Các phép biến hình

Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
′ ′
1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé
′ ′
′ ′ ′
→ →
f
p biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I
⇔ ∀ ∈
o
1 2 2 1
ª
ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .
Nếu H l
′ ′
∈
′
à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .
′ ′

2 Phép dời hình .
ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với
hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c

′ ′
g
ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) .
3 Tính chất : ( của phép dời hình ) .
ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng


g

thành ba điểm không thẳng hàng .
HQ :Phép dời hình biến :
1. Đường thẳng thành đường thẳng .
2. Tia thành tia .
3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
4. Tam giác thành t
→ →
→
′ ′
am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
6. Góc thành góc
I I
I
bằng nó .
B . BÀI TẬP

′

−
′
→

′

− −
′
′
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I
−
′
−
′

− +
′
→

′
−


− −
f(B) = ( 7;6)
c) C = f(C) = (3; 1)
x = 2x y 1
2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = x 2y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2
I
′
′
− −
′
− −
′
→
;4)
Giải :
a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = ( 4; 4)
c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời
hình hay
I
không ?
- 1 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
→

′
→
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
′ ′
− + − − + −
′ ′
≠ ≠
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
{
{
{
{
′ ′
′ ′
′ ′
→ − →
y x
x y

4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình
I I
′ ′
≠ ≠
′
→ −
1 2
?
HD :
a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I
′
→ b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?
Giải :
a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình (
I
′ ′
≠ ≠
1 2
vì y y thì M N MN )
′
→ − +
∆ − −
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
′

−
′

− 
=
′
→ ⇔
 
′
= +


′
= −

′
−
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − =
∈ ∆ ≠
g
x
x = 2x
x
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
2

y y 1
y y 1
x
Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0
2
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M
I
′
∈ ∆ → = = −
′
∈ ∆ − − → = =g
( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)
N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)
I
I
′

−
−
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =

′ ′
−
= −

g
uuuuur
g

Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ):x 6y 2 0
6 1
VTCP : M N (6; 1)
′
→ + +
′
− →
2 2
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I − −
2 2
2) + (y 3) = 4
- 2 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
→ − +
∆ −
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x
I
−
′

→ − +
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
+ 1) + (y 2) = 2 .
x y
d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 .
3 2
Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) .
f : N
I
′
→ − +
′ ′
− + −
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1
(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN
Vậy : f là phép dời hình .
I
′ ′
 
− = +
′
→ ⇔
 

′ ′
= + = −
 
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I
′
∆ + − =) : x 2y 4 0
∈ ∆ ≠
′
∈ ∆ → = =
′
∈ ∆ → = =
g
g
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)
I
I
′

− −
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =


′ ′
−
= −

∆
g
uuuuur
g
Qua M (2;1)
x 2 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ): x 2y 4 0
2 1
VTCP : M N ( 2;1)
Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng
′
∆ ∆
′
∈ ∆ → = =
′ ′ ′ ′ ′
∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − =
g
g
( ) // ( ) .
Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
′ ′
 

− = +
′
→ ⇔
 
′ ′
= + = −
 
′ ′
∈ − ⇔ + + − = ⇔
′ ′ ′
⇔
2 2 2 2

x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y
I
′
∈ + + − =
′
 
− − = −
′ ′
→ → + + − =
 
′
+ +
 

2 2
f
2 2
) (C ) : (x 4) (y 3) 2
+ Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3)
Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2
BK : R = 2 BK : R = R = 2
′ ′
 
− = +
′
→ ⇔
 
′ ′
= + = −
 
d) Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
I
′ ′
− −
′ ′ ′ ′
∈ ⇔ ⇔ ∈
2 2 2 2 2 2
x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)
Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1
3 2 3 2 3 2
- 3 -

Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)
′
→ −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
I
∈
A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
→ ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .
′ ′
→ − → − −
−
1 1 2 2

1 2
12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì
I I
′ ′′
− → − → −
1 2
2 1
f f
m f [f (A)] .
ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I
′
→ −
∈
x
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I
′
∈
′ ′
∈ ∈ − −
ảnh A = f(A) Ox .
C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)
′
− ĐS : Chọn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)
Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

′ ′
=
uuuuur
r r
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.
′ ′
= ⇔ =
uuuuur
r
r r
g
Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u
u u
Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất .
o o
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T
u
= ∀
r r
g
r
r

′

′ ′ ′
→ =

′


r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì
u
y = y + b
I
g
g
3 Tính chất :
ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
→ → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I
′ ′
→
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
- 4 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′

′ ′ ′

→ =

′

r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì
u
y = y + b
I
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
′ ′
∈ → ∈
′
≡ → ≡
g
g
Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi )
1. Lấy M (H) M (H )
2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương

I
′
 
+ +
′ ′ ′
≡ → ≡
 
′
 

′ ′
Tâm I Tâm I
(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) .
+ bk : R + bk : R = R
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .
Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3
II
′ ′ ′
∈ → ∈
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I
B, BÀI TẬP
′
−
′ ′
 
− = =
′ ′ ′ ′
⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔
 
′ ′
+ = = −
 
r
uuuuur
r
r
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
x 3 2 x 5

Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)
u
y 2 1 y 1

′
⇒ −
−
r
r
M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
′
⇒
−
r
A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)
′
⇒ −
′
− − ⇒
r
B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)
′ ′
′ ′
′ ′
= =
r

uuur uuuur
r r
3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .
Giải
Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)
u u
′ ′ ′ ′
= =
= = =
= ⇔ = = ⇔ =
uuur uuuur
r r r
r r r
uuuuur uuuuuuur
r
r r
1 2
1 2
(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) .
1 2 1 u 2 u 1 2 v
Giải
Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M
1 u 1 1 2 u 1 1 2
= ⇔ = ⇒ = = + = =
r
uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur
r r r r r r r
r

u .
2
Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u
2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2
′
∆ − ∆
∆ −
r
5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) .
- 5 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′ ′
= = − = =
′

−

= +
′ ′ ′ ′ ′ ′
∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′


r r
g
r

uuuuur
g
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .
u u
qua A (1; 1)
x 1 t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 1 2t
VTCP : A B = (1;2)
′
∆ ∆
∆ − −
′
= = −
r
r
6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .
Giải
Vì : A T (A) (0; 2) ,
u
′
= = −
′

−

= −
′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′
−


∆ − −
r
g
r
uuuuur
g
r
B T (B) ( 1;1) .
u
qua A (0; 2)
x t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 2 3t
VTCP : A B = ( 1;3)
7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)
′
⇒ ∆ − + =
′
∆ + − − − ⇒ ∆ + + =
r
: x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0

8 Tìm ảnh c
+ − = −
′ ′
 
−
⇔
 
′ ′
−
 
∈
r
r
2 2
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải
x = x + 1 x = x 1
Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 3 y = y + 3
Vì : M(x;y) (
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + =
′
+ + =
2 2 2 2 2 2
C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4
2 2
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4
′

→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x
′
→ −
1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình B.
I
∈
Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t
→
rục tung C sai .
− + + = −
′ ′

 
−
⇔
 
′ ′
+ −
 
r
r
2 2
9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x = x 2 x = x + 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 4 y = y 4
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =
′
− + − =
2 2 2 2 2 2
Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1
- 6 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
− + + = ⇒ − + − =
′
+ − + − = −

r
r
2 2 2 2
BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2
b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )
+ + − − =
− −
g
2 2
: x y 2x 2y 7 0
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .
Giải
= − − = = −
 
− = =
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 
uur uur uur
g
uur uur
uur
g
Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :
x 1 3 x 4
C = T (I) IC AI C(4;4)

AI
y 2 2 y 4
Vì I là trung điểm của AC nên :
D =
 
− = =
 
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 
 
− ⇒ −
′
uur uur
uur
x 1 2 x 3
D D
T (I) ID BI D(3;4)
BI
y 2 2 y 4
D D
Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một
′
′ ′
∈ ∈
′ ′
∈ ⇔ =
uuuuur uuur

uuur
phép tònh tiến
biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ?
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d
Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB
AB

′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒
′
′ ′
uuuur uuuur
uuur
MA M B M B/ /MA M d d = T (d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R)
′ ′
′ ′ ′
⇔ =
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒
′
uuuuur uur
uur
uuur uuuur
uur
thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II

II
IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]
II
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải
Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d =
uuur uur
uur
uur
ễ thấy J cố đònh và IM JB .
Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là
JB
ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB
′
r
2
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ − −
′ ′
 
− −
′
⇔ ⇔
 
′ ′
− −

 
′ ′ ′
∈ = ⇔ − − ⇔
r
uuuuur uuuuur
r
g
uuuuur
r
u
(P ) .
Giải :
T
M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)
x x = m x = x m
Vì MM = u
y y = n y = y n
2 2
Mà : M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y =
I
′ ′ ′ ′ ′
− + ⇔ ∈ − +
′
− + ⇔ − + +
∆ − ≠ ∆ ∆
r
r
r
r
2 2

a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n
2 2 2
Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .
u
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) .
u
Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = −
⇒ −
− −
r r r r
r
r
ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
u
chọn u = (1; 3) .
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi
r r
r r
ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v
u v
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?
Giải
- 7 -
T
u+v
r r
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh

− → → −

r r
u v
T T
A( 5;2) B C( 1;0)I I
.
Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r

− − −
→  →
r r
r r
r r
u v
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T .
u v
T T
HD : Gỉa sử : A(x;y) BI I
′ ′
 = = ⇒ = + = + =
′ ′
 
− = =
′ ′ ′
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
+
′ ′

− = =
 
′ ′
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r
uuuur
r r
C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 1 x 2
Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) .
u v
y 2 5 y 7
Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .
18 Trong hệ trụ
∆ − − ∆
′
≠
′ ′ ′
→ − →
r r
r
r
r
u u
c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép
tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) .
u
Giải
T T
A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I

′ ′
 
+ = − = −
′ ′
= − = = ⇔ ⇔ ⇒ −
 
′ ′
− = =
 
′
− + + = + − + + =
uuur uuuur
r r
)
x 1 4 x 5
Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).
y 3 3 y 6
2 2 2 2
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0.
Có hay không phe
′
′ ′ ′
− −
′
r
r
ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u
′

− ∈∆ − −
=
uuur
g
= (4;1) biến (C) thành (C ) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên : BC
= − ⇒ = −
′ ′
 
− = = −
′ ′
→ = ⇔ ⇔
 
′ ′
− = − = +
 
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈∆ − −
∆
r
uuur
r
r
uuur
r
g
g

u
AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)
u
T
x x 2 x x 2
B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u
y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) :2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C
1 1 1
I
lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I
1 2 3 1 2 3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,
1 1
BC A
1
∆ = ∆
→ → →
⇒ ∆ →∆ → →
⇒
uuur uuur uuur
uuur
1 1 1
AB AB AB
2 2 2
, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
1 1 1 1 2 3 1 2 3
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A .

1 1 1 1
AB
2
T T T
AB C C BA ;O O ;I I .
1 1 1 1 1 2 1 2

I I I
I I I
w

= ⇒ =
= = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆
uuuuuur uuuur
uuur uuur
uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur
O O I I O O I I .
1 2 1 2 1 2 1 2
Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra :
1 1
BC CA
2 2
O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I (
2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3
w
c.c.c).
- 8 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
µ

µ
µ
·
= = = =
→ ⇔ = =
uuur
o o o
uuuur uuur
BC
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
T
Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw
µ
=
o o
0 (vì B 150 )
·
·
= − + + = ⇒ =
∆
= + − = + − =
⇒
⇒ ∆
o o o o o
o
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Đònh lý hàm cos trong MCD :

3
2 2 2 2 2
MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác
2
·
·
·
·
·
⇒ ∆ ⇒ = =
= = = ⇒ ∆
o o
o
đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .
Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .
⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ =
o
6 3
Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm
2
Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm
Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A , KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM .
Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đườ

′ ′
ng thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường thẳng a .
Kí hiệ
′
a o o o
u : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
′ ′
= ⇔ = −
uuuuuur uuuuuur
Khi đó :

∈ =g
a
Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )

′ ′
∉ = ⇔
g
a
M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM

a a
Đ (M) M thì Đ (M ) M
′ ′
= =g

a a
Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .

′ ′ ′
= =g

⇔ =g
g
d
ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .
′ ′ ′
→ = =
′ ′
 
−
≡ ≡
 
′ ′
−
 
d
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )
x = x x = x
ª d Ox : ª d Oy :
y = y y = y
I
- 9 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
g
3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình .

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứ
HQ :

→
ng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn

I
→
′ ′
→
g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
I
a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H là trung điểm của MM M ?
′
•
∋ ⊥
∩

′ ′
→
′
∆ ∆
∆
∈ ∆ ≠
′
′ ′ ′ ′
∆ ∋ ∆ → ∆
a
a
ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( )
TH1:( )// (a)
1. Lấy A,B ( ) : A B
2. Tìm ảnh A = Đ (A)
3. A , // (a)
w
∆
∆ ∩
∈∆ ≠
′
∆ ≡
a
TH2 : // a
1. Tìm K = a
2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)
w

ª

PP :
∈ ∆
min
Tìm M ( ) : (MA + MB) .
∈ ∆
∆
′
∆
′ ′
∀ ∈ ∆ = ≥
′ ′
⇔ ∩ ∆
min
min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
w
∆
∀ ∈ ∆ ≥
⇔ ∩ ∆
min
Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
w
B . BÀI TẬP
- 10 -

Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′ ′′
→ − → − −
Đ
Đ
Oy
Ox
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)
2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ
I I
′ ′′
→ − → − −
′ ′′
− − → →
′ ′′
− → →
Đ
Đ
Oy
Ox
Đ Đ
a b
Đ Đ
a b
ng qua Ox .
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)
3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .
HD : M( 1;2) M (5;2)

I I
I I
I I −
−
′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′
→ →
′

= −
′
→

′
=

Đ Đ
a b
Đ Đ
a b
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).
x 2m x
HD : M(x;y) M
y y
I I
− −
′′


= −
′′
→

′′
= − −

−
′ ′
− ∩ → − → − −
−
2m x; n)
x 2m x
M
y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .
HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H là trung điểm của MM M ( 3; 2)
6 Cho điểm M( 4;
′
⇒ = −
′
∆ − − ∆ ∆
−
≠g
a
a
1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
HD :
4 1

Vì
1
⇒ ∆ → = ∆ ∩ → −
−
′ ′
− ∈∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = =
′ ′
∆ ≡ −
g
g
a
cắt a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2): tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0
∩ −
′
≡ ∈ − −
′
≡ +
g
g
g
a
a
a
8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .
3 9
M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) .

5 5
b KM : 3x + 4y 9 = 0 .
9 Tìm b = Đ (Ox) với đườ −ng thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
∩
≡ ∈

∆ → ∆ − =

⊥

∩ ∆ → →
≡ −
g
g
g
g
g
HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .
+ Qua O(0;0)
:3x y 0
+ a
3 9 3 9
E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .
10 10 5 5
b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .
1
−
∩ →
∈ ⇒ −

g
g
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)

≡ − −
g b KQ : x 3y 3 = 0 .
′
∆ − − − ∆ ∆
∆
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ≡
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a
Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A
- 11 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
′
∈∆ → = = −
′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ ∆ ⇒ ∆ − − =
′
+ − = −
′
− + =
g
g
a
2 2
a
2 2
Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3)
A , / / : x 2y 8 0
12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)]
HD : (C ) : (x 3) y 1 .
∆ −
∆ ∆
∆ = ∆
Ox
13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng
C. ABC Đ ( ABC)
Oy
D. Trọng tâm : G = Đ (G)
HD : Chọn D
− ∆ − + + =
∆ −
′
2 2
14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.

Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M ,
′ ′
∆ ∆

−
′

⊥

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +
g
g
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y
+
4 = 0
′
′
′
′
′
′

= +

′

∩ ⇒ − ⇒ ⇔


= +


− = − +


=−
′
⇔ ⇔ ⇒ − −
 
=−


= +

′
∆
≠ ⇒ ∆
−
g
H M M
H M M
M
M
M
M
1

x (x x )
2
+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H
1
y (y y )
2
1
2 ( 3 x )
x 1
2
M ( 1; 2)
1 y 2
0 (2 y )
2
b) Tìm ảnh ( ) :
1 3
Vì ( ) cắt (a
1 2
⇒ ∆ ∩

−
⇒ ⇔

−

) K= ( ) (a)
x + 3y 8 = 0
Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K(2;2)
x 2y + 2 = 0
≠ ⇒ − −


−

⊥

g
g
g
a
Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) )
Qua P( 1;3)
Gọi đường thẳng (b) :
a
⊥ → + ∋ − ⇒ − ⇒ + −
∩ ⇒ ⇒ ⇔
 
= + = − +
 
 
⇔ ⇔ ⇔
 
 
= + = +
 
 
E P Q Q
E P Q Q
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b):2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm của P,Q
1 1

x (x x ) 0 ( 1 x )
x
2 2
E
1 1
y (y y ) 1 (3 y )
2 2

=

⇒ −

= −



− −
′ ′
∆ ≡ ⇒ ∆ = ⇔ − − =

= − − = −

g
uuur
g
Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1

Qua K(2;2)
x 2 y 2
+ ( ) (KQ) : ( ): 3x y 4 0
1 3
VTCP :KQ ( 1; 3) (1;3)
- 12 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
{ {
−
′
′ ′
→ →
′
= = =
−
+
g g
g g
Đ Đ
a a
c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .
Tâm I Tâm I
+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): (C ): .Tìm I I
R 2 R R 2
+ Tâm I( 3;2)
Vậy : (C)
BK :
I I
{



′
− − = −
′
→


′
+

′
→ + + − =
Đ
a
a
2 2
2 2
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
5 5
R = 2
BK : R = R = 2
2 2
(C ) : (x ) (y ) 4
5 5
I
− ∆ − + − =
∆ −
−

2 2
15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) 9.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + 1 = 0 .
HD :
a) M(3; 5) I
′
→ − − + + = − −
∆ ∩ →
′
∈ ∆ ≠ − ⇒ ∆ ≡ − + =
−
Đ
a
a
33 1 9 13
M ( ; ),(d):x 2y 7 0,tđiểm H( ; )
5 5 5 5
4 15
b) + K= (a) K( ; )
7 7
+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Đ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0
c) + I(1; 2)
′ ′ ′
→ − ⇒ + − =
Đ
2 2
a
9 8 9 8
I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + ) (y ) 9
5 5 5 5

I
− ∆ − + − + + =
∆
′

=
′
→

′
= −

2 2
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
x x
HD : Ta có : M(x;y) M (
y y
′

=
⇒

′
= −

′
− →

g
Đ
Ox
x x
1) (2)
y y
Thay vào (2) : M(2; 3) M (2;3)
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −
′ ′ ′ ′
∈ + − + + = ⇔ + − − + =
′ ′ ′ ′ ′ ′
⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =
g
g
2 2 2 2
2 2 2 2
M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .
M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0
(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3
−
′ ′
 
= =
′
→ ⇒
 
′ ′
= − = −
 

′ ′ ′ ′ ′
∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
′ ′ ′
∈ +
′
→ +
Đ
Oy
x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vậy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0 I
+ − −
′ ′
 
= − = −
′
→ ⇒
 
′ ′
= =
 
′ ′ ′ ′ ′

∈ + − − ⇔ − + − − ⇔ +
2 2
Oy
Đ
Oy
2 2 2 2 2
18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x
I
− −
′ ′ ′ ′
⇔ ∈ + − −
′
→ + − −
2
2 2
Đ
Oy
2 2
y 4y 5 = 0
M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0
Vậy : (C) (C ) : x y 4y 5 = 0I
- 13 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
− − ∆ − + + − − +
−

2 2
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
′ ′
∆ ∆ =
+ ≠
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = − − ⇒ =
′
⇒
uuuuur uuuuur
r r
a a
2 2
Đ
a
c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0
Gọi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x

I
′ ′
′ + +
 
− = = +

′
⇒ ∀ ∈ ∈
 
′ ′
− = = +
 
′ ′
+ + + + + +
⇔ + + = ⇔ + + =
−
⇔ + = − ⇔ =
¡
2 2
x x y y
x At x x At
( t ) . Gọi I là trung điểm của MM nên I( ; ) (a)
y y Bt y y Bt
2 2
x x y y x x At y y Bt
A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0
2 2 2 2
2(Ax + By + C)
(A B )t 2(Ax + By + C) t
A
+


′ ′
⇒ = − = −



 + +
 
− −
′ ′
= − = − + +
 
 
⇔
 
− −
 
′ ′
= + = + −
 
 
′
− → −
2 2
2 2 2 2
Đ
a
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
A B A B
4(2x y 3) 3 4 12
x x x x y
5 5 5 5
Áp dụng kết quả trên ta có :

2(2x y 3) 4 3 6
y y y y y
5 5 5 5
4 7
b) M(4; 1) M ( ;
5
I
′
∆ → ∆ + − =
′
→ − + − =
Đ
a
Đ
2 2
a
)
5
c) :3x y 17 0
d) (C) (C ):(x 1) (y 4) 2
I
I
20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thành ( ) .
′
∆ − + ∆ − −
′
∆ ∆
Giải
1 5

Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
5 1
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
−
′ ′
≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆
−
′
∆ ∆
1
2
1 2
x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|
Từ đó suy ra (a) :
x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ): x y 1 0

+ − =
− + − −
= ⇔

− − =
+

∆ + − = ∆ − − =
∈
a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :

1. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
2. Những đường tròn nào biến thành chính nó ?
HD :
1. Tam giác có 1 đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đ
∈
− + − =
′
→ + + −
2 2
2
ối xứng qua trục a .
2. Đường tròn có tâm a .
22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.
PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2 =
′ ′ ′
∆ ∆
′ ′ ′
− −
2
) 4
23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .

′ ′
− ĐS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)
- 14 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .

g
g
ĐS :
Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
Ngũ giác đều co
g
ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
′
∆
′
d
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
′
′
≡
′
′ ′
∈
d

B. B là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .
′ ′ ′

⇒
′ ′ ′
⇒ ≡
g
g
g
A đúng . Vì AB < AC mà AB = AB nên AB < AC B ở trên cạnh AC .
1
B sai . Vì giả thiết bài toán không đủ khẳng đònh AB = AC.
2
C đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C .

′ ′ ′
→ →
g
a b
Đ Đ
a b
D đúng . Vì Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đ và Đ :
A B CI I
∈
∆
∆
. Khẳng đònh nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
B. Tứ giác OABC nội tiếp .
C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B
⇒

⇒ ⇒ ⇒ ∈
g
g
1 2
HD : A. Không sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .

∆

⇒ ⇒ = = ⇒ ∆


HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC
AB AB BC ABC đều .
BC = BA
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ

µ
µ
∆ = ∆
= = = =
o
o o o o o o o
28 Cho ABC có A 110 . Tính B và C để ABC
có trục đối xứng .
A. B = 50 và C 20 B. B = 45 và C 25 C. B = 40 và C 30 D. B = C 35


µ
µ
µ
µ
o o
o o o
o
HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :
180 A 180 110
B C 35
2 2
∆ ∆
= > ⇒ ∆
− −
= = = =

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .

ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .

- 15 -
Ch¬ng 1 phÐp
biÕn h×nh
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
∆ ∆
31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?
A. Hình thoi B. Hình vuông C. đều D. vuông cân .

∆
ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .
32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông B. Hình thoi C. Hình tròn D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn C. Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng .
33 Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ?
A. Hình bình hà
∆ ∆
nh B. đều C. cân D. Hình thoi .
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng .
34 Cho hai hình vuô
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′
∩
ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .
Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .

µ
µ
′ ′
= =
′

′ ′
⇒ ∆ ∆ ⇒ ⇒ →

′

o
Đ
AE
Ta có : AB = AB , B B 90 ,AE chung .
EB = EB
ABE = AB F B B
biết AB = AB
I

·
·
·
′

′
⇒ →

′


′
′ ′
= = −
′ ′ ′ ′
⇒ → ⇒ →
o
Đ
AE
Đ Đ
A AE
EC = EC
Mặt khác : C C
AC = AC = a 2
BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90
2
D D ABCD AB C D
I
I I


35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .
∆

¶
¶
»
¶
¶ ¶

¶
⊥ ⇒
⇒ ∆ ⇒
→ →
1 2
1 1 1 2
Đ Đ
BC BC
HD :
Ta có : A = C (cùng chắn cung BK )
A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C
CHK cân K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .
Ta có : K H ; B B ;I I →
∆ → ∆
Đ
BC
Đ
BC
C C
Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC
I
I
∆
∆
′
∆
a
36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng không đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .

b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác đònh G là ảnh của G qua phép đối xứng Đ
a
.
a
a
a
a
Giải
a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .
B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ :G G sao cho a là trung trực
∈ ⇒ =
′ ′ ′ ′
∉ → →
′
∉ →
g
g I I
I của GG .
′
- 16 -