phương
trình
vi
phân.
Qua
đó
bạn
đọc
thây
được
những
ứng
dụng
rộng

rãi
cùa
phương
trình
vi
phân
và
thấy
được
cách thiết lặp phương trình
vi
phân
xuất
phát
từ các
bài toán
thực
tế.
Thòng
thường
người
ta
dựa
vào các
định
luật
đã
được
xác lập
qua

thực
nghiệm.
1.
Bài toán vật rơi tự do
dưới
tác dụng của
trọng
lực
Giả
sử
một
vật có
khối
lượng
m,
đặt
ờ độ
cao
h và
được
thà để rơi
tự
do
trong
không
gian
dưới
tác
dụng
của

trọng
lực. Hãy
tìm quy luật
cùa
chuyển
động
rơi.
Theo
định
luật Niutơn
(Isaac
Nevvton,
1642 -
1727),
chuyển
động
cùa một
chất
điểm
có
khôi
lượng
m
dưới
tác
dụng
của
lực
F
tuân

theo
phương
trình
mw
=
F,
(Ì)
trong
đó
w
là
gia
tốc
của
chuyển
động.
d
2
s
Trong
trường
hợp này,
w
=
—f,
trong
đó
s(t)
là độ
cao của

vật rơi
tai
thời điềm
t
và
dt
lực
tác
dụng
F
là
tổng
của
các
lực:
-
Trọng
lực
hướng
từ
trên
xuống
dưới
có độ lớn mg,
trong
đó
g
là
gia tốc
trọng

trường.
- Lực càn
của
không
khí
hướng
từ
dưới
lên
trên;
lực
này,
theo
thực
nghiệm,
ti
lệ với
vận tốc rơi cùa vật.
Do đó,
nêu đặt
hệ
chuyển
động
trên
một
trục
hướng
từ
dưới
lẽn

trên thì
ds
F
=
-mg
+
k
—,
(2)
dí
ds .
trong
đó
k
là
hê số ma
sát
cùa
không
khí
và
— là
vân
tốc cùa chuyên đông.
dt
Vậy
phương trình
chuyển
động
có

dạng:
_
d
:
s , ds
m—Ỷ
=
-mg
+
k—-
(3)
dt
2
dt
14
Nếu
không tính
tới lực cản của
không
khí (tức là xét
chuyển động rơi trong
điều
kiện
lí tưởng: rơi trong
chân
không) thì phương trình
chuyển
động
sẽ là
— = -g (4)

di
2
g w
ơ
đây ta thấy quy
luật
chuyển động
không
còn phụ
thuộc
khối
lượng
cùa vật.
Trong
điều
kiện
này nêu đật
vật
ở
độ
cao
lOOm.
Hãy
tính
xem
sau
bao
lâu vật rơi
tới
đất.

Từ
phương
trình (4) ta
được:
ds
dt
=
-gt
+
c,
Hình 1
ds
ds
trong
đó
—
chỉ tốc
độ
rơi.
Nhưng vì là
chuyển
động
rơi
tư
do
(khi
t
=
0,
— =0)

nên
ta
được:
dt dt
0
=
-g.o
+
c
hay
c
=
0
Do
đó
ds
dt
=
-gt
(5)
Tiếp
tục tích
phân
một lần
nữa ta
được:
s(t)
=
-ịgt
2

+c,
nếu
chọn
điểm
rơi
của
vật làm
gốc
toa
độ
cùa
trục
(tức
là
khi
t
=
0
thì
s
=
100) thì:
s(0) = g.o + c = 100 hay c = 100.
Vậy sít)
=
-—gt
2
+
100.
Khi

s
=
0
thì
vật rơi
tới
đất;
vậy
thời
gian
vật rơi
tới
đất
được
tính
từ
phương
trình:
0
=
Ì
gt
2
+
100
hay
t
=
*
4,52

giây.
2.
Bài toán
nước
chảy qua
một cái
phễu
Già sử
có
một cái
phều
đựng
đầy
nước,
chiều
cao
lOcm,
góc đáy
là
60" và
lỗ
đáy
có
diện
tích
0,5cm
2
,
lúc đầu
đóng

nắp
lỗ đáy.
Tìm quy
luật
nước chảy
khi mờ
nắp
lỗ
đáy.
Trong
thời
gian
bao
lâu thì
nước
trong
phều
chảy
hết?
15
Theo
quy
luật thúy lực,
nước
chảy
tự
do
từ
một
lỗ

hổng
nằm
ờ
độ
sâu h
(so
với
mưc
nước
trên
bề
mặt)
có
vận
tốc
là:
v
=
0,6,/2gh
(cm/s),
trong
đó
g
là
gia tốc
trọng
trường.
Gọi
h(t) là độ cao của mực nước trong phễu tại
thời

điểm
t.
Vân
tốc
nước
chảy
qua
lỗ
đáy
thay
đổi
theo
h,
nhưng
trong
quãng thời
gian
khá bé
dt
có thể
xem
như không
đổi.
Ta hãy
tính
thể
tích
nước chảy ra
khỏi
phễu trong khoảng

thời
gian
từ
thời
điểm
t
đến
t
+
dt
theo
hai cách:
-
Lượng
nước
chảy
qua
lỗ
đáy
theo
vận tốc
V
trong
thời
gian
đó.
Trong
thời
gian
này dòng

nước
chuyển
động
được
một
độ
dài là vdt và
ta
xem
lượng
nước
chảy
qua
lỗ
đáy
tạo
thành một cột
nước
hình trụ có chiều
cao
là vdt
và
diện tích
đáy
là
0,5cm
2
,
do
đó,

có
thể
tích là
V,
=
0,5vdt
=
0,3^gĩĩdt.
-
Lượng
nước rút trong phễu một độ cao dh trong
khoảng
thời
gian
dt.
Có
thể xem
lượng
nước
đó có
thể
tích là
thể tích
của
một hình trụ có chiều
cao
là dh, bán kính đáy
ĩ
(xem hình
vẽ)

là bán kính
của
mặt
bằng
của mực
nước
tại
độ
cao
h.
Theo
các
dữ
kiện
đã
cho,
bán
kính
đó
là:
lĩ,
r
=
htg30°
=
—h.
Vậy thể tích nước rút đi trong phễu là
Ì
=
TtrMh

=
;-7th
z
dh
.
Đương nhiên
lượng
nước
rút đi
trong
phễu
và
lượng
nước
chảy
ra
qua
lỗ
đáy
phải cân
bằng
với
nhau:
Do
đó
ta
có:
v,
+
v

2
=
0.
0,3V2gh dt+
-h
z
đh
=0,
hay
dt
=
,h
dh.
0.9V2g
Như
vậy
ta
lập
được
một phương trình
vi
phân liên
hệ
giữa
thời
gian
nước
chày với
16
độ cao

h
cùa mực
nước
trong
phễu.
Dê
dàng tìm
được
nghiệm
của phương trình
vi
phân
này
là:
#
t
=
2 I „ ỉ
:
h
2
+c*-0,0314.
h
2
+c.
0,y2g 5
Ta
lại
biết,
tại

thời điểm lúc đầu (t
=
0) mực
nước
trong
phễu
có
độ
cao là
h
=
lOcm.
Ta
có
0«-0,0314
.
lo
2
+
c,
hay
c*0,0314.
lo
2
.
( ị
Vậy
t
«0,0314
lo

2
-h
2
Khi
nước
rút hết thì
h
=
0,
do
đó
thời
gian
để
nước
rút hết
trong
phẻu
là:
5
t
«0,0314
.
10* «10
(giây).
3. Bài toán tính lãi
chống
(lãi gộp) của ngân hàng
Thông
thường

các ngân
hàng có
luật tính lãi
như
sau.
Giả
sử
có
một
số
tiền
nào đó
gùi
ngân hàng
theo
một
kì hạn
nhất
định.
Hết
thời
hạn
đó,
nếu
còn
tiếp
tục
gửi
thì
số

lãi
hường
trong
kì hạn
trước
được
gộp vào vốn và
tiền
lãi
trong
kì hạn sau
được
tính
theo
vốn mới.
Tiền
lãi
được
tính
theo
cách
đó
gọi
là
lãi chồng
(hoặc
lãi gộp).
Vấn
đề
là

cẩn
phải
tính
tiền
vốn
sau
mỗi
kì
hạn
gửi.
Giả
sử
có
số
tiền
gửi
lúc đầu là
So
theo
tỉ
lệ
lãi hàng năm là 6%.
Gọi
S(t) là tiên vốn
sau
thời
gian
t
năm
được

hưởng
lãi
chồng.
Nếu
lãi
chổng
tính
theo
kì
hạn hàng
năm thì
sau
t
năm
tiền
vốn
trở
thành:
S(t)
=
So(l
+0,06)'
(1)
Nếu
tính lãi
chồng
theo
kì
hạn hai
lẩn

trong
một
năm
thì
\2l
Sít)
=
s„
1
+
0,06
1
+
0,06
=
s„
1
+
0,06
(2)
Tổng
quát, nếu tính
lãi
chổng
k
lẩn
trong
một
năm
thì

0,06^
S(t)= s„
1
+
(3)
Vấn
đề
đặt ra là nếu tính lãi
chồng
liên tục thì số
vốn
sau thời
gian
t là bao nhiêu? Ở
17
đây
ta
phải
sử
dụng
phương pháp
vi
phân:
tìm
quan
hệ
phụ
thuộc
giữa
sự

biến
dổi
(rất nhò)
AS
của
tiền
vốn
trong
khoảng
thời
gian
Át
rất
nhò.
Trong
khoảng
thời
gian
này
có
thể xem
tiền vốn
S(t)
không
đổi.
Khi
đó rõ
ràng
tiền
lãi

AS
tì
lệ
với
lãi
suất,
tiền vón và
thời
gian.
do
đó
ta
được
hay
AS
=
0,06.
S(t).
Át
AS
Át
=
0,06.S(t)
(4)
Cho
Át
-»
0
ta
được:

S'(t)
=
0,06.S(t)
Đó chính
là
quỵ luật
tăng
trưởng
của
vốn khi
tính
lãi
chồng
liên
tục.
Dễ
dàng
thấy
được
nghiệm
cùa
phương trình
vi
phân
này là
Sự)
=
Ce
0061
,

trong
đó
c
là
một
hằng
số.
Vì
lúc đẩu
(tức
là
tại
thời
điểm
t
=
0) số
vốn
là
So,
nén
ta
có:
So
=
C.
e
0
060
hayC

=
S„.
Vậy
ta
được
S(t)
=
So
é
0 061
Chú ý
Việc
tính
lãi
liên
tục
cũng
có thể xem
như kì
hạn
tính
lãi
tăng
lên vô hạn. Vì thế
khi
cho
k
-»
00
thì

công
thức
(3) trở
thành công
thức
(5).
Sít)
Bảng
sau
đây
cho
biết
tỉ
lệ
theo
năm
nếu
tính
lãi
chổng
từng
quý,
từng
ngày
hoặc
S(I
liên
tục.
(5)
s

^0
Từng
quý
Từng
ngày Liên
tục
(k
=
4)
(k
=
365)
(k->00)
Năm
(k->00)
1
1,0614
1,0618
1,0618
2
1,1265
1,1275
1,1275
5
1,3469
1,3498
1,3499
10
1,8140
1,8220

1,8221
20
3,2907
3,3198
3,3201
18
s
So
Năm
Từng
quý
(k
=
4)
Từng
ngày
(k
=
365)
Liên
tục
(k-•<*))
40
10,828
11,021
11,023
80
117,26 121,46
121,51
Qua

đó
ta
thấy:
tần
suất
tính
lãi
không
đem
lại
nhiều
hiệu
quả (vì tỉ lệ lãi
chênh
nhau
rất
ít),
lãi
chổng
liên
tục gắn
như trùng
với
lãi
chồng
từng
ngày.
Hiệu
quả cho vay
lãi sẽ tốt hơn nếu có số

vốn
lớn
hơn
hoặc
lãi
suất
cao hơn.
§3.
NHỮNG
KHÁI
NIỆM
cơ
BẢN
CỦA
PHƯƠNG TRÌNH
VI
PHÂN
CẤP
MỘT
1.
Những
khái
niệm
cơ bản
Phương trình vi phân cấp mội là
một
phương trình liên
hệ
giữa
hàm

số
cẩn
tìm và
đạo
hàm
của
nó
với
biến
số
độc
lập
của
hàm
số.
Nó có
dạng
tổng
quát
F(x,y,y')
=
0
(1)
trọng
đó
F
là hàm
số
của ba
biến

số.
Thông
thường
hàm
số
F
được
giả
thiết
là liên
tục.
Đặc
biệt
hàm
số
đó có
thể
không
phụ
thuộc
X
hoặc
y,
nhưng
nhất
thiết
phải
chứa
y'.
Nếu

phương trình
(1)
xác
định
ý'
như là hàm
số
ẩn'*
1
cùa các
biến
số
X,
y
thì
nó có
thế
viết
dưới
dạng:
ý'
=
f(x,
y)
(2)
và
gọi
là phương trình đã giải ra đạo hàm.
Đặc
biệt

hàm
số
này có
thể
chỉ
chứa
một
trong
hai
biến
số
X,
y.
Để
đơn
giản,
trong
các
vấn
đề
về
lí
thuyết,
ta chỉ nói
tới
phương trình
(2),
nghiệm cùa phương trình vi phán (2)
là
một hàm số y = y(x) có đạo hàm và

thoa
mãn
phương
trình,
tức là:
y'(x)
=
f(x,
y(x))
Thông
thường,
nghiệm
của
phương trình tìm
được
dưới
dạng
hàm
số
ẩn
<p(x,
y)
=
0
và
gọi
là tích phân cùa phương trình.
(*)
Như
đã

biết:
Nếu
(rong
một
lân
cận
của
điểm
(x
0
,
y„,
y'„)
hàm
số
F
xác
dinh
và liên
tục
cùng
với
các
đạo
hàm
riêng
của
nó và
thoa
mãn các

điểu
kiện:
F(x„,
¥»
y'o)
=
0,
và
F'
y
.(x
0
,
y„,
y'„)
*
0
thì phương trình (Ì) xác
định
một
hàm
số
(2)
liên
tục
trong
một
lân
cận
của

điếm
(x„,
y
0
)
và
y'o
=
f(*0.
yj
19
Sự
tổn
tại
và
duy
nhất
cùa
nghiệm
được
giới
thiệu
qua
định
lí
sau
đây.
Trong
phẩn
phụ

lục ì sẽ
phân
tích
kĩ
thêm vé
định
lí
này.
Định lí vé sụ tồn tại và duy nhất cùa nghiệm của phương trình vi phân cấp một
Giả
sử
cho
phương
trình
vi
phân
cấp
một
(đã
giải
ra
đạo
hàm)
y'
=
f(x,y),
(2)
Si
trong
đó

f(x,
y)
là
hàm số
liên
túc cùng
với
đao
hàm
— cùa nó
trẽn
hình
chữ
nhát
õy
„ ỉa
<
X
<
p
Rị
chứa
điếm
(x„.
v„).
Ịy<y<ô -
Khi
đó có duy
nhất
một

nghiệm
y
=
(p(x) cùa phương trình (2) xác
định
và liên tục
trên
một
đoạn
nào đó [x„
-
h,
X(1
+
h]
c [a,
(3]
thoa
mãn điểu
kiện
y
=
y„
khi
X
=
Xo
(3)
Điều
kiện

(3)
gọi
là điểu kiện đàu và còn
được
viết
dưới
các
dạng:
y(x„)
=
y„
hay y|
5(i
=y
0
.
Nghiệm thoa mãn điều kiện đẩu gọi là nghiệm riêng của phương trình.
Về
ý
nghĩa
hình học, cho một
điều
kiện
đầu tức là cho một
điếm
xác
định
trên mặt
phảng
toa độ xOy.

Do
đó
nghiệm
riêng của phương trình là nghiêm mà đồ thị của nó đi
qua
điểm
đã
cho.
Đồ
thị
của
nghiệm
gọi
là đường cong lích phán.
Bài toán tìm
nghiệm
của phương trình
vi
phân
thoa
mãn một
điều
kiện
đầu gọi là
bài
toán đâu
hay
bài toán Côsi.
Qua
định

lí ta
thấy,
một phương trình vi phân
thường
có rất
nhiều
nghiệm.
Các
nghiệm
đó phụ
thuộc
một
hằng
số tuy
ý
c
=
y„
là giá trị cùa hàm số
tại
một
điểm
Xo
nào
đó. Điều
đó
cũng
dễ
thấy
khi ta

giải,
chẳng
hạn, phương trình
vi
phân đơn giản
nhất
(với
f(x)
là
hàm
số liên tục)
ý'
=
f(x).
Quả
vậy,
nghiệm
thoa
mãn điều
kiện
y(x,,)
=
y„
cùa phương trình này
có
thể
biếu diễn
bằng
tích phân:
X

y= Ịf(x)dx
+
y„
»11
Nghiệm
cùa
phương
trình
này
cũng
còn
được
xác
định
qua nguyên
hàm
y = (p(x,C)= Jf(x)dx + C (4)
20
trong
đó
c là
một
hằng
số tuy ý.
Trong
trường
hợp này, nếu
muốn
xác
định

nghiệm
riêng
thoa
mãn
diều
kiện
đẩu y(x„)
=
y„
thì
ta
phải
tìm giá
trị
cùa
hằng
số
c
thoa
mãn
phương trình:
y„
=
cp(x,„
C)
(5)
Như
vậy
nghiệm
của một

phương
trình
vi
phân (cấp một) là một
họ
hàm
số
phụ
thuộc
một
hằng
số
tuy
ý
c
và
gọi
là
nghiệm lổng quát:
y
=
<p(x,
C)
(4')
Tuy nhiên
trong
thực
hành
nghiệm
đó

thường
tìm
được
dưới
dạng
ẩn:
<p(x,
y,
C)
=
0
(6)
Để
phân
biệt
người
ta còn
gọi
(6)
là tích phán lổng quái
của
phương
trình.
Từ
tích phân
tổng
quát của phương trình,
muốn
tìm
nghiệm

riêng
thoa
mãn
điều
kiện
đầu
y(X(i)
=
y„
ta
phải
tìm
giá trị của
hằng
số
c
từ
phương
trình:
<p(x„,
y,„
C)
=
0
Nghiệm
lổng
quát cùa phương trình vi phân
thường
tìm
dược

bằng
con
dường
tích
phân (cầu phương). Tuy nhiên cần chú
ý
rạng
ngoài
nghiệm
tổng
quát, phương trình vi
phân còn có thể có
nghiệm
tìm
dược
không
bằng
con
dường
tích phân (xem ví
dụ
4
dưới
đây,
ví
dụ
2
trong
2
§4 và

đặc
biệt
trong
phụ
lục
về
nghiệm
bất
thường).
Ví đụi.
Giải
phương
trình:
X-
+
1
Ta
có
nghiệm
tổng
quát
là
xdx
y=
f-ĩ*L
+
C
=
lnx/TTĨ
+

C.
V
+1
Với
điếu
kiện
đầu
y(0)
=
Ì la
xác
định
được
Co
=
Ì.
Do
dó
nghiệm
riêng
úng
với
diều
kiện
đầu
ở trên
là:
y=
lnVx
2

+7
+
1.
Ví
dụ 2.
Tìm
nghiệm
của
phương
trình:
xdx
+
ydy
=
0.
Giả
sử
y
=
y(x)
là
nghiệm
của
phương
trình, ta
có:
xdx
+
ydy
=

xdx
+y(x)y'(x)dx
=
[x
+
y(x)y'(x)]dx
=
0.
21
Từ
đó:
|[x
+
y(x)y'(x)]dx=
Jxdx+
Jydy
=
x
2
+y
2
=
c.
Ta
nhận
thấy
ờ
đây
c
phải

là
hằng
số
dương
nên có thể
thay
bằng
c
=
a
2
.
ở
đây
ta
nhận
được
nghiệm
tổng
quát
cùa
phương trình
dưới
dạng
ẩn
của y.
Trong
trường
hợp
này dễ

dàng
giải
ra y:
y
=
±Va
2
-X
2
Tuy nhiên
trong
nhiều
trường
hợp
tìm
nghiệm
y
dưới
dạng
hiện rất
khó,
ví
dụ:
Ví
dụ
3.
Giải
phương trình:
sinxdx
+

ye
y
dy
=
0
Cũng
giải
bằng
cách trên
ta
được
tích
phân
tổng
quát:
Ịsinxdx
+
|ye
>
dy
=
-cosx
+
(y
-
l)e
y
=
c
Ví

dạ
4.
Tìm
nghiệm
cùa
phương
trình
vi
phân:
y
2
đx
+
2dy
=
0
Nếu
y
*
0
thì
phương
trình
có thể
viết
dưới
dạng:
2
dx
+

-ydy
=
0
y
Cũng
bằng
cách trên ta
tìm
được
tích
phân
tổng
quát:
fdx+
f-=-dy
=
x
=
C'
'
V y
Ngoài ra ta
còn có
nghiệm
y
=
0, vì nó
cũng
thoa
mãn

phương trình
vi
phân.
2.
Ý
nghĩa
hình học
của
phướng
trình
vi
phân
cấp
một:
Hướng
trường
Phương trình
vi
phân y'
= f(x, y)
thiết
lập sự phụ
thuộc
giữa
toa
đô một
điểm
và
hệ
số

góc
của
tiếp
tuyến
của
đường
cong
tích phàn tại điểm đó.
Do
đó nó xấc
định
một
trường
các
hướng
-
gọi
là
hướng trường
và bài toán tích phân phương trình
vi
phân trờ
thành:
tìm
các
đường
cong
mà
hướng
cùa tiếp

tuyến
cùa chúng tại
mỗi
điểm là trùng
với
hướng
cùa
trường
đó.
Cách
tiếp
cận
đó
giúp
ta
một
phương pháp
tìm
gần
đúng
đường
cong
tích phân.
Ví dụi.
Cho
phương
trình
22
Tại
mỗi điểm (x, y)

*
(0, 0), hệ
số
góc
của
tiếp tuyến cùa dường
cong
tích phân cẩn
y
tìm
là
—,
tức là
trùng với hướng
của
đường
X
thẳng
xuất phát
từ
gốc
toa
độ
đến điểm (x, y)
(hình
3).
Như
vậy rõ
ràng
các

đường
cong
tích phân
nằm
trong
họ các
đường
thẳng
y
=
Cx,
trong
đó
c
là
một
hằng
số
tuy ý.
Vì
X
= 0 phương trình không xác định
nên
trục
Oy
không
nằm
trong
họ
đường

cong
này.
Ví
dụ 2.
Với
phương
trình
dy _
X
dx
y'
ta
nhận
thấy:
tại
mỗi
điểm (x,
y)
*
(0,
0),
tích
số của hệ số
góc
cùa
tiếp tuyến
của
đường
cong
tích phân

cùa
phương trình
này
(bằng
X
——)
với
hệ số
góc
của
tiếp tuyến cùa đường
y
cong
tích
phân
của
phương
trình
trong
ví
dụ
Ì
y
(bang
—) là
X
1.
Có
nghĩa
là các

hướng
\
v
\
-
„
v
o
,
y
/
ị
'
ó-
ít
"
ề
^ *
-
" "'ỉ
/
/
/
\
-ý
/
%
Hình
3
/

ý
f
r
n
trường xác định bởi các phương trình
vi
phân
này
là
trực
giao
vói
nhau
(hình 4).
Từ đó
suy ra
các đường tròn có tâm tại
gốc toa
độ:
x
2
+
y
2
=
ơ
là các
đường
cong
tích

phân cùa phương
trình này.
Ví
dạ 3.
Để
xây
dựng
hướng trường của
phương
trình
y'
=
X
2
+
y
2
ta
nhận
xét:
tại
mỗi
điểm
(x,
y)
trên đường tròn
X
2
+
y

2
=
k
2
\
\
Hình
4
23
tiếp
tuyên của
đường
cong
tích phân của phương trình này có
hướng
khổng
đổi
với
hệ số
góc là một
hằng
số
dương
k
2
. Các
đường
tròn đó
gọi
là

đường đẳng hướng
(hoặc
đẳng tài
của
phương
trình (hình 5).
ỉ/ /é *
ự \/C 0
y
Lí ,
ì ĩ' ly,/ /;/ *
ỵ/ý
s**"^ * tỵ 1
V/ "'
ỉ -
Hình 5
Để
xác
định
hướng
trường
cùa phương
trình,
ta cho
k
những
giá trị
xác
định,
chẳng

hạn
k
=
-4=, Ì, SỈ!,
•ã
Từ
đó có
thể
vẽ
gần đúng các
đường
cong
tích phân cần tìm.
Ngoài ra, trên cơ sở
phác
thảo
của các
đường
cong
tích phân ta có
thê*
đoán
nhận
một
số
tính
chất
của chúng.
3. Bài toán
ngược

của bài toán tích phân phương trình
vi
phân
Ta
đã
biết
nghiệm
của một phương trình
vi
phân
thường
được
biếu diễn
dưới
dạng
(6).
Phương trình này biểu diên một
họ
đường
cong
phụ
thuộc
một
tham
số.
Vấn
đề
ỏ đây
đặt
ra là:

Cho một
họ
đường
cong
phụ
thuộc
một
tham
số
là
hàng số C:
cp(x,
y,
C)
=
0
(6)
Hãy tìm một
phương
trình
vi
phân biểu diên
họ
đường
cong
này, tức là
nhận
họ
đường
cong

này làm
nghiệm
tổng
quát.
24
Giả sử
phương
trình
(6) xác
định
y
là một hàm số ẩn cùa
X.
Đạo hàm (6)
theo
X
ta
được:
— + —
.
y
=
0
(7)
ổx
ổy
Ta đã
biết:
với
điều

kiện
trong
một lân cận nào đó của điểm
(Xo,
y
0
,
Ca),
phương trình
(6) đươc
thoa
mãn và —
(x,),
y„,
Q,) * 0 thì phương trình (6) xác đinh c như mót hàm số
se
ẩn cùa
X,
y:
C
=
M/(x,y)
(8)
Thay
c ở (8) vào (7), tức là khử c từ hai phương trình (6) và (7) ta
nhận
được
một
phương trình
vi

phân.
Đó
là
phương
trình
vi
phân
cần tìm.
Ví dụi.
)
Cho
họ
đường
thảng:
y
=
Cx
Đạo hàm
theo
X,
ta
được:
y'
=
c
Thay
vào
phương trình trên ta
được
phương trình

vi
phân của
họ
đường
thẳng
trên:
y
=
ý'.
X
(So
sánh
với
ví
dụ
Ì
ở
mục trên).
Ví
dụ
2.
Cho
họ
đường
tròn
X
2
+
y
2

=
c
2
Đạo
hàm
theo
X,
ta
được:
2x
+
2yy'
=
0
hoặc
X
+ yy'
=
0.
Ở đây
hằng
số c bị khử
ngay
từ khi
lấy đạo
hàm.
Phương trình cuối cùng là phương
trình
vi
phân của

họ
đường
tròn (so sánh
với ví dụ
2
ở
mục trên).
§4. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cơ BẢN
ì.
Phướng
trình
giải
dược
đối
vãi dạo hàm
Dạng
tổng
quát của
loại
phương trình này là
^=f(x,y)
(1)
dx
Ta
lần
lượt đưa ra cách
giải
qua
các
trường

hạp.
25