Ôn cao học giới hạn của dãy số và hàm số

GIẢI TÍCH CƠ BẢN
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
PGS. TS Lê Hoàn Hóa
Ngày 11 tháng 10 năm 2004
1 Giới hạn của dãy số
1.1 Định nghĩa
Cho (x
n
)
n
là dãy số thực. Ta nói :
• Dãy (x
n
)
n
hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay lim x
n
= x nếu
với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên n
0
∈ N sao cho với mọi n ≥ n
0
thì |x
n
− x| < .
lim x

n
= x ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
=⇒ |x
n
− x| <  ⇐⇒ lim |x
n
− x| = 0
• Dãy (x
n
)
n
tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n
0
∈ N sao cho với
mọi n ≥ n
0
thì x
n
> A (theo thứ tự x
n
< A).
• Dãy (x
n
)
n
phân kỳ nếu không có lim x
n

hoặc lim x
n
= +∞ hoặc lim x
n
= −∞.
Như vậy với một dãy (x
n
)
n
chỉ có hai trường hợp : hoặc (x
n
)
n
hội tụ hoặc (x
n
)
n
phân kỳ.
1.2 Định lý cơ bản
1. Nếu(x
n
)
n
là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{x
n
} thì lim x
n
= a. Nếu (x
n
)

n
là dãy giảm,
bị chặn dưới và b = inf{x
n
} thì lim x
n
= b.
2. Giới hạn kẹp : Giả sử : a
n
≤ x
n
≤ b
n
, ∀n ≥ n
0
và lim a
n
= lim b
n
= a. Khi đó lim x
n
= a.
3. Tiêu chuẩn Cauchy :
(x
n
)
n
hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n

0
, ∀p ∈ N =⇒ |x
n+p
− x
n
| < 
1.3 Các giới hạn cơ bản
1. lim
1
n
α
= 0, ∀α > 0
2. lim q
n
= 0, ∀q, |q| < 1
3. lim
n
√
a = 1, ∀a > 0
1
4. lim
n
√
n
p
= 1, ∀p ≥ 0
5. lim
n
p
(1 + a)

n
= 0, ∀a > 0, ∀p
6. lim
n
p
e
n
= 0, ∀p
7. lim(1 +
1
n
)
n
= e
8. lim(1 −
1
n
)
n
= e
−1
9. lim
ln
p
n
n
α
= 0, ∀α > 0, ∀p
10. lim
n

n
√
n!
= e
1.4 Ví dụ
1.4.1 Ví dụ 1
Với a > 0, cho x
n
= (1 +
a
n
)
n
, y
n
= (1 +
a
n
)
n+1
, n ∈ N.
1. Chứng minh : (x
n
)
n
là dãy tăng, (y
n
)
n
là dãy giảm.

2. Chứng minh :(x
n
)
n
,(y
n
)
n
hội tụ và lim x
n
= lim y
n
. Đặt lim x
n
= lim y
n
= e
a
Giải :
1. Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)
n
≥ 1 + nα, ∀n ∈ N .
Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.
Khi đó, do 1 + α ≥ 0 :
(1 + α)
n+1
= (1 + α)
n
(1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + α
2

≥ 1 + (n + 1)α
Ta có, với mọi n ∈ N :
x
n+1
x
n
=
(1 +
a
n + 1
)
n+1
(1 +
a
n
)
n
= (1 +
a
n + 1
)(
1 +
a
n + 1
1 +
a
n
)
n
= (1 +

a
n + 1
)(1 −
a
(n + 1)(n + a)
)
n
≥ (1 +
a
n + 1
)[1 −
na
(n + 1)(n + a)
] = 1 +
a
2
(n + 1)
2
(n + a)
> 1
Vậy (x
n
)
n
là dãy tăng.
Tương tự :
y
n
y
n+1

=
(1 +
a
n
)
n+1
(1 +
a
n + 1
)
n+2
= (1 +
a
n + 1
)
−1
[1 +
a
n(n + 1 + a)
]
n+1
≥ (1 −
a
n + 1 + a
)(1 +
(n + 1)a
n(n + 1 + a)
) ≥ 1 +
(n + 1)a
n(n + 1 + a)

2
> 1
Vậy (y
n
)
n
là dãy giảm.
2
2. Ta có :
(1 + a) = x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤ y
n
≤ ≤ y
1
= (1 + a)
2
Vậy (x
n
)
n
là dãy tăng, bị chặn trên ; (y
n
)
n
là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ. Đặt

lim x
n
= lim y
n
= lim(1 +
a
n
)
n
= e
a
1.4.2 Ví dụ 2
Cho (x
n
)
n
định bởi : x
1
=
√
2, x
n+1
=
√
2 + x
n
, ∀n ∈ N. Chứng minh (x
n
)
n

là dãy tăng, bị
chặn trên. Tính lim x
n
Giải :
Ta có : x
n
≥ 0, ∀n và
x
n+1
− x
n
=
√
2 + x
n
− x
n
=
2 + x
n
− x
n
2
√
2 + x
n
+ x
n
Tam thức bậc hai 2 + x
n

− x
n
2
≥ 0 ⇐⇒ −2 ≤ x
n
≤ 2, ∀n.
Bằng quy nạp, ta có : x
1
=
√
2 < 2. Giả sử x
n
≤ 2. Khi đó : x
n+1
=
√
2 + x
n
≤ 2
Vậy (x
n
)
n
là dãy tăng, bị chặn trên nên (x
n
)
n
hội tụ.
Đặt x = lim x
n

.
Từ đẳng thức x
n+1
=
√
2 + x
n
, ∀n ∈ N, cho n → ∞, ta có : x =
√
2 + x hay x
2
−x −2 = 0
Vậy x = 2.
1.4.3 Ví dụ 3
lim
3
n+1
+ 2
n
3
n
+ 2
n
= lim
3
n+1
[1 + (2
/3
)
n+1

]
3
n
[1 + (2
/3
)
n
]
= 3
1.4.4 Ví dụ 4
Tính lim
n
√
a
n
+ b
n
+ c
n
, a, b, c > 0.
Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có :
a ≤
n
√
a
n
+ b
n
+ c
n

= a
n

1 + (
b
a
)
n
+ (
c
a
)
n
≤ a
n
√
3
Vậy lim
n
√
a
n
+ b
n
+ c
n
= max{a, b, c}
1.4.5 Ví dụ 5
Tính lim
n

√
n
2
2
n
+ 3
n
Do lim
n
2
(3
/2
)
n
= 0 nên có n
0
∈ N sao cho
n
2
(3
/2
)
n
< 1, ∀n ≥ n
0
.
Với n ≥ n
0
, ta có :
3 ≤

n
√
n
2
2
n
+ 3
n
= 3
n

1 +
n
2
(3
/2
)
n
≤ 3
n
√
2
Do định lý giới hạn kẹp lim
n
√
n
2
2
n
+ 3

n
= 3
3
1.4.6 Ví dụ 6
Tính lim sin(π
√
n
2
+ 1)
0 ≤ |sin(π
√
n
2
+ 1)| = |sin π(
√
n
2
+ 1 − n)| = |sin(
π
√
n
2
+ 1 + n
)| ≤
π
√
n
2
+ 1 + n
Vậy lim sin(π

√
n
2
+ 1) = 0
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau
1. lim(
√
n
2
+ 5 −
√
n
2
+ 3)
2. lim
n sin n
n
2
+ 1
3. lim
a
n
− b
n
a
n
+ b
n
, ∀a, b > 0

4. lim nq
n
, |q| < 1
5. lim
2
n
n!
( HD:
2
n
n!
=
2.2 2.2
1.2 (n − 1).n
≤
4
n
)
6. lim
n
2
n!
7. Chứng minh : 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)

6
Tính
1
2
+ 2
2
+ + n
2
n
3
8. Tính lim n(
n
√
e − 1)
HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : (1 +
1
n
)
n
< e < (1 −
1
n − 1
)
n
, ∀n
9. Cho (x
n
)
n
định bởi : x

1
=
√
a, x
n+1
=
√
a + x
n
, ∀n(a > 0)
Xét tính đơn điệu của (x
n
)
n
và tính lim x
n
(nếu có).
10. Tính lim
n
2
√
n
HD :
n
2
√
n
= exp[−
√
n ln 2(1 −

ln n
√
n ln 2
)]
Do lim
lnn
√
n ln 2
= 0 nên lim(ln n −
√
n ln 2) = −∞. Suy ra với mọi A > 0, có n
0
∈ N sao
cho với n ≥ n
0
thì
n
2
√
n
≤ e
−A
. Vậy lim
n
2
√
n
= 0
4