GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG MŨ & LOGARIT

THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng.
M
M




&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2

.
.
Gv:
L
L
ờ
ờ


H
H


n
n
h
h


P
P
h
h
ỏ
ỏ
p
p
.
. Trang 1

M
M




&
&


L
L
ễ
ễ
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

Đ
Đ
1
1
.
.


L
L


Y
Y


T
T
H
H


A

A
.
.


1) LY THA VI S M NGUYấN:
a) Ly tha vi s m nguyờn dng: Vi a:
. .
n thửứa soỏ
n
a a a a a


v
1
a a

.
b) Ly tha vi s m 0 v m nguyờn õm: Vi
0,
a


0
1
a

v
1
n

n
a
a


.
c) Tớnh cht: Vi a, b 0 v m, n nguyờn

.
. ; ; ; ( . ) . ;
n
n n
m
n m n m n m n n m n n n
m n
a a a
a a a a a a a b a b
a b b









nh lý: Cho m, nZ. Khi ú:
1: ; 0 1:
m n m n

a a a m n a a a m n





H qu 1: 0 < a < b v mZ. Khi ú:
0 ; 0
m m m m
a b m a b m





H qu 2: a, b dng,
*
n N

. Khi ú:
n n
a b a b


2) CN BC n & LY THA VI S M HU T:
a) Cn bc n:
Vi n nguyờn dng ln hn 1, cn bc n ca s thc a l s thc b sao cho
n
b a

.
Vi n l, a:
n
b a

b =
n
a
(mi s thc a cú 1 cn bc l).
n chn, a > 0:
n
b a

b =
n
a
(mi s thc dng a cú 2 cn bc chn i nhau).
Tớnh cht: a, b thc dng m, n nguyờn dng.

. ; ; ;
, )
; ;
| |(
( leỷ
chaỹn)
n
m
n
m m
n n n n n mn

n
n
n m mn n
p q m n
n
a a
ab a b a a a a
b
b
a n
p q
a a a a a
a nn m






b) Ly tha vi s m hu t:
Cho a l mt s thc dng, r l mt s hu t c vit di dng r =
m
n
tc m nguyờn, n nguyờn
dng. Khi ú
m
n
r m
n
a a a

3) LY THA VI S M THC:
N:
lim
n
r
n
a a



. Trong ú: l s vụ t; (
n
r
) l dóy vụ t bt k cú lim
n
r
= ; a l s thc dng.
Tớnh cht: Cú cỏc tớnh cht nh ly tha vi s m nguyờn.
Ghi nh: Vi a


l s nguyờn dng thỡ a tu ý.
l s nguyờn õm v s 0 thỡ a 0.
l s hu t, s thc thỡ a > 0.
B
B


I

I


T
T


P
P
.
.


1) Tớnh:
a)
2
5
2
5
9 .27
; b)
3
4
3
4
144 :9
; c)
0,75
5
2

1
0,25
16






;
d)
2
1,5
3
(0,04) (0,125)



; e)
1 2 1
1
2
3 3 3
(0,001) 2 .64 8



f)
1
2

3
2
3
27
27 ( 2)
8







2
2
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O

G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
 Hướng dẫn: a) 9 b) 8 c) 40 d)
3 2
5 2

= 121 e)
95
16
f)
113
12

2) Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn biểu thức sau:
a)
4 1 2
3 3 3

1 3 1
4 4 4
a a a
a a a


 

 
 
 

 
 
b)


 
1
5 5
4 1
5
2
3 2
3
3
b b b
b b b





c)
1 1 1 1
3 3 3 3
3 32 2
a b a b
a b
 



d)
1 1
3 3
6 6
a b b a
a b


e)
1 1
3 3
6 6
a b b a
a b


f)
 

2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
 
  
 
 

 Hướng dẫn:
a) a b) 1 (b ≠ 1) c)
3
1
ab
d)
3
ab
e)
1 1 1 1 1 1
3 3 2 3 2 3
3
1 1
6 6
a b b a
ab
a b
 
 

 

 


f) a + b
3) Đơn giản biểu thức:
a)
4
4 4 4 4
a b a ab
a b a b
 

 
; b)
3 3 3 3
a b a b
a b a b
 

 
;
c)
2
3 3 3
3 3
:( )
a b
ab a b
a b


 
 
 

 
; d)
1
4
4
4
1
3
2
1
. .
1
a a a
a
a
a a
 


+ 1
 Hướng dẫn:
a)





4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4
( )
a b a b
a a b
a b a b
 


 
=
4
b
;
b)




3 3 3 3
2 2 2 2
3 3
a ab b a ab b
     =
3
2
ab

c)





2
3 32 2
3 3 3 3
:
a ab b ab a b
   
= 1
d)
4 4
4
4
( 1)( 1) ( 1)
. . 1
( 1) ( 1)
a a a a
a
a a a
  

 
=
a

4) Chứng minh:
a)
4 2 3 4 2 3

   = 2; b)
3 3
9 80 9 80
   = 3
 Hướng dẫn:
a)
2 2
( 3 1) ( 3 1)
   b) 2
3
9 4 5
 =
3
3
(3 5)

5) So sánh các số:
a)
 
5
6
3

và
1
3
4
1
3
3


; b)
600
3
và
400
5

c)
5
7
1
2

 
 
 
và
3
14
2.2
d)
30
7
và
40
4

 Hướng dẫn:
a)

 
5
6
3

=
5
12
3

và
5
1
12
3
4
1
3 3
3


 b)
600
3
=


200
3
3 và

400
5
=


200
2
5
c)
5
7
1
2

 
 
 
=
5
7
2
và
3
14
2.2
=
5
7
2
d)

30
7
=


10
3
7
và
40
4
=


10
4
4
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L

O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à

à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
§
§
2
2
.
.


L
L
Ô
Ô
G

G
A
A
R
R
I
I
T
T
.
.


1) ĐỊNH NGHĨA:
 Cho 0 < a  1 và b > 0. Nếu có số thực  để
a

= b thì  được gọi là lôgarit cơ số a của b, tức là
log
a
a b b


   hay log
a
b b a


   .


log
log 1 0 ; log 1; log , ; , 0
a
b
b
a a a
a a b b R a b b
       
.
2) TÍNH CHẤT:
 Định lý 1: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:
1: log log ; 0 1: log log
a a a a
a b c b c a b c b c
        

 Hệ quả 1: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:
1: log 0 1; log 0 1.
0 1: log 0 1; log 0 1.
a a
a a
a b b b b
a b b b b
      
       

 Hệ quả 2: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:
log log
a a
b c b c

  
.
 Định lý 2: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:
log log
log ( ) log log ; log log log ;
log log ; .
a a
a a a a a a
c b
a a
b
bc b c b c
c
b b b c


   
 

 Hệ quả: Cho 0 < a  1 và b > 0 và n nguyên dương:
1 1
log log ; log log .
n
a a a a
b b b
n b
  

 Định lý 3: 0 < (a, b)  1 và c > 0:
log

log
log
a
b
a
c
c
b

hay
log .log log
a b a
b c c
 .
 Hệ quả 1: 0 < (a, b)  1:
1
log
log
a
b
b
a

.
 Hệ quả 2: 0 < a  1, c > 0,   0:
1
log log
a
a
c c




3) LÔGARIT THẬP PHÂN:
 Lôgarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là lôgarit thập phân của x được ký hiệu là logx hoặc lgx.
Ta có:
10
log log
x x
 hay
log 10
n
x n x   .
4) LÔGARIT TỰ NHIÊN:
 Lôgarit cơ số e của một số dương a được gọi là lôgarit tự nhiên (lôgarit Nêpe) của a, ký hiệu lna.
Ta có:
log ln
e
x x
 hay ln
n
x n x e
   .
B
B
À
À
I
I

T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a)
2
1
log
8
b)
1
4
log 2
c)
4
3
log 3

d)
0,5
log 0,125
e)

1
5
log 125
f)
0,5
1
log
2

 Hướng dẫn:a) –3 b) –
1
2
c)
1
4
d) 3 e) –3 f) 1
2) Tính:
a)
2
log 3
4
b)
9
log 2
27 c)
3
log 2
9
d)
8

log 27
4
e)
3
log 18
3 f)
3
5log 2
3
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R

I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P

P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
g)
2
log 5
1
8
 
 
 
h)
0,5
log 2
1
32
 
 
 

 Hướng dẫn:a) 9; b) 2
2
; c) 16 d) 9 e) 18 f) 32 g)
1

125
h) 32
3) Hãy tính:
a)
8 8 8
log 12 log 15 log 20
  ; b)
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
 
c)
5 5
5
log 36 log 12
log 9

d)
6
2
log 5
log 3
1 log2
36 10 8

 

 Hướng dẫn: a)

3
4
8
2
12 4
log .20 log 2
15 3
 
; b) –2; c)
1
2
; d) 3
4) Tính:
a)
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
  b)
2 2
3 3
1
log 24 log 72
2
1
log 18 log 72
3



c)
2 2
2 2
log 4 log 10
log 20 3log 2



 Hướng dẫn: a) –2 b)
9
8
c)
1
2

5) Đơn giản các biểu thức sau:
a)
1 1
log log4 4log 2
8 2
  ; b)
4 1 3 9
log log36 log
9 2 2 2
 
c)
27
log72 2log log 108
256
 

d)
1
log log0,375 2log 0,5625
8
 

 Hướng dẫn: a) log1 = 0 b) log(18
2
) c) 20log2 –
5
2
log3 d)
3
log
16

6) Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua  và :
a)
3
log 50
, nếu
3
log 15


,
3
log 10



; b)
4
log 1250
, nếu
2
log 5


.
 Hướng dẫn:
a)
3 3 3 3 3
3
15
log 50 2log 50 2log 10 2log 5 2log 10 2log
3
    
3 3 3 3 3
2log 10 2(log 15 log 3) 2log 10 2(log 15 1)
     
= 2 + 2 – 2
b)
4 4 4 2 2
1 1
log 1250 log 625 log 2 log 25 2log 5
2 2
     
= 2 +
1
2

7) a) Cho a =
30
log 3
, b =
30
log 5
. Hãy tính
30
log 1350
theo a, b;
b) Cho c =
15
log 3
Hãy tính
25
log 15
theo c.
 Hướng dẫn:
a)
30
log 1350
=
2
30
log 3 .5.30
=
30 30 30
2log 3 log 5 log 30
  = 2a + b + 1

b) Ta có c =
15
log 3
=
3
1
1 log 5

nên
25
log 15
=
3
3
1 log 5
2log 5

=
1
2
1
1
1
c
c

=
1
2(1 )
c




THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p

p
.
. Trang 5
§
§
3
3
.
.


H
H
À
À
M
M


S
S
Ố
Ố


M
M
Ũ
Ũ
,

,


L
L
Ô
Ô
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


&
&


L
L
U
U
Ỹ
Ỹ

T
T
H
H
Ừ
Ừ
A
A
.
.


1) GIỚI HẠN:

0
0 0
*
0
, lim ; , lim log log
x
x
a a
x x x x
x R a a x R x x

 
     

0 0

ln(1 ) 1
lim 1; lim 1
x
x x
x e
x x
 
 
 

2) ĐẠO HÀM:

       
ln ; ; ln ;
x x x x u u u u
a a a e e a u a a e u e
   
 
   
với [u = u(x)].

   
1 1
log ; (ln ) ; log ; (ln )
.ln .ln
a a
u u
x x u u
x a x u a u
 

 
 
   
với [u = u(x)].

1 1
( ) ; ( ) .
x x u u u
   
 
 
  
 
với [u = u(x)].
3) SỰ BIẾN THIÊN & ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(0 1)
x
y a a
  
:
a) Trường hợp a > 1:
 TXĐ: D = R
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=
x
a
lna > 0 x, hàm số đồng biến trên R.

Cực trị: hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
lim
x
x
a

=+,
lim
x
x
a

= 0 đường thẳng y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:

 Đồ thị:
Đi qua điểm (0; 1) và (1; a). Đồ thị nằm phía trên trục hoành.
b) Trường hợp 0 < a < 1:
 TXĐ: D = R,
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=
x
a
lna < 0 x, hàm số nghịch biến trên R.
Cực trị: hàm số không có cực trị.
Giới hạn:

lim
x
x
a

=+,
lim
x
x
a

= 0 đường thẳng y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:

 Đồ thị:
Đi qua (0; 1) và (1; a). Đồ thị nằm phía trên trục hoành.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O

O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à

n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
4) SỰ BIẾN THIÊN & ĐỒ THỊ HÀM SỐ
log (0 1)
a
y x a
  
:
a) Trường hợp a > 1:
 TXĐ: D = (0; +)
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=
1

ln
x a
> 0 x D, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +).
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn:
lim log
a
x
x

= + và
0
lim log
a
x
x


= – đường thẳng x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:

 Đồ thị:
Đi qua điểm (1; 0) và (a; 1). Đồ thị nằm bên phải trục tung.
b) Trường hợp 0 < a <1:
 TXĐ: D = (0; +)
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=

1
ln
x a
< 0 x D, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +)
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn:
lim log
a
x
x

= – và
0
lim log
a
x
x


= + đường thẳng x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:

 Đồ thị:
Đi qua (1; 0) và (a; 1). Đồ thị nằm bên phải trục tung.
5) SỰ BIẾN THIÊN & ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y x


:
a) Trường hợp  > 0:

 TXĐ: D = (0; +)
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=
1
( )'
x x
 



> 0 x D, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +).
Cực trị: hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
lim
x
x


 
,
0
lim 0
x
x





, không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:

THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á

p
p
.
. Trang 7
 Đồ thị: luôn đi qua điểm (1; 1).
b) Trường hợp  < 0:
 TXĐ: D = (0; +)
 Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
y
=
1
( )'
x x
 



< 0 x D hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +)
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn:
lim 0
x
x



,
0

lim
x
x



 
, đường thẳng y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang,
đường thẳng x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:

 Đồ thị: luôn đi qua điểm (1; 1).
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.

1) Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y =
2 3sin 2
x
xe x
 b) y =
2
5 2 cos
x
x x
 c) y =
1
3
x
x


 Hướng dẫn:
a)
'
y
= 2
x
e
(x + 1) + 6cos2x b)
'
y
= 10x +
2
x

(sinx – ln2.cosx) c)
'
y
=
1 ( 1)ln3
3
x
x
 

2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x – 1)
2
x
e
; b) y =
2
x
4
1
x
e

;
c) y =
1
2


x x

e e


; d) y =
1
2


x x
e e


.
 Hướng dẫn:
a) (2x – 1)
2
x
e
; b)
4
4
2 ( 1) 1
1
x
x
x x e
e
 
 
 


; c)
1
2


x x
e e

 ; d)
1
2


x x
e e


3) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (3x – 2)
2
ln
x; b) y =
2
1
x

ln
2
x

;
c) y = x
1
ln
1
x

; d) y =
2
ln( 1)
x
x

.
 Hướng dẫn:
a) 3
2
ln
x +
2(3 2)ln
x x
x

; b)
2 2
2
ln 2 1
1
x x x
x

x



;
c)
1
ln
1 1
x
x x

 
d)
2
2 2
2 ln( 1)
x
x x




4) Tìm đạo hàm hàm số sau:
a) y =
(2 1)
x


; b) y =

5 3
ln 5
x
;
c) y =
3
3
3
1
1
x
x


; d) y =
a b
x a
b x
   
   
   
(a, b > 0).
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ

&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
a)
1
2 (2 1)
x





; b)
5 2
3
5 ln 5
x x
; c)
2 3
3
6 3
2 1
1 1
x x
x x

 
;
d)
1 1
2
a b a b a b
a x a x a a x a a b
b
b b x b x x b x x
 

             
  
             
             

5) Tính đạo hàm của hàm số:
a) y = 3
2
x
– lnx + 4sinx; b) y = log(
2
x
+ x + 1); c) y =
3
log
x
x
.
 Hướng dẫn:
a)
'
y
= 6x –
1
x
+ 4cosx; b)
'
y
=
2
2 1
( 1)ln10
x
x x


 

6) Tìm TXĐ của hàm số:
a) y =
2
log (5 2 )
x

; b) y =
2
3
log ( 2 )
x x

;
c) y =
2
1
3
log ( 4 3)
x x
 
; d) y =
0,4
3 2
log
1
x
x



.
 Hướng dẫn:
a)
5
;
2
 

 
 
b) (–∞; 0)  (2; +∞) c) (–∞; 1)  (3; +∞) d)
2
;1
3
 

 
 

7) Tìm TXĐ và tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
8
log ( 3 4)
y x x
  
; b)
2

3
log ( 5 6)
y x x
   
;
c)
2
0,7
9
log
5
x
y
x



; d)
1
3
4
log
4
x
y
x



;

e)
log (2 2)
x
y

 
; f)
1
3
log (3 9)
x
y

 
.
 Hướng dẫn:
a) D = (–∞; –1)  (4; +∞),
'
y
=
2
2 3
( 3 4)ln8
x
x x

 

b) D = (–1; 6),
'

y
=
2
4 10
( 5 6)ln3
x
x x
 
  

c) D = (–5; –3)  (3; +∞),
'
y
=
2
2
10 9
( 9)( 5)ln0,7
x x
x x
 
 

d) D = (–∞; –4)  (4; +∞),
'
y
=
2
8
(16 )ln3

x

e) D = (1; +∞),
'
y
=
2 ln 2
(2 2)ln
x
x



f) D = (3; +∞),
'
y
=
1
1
3
3 9
x
x





THPT Tân Bình – Bình Dương.
M

M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.

.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
§
§

4
4
.
.


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H

M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
Ô
Ô
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T
.
.

1) PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN:
a) Phương trình mũ: với m > 0, log
x
a
a m x m
   .
b) Phương trình lôgarit: với x > 0, log
m
a
x m x a
   .
2) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT:
a) Đưa về cùng cơ số: 0 < a  1
x m
a a x m
  
và
0
log log
a a
m
x m
x m


 








1
Vd
Giải phương trình
1 2 1
9 27
x x
 


2( 1) 3(2 1)
3 3
x x
 

 2(x +1) = 3(2x+1)  x =
1
4

.




2
Vd
Giải phương trình

2
2 1
2
1
log log ( )
x x
x
 

2
1 1
2 2
log log ( )
x x x
 

2
0
2 0
x
x x



 

 x = 2.
b) Phương pháp đặt ẩn phụ:



3
Vd
Giải phương trình
2 5
3
x

=
2
3
x

+ 2 


2
2 2
3 3 3 2
x x 
 
.
Đặt t =
2
3
x

(t > 0) PT trở thành 3
2

t
– t – 2 = 0 
1
2
(
3
loaïi)
t
t




 


Với t = 1 
2
3
x

= 1
2 0
3 3
x

 x + 2 = 0  x = –2.



4
Vd
Giải phương trình
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
 
.
(Với x > 0, x 
1
2
, x  1): PT 
2 2
6 2
3
1 log logx x
 

.
Đặt t =
2
log
x
PT trở thành:
2
1
6 2

3 3 5 2 0
2
1
3
t
t t
t t t



      





2
3
2
log 1
2
2
log
4
3
x
x
x
x














c) Phương pháp lôgarit hoá:




5
Vd
Giải phương trình
2
1 2
3 .2 8.4
x x x
 


2
1 2
2 2

log (3 .2 ) log (8.4 )
x x x 
 
(x – 1)
2
log 3
+
2
x
= 3+ (x – 2)
2
log 4

2
x
– (2–
2
log 3
)x + 1 –
2
log 3
= 0  x = 1, x = 1 –
2
log 3





6

Vd
Giải PT
4
3
x
=
3
4
x

4 3
3 3
log 3 log 4
x x
 
3
4 3 log 4
x x
 
3
4
log 4
3
x
 

 
 

4 3

3
log (log 4)
x 
d) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số:




7
Vd
Giải phương trình
3
2 2 log
x
x
  (*)
x > 1:
3
log
x
> 0  2 –
3
log
x
< 2 <
2
x
 (*) vô nghiệm.
0 < x < 1:
3

log
x
< 0  2 –
3
log
x
> 2 >
2
x
 (*) vô nghiệm.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).




8
Vd
Giải phương trình
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
    
3 2 3 2
1
5 5
x x
   
 
 
   
   

   

Đặt
3 2
( )
5
x
f x
 


 
 
 
,
3 2
( ) 1
5
x
g x
 

 
 
 
 
.
Ta có
( )
f x

> 0,
( )
g x
 0 x  0 nên trên [0; +) phương trình
( )
f x
=
( )
g x
vô nghiệm.
Và
( )
f x
> 1,
( )
g x
< 1 x < 0 nên trên (–; 0) phương trình
( )
f x
=
( )
g x
vô nghiệm.
Vậy phương trình
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
   
vô nghiệm.

THPT Tân Bình – Bình Dương.

M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2

.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
B

B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Giải các phương trình mũ:
a)
2 1 2
3 3 108
x x
  ; b)
1 1
2 2 2 28
x x x 
  
; c)
64 8 56 0
x x

  
; d)
3.4 2.6 9
x x x
 
.
 Hướng dẫn: a) 2 b) 3 c) 1 d) (chia 2 vế
9
x
) 0
2) Giải các phương trình sau:
a)
5
2 3
1
(0,75) 1
3
x
x


 

 
 
b)
2
5 6
5 1
x x 


c)
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
 

 

 
 

d)
2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x
  
  
e)
6 3
3 2 0
x x
e e

  
f)
2 2
4 3
x x
e e

 

g)
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x
  
  
h)
2 2
5 7 5 .17 7 .17 0
x x x x
   

 Hướng dẫn:
a)
2 3 5
3 3
4 4
x x
 
   


   
   
 x = –2 b)
2
1
5 6 0
6
x
x x
x
 

   




c)
2
1
2 0
2
x
x x
x
 

   




d)
2 1
3 3
63.9 42.4
2 2
x
x x

   
  
   
   
 x = –
1
2

e)
3
3
0
1
1
ln2
2
3
x
x
x
e

x
e












f)
2
4
x
e

 x = ln2
g)
1
2 2
5 5
x
   

   
   

 x =1 h)
0
2
7 7
7 5
25 25
x
x x
   
  
   
   
 x = 0
3) Giải phương trình sau:
a)


2
2 3
x
 = 2 –
3
; b)
2
3 2
2
x x
 
= 4;
c) 2.

1
3
x

– 6.
1
3
x

–
3
x
= 9; d)
3
log (3 8)
x

= 2 + x.
 Hướng dẫn:
a) 2 –
3
=


1
2 3


nên x = –
1

2
b) x = 0, x = 3 c) x = 1 d) x = 0
4) Giải phương trình sau:
a)
1
2 .5 200
x x

; b)


2 3
0,125.4 4 2
x
x


 Hướng dẫn: a) x = 2 b) 4x – 9 =
5
2
x 
3
9
2
x

 x = 6
5) Giải các phương trình sau:
a)
3

2 log
3
x

= 81x; b)
1
3 .8
x
x
x

= 36; c)
log 5
6 5
.5 5
x
x


 .
 Hướng dẫn:
a) x =
1
3

b) x = 2, x =
3
(1 log 2)
 
c) (0 < x ≠ 1):

log 5
6 5
log .5 log 5
x
x x
x


 
 
2
log 5 5log 5 6 0
x x
  

log 5 1 log 5 6
hoaëc
x x
  

 x =
1
5

hoặc x =
6
5

6) Giải các phương trình sau:
a)

1
3 18.3
x x
 

= 29; b)
27 12 2.8
x x x
 

 Hướng dẫn:
a) t =
3
x
(t > 0) x = 2, x =
3
log 2
– 1, b) Chia 2 vế cho
3
2
x
, t =
3
2
x
 
 
 
, x = 0
7) Giải các phương trình sau:

a)
2
x
= 3 – x; b)
2
log
x
= 3 – x
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R

I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P

P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
a) x = 1 vì hàm số y =
2
x
đồng biến y = 3 – x nghịch biến.
b) x = 2 vì hàm số y =
2
log
x
đồng biến y = 3 – x nghịch biến.
8) Giải phương trình sau:
a)
2 4 1
2
log log log 3
x x 
; b)
3 9
3
log .log .log
x x x
= 8.

 Hướng dẫn:
a) (x > 0)
3
2
2
log
x
=
1
2
2
log 3


3
x
=
1
3
 x =
3
1
3
b)
3
log
x
= 2  x = 9
9) Giải các phương trình sau:
a)

2 3
log 20log 1 0
x x
  
; b)
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x

; c)
9 3 9
log 27 log 3 log 243 0
x x
  
.
 Hướng dẫn:
a) x = 10, x =
9
10
[9
2
t
– 10t + 1 = 0 với
2 3 2 2

log (3log ) 9log
x x x
  ]
b)
2 2
2 2
3log 2 log
2 2log 3 log
x x
x x


 
(t =
2
log
x
) 
2
t
+ 3t – 4 = 0  t = 1, t = –4  x = 2, x =
1
16

c)
3 3
3 1 5
0
2 log 1 log 2x x
  

 
(t =
3
log
x
)  5
2
t
+ 19t + 12 = 0  t = –3, t = –0,8  x =
3
3

, x =
0,8
3


10) Giải các phương trình sau:
a)
4 3
log log 4 2 log
x x x
  
b)
4 4
2
log [( 2)( 3)] log 2
3
x
x x

x

   


c)
5 3
3
log ( 2)log 2log ( 2)
x x x
  
d)




1
2 2
log 2 1 .log 2 2 2
x x
  

e)
log9 log
9 6
x
x
 
f)
2 5

1 2log 5 log ( 2)
x
x

  

g)
3
2
3log log
3
3
100 10
x x
x

 h)
4 ln x
e x



 Hướng dẫn:
a) (x > 0):
4 3
log log log 2 log 4
x x x   

log 1 log2
x

 
 x = 5
b)
2
4
( 2)( 3) 0
2
0
3
log ( 4) 2
x x
x
x
x
  









 


2
3
2

4 16
x
x
x
  







 


2 5
2 5
x
x



 



c) (x > 2):


3 5

2log ( 2) log 1 0
x x
  
 x = 3, x = 5
d)


2 2
log (2 1) 1 log (2 1) 2
x x
   

2
2
2
log (2 1) log (2 1) 2 0
x x
    

2
2
log (2 1) 1
log (2 1) 2
x
x

 

  




3
2 2 1
4
(loaïi);
x x
  
 x = 0
e) (x > 0): Ta có
log9 log log9 log
9 log log9 log9log log log9
x x
x x x x     do đó  2t = 6  t = 3 hay
log9
3
x




log9
log log3
x  
log3
log
log9
x  
1
log

2
x


10
x 
f) ( –1  x > –2):
2
2
1
1 2log 5 0
log 5
x
x


  

2
2 2
2log 5 log 5 1 0
x x 
  

9
; 23
5
x x
  

g) (x > 0):
3
2
3log log
3
3
log log100 10
x x
x



3
2 7
3log log log
3 3
x x x
 
 
 
 

4 2
9log 2log 7 0
x x
  

2 2
7
log log 1

9
(loaïi);x x
  

1
10;
10
x x
 

h) (x > 0):
4
ln x
e
x
e


4 2
e x


2
x e


THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ

Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:

L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
§
§
5
5

.
.


H
H
Ệ
Ệ


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì

N
N
H
H


M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
Ô
Ô
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

.
.


1) PHƯƠNG PHÁP THẾ:




1
Vd
Giải hệ phương trình:
(1)
. 1 (2)
x y x y
x y
x y
 








Giải: (Với x > 0): (2) 
1
y
x


(3). Thay (3) vào phương trình (1) ta được:
1 1 1
2
2
x x
x x
x x
  
 
1 1 1
2
2
x x
x x
    
2 2 1
x x x x
   

3
2
1
3
x


3
1
1;

9
x x 
Với x =1  y = 1; Với x =
3
1
9
 y =
3
3
; Vậy hệ có 2 nghiệm là (1; 1),
3
3
1
; 3
9
 
 
 





2
Vd
Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4 (1)
4 2

(2)
2 2
x
x x
x
y y
y


 





 

Giải: Từ (2) 
2 (2 2)
2
(2 2)
x x
x
x
y

 

(3). Thay (3) vào (1) ta được:
3 2

2 5.2 4.2
x x x
  
2
2 (2 5.2 4) 0
x x x
  

2 1 0
2
2 4
x
x
x
x

 









Với x = 0  y = 1; Với x = 2  y = 4. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0; 1), (2; 4).
2) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:



3
Vd
Giải hệ phương trình:
4
4
4
4
( )3 1
8( ) 6 0
y x
x y
x y
x y



 


  



Giải: Đặt
4
4
u x y
v x y


 


 


, ta được:
3
.3 1
1
8 6 0
6
8
v
v
v
v
u
u
u
u







 

 





3
1
3 3 .2
8
v
v v v
u








27
3
u
v







4 4
4
27 2 30
3 2 24
x y x
x y y
 
  
 
 
  
 

4
4
15
15
12
12
x
x
y
y



 



 






3) PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG:
 Mũ hoá: đưa hai vế của phương trình về hàm số mũ có cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng nhau, rồi giải
hệ phương trình đại số.




4
Vd
Giải hệ phương trình:
2
( ) 1
4 1
5 125
x y
x y
 










Giải:
2
2
( ) 1 0
3
1 1 2 1
( ) 1 0
4 4
3 3 1 2
3
5 5
hoaëc hoaëc
x y
x y
x y x y x x
x y
x y x y y y
x y
 


      

      



  
     
     
 

    



 Lôgarit hoá: đưa phương trình về hàm số lôgarit có cùng cơ số, rồi biến đổi đưa về hệ phương trình đại
số để giải.




5
Vd
Giải hệ phương trình:
2 2
2
log log 1
4 12 0
(1)
(2)
x y
y x
 


  



Giải: ĐK: x > 0, y > 0. Từ (1) 
2 2
log log 2 2 2
x x
x y
y y
    
Thay x = 2y vào phương trình (2) ta được:
2
4 2 12 0
y y
  
= 0 
3
2
y


Với y =
3
3
2
x
 
. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;
3
2
)

THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2

2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13

B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Giải hệ phương trình sau:
a)
4 4 4
20
log log 1 log 9
x y
x y
 


  


b)
2 2
1
1
4 4
2
x y
x y
 
 



 



 Hướng dẫn:
a) (x, y > 0):
4 4
20
log log 36
x y
xy
 






20
36
x y
xy
 





2
18
x
y





hoặc
18
2
x
y






b)
2 2 2
1
1
4 4
2
x x
y x
  
 



 



2
2
1
1 4 1
4 16 2
x
x
y x 



 




 
2
2 2
1
4 8.4 16 0
x x
y x 



  



2
1
4 4
x
y x
 





1
2
1

2
x
y










2) Giải hệ phương trình sau:
a)
5
3 .2 1152
log ( ) 2
x y
x y





 


; b)
2 2

2 3
2
log ( ) log ( ) 1
x y
x y x y

 

   


 Hướng dẫn:
a)
3 .2 1152
5
x y
x y




 


5
5
3 .2 1152
x x
y x
 

 





5
6 36
x
y x

 





2
7
x
y
 





b) (x – y > 0 và (x + y > 0):
2 2
2

2
2
log ( )( ) log 2
log ( )
log ( ) 1
log 3
x y x y
x y
x y
  




  



2 2
2
2
2
log ( ) log ( ) 1
log ( )
log ( ) 1
log 3
x y x y
x y
x y
   





  




2
2
log ( ) 1
log ( ) 0
x y
x y
 


 


2
1
x y
x y
 


 



1,5
0,5
x
y



 


3) Giải hệ phương trình:
a)
3.2 2.3 2,75
2 3 0,75
x y
x y

 


  


b)
5 5 7 5
2 2 5
log log 7.log 1 log 2
3 log log 5(1 3log )
x y

y x
  


  


 Hướng dẫn:
a)
1
2
4
3 1
x
y








2
0
x
y
 






b) (x, y > 0):
5 5 5 5
3
2 2 2 2
log log log 5 log 2
log 8 log log 5 log
x y
y x
  


  


5 5
3
2 2
log log 10
log 8 log 5
xy
y x







3
10
8 5
xy
y x






2
5
x
y








THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ

&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê

ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
§
§
6
6
.
.

B
B
Ấ
Ấ
T
T


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N

N
H
H


M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
Ô
Ô
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T
.

.


1) CÁC TÍNH CHẤT:
 Định lý: Cho m, nZ. Khi đó: 1: ; 0 1:
m n m n
a a a m n a a a m n
        

 Hệ quả 1: 0 < a < b và mZ. Khi đó:
0 ; 0
m m m m
a b m a b m
     

 Hệ quả 2: a, b dương,
*
n N
 . Khi đó:
n n
a b a b
  

 Định lý: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:
1: log log ; 0 1: log log
a a a a
a b c b c a b c b c
        

 Hệ quả 1: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó:

1: log 0 1; 0 1: log 0 1.
a a
a b b a b b
        

 Hệ quả 2: Cho 0 < a  1 và b, c > 0. Khi đó: log log
a a
b c b c
  
.
2) CÁC VÍ DỤ:




1
Vd
Giải bất phương trình:
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
    
    .
Giải:
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
    
    
2 1

2 (1 2 4) 5 (1 5)
x x 
   

2 1
2 5
4 5
x x
 
 
2 5
x x

 x > 0




2
Vd
Giải bất phương trình:
2
0,5 0,5
log (4 11) log ( 6 8)
x x x
   

Giải:
2
0,5 0,5

log (4 11) log ( 6 8)
x x x
   

2
2
4 11 0
6 8 0
4 11 6 8
x
x x
x x x
 


  


   


2,75
2 4
3 1
hoaëc
x
x x
x
 



   


  

 –2 < x < 1




3
Vd
Giải bất phương trình:


1
1
5
log 6 36 2
x x
  

Giải:


1
1
5
log 6 36 2

x x
  

2
2
6 6.6 0
6 6.6 5 0
x x
x x

 


  



0 6 6
6 5
6 1
x
x
x

 











6
1
log 5
0
x
x
x












6
1 log 5
0
x
x
 






B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Giải các bất phương trình mũ:
a)
2
3
2 4
x x 


; b)
2
2 3
7 9
9 7
x x
 

 
 
; c)
2 1
3 3 28
x x 
 
; d)
4 3.2 2 0
x x
  
.
 Hướng dẫn:
a)
2
3 2
2 2
x x 

 –
2
x

+ 3x – 2 < 0  x < 1 hoặc x >2
b) 2
2
x
– 3x ≤ –1 
1
2
≤ x ≤ 1
c)
3
9.3 28
3
x
x
 

28
.3 28
3
x


3 3
x

 x ≤ 1
d)


2

2 3.2 2 0
x x
  

2 1
2 2
x
x






0
1
x
x






2) Giải các bất phương trình lôgarit:
a)
8
log (4 2 ) 2
x
 

; b)
1 1
5 5
log (3 5) log ( 1)
x x
  
;
c)
0,2 5 0,2
log log ( 2) log 3
x x   ; d)
2
3 3
log 5log 6 0
x x
  
.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L

L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H

à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 15
a)
2
4 2 0
4 2 8
x
x
 


 



2
30
x
x





 x ≤ –30
b)
3 5 0
1 0
3 5 1
x
x
x x
 


 


  


5
3
1
3

x
x
x




 






5
3
< x < 3
c)
1 5
5
log log ( 2)
3
x
x
 

5 5
3
log log ( 2)
x

x
 

2
2
2 3 0
x
x x



  

 x > 3
d)
 
2
3 3
log 5log 6 0
x x
  

3
0
2 log 3
x
x




 

 9 ≤ x ≤ 27
3) Giải bất phương trình:
a)
2 1 2 2 2 3
2 2 2 448
x x x  
   b)
1
(0,4) (2,5) 1,5
x x
 
c)
2
3 1
2
log log ( 1) 1
x
 
 
 
 
d)
2
0,2 0,2
log 5log 6
x x
  

 Hướng dẫn:
a)
4 4 4
448
2 4 8
x x x
  

4 512
x


9
2
4 4
x

 x ≥
9
2

b)
2 5 5 3
5 2 2 2
x x
   
 
   
   


2 2
2 3 5 0
5 5
x x
   
  
   
   

2 5
5 2
x
 

 
 

1
2 2
5 5
x

   

   
   
 x < –1
c) 0 <
2
1

2
log ( 1) 3
x
 

2
1 1 1
2 2 2
1
log 1 log ( 1) log
8
x  
 1 >
2
x
– 1 >
1
8


2
9 3
2 | | 2
8
2 2
x x    

3 3
2 2
2 2 2 2

hoaëcx x     

d)
2
0,2 0,2
log 5log 6 0
x x
  

0,2
2 log 3
x
 

2 3
(0,2) (0,2)
x   0,04 > x > 0,008
4) Giải bất phương trình:
a)
2
0,1 0,1
log ( 2) log ( 3)
x x x
   
; b)
2
1 3
3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x

    
.
 Hướng dẫn: a) x (–
5
; –2)  (1;
5
) b) x[
1
2
; 1)
5) Giải các bất phương trình:
a)
4
2
1 log
1
1 log 2
x
x



b)


1
1
5
log 6 36 2
x x

  
c)
2
1 5
5
log ( 6 18) 2log ( 4) 0
x x x
    

 Hướng dẫn:
a)
2
2
1 2log
0
2(1 log )
x
x




1
0
2
2
x
x

 







b)
2
2
6 6.6 0
6 6.6 5 0
x x
x x

 


  



0 6 6
6 5
6 1
x
x
x

 











6
1
log 5
0
x
x
x












6
log 5 1

0
x
x
 





c) (Đk: x > 4)
2 2
5 5
log ( 8 16) log ( 6 18) 0
x x x x
     

2
5
2
8 16
log 0
6 18
x x
x x
 

 

2
2

8 16
1
6 18
x x
x x
 

 

 x > –1 kết hợp đk  x > 4
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R

R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
Ô
Ô
N
N


T
T
Ậ
Ậ
P
P


&
&


K
K

I
I
Ể
Ể
M
M


T
T
R
R
A
A


C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
.
.

A. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1)
2 4 4 2
2 5
5 2
x x
 
   

   
   
2)
1
(0,4) (2,5) 1,5
x x
 
3)
4 3 4 3
3 3.5 5 3
x x x x
   
  

4)
2
6 5
2 1
x x 


5)
2
3
4 2
x x


6)
1
9 3 2 0
x x
  

7)
2 1
5
x

+
1
5
x

– 250 = 0 8)
1 2
2 2 6
x x 
 
9)

2 1 1
5 3.5 10 0
x x 
  

10)
2 3 2
2 3.2 1 0
x x 
  
11)
9 6 2.4
x x x
  12)
1 1
7 2.7 21 0
x x 
  

13)
4 4.6 3.9 0
x x x
  
14)
2 1 1 2 1
2.3 4.6 9.2 0
x x x  
  
15)
2 1 2 1

2.3 13.6 3.2 0
x x x 
  

16)
1
4
5 25
x
x



17)
3 4
2
3 9
x
x



18)
4 2 2
3 3 3(1 3 ) 0
x x x
   

19)
2

2
9 10 4
2 4
x
x

 20)
4
4
x x
x x
 21)
1 6 1
2 . 2 4
x x
 

22)
( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10
x x
   
23)
( 4 15) ( 4 15) (2 2)
x x x
   
24)
3
(5 21) 7(5 21) 2
x x x


   
25)
8.3 3.2 24 6
x x x
  

26)
1
2 2
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
x x x x
      
27)
2
4 3
( 1) 1
x x
x
 
 

28)
x x
x x
 29)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x

x
 
  

 Hướng dẫn:
1)
2 4 4 2
2 5
5 2
x x
 
   

   
   

2 4 4 2
2 2
. 1
5 5
x x 
   

   
   
 6x – 6 = 0  x =1.
2)
1
x
 

3)
3
x
 
4)
1, 3
x x
  

5)
1, 5
x x
 
6)
3
0, log 2
x x  7) x =2.
8)
0, 1
x x
 
9)
5
0, log 2
x x  10) x = 1, x = 2.
11) x = 0. 12)
7
0, log 2
x x 
13)

3
1
0,
log 2 1
x x 


14)
3
1
0,
1 log 2
x x 

15)
1
x
 

16)
1
4
5 25
x
x




1

2 8
5 5
x
x




1 0
1 2 8
1 8 2
x
x x
x x
 


  




  


 x = 3
17)
3 4
2
3 9

x
x




3 4 2 4
x x
  

2 0
3 4 2 4
3 4 4 2
x
x x
x x
 


  




  


 VN.
18)
4 2 2

3 3 3(1 3 ) 0
x x x
   

4 2
3 4.3 3 0
x x
  

2
2
3 1
3 3
x
x






 x = 0, x =
1
4
.
19)
2
2
9 10 4
2 4

x
x



2
5 2
.2 36 0
2 4
x
x
  

2
2 10.2 144 0
x x
  

2 8
x

 x = 3.
20)
4
4
x x
x x
 
1
4

4
x
x
x x


1
4
1
4
x
x
x








3
4
1
4
x
x








3
4
4
1
256
x
x






 x = 1, x =
3
256
.
21)
1 6 1
2 . 2 4
x x
 
 
6
1
2 1

2
2 2
x
x
 



2 1 6
x   
4 4 6
x
 
x =
1
2

22) PT 




3 2 3 2 10
x x
   






2
3 2 10 3 2 1 0
x x
    
 x =2, x= –2.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á

á
p
p
.
. Trang 17
23) PT 




8 2 15 8 2 15 4
x x
x
   





5 3 5 3 4
x x
x
   

5 3 5 3
1
4 4
x x
   
 

 
   
   
   
. Đặt
5 3 5 3
( )
4 4
x x
f x
   
 
 
   
   
   
.
Ta có
(2)
f
= 1 và
( )
f x
là hàm số nghịch biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
24)
3
(5 21) 7(5 21) 2
x x x

   


5 21 5 21
7 8
2 2
x x
   
 
 
   
   
   

5 21 2
7 8
2
5 21
x
x
 

 
 
 
 
 

 
 



2
5 21 5 21
8 7 0
2 2
x x
   
 
  
   
   
   

5 21
1
2
x
 


 
 
 
hoặc
5 21
7
2
x
 



 
 
 
 x = 0, x =
5 21
2
log 7


25)
8.3 3.2 24 6
x x x
  

8(3 3) 2 (3 3) 0
x x x
   

(3 3)(8 2 ) 0
x x
  
 x = 1, x = 3.
26) (Với x  0): 
1
2 2 2
2 ( 4 2) 2 ( 4 2)
x
x x x x
      


 
1
2 2
2 2 4 2 0
x
x x
 
    
 
 

2
1
2
4 2
x
x x





  


2 2
2
1
2
4 4 4

hoaëc
x
x
x x x
 



   


1
2
0 (
loaïi)
x
x






Nghiệm phương trình x =
1
2

27) Ta có x = 0 là 1 nghiệm phương trình vì
3
1 1



Với x > –1 và x  0:
2
4 3
( 1) 1
x x
x
 
 

2
1
4 3 log 1
x
x x

  

2
1
4 3 0
3
x
x x
x


   




. Vậy phương
trình có 3 nghiệm là 0; 1; 3
28) Với x  0:
x x
x x
 
1
2
2
x
x
x x


1
2
1
2
x
x
x









2
1
4
x
x x






1
4
x
x






29)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
 
  


2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
 
    

Đặt ( ) 2
t
f t t
 
,
( ) 2 ln2 1
t
f t
 
'
> 0 x R  Hàm số đồng biến trên R
Vì
2
( 1) ( )
f x f x x
  
nên
2
1
x x x
  

 x = 1. Nghiệm phương trình là x = 1.
B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
1)
4 1
2
2
1
log 4log log 13
3
x x x
  
2)
3
2 1
2
2
log 2log 6log 3
4
x
x x
  

3)
5 3
3
log ( 2)log 2log ( 2)
x x x
  
4)
4 4

2
log [( 2)( 3)] log 2
3
x
x x
x

   


5)
0,2 5 0,2
log log ( 2) log 3
x x  
6)
2
1
2
4
log ( 3) 8log 4
x x
  

7)
3
2log 3 3 log
x
x
 
8)

2
7
log 2 4log 7
x
x  

9)
5 5 5
log (log 1) 2 log
x x x
  
10)




1
2 2
log 2 1 .log 2 2 2
x x
  

11)
2
5 1 5 1
5 25
log ( 1) log 5 log ( 2) 2log ( 2)
x x x
     

12)
3
1
log (3 )
2
x
x

 
13)
2
log (9 2 ) 3
x
x
  

14)
3
3 2 3 2
3 1
log log log log
2
3
x
x x
x
   15)
2
2
log (2 ) log 2

xx
x x

  

16)
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x

   
17)
2 2
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
3 7 2 3
x x x x
x x
     
 

18)
2 2
3
1
log (3 1) 2 log ( 1)
log 2
x

x x

    
19)
3
log log (9 6) 1
x
x
 

THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R

R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h

P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
20)
1
3
log (9 4.3 2) 3 1
x x
x

   
21)
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x 

22)
2 3 2
27 9
3

1 1
log ( 5 6) log log ( 3)
2 2
x
x x x

    
23)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )
x x x
      24)
2
log (9 2 ) 3
x
x
  

25)
1
5 5 5
( 1)log 3 log (3 3) log (11.3 9)
x x
x

    
26)





1
2 2
log 2 1 .log 2 2 12
x x
  

27)
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
    
28)
7 3
log log ( 2)
x x
 

29) lg(
2
6
x x
 
) + x = lg(x+2) + 4 30)
2 3
log (1 ) log
x x

 

 Hướng dẫn:
1)
8
x

2)
32
x

3)
3, 5
x x
 
4)
2 5
x   5)
2, 4
x x
 

6)
2
x

7)
3, 9
x x
 

8)
1
7,
49
x x  9)
5, 25
x x
 

10)
2
2
2
log (2 1) log (2 1) 2 0
x x
    

2
2
log (2 1) 1
log (2 1) 2
x
x

 

  




2 1
3
2
4
(loaïi)
x
x




 


 x = 0
11) (x > 2): PT 
 
2
2
5 5
1
log log 4
5
x
x

 

2
4 21 0

x
 

21
2
x 

12) (–3 < x < 3 và x  –2):
3
1
log (3 )
2
x
x

 

3 3
x x
  

2
7 6 0
x x
  
 x = 1
13) (x <
2
log 9
):

2
log (9 2 ) 3
x
x
  

3
9 2 2
x x

  


2
2 9.2 8 0
x x
  

2 1
2 8
x
x





 x = 0, x = 3
14) (x > 0): PT 
3 2 3 2

1 1 1
(1 log )log 3log log
2 2 2
x x x x
     
2 3 2 3
log 2log log 6log 0
x x x x
  


2 3 2
log 2log (log 3)
x x x
 
. Ta có x = 1 là một nghiệm phương trình .
Với x  1:
2 3 2
log 2log (log 3)
x x x
 

2
2 3
log 3
1
log 2log
x
x x


 
2 3
3 1
1
log 2log
x x
  
1
1 3log 2 log 3
2
x x
 

3
log 2
64
x

 x =
3
8
. Vậy phương trình có 2 nghiệm là 1 và
3
8
.
15) (x > 0 và x  1):
2
2
log (2 ) log 2
xx

x x

  

4
log (2 ) 4
log (2 )
x
x
x
x
  


2
log (2 ) 4log (2 ) 4 0
x x
x x
    

log (2 ) 2
x
x
 

2
2 0
x x
  
 x = 2.

16) (x >
2
1 log 3
  ):
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x

   

1
2 2
log (4 4) log (2 3)
x x
x

   

1
4 4
2
2 3
x
x
x





2
2 3.2 4 0
x x
  

2 4
x

 x = 2.
17) (x > –3/2 và x  –1): PT 
2
3 7 2 3
log (2 3) log (3 7)(2 3) 4
x x
x x x
 
    

3 7
3 7
1
2log (2 3) 3
log (2 3)
x
x
x
x



  


2
3 7 3 7
2log (2 3) 3log (2 3) 1 0
x x
x x
 
    

3 7
3 7
log (2 3) 1
log (2 3) 1/ 2
x
x
x
x


 


 


4 (
3 7 2 3

loaïi)
x
x x
 


  


2
4 9 2 0
x x
  
 x =
1
4

.
18) (x >
1
3
): PT 
2
2 2
log (3 8 3) log 4( 1)
x x x
   

2
3 4 7 0

x x
  
 x = 1.
19) ( x >
9
log 6
và x  1):
3
log log (9 6) 1
x
x
 

3
log (9 6)
x
x
 

2
3 3 6 0
x x
  

3 3
x


 x = 1 (loại) . Phương trình vô nghiệm.
20) (Với

2
9.3 4.3 2 0
x x
  
): PT 
1 3 1
9 4.3 2 3
x x x
 
  

3 2
3.3 9.3 4.3 2 0
x x x
   

THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O

O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à

n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
2
(3 1)(3.3 6.3 2)
x x x
  

3 1
3 15
3
3
x
x










3
0
3 15
log
3
x
x









21) (x > 0):
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x 


2 2 2
log log log
4.4 6 18.9
x x x
 

2 2
2log log
3 3
18. 4 0
2 2
x x
   
  
   
   

2
log
3 4
2 9
x
 

 
 

2
log 2
x

 
 x =
1
4
.
22) Với
1 2
3
x
x
 




:
2 3 2
27 9
3
1 1
log ( 5 6) log log ( 3)
2 2
x
x x x

     
2
3 3
1
log ( 5 6) log 3

2
x
x x x

   

2
1
5 6 3
2
x
x x x

   

Với x > 3:
2
1
5 6 3
2
x
x x x

   

2
6 9 0
x x
  
 x = 3 (loại).

Với 1 < x < 2: 
2
1
5 6 3
2
x
x x x

   

2
3 14 15 0
x x
  

3
5
3
(loaïi)
x
x






. Nghiệm là x =
5
3

23) (–4 < x < 4 và x  –1): PT 
2
2 2
log 1 2 log (16 )
x x
    
2
16
4
1
x
x




Với –4 < x < –1:
2
16
4
1
x
x




2
4 20 0

x x
  
 x =
2 24


Với –1 < x < 4:
2
16
4
1
x
x




2
4 12 0
x x
  
 x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2, x =
2 24
 .
24) (x <
2
log 9
): PT 
3

9 2 2
x x

 

2
2 9.2 8 0
x x
  

2 1
2 8
x
x






0
3
x
x





.

25) (x >
3
9
log
11
):
1
5 5 5
( 1)log 3 log (3 3) log (11.3 9)
x x
x

    



1 1
3 3 3 11.3 9
x x x 
  

9
3 1 11
3
x
x
  

2
3 10.3 9 0

x x
  

3 1
3 9
x
x






0
2
x
x





.
26) (x > 0):




1
2 2

log 2 1 .log 2 2 12
x x
  





2 2
log 2 1 1 log 2 1 12
x x
 
   
 





2
2 2
log 2 1 log 2 1 12 0
x x
    



 
2
2

log 2 1 4
log 2 1 3
x
x

  


 


2
2
4 log 17
log 9
x
x
  





27) (x > 0):
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
    


2
2
3
1
log 2
x x
x x
x
 
 

Ta có
2
3 3 3
1 1
log log 1 log 3 1
x x
x
x x
 
 
    
 
 

Ta có
2 2
2 1 ( 1) 1
x x x
    

. Nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
28) Với x > 0, Đặt t =
7 3
log log ( 2)
x x
 

7
2 3
t
t
x
x




 





7 2 3
t
t
 

7 1
2 1

3 3
t
t
 
 
 
 
 
 
 
 

Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình có nghiệm duy nhất là t = 2

x = 49.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O

G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n

n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
29) lg(
2
6
x x
 
) + x = lg(x+2) + 4 
2
2
6 0
3
2 0
lg( 3) 4 (1)
6
lg 4
2

x x
x
x
x x
x x
x
x


  




  
 
  


 

 




Vế trái của (1) là hàm đồng biến, vế phải (1) là hàm nghịch biến nên (1) có nghiệm duy nhất là x = 4
30)
2 3
log (1 ) log

x x
 
Đặt t =
2 3
log (1 ) log
x x
 

 
3
1 3
2 1 3 ( ) 1 0
2 2
2 1
t
tt
t
t
t
x
f t
x


 

 
       
 


 
 
 
 

 

.
Vì
( )
f t
là hàm nghịch biến và
(2)
f
= 0 nên t = 2 là nghiệm duy nhất  x = 9.
C. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1)
2
3 6 4 3 2
1 1
3 3
x x x
  
   

   
   
2)
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2

x x x x x x
     
    

3)
1 1
3
3 3 84
x x

 
4)
2 1 2
6 3 3 2.3 3 9
x x x
x x x x

    

5)
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x




  
6)
2
2 2
( 1) 1
x x
x x

  

7)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
       
 
8)
2
2
1
x x
x
 


9)
2 1
1
1 1

3 12
3 3
x x

   
 
   
   
10)
1
4 3.2 4
x x x x
 
 
11)
2
( 1) 1
x
x x
  
12)
1
2 1 2
0
2 1
x x
x

 



.
 Hướng dẫn:
1)
2
3 6 4 3 2
1 1
3 3
x x x
  
   

   
   

2
3 4 1 0
x x
  

1
1
3
x
x








2) BPT 
2 3 2 3 1 2 3 5 5 1 5
4.2 2 4 .2 4.2 2 4 .2
x x x x x x
       
    

2 3 5
2 2
x x
 


8
3
x


3) (x ≠ 0): BPT 
1
28.3 84
x


1
1 0
x
 

 0 <
1
x


4) BPT 
2
2 (3 3 ) ( 3)(3 3 )
x x
x x    
2
(2 3)(3 3 ) 0
x
x x
   

1 1
3
2
x
x
  






5) (x≠ ±1): BPT 
1

1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x



  

1
1 0
1
x
x
x

  


2
3
0
1
x x
x





0 1
3
x
x
 





6) Ta có
2
1
x x
 
> 0 x nên
2
2 2
( 1) 1
x x
x x

  

2
2 0
x x
 


2 0
x
  

7) BPT 
2 2
2 2
5 3
25 9 34
3 5
x x x x   
   
 
   
   

2 2
2( 2 ) 2
5 5
25 34 9 0
3 3
x x x x   
   
  
   
   

2
2
9 5

1
25 3
x x 
 
 
 
 


2
2 2 0
5 5 5
3 3 3
x x  
     
 
     
     

2
2 2 0
x x
    

1 3 1 3
0
2
x
x
x


   










1 3 0
2 1 3
x
x

  

  



8)
2
2
1
x x
x
 



2 2
| | 1 | | 1
2 0 2 0
hoaëc
x x
x x x x
 
 
 
     
 

1 2
x
 

THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L

L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H

à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
9) BPT 
2 1
1 1
12 0
3 3
x x
   
  
   
   

 

 
1
1
1/3 3
1/3 4
x
x




 



1
3
1
log 3
x


1
1
x
 

1
0
x

x



1 0
x
  

10) (x  0):
1
4 3.2 4
x x x x
 
  
2 2
2 3.2 .2 4.2
x x x x
  
2 2
3 4
2
2
x x
x
x
  
2( )
2 3.2 4 0
x x x x 
  


1 2 4
x x
  

2 0
x x
  

1 2
x
  

4
x

. Tập nghệm S = [0; 4].
11)
2
( 1) 1
x
x x
  

2 2
1 1 1 1
0 0
hoaëc
x x x x

x x
 
     
 
 
 

1
x
 

12)
1
2 1 2
0
2 1
x x
x

 



1
2
1 0
2 1
x
x


 


2
1 0
2 (2 1)
x x
 


2
2 2 2
0
2 (2 1)
x x
x x
 



2
0 1
x
x



 


D. GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:
1)


2
8
log 4 3 1
x x
  
2)
3 3
log log 2 0
x x
  

3)


2
1 4
3
log log 5 0
x
 
 
 
4)





2
1 5
5
log 6 8 2log 4 0
x x x
    

5)
1
3
5
log log 3
2
x
x   6)


9
log log 3 9 1
x
x
 
 
 

7)
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x

x

8)
1
3
4 6
log 0
x
x



9)




2 2
log 3 1 log 1
x x
   
10)
8 1
8
2
2log ( 2) log ( 3)
3
x x
   

11)


3 0,5
log log 0
x

12)
5
log 3 4.log 5 1
x
x
 

13)


2
2
log 5 6 1
x
x x
  
14)
1
2 1
2
log (2 1)log (2 2) 2
x x
   

 Hướng dẫn:
1)


2
8
log 4 3 1
x x
  

2
2
4 3 0
4 5 0
x x
x x

  


  



1
3
1 5
x
x

x
 







  


1
3
1 5
x
x
x
 







  


1 1

3 5
x
x
  


 


2)
3 3
log log 2 0
x x
  

3
1
0 1
log 1
x
x
x



 





 



1
0 1
x
x



 


0
x


3)


2
1 4
3
log log 5 0
x
 
 
 


 
2
2
4
5 0
log 5 1
x
x

 


 



5
5
3 3
x
x
x


 








  


3 5
5 3
x
x

   

 



4)




2
1 5
5
log 6 8 2log 4 0
x x x
    

2
2 2

6 8 0
4 0
( 4) 6 8
x x
x
x x x

  

 


   


2 4
4
4
hoaëcx x
x
x
 









4
x


5) (x > 0 và x  1): BPT 
3
3
5 1
log
2 log
x
x
  
2
3 3
2log 5log 2 0
x x
  

3
1
log 2
2
x
 

3 9
x
 

6)


9
log log 3 9 1
x
x
 
 
 

 
9
2
log 3 9
x
x
x




 



2
2
3 3 9 0
x x

x 


  


2
2
3 3 9 0
x x
x 


  


2
x


THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&

L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 22
7) (x > 0, x  1,
1
2
x

):
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x



2 2
log 2.log 4 log 2 1
x x
x



2 2
log 2 log 2 log 2 log 2 1
x x x x
x x
 

2log 2 1
x


1 4
x
 

8)
1
3
4 6
log 0
x
x




4 6
0
4 6
1
x
x
x
x












3
2
0
2 0
x
x
x



 









  


3
2
2
x
   

9)




2 2
log 3 1 log 1
x x
   


3 0
1 0
3 1 2
x
x
x x
 


 


  


1 5
x
 

10)
8 1
8
2
2log ( 2) log ( 3)
3
x x
   

2

2 0
3 0
( 2) 2
3 3
x
x
x
x


 


 









2
3
5 6
0
3
x
x x

x




 





3
x


11)
3 1
2
log log 0
x
 

 
 

0,5
0,5
0
log 0
log 1

x
x
x









0 1
1
2
x
x
 







1
0
2
x
 

12)
5
log 3 4.log 5 1
x
x
 

log 3 4 1
x
x
 

1 0
(0 1): 3 4
( 1): 3 4
x
x x x
x x x
 



   



  





2
2
1 0
(0 1): 3 4 0
( 1): 3 4 0
x
x x x
x x x
 



    



   



1 0
1 4
x
x
 


 



1 4
x
 

13)


2
2
log 5 6 1
x
x x
  

2
2
2
5 6 0
1
0 : 7 6 0
2
1
: 7 6 0
2
x x
x x x
x x x


  




    






   





2
3
1
0
2
1 6
x
x
x
x
 










 




 




1
0
2
1 2
3 6
x
x
x

 



 


 




2
2
2
1
log 0
2
6 1
0 1:log 1
3 2
6 1
1:log 1
3 2
x
x
x x
x
x x
x







 


  






 

 





2
6 3
5 2
3
5 2
hoaëc
x
x
x x
x

x
 


    





   
 



 





   





2
6 5
3 2

x
x
x
 


   




   



6 5
3 2
x
x
   


   


14)
1
2 1
2
log (2 1)log (2 2) 2

x x
   

2 2
log (2 1) 1 log (2 1) 2
x x
 
   
 

2
2 2
log (2 1) log (2 1) 2 0
x x
    

2
2 log (2 1) 1
x
   

2 1 1/ 4
2 1 2
x
x

 


 




2 2
5
log log 3
4
x 
THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I

I
T
T


1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P

h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
E. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y

 







2)
2
( ) 1
5 125
4 1
x y

x y

 







3)
2
3 2 77
3 2 5
x y
x y

 


 



4)
2 2 12
5
x y
x y


 

 

5)
2 2
lg lg 1
29
x y
x y
 


 

6)
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
  


 


7)



   
2 2
lg 1 3lg 2
lg lg lg3
x y
x y x y

  


   


8)
2
2log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y




 



9)
3 3 3
27
log log 2 log 2
2
log ( )
3
x y
x y
  



 



10)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
 



 



11)
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x

 

 

12)
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y

 

 


13)
2(log log ) 5
8
y x
x y
xy
 




14)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
 


  

15)
1
log 2
log ( 23) 3
x
x
y

y




 


 Hướng dẫn:
1)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y

 








2( ) 7
3 2 3 0
2 2
5 5
x y

x y

 








2( ) 7
3 2 3 0
x y
x y
 


  


2
3
2
x
y









2)
2
( ) 1
5 125
4 1
x y
x y

 








2
3
( ) 1 0
5 5
4 4
x y
x y

 









2
3
( ) 1 0
x y
x y
 


  


3
1
1
x y
x y
x y
 


 





  



2
1
x
y



 

hoặc
1
2
x
y






3)
2
3 2 77

3 2 5
x y
x y

 


 



2
3 3 72 0
2 3 5
x x
y x

  


 



3 9
2 4
x
y









2
2
x
y






4)
2 2 12
5
x y
x y

 

 


32
2 12
2

5
x
x
y x

 



 


2
2 12.2 32 0
5
x x
y x

  

 


2 4
2 8
5
x
x
y x










 


2
3
x
y





hoặc
3
2
x
y






5) (x > 0, y > 0):
2 2
lg lg 1
29
x y
x y
 


 


2 2
. 10
29
x y
x y



 


2
. 10
( ) 49
x y
x y




 


. 10
7
x y
x y



 


2
5
x
y





hoặc
5
2
x
y







6) (x > 0, y > 0):
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
  


 


. 6
5
x y
x y



 


2
3
x

y





hoặc
3
2
x
y






7) (x – y > 0, x + y > 0): 
2 2
80
3
x y
x y
x y

 









2 2
80
2
x y
x y

 




2
16
2
y
x y






4
8
y
x







8) (x > 0, y >
3
4
, x, y  1)
2
2log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y




 



2
1
2log 1 0

log
4 3
y
y
x
x
x y

  



 


2
2
2log log 1 0
4 3
y y
x x
x y

  


 




2
log 1
log 1/ 2
4 3
y
y
x
x
x y
 



 



 


2
4 3 0
x y
y y



  

hoặc

2
1
4 3 1 0
x
y
y y





  


1
1
x
y





hoặc
3
3
x
y







THPT Tân Bình – Bình Dương.
M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T

1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á

p
p
.
. Trang 24
9) (x, y > 0):
3 3 3
27
log log 2 log 2
2
log ( )
3
x y
x y
  



 



18
8
xy
x y



 



3
6
x
y





hoặc
6
3
x
y






10) (x, y > 0 và x, y  1):
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
 




 



2
2
3 2
3 2
x y x
y x y

 


 



2
2 2
3 2
x y x
x y x y

 


  




2
3 2
( )(1 ) 0
x y x
x y x y

 

   


2
5 0
x y
x x



 

hoặc
2
1
2 0
y x
x x
 



  


5
5
x
y






11) (x, y > 0):
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x

 

 



3
log
9
3
x
y
y x






3 3
log log
3 9
3
x x
x
y x






3
3
2
1 log

log
3
x
x
y x

 






2
3 3
log log 2 0
3
x x
y x

  




3
3
log 1
log 2
3

x
x
y x
 



 






3
9
x
y





hoặc
1/ 9
1/ 3
x
y







12) (x, y > 0):
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y

 

 


8
log
2
4
y
x
x y







8
log log 2
4
x
y
x y






2
2
2 1 1
log
3 3 log
4
x
x
x y

  







2
2 2
log 2log 3 0
4
x x
x y

  




2
2
log 1
log 3
4
x
x
x y
  











1
2
1
8
x
y









hoặc
8
2
x
y






13) (x, y > 0):
2(log log ) 5

8
y x
x y
xy
 





2
2log 5log 2 0
8
y y
x x
xy

  






log 2
log 1/ 2
8
y
y
x

x
xy
 












4
2
x
y





hoặc
2
4
x
y







14) (x, y > 0):
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
 


  


2
2 2
5 4 0
x y
x y




  




2
1
4
x y
x
x










1
1
x
y





hoặc
4
2
x

y






15) (1 ≠ x > 0, y > 0):
1
log 2
log ( 23) 3
x
x
y
y




 


2
3
( 1) 23
x y
x y





  



2
2
( 2)( 4 11) 0
x y
x x x




   



2
4
x
y







THPT Tân Bình – Bình Dương.

M
M
Ũ
Ũ


&
&


L
L
O
O
G
G
A
A
R
R
I
I
T
T


1
1
2
2

.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25
C

C
Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ề
Ề


T
T
H
H
I
I


T
T
Ố
Ố
T
T


N

N
G
G
H
H
I
I
Ệ
Ệ
P
P


T
T
H
H
P
P
T
T
.
.


1) (Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình:
2 2
2 9.2 2 0
x x
  

 Hướng dẫn: PT 
2 2 2
2 9.2 2 0 4.(2 ) 9.2 2 0
x x x x
      

2 2
2 0,25
x
x






1
2
x
x



 


2) (Đề thi TN.THPT năm 2007) Giải phương trình:
4 2
log log 4 5

x x
 

 Hướng dẫn: (x > 0): PT 
2 2
1
log log 3
2
x x
 

2
log 2
x


4
x


3) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Lần 2) Giải phương trình:
1
7 2.7 9 0
x x
  

 Hướng dẫn: PT 
2
(7 ) 9.7 14 0
x x

  

7 2
7 7
x
x






7
log 2
1
x
x






4) (Đề thi TN.THPT năm 2008) Giải phương trình:
2 1
3 9.3 6 0
x x
  

 Hướng dẫn: PT 

2
(3 ) 3.3 2 0
x x
  

3 1
3 2
x
x






3
0
log 2
x
x






5) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Lần 2) Giải phương trình:
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
x x   

 Hướng dẫn: (x > 2): PT 
2
3 3
log ( 4) log 5
x  

2
9
x


3
x


6) (Đề thi TN.THPT năm 2009) Giải phương trình:
25 6.5 5 0
x x
  

 Hướng dẫn: PT 
2
(5 ) 6.5 5 0
x x
  

5 1
5 5
x
x







0
1
x
x






7) (Đề thi TN.THPT năm 2010) Giải phương trình:
2
2 4
2log 14log 3 0
x x
  

 Hướng dẫn: (x > 0): PT 
2
2 2
2(log ) 7(log ) 3 0
x x
  


2
2
log 3
log 0,5
x
x






8
2
x
x






8) (Đề thi TN.THPT năm 2011) Giải phương trình:
2 1
7 8.7 1 0
x x
  

 Hướng dẫn: PT 
2 1

7(7 ) 8.7 1 0 7 1 7 7
x x x x 
       
x = 0 hoặc x = –1.