Giáo án bồi dưỡng Đại số 9

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 1 -
Chơng I
Căn bậc hai - căn bậc ba
I. Các kiến thức lý thuyết của chơng.
+) Nếu a 0, x 0,
a
= x <=> x
2
= a
+)
2
A
A=
+) Để
A
có nghĩa thì A 0
+)
.(0,0)AB A B A B=

+)
A
A
B
B
=
( A 0, B > 0)
+)
2
(0)AB A BB=

+)
2
2
;0,0
;0,0
AB A B
AB
AB A B



=





+)
A
B
A
BB
=
( A và B cùng dấu, B 0)
+)
A
B
A
B

B
= (A 0, B > 0)
+) .
()
(, 0; )
AABC
BC B C
BC
BC

=

+
.
+)
()
(, 0; )
AABC
BC B C
BC
BC
+
=



+)
2
()
(0; )

AABC
B
BC
BC
BC
=


m

Lu ý:
B
C+
và
B
C
đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau, BC+ và BC cũng
đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 2 -
II. Các dạng toán về căn bậc hai
A. đối với học sinh tb, yếu

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định
1. Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức
+ Nếu biểu thức chứa biến nằm trong căn bậc hai .Tìm điều kiện của biển để biểu thức trong căn
không âm.
2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn

- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b
0 (1)
(1)
ax - b (*) ( Chuyển vế)
Nếu a > 0, (*)
x
b
a

( Chia cả hai vế cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi chiều)
Nếu a < 0, (*)
x .
b
a

. (Chia cả hai vế cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều)
- Ví dụ: 2x - 1
0 2x 1 x
1
2

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
a)
3x ; b) 21
x
; c) 32x +
Giải

a) Để

3x
có nghĩa thì x - 3 0 x 3.
b) Để
21
x

có nghĩa thì 2x - 1 0 2x 1 x
1
2

c) Để
3
2
2
x +
có nghĩa thì
3
2
x + 2 0
3
2
x -2 x
4
3


Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các biểu thức sau
a)
2x+
; b)

1
2
3
x+
; c)
2
2
3
x
; d)
2
1x +

Giải
a) Để
2x+ có nghĩa thì -x + 2 0 - x -2 x 2.
Vậy tập xác định của
2x+
là {x/ x 2}
b) Để
1
2
3
x+
có nghĩa thì -
1
3
x +2 0 -
1
3

x - 2 x 6
Vậy tập xác định của
1
2
3
x+
là {x/ x 6}
c) Để
2
2
3
x
có nghĩa thì
2
2
3
x
0 -2x
2
3
x
1
3


Vậy tập xác định của
2
2
3
x

là {x/ x
1
3

}
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 3 -
d) Do x
2
0 với mọi x nên x
2
+ 1 1 với mọi x, do đó
2
1x +
luôn có nghĩa với mọi x.
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai
1. Kiến thức cần nắm
- Đa thừa số vào trong dấu căn, đa thừa số ra ngoài dấu căn.
-
abab=
(a, b 0)
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh: a)
15
và 4; b) 2
5
và
23
c) 3

2
và 2
3

Giải:

a) Ta có: 4 = 16 mà 15 < 16 do đó 15 < 4
b) Ta có: 2
520=
mà
20
<
23
do đó 2
5
<
23

c) Ta có: 3
2
18=
;
23 12=
mà
18
> 12 do đó 3 2 > 2
3

Ví dụ 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần
12; 6

3
; 5
5
; 8
2

Giải:

Ta có: 12 =
144
; 6 3 = 108 ; 5 5 = 125 ; 8
2
= 128
Mà
108
<
125
<
128
<
144

Vậy ta có: 6
3
< 5
5
< 8
2
< 12
Dạng 3: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn - Rút gọn

1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+ Vận dụng chính xác hằng đẳng thức
2
A
A=

+) Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu.
+) Quy tắc khai phơng chỉ áp dụng cho tích và thơng(không áp dụng cho tổng và hiệu)
2. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai.
+) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu
+) So sánh các căn bậc hai
+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
-) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

-) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2

-) a
2
- b

2
= (a - b)(a + b)
-) a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
-) a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
-) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b

+ 3ab
3

+ b
3

-) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b

+ 3ab
3
- b
3

+) Tính chất cơ bản của phân số
.
;( 0, 0)
.
am a
bm
bm b
=

+) Phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:Tính a)
14. 56
b)

13
3.3.12
27
c)
21850+

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 4 -
Giải a) 14. 56 =
22
14.56 14.14.4 14 .4 14 . 4 14.2 28=====

b)
2
13 724 724
3 . 3 . 12 . . 12 . .12 12 12
27 27 27
====

c)
21850+ =
2
+3
2
-5
2
= (1 + 3 - 5)
2
=

2

Ví dụ 2: Rút gọn a)
22
(5) (7);+ b)
2
(1 3 )
c)
22
(2 3) (2 3)+

Giải

a)
22
(5) (7)+
=
57+
= 5 + 7 = 12
b)
2
(1 3 )
= 13 =
31

c)
22
(2 3) (2 3)+
= 2323(23)(23)232323+= + ==
Ví dụ 3: Rút gọn

a)
12
22


b)
1
1
a
a

+
( a 0) c)
11
1313

+
, d)
22
11
x
x
+
+
( 0 x 1)
Giải
a)
12
22

=
12 1
2( 2 1) 2

=


b)
1
1
a
a

+
=
(1 )(1 )
1
1
aa
a
a
+
=
+
(a 0)
c)
11
1313

+
=
13 13 131313(13)
13 13 2
(1 3)(1 3) (1 3)(1 3)
+++
==

+ +

=
131323
3
22
++
==


d)
22
11
x
x
+
+
=
2(1 ) 2(1 )
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xx
x

xxx
+
+
+ +
=
22 22
11
x
x
x
x
+
+


=
22 22 4
11
xx
x
x
++
=

(0 x 1)
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
114
.
22 2

x
x
xx




+

Với 0 < x 4
b) B =
1
:
1
11
xxx
x
xx
+


+



+


Với 0 x 1
c) C =

2
11
22 (1)
12
x
xx
x

+>


Giải:

a) Ta có : A =
224
.
(2 )(2 ) (2 )(2 ) 2
x
xx
x
xxxx

+





+ +

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 5 -
=
22 4 224

44 4
22
x
xx xxx
xx x
x
x

+ ++

=







=
24
.1
4

2
x
x
x
x

=

(Với 0 < x 4)
b) Ta có: B =
1
:
1
11
xxx
x
xx
+


+



+


=
(1) (1) 1
.

1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x
xxxx
x
xx xx

+
+


+
+ +


=
12
.
1111
x
x x xx x x xx
xxxx

+
+=


++

Với 0 x 1

c) Ta có: C =
2
2
1 1 2( 1)( 1)( 1)
(22) (1) 1( 1)
12 2(1)
xxxx
xxxdox
xx
++
+= = + =+ >


Bài tập
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a)
35x +
b)
2
3x +
; c)
21
x
+

Bài 2: So sánh :
a) 2 và
5
b) 3
2

và
17
c)
11
62
26
v

Bài 3: Tính :
a)
12. 75
b)
72436
2.1 .
92525
c)
25 21
712
d) 0,04.25 ;
e)
90.6,4 ; f)
25
121
g)
9
1
16
h)
2
18

Bài 4. Tìm x biết:
a.
2
5x =
; b.
2
10x =
; c.
2
96x =

Bài 5: Rút gọn
a)
++52080
b)
++31232.24
c)
+x4x16x
(x
0 )


Bài 6 . Giải phơng trình
a. 2
23 2 28xxx+ =
b.
134 4 16 16 6xxx++ + + =

Bài 7: Tính

a)
2
(1 2 ) b)
2
(3 2) 3+
Bài 8 : Tính:
a)
22
(7) 7+
b)
22
(5 3) (2 5)+
Bài 9. Phân tích thành nhân tử
a. x
2
- 7; b.
27 18
; c.
15 12

Bài 10: Rút gọn:
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 6 -
a)
51
55


b)

1a
aa
+
+
(với a > 0) c)
1
1
a
a

+
(với a 0)
Bài 11: Rút gọn:
a)
11
2323
+
+
b)
22
1212

+
c)
11
2325
+


Bài 12: Rút gọn:

a)
1
11
x
+
+
1
x
b)
11
x
yxy

+

Bài 13 : Rút gọn:
a)
11 9
.
2
33
x
xx




+

b)

221
:
4
22
xx
x
xx

+
+



+



B. đối với học sinh Khá, giỏi
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định
* Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức
+ Nếu biểu thức chỉ chứa biến ở mẫu. Tìm điêù kiện của biển để mẫu khác 0.
+ Nếu biểu thức chỉ chứa biến nằm trong căn bậc hai ( Hoặc chẵn). Tìm điều kiện của biển để
biểu thức trong căn không âm.
+ Nếu biểu thức có biến vừa nằm trong dấu căn vừa nằm ở mẫu thì ta tìm điều kiện của biến để
vừa thoả mãn cả mầu khác 0 và biểu thức dới dấu căn không âm.
2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn
-) Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1)
-) Tích a.b âm khi a và b khác dấu, tích a.b dơng khi a và b cùng dấu
( Hay nói cách khác: a.b
0

0
0
0
0
a
b
a
b
















; a.b 0
0
0
0
0
a

b
a
b



















0
a
b


.0
0
ab

b





;
0
a
b

.0
0
ab
b







-)
n
x
xa= =
n
a
( a
3. Các ví dụ:

Ví dụ 1:
Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
a)
31
23
x

+
21
x

; b)
32
2
x
x
+
+
c)
3
21
x
x

+

Giải
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 7 -

a) Để
31
23
x
+ 21
x
có nghĩa thì
2
31 3 1
0
1
9
23 2 3
1
2
210 2 1
2
x
xx
x
xx
x

b) Để
32
2
x
x
+
+
có nghĩa thì
2
320 32
2
2
3
20 2
3
2
xx
x
x
xx
x

<

+ > >


<


c) Để
3
21
x
x

+
có nghĩa thì
3
30
1
3
210
3
2
0
1
21
30 3

2
210 1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x









>




+>

+
<








+<



<





Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
a)

2
1x
; b) (2)(1)xx+; c)
2
32xx+
, d)
42
23xx+

Giải

a) Cách 1: Để
2
1x
có nghĩa thì x
2
- 1 0 x
2
1 x -1 hoặc x 1

Cách 2: Để
2
1x
có nghĩa thì x
2
- 1 0 (x-1)(x+1) 0
10
10
10
10

x
x
x
x





+







+






1
1
1
1
1
1

x
x
x
x
x
x























(Theo cách giải 1 thì ta thấy đơn giản hơn nhng Cách giải 2 lại áp dụng cho nhiều bài tập dạng nh

câu b và câu c)
b) Để
(2)(1)xx+
có nghĩa thì ( x - 2)( x+ 1) 0
20
10
20
10
x
x
x
x





+







+

2
1
2
1
x
x
x
x

















2
1
x
x

c) Để
2
32xx+
có nghĩa thì - x
2
+ 3x - 2 0 (1 - x)(x - 2) 0


10 1
20 2
12
10 1
20 2
xx
xx
x
xx
xx

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 8 -
d) Để
42
23xx+
có nghĩa thì x
4
+ 2x
2
- 3 0 (x
2
- 1)(x
2
+3) 0 x
2
- 1 0
x 1 hoặc x -1

Ví dụ 3: Tìm điều kiện để
2
23xx+
có nghĩa
Giải
Để
2
23xx+ có nghĩa thì x
2
- 2x + 3 0 x
2
- 2x +1 + 2 0 (x +1)
2
+ 2 0
Ta thấy (x + 1)
2
0 nên (x +1)
2
+ 2 2
Vậy với mọi x thì
2
23xx+
luôn có nghĩa.
Dạng 2: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn
1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+ Vận dụng chính xác hằng đẳng thức
2
A
A=

+ Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu.
3. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai.
+) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu
+) So sánh các căn bậc hai
+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) Tính chất cơ bản của phân số

.
;( 0, 0)
.
am a
bm
bm b
=

+) Phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Rút gọn : a) A=
423
b) B =
14 8 3.(2 2 6)+
;
c) C =
743 + 743+ d) D = 52726
Giải:

a) A =
2

3231 (31) 31 31+= ==

b)B =
14 8 3.(2 2 6)+
=
14 2 48 (2 2 6)+
=
828.66.(8 6)++

=
2
( 8 6) ( 8 6) ( 8 6)( 8 6) 8 6 2+=+==


c) C = 743 + 743+ =
22
7 2.2 3 7 2.2 3 (2 3) (2 3)+=++

= 2- 3 + 2 + 3 = 4
d)D=
52726 =
2
526261 52(61) 52(61) 726+= = =

=
2
(6 1) 6 1=

Ví dụ 2: Rút gọn: a) A =
23 23++

b) B =
53 53+

Giải:
a) * Cách 1:
Ta có A
2
=
22
4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1)++= + +

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 9 -

31 31 23=++=
A =
23
6
2
=


* Cách 2: Ta có: A
2
=
23243236 + ++ =
. Do A > 0 nên a =
6

b) Ta có: B
2
=
22
( 5 3) 2 5 3. 5 3 ( 5 3) 5 3 2 22 5 3 10 2 22 +++= ++=
Do B < 0 nên B = -
10 2 22
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với x, y dơng thì biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x
A =
2
()4
x
yxyxyyx
xy xy
+

+

Giải:
Ta có: A =
24 ( ) 2x y xy xy xy x y x y xy
x
y
xy xy xy
+ + ++
=+
++

=
x

y+ -
x
y+ = 2 y
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A =
++
33
752 752

Giải:
Cách 1:
Ta có
3
622 ) 1 2+=+++=+ =+
3
3
3
752 132 (1 2

Tơng tự ta có

3
752
= 1 - 2
Do đó: A = (1 +
2
) +(1 -
2
) = 2
Cách 2:Ta có A

3
=
3
3( ) )( )+++ ++ +
33
752752 752 752 (752752

= 14 - 3A
A
3
+ 3A - 14 = 0 (A - 2)(A
2
+ 2A + 7) = 0

A = 2 ( do A
2
+ 2A + 7 6)
Bài tập
Bài 1:
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a)
2
1
24x
; b)
2
19 3x+
; c)
21
21

x
xx


; d)
233
21
x
x
x
+
+

Bài 2. Tìm a để các căn thức sau đây có nghĩa
a.
2
3
a
; b.
3
1
a
; c.
5
6
a

+
; d.
2

1a +
Bài 3 : Tính
a
) 625+ b) 526 c) 7210 2+ d)
33
85aa

Bài 4: Rút gọn:
A = (2
3
+ 3
2
):
6
- 2
2
B =
14 6 5 14 6 5+

C =
47 47+
D =
5 3 29 12 5

E=
3121123
+
3121123

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 10 -
Bài 5: Tìm x

a)
16 8x = b) 45x = c)
()
9121x = d)
()
2
41 6 0x=

Bài 6: Rút gọn

A =
21
12 3
xx
x
x
+
+


B =
11
1
2222
a
a

aa
+

+
;
C =
11 2
:
21 1
xx x x
x
xxxxx

++
+


+


Bài 7 . Tìm ĐKXĐ và Rút gọn
A =
21 21
x
xxx++
; B =
22 4 22 4xx xx++

C =
2

11
1
1
aa a
a
a
a


+





; D =
11
21
x
xx




Bài 8. a, Cho a =
12 12
,
22
b
+

=
Tính S = a
7
+ b
7
b, Cho a = 2 +
3
, b = 2 -
3
, S
n
= a
n
+ b
n
( n là số tự nhiên)
1, Tính S
3
, S
4
, S
5

2, Chứng minh với mọi n ta có S
n + 2
= 4S
n + 1
- S
n
Bi 9 : Cho biu thc

121
231 3
x
A
xx xx

=+
+ +
.
a) Rỳt gn A.
b) Tớnh gi
á tr ca biu thc A khi
11 6 2x =
.
c) T ỡm giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr l mt s nguyờn ?
Bài 10. Cho biểu thức
524
1
23
xx
Px
xx

++

=+



+

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 1 .
Bài 11: Cho ax
3
= by
3
= cz
3
và
111
1
x
yz
++=

Chứng minh:
222
333
3
ax b
y
cz abc++=++

Bài 12: Cho P =
21311
9
33

x
xx
x
xx



+

a)
Với các giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
b)
Rút gọn P
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 11 -
c) Tìm x để P < 1
Bài 13: Rút gọn các biểu thức:
A =
222 2 2
1.1.1 1 .1
3 4 5 2009 2006
+++ + +

B =
*
111 1
;
12 2334 1
nN

nn
++++
+++ ++



Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 12 -


Đề kiểm tra chơng I
Đề 1
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a)
23x
b)
2
3x
Câu 2: Tính
a)
1
728 63
2
+ b)
2
(5 2 6 )
-5
Câu 3: Cho biểu thức: A =

11 11
:
11 11
xx xx

+

+ +

Với 0 x 1
a)
Rút gọn A
b)
Với giá trị nào của x thì A = 1
Câu 4: Cho biết
22
612 6111xx xx+ +=

Tính
22
612 611xx xx++ +

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 13 -
đề 2
Phần trắc nghiệm : (3đ)
Khoanh tròn vào các kết quả mà em cho là đúng
a) Giá trị của biểu thức
49 16

.
81 121
bằng
A.
7
11
B .
4
9
C.
7
9
D .
28
99

a) Giá trị của biểu thức
2
(2 3) bằng
A . 1 B .
32
C .
23
D. 4 -
3

b) Điều kiện xác định của biểu thức
21
x

là
A. x >
1
2
B . x


1
2
C . x <
1
2
D . x


1
2

c) Nghiệm của phơng trình
2
(2 3)x +
= 5 là
A . 1 ; 4 B . -1 ; 4 C. 1; - 4 D . -1 ; - 4
Phần tự luận :
Bài 1
( 3đ ) Rút gọn biểu thức
a) A =
200
-
32

+
72

b) B = 4
20
- 3
125
+ 5
45
- 15
5

c)
3
1
3 2 18 4 128
24
a
Caa a
= +
với a > 0
Bài 2 (1đ) So sánh các số sau.
a) 2001 2000 và 2002 2001
b)
37
và
1
260
2

Bài 3 (3 đ)
Cho biểu thức
P =
111 1 2
:
3
121
xx
xx x x

++









a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 14 -
Chơng II
Hm số bậc nhất một ẩn.
I. Lý thuyết
1, Định nghĩa:
Hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trớc, a 0. đợc gọi là hàm số bậc nhất một ẩn.
2, Tính chất:
- Hàm đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
- a gọi là hệ số góc của hàm số.
- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
3, Đồ thị.
a, Hình dạng:
Đồ thị là một đờng thẳng

b, Cách vẽ đồ thị:
Bớc 1: Chọn hai điểm thuộc đô thị.

Thông thờng chọn hai điểm đặc biệt: A( 0, b) và B( ,0)
b
a


Bớc 2: Vẽ hệ trục toạ độ và vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó

c, Tính chất đồ thị: Xét hai hàm số y = ax + b và y = ax + b
- Khi a = a, b = b thì đồ thị hai hàm số trùng nhau.

- Khi a = a, b
b thì đồ thị hai hàm số song song với nhau
- Khi a
a thì đồ thị hai hàm số cắt nhau. Nếu b = b thì cắt nhau tại điểm trên trục tung có
tung độ bằng b
4, Cách xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax + b và y = ax + b(a

a)
* Tìm hoành độ: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax + b = ax + b

(a - a)x = b - b x =
'
'
bb
aa


= x
0
* Tìm tung độ: Thay x = x
0
vào một trong hai hàm số ta đợc y = y
0

Vậy toạ độ giao điểm là A( x
0
; y
0
)

Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 15 -
II- các dạng bi toán

A- Đối với học sinh TB, yếu
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm
Ví dụ 1:
Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2

Ví dụ 2: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x 1 và y =
1
2
x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm giao điểm của
chúng.

+) Gọi C là giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 1 và y =
1
2
x+ 2
Khi đó hoành độ điểm C là nghiệm của phơng trình
x 1 =
1
2
x+ 2 x
1
2

x = 2 + 1
1
2
x = 3 x = 6
Thay x = 6 vào hàm số y = x 1 ta đợc y = 5
O
-2
x
y
2
2
y = x - 2
Giải:
Chọn x = 0 thì y = -2
Chọn y = 0 thì x = 2
Đồ thị hàm số y = x 2 là một đờng
thẳng đi qua hai điểm ( 0; - 2) và ( 2; 0)

Giải
+) Hàm số: y = x 1:
Chọn x = 0 thì y = -1; Chọn y = 0 thì x = 1
Đồ thị hàm số y = x 1 là một đờng thẳng
đi qua hai điểm ( 0;- 1) và ( 1; 0)
+) Hàm số y =
2
1
x+ 2
Chọn x = 0 thì y = 2; Chọn y = 0 thì x = - 4
Vậy đồ thị hàm số y =
2

1
x+ 2 là một đờng
thẳng đi qua hai điểm ( 0; 2) và (- 4; 0)

O
-1
x
y

-4
2
1
.
C
y = x - 1
y =
1
2
x +2
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 16 -
Vậy toạ độ điểm C là ( 6; 5)
Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số
Ví Dụ 1
: Xác định hệ số a của hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)
Giải:
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 1) có nghĩa là: 1 = a.1 + 3 a = - 2.Vậy a = -2
Ví Dụ 2: Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;5) và song
song với đờng thẳng y = 2x - 1

Giải:
Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x 1 nên a = 2
khi đó hàm số trở thành: y = 2x + b
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: 5 = 2.1 + b
b= 3.
Vậy a = 2, b = 3
Ví dụ 3 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1) và cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 2
Giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2
khi đó hàm số trở thành: y = ax + 2
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: -1 = a.2 + 2
a =
3
2

.
Vậy hàm số là y =
3
2

x + 2

Bài tập:

Bài 1
.Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x + 2 b) y = 2x - 3
Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = -
31

23
x +

a)
Với trục tung
b)
Với trục hoành
Bài 3: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x - 1 và y = 2x + 3
Bài 4: Xác định hệ số góc của hàm số y = ax + b biết dồ thị hàm số y = ax + b song song với hàm số y
= 2x 1
Bài 5: Cho hàm số y = ax + 2, tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3)
Bài 6: Cho hàm số y =
1
2
x + b, tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(4; 1)
Bài 8: Cho hàm số y = ax + b, tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -2; 1) và song song với đờng
thẳng y = - x +3

Bài 9:
Cho hàm số y = ax + b, Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1; -3) và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng - 2
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 17 -
Bài 10: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -
1
2
.

B- Đối với học sinh Khá, giỏi
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y =
x
- 2
Giải:
Ta có: y = x 2 nếu x
0 ; y = -x 2 nếu x < 0 từ đó ta có đồ thị hàm số y =
x
-

Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y =
12xx++

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
12xx++

Giải:
a) Ta có y =





+<
<

-2x 3 nếu x 1
1 nếu 1 x 2

2x - 3 nếu x 2
. Từ đó ta có đồ thị
O
-2
x
y
2
2
-2
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 18 -

b) Từ đồ thi hàm số y =
12xx++
ta thấy y 1
Vậy A =
12xx++
1 với mọi x

Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 1 x 2
Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số
Ví dụ 1 :
Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và B(-2; 3)
Giải
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1
Đồ thị hàm số đi qua điểm B( -2; 3) có nghĩa là: 3 = a.(-2) + b
-2a + b = 3
Từ đó ta có hệ:
21

23
ab
ab
+=


+=


1
1
b
a
=


=


Vậy hàm số là y = - x + 1
Ví dụ 2 : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và cắt đồ thị hàm
số y = 2x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5
Giải
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1
Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 tại điểm có tung độ bằng 5 tức là đi qua điểm có tung
độ bằng 5 trên đờng thẳng y = 2x 1.
Điểm đó có hoành độ là x = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm ( 3, 5), hay 5 = a.3 + b
3a + b =
5
Từ đó ta có hệ:

21
35
ab
ab
+=


+=


6
13
a
b
=


=


Vậy hàm số là y = 6x -13
*
Lu ý: Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c có thể đa về dạng hàm số bậc nhất y = ax + b
bằng cách: ax + by = c

by = - ax +c

y =
ac
x

bb

+
và có hệ số góc là
a
b

, ax + by = c cũng
đợc gọi là một đờng thẳng.
Dạng 3: Một số dạng khác
O
-1
x
1
3
2
y
1
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 19 -
Ví dụ 1 : Cho hai điểm A( x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
), chứng minh rằng nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua hai

điểm A và B thì
11
21 21
yy
xx
yy
xx

=


Giải:
Do đờng thẳng y = ax + b đi qua A( x
1
; y
1
) nên y
1
= ax
1
+ b
Do đờng thẳng y = ax + b đi qua B(x
2
; y
2
) nên y
2
= ax
2
+ b

Suy ra: y y
1
= a(x x
1
)
y
2
y
1
= a(x
2
x
1
)
Từ đó ta có
11
21 21
yy
xx
yy
xx

=


Ví dụ 2: Cho hai điểm A( x
1
; y
1
) và B(x

2
; y
2
), chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng AB đợc tính theo
công thức
AB =
22
21 21
()( )
x
xyy+


Bài tập

Bài 1
V th các hm s :
a)
1
2
y
x

=
b)
2
y
x=

Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A(

1
;1)
3
;B(-2;3)
Bài 3: Tìm các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1, 3) và cắt đờng
thẳng y = -
31
23
x + tại điểm có tung độ bằng 1
Bài 4: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x -3) = 3x + 1
Bài 5: Cho bốn điểm A(0 ; -5); B(1 ; -1) ; C(2 ; 3); D( 2,5 ; 5). Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thẳng
hàng.
Bài 6: Tìm x biết ba điểm A( x; -5), B(-5; 20); C (7; - 16) thẳng hàng
Bài 7: Chứng minh rằng nếu đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ , cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a thì đờng thẳng có phơng trình:
1
xy
ab
+=

Bài 8: Xác định hệ số nguyên a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(4; 3) cắt trục tung tại
điểm có tung độ nguyên dơng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên dơng.
O x
1
x
2
y
1
y
2

A
B
C
Giải
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có AB
2
= AC
2
+ BC
2

Mặt khác AC =
1
2
xx
, BC =
1
2
yy

Suy ra AB
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ ( y

2
y
1
)
2

Hay AB =
2
12
2
12
)()( yyxx +

x
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 20 -
Bài 9: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax 1; y = 1, y = 5 và trục tung tạo thành một hình
thang có diện tích bằng 8.

Để kiểm tra chơng II
Môn: đại số
Thời gian
:90 phút
Câu 1: Cho hàm số y = ax + b
a)
Vẽ đồ thị hàm số khi a = 1, b = 2
b)
Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
Câu 2: Xác định giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x 1 và y = - x + 1
Câu 3: Cho ba đờng thẳng d
1
: y = x 2; d
2
y = 2x + 1; d
3

: x + y = -2. Gọi A là giao điểm của d
1
và d
2
;
B là giao điểm của d
2
và d
3
; C là giao điểm của d
3
và d
1
.
a)
Xác định toạ độ các điểm A, B, C
b)
Tính diện tích tam giác ABC


Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 21 -

Hớng dẫn bi tập
v đáp án đề kiểm tra

Chơng i
Căn bậc hai - căn bậc ba

A- Đối với học sinh TB - Yếu
Bài 1
: a)
5
3
x

b) Với mọi x ; c)
1
2
x

Bài 2: a) 2 <
5
b) 3
2
>
17
c)
11
62
26
>

Bài 3: a)
12. 75 4.3.3.25 2.3.5 30===

b)
72436 25493657614
2.1 . . .
92525 925353555
===
c)
25 21 25 21 25 5
.
712 712 4 2
===

d)
0,04.25
= 0,2 . 5 = 1 e)
90.6,4

= 24
f )
25 25 5
121 11
121
== g)
925255
1
16 16 4
16
===.
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 22 -
h)
22111
18 9 3
18 9
= ===.
Bài 4: a. x = 5 b. x = 10 c. x = 2
Bài 5: a) ++52080 = 5 + 2 5 + 4 5 = 7 5
b)
++31232.24
=
3
+ 2
3
+ 12
3
= 15

3

c)
+x4x16x =
243+=xxxx
(x
0 )

Bài 6: a) x = 6 b) x = 1
Bài 7: a)
2
(1 2 )
= 12 21=
b)
2
(3 2) 3 3 2 3 2 3 3 2+=+=+=
Bài 8: a)
22
(7) 7+ = 7 + 7 = 14
b)
22
(5 3) (2 5)+
= 53 2 5 3 5 521+ = + =
Bài 10: a)
51 51 1
55 5(51) 5

==

b)

11a
aa a
+
=
+
c)
1
1
1
a
a
a

=
+

Bài 11: a)
11
2323
+
+
=
23 23
4
(2 3)(2 3) (2 3)(2 3)
+
+=
+ +

b)

2 2 22 22 22 22
4
12
1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) (1 2 )(1 2 )
+++
= = =

+ + +

c)
1 1 2325
2325 35
43 45
2325
++
+=+=+=



Bài 12:a)
11 1112
11
1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x
xxxx
x
x
xxxx
+++
+= + = =

+ + +
1
xx

b)
11 2
()()()()
xy xy xyxy
x
x
yxy
xyxy xyxy xyxy
+
===

+ + +

Bài 13 :
a)
11 9 339
3
292
33
xxxx
x
xx
++

= =

+


b)
22
221(2)(2)
:.(4)444428
44
22
xx x x
x
xx xx x
xx
xx

+ ++
+= =++++=+



+


B- Đối với học sinh Khá, giỏi
Bài 1:
a) Để
2
1

24
x
có nghĩa thì 2 -
2
40x
0 x
2
- 4 4 x 2 hoặc x -2
b) Để
2
19 3x+ có nghĩa thì 1 - 9x
2
0
11
33
x
c) Để
21
21
x
xx


thì
Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 23 -

2
11

1
210
1
22
1
2
2
210
211
2122110 (211)0
x
xx
x
x
xx
x
xx x









>

+> >


;
d) Để
233
21
x
x
x
+
+
thì
3
230
3
2
210 1
2
2
x
x
x
x
x

+






Bài 2: a,
2
3
a
có nghĩa khi a 0
b,
3
1a
có nghĩa khi a 1 > 0

a > 1
c,
5
6a

+
có nghĩa khi a < - 6
d,
2

1a +
có nghĩa với mọi a.

Bài 3: a)
() ()
22
2
625 5 251 51 51 51+= ++= +=+=+
.
b)
() () ()
222
5 2 6 3 2. 3. 2 2 3 2 3 2 3 2= + = ==
.
c)
()
2
7210 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 += += +=+=
.
d)
33 3
3
85(2)525 3aa a aaa a= ==

Bài 4: A = (2
3
+ 3
2
):
6

- 2
2
=
232232+ =

B =
22
14 65 14 65 (3 5) (3 5) 25+= + =

( Có thể làm theo cách C
2
= = 20, do C < 0 nên C =
20)

C = -
2
( HD: Cách 1:
2
B = 2; Cách 2: B
2
= 2 do B < 0 nên B = -
2
)
D=
2
2
53(325) 5625 5(15) 5511 = = = +=
E=
3121123
= 1

Bài 5: a)
16 8x =

2
48x =

48x =

2x =

4x =
.
b)
45x =

2
25x =

25x =

5
2
x =

5
4
x =
.
c)
()

9121x =
3121x =

17x =

149x=

50x =
.
d)
()
2
41 6 0x=
()
2
21 60x=
()
2
13x=13x=;

13
13
x
x
=


=

2
4
x
x
=


=


Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9

- 24 -
Bài 6 : A =
21
12 3
xx
x
x
+
+
=
1
31
x
x

+

B =
11
1
2222
a
a
aa
+

+
=
1
1
a

C =
11 2
:
21 1
xx x x
x
xxxxx

++
+


+

=

1
x
x


Bài 7 . A = 21 21
x
xxx++
Ta có A
2 = 2 22-1 2-22-1
x
xxx++ = 2 1 22-11 2 1-22-11xx xx+ ++ +
=
22
(2-11) (2-11)xx++
Do A
2
=
22
( 2 -1 1) ( 2 -1 1)xx++


điều kiện xác định của A là 2x 1 0 x
1
2

Khi đó A
2
=
1

211 211 2 1
2
211 211
211 211 221 1
xx nếux
xx
x
xxnếux

+ + = <

++ =

++ =



A =
1
21
2
42 1
nếu x
x
nếu x

<

B =
22 4 22 4xx xx++ =
22
(22)(22)xx+ +

ĐKXĐ : x
2
B = 2
2
nếu 2 x <4
B = 2
2x
nếu x 4
C =
2
11
1
1
aa a
a
a
a


+

ĐKXĐ:
0
1
a
a






Ta có: C =
2
2
(1 ) (1 )
11
(1 2 ) 1
1(1)(1)1
aaa
a
aaa
aaa a

++

+=++=



+ +



D =
11
21
x
xx
+
+

ĐKXĐ: x
1
D = 1
Bài 8. a, a + b = -1; a
2
+ b
2
=
3
2
, ; a
2
- b

2
=
2
, a.b = -
1
4

§Ò c−¬ng «n tËp häc sinh líp 9

- 25 -
S = a
7
+ b
7

=
12
2
−+
a
6
+
12
2
−−
b
6
=-
66 66
12

()()
22
ab ab++ −

=
223 2222 223 2222
12
[( ) 3 ( )] [( ) 3 ( )]
22
ab abab ab abab+− ++ −+ −

=
127 13 2 1 29
(3 ) [83 (2)]
2 8 16 2 2 16 32
−+−+−=

b) 1, S
1
= 2 +
3
+ 2 -
3
= 4
S
2
= 7 +
43
+ 7 -
43

= 14
S
3
= a
3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a + b) = 4
3
– 3.4 = 52
S
4
= a
4
+ b
4
= (a
2
+ b
2
)
2
– 2a
2
b
2
= 196 – 2 = 194
S

5
= a
5
+ b
5
= a
4
.( 2 +
3
) + b
4
(2 -
3
) = 2(a
4
+ b
4
) +
3
(a
4
- b
4
) =
= 2(a
4
+ b
4
) +
3

(a - b)(a + b)( a
2
+ b
2
) = 2.194 +
3
.2
3
.14 = 472
2, Ta cã S
n + 2
= 2 + 3 = a
n + 1
(2 + 3 ) + b
n + 1
(2 - 3 )
= 2(a
n + 1
+ b
n + 1
) +
3
(2 +
3
) a
n
–
3
(2-
3

) b
n

= 2S
n +1
+ (3 + 2
3
) a
n
+ (3 - 2
3
) b
n
=
= 2S
n +1
+ (4+ 2
3
) a
n
+ (4 - 2
3
) b
n
– (a
n
+ b
n
)
= 2S

n +1
+ 2 a
n+1
+ 2 b
n+1
– (a
n
+ b
n
) = 4S
n + 1
- S
n

VËy S
n + 2
= 4S
n + 1
- S
n

Bài 9 a) Vì
() ()()
2
23 23 1 3xx x x x x+−= +−=− +


nên
121
231 3

x
A
xx xx
−
=+−
+−− +
có nghĩa khi
0
1
x
x
≥
⎧
⎨
≠
⎩

Lúc đó
()()
()()
()()
12 3 1
121
13
13 13
xxx
x
A
xx
xx xx

−− + − −
−
=−−=
−+
−+ −+

()()
()() ()()
()
()()
12 3 1 2 3
26 2
1
13 13 13
xxx x
x
A
x
xx xx xx
−− + − − − +
−− −
====
−
−+ −+ −+

b)
()()
22
3
11 6 2 3 2.3. 2 2 3 2x =− =− + =−

⇒
()
()
2
222
22
122
32 1
A
x
−−−
== = =−+
−−
−−
.
c)
2
1
A
x
−
=
−
có giá trị là một số nguyên ⇔
1
x
−
l
µ −íc cña 2⇔

1 1;1;2;2x −= − −
.

11x −=
⇔
2x =
⇔
4x =
.

11x −=−
⇔
0x =
⇔
0x =


12x −=
⇔
3x =
⇔
9x =
.

12x −=−
⇔
1x =−
: vô nghiệm.