giao an bam sat toan 10

BM ST TON 10 1
Tun 10,11,12 T CH VO H NG CA HAI VECTO

Phơng pháp 1
Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ
a
r
và
b
r
về cùng gốc để xác định góc (
a
r
,
b
r
) rồi tính
a
r
.
b
r
=
a
r
.
b
r
cos(
a
r

,
b
r
)
Phơng pháp 2
Sử dụng các tính chất của tích vô hớng, các hằng đẳng thức véc tơ và thờng phối hợp với phơng
pháp 1.
Phơng pháp 3
Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ
A B
uuur
và
CD
uuur
, ta có :
A B
uuur
.
CD
uuur
=
A B
uuur
.
' 'C D
uuuuur
=
.A B CD
Trong đó C,D là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơ
A B

uuur
.
Phơng pháp 4
Sử dụng biểu thức tọa độ.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a, I là tâm đờng tròn nội tiếp . a)
tính
A B
uuur
.
CA
uur
;
A B
uuur
.
IH
uur
; b)tính
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+

CA
uur
.
A B
uuur

giải: A
a)
A B
uuur
.
CA
uur
=a
2
cos(
A B
uuur
,
CA
uur
)=a
2
cos60=
1
2
a
2

BC=2BH=2ABsin60=
3a
I

B H C
áp dụng công thức: IH=
2
sin 120
2(2 3)
A B C
S
a
r
p
a a
= =
+
o
V
=
2
3
4 (2 3)
a
a +

Vậy
A B
uuur
.

IH
uur
=a.
3
4(2 3)
a
+
cos
60
o
2
3
8(2 3)
a
=
+
b)
A B
uuur
+
BC
uuur
+
CA
uur
=
0
r
(
A B

uuur
+
BC
uuur
+
CA
uur
)
2
=0
AB
2
+BC
2
+CA
2
+2(
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA

uur
A B
uuur
)=0
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA
uur
.
A B
uuur
=
2
5
2
a
-
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b
tính
AB

uuur
.
A C
uuur
theo a, b, c.
suy ra
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
CA
uur
.
A B
uuur
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)

Giải:
Ta có BC
2
=
2
BC
uuur
=(
A C
uuur
-
A B
uuur
)
2
=AC
2
+AB
2
-2
A C
uuur
.
A B
uuur
Do đó
A C
uuur
.
A B

uuur
=
2 2 2
1
( )
2
A C A B BC+ -
=
1
2
(b
2
+c
2
-a
2
) (1) Ghi nhớ công thức (1)
b) Từ (1) :
CA
uur
.
A B
uuur
=
1
2
(a
2
-b
2

-c
2
)
Gv: Trn Th Duyờn
A D

I

B C

BM ST TON 10 2
Tơng tự:
A B
uuur
.
BC
uuur
=
1
2
(b
2
-c
2
-a
2
) Và
BC
uuur
.

CA
uur
=
1
2
(c
2
-a
2
-b
2
)

A B
uuur
.
BC
uuur
+
A B
uuur
.
BC
uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur

=
1
2
(a
2
-b
2
-c
2
)+
1
2
(b
2
-c
2
-a
2
)+
1
2
(c
2
-a
2
-b
2
)=-
1
2

(a
2
+b
2
+c
2
)
Chú ý : có thể làm theo cách nh ví dụ 1 (Câu b)
c)
A G
uuur
=
1
3
(
A B
uuur
+
A C
uuur
) ; AG
2
=
A G
uuur
2
=
1
9
(

A B
uuur
+
A C
uuur
)
2
=
1
9
(AB
2
+AC
2
+2
A B
uuur
.
A C
uuur
)=
1
9
(c
2
+b
2
+ b
2
+c

2
-
a
2
)
=
1
9
(2b
2
+2c
2
-a
2
) AG=
1
3
2 2 2
2 2b c a+ -
.
Cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)=
.
.
A G BC

A G BC
uuur uuur
uuur uuur
(1)
A G
uuur
.
BC
uuur
=
1
3
(
A B
uuur
+
A C
uuur
).(
A C
uuur
-
A B
uuur
)=
1
3
(b
2
-c

2
) (2)
Thay (2) vào (1) : Cos(
A G
uuur
,
BC
uuur
)=
2 2
2 2 2
. 2 2
b c
a b c a
-
+ -
Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đờng cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ
AD= a.
Tính các tích vô hớng
A B
uuur
.
CD
uuur
,
BD
uuur
.
BC
uuur

và
A C
uuur
.
BD
uuur
.
Gọi I là trung điểm của CD, tính
A I
uur
.
BD
uuur
. Suy ra góc của AI và BD.
Giải :
a)
BA
uuur
là hình chiếu của
CD
uuur
lên đờng
thẳng chứa
BA
uuur
.
Ta có
A B
uuur
.

CD
uuur
=
A B
uuur
.
BA
uuur
=-
A B
uuur
2
=-4a
2

BD
uuur
.
BC
uuur
=
BH
uuur
.
BC
uuur
=a.3a=3a
2

A C
uuur
.
BD
uuur
=(
A B
uuur
+
BC
uuur
).
BD
uuur
=
A B
uuur
.
BA
uuur
+
BC
uuur
.
BD
uuur

=-4a
2
+3a
2
=-a
2
b)
A I
uur
.
BD
uuur
=
1
2
(
A D
uuur
+
A C
uuur
).(
A D
uuur
-
A B
uuur
) =
1
2

(
A D
uuur
2
-
A D
uuur
.
A B
uuur
+
A C
uuur
.
A D
uuur
-
A C
uuur
.
A B
uuur
)
Mà
2
2
2
2
; . 0
. . 3

. . 4
A D a A D A B
A C A D A K A D a
A C A B A B A B a
ỡ
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ợ
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Vậy
A I
uur
.
BD

uuur
=
1
2
(a
2
+3a
2
-4a
2
)=0 AI BD
Bài tập :
1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a. Tính
A B
uuur
.
A C
uuur
;
A C
uuur
.
CB
uuur

2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9.
a) Tính
BC
uuur
2

rồi suy ra
A B
uuur
.
A C
uuur
và tính cosÂ; b) Tính
CA
uur
.
CB
uuur
c) Gọi I là trung điểm của AC. Tính
CI
uur
.
CB
uuur
3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.
a) Tính
A B
uuur
.
A C
uuur
suy ra cosÂ; b) G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
A G
uuur
.
BC

uuur
c) Tính
. . .GA GA GB GC GC GA+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
;
d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC).Tính
A D
uuur
theo
A B
uuur
và
A C
uuur
. suy ra : AD
Gv: Trn Th Duyờn
A D
C
A
B C
A D
C
A
B C
BM ST TON 10 3
4. cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, Â=
2
3
p
a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC). b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi :

5. Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a.
Hãy tính AB trong các trờng hợp sau :
a)
A C
uuur
.
A B
uuur
=a
2
b)
A C
uuur
.
BD
uuur
=-a; c)
.IC ID
uur uur
=a
2
(I là trung điểm của AB)
6. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B
với AD=2a , AB=BC =a.
a) Tính
A C
uuur
.
BD
uuur

b) Suy ra hình chiếu
' 'A C
uuuuur
của
A C
uuur
lên
BD
uuur
7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC . Biêt rằng :

A M
uuuur
.
BC
uuur
=
2
2
a
. Tính AB, AC.
8. Cho các véc tơ
,a b
r
r
biết rằng
2 3a b- =
r
r

. Tính
.a b
r
r
?
9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến.
Biết
BN
uuur
.
CP
uuur
=x ;
BN
uuur
.
CA
uur
=y ;
CP
uuur
.
A B
uuur
=z (x, y, z R) . Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z.
10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a .
Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x
(0<x<3a) .
a) Tính
A M

uuuur
theo
A B
uuur
và
A C
uuur
. b) Tính x để AM PN
Đáp số và giải :
1. đs:
A B
uuur
.
A C
uuur
=0;
A C
uuur
.
CB
uuur
=-a
2
2. đs: a) 49; 24; cosÂ=
2
3
. b) 57 c)
57
2
;

2 0; 2IA IB J B JC+ = =
uur uur uur uuur
3. đs : a)
3
2
-
; cosÂ=
1
4
-
b)
A G
uuur
.
BC
uuur
=
5
3
c) =
2 2 2
1 29
( )
6 6
A B BC CA- + + = -
4. đs : a) BC=
19
; AM=
7
2

b) IJ=
2
133
3
d) Hình chiếu
' 'A C
uuuuur
của
A C
uuur
lên
BD
uuur
ngợc hớng với
BD
uuur
và có
' '
2
a
A C =
uuuuur
5. đs :
a) AB=a; b) AB=
3a
; c) AB=2a
d) Đặt AB=x>0 Ta có BD=
2 2
x a+
;

A C
uuur
.
BD
uuur
=(
A B
uuur
+
BC
uuur
)(
BA
uuur
+
A D
uuur
)=-
A B
uuur
2
+
BC
uuur
.
A D
uuur
=-
x
2

+2a
2
Mặt khác theo định lý hình chiếu :
A C
uuur
.
BD
uuur
=
' 'A C
uuuuur
.
BD
uuur
=
' 'A C
uuuuur
BD
uuur
cos180=-
2
a
2 2
x a+
Gv: Trn Th Duyờn
BM ST TON 10 4
Dẫn đến phơng trình : 2a
2
-x
2

=-
2
a
2 2
x a+
Giải phơng trình ta đợc x=
3a
. Vậy AB=
3a
7. đs: AB=a, AC=
2a

8.đs :
.a b
r
r
=
1
2

9. Hớng dẫn giải :
phân tích
BN
uuur
=
BA
uuur
+
A N
uuur

= -
A B
uuur
+
1
2
A C
uuur
(1) ;
CP
uuur
=
CA
uur
+
A P
uuur
=
CA
uur
+
1
2
A B
uuur
(2)
Thay (1),(2) vào
BN
uuur
.

CP
uuur
=x(-
A B
uuur
+
1
2
A C
uuur
).(
CA
uur
+
1
2
A B
uuur
)=x5
A B
uuur
.
A C
uuur
-2
A B
uuur
2
-2
A C

uuur
2
=4x
Đặt
A B
uuur
.
A C
uuur
=t; AB=c; AC=b Ta đợc : 5t-2c
2
-2b
2
=4x
Tơng tự :
BN
uuur
.
CA
uur
=y -b
2
+2t=2y ;
CP
uuur
.
A B
uuur
=z-c
2

+2t=2z
Giải hệ
2 2
2
2
5 2 2 4
2 2
2 2
t c b x
b t y
c t z
ỡ
ù
- - =
ù
ù
ù
ù
- + =
ớ
ù
ù
ù
- + =
ù
ù
ợ

2
2

(4 4 4 ) / 3
(8 8 2 ) / 3
(2 8 8 ) / 3
t y x z
c y x z
b y x z
ỡ
ù
= - -
ù
ù
ù
ù
= - -
ớ
ù
ù
ù
= - -
ù
ù
ợ

(8 8 2 ) / 3
(2 8 8 ) / 3
(2 8 2 ) / 3
A B y x z
A C y x z
BC y x z
ỡ

ù
= - -
ù
ù
ù
ù
= - -
ớ
ù
ù
ù
= - -
ù
ù
ợ
10.Giải : a) BM=a; BC=3a. Suy ra :

2 1
2 0 2( ) ( ) 0 2 3
3 3
MB MC A B A M A C A M AB AC A M A M A B A C+ = - + - = + = = +
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
uuur uuuur
r r
b) AM PN
A M
uuuur
.
PN
uuur

=0 (
2
3
A B
uuur
+
1
3
A C
uuur
).(
A N A P-
uuur uuur
)=0
(
2
3
AB
uuur
+
1
3
A C
uuur
).(
1
3
A C
uuur
-

3
x
a
A B
uuur
)=0 (2-
x
a
).
1
2
+9a
2
-18ax=0x=
4
5
a

Tun 13,14,15 Chứng minh một đẳng thức về tích vô hớng
Chứng minh hai véc tơ vuông góc
Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp :
sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1.
Về độ dài , chú ý rằng : AB
2
=
A B
uuur
2

=(
( )OA OB-
uuur uuur
2
với O là một điểm tùy ý
Để chứng minh hai véc tơ
a
ur
và
b
r
vuông góc ta chứng minh
a
ur
.
b
r
=0
Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề :
a
ur

b
r

a
ur
.
b
r

=0
Gv: Trn Th Duyờn
A
H
B M C
A B
O
D C
BM ST TON 10 5
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
+
MB
uuur
.
CA
uur
+
MC
uuuur
.
A B
uuur
=0
b) MA

2
+MB
2
+MC
2
=3MG
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2
, với M là một điểm tùy ý.
Suy ra vị trí của M để MA
2
+MB
2
+MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : a)
MA
uuur
.
BC
uuur
=
MA
uuur

.(
MC
uuuur
-
MB
uuur
)=
MA
uuur
.
MC
uuuur
-
MA
uuur
.
MB
uuur
Tơng tự:
MB
uuur
.
CA
uur
=
MB
uuur
.
MA
uuur

-
MB
uuur
.
MC
uuuur
;
MC
uuuur
.
A B
uuur
=
MC
uuuur
.
MB
uuur
-
MC
uuuur
.
MA
uuur
Cộng từng vế ta có kết quả câu a)
b) Phân tích AM
2
=
MA
uuur

2
=(
MG
uuuur
+
GA
uuur
)
2
=MG
2
+GA
2
+2
MG
uuuur
.
GA
uuur
Tơng tự MB
2
=MG
2
+GB
2
+2
MG
uuuur
.
GB

uuur
; MC
2
=MG
2
+GC
2
+2
MG
uuuur
.
GC
uuur
Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc: MA
2
+MB
2
+MC
2
= 3MG
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2

Từ đó MA
2

+MB
2
+MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác.
Chứng minh rằng : a)
MH
uuuur
.
MA
uuur
=
1
4
BC
2
b) MA
2
+MH
2
=AH
2
+
1
2
BC
2
Giải :
a) Ta có : 4

MH
uuuur
.
MA
uuur
= -4
MH
uuuur
.
A M
uuuur
=
-2
MH
uuuur
.(
A B
uuur
+
A C
uuur
) =2
MH
uuuur
.
BA
uuur
+2
MH
uuuur

.
CA
uur
=
=2(
MC
uuuur
+
CH
uuur
).
BA
uuur
+2(
MB
uuur
+
BH
uuur
)
CA
uur
=2
MC
uuuur
.
BA
uuur
+2
MB

uuur
.
CA
uur
=2
MC
uuuur
.(
BA
uuur
-
CA
uur
)=
BC
uuur
.
BC
uuur
=
BC
uuur
2
= BC
2
b) AH
2
=(
MH
uuuur

-
MA
uuur
)
2
=MH
2
+MA
2
-2
MH
uuuur
.
MA
uuur
=MH
2
+MA
2
-
1
2
BC
2
MA
2
+MH
2
=AH
2

+
1
2
BC
2
Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. M là một điểm tùy ý. Chứng minh :
a)
MA
uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+
MD
uuur
b)
MA
uuur
.
MC
uuuur
=
MB
uuur
.
MD
uuur

c) MA
2
+MC
2
=MB
2
+MD
2
Giải :
a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB.
Ta có :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=2
MO
uuur
;
MB
uuur
+
MD
uuur
=2
MO
uuur
Vậy
MA

uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+
MD
uuur
b)
MA
uuur
.
MC
uuuur
=(
OA
uuur
-
OM
uuur
).(
OC
uuur
-
OM
uuur
)=(
MO

uuur
+
OA
uuur
).(
MO
uuur
-
OA
uuur
)=MO
2
-OA
2
Gv: Trn Th Duyờn



A
E
D
O
B C


BM ST TON 10 6

MB
uuur
.

MD
uuur
=(
OB
uuur
-
OM
uuur
).(
OD
uuur
-
OM
uuur
)=(
MO
uuur
+
OB
uuur
).(
MO
uuur
-
OB
uuur
)=MO
2
-OA
2

c) Theo câu a) :
MA
uuur
+
MC
uuuur
=
MB
uuur
+
MD
uuur
(
MA
uuur
+
MC
uuuur
)
2
=(
MB
uuur
+
MD
uuur
)
2
MA
2

+MC
2
+2
MA
uuur
.
MC
uuuur
=MB
2
+MD
2
+2
MB
uuur
.
MD
uuur
MA
2
+MC
2
=MB
2
+MD
2
(theo câu b)
Bài tập :

1. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đờng chéo.

a) Chứng minh : 2
A C
uuur
.
BD
uuur
=AB
2
-BC
2
+CD
2
-DA
2
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là :
AB
2
+CD
2
=BC
2
+DA
2
c) Chứng minh : AB
2
+BC
2
+CD
2
+DA

2
=AC
2
+BD
2
+4EF
2
2. Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý. Chứng minh hệ thức :
a)
MA
uuur
.
BC
uuur
+
MB
uuur
.
CA
uur
+
MC
uuuur
.
A B
uuur
=0
b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.
3. Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp .
Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD .

Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
4. Cho đờng tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ
để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là:
OA
uuur
.
OM
uuur
=R
2
5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,
đờng kính AB=2R. Gọi I là giao điểm
của hai đờng thẳng AM và BN .
a) chứng minh :
A M
uuuur
.
A I
uur
=
A B
uuur
.
A I
uur
;
BN
uuur
.
BI

uur
=
BA
uuur
.
BI
uur
b) Tính
A M
uuuur
.
A I
uur
+
BN
uuur
.
BI
uur
theo R
6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đờng cao AH.
Chứng minh các đẳng thức sau :
a).
A B
uuur
A C
uuur
=AM
2
-

2
4
BC
=
1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
); b) AB
2
+AC
2
= 2AM
2
+
1
2
BC
2
c) AB
2
-AC
2
=2
A B
uuur

.
MH
uuuur
; d) S
ABC
=
1
2
2 2 2
. ( . )A B A C A B AC-
uuur uuur
7. Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b .
Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a)AC vuông góc với BD ; b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
8. Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN. Đặt BC=a, CA=b,AB=c.
Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN
9. Cho hình thang vuông ABCD , đờng cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b .
Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho :
a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB ); b) BD vuông góc với CI
c) AC vuông góc với DI
d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD
10. Cho tứ giác ABCD .Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi :

A B
uuur
.
AD
uuur
+
BA

uuur
.
BC
uuur
+
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
= 0
Lời giải và đáp số :
3. Giải :
Gv: Trn Th Duyờn
A a B
h M
D C

A
N M
B N
BM ST TON 10 7
Ta chứng minh
OE

uuur
.
CD
uuur
=0
Thật vậy :
OE
uuur
.
CD
uuur
=(
A E
uuur
-
A O
uuur
).(
A D
uuur
-
A C
uuur
)=
Mà
A E
uuur
=
1
3

(
A C
uuur
+
A D
uuur
) (vì E là trọng tâm của tam giác ADC)

OE
uuur
.
CD
uuur
=[
1
3
(
A C
uuur
+
A D
uuur
)-
A O
uuur
].(
A D
uuur
-
A C

uuur
)=
=
1
3
(AD
2
-AC
2
)-
A O
uuur
.
A D
uuur
+
A O
uuur
.
A C
uuur
(1)
Thay
A O
uuur
.
A C
uuur
=
A F

uuur
.
A C
uuur
(định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC bằng
1
2
AC
2
Và
A O
uuur
.
A D
uuur
=AD
2
(định lý hình chiếu) Vào (1) , ta đợc
OE
uuur
.
CD
uuur
=
1
6
(AC
2
- 4AD
2

)= 0
4. Giải :
Xét điểm M tùy ý(O, R)
OA
uuur

OM
uuur

OA
uuur
.
OM
uuur
=0 (
OM
uuur
+
MA
uuur
).
OM
uuur
=0 OM
2
+
MA
uuur
.
OM

uuur
=0
OM
uuur
.
A M
uuuur
=OM
2

OM
uuur
.
A M
uuuur
=R
2
5. Giải :
a)
A M
uuuur
là hình chiếu của
A B
uuur
trên đờng thẳng AI.
Vậy
A B
uuur
.
A I

uur
=
A M
uuuur
.
A I
uur
(định lý hình chiếu)

BN
uuur
là hình chiếu của
BA
uuur
lên đờng thẳng BI. Vậy :
BA
uuur
.
BI
uur
=
BN
uuur
.
BI
uur
.
b)
A M
uuuur

.
A I
uur
+
BN
uuur
.
BI
uur
=
A B
uuur
.
A I
uur
+
BA
uuur
.
BI
uur
=
A B
uuur
.(
A I
uur
-
BI
uur

)=
A B
uuur
2
=4R
2

7. Giải :
a) Ta chứng minh :
A C
uuur
.
BD
uuur
=0.
A C
uuur
.
BD
uuur
=
A C
uuur
.(
A D
uuur
-
A B
uuur
)=

A C
uuur
.
A D
uuur
-
A C
uuur
.
A B
uuur
(1)
Mà
A C
uuur
.
AD
uuur
=
A D
uuur
.
A D
uuur
=h
2
Và
A C
uuur
.

A B
uuur
=
DC
uuur
.
A B
uuur
=b.a (định lý hình chiếu). Do đó (1) trở thành :
A C
uuur
.
BD
uuur
=h
2
-ab
Vậy AC BD h
2
-ab=0
b) BD AM
BD
uuur
.
A M
uuuur
=0
1
2
BD

uuur
.(
A B
uuur
+
A C
uuur
) = 0
BD
uuur
.
A B
uuur
+
BD
uuur
.
A C
uuur
= 0 (2)
Mà
BD
uuur
.
AB
uuur
=
BA
uuur
.

A B
uuur
=-AB
2
=-a
2
Và
BD
uuur
.
A C
uuur
=h
2
-ab (kết quả trên)
Do đó (2) trở thành : -a
2
+h
2
-ab=0 Vậy BD AM h
2
=a(a+b)
.
8. Giải :
BM CN
BM
uuur
.
CN
uuur

=0
1
2
(
BA
uuur
+
BC
uuur
).
1
2
(
CA
uur
+
CB
uuur
) =0

BA
uuur
.
CA
uur
+
BA
uuur
.
CB

uuur
+
BC
uuur
.
CA
uur
+
BC
uuur
.
CB
uuur
= 0

A B
uuur
.
A C
uuur
-
BA
uuur
.
BC
uuur
-
CB
uuur
.

CA
uur
-
CB
uuur
2
= 0

1
2
(AB
2
+AC
2
-BC
2
) -
1
2
(AB
2
+BC
2
-AC
2
)
1
2
(BC
2

+AC
2
-AB
2
) BC
2
= 0
AC
2
+AB
2
-5BC
2
= 0 b
2
+c
2
= 5a
2

9. đs :
a) ab-
1
4
h
2
= 0
Gv: Trn Th Duyờn
A a D
I N M

B b C
A B
D C
BM ST TON 10 8
b) ab-
1
2
h
2
= 0
c)
1
2
h
2
-ab = 0
d) h
2
-2b
2
+ab = 0
10. Giải :

A B
uuur
.
A D
uuur
+
BA

uuur
.
BC
uuur
+
CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
= 0
(
A B
uuur
.
A D
uuur
+
BA
uuur
.
BC
uuur
) +(

CB
uuur
.
CD
uuur
+
DC
uuur
.
DA
uuur
) = 0

A B
uuur
.(
A D
uuur
-
BC
uuur
) -
DC
uuur
.(
A D
uuur
-
BC
uuur

) = 0
(
A D
uuur
-
BC
uuur
).(
A B
uuur
-
DC
uuur
) = 0
A D BC
A B DC
ộ
=
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở
uuur uuur
uuur uuur
ABCD là hình bình hành
Tun 16,17 Tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức
về tích vô hớng hoặc độ dài.
Ph ơng pháp :

Có thể sử dụng một trong các cách sau :
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
MA
uuur
.
MB
uuur
=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.)
Đa đẳng thức cho trớc về dạng
A M
uuuur
v
r
= 0 , trong đó A là điểm cố định và
v
r
là véctơ cố định.
Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM
2
= k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dơng không
đổi.
Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
MA
uuur
.
MB
uuur
=k (k là giá trị cho trớc) . Biện luận.
b) MA

2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
= 0
c) 2MB
2
+
MB
uuur
.
MC
uuuur
= a
2
(với a : độ dài cạnh BC)
Giải :
a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Thế thì :

MA
uuur
.
MB
uuur
=k (
MI
uuur

+
IA
uur
).(
MI
uuur
-
IA
uur
) =k
IM
2
-IA
2
=k IM
2
=
2
4
A B
+k
Biện luận : Nếu
2
4
A B
+k > 0 k >-
2
4
A B
:

thì tập hợp những điểm M là một đờng tròn tâm I, bán kính
2
4
A B
k+
.

Nếu k = -
2
4
A B
: tập hợp M là điểm I
Nếu
2
4
A B
+k < 0 thì tập hợp M là
Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đờng tròn đờng kính AB

b) MA
2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
=0
MA
uuur

.(
MA
uuur
+
MB
uuur
) = 0
MA
uuur
.
MI
uuur
= 0
tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI.
Gv: Trn Th Duyờn
M
A I B

BM ST TON 10 9
c) 2MB
2
+
MB
uuur
.
MC
uuuur
=a
2

MB
uuur
.(2
MB
uuur
+
MC
uuuur
) = a
2


(1)
Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2
KB
uuur
+
KC
uuur
=
0
r
, thế thì 2
MB
uuur
+
MC
uuuur
=2(2
MB

uuur
-
MK
uuuur
) +(
MC
uuuur
-
MK
uuuur
) =
0
r
(2
MB
uuur
+
MC
uuuur
) = 3
MK
uuuur
do đó : (1)
MB
uuur
.
MK
uuuur
=
2

3
a
Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi nh câu a) ta đợc :
(1) MO
2
-
2
4
BK
=
2
3
a
MO
2
=
2
3
a
+
2
4
BK
Từ : 2
KB
uuur
+
KC
uuur
=

0
r
KB =
3
a
Nên (1) MO
2
=
2
13
36
a
MO =
6
13a
.
Vậy tập hợp M là một đờng tròn tâm O, bán kính R=
6
13a
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa :
a)
A M
uuuur
.
BC
uuur
= k (k :số cho trớc ) b) (
MA
uuur
-

MB
uuur
).(2
MB
uuur
-
MC
) = 0
c) MA
2
-MB
2
+CA
2
-CB
2
= 0 d)
MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
=MC
2
-MB
2

+BC
2
;
e) 3MA
2
-2MB
2
-MC
2
= 0
Giải :
a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC.
áp dụng định lý hình chiếu , ta có :
A M
uuuur
.
BC
uuur
=
BCHK
=k

kBCHK =

BC
k
HK =
: giá trị không đổi.
Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M
là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K.

b) Xét điểm cố định I thỏa : 2
ICIB
=
0
r
2
MB
uuur
-
MC
=
MI
Vậy (
MA
uuur
-
MB
uuur
).(2
MB
uuur
-
MC
) = 0
.BA
MI
=0
MI BA.
Tập hợp M là một đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I.
Chú ý : điểm I thỏa :

0IB IC+ =a b
uur uur r
(với +
ạ
0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai
điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó +
ạ
0.( trong câu b) : =2, =-1)
c) MA
2
-MB
2
+CA
2
-CB
2
=0
(
MA
uuur
-
MB
uuur
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
) +(

CA
uur
+
CB
uuur
).(
CA
uur
-
CB
uuur
) =0
2
.BA
(
MI
uuur
+
CI
uur
) = 0 (1)
Dựng véc tơ
IJ CI=
uur uur
, thế thì
(1)
.BA
MJ
uuur
= 0 .Điểm J cố định .

Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J Và vuông góc với AB.
d)
MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
=MC
2
-MB
2
+BC
2


MA
uuur
.
MB
uuur
-
MA
uuur
MC
+MB
2

-MC
2
=BC
2
Gv: Trn Th Duyờn
A M


G

B G H C
A


B C


-
v
r
BM ST TON 10 10

MA
uuur
.(
MB
uuur
-
MC
)+(

MB
uuur
+
MC
).(
MB
uuur
-
MC
)=BC
2
(
MB
uuur
-
MC
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
+
MC
) = BC
2
3
CB
uuur
.

MC
=BC
2
(1) (G là trọng tâm tam giác ABC)
Gọi G và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC.
Thế thì : (1) 3
2
. 'BC G H BC=

'G H
=
3
BC
G cố định,
3
BC
không đổi H cố định và
tập hợp các điềm M là một đờng thẳng vuông góc với BC tại H
e) Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta phân tích :
MA
2
=(
MO
uuur
+
OA
uuur
)

2
= MO
2
+OA
2
+2
MO
uuur
.
OA
uuur
MB
2
=(
MO
uuur
+
OB
uuur
)
2
= MO
2
+OB
2
+2
MO
uuur
.
OB

uuur
MC
2
= (
MO
uuur
+
OC
uuur
)
2
= MO
2
+OC
2
+2
MO
uuur
.
OC
uuur
Do đó :
3MA
2
-2MB
2
-MC
2
=2
MO

uuur
.(3
OA
uuur
-2
OB
uuur
-
OC
uuur
)+
+3OA
2
-2OB
2
+OC
2
(1)
Mà OA=OB=OC=R3OA
2
-2OB
2
+OC
2
=0
Và 3
OA
uuur
-2
OB

uuur
-
OC
uuur
=3
OA
uuur
-2(
OA
uuur
+
A B
uuur
)-(
OA
uuur
+
A C
uuur
)= -(2
A B
uuur
+
A C
uuur
) là một véc tơ cố định
v
r
.
Nên : 3MA

2
-2MB
2
-MC
2
= 0 2
MO
uuur
.
v
r
=0
Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ
v
r
.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
MB
uuur
.
MC
uuuur
-
MB
uuur
.
MG
uuur

=AB
2
(G là trọng tâm); b) (2
MA
uuur
- 3
MB
uuur
).(
MA
uuur
+2
MB
uuur
) = 0
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. BC = 6a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
(
MB
uuur
+
MC
uuuur
).(
MA
uuur
+
MB
uuur
+
MC

uuuur
) = a
2
3. Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm .
a) P là một điểm bất kỳ. Tính
PA
uuur
.
PB
uuur
theo PI và a.
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa
MA
uuur
.
MB
uuur
= a
2
4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
A B
uuur
.
A M
uuuur
=
A B
uuur
.
A C

uuur
5.Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
một trong các hệ thức sau :
a)
MA
uuur
.
MB
uuur
=
MA
uuur
.
MC
uuuur
; b)
MA
uuur
2
+
MA
uuur
.
MB
uuur
+
MA
uuur
.
MC

uuuur
=0; c)
MA
uuur
2
=
MB
uuur
.
MC
uuuur
6. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
2 2
. . ( 0)MA MB k
a b a b
+ = + ạ
; b)
2 2 2
( 0)MA MB MC k
a b g a b g
+ + = + + ạ
7. Cho ABCD là hình bình hành . Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
Gv: Trn Th Duyờn



C
A d B
BM ST TON 10 11

MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
=k
2
,với kR
8. cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp các điểm M
di động trong góc BÂC, sao cho : AB.AH AC. AK =AI
2
(1)
Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC.
9. Cho tứ giác ABCD . I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD. Tìm tập hợp các điểm M
sao cho :
MA
uuur
.
MB
uuur
+
MC
uuuur
.
MD
uuur
=

1
2
IJ
2
(1)
10. Cho tam giác ABC . I là trung điểm của AB. J là điểm thỏa mãn:
JA
uur
+3
JB
uur
-2
JC
uur
=
0
r
a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA
uuur
.
MC
uuuur
+3
MB
uuur
.
MC
uuuur

= 2
MC
uuuur
2
H ớng dẫn - đáp số

1. đs :
a) Tập hợp M là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng GC tại H, xác định bởi
hệ thức :
2
1
A B
B H
GC
=
b) Tập hợp M là đờng tròn đờng kính IJ.
2. đs : Gọi O là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác , I là trung điểm của OG.
Thì tập hợp M là đờng tròn tâm I, bán kính R = a
5
12
3.Hớng dẫn giải :
a) phân tích
PA
uuur
.
PB
uuur
=(
PI
uur

+
IA
uur
). (
PI
uur
+
IB
uur
)=(
PI
uur
+
IA
uur
).(
PI
uur
-
IA
uur
)=
2 2
PI a-
b) Sử dụng kết quả câu a) , ta tính đợc IM=a
2
.
Vậy tập hợp M là đờng tròn (I,R= a
2
)

4.đs:
Tập hợp M là đờng thẳng (d) qua C và vuông góc với AB

5.đs :
a) tập hợp M là đờng thẳng (d) qua A và vuông góc với BC.
b) Ta chứng minh
MA
uuur
.
MG
uuur
=0. Tập hợp M là dờng tròn đờng kính AG
với G là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Gọi I là trung điểm của BC và J là trung điểm của AI.
Lu ý :
MB
uuur
.
MC
uuuur
=
2
2
4
BC
MI -
Nên
MA
uuur

2
=
MB
uuur
.
MC
uuuur

MA
uuur
2
=MI
2
-
2
4
BC

MI
uuur
2
-
MA
uuur
2
=
2
4
BC
(

MI
uuur
-
MA
uuur
).(
MI
uuur
+
MA
uuur
)=
2
4
BC

A I
uur
.2
MJ
uuur
=
2
4
BC
Gv: Trn Th Duyờn

A M d
H
J

B I C

C
A d B

BM ST TON 10 12

2
.
8
BC
IA JM =
uur uuur
. (1)
Gọi H là hình chiếu của M trên AI,thế thì : (1)
.IA JH
=
2
8
BC
JH=
2
8
BC
IA
(không đổi).H cố định.
Vậy tập hợp M là một đờng thẳng (d) đi qua H cố định và vuông góc với AI
6.Giải :
a) Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức :

0IA IB
a b
+ =
uur uur r
(1) (thì I là điểm cố định nằm trên
đờng thẳng AB).
Thì :
MA
2
+MB
2
=
2
2 2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;MI IA MI IB MI IA IB MI k
a b a b a b a b
+ + + = + + + = + +
uur uur
uuur uuur uur uuur uur
2 2
0
k IA IB
a b
= +
Vậy:
2 2 2 2
0 0
1

( ) .( )MA MB k MI k k MI k k
a b a b
a b
+ = + + = = -
+
Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đờng tròn (I, R=
o
k k
a b
-
+
) tùy theo
0
k k
a b
-
+
nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 0
Chú ý :Giá trị k
0
có thể tính đợc theo , , AB bằng cách bình phơng vô hớng
biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k
0
=
2
A B
ab
a b
+
b) Gọi I là điẻm xác định bởi hệ thức :

0IA IB IC
a b g
+ + =
uur uur uur r
(1) .
làm tơng tự nh câu a) , ta có :
2 2 2 2 2 2 2
( )MA MB MC MI IA IB IC
a b g a b g a b g
+ + = + + + + +
Đặt : IA
2
+IB
2
+IC
2
=k
0
không đổi. Giá trị k
0
có thể tính đợc bằng cách
bình phơng hai vế (1) , dẫn đến
2 2 2
0
A B BC CA
k
ab bg ga
a b g
+ +
=

+ +
Vậy MI
2
=
0
1
( )k k
a b g
-
+ +
Do đó tập hợp M có thể ,{}, hoặc là đờng tròn (I, R=
0
k k
a b g
-
+ +
)
Tùy theo
0
k k
a b g
-
+ +
nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0.

7.H ớng dẫn giải :
Gv: Trn Th Duyờn
BM ST TON 10 13
Sử dụng kết quả bài tập 6, vấn đề 2 : MA
2

+MC
2
=2MO
2
+
2
2
A C
; MB
2
+MD
2
=2MO
2
+
2
2
BD
Từ đó dẫn đến : MO
2
=
2 2 2
1
( )
4
k AC BD- -
Vậy tập hợp M có thể là ,{}, hay đờng tròn (O; R=
2 2
1
2

A C BD+
)
Tùy theo k
2
nhỏ hơn, bằng, hay lớn hơn AC
2
+BD
2
8.Giải :
Sử dụng định lý hình chiếu, đa (1) về dạng :
A I
uur
2
=
A B
uuur
.
A H
uuur
+
A C
uuur
.
A K
uuur
=
A B
uuur
.
A M

uuuur
+
A C
uuur
.
A M
uuuur
=(
A B
uuur
+
A C
uuur
).
A M
uuuur
=2
A I
uur
.
A M
uuuur
(2)
Gọi M
0
là hình chiếu vuông góc của M lên AI, thì :
(2)
A I
uur
2

=2
A I
uur
.
0
A M
uuuur

2
0
2 .A I A I AM=

0
2
A I
A M =
M
0
là trung điểm của đoạn AI.
Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M
0
là trung điểm của AI
Và nằm trong tam giác ABC
9.Giải :
(1) 4
MA
uuur
.
MB
uuur

+4
MC
uuuur
.
MD
uuur
=2IJ
2
(
MA
uuur
+
MB
uuur
)
2
-(
MA
uuur
-
MB
uuur
)
2
+(
MC
uuuur
+
MD
uuur

)
2
-(
MC
uuuur
-
MD
uuur
)
2
=2IJ
2
4MI
2
-AB
2
+4MJ
2
-CD
2
=2IJ
2
4MI
2
+4MJ
2
=AB
2
+CD
2

+2IJ
2
(*)
Gọi O là trung điểm của IJ
(*) 2(
MI
uuur
+
MJ
uuur
)
2
+2(
MI
uuur
-
MJ
uuur
)
2
-2IJ
2

= AB
2
+CD
2
2.(2MI
2
+2MJ

2
)-2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4(MI
2
+MJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2
4.(2MO
2
+
1
2
IJ
2
) -2IJ
2
=AB
2
+CD
2

8MO
2
=AB
2
+CD
2
MO=
2 2
1
2( )
4
A B CD+
tập hợp M là đờng tròn
(O;R=
2 2
1
2( )
4
A B CD+
)
10. đs :
b) tập hợp M là đờng tròn (K; R=
1
2
JC)
Với K là trung điểm của JC
Tun 18,19 Giải tam giác
Gv: Trn Th Duyờn
A
K

H M
0
M
B I C
B
I
A
O
D J C
A
J I
K

B C

BM ST TON 10 14
Bài 1: Cho tam giác ABC. Biết a=17,4;
à
à
0 0
44 30'; 64B C= =
. Tính góc A và các cạnh b,c của
tam giác đó.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết a=49,4; b=26,4;
à
0
47 20'C =
. Tính hai góc B, C và cạnh c.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết a=24; b=13; c=15. Tính các góc A, B, C
Bài 4: Đờng dây cao thế nối thẳng tù vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài

8km, góc tạo bởi hai đờng dây trên bằn 75
0
. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C
Bài 5: Một ngời ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm ngời đó
nhìn thấy một tháp C. Hớng nhìn từ ngời đó đến tháp tạo với hớng đi của tàu một góc 60
0
. Khi tàu
đỗ ở ga B, ngời đó nhìn lại vẫn thầy tháp C, hớng nhìn từ ngời đó đến tháp tạo với hớng ngợc với
hớng đi của tàu một góc 45
0
. Biết rằng đoạn đờng tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8 km.
Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt P và Q. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP
2
+MQ
2
=k
2
, trong đó k
là số cho trớc.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(3;4) và B(6;0)
a) Nhận xét gì về tam giác OAB? Tính diện tích tam giác đó
b) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB
c) Viết phơng trình đờng phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB
d) Viết phơng trình đờng tròn nội tiếp tam giác OAB
Gv: Trn Th Duyờn