Bài giảng hình học 12 chương 3 bài 2 phương trình mặt phẳng

TRƯỜNG THPT HIỆP HỒ SỐ 3
TỔ TỐN - TIN

Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


ễN TP KIN THC
C

1.Biểu thức toạ độ của tích vô híng cđa hai vect¬

r
r
rr
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) ⇒ a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0

2. Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P) ta
chứng minh d vng góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm
trong (P).

3. ĐÞnh thøc cÊp 2

Ta co D =

a1

a2

b1

b2

= a1b2 − a2b1


Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Tiết 29


Một số hình ảnh thực tế


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r
n
(α)

Vectơ

r r
n≠0

được gọi là
vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá
của
vng góc với mặt phẳng (α)

r
n


r
n

(α)
Chú ý :
Nếu

r
n

r
là vectơ pháp tuyến của (α) thì kn cũng là vectơ pháp tuyến của (α)

k ≠0


a) Bài tốn:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) và hai vectơ không cùng phương
r
r
a = (a1; a2 ; a3 ); b = (b1; b2 ; b3 ), có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (α ).

Chứng minh rằng mp(α ), nhận vecctơ
r
n = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) làm vectơ pháp tuyến.


r
r
Trong Oxyz cho : a = (a1; a2 ; a3 ); b = (b1; b2 ; b3 ),
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (α ).
Chứng minh rằng mp(α ), nhận vecctơ
r
n = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) làm VTPT

r
b

r
a
α

r
n

Giải :
ru
r
Tacó : a.n = a1 (a2b3 − a3b2 ) + a2 (a3b1 − a1b3 ) + a3 (a1b2 − a2b1 )
= a1a2b3 − a1a3b2 + a2a3b1 − a2a1b3 + a3a1b2 − a3a2b1 = 0
ru
r

Tương tự, b .n = 0

.c


b) Định nghĩa:

u
r
u
r
r r
• Cho véctơ a =(a1 ; a2 ; a3 ); b =(b1 ; b2 ; b3 ). Tích có hướng của hai vectơ avà b
u r r
r
u ru
r
u
r
kí hiệu là n = a ∧ b hoặc n = a, b  được xác định bởi biểu thức sau:
 
u r r  a2 a3 a3 a1 a1 a2 
r
n = a, b  = 
;
;
÷ = ( a2 b3 − a3 b2 ;a3 b1 − a1b3 ;a1b2 − a2 b1 )
  b b b b b b ữ
2 3 3 1 1 2
u

r
ã ectụ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α )
V


Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1),
C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ của một vtpt của mp(ABC)
B

Giaûi :

α

uu
ur
A B = ( 2 ;1; − 2 ) , 

Ta coù: u u
ur

A C = ( −12 ; 6 ; 0 ) 


A
C

u u u u u  1 − 2 −2 2 2 1 
r ur ur
⇒ n =  AB ,AC  = 


 6 0 ; 0 − 12 ; −12 6 ÷



u
r
V ậy vectơ pháp tuyến của mp(A BC) là n = ( 1; 2 ; 2 )


II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG

Bài toán1:

Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )
u
r
và nhận vectơ n = ( A ; B ;C ) làm vtpt. Chứn g minh rằng
điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp ( α ) laø :
A (x - x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0


r
n

Giải :

M

α

u u ur
uuu
Ta có M 0 M = (x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 )
u u u ur
r
uuu
u u u ur
r uuu
M ∈ (α ) ⇔ M 0 M ⊂ (α ) ⇔ n ⊥ M 0 M ⇔ n .M 0 M = 0

⇔ A (x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + c (z − z 0 ) = 0

M0


Bài toán 2 : Trong không gian Oxyz, chứng minh rằn g tập hợp các điểm
M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( với A 2 +B2 +C2 ≠ 0)
r
là một mặt phẳng nhận vectơ n = (A ; B ;C ) làm vectơ pháp tuyến.

Giải

Lấy điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )sao cho Ax 0 + By 0 +Cz 0 + D = 0
r
Gọi (α )là mp đi qua điểm M 0 và nhận n=(A;B;C) làm VTPT.
Ta coù :
M ∈ (α ) ⇔ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
⇔ Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0
⇔ Ax + By + Cz + D = 0, với D = −( Ax0 + By0 + Cz0 )
Từ đó, ta có định nghĩa sau

1- Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C
khơng đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng qt
của mặt phẳng.
Nhận xét
a)Nếu mặt phẳng (α ) có PTTQ là Ax + By +Cz + D = 0
r
thì nó có một VTPT là n = (A; B; C)

r
r
b) PT mặt phẳng đi qua điểm M 0 (x 0; y 0; z 0 ) nhận vectơ n = (A; B; C) ≠ 0 làm VTPT
có pt là:

A(x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0 .


2

Hãy tìm một VTPT của mp (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 ?

r
n = (2; − 1; − 3)

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; -3) và nhân vectơ

r
n = (1 ; 2 ; − 2)

làm vectơ pháp tuyến

x + 2 y − 2z − 9 = 0


Các trường hợp riêng

Cho mặt phẳng (α ) có PTTQ laø Ax + By +Cz + D = 0


a. Trường hợp

z

D=0

α

O
x

Ax + By + Cz = 0
( α ) đi qua gốc tọa độ

y


b. Nếu 1 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0
z

A=0

O
α

By + Cz + D = 0
(α) song song hoặc chứa trục Ox

x

z

i

y

z

B=0

α

E

O
J

C=0

α

y

k

x

O

Ax + Cz + D = 0
(α) song song hoặc chứa trục Oy

x

y
Ax + By + D = 0

(α) song song hoặc chứa trục Oz


c. Nếu 2 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0
z
A= B = 0

C≠0

-

D
C

B≠0

α

α
O

O

y

x

Cz + D = 0
(α) song song hoặc trùng với mp (Oxy)
z

x

By + D = 0

A≠0

α



D
A

O

D
B

y

(α) song song hoặc trùng với mp (Oxz)

B=C=0

-

z

A= C = 0

y

Ax + D = 0
x
(α) song song hoặc trùng với mp (Oyz)


Vị trí của mặt so với các yếu tố cúa hệ toạ
Dạng phơng trỡnh độ
Ax + By + Cz = 0

i qua gốc toạ độ O

Ax + By + D = 0

Song song víi trơc Oz hc chøa trơc Oz

Ax + Cz + D = 0

Song song víi trơc Oy hc chøa trơc Oy

By + Cz + D = 0

Song song víi trơc Ox hc chøa trơc Ox

Ax + D = 0

Song song víi mp Oyz hc trïng víi mp
Oyz

By + D = 0

Song song víi mp Oxz hc trïng víi mp
Oxz
Song song víi mp Oxyhc trïng víi mp


d)Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0, ta có

(α) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0),
B( 0; b; 0), C( 0; 0; c). Ta gọi pt
của ( α) là pt theo đoạn chắn.

z
C

c

O
a

Minh hoa

y

b

A
x

B

x y z
(α ) : + + = 1
a b c


Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4).
Hãy viết phương trình mp (MNP) ?
Giải

Theo pt của mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt của mp (MNP) là:

x y z
+ + = 1 ⇔ 6 x + 4 y + 3z −12 = 0
2 3 4


Củng cố
Các kiến thức trọng tâm:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
- Tích có hướng của hai vectơ
- Phương trình tổng quat của mặt phẳng
- Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng, hình vẽ


Ví dụ:
Lập phương trình tổng qt của mặt phẳng (MNP) biết M(1;1;1),
N(4;3;2), P(5;2;1)


Bài tập về nhà
- Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 SGK trang 80
- Ôn tập lại kiến thức đã học và đọc phần III