Phan Tich DT thanh nhan tu - Quang Hieu

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 22/08/11




Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 26/08/11

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
1

phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi 1
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh nhớ lại và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các
hạng tử
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng
một hạng tử.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:

Ôn lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức

Tổ chức

-

- sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số



II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(5 phút)
- HS:

Nêu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em
đã đợc học trên lớp ?
- GV:

Nhắc lại, bổ sung
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(170 phút)
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

1. Lí thuyết:

a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức
có nhân tử chung. Cụ thể:
AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) Các bớc tiến hành:
Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc.
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Bớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa
thức cho nhân tử chung.
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
A = 2x
2
+ x => A = x(2x + 1)
B = 17x
3
y - 34x
2
y
2
+ 51xy
3
B = 17xy( x

2
- 2xy + 3y
2
)
C = 16x
2
(x - y) -10y(y - x) C = (x - y)(16x
2
+ 10y)
D = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by) => D = 2x
2
(ax + 2by + ax - by)
= 2x
2
(2ax + by).
Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử:
= +
A 10a b 5a 5 a (a 0)

=
B x y y x (x 0;y 0)


Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức

1. Lí thuyết:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng
thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
b) Các hằng đẳng thức quan trọng
1) a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2

+ + = +
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)

2) a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2

+ =
2
a 2 a.b b ( a b) (a,b 0)

3) a
2
b

2
= (a + b).(a b)
4)
= +
a b ( a b).( a b) (a,b 0)

5) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3

+ + + = +
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)

6) a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)

3

+ =
3 3 3
a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)

7)
+ = + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )

+ = + = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

a
n
+ b
n
=(a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab
n-2
+ b
n-1
) với n lẻ (n
3

, nguyên)
8)
= + +
3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )

= = + +
3 3
a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
)với n lẻ (n
3

, nguyên)
9) a
2
+ b
2

+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)
2

+ + + + + = + +
2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0)

2 2 2 2 2
a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)
+ + + + + + + + + = + + +

10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn)



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG

Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn

nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii

i

s
ss
số
ốố
ố











0
1
2 2 2
(a b) 1
(a b) 1a 1b
(a b) 1a 2ab 1b
+ =
+ = +
+ = + +

3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a b) 1a 3a b 3ab 1b
(a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b
(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b
+ = + + +
+ = + + + +
+ = + + + + +


Viết tam giác Pa xcan để khai triển
n
(a b)
+
nh sau:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Cách viết:
+ Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
+ Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng
với số bên trái của số liền trên.
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- 4 = x

2
- 2
2
= (x - 2)(x + 2).
b) x
2
+ 2xy + y
2
- 25 = (x + y)
2
- 5
2
= (x + y + 5)(x + y - 5).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P =(a
2
+ 4)
2
- 16a
2
=(a
2
+ 4)
2
- (4a)
2
= [(a
2
+ 4) - 4a][(a
2

+ 4) + 4a] = (a - 2)
2
(a + 2)
2


Q = (x + y)
2
- 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1)
2

R = a
3
+ 6a
2
+ 12a + 8 = (a + 2)
3
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (x - y)
2
- (y - z)
2
.
b) 8x
3
- 36x
2
y + 54xy
2
- 27y

3
.
c) 4a
2
b
2
- (a
2
+ b
2
- c
2
)
2
.
Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử :
M =

2
a 2

N =

9a 1 (a 0)

P =
+ +
x 1 2 x (x 0)

Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử
1. Lí thuyết
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích
thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng
đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:
Bớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm
.
Bớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân
tử chung.
Bớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
2. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1)
b) x
2
+ y
2
- z
2
+ 2xy + 2z - 1 = (x
2

+ 2xy + y
2
) - (z
2
- 2z + 1)
= (x + y)
2
- (z - 1)
2
= (x + y - z + 1)(x + y + z - 1).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5x
2
- 5xy - 10x + 10y.
b) x
3
- x
2
y - x
2
z - xyz.
c) 2x
2
+ 2y
2
- x
2
z + z - y
2
z - 2.

d) (a
2
+ b
2
)xy + (x
2
+ y
2
)ab.
Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử :
D =
+
a 2 a 1 b (a 0;b 0)

E =
+
a b a 2 ab b b a (a 0,b 0)


Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử;
hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
1. Lí thuyết
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những
hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các trờng hợp:
a, Trờng hợp đa thức dạng ax
2
+ bx + c ( a, b, c

Z; a, b, c

0)
Tính :

= b
2
- 4ac:
- Nếu

= b
2
- 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc.
- Nếu

= b
2
- 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị
thức bậc nhất
- Nếu

= b
2
- 4ac > 0
+)

= b
2
- 4ac = k
2
( k

Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.
+)

= b
2
- 4ac

k
2
đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R.
b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0

đa thức có nghiệm bằng 1.

+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ

đa thức có nghiệm bằng - 1.
- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải
là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng
p
q
thì p là ớc
của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất".

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB

Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph

hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc
dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của đa thức.
2. Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x
2
+ 6xy + y
2
.
Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có:
5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
) = 5x(x + y) + y(x + y)
= (5x + y)(x + y).
Cách 2: Thêm 4x
2
vào 5x
2
rồi bớt 4x
2
ta có :
5x
2
+ 6xy + y

2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
- 4x
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
)- 4x
2


= (3x + y)
2
- (2x)
2
= (5x + y)(x + y).
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
- 4
Cách 1: x
3
+ 3x
2
- 4

= x
3
+ 4x
2
- x
2
- 4x + 4x - 4
= x
2
(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x + 2)
2

Cách 2: x
3
+ 3x
2
- 4
= x
3
- x
2
+ 4x
2
4 = = (x - 1)(x + 2)
2

Cách 3: x
3
+ 3x

2
- 4 = x
3
- 1 + 3x
2
3 = (x - 1)(x + 2)
2

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = 3x
3
+ 2x
2
+ 2x 1
b) B = x
4
+ 4
c) C = x
2
- 6x + 8
Giải:
a) Nhẩm đợc nghiệm x =
1
3

A = 3x
3
+ 2x
2
+ 2x 1 = 3x

3
- x
2
+ 3x
2
+ 3x - x - 1
= x
2
( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1)
= x
2
(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1)
= (3x - 1) ( x
2
+ x + 1)
b) B = x
4
+ 4 = x
4
+ 4 + 4x
2
- 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2

= (x
2
+ 2x + 2)(x
2
2x + 2)
c) C = x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)
2
- 1
= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)
Hoặc C = x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2)
= (x - 2)( x - 4)
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P = x
2
- 7xy + 12y
2
= x
2
- 3xy - 4xy + 12y
2

P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)

Q = x
3
- 3x + 2 = x
3
- 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x
2
+ x + 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x
2
+ x - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Q = x
4
+ 64
= x
4
+ 16x
2
+ 64 - 16x
2

Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

= ( x

2
+ 8)
2
- (4x)
2

= (x
2
+ 8 - 4x)(x
2
+ 8 + 4x)
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

= (4x
4
+ 36x
2
+ 81) - (6x)
2

= (2x
2

+ 9)
2
- (6x)
2

= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
b) x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x + 1
= (x
7
- x) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
6
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x

3
- 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x - 1)(x
3
+ 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[x(x - 1)(x
3
+ 1) + 1]
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
+ x
2
x + 1)
*) Chú ý: Các đa thức dạng: x
3m+1
+ x

3n+2
+ 1 đều chứa thừa số x
2
+ x + 1 với
mọi số tự nhiên m, n.
Chứng minh:
Ta có x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 = x
3m+1
- x + x
3n+2
- x
2
+ x
2
+ x + 1
= x(x
3m
- 1) + x
2
(x
3n
- 1) + (x
2
+ x + 1)
Ta thấy x
3m

- 1 và x
3n
- 1 chia hết cho x
3
- 1 do đó chia hết cho x
2
+ x + 1
Vậy x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho x
2
+ x + 1


Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
4 3
x 5x 10x 4
+ +
b)
3 3 3
x y z 3xyz
+ +

c)
8
x x 1
+ +

d)
5 4
x x 1
+ +
e)
10 5
x x 1
+ +

Hớng dẫn:
a) Thêm bớt 2x
2
, đáp số:
2 2
(x 5x 2)(x 2)
+ +

Hoặc nhóm:

4 3 4 3 2 2 2
x 5x 10x 4 (x 4) (5x 10x) (x 2)(x 2) 5x(x 2)
+ + = + + = + + + =

b) Thêm bớt 3xy(x + y), ta đợc:
( ) ( )
3 3 3 3 3
2 2 2
x y + 3xy x y z -3xy x y 3xyz ( x y) z 3xy(x y z)
(x y z)(x y z xy yz zx)
+ + + + = + + + +

= + + + +

c) Thêm bớt x
2
, ta có kết quả:
2 6 5 3 2
(x x 1)(x x x x 1)
+ + + +

d) Thêm bớt x
3
, ta có kết quả:
2 3
(x x 1)(x x 1)
+ + +

e) Thêm bớt
2
x x
+
Ta có:



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố












(
)
(
)

(
)
10 5 10 5 2 2
3
3 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 6 3 2
2 8 7 5 4 3
x x 1 (x x) (x x ) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1)
(x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1)(x x x x x x 1)
+ + = + + + +

= + + + +


= + + + + + +

= + + + + + +


= + + + + +

Bài 8: Cho x
Z

, chứng minh rằng:
200 100 4 2

x x 1 x x 1
+ + + +


Hớng dẫn:
Thêm bớt
4 2
x x
+

(
)
(
)
200 100 200 2 100 4 4 2
2 198 4 96 4 2
33 16
2 6 4 6 4 2
A x x 1 (x x ) (x x ) (x x 1)
x (x 1) x (x 1) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
= + + = + + + +
= + + + +

= + + + +



2 6 4 6 4 2
6 2 4 4 2

x (x 1).B(x) x (x 1).C(x) (x x 1)
(x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
= + + + +

= + + + +



3 3 2 4 4 2
(x 1)(x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)

= + + + + +



(
)
4 2 2 4 4 2
4 2
(x 1)(x 1)(x x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1)
A x x 1

= + + + + + + +


=> + +

Bài 9: Phân tích Q, K thành nhân tử :
Q =
+

a 3 a 2 (a 0)

K =
+
x 7 x 12 (x 0)

IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập
đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân
tử chung
a)

a 5 b 5

b) x(y + z) + 3(y + z)
c) m(n - p) - n + p
d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
e) x
m + 2
- x

m

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng
hằng đẳng thức
a) 25a
2
+ 10a + 1
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

b) 9x
2
xy +
1
36
y
2
c) x
4
y
4
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các
hạng tử
a) 5a
2

5ax 9a + 9x
b) ma mb + na nb pa + pb
c) ax
2
+ 5y bx
2
+ ay + 5x
2
by
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c).
b) Q = x
3
+ 3x
2
- 4.
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
a) 9x
2
+ 6x 8 b) 4x
2
3x 1
Ngà
NgàNgà
Ngày soạn
y soạn y soạn
y soạn
: 25/08/11

Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 30/08/11

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
1

phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi 2
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A/Mục tiêu



Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Phơng pháp dùng phép chia đa thức; phơng pháp đặt ẩn
phụ.
- Học sinh hiểu và vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử: Phơng pháp hệ số bất định; Phơng pháp vận dụng định lí

về nghiệm của tam thức bậc hai; thấy đợc sự quan trọng của việc phân
phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán thờng gặp
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:


C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học

2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn

n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố











II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

(15 phút)
- HS1:

Giải bài tập 1d đã cho tiết trớc
- HS2:

Giải bài tập 2b đã cho tiết trớc
- HS3:

Giải bài tập 4a đã cho tiết trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(160 phút)
Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)

1. Lí thuyết:
- Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0
2. Bài tập:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4.
Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4.

Ư(4) =
{
}
1; 2; 4


Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4= (x + 1)(x
3
- 3x
2
+ 4x - 4).
Mà g(x) = x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 có x = 2 là nghiệm .
Do vậy g(x) = (x - 2)(x
2
x + 2).
Với đa thức : x
2
x + 2 có = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không
phân tích đợc trên R.
Do vậy: x

4
- 2x
3
+ x
2
- 4 = (x + 1)(x - 2)(x
2
x + 2).

Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)

1. Lí thuyết:
- Dựa vào đặc điểm của đa thức đ cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới
để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa
một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm
nghiệm của đa thức bậc 2 .
- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn
và đặt ẩn phụ cho thích hợp
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x -12 = (x
2
+ x)
2

+ 4(x
2
+ x)
2
- 12
Đặt (x
2
+ x)
2
= X.
Ta có: A = X
2
+ 4X - 12 = X
2
+ 4X + 4 - 16
= (X+ 2)
2
- 4
2
= (X + 6)(X - 2)
Thay X = x
2
+ x. Ta có: A = (x
2
+ x + 6)(x
2
+ x - 2)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử .
f(x) = (2x
2

+ 3x + 5)
2
+ 5(2x
2
+ 3x + 5) + 6.
Đặt : 2x
2
+ 3x + 5 = t ta có f(t) = t
2
+ 5t + 6.
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có :
f(x) = (2x
2
+ 3x + 7)(2x
2
+ 3x + 8)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử .
f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2

+ 8x + 15) - 9
Đặt : x
2
+ 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9.
Suy ra f(t) = t
2
-16 - 9 = t
2
- 25 = (t - 5)(t + 5)
Do vậy : f(x) = (x
2
+ 8x + 6) (x
2
+ 8x + 16).
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
a) P = (x
2
+ x) + 3(x
2
+ x) + 2
Đặt x
2
+ x = y ta có: P = y
2
+ 3 y + 2 = y
2
+ y + 2y + 2
P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2)
Thay x
2

+ x = y ta có: P = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2)
b) Q = x
2
- 2xy + y
2
+ 3x - 3y 10 = (x - y)
2
+ 3(x - y) - 10
Đặt x - y = t ta có:
Q = t
2
+ 3t - 10
= t
2
- 2t + 5t - 10
= t(t - 2) + 5(t - 2)
=(t - 2)(t + 5)
Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5)
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
b) B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

- 6x + 1
Hớng dẫn:
a) A =(x
2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) + 128
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y
=> Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y
2
- 16= (y + 4)(y - 4)
=> A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x
2
+ 10x + 16)(x
2
+ 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x
2
+ 10x + 8)
b) B = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 = x
4
- 6x

3
- 2x
2
+ 9x
2
- 6x + 1
B = x
4
+ (6x
3
- 2x
2
) + (9x
2
- 6x + 1) = x
4
+ 2x
2
(3x - 1)+ (3x - 1)
2
Đặt y = 3x 1 => B = (x
2
)
2
+ 2x
2
y + y
2
= (x
2

+ y)
2

Vậy B = (x
2
+ 3x - 1)
2
Luyện tập
Luyện tậpLuyện tập
Luyện tập chung
chung chung
chung


Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng phép
chia đa thức
a) 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3.
b) 2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 2.
c) 1 + 6x - 6x
2
- x
3

.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24.
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á

áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS

SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

A =
2 2 2
(x 3x 1) 12(x 3x 1) 27
+

Kết quả: A =
(x 1)(x 4)(x 2)(x 5)
+ +

Bài 9:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3 3
(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + + +

b) Phân tích đa thức thành nhân tử
A =
3 3 3 3
(a b c) (a b c) (b c a) (c a b)
+ + + + +

Hớng dẫn:

[ ]
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2
a)(x y z) x y z (x y) z x y z
(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
x y 3xy(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z
3(x y)(xy xz yz z ) 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + +
= + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + = + + +

b) Đặt x = b + c a;
y c a b;z b a c x y z a b c
= + = + => + + = + +

Do đó A =
3 3 3 3
(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)
+ + = + + +
= 24abc
Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A =
2 2
(x 2x)(x 2x 1) 6

b) B =
2 2 2 2
(x 4x 3) 5x(x 4x 3) 6x
+ + +

c) C =
2 2 2 2
(x x 4) 8x(x x 4) 15x
+ + + + + +

Hớng dẫn:
a) Đặt a =
2
x 2x

=> A =
2
(x 1)(x 3)(x 2x 2)
+ +

b) Đặt b =
2
x 4x 3
+
=> B =
2
(x 3)(x 1)(x x 3)
+ +

c) Đặt c =
2
x x 4
+ +
=> C =
2 2
(x 2) (x 6x 4)
+ + +

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử
A =
2 2 2 2 2 2
2(x 6x 1) 5(x 6x 1)(x 1) 2(x 1)
+ + + + + +

Hớng dẫn:
Đặt a =
2
x 6x 1
+
và b =
2
x 1
+
=> A =
2 2
(2a b)(a 2b) 9(x 1) (x 4x 1)
+ + = +

Bài 12: Cho M =
2
4(x 2)(x 1)(x 4)(x 8) 25x
+ + +
.
Chứng minh M không có giá trị âm
Hớng dẫn: M =
2 2 2
4(x 2x 8)(x 7x 8) 25x
+ + +

Đặt: a =
2
x 2x 8
+
=> M =
2 2 2
(2a 5x) (2x 9x 16) 0
+ = +


Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định

1. Lí thuyết:
Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả,
phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải.
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử .
Trờn
TrờnTrờn

Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

B = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 (1)
Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng
B = (ax + b )(cx
2
+ dx + m)
B = acx
3
+ (ad + bc)x
2
+ (am + bd)x + bm (2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau:
2
5
8
3
Lấy 3
=

+ =

+ =

=

=


ac
ad bc
am bd
bm
m







=
=
=
=
2
1
1
2
d
c

b
a

Vậy B = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = (2x - 1)(x
2
- 2x + 3)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số
bất định
a) P = 3x
2
- 22xy - 4x + 8y + 7y
2
+ 1.
b) Q = 12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3.
Giải:
a) P = 3x
2
- 22xy - 4x + 8y + 7y
2
+ 1. (1)
Nếu đa thức P phân tích đợc thì:
P = (3x + ay + b)( x + cy + d)

P = 3x
2
+ (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy
2
+ bd (2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có:
3c a 22
a 1
3d b 4
b 1
ad bc 8
c 7
ac 7
d 1
db 1
+ =

=

+ =


=
+ =

=
=

=

=


P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1)
b, Q = 12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3 (3)
Nếu đa thức Q phân tích đợc thì:
Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1)
Q = cax
2
+ ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy
2
- 3 (4)
Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có:









=
=
=
=+

=
12
123
53
10
12
bd
bd
ac
bcad
ac








=
=
=
=
2
3
6
4
d
c
b

a
Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất
định x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
Thử: x = 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích
đợc thành thừa số thì phải có dạng:
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd

= x
4
-6x
3
+12x

2
-14x + 3



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn

n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

=> a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3
bd = 3 mà b,d Z => b {1; 3}
Với b = 3 => d = 1
=> a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -14
=> a = - 2; c = - 4
Vậy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1
=> x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = (x
2
- 2x + 3)(x
2
- 4x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức A thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số
nguyên: A =
4 3 2
x 3x 6x 5x 3
+ +

Hớng dẫn: A có dạng

2 2
(x ax 1)(x bx 3)
+ + + +
hoặc
2 2
(x ax 1)(x bx 3)
+ +

Xét trờng hợp :
A =
2 2 4 3 2
(x ax 1)(x bx 3) x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3
+ + + + = + + + + + + +

Đồng nhất hệ số ta đợc a = - 1 ; b = - 2
Vậy A = (x
2
- x + 1)(x
2
- 2x + 3)
Chú ý: Nếu trờng hợp hai hệ số tự do là 1 và 3 không thỏa mãn thì ta xét
trờng hợp còn lại và làm tơng tự nh trên

Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí về
nghiệm của tam thức bậc hai

1. Lí thuyết:
- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax
2
+ bx + c có nghiệm x

1
, x
2
thì :
P = a(x - x
1
)(x - x
2
)
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
P = 2a
2
- b
2
+ ab - 5a + b + 2
P = 2a
2
+ (b - 5)a - (b
2
- b - 2)
P là tam thức bậc hai biến a
= (b - 5)
2
+ 4.2(b
2
- b - 2) = b
2
-10b + 25 + 8b
2

8b 16
= 9b
2
18b + 9 = (3b - 3)
2

Tam thức bậc hai P có nghiệm
ba
b
a =
+
= 2;
2
1
21

P = 2(a - a
1
)(a - a
2
) = 2
)2)(12()2(
2
1
+=+

+
bababa
b
a

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử .
P = x
2
+ y
2
- 2xy + 2x - 2y - 3
P = x
2
- 2xy + 2x + y
2
- 2y - 3
P = x
2
- 2(y - 1)x + (y
2
- 2y - 3)

'
= b
'2
- ac =[- (y - 1)]
2
- (y
2

- 2y - 3) = 4
Tam thức có hai nghiệm x
1
= y + 1 , x
2
= y - 3
P = (x - y - 1)(x - y + 3)
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

IV.
Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập -

- Giải đề thi
Giải đề thi Giải đề thi
Giải đề thi

Bài 1:
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 -

- 2011

2011 2011
2011


Cho biểu thức : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36.
Chứng minh P luôn dơng với mọi x; y thuộc R .
Hớng dẫn:
P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x
2
- 24x + 3y
2
+ 18y + 36.
= xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36
= x(x - 2).
(
)
(
)
6 12 3 6 12
y y y y+ + + + +



=
(
)

(
)
2 2
6 12 2 3
y y x x
+ + +
. Mà
( )
2
2
6 12 3 3 0
y y y
+ + = + + >
;
( )
2
2
2 3 1 2 0
x x x
+ = + >

Vậy P > 0 với mọi x; y thuộc R
Bài 2:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộckhảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc
khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009
năm học 2009 năm học 2009
năm học 2009

-

- 201
201 201
2010
00
0

Câu 1: Phân tích thành nhân tử M =
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c b c a c a b
+ +

Hớng dẫn:
Cách 1: M =
( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c b a a c a c a b
+ + +

M =
3 3 3 3 2 2 2 2
(a b)(c a ) (c a)( b a ) (a b)(c a)(c a ac b a ab)
+ = + +

M =
(a b)(c a)(c b)(a b c)
+ +

Cách 2: Hớng dẫn HS nhân phá ngoặc và phân tích thành nhân tử
Bài 3:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007
chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007
chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007

-

- 20
20 20
2008
0808
08

Chứng minh rằng với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì
biểu thức căn bậc hai sau luôn có nghĩa:
2 2 2
a (b c) b (c a) c (a b)
+ +

Hớng dẫn:
2 2 2 2 2 2 2 2
a (b c) b (c a) c (a b) a b a c b c b a c (a b)
+ + = + +

2 2 2 2 2
(a b b a) (a c b c) c (a b) (a b)(b c)(a c)

= + = =

Mà a > b > c =>
(a b)(b c)(a c)

> 0
Vậy với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì biểu thức trên luôn có
nghĩa.

Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 1:
Bài 1:
Bài 1:


V.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Giải tiếp các bài tập sau
Bài 1: Giải các phơng trình sau
a) (x
2
+ 2x + 3)
2
- 9(x
2

+ 2x + 3) + 18 = 0.



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

b) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 , kết quả: (x + 1)(x - 3 )
2

b) 4x
3
- 13x
2
+ 9x - 18 , kết quả: (x - 3)(4x
2
x + 6)
Bài 3: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng
3 3 3
x y z 3xyz
+ + =

Hớng dẫn: Nghĩ đến x + y + z = 0 => x + y = - z
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A =
3 3 3

(a b) (b c) (c a)
+ +

b) B =
3 3 3
(a b 2c) (b c 2a) (c a 2b)
+ + + + +

Hớng dẫn: áp dụng kết quả bài tập 3 để phân tích
Kết quả: a) A =
3(a b)(b c)(c a)

; b) B =
3(a b 2c)( b c 2a)(c a 2b)
+ + +

Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 15/09/10

Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 06/09/11

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
1

phân tích đa thức thành nhân tử
Buổi 3
các bài toán áp dụng
phân tích đa thức thành nhân tử










A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :

Kiến thức
- HS thành thạo các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và
thấy đợc sự quan trọng của việc phân phân tích đa thức thành nhân tử
trong việc giải một số bài toán thờng gặp
- Học sinh hiểu và giải quyết đợc một số bài toán áp dụng phân tích
đa thức thành nhân tử: Giải phơng trình bậc cao; giải bất phơng trình bậc
cao; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh một biểu thức là số
chính phơng; chứng minh tính chia hết; rút gọn, tính giá trị biểu thức; Tìm
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức; giải phơng trình nghiệm
nguyên; tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên.
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:


C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức

-

- sĩ số
sĩ số sĩ số
sĩ số



II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

- HS1:

Giải bài tập 1a đã cho tiết trớc
- HS2:

Giải bài tập 3 đã cho tiết trớc
- HS3:

Giải bài tập 4a đã cho tiết trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

các bài toán áp dụng
phân tích đa thức thành nhân tử

1. Giải phơng trình bậc cao:
Bài 1: Giải phơng trình: x

3
+ 3x
2
- 4 = 0.
- Đa thức: x
3
+ 3x
2
- 4 tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm x = 1 tức là đa
thức x
3
+ 3x
2
- 4 chia hết cho x - 1. Thực hiện phép chia: x
3
+ 3x
2
- 4 cho



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201

2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ

Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố











x-1 ta đợc thơng là x
2
+ 4x + 4 hay (x + 2)
2
.
- Nên phơng trình: x
3
+ 3x

2
4 = 0 (x - 1)(x + 2)
2
= 0
<=> x = 1 hoặc x = - 2
- Vậy phơng trình đ cho có hai nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 2
Bài 2: Giải phơng trình: (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x 12 = 0
- Đặt: x
2
+ x = t ta có phơng trình: t
2
+ 4t 12 = 0.
- Phân tích đa thức t
2
+ 4t - 12 thành nhân tử ta đợc:
t
2
+ 4t 12 = (t + 6)(t - 2) , ta có phơng trình : (x
2
+ x + 6)( x

2
+ x - 2) = 0.
- Tiếp tục phân tích đa thức x
2
+ x 2 thành nhân tử ta đợc:
x
2
+ x 2 = (x - 1)(x + 2).
- Do đó phơng trình cho đợc viết nh sau:
(x - 1)(x + 2)(x
2
+ x + 6) = 0 x = 1 hoặc x = - 2.
(vì x
2
+ x + 6 > 0, với mọi x)
- Vậy phơng trình đ cho có hai nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 2
2. Giải bất phơng trình bậc cao:
Bài 1: Giải bất phơng trình: x
2
+ 5x + 6 > 0
- Ta phân tích đa thức x
2
+ 5x + 6 thành nhân tử
x
2
+ 5x + 6 = (x

2
+ 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
- Ta có bất phơng trình : (x + 2)(x + 3) > 0.
<=>
2 0 2
3 0 3
2
3
2 0 2
3 0 3

+ > >



+ > >
>



<=> <=>


<
+ < <




+ < <

x x
x x
x
x
x x
x x

- Vậy nghiệm của bất phơng trình là x < - 3 hoặc x > - 2
Bài 2: Giải bất phơng trình: x
4
- 5x
3
+ 7x
2
- 5x + 6 < 0
Ta có : x
4
- 5x
3
+ 7x
2
- 5x + 6 = x
4
- 5x
3
+ 6x
2

+ x
2
- 5x + 6
= x
2
(x
2
- 5x + 6) + (x
2
- 5x + 6)
= (x
2
- 5x + 6)(x
2
+ 1).
Phân tích đa thức x
2
- 5x + 6 thành nhân tử ta đợc :
(x
2
- 5x + 6) = (x - 2)(x - 3)

Do đó bất phơng trình đ cho tơng đơng với bất phơng trình sau:
(x - 2)(x - 3)(x
2
+ 1) < 0 ( x - 2)(x - 3) < 0 (vì x
2
+ 1 > 0, x)
<=>
2 0 2

3 0 3
2 3
2 3
vô nghiệm
2 0 2
3 0 3

> >



< <
< <



<=> <=> <=> < <


< <




> >



x x
x x

x
x
x x
x x

Vậy bất phơng trình đ cho có nghiệm là : 2 < x < 3.
3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
) = 3(a + b)(b + c)(a + c).
Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tử :
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

(a + b + c)
3
- (a
3
+ b

3
+ c
3
) = (a + b)
3
+ c
3
+ 3(a + b)c (a + b + c)- a
3
- b
3
- c
3

= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3ab(b + a) + 3(a + b)(a + b + c)c - a
3
- b
3
- c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
)

= 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= 3(a + b)(b + c)(a + c).
Vậy: (a + b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
) = 3(a + b)(b + c)(a + c)
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Giải
Do a + b + c = 0 => c = - (a + b) nên a
3
+ b
3
+ c
3
= a
3
+ b
3
- (a + b)

3

Ta phân tích đa thức a
3
+ b
3
- (a + b)
3
thành nhân tử .
Ta có a
3
+ b
3
- (a + b)
3
= a
3
+ b
3
- a
3
- 3a
2
b - 3ab
2
- b
3

= - 3ab(a + b)
= - 3ab(- c)

= 3abc
Vậy : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a + b + c = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
A = (b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
luôn âm.
Chứng minh :
Ta phân tích đa thức A thành nhân tử
Ta có: A = (b
2
+ c
2
- a
2

)
2
- 4b
2
c
2
= (b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2

= (b
2
+ c
2
- a
2
- 2bc) (b
2
+ c
2
- a
2
+

2bc)
= [(b
2
- 2bc + c
2
) - a
2
][(b
2
+ 2bc + c
2
) - a
2
]
= [(b - c)
2
- a
2
][(b + c)
2
- a
2
]
2

= (b c - a)(b c + a)(b + c - a)(b + c + a).
Vậy A = ( b c - a)(b c + a)(b + c - a) (b + c + a).
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
b - c - a < 0
b c + a > 0

b + c - a > 0 A < 0 (ĐPCM).
b + c + a > 0
Bài 4: Chứng minh rằng:
P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 luôn không âm, x R
Giải :
Ta có : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + 9 .
= (x
2
- 7x + 6) (x
2
- 7x + 12) + 9
Đặt: x
2
- 7x + 9 = t Ta có P = (t - 3)(t + 3) + 9 = t
2
9 + 9 = t
2
0 , t
Vậy: P= (x
2
-7x + 9)
2
0 với x (ĐPCM).
4. Chứng minh một biểu thức là số chính phơng
Bài 1: Chứng minh rằng x Z thì biểu thức:
P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 là số chính phơng .
Giải.
Ta phân tích đa thức P thành nhân tử

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B

BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP

Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố

P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 9.
= (x
2
- 7x + 6) (x
2
- 7x + 12) + 9.
= [(x
2
- 7x + 9) - 3][ (x
2
- 7x + 9) + 3] + 9.
= (x
2
- 7x + 9)
2
9 + 9
= (x
2
- 7x + 9)
2

Do x Z nên (x
2
- 7x + 9) Z => (x
2
- 7x + 9)
2
là bình phơng của một số

nguyên .Vậy P là số chính phơng x Z.
Bài 2: Chứng minh rằng với x , y nguyên thì biểu thức:
M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phơng.
Giải:
M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)(x
2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4

= [(x
2
+ 5xy + 5y
2
) - y
2
][(x
2
+ 5xy + 5y
2

) + y
2
] + y
4

= (x
2
+ 5xy + 5y
2
)
2
- y
4
+ y
4

= (x
2
+ 5xy + 5y
2
)
2
.
Do x, y Z nên x
2
+ 5xy + 5y
2
Z
Suy ra M = (x
2

+ 5xy + 5y
2
)
2
là số chính phơng.
5. Chứng minh tính chia hết
Bài 1: Chứng minh A = n
3
- n chia hết cho 3 , n Z .
Giải:
Ta có n
3
- n = n(n
2
- 1) = n(n -1)(n + 1) do n Z nên A là tích của 3 số
nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3 .
Bài 2: Chứng minh M = m
3
(m
2
- 7)
2
- 36m chia hết cho 5040 với

m là số
nguyên
Giải :
Ta có M = m
3
(m

2
- 7)
2
- 36m = m {[m(m
2
-7)]
2
- 6
2
}
= m[m(m
2
-7) - 6] [m(m
2
- 7) + 6]
= m(m
3
- 7m - 6)(m
3
- 7m + 6).
Ta có (m
3
- 7m - 6)= m
3
- 9m + 2m - 6
= m(m
2
- 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2]
=( m
- 3)(m

2
+ 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3)
Tơng tự ta có: m
3
- 7m + 6 = (m - 1)(m - 2)(m + 3)
Vậy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3).
Do m Z nên M là tích của 7 số nguyên liên tiếp do đó M chia hết cho:
1.2.3.4.5.6.7 = 5040.
Vậy M chia hết cho 5040.
Bài 3: Chứng minh rằng

x

Z ta có:
[
]
825)34(
2

+= xP

Giải: P = ( 4x

+ 3)
2
- 25 = ( 4x

+ 3)
2
5

2
= ( 4x + 3 - 5)( 4x + 3 + 5)

= ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2)
Vì x

Z ( 2x - 1)( x + 2)

Z
P = 8( 2x - 1)( x+2)

8

[
]
825)34(
2

+= xP

Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

6. Rút gọn, Tính giá trị biểu thức
a) Lí thuyết

Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức. Ta
phải tiến hành phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các
nhân tử chung.
b) Bài tập
Bài 1: Rút gọn biểu thức
2 2
2 2
x 3x y 3y
A
x y
+
=

với
x y


Hớng dẫn:

2 2 2 2
2 2 2 2
x 3x y 3y (x y ) (3x 3y) (x y)(x y) 3(x y)
A
(x y)(x y)
x y x y
(x y)(x y 3) x y 3

(x y)(x y) x y
+ + + +
= = =

+

+ + + +
= =
+ +

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức
P =
7
8
55
2
+
+
+
x
x
x
với x = 2005
2
5(x 1)
5x 5 5 5 5
P
(x 1)(x 7) x 7 2005 7 2012
x 8x 7
+
+
= = = = =
+ + + +
+ +

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau, hy rút gọn :
2 2 2 2 2 2
1 1 1
A
(b c)(a ac b bc) (c a)(b ba c ac) (a b)(c bc a ab)
= + +
+ + +
Hớng dẫn: Ta phân tích các mẫu thành nhân tử:
a
2
+ ac - b
2
bc = (a
2
- b
2
) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c)
Tơng tự: b
2
+ ab - c
2
ac = (b - c)(a + b + c)
c
2
+ bc - a
2
- ab = (c - a)(a + b + c).
Do đó mẫu chung là : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).
( )( )( )( )

( )( )( )( )
(c a) (a b) (b c)
A
a b b c c a a b c
0
0
a b b c c a a b c
+ +
=
+ +
= =
+ +

7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
N = (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 7x + 12) + 2003.
Giải:
Trớc hết phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x
2
+ 3x + 2) và (x
2
+ 7x + 12)
Ta có x
2
+ 3x + 2 = (x
2

+ 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1).
x
2
+ 7x + 12 = x
2
+ 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4).
Khi đó N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003
= (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003
= (x
2
+ 5x + 4) (x
2
+ 5x + 6) + 2003.



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi

ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn

ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố













Đặ
t
x
2

+ 5x + 5
=

t
.
Ta c

ó
N

= (t

-

1)(t

+

1)

+

2003

=

t
2

-

1

+

2003

= t
2
+2002

Vậy do t
2
0 với t N 2002.
Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 <=> t = 0
<=> x
2
+ 5x + 5 = 0 <=>
5 5 5 5
x hoặc x =
2 2
+
=

8. Giải phơng trình nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mn : x + y = xy
Giải :
Ta có xy = x + y xy x y + 1 = 1 x(y - 1) - (y - 1) = 1
(x - 1)(y - 1) = 1.
Do x,y nguyên nên ta có :
x 1 = 1 hoặc x 1 = - 1
y 1 = 1 y 1 = - 1
Suy ra (x = 2 ; y = 2) hoặc (x = 0 ; y = 0).
Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm là (2 ; 2) và (0 ; 0).

9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên
1. Lí thuyết:

Cách làm: Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x) đ
cho. Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp
theo ta tìm giá trị cuả biến để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn vậy tử
thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là ớc của tử thức. Từ đó
tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể:
f(x) =
A(x)
b
a
B(x) C(x)
= + với a, b
Z


f(x)
Z C(x) Ư ( b) x ?
<=> => =

2. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị của x để biểu thức
7
8
55
2
+
+
+
=
x
x

x
P
có giá trị nguyên.
Có
7
5
)7)(1(
)1(5
+
=
++
+
=
xxx
x
P

Vậy P nguyên <=> x + 7 là ớc của 5
Hay x + 7

{ -1; 1; - 5; 5}
Có






=+
=+

=+
=+
17
17
57
57
x
x
x
x







=
=
=
=
8
6
2
12
x
x
x
x

Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị x

{ -12; - 8, -6, -2} thì P đạt
Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

giá trị nguyên

Luyện tập chung
Bài 1:
Cho biểu thức A = a
4
- 6a
3
+ 27a
2
- 54a + 32.
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn (a Z)
Hớng dẫn:
a) A = a
4
- 6a
3
+ 27a

2
- 54a + 32
= a
4
- a
3
- 5a
3
+ 22a
2
+ 5a
2
- 22a - 32a + 32
= a
3
(a - 1) - 5a
2
(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1)
= (a - 1)(a
3
- 5a
2
+ 22a - 32)
Mà a
3
- 5a
2
+ 22a 32 = a
3
- 2a

2
- 3a
2
+ 6a + 16a - 32
= a
2
(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2)
= (a - 2)(a
2
- 3a + 16)
Xét a
2
- 3a + 16 có = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a
2
- 3a + 16 không phân tích
đợc trên R. Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a
2
- 3a + 16).
b) Do a Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết
cho 2. Suy ra A chia hết cho 2 A = 2k (k Z) Vậy A là số chẵn với a Z
Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
N = 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a

2
c
2
- a
4
- b
4
- c
4
luôn dơng .
Hớng dẫn :
Có N = 4a
2
b
2
- (a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) + 2b
2
c
2
+ 2a
2
c

2
- c
4

= 4a
2
b
2
- (a
2
+ b
2
)
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) - c
4

= (2ab)
2
- (a
2
+ b
2
- c

2
)
2
= (2ab- a
2
- b
2
+ c
2
)(2ab + a
2
+ b
2
- c
2
)
=[c
2
- (a - b)
2
][(a + b)
2
- c
2
]
=(c a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c).
Ta thấy a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy ra
bốn nhân tử đều dơng . Vậy N > 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b;
BC = a . Chứng minh rằng nếu phơng trình ẩn x sau:

b
2
x
2
+ (b
2
+ c
2
- a
2
)x + c
2
= 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hớng dẫn :
Do A, B, C phân biệt suy ra AC 0 b
0

=> Hệ số b
2
0 .
Có = (b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2

c
2
. Phơng trình có nghiệm kép <=>
0
=

Phân tích thành nhân tử ta đợc:
= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b c - a)
Do a + b + c 0 nên xảy ra ba trờng hợp :
Hoặc b + c a =0 a = b + c BC=AC+AB A nằm giữa B, C.
hoặc a + b - c = 0 c = a + b AB = BC + AC C nằm giữa B, A
hoặc b c a = 0 b = a + c AC = BC + AB B nằm giữa A, C.
Vậy A, B, C thẳng hàng.



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi

ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn

ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố











Bài 4: Cho đa thức P = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz
a) Phân tích đa thức P thành nhân tử
b) Chứng minh rằng nếu x, y, z nguyên và (x + y + z) chia hết cho 6 thì
Q = P - 3xyz chia hết cho 6.
Hớng dẫn:
a) Có P = [(x + y + z) - z][ (x + y + z) - y][ (x + y + z) - x] + xyz
= (x + y + z)
3
- (x + y + z)
2
(x + y + z) + (x + y + z)(xy + yz + xz)- xyz + xyz
= (x + y + z)(xy + yz + xz).
b) Do (x + y + z)

6 P

6 (1)
Để chứng minh Q

6 ta Chứng minh 3xyz

6 xyz

2.
Thật vậy: (x + y + z)

6 (x + y + z)

2 (x + y + z) là số chẵn không
thể x, y, z cùng lẻ ít nhất một trong ba số x, y, z là chẵn xyz là số chẵn
xyz

2 => 3xyz

6 (2)
Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6
Bài 5: Chứng minh rằng : (n
5
- 5n
3
+ 4n) chia hết cho 120 , n Z
Hớng dẫn:
Ta có:

n
5
- 5n
3
+ 4n = n(n
4
- 5n
2
+ 4) = n[(n
4
- 4n
2
) - (n
2
- 4)] = n[n
2
(n
2
- 4) - (n
2
- 4)]
= n(n
2
- 4)(n
2
- 1) = n(n -1)(n - 2)(n + 1)(n + 2).
Do n Z n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp
nên chia hết cho 1. 2.3.4.5 = 120.
Vậy: n
5

- 5n
3
+ 4n chia hết cho 120.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì :
a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(ac - bd)(b + d).
Hớng dẫn:
Từ giả thiết : a + b + c + d = 0 a + c = - (b + d) (a + c)
3
= - (b + d)
3

a
3
+ c
3
+ 3(a + c)ac = - b
3
- d
3
- 3(b + d)bd , thay a + c = - (b + d) ta đợc :
a
3

+ c
3
- 3(b + d)ac = - b
3
- d
3
- 3(b + d)bd.
Hay: a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3ac(b + d)- 3(b + d)bd = 3(b + d)(ac - bd).
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập
đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa
thức bậc ba với hệ số nguyên, sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1
A =
4 3 2
3x 11x 7x 2x 1
+ +

Hớng dẫn:
4 3 2
3x 11x 7x 2x 1
+ +
=
3 2
(3x 1)(x ax bx 1)
+ +

Đồng nhất hệ số tìm đợc a = 4 ; b = - 1.
Vậy A =
3 2
(3x 1)(x 4x x 1)
+

Bài 2: Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số
nguyên: B =
4 3 2
x 6x 11x 6x 1
+ +

Trờn
TrờnTrờn
Trờng THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hngg THCS Hồng Hng
g THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Hớng dẫn:
4 3 2 2 2
x 6x 11x 6x 1 (x ax 1)(x bx 1)
+ + = + + + +

Đồng nhất hệ số tìm đợc a = - 3 ; b = - 3.
Vậy B =
2 2
(x 3x 1)
+

Bài 3: Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số
nguyên và các hệ số cao nhất đều mang dấu dơng: C =
4 3 2
x x 2x 11x 5
+

Hớng dẫn:
4 3 2 2 2
x x 2x 11x 5 (x ax 1)(x bx 5)
+ = + + +

Đồng nhất hệ số tìm đợc a = - 2 ; b = 1.
Vậy C =
2 2
(x 2x 1)(x x 5)
+ +

Bài 4: Giải phơng trình sau: ( 4x + 3)
2

- 25 = 0
Hớng dẫn: ( 4x + 3)
2
- 25 = 0 <=> ( 4x + 3)
2
5
2
= 0 <=> 8(2x - 1)(x + 2) = 0
1
x
2x 1 0
2
x 2 0
x 2

=
=



+ =


=



Bài 5: Giải bất phơng trình sau: x
2
- 7x + 10 < 0.

Bài 6: Giả sử a, b, c, d Z ; Chứng minh rằng:
A = [(a- c)
2
+ (b - d)
2
](a
2
+ b
2
) - (ad - bc)
2
là số chính phơng.
Hớng dẫn:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A (a 2ac c b 2bd d )(a b ) (ad bc)
(a b ) a c b c a d b d 2(ac bd)(a b ) a d 2abcd b c
(a b ) 2(ac bd)(a b ) (a c 2abcd b d )
(a b ) 2(ac bd)(a b ) (ac bd) (a b ac bd)
Vì a, b,
= + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + +
= + + + + + = +
2 2
c, d Z nên a b ac bd Z +
Vậy A là số chính phơng
Bài 7: Chứng minh rằng đa thức :

z
2
+ y(2x - y) - x
2
chia hết cho đa thức : x y + z
Bài 8: Chứng minh rằng đa thức : (a
2
+ 3a + 1)
2
-1 chia hết cho 24 với a Z.

Bài 9: Chứng minh rằng
a) a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
.
b) (ac - bd)
2
(a
2
- b
2
)(c
2
- d

2
).
Hớng dẫn:
a) Chuyển vế và biến đổi đợc:

2
2 2 2 2 2 2
b 3b
(a b) (a ab b ) 0 a ab b 0 (a ) 0
2 4
+ + <=> + + <=> + +

Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b
b) Biến đổi BĐT đợc
2
(ad bc) 0

. Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c, d
Bài 10:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(x + 1)(x + 2)(x + 5)(x + 6) + 15.



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011

-
201
2

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G


P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n

Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố











b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
(1 - x)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 3.
Bài 11: Tìm các cặp số nguyên (x , y) thoả mn các phơng trình sau:
a) x
2

= y
2
+ 2.
b) xy - 3x - 2y 7 = 0.
c) xy + 2x + y = - 2.
Bài 12: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 -

- 2011
2011 2011
2011

Phõn tớch a thc
2 2
4(1 )(1 )(1 ) 3
x y x y x y
+ + + +
thnh nhõn t
Hớng dẫn:
A =
2 2
4(1 )(1 ) 3
x y xy x y x y
+ + + + +

2 2 2
4(1 ) 4(1 ) 3
x y x y xy x y
= + + + + +

[
]
2
2
2(1 ) ) (2 )
x y xy xy
= + + +

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 3
x y xy x y xy
= + + + + +

Bài 13:
Hớng dẫn:
Bài 14:
Hớng dẫn:
Bài 15:
Hớng dẫn:
Bài 16:
Hớng dẫn:
Bài 17:
Hớng dẫn:
Bài 11:
Hớng dẫn:

D/Bổ sung




*******************************