Các bài toán cực trị của hàm số chứa tham số

GV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng ChínhGV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng Chính





thpt phạm ngũ lo- ân thi hng yên

Cứ đi rồi sẽ đến, thành công và hạnh phúc ở cuối con đờng gian nan!
CC BI TP Cể THAM S V CC TR CA HM S
Túm tt kin thc c bn:
- nh ngha1: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn K v x
0


K.
+ Ta gi x
0
l im cc i ca hm s y = f(x) nu tho món:
+) x
0
l nghim ca pt: y = 0 hoc y khụng xỏc nh ti x
0
.

+) y i du t (+) sang (-) khi x i qua x
0
. Kớ hiu : x
0
= x
C
, f(x
0
) = y
C

+ Ta gi x
0
l im cc tiu ca hm s y = f(x) nu tho món:
+) x
0
l nghim ca pt: y = 0 hoc y khụng xỏc nh ti x
0
.
+) y i du t (-) sang (+) khi x i qua x
0
. Kớ hiu : x
0
= x
CT
, f(x
0
) = y
CT
Ta gi chung cỏc im C, CT ca hm s l cỏc im cc tr ca hm s.

- nh ngha2: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn K v x
0


K.
+ Ta gi x
0
l im cc i ca hm s y = f(x) nu tho món:
+) x
0
l nghim ca pt: y = 0 hoc y khụng xỏc nh ti x
0
.
+) y(x
0
) < 0. Kớ hiu : x
C
, f(x
0
) = y
C

+ Ta gi x
0
l im cc tiu ca hm s y = f(x) nu tho món:
+) x
0
l nghim ca pt: y = 0 hoc y khụng xỏc nh ti x
0
.

+) y(x
0
) > 0. Kớ hiu : x
CT
, f(x
0
) = y
CT
Ta gi chung cỏc im C, CT ca hm s l cỏc im cc tr ca hm s.

- Cỏc quy tc tỡm cc tr ca hm s :
+ Quy tc 1 : Thc hin theo cỏc bc sau :
+) TX.
+) Tớnh y. Gpt y = 0. Tỡm x sao cho y khụng xỏc nh ti ú.
+) Lp bng bin thiờn ca hm s.
+) Kt lun t bng bin thiờn(cn c vo nh ngha1 trờn).
+ Quy tc 2 : Thc hin theo cỏc bc sau :
+) TX.
+) Tớnh y. Tỡm x
k
sao cho y = 0 hoc y khụng xỏc nh ti ú.
+) Tớnh y. T ú tớnh c v xột du cỏc giỏ tr y(x
k
) ri kt lun v
cc tr (cn c vo nh ngha 2).

Mt s dng bi tp :
*Dng 1: Tỡm iu kin ca tham s hm s cú cc tr
- Phng phỏp :
+ Hm s bc 3 cú C, CT

cú cc tr

Phng trỡnh y = 0 cú 2 nghim phõn
bit.
+ Hm s bc 4 trựng phng cú C, CT

Phng trỡnh y = 0 cú 3 nghim phõn
bit.
+ Hm s bc 4 cú 1C v khụng cú CT

(Phng trỡnh y = 0 cú 1 nghim v h s
a < 0) hoc (Phng trỡnh y = 0 cú 1nghim kộp v h s a < 0).
+ Hm s bc 4 cú 1CT v khụng cú C

(Phng trỡnh y = 0 cú 1 nghim v h s
a > 0) hoc (Phng trỡnh y = 0 cú 1nghim kộp v h s a >0).
Cõu 1 : Tỡm iu kin ca cỏc tham s cỏc hm s sau cú cc tr :
y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
x
3
(a, b l tham s)

GV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng ChínhGV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng Chính





thpt phạm ngũ lo- ân thi hng yên

Cứ đi rồi sẽ đến, thành công và hạnh phúc ở cuối con đờng gian nan!
Cõu 2 : Tỡm m cỏc hm s cú cc i, cc tiu :
a) y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + +
b) y = x
3
3mx
2
+ 2
c) y =
3 2
2( 1) 4 1
3
m
x m x mx

+ +
d) y = x
3
3mx
2
+ 3(2m - 1)x + 1
e) y = - x
4
+ 2mx
2
2m + 1 g) y = x
3

- mx
2

+ 2mx - 1
h) y =
m
3
x
3

- (m+1)x
2

+ mx - 1 i) y = mx
3

- 3x

2

+ mx
k) y = x
3

+ mx
2

+ 3mx + 5
Cõu 3 : Tỡm m

hm s

y = -x
4

+ 2mx
2

cú 3 c

c tr

? Kq : m > 0.
Cõu 4 : Xỏc

nh m

hm s

y = (1-m)x
4

- mx
2

+ 2m - 1 cú

ỳng m

t c

c tr

?
Cõu 5 : Tỡm m

hm s

y = mx
3

+ 3mx
2

- (m - 1)x - 1 khụng cú c

c tr

?

* Dng 2 :
Xỏc l

p hm s

khi bi

t c

c tr

c

a hm s


- Bi toỏn : Tỡm

i

u ki

n c

a tham s

hm s

y = f(x)

t c

c tr

t

i x = a ?
- Ph

ng phỏp : + B

c1 : Tớnh f (x) = ?
+ B

c2 : Vỡ x = a l

i

m c

c tr

c

a hm s

nờn f(a) = 0. Suy ra,


i

u ki

n c

a m.
+ Th

l

i v

i giỏ tr

c

a m v

a tỡm

c cú tho

món

bi khụng ?
- Vớ d

: Tỡm m

hm s

y = x
3
3mx
2
+(m - 1)x + 2

t c

c ti

u t

i x = 2 ?

G
: Ta cú : y = 3x
2
6mx + m 1.
Vỡ x
CT
= 2 nờn y(2) = 0
2
3.2 6. .2 1 0 1
m m m
+ = =

.
V

i m = 1 ta cú y = 3x
2
6x = 3x(x 2). Cho y = 0
0
2
x
x



=

=

Ta cú bng bin thiờn ca hm s :

x

0 2
+

Y + 0 - 0 +
y 2
+

-2

Suy ra, x
CT
= 2. Do ú, m = 1 tho món bi ra.
- Bi tp:
Cõu 1: Xỏc nh m hm s y = mx
3
+ 3x
2
+ 5x + 2 t cc i ti x = 2
(Kq: m =
17
12

).
Cõu 2: Tỡm m hm s y = x
3
2mx
2
+ m
2
x 2 t cc tiu ti x = 1 (Kq: m = 1)
Cõu 3: Tỡm m hm s y =
3 2
2
5
3

x mx m x



+ +
cú c

c tr

t

i x = 1. Khi

ú hm
s

cú c

c

i hay c

c ti

u ?(Kq: m = 7/3; CT)
Cõu 4: Tỡm b

s

a, b, c sao cho hm s

f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c

t c

c ti

u t

i

i

m
x = 1, f(1) = -3 v

th

c

t tr

c tung t

i

i

m cú tung

b

ng 2 ?(Kq: (3; -9; 2))





GV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng ChínhGV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng Chính





thpt phạm ngũ lo- ân thi hng yên

Cứ đi rồi sẽ đến, thành công và hạnh phúc ở cuối con đờng gian nan!
Cõu 5: Tỡm iu kin ca a, b sao cho hm s f(x) =
2 3 2
5
2ax 9
3
a x x b
+ +

t c

c

i
t

i x =
5
9

v cỏc giỏ tr

c

c tr



u d

ng? (
9 81
a=
5 25
: or
36 400
5 243

a
Kq
b b

=




> >


)
Cõu 7: Tỡm a, b

hm s

f(x) = x
4
+ ax
2
+ b cú giỏ tr

c

c tr

b

ng

3
2
khi x = 1 ?
Cõu 8:Tỡm m

hm s

y = x
3

- mx
2

+ (m-3)x - 1

t c

c tr

t

i x = 1 ? Kq: m = 0
Cõu 9: Tỡm m

x = 3 l c

c

i c

a hm s

y = x
4

- 2mx
2

+ m + 3? Kq: khụng cú.
Cõu 10: Tỡm m

x = 2 l c

c ti

u c

a hm s

y = mx
4

- 4(m+1)x
2

+ m
2

? Kq: m = 1
Cõu 11: V

i giỏ tr

no c

a m thỡ hm s

: y = x
3

-
( )
m+3
.x
2

+ mx + m + 5

t c

c
ti

u t

i x = 2 ? Kq: m = 0.
Cõu 12: V

i giỏ tr

no c

a m thỡ hm s

: y = -(m
2

+ 5m)x
3

+ 6mx
2

+ 6x - 6

t c

c


i t

i x = 1 ? Kq: m = 1.

* Dng 3:
Vi

t ph

ng trỡnh

ng th

ng

i qua cỏc

i

m c

c tr

c

a hm s

(hm
b

c 3, b2/b1), ph

ng trỡnh

ng Parabol

i qua 3

i

m c

c tr

c

a hm b

c 4
- Ph

ng phỏp:
+ Hm s

b

c 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a

0)
+) Tớnh y ; Ch

ra ph

ng trỡnh y = 0 cú 2 nghi

m phõn bi

t.
+) Gi

s

(x
0
; y
0
) l

i

m c

c tr

c

a hm s

. Khi

ú, ta cú : y(x
0
) = 0.
Suy ra : y
0
=

0 0
3 2
0 0 0 0 1 1
ax '( ).( ) .
bx cx d y x a x b p x q
+ + + = + + +
= p.x
0
+ q.
Vy phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l : y = px + q
+ Hm s trựng phng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a

0)
+) Tớnh y ; Ch ra phng trỡnh y = 0 cú 3 nghim phõn bit.
+) Gi s (x
0
; y
0
) l im cc tr ca hm s. Khi ú, ta cú : y(x
0
) = 0.
Suy ra : y
0
=
2
0

1 0 0
4 2
0 0 0 1
4
ax '( ).
x x
x
bx c y x a b c
+ +
+ + = +
=
2
1 0 0
1
x x
a b c
+ +
.
Vy phng trỡnh ng Parabol i qua 2 im cc tr l : y =
2
1
1
x x
a b c
+ +

- Bi tp:
Cõu 1 : Vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i v cc tiu ca cỏc
hm s sau :
a) y = x

3
3x
2
+ 5 b) y = x
3
x
2
94x + 95
c) y = -x
3
(m - 1)x
2

1
3

(m
2
- 2m)x m(m - 1) (KQ : y =
2 ( 1)( 29)
9 27
m m m
x

+
)
Cõu 2 : Vit phng trỡnh ng Parabol i qua cỏc im cc tr ca cỏc hm s sau :
a) y = -2x
4
+ 5x

2
+ 3 b) y = x
4
3x
2
+ 2
Cõu 3 : Tỡm m hm s y = 2x
3
+ 3(m - 3)x
2
+ 11 3m cú C, CT. Vit
phng trỡnh ng thng i qua C & CT ? Kq : m

3, y = -
( )
m-3
2

x + 11 -3m
Cõu 4 : Tỡm m hm s y = mx
3
- 3mx
2
+ (2m + 1)x + 3 - m cú C, CT. CMR :
ng thng ni C & CT ca hm s luụn i qua mt im c nh?
Kq : m < 0 or m > 1 ; y = -
2
3
(m-1)x +
1

3
(10 - m) ; im c nh A






-
1
2
;3






GV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng ChínhGV: Phạm Trịnh Cơng Chính
GV: Phạm Trịnh Cơng Chính





thpt phạm ngũ lo- ân thi hng yên

Cứ đi rồi sẽ đến, thành công và hạnh phúc ở cuối con đờng gian nan!
* Dng 4 : Tỡm iu kin hm s cú cc tr tho món mt iu kin cho trc

- Phng phỏp : +) Tỡm iu kin hm s cú cc tr ;
+) Tỡm iu kin cc tr tho món bi ra ;
+) Kt hp cỏc iu kin trờn v kt lun.
- Bi tp :
Cõu 1: a)Cho hm s y =
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
mx m x m x
+ +
. Tỡm m

hm s

cú C

,
CT t

i cỏc

i

m x
1
, x
2
tho

món : x
1
+ 2x
2
= 1 ?(Kq : m =2 or m=2/3)
b) Cho hm s

y =
3 2
2 1
3( 1) 6( 2)
x m x m x

+ +
. Tỡm m

hm s

cú C

, CT t

i
cỏc

i

m x
1
, x

2
tho

món :
| |
x

1
+x

2
= 2 ? Kq : m = -1
Cõu 2: Tỡm m

hm s

y =
3 2 2
1
( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m
+ + + + +


t C

, CT t

i cỏc

i

m x
1
, x
2
tho

món : x
1
< -1 < x
2
? (Kq : m < -3)
Cõu 3: Tỡm m

hm s

y =
3 2 2
1
( 3) 4( 3)
3
x m x m x m m
+ + + + +


t C

, CT t

i
cỏc

i

m x
1
, x
2
tho

món : -1< x
1
< x
2
? (Kq : -7/2 < m <-3)
Cõu 4: Tỡm m

hm s

y =
3 2
1
1
3
m
x x mx

+
t C, CT ti cỏc im x
1
, x
2

tho món :
1 2
8
x x

? (Kq :
1 65
2
1 65
2
m
m

+








)
Cõu 5: Tỡm m

hm s

y =
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )
x m x m m x
+ +
cú C

, CT n

m trờn


ng th

ng y = -4x ? (Kq : m = 1)
Cõu 6: Tỡm m

hm s

y = x
3
+ mx
2
+ 7x +3 cú

ng th

ng

i qua C

, CT
vuụng gúc v

i

ng th

ng y = 3x 7 ?(Kq : m=
3 10
2

)
Cõu 7: Tỡm m

hm s

y = x
3
3x
2
+ m
2
x + m cú C

, CT

i x

ng nhau qua


ng th

ng x 2y 5 = 0 ? (Kq : m = 0)
Cõu 8: Tỡm m

hm s

:
a)

y = x
3
3mx
2
+ 4m
3
cú C

, CT

i x

ng nhau qua

ng th

ng y = x ?
b)

y = 2x
3
3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 cú C

, CT

i x

ng nhau qua

ng
th

ng y = x + 2 ?
Cõu 9 : Tỡm m

hm s

y = x
3

3
2
mx

2
+
1
2
m
3
cú C

, CT

i x

ng nhau qua

ng
th

ng y = x ?
Cõu 10 : Tỡm m

hm s

y = x
4

- 2m
2

x
2

+ 5 cú

i

m c

c ti

u thu

c kho

ng (2 ;3) ?
(Kq : 2 <
| |
m
< 3)
Cõu 11 : tỡm m

hm s

y = x
4

- 2m
2

x
2

+ 2m + m
4

cú cỏc

i

m C

, CT l

p thnh
m

t tam giỏc

u ? Kq : m =
4
3