Tích phân lượng giác

TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
- MỤC TỬ -

Trong bài này tích phân bất ñịnh (họ nguyên
hàm) và tích phân xác ñịnh ñược gọi chung là
tích phân.
1. Bảng nguyên hàm một số hàm lượng giác
2
2
2
2
(1) cosxdx sin x C; (2) sin xdx cosx C;
1
(3) dx (1 tan x)dx tanx C;
cos x
1
(4) dx (1 cot x)dx cot x C.
sin x
= + = − +
= + = +
= + = − +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Ta còn d
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c

(5) tan xdx ln cosx C;
(6) cot xdx ln sin x C.
= − +
= +
∫
∫

2. Tính tích phân hàm lượng giác
a) Sử dụng ñịnh nghĩa, tính chất và bảng
nguyên hàm
VD1.
Tìm các h
ọ
nguyên hàm
4 4
2 2
cos2x.dx
I ; J (cos x sin x)dx.
sin x.cos x
= = −
∫ ∫

HD.
2 2
2 2 2 2
cos2x.dx (cos x sin x).dx
I
sin x.cos x sin x.cos x
−
= =

∫ ∫

2 2
1 1
( )dx tanx cot x C.
sin x cos x
= − = − − +
∫

4 4 2 2
J (cos x sin x)dx (cos x sin x)dx
1 1
cos2x.d(2x) sin2x C.
2 2
= − = −
= = +
∫ ∫
∫

VD2.
Tìm h
ọ
các nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố

f(x) sin x
= v
ớ

i
x ( ; ).
∈ −∞ +∞

HD.
G
ọ
i
F(x) f(x)dx sin x dx.
= =
∫ ∫
V
ớ
i
x 0
≥

thì
F(x) sin xdx cosx C.
= = − +
∫
V
ớ
i x < 0 thì
F(x) sin( x)dx sin xdx cosx C'.
= − = − = +
∫ ∫

Ngh
ĩ

a là
cosx C khi x 0
F(x) .
cosx C' khi x 0
− + ≥

=

+ <

Do
F(x) f(x)dx
=
∫
v
ớ
i m
ọ
i
x ( ; )
∈ −∞ +∞
nên
F'(x) f(x), x ,
= ∀ ∈
ℝ
d
ẫ
n t
ớ
i F(x) ph

ả
i liên t
ụ
c
trên
.
ℝ
Nh
ư
v
ậ
y
x 0 x 0
F(0) lim F(x) lim F(x)
+ −
→ →
= =
hay
1 C 1 C' C' C 2.
− + = + ⇔ = −
Tóm l
ạ
i h
ọ
các
nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố

ñ
ã cho là
cosx C khi x 0
F(x) ,
cosx C 2 khi x 0
− + ≥

=

+ − <


ở

ñ
ó C là
h
ằ
ng s
ố
tu
ỳ
ý.
V
ớ
i tích phân d
ạ
ng
2n 2m
cos ax.sin bxdx

∫
ta có
th
ể dùng công thức hạ bậc, với các tích phân
sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx, cosax.cosb
x.dx,
∫ ∫ ∫
ta áp dụng công thức biến tích thành tổng ñể ñưa
về tích phân quen thuộc hơn.
VD3. Tính
4 2
I (sin 3x cos x.cos3x)dx.
= +
∫

HD. Vận dụng công thức hạ bậc và biến tích
thành tổng ta biến ñổi tích phân I thành
3 cosx cos3x cos5x cos6x cos12x
( )dx
8 4 2 4 2 8
3x sinx sin3x sin5x sin6x sin12x
C.
8 4 6 20 12 96
+ + + − +
= + + + − + +
∫

Với các tích phân dạng
dx dx
;

1 sinx 1 cosx
± ±
∫ ∫
ta
lưu ý
2 2
x x
1 cos 2.cos ; 1 cosx 2.sin ;
2 2
+ = − =
2 2
x x
1 sin x 2sin ( ); 1 sinx 2sin ( ).
2 4 2 4
π π
+ = + − = −
Trong một số trường hợp, với tích phân
u
dx
v
∫
ta
có thể biến ñổi
u v'
a. w.
v v
= +
(Xem tập san YP2
số 4, tháng 4 năm 2009, trang 18).
b) Phương pháp ñổi biến

Lưu ý, với tích phân bất ñịnh, ở kết quả phải
cộng thêm hằng số C, và phải trở về biến ban
ñầu; với tích phân xác, ñịnh khi ñổi biến phải ñổi
cận. Nếu
f(x) g(t)
=
thì
f '(x)dx g'(t)dt.
=
Có
một số gợi ý khi tính các tích phân có dạng
f(sinx,cosx)dx,
∫
với hàm
f(u,v)
là hàm hữu tỉ
theo hai biến u và v như sau:
- Nói chung có thể hữu tỉ hoá tích phân nói trên
bằng phép ñổi biến
2
x 2t
t tan sin x ,
2
1 t
=
⇒
=
+

2

2 2
1 t 2dt
cosx , dx .
1 t 1 t

−
= =
+ +

- Nếu
f(sinx,cosx)
là hàm lẻ ñối với sinx thì
ñặt t = cosx.
- Nếu
f(sinx,cosx)
là hàm lẻ ñối với cosx thì
ñặt t = sinx.
- Nếu
f(sinx,cosx)
là hàm chẵn ñối với cả sinx
và cosx thì ñặt t = tanx.
VD4. Tính
3
2 4
sinx sin x dx
a) dx. b) .
cos2x
cos xsin x

−

∫ ∫

HD. a) ðặt t = cosx, thu ñược kết quả
3
sinx sin x 1 1 2cosx 1
dx cosx ln C.
cos2x 2
4 2 2cosx 1
− −
=− − +
+
∫
b)
ðặ
t t = tanx, thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả

3
2 4
dx 1
cot x 2cot x tan x C.
3
cos xsin x
= − − + +
∫

VD5.
Tính
6
0
sin xdx
I .
sin x 3 cosx
π
=
+
∫

HD.
Các b
ạ
n xem t
ậ
p san
YP2
s
ố
4, tháng 4
n
ă
m 2009, trang 18, s
ẽ
th
ấ
y bài toán này có ít
nhất 3 cách làm. Ở ñây ta biến ñổi

6
0
sin xdx
I .
2.sin(x )
3
π
=
π
+
∫

ðặ
t
dx dt,
3
t x
π
= + ⇒ =
khi
x = 0 thì
,
3
t
π
= khi x
6
π
=
thì

.
2
t
π
= Vậy
2 2
3 3
sin(t )dt
1 cost
3
I (1 3 )dt
2.sin t 4 sint
π π
π π
π
−
= = − =
∫ ∫

1 3 3
2
(t 3ln sin t ) ln .
4 24 4 2
3
π
π
= − = +
π

c) Tích phân từng phần

Ta ghi nh
ớ
hai công th
ứ
c:
udv uv vdu,
= −
∫ ∫

b b
a a
b
udv (uv) vdu.
a
= −
∫ ∫
N
ế
u P(x) là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c
thì v
ớ
i các tích phân
P(x)sin(ax b)dx;
+

∫

P(x)cos(ax b)dx
+
∫
ta ch
ọ
n u = P(x), dv là ph
ầ
n
còn l
ạ
i. V
ớ
i nh
ữ
ng tích phân
ax
e sin(bx c)dx;
+
∫

ax
e cos(bx c)dx; cos(lnx)dx; sin(lnx)dx
+
∫ ∫ ∫
ta
ch
ọ
n u, dv tu

ỳ
ý (tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n hai l
ầ
n v
ớ
i
cùng m
ộ
t ki
ể
u ch
ọ
n u, v). Trong nhi
ề
u tr
ườ
ng
h
ợ
p ta ph
ả
i áp d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp tích phân t

ừ
ng
ph
ầ
n nhi
ề
u l
ầ
n ho
ặ
c ph
ố
i h
ợ
p ph
ươ
ng pháp này
v
ớ
i ph
ươ
ng pháp
ñổ
i bi
ế
n. Nói chung khi áp
d
ụ
ng ph
ươ

ng pháp tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n ta ph
ả
i
ch
ọ
n u, v h
ợ
p lí sao cho
vdu
∫
ph
ả
i
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n
udv.
∫
Ta xét ví d
ụ
sau
ñ
ây:

VD6.
Tính
2 4
x
0 0
xdx
I e cosxdx; J .
1 cos2x

π π
= =
+
∫ ∫

HD.
a)
ðể
tính I ta ch
ọ
n
x
u e ,v sin x
= =
x
du e dx,
⇒ =
dv cosxdx.
=
Có
2

0
I udv
π
= =
∫

2 2
x x
0 0
(uv) vdu (e sin x) e sinxdx
2 2
0 0
π π
π π
= − = − =
∫ ∫

2
x
2
0
e e sinxdx.
π
π
= −
∫
V
ớ
i
2

x
1
0
I e sin xdx
π
=
∫
ch
ọ
n
x x
1 1 1 1
u e ,v cosx du e dx,dv sinxdx,
= = − ⇒ = =

thì
2
x x
1
0
I ( e cosx) e cosxdx 1 I.
2
0
π
π
= − + = +
∫
Do
ñ
ó

2 2
1
I e (1 I) I (e 1).
2
π π
= − + ⇒ = −

b)
ðặ
t
2
u x
du dx
,
dx dx
1
dv
v tanx
1 cos2x
2
2cos x
=

=

 
⇒
 
= =
=

 
+



ta có
4
0
x 1
J ( tanx) tanxdx ln cosx
4 4
2 2 8
0 0
π
π π
π
= − = +
∫

2
ln .
8 2
π
= +
d) Sử dụng tích phân liên kết
Ta quay tr
ở
l
ạ
i ví d

ụ
5, tính tích phân
6
0
sin xdx
I .
sin x 3 cosx
π
=
+
∫

ðặ
t
6
0
cosxdx
J .
sin x 3 cosx
π
=
+
∫

6 6
0 0
d(sinx 3cosx)
I 3J dx J 3I
6
sinx 3cosx

;
π π
π +
⇒ + = = − =
+
∫ ∫

2 3 3
ln sinx 3cosx ln I ln .
6
24 4 2
3
0
π
π
= + = ⇒ = +

3. Tính tích phân nhờ ñưa về tích phân lượng
giác
V
ớ
i f(u, v) là hàm h
ữ
u t
ỉ
theo bi
ế
n u, v thì m
ộ
t s

ố

tích phân sau có th
ể

ñượ
c tính khi
ñổ
i bi
ế
n và
ñư
a v
ề
tích phân l
ượ
ng giác.
- Tích phân
2 2
f(x, a x )dx,
−
∫
ta ñặt
x asint
=

(với
t ,
2 2
π π

− ≤ ≤
khi ñó
2 2 2 2
a x a cos t
− = =

a . cost a .cost),
= = hoặc ñặt
x acost
=
(với
0 t ,
≤ ≤ π
khi ñ
ó
2 2 2 2
a x a sin t
− = =

a . sint a .sint).
= =
- Tích phân
2 2
f(x, x a )dx,
−
∫
ta
ñặ
t
a

x
sint
=
ho
ặ
c
ñặ
t
a
x .
cost
=
- Tích phân
2 2
f(x, a x )dx,
+
∫
ta
ñặ
t
x a tant
=

(v
ớ
i
t ),
2 2
π π
− < < ho

ặ
c
ñặ
t
x a cott
=
(v
ớ
i
0 t ).
< < π

VD7.
Tính
1
2
2
1
I x 1 x dx.
−
= −
∫

HD. ðặt
x sin t, t ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
thì dx = costdt và
2 2 2

1 x 1 sin t cos t cost cost
− = − = = =
(vì t
2 2
π π
− ≤ ≤
nên
cost 0),
≥
khi
x 1
= −
thì
t ,
2
π
= −
khi
1
x
2
=
thì
t .
6
π
=
Nh
ư
v

ậ
y ta có
6
2 3
2
1 3
6
I cos tsin tdt cos t .
3 8
2
π
π
−
π
= = − = −
π
−
∫

Bài tập tham khảo
Tính các tích phân sau
ñ
ây:
1) sin xcos2xcos5xdx.
∫

x x 2
2) (e sin e x 1)dx.
− −
∫

sin x
0
3) e cosxdx.
π
∫

2
0
xsin xdx
4) .
9 4cos x
π
+
∫

2
2
x
2
x sin x dx
5) .
1 2
π
π
−
+
∫

x 3

x
6) (e sin cos(lnx) tan x tan x)dx.
2
+ + +
∫

3 3
2
2
dx
7) .
x 6x 10
+
− +
∫