LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2015 kiến thức nền môn Toán

LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2015
CHUYÊN ĐỀ 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A- KIẾN THỨC NỀN TẢNG
I/ GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
1. LÝ THUYẾT
a/ Khái niệm: Góc giữa 2 đường thẳng a và b là góc giữa 2 đường thẳng a’; b’ lần lượt song
song với a;b. Ký hiệu
( )
;a bR
Sơ đồ :
( ) ( )
'/ /
; '; '
'/ /
a a
a b a b
b b

→ =


R R
b/ Nhận xét:
+) Góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn, có nghĩa là :
( )
( )
0 0
0 0 0
; ;0 90
; 180 ;90 180
a b

a b
α α
α α

= ≤ ≤


= − ≤ ≤


R
R
+ Nếu a//b hoặc a trùng b thì :
( )
0
; 0a b
=
R
c/ Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng :
Cách 1
- Sử dụng định nghĩa:
Tạo ra các đường:
( ) ( )
'/ /
; '; '
'/ /
a a
a b a b
b b


→ =


R R
Cách 2
- Lấy 1 điểm A bất kỳ thuộc a
- Từ A kẻ đường thẳng d//b:

( ) ( )
; ;a b a d
→ =
R R
d/ Các tính góc giữa 2 đường thẳng:
- Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông
- Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
+ −
= + − ⇒ =
2/ Bài tập minh họa:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác
SAB,SAD,SAC đều vuông ở A. Biết SA =
3a
, AB = a, AD = 3a. Tính góc giữa các đường
thẳng sau:

a/ SD và BC
b/ SB và CD
c/ SC và BD
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA
= 5 vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
II, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG
GÓC
1. Lý thuyết:
• Đường thẳng song song với mặt phẳng:
- Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một mặt phẳng bất kỳ
thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề:
( )
( )
/ /
/ /
a P
d P
d a

⊂

⇔



* Tính chất giao tuyến song song :
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (R) chứa hai đường thẳng a,b song song với nhau, thì giao tuyến
của 2 mặt phẳng phải song song với a và b. Viết lại mênh đề:
( ) ( ) ( ) ( )
; ;

/ / / /
/ /
a P b R P R d
a b d
a b

⊂ ⊂ ∩ =

⇒



• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+) Định nghĩa : Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi
đường năm trong mặt phẳng (P): Dạng mệnh đề:
( )
( )
a P
d P
d a

∀ ⊂

⊥ ⇔

⊥


+) Hệ qủa 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) ta cần chứng minh
d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

+) Hệ qủa 2: Nếu 2 đường thẳng a và b cùng vuông góc với mp (P) thì a//b
+) Hệ qủa 3: Nếu hai mặt phẳng (P) , (R) cùng vuông góc với đường thẳng d, thì (P)//(R)
+) Hệ qủa 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một đường thẳng a và một mặt phẳng
(P) thì đường thẳng a hoặc song với (P) hoặc nằm trong (P);
Dạng mệnh đề:
( )
( )
( )
/ /
a P
d P
a P
d a

⊂

⊥
 
→
 
⊥




+) Hệ qủa 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuông (P) là d’; đường thẳng a
nằm trong (P) vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.
• Hai mặt phẳng vuông góc :
+) Định nghĩa : Hai mặt phẳng (P) và (R) được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng =
0

90
+) Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Muốn chứng minh hai mặt phẳng (P) và (R)
vuông góc với nhau ta chỉ ra một đường thẳng d bất kỳ thuộc (P) và vuông góc với (R).
Viết dạng mệnh đề:
( )
( )
( ) ( )
d P
P R
d R

⊂

→ ⊥

⊥


+) Tính chất 1: Nếu (P) và (R) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến a; d là 1
đường thẳng nằm trong (P) nếu d vuông góc với a thì d vuông góc với (R).
Dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
;
;
P R P R a
d R
d P a d


⊥ ∩ =

→ ⊥

⊂ ⊥


+) Tính chất 2: Nếu (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q)
cũng phải vuông góc với (R).
Dạng mệnh đề :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
; Q
Q
P R R
d R
P d

⊥ ⊥

→ ⊥

∩ =


2/ Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA vuông góc với mặt
đáy (ABCD). Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC,SD và J là hình chiếu của B
trên SC. Gọi M,N,P, Q lần lượt là các trung điểm của AB,AD,BC,SC. Chứng minh rằng:

1/ BC
⊥
(SAB) 2/ CD
⊥
(SAD) 3/ AH
⊥
(SBC) 4/ AK
⊥
(SCD)
5/ SC
⊥
(AHK) 6/ OM
⊥
(SAB) 7/ON
⊥
(SAD) 8/ BC
⊥
(OPQ)
9/ BC
⊥
SB 10/ CD
⊥
SD 11/ AH
⊥
SC 12/ AK
⊥
SC
13/ (SBC)
⊥
(SAB) 14/ (SCD)

⊥
(SAD) 15/ (AHK)
⊥
(SBC) 16/ (AHK)
⊥

(SCD)
III/ Vấn đề về góc :
1/ Góc giữa đường và mặt :
a/ Khái niệm: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu
của nó xuống mặt phẳng đó.
b/ Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Giả sử cấn xác định góc giữa đt d và mặt
phẳng (P) ta thực hiện các bước sau:
- Tìm hình chiếu d’ của d lên (P)
- Khi đó:
( )
( )
( )
; ; 'd P d d
=
R R
, bài
toán trở thành bài toán tìm góc giữa 2
đường thẳng.
* Chú ý : Thông thường đường thẳng d
cho ở dạng đoạn thẳng ( AB chẳng hạn),
ta tìm hình chiếu của từng điểm M và N
xuống (P), tương ứng là tìm điểm H,K sao
cho MH

⊥
(P),NK
⊥
(P)
2/ Phương pháp xác định góc giữa 2 mặt phẳng:
Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (
Q
) như sau:
+) Xác định giao tuyến d của (P) và (
Q
)
+) Xác định mặt phẳng trung gian (R) sao cho d
⊥
(R) (*)
+) Xác định các giao tuyến thành phần :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
; Q ;
Q
R P a
P a b
R b

∩ =

→ =


∩ =


R R
3/ Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SA =
6a
. Tính sin của góc giữa :
a/ SC và mp (ABCD)
b/ SC với mp (SAB)
c/ AC và mặt phẳng (SBC)
Ví dụ 2/ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông góc
(ABCD), SA = SB, H là trung điểm của AB, SH = HC. Tính góc giữa SC và (ABCD)
Ví dụ 3/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3a
,SD =
7a
.SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB
a/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b/ Chứng minh MN vuông góc (SAD)
c/ Tính góc hợp bởi giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
Ví dụ 4/ Cho hình vuông ABCD cạnh a , SA =
3a
và vuông góc với (ABCD). Tính góc
giữa các mặt phẳng sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Ví dụ 5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Cạnh SA = a và

SA
⊥
(ABCD). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SD.
a. Chứng minh BC
⊥
(SAB),CD
⊥
(SAD)
b. Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC)
c. Tìm tan góc
α
là góc tạo bởi cạnh SC và (ABCD)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, BD =
2
3
a
. Trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
*b/ (SAB)
⊥
(SAD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA =
6a

.AH,AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD
a/ Chứng minh : tam giác SAD, SDC là những tam giác vuông
b/ Chứng minh AK
⊥
(SDC); HK
⊥
(SAC)
c/ Tính góc giữa SD và (SAC)
Bài 3. Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc SA=SB=SC. Gọi I,J lần lượt là
trung điểm của AB,BC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
IV/ Vấn đề về khoảng cách :
A/ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
* Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho (P) và M là một điểm nằm ngoài
Khoảng cách từ điểm M đến (P) là MH
Kí hiệu:
( )
( )
( )
( )
;
MH P
MH d M P
H P

⊥

= ⇔


∈


2. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
a. Cách xác định tổng quát từ 1 điểm tới một mặt phẳng:
Trường hợp 1) Để xác định khoảng cách từ
điểm M đến (P) ta làm như sau:
+) Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P)
theo giao tuyến d.
+) Kẻ MH
⊥
d ( H
∈
d) =>MH
⊥
(P) =>
MH = d(M;(P))
b. Cách chuyển điểm (Mục đích: tính toán điểm mới dễ dàng hơn trong việc tính toán hơn điểm
cũ )
Trường hợp 1) Nếu MN // (P) thì d(M;(P)) =
d(N;(P))
Ví dụ: Từ khoảng cách điểm M gặp khó khăn
ta chuyển về điểm N
Trường hợp 2:
Nếu đường thẳng AB cắt (P) theo giao
điểm I thì:
( )
( )
( )
( )

;
;
d A P
IA
IB
d B P
=
( Định lý talet)
Trường hợp 3
Trường hợp 4
*) Khi thực hiện một bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, ta thường thực
hiện theo 2 bước:
- Bước 1: Xác định khoảng cách
- Bước 2: Tính khoảng cách
Các hệ thức cơ bản cần nhớ:
2 2 2
2
2
2
1 1 1
.
.
.
AH AB AC
AB BH BC
AC CH CB
AH HB HC
= +
=
=

=
3/ CÁC BÀI TẬP CỦNG CỐ:
Bài 1. ( DHKD-2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp (ABC); AC = AD
= 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = 2a.
a/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I,J là trung điểm của AB và AD. Tính khoảng
cách từ I đến mp (SJC).
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có SA = a, các cạnh còn lại bằng
3
2
a
. Chứng minh rằng SA
⊥

SC và tính d(S;(ABCD))
Bài 5. (DHKA,A1 2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3
2
a
, hình chiếu vuông của S lên mp (ABCD) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)
⊥
(ABCD), SA =
SB, góc giữa SC và (ABCD) là
0

45
. Tính khoảng cách từ B đến (SCD)
Bài 7. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD), góc giữa mặt
bên (SBC) và đáy (ABCD) bằng
0
60
, G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G
đến mặt phẳng (SBC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
2a
, I là trung
điểm của BC, hình chiếu của S lên mp (ABC) là điểm H thỏa mãn I nằm giữa AH. Tính
khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mp (SAH).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, I là trung điểm của BC,
D là điểm đối xứng với A qua I, SD
⊥
(ABC), K là hình chiếu vuông góc của I trên SA, IK
=
2
a
. Tính khoảng cách từ D đến mp (SBC)
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, tam
giác SCD vuông cân tại S. H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Tính
khoảng cách từ H đến mp (SCD).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA
⊥

( ABCD), SA=

2a
; AB =2a, AD = DC =a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng
cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là
trọng tâm tam giác ABC, biết SG
⊥
(ABC), SB =
14
2
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 13. ( DHKD-2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
0
90ABC BAD∠ = ∠ =
, BA = BC = a, AD = 2a. SA
⊥
( ABCD) và SA =
2a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d(H;(SCD)).
B. Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:
I/ Lý thuyết
1. Định nghĩa đoạn vuông góc chung.
MN là đoạn vuông góc chung của d và d’
'
; '
MN d
MN d
M d N d


⊥

⇔ ⊥


∈ ∈

2. Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:
Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d và d’ ( Kí hiệu d (d;d’)) chính là độ dài đoạn vuông
góc chung.
3. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:
Cách 1: Tính độ dài vuông góc chung theo
định nghĩa.
* Chú ý: Nếu d
⊥
d’ thì ta dựng đường
vuông góc chung như sau:
+) Dựng mp (P) chứa d’ và vuông góc với
d.
+) Tìm giao điểm của I = d
∩
(P)
+) Dựng IH
⊥
d’
Cách 2: Tìm (P) chứa d và // với d’:
Khi đó : d(d;d’) = d(d;(P)) = d(A;(P)) với A
là 1 điểm bất kỳ thuộc d.

Cách 3: Dựng 2 mặt phẳng :
+) mp (P) chứa d và // với d’. Dựng mặt
phẳng (R) chứa d’ và // với d.
Khi đó: d(d;d’) = d ((P);(R))
Cách 4: Phương pháp véc tơ : ( Dành cho
phần HHKGGT)
II/ Bài tập củng cố.
Câu 4. Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2014
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 5: Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a
Câu 6 : Trích từ ngân hàng đề thi công ty phát triển giáo dục An Sơn
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và
BD.
II/Đáp án bài tập củng cố.
Câu 4. Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2014
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 5: Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60

0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC theo a
Câu 6 : Trích từ ngân hàng đề thi công ty phát triển giáo dục An Sơn