bài tiẻu luận các phép biến hình

Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP
BIẾN HÌNH
*LỜI GIỚI THIỆU
- Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như:
phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự,
phép đồng dạng.Trong bài tiểu luận này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các kiến
thức kĩ năng cơ bản đã được học trong sách giáo khoa lớp 11 và giới thiệu một
số kiến thức về môn hình cao cấp. Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng cấu trúc
nhóm các phép biến hình
Nội dung của bài tiểu luận gồm:
Chương I: Cơ sở lý thuyết
-Phần này tóm tắt lại các kiến thức kĩ năng cơ bản cần nhớ về các phép biến
hình .
-Mối liên hệ giữa các phép biến hình thông qua nhóm các bài toán. Từ đó
xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình
Chương II: Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán.
-Hệ thống lại các dạng toán thường gặp trong giải toán và nêu các phương
pháp chủ yếu để giải
-Đối với mỗi dạng có các bài tập điển hình riêng với từng phép biến hình.
Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực tìm tòi, nhưng chắc chắn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để bài tiểu luận
được hoàn thiện hơn.

*MỤC LỤC
Page 1
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Tên mục Trang
Lời giới thiệu 1
Chương I:Cơ sở lý thuyết 3
I.Phép biến hình 3

1. Định nghĩa 3
2. Một số phép biến hình trong mặt phẳng 3-9
II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng
cấu trúc nhóm các phép biến hình
10
1. Nhóm bài toán 1 10-13
2. Nhóm bài toán 2 14-16
3. Nhóm bài toán 3 16-24
4. Nhóm bài toán 4 24-28
Sơ đồ mối liên hệ giữa các phép biến hình 29
Chương II. Ứng dụng các phép biến hình trong
giải toán
29
I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán
chứng minh
29
1. Phương pháp giải toán chứng minh 29
2. Một số bài tập 29-38
II.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán
quỹ tích
38
1. Phương pháp giải toán quỹ tích 38-40
2. Một số bài tập 40-46
III.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán
dựng hình
46
1. Phương pháp giải toán dựng hình 46-47
2. Một số bài tập 47-62
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I: Phép biến hình

1:Định nghĩa
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác
định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M)
Page 2
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
trong đó M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng
nhất
2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng
2.1: Phép dời hình
*Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì gọi là phép dời hình.
Nhận xét:
-các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay
đều là phép dời hình.
-phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
cũng là một phép dời hình.
* Các tính chất của phép dời hình:
- Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo
toàn thứ tự giữa các điểm.
- Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc
bằng nó.
- Phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

* Một số tính chất riêng khác:
- Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một
phép đồng nhất.

- Tập hợp tất cả các phép dời hình trong mặt phẳng P làm thành một nhóm
(Đó là 1 nhóm con của nhóm afin).
- Tích của phép dời hình và các phép phản chiếu là một phép phản chiếu.
a. Phép đồng nhất.
*Định nghĩa: Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt, nó biến mọi điểm
M thành chính điểm M.
f: P → P
M

M
Thì f =
I
d

Page 3
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
(Nghĩa là: mọi điểm M thuộc mặt phẳng P,
I
d
(M) = M).
b: Phép tịnh tiến:
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M’ sao cho =, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
Kí hiệu: phép tịnh tiến theo vecto
vecto tịnh tiến
Vậy: (M) = M’ =

*Tính chất:
Phép tịnh tiến được hoàn toàn xác định nếu cho
biết điểm ảnh M’ của một điểm M nào đó.

Phép tịnh tiến biến vecto thành bằng nó =
Phép tịnh tiến ( ≠)
+ Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d’ song song với d
nếu d không song song với
+ Biến một đường thẳng thành chính nó nếu d song song với
Như vậy, qua phép tịnh tiến theo vecto ≠ một đường thẳng là bất động
khi và chỉ khi d song song với
Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có điểm bất động.
*Biểu thức tọa độ
Page 4
V
M
M'
v
r
≠
0
r
v
r
v
T
r
v
T
r
⇔
v
T
r

v
T
r
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )v a b
r
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó
nếu
v
T
r
(M) = M’ thì
'
'
x x a
y y b
= +


= +

c: Phép đối xứng trục:
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng
MM’ gọi là phép đối xứng trục d.
Kí hiệu: Đ
d
.
Vậy: Đ

d
(M) = M’ ( là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’).
*Tính chất
-Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
-Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng,biến tam giác thành tam giác
bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.biến đường
tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR)
- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp. Tức là phép đảo ngược của phép
đối xứng trục Đ
d
là chính nó Đ
d
-1
= Đ
d
hay Đ
d o
Đ
d
= Đ
d
2
=e.
Trong đó e là phép đồng nhất của mặt phẳng Euclide E
-Trục của phép đối xứng trục Đ
d
là tập hợp các điểm bất động

*Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu
+) Đ
Ox
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
=


= −

Page 5
d
M'
M
⇔
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
+) Đ
Oy
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
= −



=

d: Phép đối xứng tâm:
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi
điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi
là phép đối xứng tâm I.
I được gọi là tâm đối xứng.
Kí hiệu: Đ
I
.
Vậy: Đ
I
(M) = M’ =-
*Tính chất
-Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp, nếu M’ =
Đ
I
(M) thì M = Đ
I
(M’). với mọi điểm M của mặt phẳng.
-Phép đối xứng tâm: Đ
I
biến vecto thành vecto đối của nó =-
-Phép đối xứng tâm Đ
I
biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành
một đường thẳng song song với d. phép đối xứng tâm Đ
I
biến một đường thẳng
đi qua tâm thành chính nó.

Vậy: qua phép đối xứng tâm Đ
I
một đường thẳng là bất biến khi và chỉ khi
d đi qua tâm I.
*Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )I a b
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó
nếu Đ
I
(M) = M’ thì
' 2
' 2
x a x
y b y
= −


= −


e.Phép quay
Page 6
⇔
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao
cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay
Kí hiệu: Q
(O, )

là phép quay tâm O, góc quay .
Nếu = π thì Q
(O, )
là phép đối xứng tâm O
Vậy: Q
(O, )
(M)=M
*Tính chất:
- Phép quay bảo toàn khoảng cách giũa 2 điểm bất kì
- Phép quay có điểm bất động di động duy nhất là tâm quay
-Phép quay Q
(O;α)
biến một đường thẳng d bất kì thành đường d’ và góc
định hướng giữa d và d’ bằng góc quay ; (d;d’) = +k2
-Phèp đảo ngược Q
-1
(O;α)
của phép quay Q
(O;α)
là một phèp quay có cùng tâm
quay,có góc quay bằng –α
2.2 .Các phép đồng dạng
a: Phép vị tự
Page 7
α
α
α
α
α
α

Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k 0, phép biến hình
biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ
số k.
Kí hiệu: V
(O,k)
Vậy: V
(O,k)
(M)=M’
-Khi k= -1 phép vị tự V
(O,k)
là một phép đối xứng tâm O
O
M
P
N
M'
N'
P'
-Từ định nghĩa ta có: phép vị tự bảo toàn sự thẳng hàn và bảo toàn tỉ số
đơn của ba điểm. Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số k (k≠0,k≠1) là một phép afin
*Tính chất
-Phép vị tự được hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của hai điểm M và N
phân biệt nào đó.
-Phép vị tự V
(O,k)
biến thành k
-Phép vị tự V
(O,k)
biến đường thẳng d (Od) thành đường thẳng d’ song song

với d
-Phép vị tự V
(O,k) biến
mọi đường thẳng đi qua tâm O thanh chính nó. Hay
mọi đường thẳng qua O đều bất động. Nói cách khác qua phép vị tự V
(O,k)
dường
thẳng d là đường thẳng bất động khi và chỉ khi d đi qua O
-Cho hai đoạn thẳng song song với các độ dài khác nhau AB song song
A’B’và AB≠A’B’duy nhất phép vị tự V
(O,k)
biến A,B thành A’,B’
Page 8
≠
'OM kOM=
uuuuur uuuur
⇔
'OM kOM=
uuuuur uuuur
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
-Phép vị tự V
(O,k)
có tâm O là điểm bất động duy nhất.
b: Phép đồng dạng:
*Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0)
nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có
M’N’=kMN.
B
A
C

B'
A'
C'
M
N
M'
N'
- Phép đẳng cự làphép đồng dạng tỉ số k=1
- Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k
*Tính chất:
-Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
-Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
-Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc
thành góc bằng nó.
-Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR).
*Biểu thức tọa độ.
Trong mặt phẳng tọa độ Eculi cho mục tiêu trực chuẩn (o,i,j) phép đồng
dạng f:E=E với tỉ số k>1 và k#1 ta đã biết f=Đ
o
V.Trong đó V là phép vị tự tâm O
tỉ số k, còn Đ là phép đẳng cự.
Qua phép vị tự V tâm O ảnh M(x,y) thành M”(x”
,
y”).
Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng f đối với mục tiêu đã cho là:
Page 9
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Ma trận của phép đồng dạng f có dạng k. A trong đó k là số thực A là ma

trận trực giao A=
Tức là A
t
. A = I
2
, det A = 1
II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm
các phép biến hình
*Nhóm các phép biến hình.
Nhóm các phép biền hình. Mỗi phép biến hình f của E là song ánh
nên tồn tại phép đảo ngược f
-1,
đó cũng là một song ánh của E, và gọi f
-1
là
song ánh đảo ngược của f, từ đó ta có:
f
o
f
-1
=f
-1
o
f=e
 Tích 2 song ánh là song ánh tích 2 phép biến hình lá một phép
biến hình
Vì vậy tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng cùng với phép lấy
tích lập thành một nhóm gọi là phép biến hình
Dựa vào mối liên hệ giữa các phép biến hình hay các nhóm bài toán
xây dựng ta có thể xây dựng nhóm các phép biến hình sau:

1.Nhóm bài toán 1:
Bài toán 1.1: Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.
Chứng minh:
Page
10
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
v
u
M'
M
M"
Giả sử:T: (M) =M’ => = (1)
: (M’)=M” => =(2)
Lấy (1)+(2): + = +  = +
Hay tịnh tiến theo vecto + : (M)=M”
Bài toán 1.2: Tích hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
Chứng minh
I
J
M
M'
M"'
Đ
I
: M = M => =’
 I là trung điểm của MM’
Đ
J
: M’ = M” => =
 J là trung điểm của M’M”

 IJ là đường trung bình của tam giác MM’M”.
 IJ //= MM” => tịnh tiến theo vectơ 2 biến M thành M”.
 Đ
Jo
Đ
I
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Bài toán 1.3: Tích của phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến là phép đối xứng
tâm.
Chứng minh
Page
11
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
V
I
J
M'
M
M"
Giả sử ; Đ
I
: (M) = M’ =>=
 I là trung điểm của MM’
T : (M’) = M” => =
Gọi J là trung điểm MM” => = ”
IJ//= M’M”
Hay Đ
J
: (M) = M”
Vậy: T

o
Đ
I
= Đ
J
(với J được xác định bởi =)
Bài toán 1.4: Tích của phép tịnh tiên và một phép đối xứng tâm là một phép đối
xứng tâm.
Chứng minh:
V
J
I
M'
M
M"
Xét:T: (M) =M’ => = (1)
Xét Đ
I
: (M’) = M” =>=
Gọi J là trung điểm MM” => = ”
IJ//= M’M”
Hay Đ
J
: (M) = M”
Vậy : Đ
Io
T = Đ
J
(với J được xác định bởi =)
Từ nhóm bài toán 1 ta xây dựng được các cấu trúc nhóm sau:

Page
12
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
*.Tập hợp phép tịnh tiến cùng với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành
một nhóm aben.
Chứng minh;
+Theo chứng minh trên: tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến => phép toán
đóng kín
+ Phép tịnh tiến là phép biến hình nên có tình chất kết hợp.
+ T+T = T
+
= T
+
= T + T
 Phéo toán có tính chất giao hoán
+ Phần tử đơn vị e là phép tịnh tiến theo vecto
+ Phần tử nghịch đảo là phép tịnh tiến theo vecto
Vậy (T,
o
) là nhóm aben
*Tập hợp phép tịnh tiến với đối xứng tâm phép toán lấy tích 2 phép biến
hình lập thành một nhóm.
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên:tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến
Đ
Jo
Đ
I
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Đ

Io
T = Đ
J
 phép toán đóng kín
+ Phép (.) có tính chất kết hợp.
+ Phần tử đơn vị: T
+ Phần tử nghịch đảo:
Phép tịnh tiến có phần tử nghịch đảo là: T
Phép đối xứng tâm có phần tử nghịch đảo là chính nó.
 (Đ
Io
T )( Đ
Io
T)= T (vì Đ
Io
Đ
I
=e)
Vậy (phép tịnh tiến, đối xứng tâm,
o
) là một nhóm (nhóm này không giao hoán)
Nhận xét: Nhóm tịnh tiến là nhóm con của nhóm phép tịnh tiến đối xứng tâm
2.Nhóm bài toán 2
Bài toán 2.1:Tìm tích hai phép vị tự?
TH1:Vị tự cùng tâm
Xét V
(I;k)
: (M) = M’ => = k (1)
V
(I;k’)

: (M’) = M” => = k’ (2)
Thay (1) vào (2) ta được :
 V
(I;k.k’)
: (M) = M”
Page
13
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Vậy V
(I;k’)o
V
(I;k)
= V
(I;k.k’)
KL:Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự.
TH2: Vị tự khác tâm.
Xét phép V
(I;k)
và V
(J;k’)
(k,k’0,1)
+ Nếu k.k’1
M"
M
I
J
O
M'
Xét V
(I;k)

: (M)=M’ => =k (1)
V
(J;k’)
: (M’)=M” =>=k (2)
Tích f là một phèp vị tự tỉ sồ k” = k.k’,tâm vị tự là điểm O chia đoạn nối
tâm IJ theo tị số = .
 V
(J,k’)o
V
(I,k)
=V
(O;k.k’)
(O IJ)
+ Nếu k.k’ =1
M'
M"
M
K
I
J
 f là phép
v
T
r
: = .
 V
(J,k’)o
V
(I,k)
=

v
T
r
( = .)
KL: tích 2 phép vị tự khác tâm là một phếp vị tự hoặc một phép tịnh tiến.
Bài toán 2.2: Tích của phép vị tự và phép tịnh tiến là phép vị tự
Chứng minh:
Page
14
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
V
M'
M
M"
O
O'
Xét V
(O,k)
: (M)=M’ => =k

v
T
r
(M’)=M” => =
Qua O kẻ d song song với M”M’, d MM”=O’
 OO’ song song với M’M”. theo talet ta có ==k => = k
Hay V
(O’,k)
(M)= M”

Vậy
v
T
r
o
V
(O,k)
= V
(O’,k)
Ngược lại:Tích phép tịnh tiến và phép vị tự là phép vị tự
Từ nhóm bài toán 2 ta xây dưng được cấu trúc nhóm sau:

* Tập hợp phép vị tự cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập
thành một nhóm.
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên ta có: V
(I;k)o
V
(I;k’)
= V
(I;k.k’)
=> phép toán đóng kín
+ Tính chất kết hợp: (V
(I;k)o
V
(I;k’)
)
o
V
(I;k’’)

= V
(I;k.k’)o
V
(I;k’’)
= V
(I;(k.k’).k”)

= V
(I;k)o
(V
(I;k’)o
V
(I;k’’)
)
+ V
(I;k)o
V
(I;k’)
= V
(I;k.k’)
=V
(I,k’.k)
=V
(I,k’)o
V
(I,k)
=> phép toán có tính chất giao hoán
+ Phần tử đơn vị e = V
(I;1)
=> V

(I;k)o
V
(I;1)
= V
(I;k)
+ Phần tử nghịch đảo: V
(I;k
đéu V
(I;)
=> V
(I;k)o
V
(I;)
= V
(I;1)
Vậy ( V
(I,k)
,
o
) là nhóm aben
* Tập hợp phép tịnh tiến và phép vị tự cùng tâm cùng với phép toán lấy tích hai
phép biến hình là một nhóm
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên ta có:

v
T
r
o
V

(O,k)
= V
(O’,k)

V
(I;k’)o
V
(I;k)
= V
(I;k.k’)
Page
15
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
T+T = T
+
 Phép toán đóng kín
+ Phép toán có tính chất kết hợp
+Phần tử đơn vị: V
(I,k)o
T = V
(I,k)
=> e = T
+ Phần tử ngịch đảo:
Phần tử ngịch đảo cua V
(I.k)
là V
(I,)
Phần tử ngịch đảo của T là T-
Vậy (
v

T
r
o
V
(O,k)
,
o
) là nhóm
Nhận xét:nhóm vị tự cùng tâm là nhóm con của nhóm vị tự - tịnh tiến
3/Nhóm bài toán3
Bài toán3.1:Tím tích hai phép đối xứng trục
Xét đối xứng trục a và đối xứng trục b:
Giả sử: Đ
a
: M =M’
Đ
b
: M’=M”
TH1:a song song b
a
b
J
I
M
M"
M'
Gọi I = a MM’ và J = M’M”
Ta có = +
= + + + =2
Page

16
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Vậy Đ
bo
Đ
a
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Tích hai phép đối xứng truc có trục song song là phép tịnh tiến.
TH2: a cắt b
a
b
M
O
M'
M"
Giả sử a b = O
Đ
a
: M = M’
 a là đường trung trực của MM’ => OM =
 OM’(1)
Đ
b
:M’ =M”(2)
 b là đường trung trực của M’M” =>OM”=OM’
Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và góc giữa (OM,OM”) = (OM,OM’)+
(OM’,OM”)= 2(a,b)
KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là phép quay tâm là giao của hai
trục và góc quay bằng 2 lần góc giữa hai hai trục
TH3: a vuông góc b

Page
17
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
a
b
M'
M
M"
Ta có (a,b) = 90
o
,sử dụng câu trên (OM,OM”) =2(a,b) =180
o
=> O,M’,M” thẳng
hàng
Và OM =OM”
=> Đ
I
(M) = M”
Vâỵ Đ
bo
Đ
a
=

Đ
I
KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục vuông góc là phép đối xứng tâm, tâm là
giao hai trục.
Xét các bài toán ngược lại:
Bài toán3. 2:

Mỗi phép tịnh tiến đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích
của 2 phép đối xứng trục có các trục song song (2 trục đối xứng của 2 phép
tịnh tiến và cách nhau một đoạn bằng nửa độ dài tịnh tiến )
Chứng minh
Page
18
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
d
d'
I'
I
M'
M
M"
Giả sử: tịnh tiến theo vectơ ,và hai phép đối xứng qua hai trục song song
d ,d’(Đ
d
,Đ
d’
)
Lấy đường thẳng d nhận là vectơ pháp tuyến
Gọi d’ là ảnh của d qua phếp tịnh tiến theo vectơ
Lẩy M’ tùy ý.Gọi M
1
= Đ
d
(M) , M’ = Đ
d’
(M
d’

)
Khi đó :
1
+ = 2
1
+ 2
=2 =
Vậy tịnh tiến theo vectơ biến điểm M thành điểm M’
Bài toán3. 3:
Mỗi phép quay đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích của 2
phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại tâm quay, tạo với nhau một góc
bằng nửa góc quay và có cùng hướng với góc quay
Chứng minh:
Page
19
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
d'
d
J
H
I
M
M'
M
Giả sử :phép quay tâm I góc α : Q
(I’α)

Lấy đương thẳng d bất kì qua I .
Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc quay
Lây M bất kì và gọi M’ = Q

(I,α)
(M) .Gọi M” là ảnh của M qua phép đối
xứng trục d ,M
1
là ảnh của M” qua phép đối xứng trục d’.
Gọi J = MM” d ,H = M”M
1
d’ .
Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
(IM,IM
1
) = (IM ,IM”) + (IM”, IM
1
)
= 2(IJ,IM”) + (IM”, IH)
= 2(IJ,IH)
= 2 = α = (IM,IM’).
Từ đó suy ra: M’ M
1
.Như vậy M’ có thể xem là ảnh cua M qua sau khi
thực hiện liên tiêp hai phép đối xứng trục qua hai trục d va d’.
Bài toán 3.4:Tích một phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục là một phép
đối xứng tâm
Chứng minh
Page
20
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
I
d
J

M'
M
M"
Giả sử : Đ
I
: (M) = M’ =>I là trung điểm của MM’
Đ
d
: (M) = M”
Gọi J là trung điểm của MM”
=> =
Vì I ,J cố định nên Đ
J
: (M) = M”
Vậy Đ
do
Đ
I
= Đ
j
Ngược lại:tích phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm là phép đối xứng
tâm
Bài toán3.5:Tích phép tịnh tiến và đối xứng trục là phép đối xứng trượt
Chứng minh
Page
21
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
d'
d
V

U
W
M1
M"
M
M'
Giả sử: T :(M) = M’
Đ
I :(
(M’)=M”
Thật vậy ;giả sử +,với // d và vuông góc với d.Gọi T và T là phép tịnh tiến theo
vecto :
T = T + T
Ta có ;f = Đ
do
(T + T) =( Đ
do
T + T= Đ
d’o
T) là một phép đối xứng trượt
Ngược lại ;tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến là phép đối xứng trượt
Bài toán 3.6: Tích của một phép đối xứng trục và phép quay là phép đối xứng
trượt
Chứng minh:
d
1
d
2
d
3

d
I
C
M"
M
2
M
M
1
M'
Page
22
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Ta đã biét có thể phân tích phép Q thành tích cua hai phép đối xứng trục Đ
1
,Đ
2
‘ lần
lượt có các trục d
1
,d
2
cắt nhau tại I và chọn Đ
1
có trục d
1
song song với trục d của
phép đối xứng trục Đ .
Do đó ,f là tích của ba phép đối xứng trục ,trong đó có hai trục song song ,tức f là
tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng trục :

f = Đ
o
(Đ
1o
Đ
2
) = (Đ
o
Đ1)
o
Đ
2
= T
o
Đ
2
Vậy f là một phép đối xứng trượt .
Ngược lại: Tích phép quay và phép đối xứng trục là phépđối xứng trượt.
4.Nhóm bài toán 4
Bài toán4.1: Tìm tích hai phép quay
Chứng minh:
Xét các trường hợp sau:
TH1/Quay cùng tâm
β
γ
O
M
M'
M"
Giả sử :Q

(O;)
: M = M’
 OM =OM’ và (OM:OM’) = (1)
Q
(O;)
: M’ = M”
 OM’ = OM” và (OM’;OM”) = (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và (OM;OM”) = +
Vậy Q
(O;+)
:(M) = M” => Q
(O,)o
Q
(O,)
= Q
(O;)
KL: Tích hai phép quay cùng tâm là một phép quay
TH2/Quay khác tâm
Page
23
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Giả sử :Q
(O1;)
và Q
(O2;)

*
d
1
d

3
d
2
β
γ
2
O
1
O
M''
M'
M
M'''
O
2
Phân tích phép quay Q
(O1:
) thành tích hai phép đối xứng trục có trục d
1
và d
2
=>
(d
1
;d
2
) =
Còn phép quay Q
(O2;)
thành tích hai phép đối xứng trục có trục d

2
,d
3
=> (d
2;
d
3
) =
f=Q
(O2;)o
Q
(O2;)
=(Đ
d3o
Đ
d2
)(Đ
d2o
Đ
d1
)=Đ
d3o
Đ
d2
(vì Đ
d2o
Đ
d2
=e)
d

1
d
3
=> .=>
Gọi O=d
13

Thì f= Đ
d3o
Đ
d1
là phép quay tâm Ogóc quay 2(d
1
,d
3
)=2((d
1;
d
2
)+(d
2
,d
3
))=2()= +
*= 2k
d
1
d
3
d

2
V
β
2
O
2
O
1
Vì nên d
1
song song d
3
Page
24
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Thì Đ
d1o
Đ
d3
là một phép tịnh tiến
KL: Vậy tích của hai phép quay khác tâm là một phép quay hoặc phép tịnh tiến.
Bài toán 4.2,Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay là một phép
quay
Chứng minh
Ta cần chứng minh Q
o
T = T
Thật vậy : ta phân tích phép tịnh tiến thành 2 phép đối xứng trục Đ
1
và Đ

2
có trục
d
1
//d
2
(theo chứng minh trên)
Tương tự ta phân tích phép quay thành 2 phép đối xứng trục Đ
2
và Đ
3
có
trục d
2
cắt

d
3
(theo chứng minh trên)
Ta có : Q
o
T = (Đ
2o
Đ
1
)
o
(Đ
3o
Đ

2
) = Đ
1o
Đ
3
= Q
( do tính chất đối hơp của phép đối xứng trục Đ
2o
Đ
2
= e )
*Xác định tâm quay J của tích :Q
(J;α)
= Q
(I,α)o
T
d
1
d
3
d
2
V
α
I
J
Giao điểm d
3
và d
2

là tâm quay J của Q
(J;α)
= Q
(I,α)o
T
Ngược lại ; Tích của một phép quay và môt phép tịnh tiến là một phép quay.
Từ nhóm bài toán 4 ta xây dựng được cấu trúc nhóm sau:
*Tập hợp phép quay cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập
thành một nhóm.
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên ta có: Q
(O;α) o
Q
(O;β)
= Q
(O;α +β)
=> phép toán đóng kín
+ Tính chất kết hợp: (Q
(O;α) o
Q
(O;β)
)
o
Q
(O;)
= Q
(O;α +β)o
Q
(O;)
= Q

(O;(α +β)+)

=

Q
(O;α) o
(

Q
(O;β)

o
Q
(O;)
)
+ Q
(O;α) o
Q
(O;β)
= Q
(O;α +β)
= Q
(O;β+α)
= Q
(O;β)o
Q
(O;α)
=> phép toán có tính chât giao hoán
+ Phần tử đơn vị e = Q
(O;0 )

=> Q
(O;α)o
Q
(O;0 )
= Q
(O;α)
+ Phần tử nghịch đảo:
(O,α)
đềungịch dảo Q
(O;-α)
=> Q
(O;α)o
Q
(O;-α)
= Q
(O;0)
= e
Vậy (Q
(O,) ,
o) là nhóm aben
Page
25