Mẹo nhỏ để tính tích phân từng phần

1
VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN
LÊ ANH DŨNG
(Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu
 
 
, nếu
ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần
vdu

sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ
đơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần.
1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =
2x 2
e (x 4x 1)dx
 

Bình thường ta đặt u = x
2
+ 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này,
ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại.
2
2x
2x
2x

du 2xdx
u x
; nên vdu= xe dx
1
v e
dv e dx
2


 







 
 
 
 



sẽ khử hết xe
2x
do đó ta thêm vào u :
+ 3x để phần còn lại chỉ còn xe
2x
.

Lời giải. I =
2x 2 2x 2 2x
e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx
     
  
Đặt
2
2x
u x 3x
dv e dx
 








, chọn
2x
du (2x 3)dx
1
v e
2
 











Khi đó: I =
2x 2 2x 2x
1 1
e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx
2 2
    
 
=
2x 2 2x 2x 2 2x
1 3 1 3
e (x 3x) e dx e (x 3x) e C
2 2 2 4
     

Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau
x 3 2
I e (x 4x 1)dx
  

Tương tự ví dụ trên
3 2
2 x
x x
u x du 3x dx

; nên vdu= 3x e dx
dv e dx v e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sẽ khử hết 3x
2
e
x
do đó ta thêm vào u : x
2
để phần còn lại còn lại 3x
2
3 2 2
2 x
x x
u x x du (3x 2x)dx
; nên vdu=(3x +2x)e dx
dv e dx v e
   
 
 
 

 
 
 
 
 
sẽ khử hết 2xe
x
do đó ta lại
thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x.
Lời giải.
x 3 2 x 2
I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx
     
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
chongiasu.com 1
chongiasu.com 1
2
Đặt:
3 2
x
u x x 2x
dv e dx
  









, chọn
2
x
du (3x 2x 2)dx
v e
  








x 3 2 x 2 x 2
I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx
        
 
x 3 2 x x 3 2
e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C
        

Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích
phân từng phần của hàm số
ax b n n 1
n n 1 1 0
e (a x a x a a )dx

 

   

(n-2)/a
n/a
(n-1)/a
_
x
_
x
b
n - 3
b
n - 2
b
n - 1
=a
n
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức
a
1
a
n-2
a
n-1
a
n
n

n 1
k k 1 k 1
b a
k 2
b a b
a

 







 
(Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống)
Thí dụ 3: Tính I =
1
2x 5 3
0
e (x 4x x 1)dx
  

Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u
5
2
-
3
2

1
-
5
2
x
_
1
1
2
1
3
2
2
5
2
n=5, a =2
1
0
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức
-4
0
1
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
chongiasu.com 2
chongiasu.com 2
………………
Để đọc tiếp bạn vui lòng vào site bên dưới:
www.chongiasu.com