chuyên đề toán 8.

VĂN PHONG
- 1 - B
ổ trợ toán 8
CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
§1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

1. Quy tắc
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi
cộng các tích với nhau.

2. Ví dụ
Ví dụ 1. Làm tính nhân:
a) 2x
3
(5x
2
– 2x + 9)
b)














 4
2
1
5
2
4
2
1
2344
yxxxx
c)







3
1
52453
22
yxxyxyyxxy
Giải:
a) Ta có: 2x
3
(5x
2
– 2x + 9) = 2x
3

. 5x
2
- 2x
3
.2x + 2x
3
.9
= 10 x
5
- 4x
4
+ 18 x
3

b) Ta có:
4.
2
1
2
1
2
1
5
2
.
2
1
4.
2
1

4
2
1
5
2
4
2
1
42434442344










































 xyxxxxxxyxxxx


4678
2
4
1
5
1
2 xyxxx 

c) Ta có :
 
3
1
.35.32.34.35.3.3
3
1
52453
2222
xyyxyxxyxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxy 








xyxyyxyxyxyx 
22223223
15612153


Ví dụ 2. Thực hiện tính nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
A = )()(2
2222
yxyyxxyyxxy  tại x = 2, y = 3
Giải:
Ta có: A =
222222222

2.2)()(2 yyxxyyxxyxyyxxyyxyyxxyyxxy 

322332233223
322 yxyxyxyxyxyx 
Với x = 2, y = 3 thay vào biểu thức trên ta được :
A = 3963247227.4.39.83.2.33.23
32233223
 yxyx

Ví dụ 3. Tìm x biết:
a)




1628313122
22
 xxxxx
b)








xxxx  161253453

Giải:

a)




1628313122
22
 xxxxx
VĂN PHONG
- 2 - B
ổ trợ toán 8
8
162
162242624
323



x
x
xxxxx


b)









xxxx  161253453

3
2
23
3147
1437
66510412153












x
x
xx
xx
xxxx


Ví dụ 4. Tính giá trị của biểu thức:

302020202020
23456
 xxxxxxA tại x = 19

Giải:
Cách 1. Do x = 19 nên x – 19 = 0 do vậy ta biến đổi biểu thức A chứa nhiều biểu thức dạng x – 19
302020202020
23456
 xxxxxxA












11
11191919191919
2345

 xxxxxxxxxxx


Cách 2. Trong biểu thức A ta thay các số 20 bởi x, như vậy ta có:
302020202020

23456
 xxxxxxA
30)1()1()1()1()1(
23456
 xxxxxxxxxxx

11
19
30
30
30
2233445566


x
xxxxxxxxxxx


Bài tập
Bài 1. Thực hiện tính nhân:
a) )
2
1
4
3
2(
232
 xxxx
b) )
5

2
3
1
(
222
yxxyxyyx 
c) )963(
3
1
222
yzyzxyxxyz 

Bài 2. Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:
a) )1()(
2
yyxyxxy  tại x = 1; y = 2
b) )()()(
2222
yxxyxyyxx  tại x = 1; y = 1
c) )()()(
2
xxyzxxyzxxy  tại x = 2; y = 1

Bài 3. Thực hiện phép tính
a) )16()13(2
33

 nnnn
xxxx
b) )

3
1
2(6)23(4
4242 nnnnn
xxxxx 


VĂN PHONG
- 3 - B
ổ trợ toán 8
c)
nn
8.1908.3
2



d)
nnn
2.252.32.9
12




Bài 4. Tìm x biết rằng:
a) 3x(x
2
+ 2x) – x
2

(3x + 6) – 4(x + 1) = 12
b) 4(x – 5) + x(4 – x) + x(x + 9) = 24
c) –x(3x + 4) + 5(x – 7) = x(5 – 3x) + 7(x + 1)
d) 4(x + 1) + 5(2x + 2) = 6(3 + x) + 3(5 – x)

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = x
4
– 50x
3
+ 50x
2
– 50x + 4 tại x = 49
b) B = x
100
– 9x
99
+ 9x
98
– 9x
97
+ + 9x
2
– 9x + 10 tại x = 8



§2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
1. Quy tắc
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng

tử của đa thức kia rồi cộng các tích đó với nhau.

2. Ví dụ
Ví dụ 1. Làm tính nhân
a)




112
2
 xxx b) )1)(1(
2
 xxx
c) )
3
2
1(1
3
2
xyxy 






 d) ))((
22
yxyxyx 

Giải:
a)




1.1.11 1.2.2112
222
 xxxxxxxxxx
122
223
 xxxxx
132
23
 xx

b) 1.1.1.11 )1)(1(
222
 xxxxxxxxxx
1
223
 xxxxx
1
3
 x

c) xyxyxyxyxyxy
3
2

.11.1
3
2
.
3
2
1.
3
2
)
3
2
1(1
3
2









1
9
4
3
2
1

9
4
3
2
22
22


yx
xyyxxy

d)
222222
))(( yyxyyyxyxxyxxxyxyxyx 

33
322223
yx
yxyyxxyyxx





VĂN PHONG
- 4 - B
ổ trợ toán 8
Ví dụ 2 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:





128)36)(2(3112  xxxxxA

Giải:
Ta có:




128)36)(2(3112  xxxxxA

7
128612363162
22

 xxxxxxx

Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào giá trị của biến x (đpcm)

Ví dụ 3 Tìm x biết:
a)




42)16(12)53(  xxxx
b)





1)2)(32(2)1(1)53(  xxxxxx

Giải:
a)




62)16(12)53(  xxxx
2
1
18
9
93618
6318
62126576
6)2126(51036
22
22








x

x
x
xxxxx
xxxxxx


b)




1)2)(32(2)1(1)53(  xxxxxx

52225533
16342)22(5533
222
222


xxxxxxxx
xxxxxxxxx


2/1
24
35232
52332
22
22





x
x
xxxx
xxxx


Ví dụ 4. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tích của của 2 số sau lớn hơn tích của 2 số trước là 16.
Giải:
Gọi x, x + 1, x + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp (
Nx

)
Theo đề bài ta có:
(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 16
x
2
+ 2x + x + 2 – x
2
– x = 16
2x + 2 = 16
2x = 14
x = 7 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp đó là 7, 8, 9.

Bài tập
Bài 1. Làm tính nhân:
a) (x
2

+ 2x + 1)(x – 1)
b) (x
3
+ x
2
+ x + 1)(1 – x)
c) (x
2
+ 5x + 6)(x – 2)
d) (–x
2
+ 3x – 2)(x
2
+ 2x – 1)
VĂN PHONG
- 5 - B
ổ trợ toán 8
Bài 2. Làm tính nhân:
a) (x
2
y + xy – x)(xy – y)
b) (x
2
+ xy + y)(x – y)

Bài 3. Thực hiện phép tính sau đó tính giá trị của biểu thức:
a) (x – 1)(x
4
+ x
3

+ x
2
+ x + 1) tại x = 1
b) (x + 1)(x
9
– x
8
+ x
7
– x
6
+ x
5
– x
4
+ x
3
– x
2
+ x – 1) tại x = 2
c) (x – 2)(x
7
+ 2x
6
+ 4x
5
+ 8x
4
+ 16x
3

+ 32x
2
+ 64x + 128) tại x = 1

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) A = (x
2
+ 5x – 6)(x – 1) – (x + 2)(x
2
– x + 1) –x(3x – 10)
b) B = (x
2
+ x + 1)(x – 1) – x
2
(x + 1) + x
2
– 5

Bài 5. Tìm x biết rằng:
a) (x + 2)(x + 3) – (x – 1)(x – 2) = 4
b) (x
2
+ 1)(x – 1) + (x – 1)(x + 2) = (x
2
– 1)(x + 1) – x(x + 2)
c) (x
2
– 3x + 1)(x + 2) = (x – 3)(x
2
+ 2x + 2)

§3. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. Bình phương của một tổng: (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

2. Bình phương của một hiệu: (A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2

3. Hiệu hai bình phương: A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
Ví dụ 1. Tính:
a) (x + 5)
2
= x
2
+ 2.x.5 + 5
2

= x
2
+ 10x + 25
b) (2x + 3)
2
= (2x)
2
+ 2.(2x).3 + 32 = 4x
2
+ 12x + 9
c) (5 – a)
2
= 5
2
– 2.5.a + a
2
= 25 – 10a + a
2

d)
2222
9
4
49)
3
2
(
3
2
.2.23)

3
2
3( xxxxx 
e) (a – 1)(a + 1) = a
2
– 1
2
= a
2
– 1
f) (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)
2
– (2y)
2
= 9x
2
– 4y
2


Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) x
2
+ 6x + 9 = x
2
+ 2.x.3 + 3
2
= (x + 3)
2

b) 4x
2
+ 4x + 1 = (2x)
2
+ 2.(2x).1 + 1
2
= (2x + 1)
2

c) 9x
2
+ 12x + 4 = (3x)
2
+ 2.(3x).2 + 2
2
= (3x + 2)
2

d) x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)
2

Ví dụ 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) x
2
– 10x + 25 = x
2

– 2.x.5 + 5
2
= (x – 5)
2

b) 9x
2
– 24x + 16 = (3x)
2
– 2.(3x).4 + 4
2
= (3x – 4)
2

c)
2222
)
2
1
()
2
1
(
2
1
2
4
1
 xxxxx
d) (x + y)

2
– 2.(x + y).z + z
2
= (x + y – z)
2


Ví dụ 4. Tính:
a) (x – 5)(x + 5) = x
2
– 5
2
= x
2
– 25
b) 9
4
1
3)
2
1
()3
2
1
)(3
2
1
(
222
 yyyy

c) (x + y – z) (x + y + z) = (x + y)
2
– z
2
= x
2
+ 2xy + y
2
– z
2

VĂN PHONG
- 6 - B
ổ trợ toán 8
Ví dụ 5. Chứng minh rằng:
a) (x + y)
2
= (x – y)
2
+ 4xy
b) (x – y)
2
= (x + y)
2
– 4xy

Giải:
a) Ta có: (x + y)
2
= x

2
+ 2xy + y
2

(x – y)
2
+ 4xy = x
2
– 2xy + y
2
+ 4xy = x
2
+ 2xy + y
2

Vậy: (x + y)
2
= (x – y)
2
+ 4xy (đpcm)
Hoặc: Ta có (x – y)
2
+4xy = x
2
– 2xy + y
2
+ 4xy = x
2
+ 2xy + y
2

= (x + y)
2
(đpcm)

b) Ta có: (x – y)
2
= x
2
– 2xy + y
2

(x + y)
2
– 4xy = x
2
+ 2xy + y
2
– 4xy = x
2
– 2xy + y
2

Vậy: (x – y)
2
= (x + y)
2
– 4xy (đpcm)
Hoặc: Ta có (x + y)
2
– 4xy = x

2
+ 2xy + y
2
– 4xy = x
2
– 2xy + y
2
= (x – y)
2
(đpcm)

Ví dụ 5. Tính:
a) (x + y + z)
2

b) (x + y – z)
2

c) (x – y – z)
2

d) (x – y + z)
2

Giải:
a) Ta có: (x + y + z)
2
= (x + y)
2
+ 2(x+ y).z + z

2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ 2xz + 2yz + z
2

= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2zx

b) Ta có: (x + y – z)
2
= (x + y)
2
– 2(x+ y).z + z
2
= x
2
+ 2xy + y
2
– 2xz – 2yz + z
2

= x

2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy – 2yz – 2zx

c) Ta có: (x – y – z)
2
= (x – y)
2
– 2(x+ y).z + z
2
= x
2
– 2xy + y
2
– 2xz – 2yz + z
2

= x
2
+ y
2
+ z
2
– 2xy – 2yz – 2zx

d) Ta có: (x – y + z)
2

= (x – y)
2
+ 2(x+ y).z + z
2
= x
2
– 2xy + y
2
+ 2xz + 2yz + z
2

= x
2
+ y
2
+ z
2
– 2xy + 2yz + 2zx

Bài tập
Bài 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x
2
+ 2x + 1 b) 16x
2
+ 16x + 4
c)
4
1
x

2
– x + 1 d) 36x
2
+ 36x + 9
e) 25x
2
– 10xy + y
2
f) x
2
+
16
1
+
8
1
x

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
22
22
61
104
3174


b) yx
xy
yx

32
23
94
22





Bài 3. Tìm x biết:
a) 3(x + 2)
2
+ 4(4x – 1)
2
– 19(x + 2)(x – 2) = 5
b) 4x(1 – x)
2
+(2x – 1)(2x + 1) + 3 = 3x(x + 2)
2
– (4x + 3)(4x – 3)
c) 2(x + 1)
2
+3(x – 1)
2
+4(x – 1)(x + 1) = 2(x + 2)
2
+3(2 – x)
2
+4(2 + x)(x – 1)

VĂN PHONG
- 7 - B
ổ trợ toán 8
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (3x – 1)
2
+2(x – 4)(x + 4) - 5(1 +2x)
2

b) B = (a + b + c)
2
– (a + b)
2
– (b + c)
2
– (c + a)
2

c) C = 4(2x + y)
2
– (4x – 1) – (2y + 1
)2

d) D = (x + y + z)
2
+(x – y – z)
2
+ (y – x – z)
2
+(z – x – y)

2


Bài 5. Cho x – y = 5. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = x
2
– 2xy + y
2
+ 7x – 7y – 1
b) B = 2y
2
+ 10y + 25 – 2xy
c) C = 2x
2
– 10x + 25 – 2xy

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức:
a) A = a
2
+ b
2
+ c
2
biết rằng a + b + c = 1 và ab + bc + ca = 0
b) B = a
2
+ b
2
+ c
2

biết rằng a + b – c = 2 và ab – bc – ca = 1
c) C = a
4
+ b
4
+ c
4
biết rằng a + b – c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1

Bài 7. Chứng minh rằng:
a) 4x
2
+ 4x + 2 > 0 với mọi x
b) x
2
– x + 1 > 0 với mọi x
c) 7x
2
+ y
2
+ 2x + 4 + 2y > 0 với mọi x

§4. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)

4. Lập phương của một tổng: (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= A
3
+ 3AB(A + B) + B
3

5. Lập phương của một hiệu: (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= A
3
– 3AB(A – B) – B

3

Ví dụ 1. Tính:
a) (x + 2)
3
b) (x + 2y)
3

c) (2x – 1)
3
d) (2 – 3x)
3


Giải:
a) (x + 2)
3
= x
3
+ 3.x
2
.2 + 3.x.2
2
+ 2
3
= x
3
+ 6x
2
+ 6x + 8

b) (x + 2y)
3
= x
3
+ 3.x
2
.2y + 3.x.(2y)
2
+ (2y)
3
= x
3
+ 6x
2
y + 12xy
2
+ 8y
3

c) (2x – 1)
3
= (2x)
3
– 3.(2x)
2
.1 + 3.2x.1
2
– 13 = 8x
3
– 12x

2
+ 6x – 1
d) (2 – 3x)
3
= 2
3
– 3.2
2
.3x + 3.2.(3x)
2
– (3x)
3
= 8 – 36x + 54x
2
– 27x
3


Ví dụ 2. Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc 1 hiệu:
a) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1
b) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1
c) 8x

3
+ 12x
2
+ 6x + 1
d) 8x
3
– 12x
2
y + 6xy
2
– y
3

Giải:
a) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 = (x + 1)
3

b) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 = (x – 1)
3

c) 8x
3

+ 12x
2
+ 6x + 1 = (2x)
3
+ 3.(2x)
2
.1 + 3.(2x).1
2
+ 1
3
= (2x + 1)
3

d) 8x
3
– 12x
2
y + 6xy
2
– y
3
= (2x)
3
+ 3.(2x)
2
.y + 3.(2x).y
2
+ y
3
= (2x + y)

3


Ví dụ 3. Cho x + y = 3 và xy = 2. Tính x
3
+ y
3

Giải:
Ta có: x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
) = (x + y(x
2
+ 2xy + y
2
– 3xy)
VĂN PHONG
- 8 - B
ổ trợ toán 8
= (x + y)[(x + y)
2
– 3xy]
= 3.[3
2

– 3.2] = 3.3 = 9
Vậy x
3
+ y
3
= 9.

Bài tập
Bài 1. Tính:
a) (2x
2
+ y)
3
b) (y –
2
1
z)
3

c) 1 – x – y)
3
d) 2x + y – z)
3


Bài 2. Tìm x biết rằng:
a) (x + 1)
3
– (x + 2)(x – 1)
2

– 3(x – 3)(x + 3) = 5
b) (x – 1)(x + 2)
2
+ (x + 2)(x – 1)
2
– (x + 1)
3
= 4
c) (x + 1)
3
+ (x – 1)
3
= (x + 2)
3
+ (x – 2)
3


Bài 3.
a) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x
3
+ y
3

b) Cho x – y = 4 và xy = 5. Tính x
3
– y
3

Bài 4.
a) Cho x – y = 1. Tính x
3
– y
3
– 3xy
b) Cho x + y = 2. Tính x
3
+ y
3
+ 3xy
c) Cho x + y = a và xy = b. Tính A = x
3
+ y
3
+ 2xy(x
2
+ y
2
) + 3x
2
y
2(
x + y) theo a và b.

Bài 5. Cho x + y = 3 và x
2
+ y
2
= 5. Tính xy(x

3
+ y
3
)


§5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)

6. Tổng hai lập phương: A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. Hiệu hai lập phương: A
3
– B
3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a) x
3
+ 8 b)8x

3
+ 27y
3

c)
8
1
x
3
–
27
1
y
3
d) –64x
3
+ 8y
3

Giải:
a) x
3
+ 8 = x
3
+ 2
3
= (x + 2)(x
2
– 2x + 2)
b) 8x

3
+ 27y
3
= (2x)
3
+ (3y)
3
= (2x + 3y)[(2x)
2
– 2x.3y + (3y)
2
] = (2x + 3y)(4x
2
– 6xy + 9y
2
)
c)
8
1
x
3
–
27
1
y
3
=
=

























































22
2233
9
1
6
1
4

1
3
1
2
1
3
1
3
1
.
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
yxyxyxyyxxyxyx
d) –64x
3
+ 8y
3
=
= (–4x)
3

+ (2y)
3
= (–4x + 2y)[ (–4x)
2
– (–4x).2y + (2y)
2
] = (–4x + 2y)(16x
2
+ 8xy + 4y
2
)

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + 3)(x
2
– 3x + 9)
b) (4x
2
+ 2xy + y
2
)(2x – y) – (2x + y)(4x
2
– 2xy + y
2
)
Giải:
VĂN PHONG
- 9 - B
ổ trợ toán 8
a) (x + 3)(x

2
– 3x + 9) = x
3
– 3
3
= x
3
– 27
b) (4x
2
+ 2xy + y
2
)(2x – y) – (2x + y)(4x
2
– 2xy + y
2
) = (2x)
3
– y
3
– [(2x)
3
+ y
3
] = –2y
3


Ví dụ 3. Cho x + y = a và x
2

+ y
2
= b. Tính x
3
+ y
3
theo a và b.
Giải:
Ta có: x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
) = (x + y)(x
2
+ y
2
– xy) (*)
Ta lại có x + y = a nên (x + y)
2
= a
2

x
2
+ y
2

+ 2xy = a
2

b + 2xy = a
2

xy =
2
2
ba 

Thay x + y = a, x
2
+ y
2
= b và xy =
2
22
ba 
vào (*) ta được:
x
3
+ y
3
=
2
3
2
2
2

)
2
(
3332
abaabaababa
ab
ba
ba








vậy x
3
+ y
3
=
2
3
3
aba 


Bài tập.
Bài 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a) a

3
+ (b +c)
3
b) (a + b)
3
– c
3

c) (a + b)
3
+ (c + d)
3
d) (a – b)
3
– (c – d)
3


Bài 2. Tính:
a) x
2
+ y
2
biết x + y = 6 và xy = 8
b) x
3
– y
3
biết x – y = 7 và xy = 8

Bài 3. Tính x
3
– y
3
biết x – y = 7 và x
2
+ y
2
= 65


§6. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ
CHUNG

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành tích của các đa thức.

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x
2
+ 7x
b) 5x – x
2

c) x
2
yx + xy
2
z + xyz
2

d) (x – 7)(y + 1) + (7 – x)(2y + 5)
Giải:
a) 2x
2
+ 7x = x(2x + 7)
b) 5x – x
2
= x(5 – x)
c) x
2
yx + xy
2
z + xyz
2
= xyz(x + y + z)
d) (x – 7)(y + 1) + (7 – x)(2y + 5) = (x – 7)(y + 1) – (x – 7)(2y + 5) = (x – 7)(y + 1 – 2y – 5)
= (x – 7)( –y – 4)

Cách làm trên là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

VĂN PHONG
- 10 - B
ổ trợ toán 8
Ví dụ 2. Tìm x biết:
a) x
3
– 9x = 0
b) 7x
2
(x + 2) – 7x – 14 = 0

Giải:
a) x
3
– 9x = 0
x(x2 – 9) = 0
x(x – 3)(x + 3) = 0








03
03
0
x
x
x
suy ra








3

3
0
x
x
x


b) 7x
2
(x + 2) – 7x – 14 = 0
7x
2
(x + 2) – (7x + 14) = 0
7x
2
(x + 2) – 7(x + 2) = 0
7(x + 2)(x
2
– 1) = 0
7(x + 2)(x

– 1)(x + 1) = 0









01
01
02
x
x
x
suy ra








1
1
2
x
x
x


Ví dụ 3. Chứng minh rằng: 55
n +1
+ 55
n
chia hết cho 56 (n

N)

Giải:
Ta có: 55
n +1
+ 55
n
=55.55
n
+ 55
n
= 55
n
(55 + 1) = 56. 55
n


56 (đpcm)

Bài tập
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 15x
2
– 10x
b)
2
1
x
2
y +
5
1

xy
2
-
7
1
xyz
c)
4
3
(x + y)(y – z) -
4
3
(y – z)(x – z)
d) 125x
3
– 25x
2
+ 5x
e) (x – 2y)(4y – z) + (2y – x)(4y – 2z)

Bài 2. Tìm x biết rằng:
a) (x + 5)(x + 6) + (x – 6)(2x + 3) = 0
b) (x + 1)(x + 3) + (x + 3)(x + 4) = (2x + 5)(x – 1)

Bài 3. Chứng minh rằng:
a) 4
n + 4
– 3.4
n + 2
chia hết cho 13.

b) 2.7
n + 3
– 4.7
n + 2
+ 3.7
n
chia hết cho 493.






VĂN PHONG
- 11 - B
ổ trợ toán 8
§7. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG
ĐẲNG THỨC

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
– 6x + 9
b) x
2
– 3
c) 8 – 27x
3

Giải:

a) x
2
– 6x + 9 = x
2
– 2.x.3 + 3
2
= (x – 3)
2
b) x
2
– 3 = x
2
– )3)(3()3(
2
 xx
c) 8 – 27x
3
= 2
3
– (3x)
3
= (2 – 3x)(2
2
+ 2.3x + (3x)
2
) = (2 – 3x)(4 + 6x + 9x
2
)

Cách làm trên là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Ví dụ 2. Tính nhanh:
a) 102
2
– 4 b) 350
2
– 50
2
Giải:
a) 102
2
– 4 = 102
2
–2
2
= (102 – 2)(102 + 2) = 100.104 = 10400
b) 350
2
– 50
2
= (350 – 50)(350 + 50) = 300.400 = 120000

Ví dụ 3. Tìm x biết rằng:
a) 4x
2
+ 4x + 1 = 0
b) x
2
– 2x + 1 = 0
c) 9 – 6x + x

2
= 0
d) – x
2
+ 4x – 4 = 0
Giải:
a) 4x
2
+ 4x + 1 = 0 b) x
2
– 2x + 1 = 0
(2x)
2
+ 2.2x.1 + 1 = 0 (x – 1)
2
= 0
(2x + 1)
2
= 0 x – 1 = 0
2x + 1 = 0 x = 1
x =
2
1

c) 9 – 6x + x
2
= 0 d) – x
2
+ 4x – 4 = 0
(3 – x)

2
= 0 – (x
2
– 4x + 4) = 0
3 – x = 0 x
2
– 4x + 4 = 0
x = 3 (x – 2)
2
= 0
x – 2 = 0
x = 2
Bài tập.
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
+ 10 x + 25
b) 27x
3
y
3
– 8
c) 125x
3
+ 343y
3

d)
8
1

x
3
y
3
–
27
1
y
3


Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
3
+
8
1


b) 4x
2
– 3
VĂN PHONG
- 12 - B
ổ trợ toán 8
c) (a + b)
3
+ (a – b)
3
d) (a – b)

3
– (a + b)
3

e) 8x
3
+ 24x
2
+ 36x + 27 f) –8 + 8y
2
– 6y
4
+ y
6



§8. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x
2
– 2xy + x – y
b) xy –
2
1
y +
3
1
x –

6
1

c) 12 – 8x + 3y – 2xy
Giải:
a) 2x
2
– 2xy + x – y = (2x
2
– 2xy) + (x – y) = 2x(x – y) + (x – y) = (2x + 1)(x – y)
b) xy –
2
1
y +
3
1
x –
6
1
= (xy –
2
1
y) + (
3
1
x –
6
1
) = y(x –
2

1
) +
3
1
(x –
2
1
) = (y +
3
1
)(x –
2
1
)
c) 12 – 8x + 3y – 2xy = 4(3 – 2x) + y(3 – 2x) = (4 + y)(3 – 2y)

Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) xy + 6yz + 3y
2
+ 2xz
b) 7y – 4xz + 28z – xy
Giải:
a) xy + 6yz + 3y
2
+ 2xz = (xy + 3y
2
) + (6yz + 2xz) = y(x + 3y) + 2z(3y + x) = (y + 2z)(x + 3y)
b) 7y – 4xz + 28z – xy = (7y + 28z) – ( 4xz + xy) = 7(y + 4z) – x(y + 4z) = (7 – x)(y + 4z)

Bài tập.

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x
2
+ 2xy – xy – y
2

b) 4x – 8xy + 1 – 2y
c) x
2
y
2
– 2xy – xy
2
+ 2y

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2xy + 3yz + 6xz + y
2

b) 5 – 4xy + 20y – x
c) 5xy + 2 – 2x – 5y

Bài 3. Chứng minh rằng:
a) 5
n + 1
+ 7. 5
n
+ 5. 7
n + 2
+ 7

n + 3
12
b) 3
a + 1
+ 4
b + 1
+ 3.4
b
+ 4.3
a
7


§9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU
PHƯƠNG PHÁP
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 7xy
2
+ 28xy + 28x
b) x
3
+ x
2
y + 2x
2
+ 2xy + x + y
Giải:
a) 7xy
2
+ 28xy + 28x = 7x(y

2
+ 4y + 4) = 7x(y + 2)
2

b) x
3
+ x
2
y + 2x
2
+ 2xy + x + y = (x
3
+ 2x
2
+ x) + (x
2
y + 2xy + y)
= x(x
2
+ 2x + 1) + y(x
2
+ 2x + 1)
= x(x + 1)
2
+ y(x + 1)
2
= (x + y)(x + 1)
2

VĂN PHONG

- 13 - B
ổ trợ toán 8
Trong ví dụ trên ta đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân
tử. Cách làm như vậy là Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + 2y
b) x
2
+ 3x – 2xy – 3y + y
2

Giải:
a) x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + 2y = (x
2
+ 2xy + y
2
) + (2x + 2y) = (x + y)
2
+ 2(x+ y) = (x + y + 2)(x + y)
b) x
2

+ 3x – 2xy – 3y + y
2
= (x
2
- 2xy + y
2
) + (3x – 3y) = (x – y)
2
+ 3(x – y) = (x – y + 3)(x – y)

Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
+ 5x + 6 b) 15 – 2x – x
2

c) 2x
2
+ 9x – 35 d) 12 + x – 6x
2

Giải:
a) x
2
+ 5x + 6 = x
2
+ 3x + 2x + 6 = (x
2
+ 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 2)(x + 3)
b) 15 – 2x – x

2
= 15 – 3x + 5x – x
2
= (15 – 3x) + (5x – x
2
)= 3(5 – x) + x(5 – x) = (3 +x)(5 – x)
c) 2x
2
+ 9x – 35 = 2x
2
+ 14x – 5x – 35 = (2x
2
+ 14x) – (5x + 35)
= 2x(x + 7) – 5(x + 7) = (2x – 5)(x + 7)
d) 12 + x – 6x
2
= 12 – 8x + 9x – 6x
2
=(12 – 8x) + (9x – 6x
2
) = 4(3 – 2x) + 3x(3 – 2x)
= (4 + 3x)(3 – 2x)

Ở ví dụ này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành
nhân tử mà ta phải tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử
theo các phương pháp đã được học.

Bài tập.

VĂN PHONG
- 14 - B
ổ trợ toán 8
§10. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
1. Quy tắc
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau


2. Ví dụ



§11. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

1. Quy tắc
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho
đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Ví dụ


§12. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
1. Phép chia hết



2. Phép chia có dư






CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

§1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
§3. RÚT GỌN PHÂN THỨC
§4. QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC
§5. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§6. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§7. PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§8. PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC