lập kế hoạch sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạch toán học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


i
MỤC LỤC

Nội dung
Trang
Mục lục
i
Danh mục các chữ viết tắt
iv
Danh mục các hình
v
MỞ ĐẦU
1
Chương 1. Tổng quan về quy hoạch toán học
3
1.1. Phát biểu bài toán Quy hoạch toán học
3
1.1.1. Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát
3
1.1.2. Phân loại bài toán
4
1.2. Phát biểu bài toán đối ngẫu và phân tích nghiệm của bài
toán đó.
5
1.2.1. Cách thành lập bài toán đối ngẫu
5
1.2.2. Các tính chất và định lý đối ngẫu

7
1.3. Giới thiệu một số phương pháp giải điển hình của quy
hoạch toán học
8
1.3.1. Mô hình và một số phương pháp giải bài toán quy
hoạch đa mục tiêu
10
1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến và một số phương
pháp giải
19
1.4. Ví dụ
24
1.4.1. Áp dụng phương pháp so sánh, sắp xếp phương án
bài toán quy hoạch đa mục tiêu
24
1.4.2. Vài bài toán thực tế dẫn đến quy hoạch phi tuyến
26
Chương 2. Các dạng lập kế hoạch sản xuất dựa vào quy hoạch
30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


ii
Nội dung
Trang
tuyến tính
2.1. Giới thiệu
30
2.2. Các ràng buộc

30
2.2.1. Tập nghiệm của bất phương trình tuyến tính
30
2.2.2. Vấn đề phương án cực biên và cơ sở xuất phát giai
đoạn I
32
2.3 Các hàm mục tiêu
35
2.3.1. Ý nghĩa kinh tế của hàm mục tiêu
35
2.3.2. Hàm mục tiêu của một số mô hình lập kế hoạch
sản xuất thực tế
36
2.4. Các phương pháp giải
38
2.4.1. Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch
tuyến tính
38
2.4.2. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng
phương pháp hình học
44
2.5. Phân tích phương án tối ưu
45
2.5.1. Phương án
45
2.5.2. Phương án cực biên
45
2.5.3. Phương án tối ưu
45
2.5.4. Sự tồn tại phương án tối ưu

45
Chương 3. Bài toán hỗn hợp (quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu)
lập kế hoạch đồng bộ giữa tổng công ty và các công ty con
47
3.1. Giải bài toán tại tổng công ty
47
3.1.1. Tìm phương án sản xuất tối ưu của tổng công ty
48
3.1.2. Phân phối (chỉ tiêu) phương án sản xuất tối ưu cho
các công ty con
50

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


iii
Nội dung
Trang
3.1.3. Giải lại bài toán đa mục tiêu trên cơ sở các thông
tin phản hồi từ các công ty con
50
3.2. Giải bài toán tại công ty con
54
3.2.1. Tìm phương án tối ưu tại công ty con có ràng buộc
là các chỉ tiêu của tổng công ty.
54
3.2.2. Các thông tin phản hồi lên tổng công ty
56
3.3. Chạy phần mềm thí nghiệm
56

3.3.1. Sơ đồ thuật toán
56
3.3.2. Cài đặt phần mềm
58
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
63
TÀI LIỆU THAM KHẢO
64


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


iv
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Stt
Từ viết tắt
Ý nghĩa
Trang
1

≤, =, ≥
3
2



Quan hệ trội hơn

3
~
Quan hệ không phân biệt

4

Rỗng

5
QHTT
Quy hoạch tuyến tính
4
6
BTVT
Bài toán vận tải
4
7
QHTS
Quy hoạch tham số
4
8
QHĐ
Quy hoạch động
4
9
QHPT
Quy hoạch phi tuyến
4
10
QHRR

Quy hoạch rời rạc
4
11
QHN
Quy hoạch nguyên
4
12
QHĐMT
Quy hoạch đa mục tiêu
5
13
NNLG
Người nhận lời giải
14


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


v
DANH MỤC CÁC HÌNH

Stt
Hình
Nội dung
Trang
1
2.1
Sơ đồ thuật toán đơn hình
43

2
2.2
Minh hoạ phương pháp giải bài toán QHTT
hai biến bằng phương pháp hình học
44
3
3.1
Sơ đồ thuật toán giải bài toán lập kế hoạch
sản xuất đồng bộ
57
4
3.2
Kết quả nhập mới dữ liệu của chương trình
60
5
3.3
Kết quả giải bài toán riêng rẽ một mục tiêu
61
6
3.4
Kết quả bảng thưởng phạt của chương trình
62
7
3.5
Kết quả bài toán
62


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

- 1 -
MỞ ĐẦU
Trong giai đoạn kinh tế thị trường, sự cạnh tranh hàng hoá quyết liệt xẩy ra
thường xuyên thì một phương án sản xuất cần phải được cân nhắc kỹ càng trước khi
nó được thực thi. Một phương án sản xuất thường phụ thuộc rất nhiều vào các yếu
tố như lao động, nguyên vật liệu, sức tiêu thụ, …Vì vậy một phương án sản xuất
cần phải được bao hàm các hạn chế trên, đồng thời phải đảm bảo được mức tổng lãi
(hoặc chi phí) tốt nhất.
Đặc biệt, khi một tổng công ty có nhiều công ty con, mỗi công ty đều muốn
có phương án sản xuất tốt nhất của mình nhưng phải nằm trong mục tiêu của tổng
công ty. Vì vậy, phương án sản xuất tốt kết hợp giữa tổng công ty và các công ty
con cần phải được nghiên cứu. Do đó tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Lập kế hoạch
sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạch
toán học”. Với nội dung nghiên cứu:
 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài
Ứng dụng quy hoạch tuyến tính để hỗ trợ các nhà lập kế hoạch và quản lý
kinh tế ra những quyết định chính xác và tốt nhất có thể, nó là một công cụ
đáng tin cậy để phân tích và dự đoán hướng phát triển có mục tiêu của các cơ
sở kinh tế nói chung và của các công ty và tổng công ty nói riêng.
 Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng
- Nghiên cứu về quy hoạch tuyến tính đơn mục tiêu và đa mục tiêu – phương
pháp tối ưu kiểu pareto.
- Nghiên cứu một số phương pháp lập kế hoạch dựa trên các quy trình công
nghệ đã cho như: hàm sản xuất tuyến tính dạng X = AX, trong đó:
+ A là ma trận công nghệ.
+ X là phương án sản xuất
 Ý nghĩa khoa học
Trên cơ sở tối ưu pareto để tìm ra các phương án sản xuất cho tổng công ty
và các công ty con dựa trên phương pháp cạnh tranh và bù đắp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 2 -
 Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp tìm các hệ số chi phí trong quy trình sản xuất của toàn công ty
và của từng công ty con.
Ứng dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải bài toán tìm phương án
sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con
 Cấu trúc luận văn

MỞ ĐẦU
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC
CHƢƠNG 2. CÁC DẠNG LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT DỰA VÀO QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH
CHƢƠNG 3. BÀI TOÁN HỖN HỢP (QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC
TIÊU) LẬP KẾ HOẠCH ĐỒNG BỘ GIỮA TỔNG CÔNG TY VÀ
CÁC CÔNG TY CON
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 3 -
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC
1.1. Phát biểu bài toán Quy hoạch toán học tổng quát
Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống và thiết kế kỹ thuật
mà biết dựa trên các nguyên tắc cực trị sẽ tiết kiệm được vật tư, tiền vốn, tài
nguyên, sức lao động, thời gian và tăng được hiệu quả giải quyết các vấn đề đặt ra.
Những cơ sở lý thuyết và các phương pháp thực hành để giải quyết các vấn đề
nằm trong môn học Tối ưu hóa hay còn gọi là Quy hoạch toán học…
1.1.1. Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát
Một bài toán Quy hoạch toán học tổng quát được phát biểu như sau:
Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:
f(x) → max (min)
(1.1)
Với các điều kiện:
}),,{(,1,)(  mibxg
ii

(1.2)
n
RXx 

(1.3)
Bài toán (1.1)


(1.3) được gọi là một quy hoạch, f(x) được gọi là hàm mục tiêu, các
hàm
mixg
i
,1),( 
được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức hoặc bất đẳng
thức trong hệ (1.2) được gọi là ràng buộc. Tập hợp:
},1,)(|{ mibxgXxD
ii


(1.4)
được gọi là hàm ràng buộc (hay miền chấp nhận được). Mỗi điểm
Dxxxx
n
 ), ,,(
21
được gọi là một phương án (hay lời giải chấp nhận được).
Một phương án
Dx 
*
đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là:
Dxxfxf  ),()(
*
đối với bài toán max
Dxxfxf  ),()(
*
đối với bài toán min
được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu). Khi đó giá trị
)(

*
xf
được gọi là giá
trị tối ưu của bài toán.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 4 -
1.1.2. Phân loại các bài toán
Một trong những phương án hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là phương
pháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu trên tất cả các phương án, sau đó so
sánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương pháp tối ưu của bài toán.
Tuy nhiên cách giải quyết này khó có thể thực hiện được, ngay cả khi kích thước
của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thường
gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp còn không đếm được.
Vì vậy cần phải có những nghiên cứu về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bài
toán tổng quát những bài toán “dễ giải”. Các nghiên cứu lý thuyết đó thường là:
- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, các
ràng buộc, các biến số, các hệ số…);
- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được;
- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;
- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu.
Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp ta
phân loại các bài toán. Một số bài toán tối ưu (quy hoạch toán học) được gọi là:
- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu và tất cả các hàm
ràng buộc là tuyến tính. Một trường hợp riêng quan trọng
của QHTT là bài toán vận tải (BTVT);
- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu

và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;
- Quy hoạch động (QHĐ) nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn
nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng;
- Quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu hoặc có ít nhất một trong các hàm
là phi tuyến hoặc cả hai trường hợp đó cùng xảy ra;
- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc. Trong
trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch
nguyên (QHN). Một trường hợp riêng của QHN là quy hoạch biến booles khi
các biến số chỉ nhận giá trị là 0 hoặc 1. Còn tối ưu hóa tổ hợp liên quan đặc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 5 -
tính hữu hạn của đối tượng nghiên cứu, hay sự tồn tại một cấu trúc cho ta
một định tính không gian của các tình huống cần so sánh;
- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét
các mục tiêu khác nhau.
1.2. Phát biểu bài toán đối ngẫu và phân tích nghiệm của bài toán đó
1.2.1. Cách thành lập bài toán đối ngẫu
a. Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng
Xét bài toán dạng chính tắc (I):



n
j
jj
MaxMinxcxf
1

)()(










njx
mibxa
j
n
j
ijij
,1,0
,1,
1

Ta gọi bài toán này là bài toán gốc. Dựa vào bài toán gốc (I), ta xây dựng
một bài toán quy hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán (I) có
dạng sau:



m
i
ii

MinMaxybyf
1
~
)()(




m
i
jij
njcyia
1
,1,)(

Ký hiệu bài toán này là (I
’
). Cặp bài toán (I, I
’
) gọi là cặp bài toán không đối
xứng.
 Nguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu
- Nếu f(x) → Min thì
)(
~
yf
→ Max và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có
dạng “≤”.
- Nếu f(x) → Max thì
)(

~
yf
→ Min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có
dạng “≥”.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 6 -
- Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến số
trong bài toán kia, từ đó thấy tương ứng với một ràng buộc của bài toán này
là một biến số của bài toán kia.
- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong
bài toán kia.
- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của nhau.
- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc về dấu.
Khi phân tích quan hệ của hai bài toán đối ngẫu cần sử dụng một khái niệm quan
trọng:
Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi 2 ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu)
trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu.
Trong hai bài toán (I) và (I
’
) có n cặp ràng buộc đối ngẫu:



m
i
jiiji
njcyax

1
,1,)(0

b. Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng
Xét bài toán (II):
)()(
1
MaxMinxcxf
n
j
jj













njx
mibxa
j
n
j
ijij

,1,0
,1,)(
1

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II
~
):
)()(
1
MaxMinxcxf
n
j
jj














mnjx
mibxxa
j

n
j
injij
,1,0
,1,)(
1
1

Bài toán đối ngẫu của (II
~
) và cũng là đối ngẫu của (II) có dạng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 7 -



m
i
ii
MinMaxybyf
1
~
)()(











miy
njcya
i
n
j
jiij
,1,0
,1,)(
1
.
Ký hiệu bài toán này là (II
’
). Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán, ta gọi (II) và
(II
’
) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng . Hai bài toán này có n + m cặp rằng buộc đối
ngẫu sau:






n

j
iijij
jiijj
miybxa
njcyax
1
,1,)(
,1,)(0

c. Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát
Đối với bài toán bất kỳ, đưa về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫu
của bài toán này và gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. Chúng ta có thể sử
dụng các quy tắc nêu trong lược đồ dưới đây để trực tiếp viết bài toán đối ngẫu mà
không cần phải thực hiện bước biến đổi về dạng chính tắc.
Lƣợc đồ tổng quát
Bài toán gốc
Bài toán đối ngẫu



n
j
jj
MaxMinxcxf
1
)()(





n
j
ijij
mibxa
1
,1,




n
j
ijij
mibxa
1
,1,)(




n
j
ijij
mibxa
1
,1,)(

j
x
không ràng buộc về dấu.

njx
j
,1,0 


njx
j
,1,0 




m
i
ii
MinMaxybyf
1
~
)()(

i
y
không ràng buộc về dấu.

miy
i
,1,0 

miy
i
,1,0 





m
i
jiij
njcya
1
,1,




m
i
jiij
njcya
1
,1,)(




m

i
jiij
njcya
1
,1,)(



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 8 -
1.2.2. Các tính chất và định lý đối ngẫu
a. Các tính chất
 Tính chất 1: Với mọi cặp phương án x và y của hai bài toán đối ngẫu ta luôn
có:
).()()(
~
yfxf 

 Tính chất 2: Nếu đối với hai phương án x
*
và y
*
của một cặp bài toán đối
ngẫu mà
)()(
*
~
*

yfxf 
thì x
*
và y
*
tương ứng là hai phương án tối ưu.
b. Các định lý
 Định lý 1: Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giải được thì bài toán kia
cũng giải được và khi đó với mọi cặp phương án tối ưu x
*
và y
*
ta luôn có
)()(
*
~
*
yfxf 
.
 Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để hai phương án x và y của một cặp bài toán
đối ngẫu tối ưu là trong các ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thoả mãn
với dấu bất đẳng thức thực sự (lỏng) thì ràng buộc kia phải thoả mãn với dấu
bằng (chặt).
Ví dụ: Quy hoạch đối ngẫu của bài toán


là quy hoạch:


1.3. Giới thiệu một số phƣơng pháp giải điển hình của quy hoạch toán học

Như đã trình bày trong mục (1.1.2), một bài toán quy hoạch toán học được
phân loại thành nhiều dạng khác nhau dựa vào tính chất của các thành phần và đối
tượng nghiên cứu. Mỗi dạng lại có phương pháp giải đặc trưng riêng như:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 9 -
 Quy hoạch tuyến tính:
- Phương pháp đơn hình và đơn hình cải biên
- Phương pháp hình học
- Phương pháp Hungary
 Quy hoạch động:
- Phương pháp phương trình truy toán
 Quy hoạch phi tuyến:
- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến không có ràng buộc
o Các phương pháp sử dụng đạo hàm
o Các phương pháp không sử dụng đạo hàm
o Tối ưu hoá hàm “khe” bằng “R-algorithm”
o Các phương pháp vượt khe
- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến có ràng buộc
o Phương pháp hàm phạt
o Phương pháp gradient
o Phương pháp các nhân tử Lagrange
 Quy hoạch rời rạc:
- Phương pháp nhánh – cận
- Các phương pháp gần đúng
o Phương pháp tối ưu cục bộ
o Phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên
 Quy hoạch đa mục tiêu:

- Phương pháp nhượng bộ dần
- Phương pháp thoả hiệp TAMM
- Phương pháp Người – Máy (của Geoffrion, Dyer, Fienberg)
- Phương pháp từng bước Benayoun
- Thuật toán thích nghi ổn định tối ưu hoá vectơ
- Phương pháp giải theo dãy mục tiêu đã được xắp xếp
- Phương pháp ràng buộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 10 -
- Phương pháp trọng số
- Phương pháp so sánh, sắp xếp phương án bài toán quy hoạch đa mục tiêu
- Phương pháp đồ thị
1.3.1. Mô hình và một số phƣơng pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu
a. Mô hình bài toán quy hoạch đa mục tiêu
max(min))( XY
(1.5)
n
RDX 
(1.6)
k
k
RXYXYXY  ))(), ,(()(
1
(1.7)
gọi là vectơ mục tiêu
X gọi là phương án. D là tập các phương án.
Y

1
, ……Y
k
gọi là các hàm mục tiêu.
Khi xử lý tập phương án Pareto vai trò người nhận lời giải có tác dụng đáng
kể trong quá trình giải. Người nhận lời giải như ngụ ý rằng: Trong tập phương án
đó, các phương án đã có quan hệ trội hơn (

) và không phân biệt (~) được hình
thành từ việc so sánh “lợi ích” của các phương án. Giải bài toán như vậy gọi là bài
toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp sở thích người nhận lời giải.
Ở đây ta hiểu “lợi ích” là một hàm U: Y(D) → R. Thông thường ta giả thiết
U thoả mãn một số điều kiện nào đó khái quát từ bài toán thực tế và hiện tượng thực
tiễn. Chẳng hạn U là một hàm lõm (hàm lợi ích tăng lên khi các hàm mục tiêu tăng
lên) tức là:

0/ 
i
YU
(1.8)

0/
2
2

Y
i
U
(1.9)
Tuy nhiên ở đây ta hiểu U đơn thuần chỉ là một ánh xạ “đo” sở thích người

nhận lời giải. Hàm U có thể cho dưới dạng tường minh hoặc dạng ẩn (tức là biểu
hiện rằng: các phương án có thể so sánh được với nhau theo một nghĩa “hơn”
“kém” “không phân biệt” nào đó).
ki ,1

ki ,1


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 11 -
Bài toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp với lợi ích của người nhận lời giải
trong trường hợp hàm U tường minh có thể viết:

DX
XYMaxU

))((

b. Một số phƣơng pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu.
 Phƣơng pháp nhƣợng bộ dần
Phương pháp này dẫn đến việc tìm một lời giải thoả hiệp tốt nhất tức là tìm
nghiệm X
*
mà theo ý thích của người nhận lời giải thì
XXDX 
*
:
hoặc

XX ~
*

Thuật toán giải:
Bước 1: Giải k bài toán 1 mục tiêu riêng rẽ. Sau đó lập bảng thưởng phạt (trong đó
X
1
là phương án tối ưu. Y
1
0
là giá trị tối ưu).

Hàm mục tiêu
Phương án
Y
1
Y
2

Y
k
X
1
Y
1
0

Y
2
(X

1
)

Y
k
(X
1
)
X
2


Y
2
0


…




X
k




Y
k

0

Bước 2: Căn cứ vào bảng thưởng phạt và Y
1
0
người nhận lời giải bắt Y
1
phải
nhượng bộ một lượng Y
1
và giải bài toán:

1
0
11
2
)(
)(max
YYXY
DX
XY



Giả sử Y
2
*
là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước 3.
Bước 3: Người nhận lời giải căn cứ vào Y
2

0
và Y
2
*
bắt Y
2
phải nhượng bộ một
lượng Y
2
và giải bài toán:
(1.10)
(1.11)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 12 -

2
0
22
1
0
11
3
)(
)(
)(max
YYXY
YYXY

DX
XY




Giả sử Y
3
*
là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước tiếp theo:
…
Bước k: Căn cứ vào Y
k-1
0
và Y
k-1
*
bắt Y
k-1
nhượng bộ một lượng Y
k-1
và giải bài
toán:

1
*
11
2
*
22

1
0
11
)(

)(
)(
)(max





kkk
k
YYXY
YYXY
YYXY
DX
XY

Nghiệm của bài toán cuối cùng này lấy làm nghiệm cho bài toán xuất phát.
 Phƣơng pháp thoả hiệp của TAMM
Giải bài toán

DX
XY

)(max

Thuật toán giải như sau:
Bước 1: Giải k bài toán một mục tiêu riêng rẽ. Giải sử nghiệm tối ưu là
kiX
i
,1, 
.
Đặt M
i
= Y
i
(X) (1.14)
Đưa vào biến phụ W:

W
M
XYM
ki
i
ii



)(
:,1

i
ii
M
XYM )(
gọi là độ lệch tương đối chung

Bước 2: Giải bài toán: min W (1.15)
(1.12)
(1.13)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 13 -
),1(
)(
kiW
M
XYM
i
ii


(1.16)
DX 
(1.17)
Từ đó tìm được nghiệm tối ưu

WvàX

Ở đây hàm “lợi ích” U tỷ lệ với độ lệch tương đối chung. Còn
21
XX 
nếu độ lệch
tương đối chung của X
1

nhỏ hơn của X
2
và ta có:
XXDX :
hoặc
XX ~
.
 Phƣơng pháp từng bƣớc của Benayoun
Phương pháp có hai biến dạng như sau:
- Các độ lệch tương đối của hàm mục tiêu thì được gắn với một bộ trọng số
tương ứng. Trọng số này được xác định dựa trên khoảng biến động của từng
mục tiêu.
- Miền chấp nhận được của nó có thể thay đổi qua các bước giải.
Hàm “lợi ích” và các quan hệ xác định như phương pháp tìm nghiệm có khoảng
cách nhất đến nghiệm lý tưởng.
Bài toán cơ bản mà phương pháp này xét

kIdXYM
III
,1)(
'


(1.18)

i
DX 
<bài toán I> (1.19)
Trong đó:
M

I
là giá trị max Y
I
(X)
X  D
Ta viết

'
d
là metric đã thay đổi.
D
i
là miền chấp nhận được. Khi i = 0 thì D
0
 D.
Thuật toán giải như sau:
Bước 1: Xây dựng bảng “thưởng phạt” xác định M
I
và m
I
(giá trị max và min
của Y
I
(X)) ở cột I.
Bước 2: Tìm các trọng số
Xác định 
I
để tính 
I
:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 14 -





n
j
I
j
I
II
I
C
M
mM
1
2
)(
1
*

(1.20)
Ở đây
C
I

j
là các hệ số của hàm mục tiêu thứ I. Đặt i = bước sang bước 3.
Bước 3: Tính 
I
:



I
I
I



(1.21)
và giải bài toán i.
Bước 4: Giả sử nghiệm của bài toán I là X(i). Đưa cho người nhận lời giải
nghiệm X(i). Người nhận lời giải phân tích kết quả và xảy ra:
1) Nếu người nhận lời giải (NNLG) chấp nhận X(i) thì thuật toán kết thúc.
2) Nếu NNLG không chấp nhận X(i) và nếu chỉ số i < k-1 thì sang bước 5.
3) Nếu NNLG không thoả mãn X(i) và i = k – 1 thì chọn cách giải khác.
Bước 5 : NNLG phân tích kết quả và tìm ra mục tiêu I
*
có thể nhượng bộ.
NNLG cho một nhượng bộ I
*
và sang bước 6.
Bước 6 : Xác nhận miền chấp nhận mới D
(i+1)

***
*
|)(|)(
)()(
*
III
I
I
i
YiXYXY
IIiXYXY
DX




Coi
00
**

II


Còn đối với I  I
*
thì tính nhờ giá trị tối ưu của bài toán tìm hướng và giá trị
hàm lợi ích. Tăng i lên một đơn vị và chuyển về bước 3.
Thuật toán kết thúc sau không quá k lần lặp.
 Thuật toán thích nghi ổn định tối ƣu hoá vectơ

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được hiểu như là bài toán tối ưu hoá vectơ:

)(), ,(
1
XYXY
RDX
k
n


Các Y
1
(X) biểu hiện độ tốt xấu của X theo nghĩa nào đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 15 -
Ta xét bài toán max.
Giả thiết
DX 
0
là vectơ tối ưu đối với người nhận lời giải. Yêu cầu người
nhận lời giải ước lượng giá trị mà mình thích nhất: Y
0
v
, (
kv ,1
) với điều kiện:

)(
0
0
XYY
v
v


Vectơ X là lời giải tối ưu của:

kvXYYE
v
v
,1,0)}({
0



DX
XYYE
v
v

 min})({
0

Đặt độ lệch:
kvXYYXY
v
vv

v
,1)())((
00



 bài toán
DX
XYE
vv

 min)}({{
02


hay 



k
v
v
v
v
XYYE
1
20
min}))({(


Ở đây:



k
v
vv
1
1;0


(ký hiệu E là kỳ vọng toán học)
Người ta mở rộng bài toán trên và đưa ra một thuật toán giải nó.
Hàm lợi ích trong trường hợp này không thể hiện một cách tường minh mà
người nhận lời giải ngụ ý rằng trên D có một hàm ý thích. Còn quan hệ
~,
được
rút ra thông qua việc so sánh các hàm mục tiêu.
 Phƣơng pháp so sánh, sắp xếp phƣơng án bài toán quy hoạch đa mục tiêu
- Cơ sở của hệ thống trừu tƣợng nhƣ các quan hệ mờ trên các tham số
Giả sử cho hệ thống S, chúng ta cần mô tả hành vi của hệ thống đó thông qua
các tham số X = {X
i
}. Thực tế ta không biết tất cả các tham số
Iii
XXXX

 }{:
, nên chỉ mô tả gần đúng hệ S: S  U x V
i

, i  I. Trong đó V
i

tập hợp các giá trị có thể có của tham số X
i
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 16 -
Định nghĩa 1.3.1: Nếu (pr
ij
S)  (v
i
x v
j
) và (pr
ji
S)  (v
j
x v
i
) không phải là ánh
xạ thì X
i
và X
j
gọi là độc lập, nếu ngược lại thì X
j

phụ thuộc vào X
i
hay X
i
phụ
thuộc vào X
j
. ((pr
ij
S) hay (pr
ji
S): ký hiệu i,j; j,i - thành phần chiếu).
Xét hàm số




0
1
),( ji
G


Rõ ràng
G

là hàm đặc trưng của quan hệ G  I x I tương ứng với hệ S.
Chú ý: Theo giả thiết hiển nhiên G là phản xạ. Thực tế với hệ phức tạp khó mà
xác định được sự phụ thuộc giữa các tham số, cũng không có khả năng để giải quyết
quan hệ giữa X

i
và X
j
có tồn tại hay không. Do đó sẽ thích hợp hơn nếu ta định
nghĩa:

ijG
v


Trong đó v
ij
 L là mức độ phụ thuộc giữa X
i
và X
j
, còn L là vành với ánh xạ
tự đẳng cấu N và có phần tử lớn nhất I
L
và phần tử nhỏ nhất là O
L
. Khi đó
),( ji
G

=
v
ij
xác định một quan hệ mờ G  I x I. Từ quan điểm đại số này quan hệ này biểu thị
một hệ trừu tượng phản ánh một hệ thống S.

Viết gọn
),( ji
G

lại thành G(i, j).
- So sánh và sắp xếp phƣơng án
Xét tập phương án X hữu hạn | X | = | I | = n (có thể là tập phương án Pareto hữu
hạn) hoặc X là tập đại diện cho tập phương án của bài toán. Mỗi X
i
 X ứng bộ
(Y
i1
, Y
i2
, … ,Y
ik
)  R
I
x ……….x R
I
với Y
i1
là giá trị hàm mục tiêu thứ 1 tại điểm
X
i
.
Vậy ta có một đơn ánh X  R
I
x ……….x R
I

X
i
 X  (Y
i1
, Y
i2
, … ,Y
ik
) với
ni ,1

Dựa trên việc so sánh hàm lợi ích tìm cách phân lớp sắp xếp các phương án đó
với qui ước:
- Hai phương án tốt ngang nhau sẽ được xếp cùng một chỉ số thứ tự
- Hai phương án, phương án nào trội hơn sẽ được ghi ở chỉ số thứ tự nhỏ hơn.
nếu X
i
phụ thuộc vào X
j
nếu

ngược lại


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 17 -
Các phương án này xem như các tham số cho trước và chúng có mối liên hệ với

nhau và theo quan điểm đại số nó biểu thị một hệ thống trừu tượng nào đó.
Ta giả thiết rằng L(I x I) là vành tạo nên bởi mọi quan hệ mờ trong vũ trụ I x I và
R
i
là quan hệ con của G mà nó có quan hệ với tham số X
i
. Cho d là một ước lượng
không âm trong L(I x I).
Định nghĩa 1.3.2: Nếu d(X
i
)  d(X
j
) thì nói rằng X
i
không trội hơn X
j
(hay
ij
XX 
hoặc
ij
XX ~
). Nhờ đó ta có một sự phân lớp, sắp xếp trên X
2
chẳng hạn
ta phân hoạch thành p lớp:
p
XXX
21


Các tham số trong cùng một lớp là tương đương nhau và giữa các lớp có một
quan hệ thứ tự:

jijjiiji
XXXXXXXX  :, 

hay
jijjii
XXXXXX :, 


}~:|{)( YXXXXYXX
ijjji


Vậy vấn đề cần xác định R
i
từ quan hệ mờ G. Sau đây ta xác định R
i
và chỉ ra
một cách cho ước lượng d.
- Xác định quan hệ R
i

Với mỗi tham số X
i
đều tồn tại tập J
i
với hàm liên thuộc:

(J
i
)
j
= G(i, j)
Giá của nó bao gồm các chỉ số của tất cả các tham số đó ít nhiều có phụ
thuộc vào tham số X
i
.
Định nghĩa 1.3.3






0
1
)(
Ik
k


là hàm đặc trưng của tập hợp bao gồm các chỉ số của mọi tham số ít nhiều có
phụ thuộc vào tham số X
i
. Trên tập này ta có thể xây dựng tập mờ I
i
với hàm liên
thuộc (J

i
)
j
= G(j, i)
nếu i  S(J
k
)
nếu ngược lại

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 18 -
Bổ đề 1.3.3: nếu quan hệ G là bắc cầu và thoả mãn: G(i, j) = G(k, j) lúc đó
S(J
k
) = S(J
i
). Tương tự như vậy mỗi tham số X
i
được thay bằng tập mờ T
i
= I
i
 J
i

trong đó S(T
i
)  I.

Định nghĩa 1.3.4
P
i
’
= I
i
x J
i

Với hàm liên thuộc :
(P
i
’
)(m,n) = (I
i
)m ^ (J
i
)n
hay (P
i
’
)(m,n) = G(m, i) ^ G(i, n)
Theo tính chất hoán vị của L thì P
i
’
là quan hệ bắc cầu.
Định nghĩa 1.3.5
P
i
”

=T
i
x T
i
là quan hệ phản xạ và cho (P
i
”
)(m,m) = I
L
và (P
i
”
)(m,n) = 0
L
với
m khác n.
Định nghĩa 1.3.6
P
i
= P
i
’
 P
i
”

là quan hệ phản xạ và bắc cầu
R
i
= G  P

i
R
i
là quan hệ biểu thị cấu trúc của một hệ con của hệ S mà trong đó xét mức
độ quan trọng của tham số X
i

Bổ đề 1.3.6: Nếu G là quan hệ bắc cầu thì R
i
= P
i

Chú ý: Khi có X
i
phụ thuộc vào X
j
, nghĩa là G(i, j) > 0
L
thì không thoả mãn
X
j
phụ thuộc vào X
i
nghĩa là G(i, j) = 0
L
. Nhưng có những trường hợp xảy ra G(i, j)
> 0
L
và G(j, i) > 0
L.

Định nghĩa 1.3.7
E
i
= P
i
’
 P
i
”

Bổ đề 1.3.7
Ta luôn có:
a) (E
i
)(i, i) = I
L

b) (E
i
)(m, n) = 0
L
với m  n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 19 -
c) (E
i

)(m, m) = G(m, i) ^ G(i, m) nếu X
i
phụ thuộc vào X
j
và X
j
phụ thuộc
vào X
i.

= G(m, i) nếu G(m, i) ^ G(i, m)
Định nghĩa 1.3.8
R
i
’
= P
i
’
 G
R
i
”
= P
i
”
 G
F
i
= R
i

’
 R
i
”

Bổ đề 1.3.8
a) R
i
”
= P
i
”

b) F
i

= E
i

c) R
i
= R
i
’
 P
i
”

- Một cách cho ƣớc lƣợng không âm (d)
Xét đẳng cấu : L → [0, 1]

Thay 0
L
= 0 và I
L
= 1
Xác định tập mờ A: A:U  L
Ta cho d(A) =

Ux
Ax)(


Bổ đề 1.3.9
d(A) là ước lượng không âm trên vành L(U).
Nhận xét:
a) Từ Bổ đề 1.3.8 và Bổ đề 1.3.9 ta suy ra:
d(R
i
) = d(R
i
’
) + d(P
i
”
) – d(E
i
)
b) Từ bổ đề 1.3.6 suy ra rằng nếu G là bắc cầu thì
d(R
i

) = d(P
i
’
) + d(P
i
”
) – d(E
i
)
c) Nếu L = [0, 1] thì

tự đẳng cấu, số d(A) =

Ux
Ax
trong trường hợp này
có nghĩa là mật độ tổng quát của tập mờ A.
1.3.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến và một số phƣơng pháp giải
a. Phát biểu bài toán
Bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát có thể diễn tả dưới dạng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


- 20 -









pjxh
mixg
Rxxf
j
i
n
,1,0)(
,1,0)(
);(min

Trong đó ít nhất một trong các hàm f(x), {g
i
(x)} và {h
j
(x)} là phi tuyến.
Trong một số trường hợp, các ràng buộc đẳng thức, còn bất đẳng thức ≤ có thể
chuyển thành bất đẳng thức ≥ bằng cách nhân hai vế với (-1).
Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) thì ta có thể quy bài toán quy hoạch phi tuyến
không ràng buộc. Có những khi ta gặp bài toán dạng như sau:
min f(x); x  M (1.25)
M = {x  D|g
i
(x) ≥0; h
j
(x) = 0; i = 1, ,m; j = 1,…,p} (1.26)
trong đó D là tập lồi trong R
n

.
Nếu hàm f(x), {g
i
(x)} và {h
j
(x)} là những hàm lồi thì ta có quy hoạch lồi, là
một trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch phi tuyến. Nếu hàm f(x) là một
dạng toàn phương, còn các ràng buộc là tuyến tính thì ta có quy hoạch toàn phương
lại là một trường hợp riêng của quy hoạch lồi.
Nhiều khi người ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không có ràng buộc
bằng cách dùng một hàm bổ trợ. Hàm bổ trợ này biểu diễn qua các hàm số của bài
toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểu không điều kiện trong
một miền nào đấy. Người ta thay đổi dần thông số, và chính bằng cách đó làm tăng
ảnh hưởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ và như vậy, người ta xây dựng được
một dãy bài toán không có ràng buộc mà nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của
bài toán xuất phát. Để đơn giản ta nêu ra tư tưởng cơ bản một cách hình thức. Xét
bài toán:
(1.28) m1,i 0 )(g
(1.27) R xf(x);min
i
n


x

Hàm bổ trợ điển hình không có ràng buộc có thể viết dưới dạng:





m
i
i
xgGtftx
1
i
)]([)( (x))](,[


Trong đó: t = thông số
(1.22)
(1.23)
(1.24)