bài tập toán 11 HK1 + pp giải từng dạng

Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤

3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4)
os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm số y = tanx xác định khi

2
x k
π
π
≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi
x k
π
≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
7) y =
1 osx
1-sinx

c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2
tan
2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3x
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 ÷
 
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k k−π + π π
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k kπ π + π
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π

 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1
Bài tập Toán khối 11
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 ÷
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;
3 2
π π
 
 ÷
 
3) y = cotx trên khoảng
3
;
4 2

π π
 
− −
 ÷
 
4) y = cosx trên đoạn
13 29
;
3 6
π π
 
 
 
5) y = tanx trên đoạn
121 239
;
3 6
π π
 
−
 
 
6) y = sin2x trên đoạn
3
;
4 4
π π
 
−
 

 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
π π
 
−
 ÷
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Khoảng
Hàm số
3
;
2
π
 

π
 ÷
 
;
3 3
π π
 
−
 ÷
 
23 25
;
4 4
π π
 
 ÷
 
362 481
;
3 4
π π
 
− −
 ÷
 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K

⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
trên đoạn
2
;
3 3
π π
 
−
 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =

2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a ;
a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]

[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−

 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
2
Bài tập Tốn khối 11
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a

2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba
a
+

=
ϕ
.
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−

, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2
1
sin 2 sin

2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.

2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
3
Bài tập Tốn khối 11

Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét
phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3

- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2

−t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin

4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin

2
x = 2cos
2
(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
4
Bài tập Tốn khối 11
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π

) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin

5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3

π
+ kπ v x=
4
π
+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3

x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/

x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin
2
x + sin
2

3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin

4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
5
Bài tập Toán khối 11
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+

11/ sin
2
)

42
(
π
−
x
tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x

x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
19/ tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
)

20/ cotx – 1 =
2
cos2 1
sin sin2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
6
Bài tập Toán khối 11
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương
án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc
được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện
bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m
cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định
trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n

2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử trong số
n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của A có k
phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+

∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
¥
III. Khai triển nhị thức Newton
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
–

0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0
− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
–
( )
n
n
k k n k

n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
7
Bài tập Toán khối 11
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B
để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau,
cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập
{ }
A 0;1;2;3;4=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số
các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập
{ }
A 1,2,3,4,5=
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất
hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P
n

= n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng
trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai
điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập
{ }
A 0,1,2,3,4,5=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !

= ≤ ≤
−
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được
bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm
*
n
∈
¥
trong phương trình chứa
k k
n n n
P ,A ,C
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
k k
n n n
n! n!
P n! n 1 ; A n n 1 n k 1 1 k n ; C 0 k n
n k ! k! n k !
= ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤
− −
Bài 8: Tìm
*
n ∈¥
, nếu có:

( )
3
n
n
n 1
2P
A 1
P
−
=
.
Bài 9: Tìm
*
n ∈¥
, nếu có:
( )
3 3
n n 1
6n 6 C C . 2
+
− + ≥
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n

k 0
a b C a b C a C a b C a b C a b C b
− − − −
=
+ = = + + + + + +
∑
(khai triển theo lũy thừa của a tăng, b
giảm)
(Chú ý:
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển (11 + x)
11
.
Bài 11: Trong khai triển
10
3
3

2 x
x
 
−
 ÷
 
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
8
Bi tp Toỏn khi 11
Bi 12: Tỡm h s ca x
8
trong khai trin
( )
8
2
1 x 1 x

+

Bi 13: Cho khai trin:
( )
10
2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x+ = + + + +
, cú cỏc h s
0 1 2 10
a ,a , a , ,a
. Tỡm h s ln
nht

Bi 14: Tỡm s hng trong cỏc khai trin sau
1) S hng th 13 trong khai trin
25
(3 x)-
2) S hng th 18 trong khai trin
2 25
(2 x )-
3) S hng khụng cha x trong khai trin
12
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
4) 32) S hng khụng cha x trong khai trin
12
28
3
15
x x x
-
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
5) 33) S hng cha a, b v cú s m bng nhau trong khai trin
21
3
3
a b
b
a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Bi 15: Tỡm h s ca s hng trong cỏc khai trin sau
1) H s ca s hng cha
4
x
trong khai trin
12
x 3
3 x
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
2) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
12
5
3
1
x
x
ổ ử
ữ

ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
3) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
8
2
1 x (1 x)
ộ ự
+ -
ờ ỳ
ở ỷ

4) H s ca s hng cha
5
x
trong khai trin
( )
10
2 3
1 x x x+ + +

5) H s ca s hng cha

3
x
trong khai trin
2 10
(x x 2)- +
6) H s ca s hng cha
4
x
trong khai trin
2 10
(1 x 3x )+ +
7) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin:
8)
3 4 5 50
S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)= + + + + + + + +
9) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin:
10)
3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)= + + + + + + + +
11)Tỡm h s ca s hng cha x
10
trong khai trin
10 10
(1 x) (x 1)+ +

.
Dng 7: Tỡm tng cú cha
k
n
C
Phng phỏp gii: T bi, ta liờn kt vi mt nh thc khai trin v cho x giỏ tr thớch hp, t
ú suy ra kt qu.
Bi 16: Tớnh tng:
( ) ( )
k n
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C= + + + + = + + + +
Bi 17: Tớnh tng:
0 2 4 2n 1 3 2n 1
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n
S C C C C ; S C C C

= + + + + = + + +
Bi 18: Tớnh tng:
( )
n
0 1 2 2 3 3 n
n n n n n
T C 2C 2 C 2 C 2 C= + + +
9
Bài tập Tốn khối 11
CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng

thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là
công sai.
Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u
n+1
= u
n
+ d (n = 1, 2, ).
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Để chỉ rằng dãy số (u
n
) là một cấp số cộng,ta kí hiệu
÷
u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d được
cho bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối
cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
(k
≥
2).
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
tacó hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
[ ]
dnu
n
S
n
)1(2
2

1
−+=
• S
n
tính theo u
1
và u
n

)(
2
1 nn
uu
n
S +=
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/÷a
tìm u
15
.

, 32,4,32/ −+÷b
tìmu
20
.
ĐS:
31840/
44/

20
15
−=
=
ub
ua
Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 3: Cho cấp số cộng:



=+
=−+
26
10
64
352
uu
uuu

Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là
165.
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là
1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số
cộng với công sai là 25.
Bài 7: Cho cấp số cộng
÷
u

1
, u
2
, u
3
,
Biết u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u
13
+ u
16
= 147.
Tính u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16
.
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n

) có a
3
+ a
13
= 80.
Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
10
Bài tập Tốn khối 11
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và
số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Bài 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:




=
=




=
=+
35
19
/2
129
14
/1
9
5
13
53
u
u
S
uu




=−
−=+





=
=

72
31
/4
2
45
9
/3
94
103
6
4
uu
uu
S
S
ĐS: 1/ u
1
=
13
53
và d =
39
38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4.
3/ u
1
= 0 và d =
2

3
; 4/ u
1
= và d = .
Bài 12: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3. Tính u
20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20
= 910
Bài 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10

= 10, d = -4.
Tính u
1
và S
10
. ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280
Bài 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11
= -1.
Tính d và S
11
. ĐS: d =
5
18
−
và S
11
= 187
Bài 16: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3

= -15, u
4
= 18.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S
20
= 1350
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng
thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi
gọi là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có
u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1

= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu



u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q
0≠
)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
11
Bài tập Tốn khối 11
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối
với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên

nó, tức là:

11
.
+−
=
kkk
uuu

)2( ≥k
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q
≠
1
u
1
, u
2
, ,u
n
,
Đònh lí: Ta có:
1
1
1
−
−
=
q
q

uS
n
n
(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 và u
6
= 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u
3
= 18 và u
6
= -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 3: Tìm u

1
và q của cấp số nhân biết:



=−
=−
144
72
35
24
uu
uu
Bài 4: Tìm u
1
và q của cấp số nhân (u
n
) có: u
3
=12, u
5
=48.
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:



=++
=++

351
13
654
321
uuu
uuu
Bài 6: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối
gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số
thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
12
Bài tập Tốn khối 11
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tònh tiến theo vectơ
( ; )v a b

biến điểm M(x;y) thành
M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M'
Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tònh tiến theo vectơ
(2;3)v
r
biến điểm M
thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N.
Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5). Tìm điểm B(x,y) sao cho A là ảnh của điểm B
qua phép tònh tiến theo
(2;1)v
r

:
Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng:
A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi
Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M
thành M’. Tìm tọa độ điểm M'
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh của
đường thẳng d qua phép tònh tiến vectơ
(1;1)v
r
?
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh của
đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox.
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M
thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N?
Câu 9:Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, phép
đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d'
Câu 10: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=36 . Phép
tònh tiến theo vectơ
(1;2)v
r
biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 11: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=25 . Phép

đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ?
A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vò tự tỉ số k=
1±
; C) phép tònh tiến ; D)phép
chiếu vuông góc
Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)
2
+(y-3)
2
=16 . Phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành
(C') và phép tònh tiến
(1;4)v
r
biến (C') thành (C’'). Tìm phương trình của (C'').
Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện phép
quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó. Tìm số đo của góc quay đó?
Câu 15 : Phép vò tự tâm O tỉ số k (k
≠
0) là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’
sao cho :
A)
OM
uuuur
= k
'OM
uuuuur
B)
'OM

uuuuur
= k
OM
uuuur
C) OM’ =k OM D)
'OM
uuuuur
=
1
k
OM
uuuur
Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( -2;4 ). Phép vò tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành
điểm N. Tìm tọa độ điểm N
Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vò tự tâm O tỉ số k = 3
biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'?
Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )
2
+ y
2
= 16. phép vò tự tâm O
tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C')
Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là phép
naò sau đây:
13
Bài tập Tốn khối 11
A) phép đối xứng trục B) phép tònh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm
Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép
2

o
V
và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N? Câu 21 :Trong
mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép đồng dạng có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
1
2
và phép đối xứng qua trục ox biến d thành
d’. Tìm phương trình d'?
Câu 22 : Trong các phép biến hình sau đây phép biến hình nào không có tính chất “biến
một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”:
A) phép đối xứng tâm B) phép tònh tiến C) phép vò tự D) phép đối xứng trục
Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)
2
+ (y-2)
2
=4 .Phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép tònh tiến theo vectơ
(1;2)V
ur

biến (C) thành (C'). Tìm (C') ?
Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)
2
+ (y-2)
2
=4 . Phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ
biến (C) thành (C'). Tìm (C')?
Câu 25 : Chọn khẳng đònh sai trong các khẳng đònh sau :

A)phép tònh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
D) phép vò tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
α
và
β
ta đi tìm hai điểm chung I ; J của
α
và
β



α

∩

β
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :


Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung

M
∈

d và d
⊂

α


M
∈

α





β⊂α⊂
=∩
b;a
Mba (P) trong


M là điểm chung
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng
(ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB;
BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao
tuyến của :
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt

phẳng (SAD) ; (SCE)
14
α
β
I
J
•
•
Bài tập Toán khối 11
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao
tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =
4
1
MB ; N nằm trên AC sao cho AN =
3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của
mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
NC
AN
MB
AM

≠
. Tìm
giao tuyến của (DMN) và (BCD)
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao
tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt
phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung
điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C
∈

α

Chỉ ra A ; B ; C
∈

β
Kết luận : A; B; C
∈

α

∩

β


A; B; C thẳng hàng
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a
∩
b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B nhưng
không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt β tại A’ ;
B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
15
α
β
A
C
•
•
•
B
M
N
•
•
a
b
P

Bài tập Toán khối 11
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy
lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F.
Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng α . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm
AB ; BC ; AC với α. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ;
M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt
tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng
quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm
AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng
minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :

Giả sử : a không chéo b

Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng
α
( đồng phẳng )

Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc

mâu thuẫn với một điều đúng nào đó

Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng


Chứng minh hai đường
thẳng tạo thành từ bốn
điểm đó cắt nhau hoặc
song song với nhau
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD
không ?
16
b
a
α
•
A
α
B
C
D
•
•
•
•

A
α
B
C
D
•
•
•
Bài tập Toán khối 11
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng
không ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?
Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ?
Phương pháp 1:
Tìm a
⊂

α

Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M

d
∩

α
= M ( hình vẽ )

Phương pháp 2:
Tìm
β
chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của
α
và
β

Trong
β
: a
∩
d = M

d


α
= M ( hình vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt (ABC) tại
P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao
cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên
đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm

giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho
CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA;
SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý
trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
17
•
α
d
a
M
•
α
M
β
d
a
Bài tập Toán khối 11
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG (α) VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của

với các

mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng


Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ;
. . . trong mặt phẳng
α
cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ;
DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’.
Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng
(A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm
của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC.
Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai
điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2

1
NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD.
Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết
diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm
SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp
18
A
α
B
D
C
E
F
Bài tập Toán khối 11
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung
điểm SB ; SD ; OC

a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm
∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm ∆SAB ;
∆SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC; CD; DA tại
M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên
cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên
cạnh SB sao cho SE = 3EB .

a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
19
Bài tập Toán khối 11
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh
BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng
tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC =
2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số
JD
JA
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính
KS
KA
HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =
4
1
BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với
BC. Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?

b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :
SA’ =
1n
1
+
SA ; SB’ =
1n2
1
+
SB ; SC’ =
1n3
1
+
SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ
Vấn đề 6 HAI ĐT SONG SONG
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song
rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường
thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE
6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường

thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM'  AB với M' trên AD; NN'  AB với N' trên AF. Chứng
minh : a) MM' và NN' // CD b) M’N// DF
20
Bài tập Tốn khối 11
Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d khơng nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a khơng có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao
tuyến của (P) và (Q) .
7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a ) 
là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )  ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì
trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng ( a )  cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA // 
7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a )  di
động ln ln song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC .
a)Mặt phẳng ( a )  cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình
gì ?
b)Chứng minh rằng ( a )  khi chuyển động ln ln chứa một đường thẳng cố định
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a )  di động thì M di động trên
đường thẳng cố định
7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng
(∝) chứa AM và  BD
a)Chứng minh (∝) ln ln đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC
b) (∝) cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A

thẳng hàng
Vấn đề 8: MẶT PHẲNG SONG SONG
Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của
SA,SB,SC.
a) Chứng minh (HIK)// (ABCD).
b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng minh
(SMN) //(HIK).
8.2 Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’.
a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’
21
Bài tập Tốn khối 11
8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
SA ,CD.
a) Cm: (OMN) //(SBC).
b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE,A F là các đường phân giác trong
của tam giác ACD và SAB . Cm: E F //(SAD).
8.4 Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không cùng nằm trong một mặt phẳng . Trên các
đường chéo AC,BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM=BN . Các dường thẳng // AB vẽ từ
M,N lần lượt cắt AD, A F tại M’,N’.
a)Cm: (CBE) //(AD F).
b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).
22