Hỗ trợ toán đại số 10 học kỳ 1

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

Hỗ trợ học toán
Đại số 10,học kỳ 1

Mệnh đề
1/ Cho mệnh đề “A”. A có hai giá trị. A : đúng hoặc A sai
2/ Phủ định mệnh đề. Cho mệnh đề “A” , phủ định mệnh đề “A” là mệnh đề “không A”, ký hiệu: “
A
”
A: đúng thì “
A
” sai. A: sai thì “
A
” đúng .
3/ Hợp và giao hai mệnh đề.
a/ Cho hai mệnh đề A, B. Hợp của hai mệnh đề A, B, ký hiệu. A ∨ B
A ∨ B là đúng khi ít nhất một mệnh đề là đúng và sai khi cả hai cùng sai
b/ Cho hai mệnh đề A, B. Giao của hai mệnh đề A, B, ký hiu. A ∧ B
A ∧ B là đúng cả hai mệnh đề là đúng và sai khi ít nhất mệnh đề là sai
Ta lưu ý:
(
)
(
)
BABA ∧≡∨
v
(
)
(
)

BABA ∨≡∧

Ví dụ: Cho hai số thực: a, b.
(
)
0. =ba
≡
(
)
aba =∨= 0
và
(
)
0. ≠ba
≡
(
)
00 ≠∧≠ ba

4/ Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
a/ Cho hai mệnh đề A, B. Mệnh đề “Nếu A thì B” gọi là mệnh đề kéo theo. Viết là :A ⇒ B
Đọc là “A kéo theo B” hay “A suy ra B”
Mệnh đề “Nếu A thì B” là sai khi A: đúng và B: sai. Các trường hợp còn lại là đúng
b/ Cho mệnh đề “A ⇒ B”. Mệnh đề “B ⇒ A” gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho
c/ Mệnh đề tương đương:
(
)
(
)
(

)
BAABBA ⇔≡⇒∧⇒
5/ Khái niệm mệnh đề chứa biến. Một câu mà tính đúng sai phụ thuộc vào giá chưa biết ( biến) gọi là
mệnh đề chưa biến.
Ví dụ.Với x là số thức thỏa: “2x – 4 > 0 ”
Là mệnh đề đúng nếu x là số lớn hơn 2 và là mệnh đề sai nếu x là số nhỏ hơn hoặc bằng 2
6/ Các ký hiệu ∀ và ∃
a/ ký hiệu: ∀ : đọc là với mọi ( bất kỳ )
b/ Ký hiệu: ∃ : đọc là tồn tại ( có ít nhất)
c/ Ta có:
∃
≡
∀
,hẳn nhiên ta cũng có
∃

≡∀

Ví dụ.
∀
x
∈
R,
(
)
01
2
>−x
là mệnh đề sai vì
∃

x = 1
∈
R có
(
)
011
2
>−
là sai
7/ Định lý và chứng minh định lý
a/ Trong toán học, một định lý thường được viết dưới dạng mệnh đề “Nếu A thì B” trong đó A,
B là hai mệnh đề đúng
b/ Chứng minh một định lý là dùng lý luận và những kiến thức đã biết để khẳng định mệnh đề
trên là một mệnh đề đúng
8/ Điều kiện cần , điều kiện đủ.
Trong định lý “Nếu A thì B” thì B là điều kiện cần để có A (
B
thì
A
) và A là điều kiện đủ để
có A ( có thể thay A bằng mệnh đề khác thì dẫn có B)
9/ Định lý đảo, điều kiện cần và đủ
Xét định lý “Nếu A thì B” . Nếu mệnh đề đảo “Nếu B thì A” cũng là mệnh đề đúng thì
mệnh đề “Nếu B thì A” gọi là định lý đảo của định lý “Nếu A thì B” . Ta viết “A
⇔
B”
B là điều cần và đủ để có A. Hiển nhiên ta cũng viết được A là điều cần và đủ để có B
Bài tập có giải
Bi 1/ Điền vào Ô trống các từ Đ(đúng) và S( sai)
a/

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
A

A

Đ
S
b/
A B
A
∨
B A
∧
B
Đ Đ
Đ S
S Đ
S S

c/
A B
A⇒B B⇒A (A⇒B)
∧
(B⇒A)
≡
A
⇔
B
Đ Đ
Đ S

S Đ
S S

Bài 2/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a/
∃
x
∈
Q :
014
2
=−
x
là m
ệ
nh
đề

đ
úng vì
01
2
1
4
2
=−








đ
úng
b/ ∃x∈Z :
014
2
=−
x
là m
ệ
nh
đề
sai vì ch
ỉ
có hai gi tr
ị

Z∉±
2
1
làm cho
014
2
=−
x
đúng
Bài 3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a/ ∀n∈

*
N
,
32 +
n
là số nguyên tố là mệnh đề sai vì
3532
5
=+
chia hết cho 5
b/ ∀x∈R,
032
2
>+−
xx
là m
ệnh đề đúng vì
(
)
02132
2
2
>+−=+− xxx
luôn đúng
Bài 4/ Phủ định các mệnh đề sau
a/ ∃x∈R, x
2
– 4x + 5 = 0. Mệnh đề phủ định: ∀x∈R, x
2
– 4x + 5 ≠ 0

b/ a = 0 ∨ b = 0. Mệnh đề phủ định: a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
Bài 5/ Dùng bảng chân trị (Đ,S) để chứng minh:
(
)
(
)
ABBA ⇒≡⇒

A B
A⇒B
B

A

AB ⇒

Đ Đ
Đ S
S Đ
S S
Để chứng minh định lý: A ⇒
⇒⇒
⇒ B, ta có thể chứng minh
AB ⇒
, phép chứng minh này gọi là chứng
minh phản chứng
Bài 6/ Chứng minh mệnh đề “ Nếu hai số m, n là số tự nhiên lẻ thì m
2
+ n
2

là số chẵn”. Xét mệnh đề
đảo. Mệnh đề đảo có đúng không?
Giải.
Giả sử: m = 2k + 1 v n = 2t + 1 (m,t∈ N )
Khi đó: m
2
+ n
2
= (2k + 1)
2
+ (2t + 1)
2
= 2(2k
2
+ 2t
2
+ 2k + 2 t+ 1) là số chẵn. Vậy mệnh đề đã cho là
mệnh đề đúng
Vì: 20 = 4
2
+ 2
2
nên mệnh đề đảo là mệnh đề sai
Bài 7/ Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau.
a/
∀x∈ R, x > x
2
Trả lời: ∃∈R, x ≤ x
2

b/ ∀n∈ N, n
2
+ 1 không chia hết cho 3 Trả lời: ∃∈N, n
2
+ 1 chia hết cho 3
Bài 8/ Phát biều bằng lời các mệnh đề sau.Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của chúng
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
a/ ∃ x∈R : x
2
= –1
Trả lời. Có ít nhất một số thực x sao x
2
= –1. Là mệnh đề sai
Mệnh đề phủ định: ∀x∈ R: x
2
≠ –1
b/ ∀x∈ R , x
2
–2x + 2 ≠ 0
Trả lời: Với mọi số thức x , ta có: x
2
–2x + 2 ≠ 0. Là mệnh đề đúng
Mệnh đề phủ định: ∀x∈ R: x
2
–2x + 2 = 0
Bài 9/ Lập bảng chân trị các cặp mệnh đề sau và có nhận xét.
a/
B
A
∨

v
B
A
∧
b/
B
A
∧
v
B
A
∨






TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TÓAN TRÊN TẬP HỢP
1/ Khái niệm tập hợp. Khái niệm tập hợp ta đã được làm quen ở lớp dưới
Ví dụ.
• Tập hợp các học sinh lớp 10A là gồm tất cả học sinh có trong danh sách lớp 10A
• Tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10
• Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 5
Thông thường, người ta cho một tập hợp bằng hai cách
a/ Liệt kê các phần tử của tập hợp
Ví dụ. Tập X gồm các số thực a , b , c. Ta viết: X = {a ; b ; c}. a , b , c gọi là các phần tử của X
• a là phần tử của tập hợp A, ta viết: a ∈ A; Đọc là a thuộc A
• a không phải là phần tử của tập hợp A, ta viết: a ∉ A; Đọc là a không thuộc A
b/ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đã cho

Ví dụ. Tập hợp A là các số nguyên dương nhỏ hơn 5. Khi đó ta có: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.
c/ Tập hợp không có phần tử nào, gọi là tập rỗng ( tập hợp rỗng), ký hiệu: {} hay ∅
2/ Tập hợp con và tập hợp bằng nhau
a/ Tập con. Cho hai tập A , B. Tập A gọi là tập con của tập B và ký hiệu A ⊂ B. Nếu mọi phần tử
của A đều là phần tử của B. A ⊂ B ⇔ ( ∀x, x ∈ A ⇒ x∈ B)
Ta lưu ý : Ta luôn có : A ⊂ A
b/ Tập hợp bằng nhau. Cho hai tập hợp A, B. Hai tập A, B được gọi là bằng nhau. Ta viết: A = B
A = B ⇔ ( A ⊂ B và B ⊂ A )
c/ Nhắc lại các tập hợp đã học
• Tập các số tự nhiên: Gồm các số nguyên dương và số 0. Ký hiệu: N
• Tập các số nguyên dương: Gồm các số nguyên dương . Ký hiệu: N
*

• Tập số nguyên: gồm các số: ± 1 ; ± 2 ; ±3 ; ±4 ; ……… Ký hiệu: Z
• Tập các số hửu tỷ: Gồm các số viết được dưới dạng phân số, tử số và mẫu số là những số nguyên
và mẫu số là số khác không. Ký hiệu: Q . “
( )






≠∈== 0,,/ qZqp
q
p
xxQ ”
• Tập số thực: Tất cảc các số mà ta đã học, Ký hiệu: R
3/ Biểu đồ Ven. Đường cong kín, chỉ các phần tử của tập hợp đã cho nằm trong đó
4/ Các tập con thường gặp của tập số thực R

• R = (–∞ ; + ∞)
• Khoảng a ; b. Viết là: (a ; b).
(
)
{
}
bxaRxba <<∈= /;

• Khoảng – ∞ ; a. Viết là : ( –∞ ; a).
(
)
{
}
axRxa <∈=∞− /;
• Khoảng a ; + ∞ . Viết là : ( a ; + ∞ ).
(
)
{
}
axRxa >∈=∞+ /;

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
• Đoạn a ; b. Viết là: [a ; b].
[
]
{
}
bxaRxba ≤≤∈= /;
• Nửa khoảng a ; b. Viết là: (a ; b].
(

]
{
}
bxaRxba ≤<∈= /;

• Nửa khoảng a ; b. Viết là: [a ; b).
[
)
{
}
bxaRxba <≤∈= /;
• Nửa khoảng a ; +∞ . Viết là: [a ; +∞ ).
[
)
{
}
axRxa ≥∈=∞+ /;
• Nửa khoảng –∞ ; a. Viết là: ( –∞ ; a].
(
]
{
}
axRxa ≤∈=∞− /;
5/ Các phép toán trên tập hợp
a/ Phép hợp. Cho hai tập A và B. Hợp của hai tập A, B. Ký hiệu: A ∪ B gồm tất cả các phần tử
của A và của B. Những phần tử giống nhau chỉ ghi một lần A ∪ B = {x / x∈A hoặc x ∈B}
b/ Phép giao. Cho hai tập A và B. Giao của hai tập A, B. Ký hiệu: A ∩ B gồm các phần tử đồng
thời của A và của B ( các phần tử giống nhau của A và B) A ∩ B = {x / x∈A v x ∈B}
a/ Phép hiệu. Cho hai tập A và B. Hiệu của hai tập A, B ( theo thứ tự đó).
Ký hiệu: A \ B, gồm các phần tử của A và không phải là phần tử của B.

A \ B = {x / x∈A v x ∉B}
* Cho A ⊂ E. Phần b của A trong E. Ký hiệu: C
E
A. C
E
A = E \ A
Ví dụ 1/ Viết lại tập hợp đã cho theo cch liệt kê các phần tử
a/ A là tập hợp các nghiệm của phương trình: 4x
4
–17x
2
+ 4 = 0
b/ B tập các số nguyên tố nhỏ hơn 30
Giải
a/






−−= 2;
2
1
;
2
1
;2A

b/ B = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29}

Ví dụ 2
/ Cho t
ậ
p X = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}. Hãy tìm các t
ậ
p con c
ủ
a X có
đ
úng hai ph
ầ
n t
ử

Gi
ả
i
Ta hãy
đế
m có bao nhiêu t
ậ
p con nh
ư
th
ế

•
Ứ
ng v
ớ

i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X, có 4 cách ghép b
ố
n ph
ầ
n t
ử
còn l
ạ
i
•

Do {a ; b} và {b ; a} ch
ỉ
có m
ộ
t t
ậ
p nên ta có t
ấ
t c
ả

10
2
4.5
=
t
ậ
p con 2 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X
Các t
ậ
p con hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X là. “Nh
ớ

đế
m
đủ
10 và không l
ậ
p l

ạ
i”
Ta l
ư
u ý m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
m sau
•

Cho t
ậ
p X h
ữ
u h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
. Ký hi
ệ
u:
X
là s
ố
ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a X
•

Cho hai t
ậ
p A, B. Dùng bi
ể
u
đồ
Ven ta có cc k
ế
t qu
ả
sau:
a/
BABABA ∩−+=∪
b/
|
A \ B
|
=
|
A
|
–

|
A
∩
B
|

c/
|
A
|
=
|
B
|
+
|
A \ B
|
d/
|
A
|
=
|
A \ B
|
+
|
A
∩

B
|

Ví dụ 3
/ L
ớ
p 10A có 25 b
ạ
n gi
ỏ
i toán, 20 b
ạ
n gi
ỏ
i v
ă
n và 10 b
ạ
n gi
ỏ
i c
ả
v
ă
n l
ẫ
n toán.
H
ỏ
i l

ớ
p 10 A có t
ấ
t c
ả
m
ấ
y h
ọ
c sinh.Bi
ế
t t
ấ
t c
ả
các b
ạ
n
đề
u gi
ỏ
i v
ă
n ho
ặ
c toán
Gi
ả
i
G

ọ
i A là s
ố
h
ọ
c sinh gi
ỏ
i toán, B là s
ố
h
ọ
c sinh gi
ỏ
i v
ă
n . Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:
35102025 =−+=∩−+=∪ BABABA
Ví dụ 4
/ Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A, B có |A| = 11, |B| = 19 và |A∪B| = 25. Tính |A\B| , |B\A| , |A∩B|
Gi
ả
i

|A∩B| = |A| + |B| – |A∪B| = 11 + 19 –25 = 5
|A \ B| = |A| – |A ∩B| = 11 –5 = 6
|B \ A| = |B| – |A ∩B| = 19 –5 = 14
Ví dụ 5
/ Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A v
ớ
i:
a/ A = (–5 ; 3) và B = (0 ; 7) b/ A = [–1 ; 5) và B = (3 ; 8 ]
c/ A = [–4 ; 6] và B = [2 ; 9] d/ A = (–∞ ; 7] và B = (4 ; +∞ )
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
7
0
5
-3
83
5
-1
9
2
6
-4
4
7
Gi
ả
i

a
/ A = (–5 ; 3) và B = (0 ; 7). Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A
A∪B = (–3 ; 7) , A∩B = (0 ; 5)

A \ B =
(
]
0;3−
, B \ A =
[
)
7;5


b
/. Cho A = [–1 ; 5) và B = (3 ; 8 ].Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A
Gi
ả
i
A∪B =
[
]
8;1−
, A∩B =
(
)
5;3
,
A \ B =
[
]
3;1−
, B \ A =
[

]
8;5

c
/. Cho A = [–4 ; 6] và B = [2 ; 9].Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A
Gi
ả
i
A∪B =
[
]
9;4−
, A ∩ B = [2 ; 6]
A \ B =
[
)
2;4−
, B \ A =
(
]
9;6

d
/ Cho A = (–∞ ; 7] và B = (4 ; +∞ ). A∪B , A∩B , A \ B , B \ A
Gi
ả
i
A∪B = R, A ∩ B =
(
]

7;4

A \ B =
(
]
4;∞−
, B \ A =
(
)
∞+;7


Ví dụ 6
/ Cho hai t
ậ
p h
ợ
p không r
ỗ
ng A = (m –1 ; 4] và B = (–2 ; 2m + 2). Xác
đị
nh m
để

a/ A ∩ B ≠ ∅ b/ A ⊂ B c/ B ⊂ A d/ A ∩ B ⊂ ( –1 ; 3)
Gi
ả
i.
Đ
i

ề
u ki
ệ
n
để
A, B khác r
ỗ
ng:



−>+
<−
222
41
m
m
⇔



−>
<
2
5
m
m
⇔ –2 < m < 5
a/ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m –1 < 2m + 2 ⇔ m > –3 th
ỏ

a
đ
i
ề
u ki
ệ
n. V
ậ
y m∈ (–2 ; 5)
b/ A ⊂ B ⇔



>+
−≥−
422
21
m
m
⇔



>
−≥
1
1
m
m
⇔ m > 1. so l

ạ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đượ
c 1 < m < 5 .V
ậ
y: m∈ (1 ; 5)
c/ B⊂ A ⇔



≤+
−≤−
422
21
m
m
⇔



≤
−≤
1
1

m
m
⇔ m ≤ –1.So l
ạ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đượ
c –2 < m ≤ –1.V
ậ
y: m∈ (–2 ; –1]
d/ A ∩ B ⊂ ( –1 ; 3) ⇔



≤+
−≥−
322
11
m
m
⇔






≤
≥
2
1
0
m
m
⇔
2
1
0 ≤≤ m
. Thỏa điều kiện
Ví dụ 7/ Tính: A∪B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A. Với
a/ A =
(
)
2;∞−
và B =
[
)
∞+;1
b/ A =
[
]
2;4−
và B =
(
]
5;1

ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỒ
1/ Khái niệm hàm số.
a/ định nghĩa. Cho tập D ⊂ R và D ≠ ∅
Một hàm số f xác định trên D, là một quy tắc tương ứng.
Với mỗi x ∈ D với duy nhất một số y ∈R
y gọi là giá trị của hàm số f tại x. D gọi là tập xác định, x gọi là biến số
Viết tóm tắt. Cho tập không rỗng D. y = f(x) là hàm số với tập xác định D, khi:
∀x∈D , ∃! y∈ R : y = f(x)
Ví dụ. Cho D = {–2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4} và qui tắc: y = f(x) = 2x –1
Ta có : f(–2 ) = 2(–2) –1 = –5 , f(–1 ) = 2(–1) –1 = –3 , f(0 ) = 2(0) –1 = –1
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
f(1 ) = 2(1) –1 = 1 , f(2 ) = 2(2) –1 = 3 , f(4 ) = 2(4) –1 = 7
b/ Hàm số cho bằng biểu thức.Thường người ta cho hàm số y = f(x), trong đó f(x) là biểu thức chứa
x (biến). Nếu tập xác định người ta chưa cho thì tập xác định là tập các giá trị của x sao cho f(x) có
nghĩa
c/ Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Tập:
(
)
(
)
{
}
Dx,xfy/RyDf ∈∀=∈=
gọi là tập giá trị của
hàm số đã cho. “ tính tất các giá trị của x ∈ D, ta được tập f(D) ”
Ví dụ. 1/ Hàm số y = f(x) = 2x –5 có tập xác định D = R

2/ Hàm số
( )
2
13
2
−
+−
==
x
xx
xfy
có tập xác định D = R \ {2}
3/ Hàm số
(
)
453 +−== xxxfy
. Điều kiện có nghĩa x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4
Tập xác định D = [–4 ; + ∞ )
• Đôi khi một hàm số được cho bởi nhiều biểu thức kèm theo điều kiện của nó
Ví dụ .Hàm số
( )





≤≤−
<<−+−
−≤≤−+
==

824
2122
1373
xkhix
xkhix
xkhix
xfy
Khi đó hàm số có tập xác định D = [–3 ; 8]
f(–2 ) = 3(–2) +7 = 1 , f(1) = –2(1) +2 = 0 , f(7 ) = 7 – 4 = 3 , …
c/ Đồ thị hàm số. Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Trong mặt phẳng (Oxy), tập (C) gồm tất cả
các điểm M(x ; f(x) ) với x ∈ D, gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

(
)
(
)
(
)
00000
; xfyvàDxCyxM =∈⇔∈

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số ở ví dụ trên. Ta thực hiện ba bước
• Vẽ đường thẳng y = 2x + 7, xóa đi phần có hoành độ x < –3 và phần có hoành độ x > –1
• Vẽ đường thẳng y = –2x + 2, xóa đi phần có hoành độ x < –1 và phần có hoành độ x > 2
• Vẽ đường thẳng y = x – 4 , xóa đi phần có hoành độ x < 2 và phần có hoành độ x > 8
Chú ý.
• Các điểm A(– 2 ; 1) , B(1 ; 0), C(7 ; 3) thuộc đồ thị đã cho
• Các điểm M(–4 ; – 5) , N(0 ; 7) , P(6 ; 3) không thuộc đồ thị, vì sao?
2/ Sự biến thiên của hàm số
a/ Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K ( K ⊂ D )
• Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu: ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
• Hm số f gọi là nghịch biến trên K nếu: ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) > f(x
2

)
b/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số
∀x
1
, x
2
∈ K v x
1
≠ x
2
Xét tỷ số:
(
)
(
)
12
12
xx
xfxf
−
−
( Ta có thể xét
(
)
(
)
21
21
xx
xfxf

−
−
)
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi
(
)
(
)
0
12
12
>
−
−
xx
xfxf

•

Hàm s
ố
y = f(x) ngh
ị
ch bi
ế
n trn K khi và ch
ỉ
khi
(
)

(
)
0
12
12
<
−
−
xx
xfxf

Ví d
ụ
. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
trên t
ậ
p ch
ỉ
ra
1/ y = f(x) = 2x –5 trên R 2/ y = x
2

– 4x + 2 trên kho
ả
ng ( –∞ ; 2 )
3/
3−= xy
trên t
ậ
p xác
đị
nh D c
ủ
a nó

3
/ Hàm s
ố
ch
ẵ
n , hàm s
ố
l
ẻ


a
/ Khi ni
ệ
m hàm s
ố
ch

ẵ
n, hàm s
ố
l
ẻ


Đị
nh ngh
ĩ
a. Cho hàm s
ố
y = f(x) có t
ậ
p xác
đị
nh D
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
•

Hàm s
ố
y = f(x) là hàm s
ố
ch
ẵ
n n
ế
u ∀x ∈ D, ta có:
( ) ( )




=−
∈−
xfxf
Dx

•

Hàm s
ố
y = f(x) là hàm s
ố
l
ẻ
n
ế
u ∀x ∈ D, ta có:
( ) ( )



−=−
∈−
xfxf
Dx

b
/

Đị
nh lý
Đồ
th
ị
hàm s
ố
ch
ẵ
n nh
ậ
n tr
ụ
c tung làm tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng
Đồ
th
ị
hàm s
ố
l
ẻ
nh
ậ
n g

ố
c t
ọ
a
độ
làm tâm
đố
i x
ứ
ng
Bài tập

I
/ Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố

1/
( )
4
32
2
−
−
==

x
x
xfy
D = R \ { –2 ; 2}
2/
( )
4
32
2
+
−
==
x
x
xfy
D = R
3/
3322 ++−= xxxy
D = [–3 ; 2]
4/
2
3223 xxxy +−−−=

Điều kiện có nghĩa:



≥−
≥−−−
02

0223
x
xx
⇔
(
)





≤
≥−−
2
012
2
x
x
⇒ D = (–∞ ; 2]
5/
231
31
22
+−+−
−
=
xxx
x
y

0231
22
=+−+− xxx
⇔





=+−
=−
023
01
2
2
xx
x
⇔










=
=




=
−=
2
1
1
1
x
x
x
x
⇔ x = 1⇒ D = R \ {1}
6/
xx
x
y
−−
−
=
6
16
2


06 =−− xx
⇔
xx −= 6
⇔




=−−
≥
06
0
2
xx
x
⇔



−=∨=
≥
23
0
xx
x
⇔ x = 3
Điều kiện xác định:



≠−−
≥−
06
06
xx

x
⇔



≠
≤
3
6
x
x
⇒ D = ( –∞ ; 6] \ {3}
II/ Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
1/ y = f(x) = 3 – 4x trên R
2/ y = f(x) = –x
2
+ 6x + 1 trên khoảng (3 ; + ∞ )
3/
(
)
13 −+== xxfy
trên tập xác định của nó
III/ Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
1/
( )
1
34
2
3
−

−
==
x
xx
xfy
2/
( )
1
34
3
−
−
==
x
xx
xfy
3/
(
)
334 −−== xxxfy

4/
(
)
22 −++== xxxfy 5/
(
)
22 −−+== xxxfy
6/
( )

22
22
−−+
−++
==
xx
xx
xfy
7/
( )
22
22
−++
−−+
==
xx
xx
xfy
, Chú ý:
AA =−

Bài tập
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
1/ Tìm tập xác định của hàm số:
a/ f(x) =
4
3
32
2
−

−
−
x
x
x
b/ f(x)=
223 +−+ xx
c/ f(x) = x−4 + 3x
d/ f(x) =
1
4
5
++
−
x
x
e/ f(x) =
42
8362
−
−−+
x
xx
f/ f(x)= 1212 ++− xx
g/ f(x) =
421
8362
−+
−−+
x

xx
h/ f(x) =
421
8362
−−
−−+
x
xx
k/ f(x) =
4
3
32
2
+
−
−
x
x
x

Giải:
a/ f(x) =
4
3
32
2
−
−
−
x

x
x
.Điều kiện:



≠
−≠
⇔≠−−
4
1
043
2
x
x
xx . Tập xác định:
{
}
4;1\ −= RD

b/ Vì: f(x)=
223 +−+ xx
=
(
)
2
121222 −+=++−+ xxx
Điều kiện: x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ –2. Tập xác định:
[
);2 ∞+−=D

c/ f(x) =
x−4
+ 3x .Điều kiện: 4 –x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Tập xác định:
(
]
4;∞−=D

d/ f(x) = 1
4
5
++
−
x
x
. Điều kiện:



−≥
<
⇔



≥+
>−
1
4
01
04

x
x
x
x
⇔
41
<
≤
−
x

Tập xác định: D =
[
)
4;1−
e/ f(x) =
42
8362
−
−−+
x
xx
. Điều kiện:





>−
≥−

≥+
042
08
06
x
x
x
⇔





>
≤
−≥
2
8
6
x
x
x
⇔
82
≤
<
x

Tập xác định:
(

]
8;2=D

f/ f(x) = 1212 ++− xx . Không có điều kiện của x. Tập xác định: D = R
g/ f(x) =
421
8362
−+
−−+
x
xx
. Điều kiện:





≥−
≥−
≥+
042
08
06
x
x
x
⇔






≥
≤
−≥
2
8
6
x
x
x
⇔
82
≤
≤
x

Tập xác định:
[
]
8;2=D
h/ f(x) =
421
8362
−−
−−+
x
xx
.Điều kiện:








≠−−
≥−
≥−
≥+
0421
042
08
06
x
x
x
x
⇔









≠
≥

≤
−≥
2
5
2
8
6
x
x
x
x
⇔
82
≤
≤
x
v
2
5
≠x

T
ậ
p xác
đị
nh:
[ ]







=
2
5
\8;2D

k/ f(x) =
4
3
32
2
+
−
−
x
x
x
.Vì : x
2
–3x + 4 = 0 vô nghi
ệ
m nên : x
2
–3x + 4
≠
0 ∀x∈R
T
ậ

p xác
đị
nh: D = R
2
/ Xét tính
đồ
ng bi
ế
n , ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a hàm s
ố
y = f(x) trên kho
ả
ng K
∀ x
1
, x
2
∈ K, gi
ả
s
ử
: x
1

≠
x
2
. Tính:
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
. N
ế
u:

12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
> 0 kết luận hàm số y = f(x) đồng biến trên K
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

12
12
)()(
xx
xfxf

−
−
< 0 kết luận hàm số y = f(x) nghịch biến trên K
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) trên R
Giải:

∀
x
1
, x
2

∈
R , giả sử : x
1
≠ x
2
.
(
)
(
)
(
)
a
xx
xxa
xx
baxbax
xx

xfxf
=
−
−
=
−
+−+
=
−
−
12
12
12
12
12
12
)()(

 Nếu: a > 0 thì f(x) đồng biến trên R
 Nếu: a < 0 thì f(x) nghịch biến trn R
Xt sự biến thiên của hm số:
a/ f(x) = x
2
– 4x + 4 trên kho
ảng (2 ; +∞ )
b/ f(x) = 42
−x

c/ f(x) = –2x
2

+ 4x + 2 trên kho
ảng (1 ; +∞ )
d/ f(x) =
2
3
−
x
x
trong khoảng (–∞ ; 2)
Giải
a/ f(x) = x
2
– 4x + 4 trên khoảng (2 ; +∞ )
∀ x
1
, x
2
∈ (2 ; +∞ ) , giả sử : x
1
≠ x
2
.
(
)
(
)
=
−
+−−+−
=

−
−
12
1
2
12
2
2
12
12
4444)()(
xx
xxxx
xx
xfxf
(
)
(
)
(
)
12
121212
12
12
2
1
2
2
444

xx
xxxxxx
xx
xxxx
−
−−+−
=
−
+−−

= 4
21
−+ xx
Vì: 4
2
2
21
2
1
>+⇒



>
>
xx
x
x
hay: x
1

+ x
2
– 4 > 0. Vậy: Hàm số đã cho đ
ồng biến trên (2 ; +∞ )

b/ f(x) =
42 −x
Điều kiện: 2x – 4 ≥ 0 hay x ≥ 2 Tập xác định:
[
)
∞+= ;2D

∀ x
1
, x
2
∈
[
)
∞+;2 , giả sử : x
1
≠ x
2
.
12
12
12
12
4242
)()(

xx
xx
xx
xfxf
−
−−−
=
−
−
=
(
)
(
)
( )
( )
4242
4242
1212
12
−+−−
−−−
xxxx
xx
=
0
4242
2
21
>

−+− xx

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D
d/ f(x) =
2
3
−
x
x
trong khoảng (–∞ ; 2)
∀ x
1
, x
2
∈(–∞ ; 2) , giả sử : x
1

≠ x
2
.
12
1
1
2
2
12
12
2
3
2

3
)()(
xx
x
x
x
x
xx
xfxf
−
−
−
−
=
−
−
=
( )( )( )
(
)
( )( )( )
22
6
22
6363
1212
12
1212
112212
−−−

−−
=
−−−
+−−
xxxx
xx
xxxx
xxxxxx

=
( )( )
22
6
12
−−
−
xx

Vì:
( )( )
022
02
02
2
2
21
2
1
2
1

>−−
⇒



<−
<−
⇒



<
<
xx
x
x
x
x

⇒

0
)()(
12
12
<
−
−
xx
xfxf

V
ậ
y hàm s
ố

đ
ã cho ngh
ị
ch bi
ế
n trong kho
ả
ng (–∞ ; 2)
3
/ Xét tính ch
ẵ
n , l
ẻ
c
ủ
a hàm s
ố
. Cho hàm s
ố
y = f(x) có t
ậ
p xác
đị
nh: D

∀x∈D có –x∈D ( n
ế
u: –x ∉D , không xét tính ch
ẵ
n l
ẻ
)
Tính: f(–x). N
ế
u:

f(–x) = f(x) thì f g
ọ
i là hàm s
ố
ch
ẵ
n

f(–x) = –f(x) thì f g
ọ
i là hàm s
ố
l
ẻ

 Đồ
th
ị
hàm s

ố
ch
ẵ
n
đố
i x
ứ
ng qua tr
ụ
c tung và
đồ
th
ị
hàm s
ố
l
ẻ

đố
i x
ứ
ng qua g
ố
c t
ọ
a
độ

a/ f(x) = 3232 ++− xx b/ f(x) = 3232 +−− xx c/ f(x) = 2x
3

–3x + 1
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
d/ f(x) =
3232
3232
+−−
++−
xx
xx
e/ f(x) =
33
33
++−
+−−
xx
xx
f/ f(x) = 5x
3
–
x
2

g/ f(x) =
1
12
24
−
++−
x
xx

h/ f(x) =
1
12
2
24
−
++−
x
xx
i/ f(x) =
1
5
−x
x

Gi
ả
i:

a
/ f(x) = 3232 ++− xx . T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
∀x∈D
⇒
–x ∈ D. f(–x) = =+−+−− 3232 xx 3232 −++ xx = f(x)
V
ậ

y f là hàm s
ố
ch
ẵ
n

b
/ f(x) = 3232 +−− xx . T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
∀x∈D
⇒
–x ∈ D. f(–x) = =+−−−− 3232 xx 3232 −−+ xx =
(
)
3232 +−−− xx = –f(x)
V
ậ
y f l hm s
ố
l
ẻ


c
/ f(x) = 2x
3
–3x + 1. T

ậ
p xác
đị
nh. D = R
∀x∈D
⇒
–x ∈ D. f(–x) = 2(–x)
3
–3(–x) + 1 = –2x
3
+ 3x + 1 ≠ f(x)
= –(2x
3
–3x –1 ) ≠ –f(x). V
ậ
y f kh
ố
ng ch
ẵ
n và c
ũ
ng không l
ẻ


d
/ f(x) =
3232
3232
+−−

++−
xx
xx
. ⇔=+−− 03232 xx 3232 +=− xx ⇔



−−=−
+=−
3232
3232
xx
xx
⇔
x = 0
T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
0\RD =

∀x∈D
⇒
–x ∈ D. f(–x) =
3232
3232
+−−−−

+−+−−
xx
xx
=
3232
3232
−−+
−++
xx
xx
= –f(x) . V
ậ
y f là hàm s
ố
l
ẻ


e
/ f(x) =
33
33
++−
+−−
xx
xx
.




−=
=
⇔





=+
=−
⇔=++−
3
3
03
03
033
x
x
x
x
xx
( vô nghi
ệ
m)
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
∀x∈D

⇒
–x ∈ D. f(–x) =
33
33
+−+−−
+−−−−
xx
xx
=
33
33
−++
−−+
xx
xx
= –f(x) . V
ậ
y f là hàm s
ố
l
ẻ

4
/ Hàm s
ố
y = ax + b (a
≠
0)

T

ậ
p xác
đị
nh: D = R

Hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n khi a > 0 và luôn ngh
ị
ch bi
ế
n khi a < 0
 Đồ
th
ị
hàm s
ố
y = ax + b là m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng. (Tìm 2
đ
i

ể
m thu
ộ
c nó).
 Đườ
ng th
ẳ
ng y = b qua (0 ; b) và vuông góc tr
ụ
c tung ;
đườ
ng th
ẳ
ng x = a là
đườ
ng th
ẳ
ng qua
(a ; 0) và vuông góc tr
ụ
c hoành

Tìm
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(x
1
; y
1

) v B(x
2
; y
2
). Ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng: y = ax + b
Gi
ả
i h
ệ
:



=+
=+
22
11
ybax
ybax
tìm a, b

y = ax + b và y = ax + b
/
( b
≠
b

/
) có
đồ
th
ị
song song nhau




<+−−
≥++
=+=
0
0
baxkhibax
baxkhibax
baxy

5
/ Hàm s
ố
y = ax
2
+ bx + c ( a≠ 0)

T
ậ
p xác
đị

nh: D = R
 Đỉ
nh:






∆
−−
aa
b
I
4
;
2
và tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng:
a
b
x
2
−=

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
 a > 0 .
Hm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trong






−∞−
a
b
2
;
và
đồ
ng bi
ế
n trong







∞+− ;
2a
b

 a < 0 .
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trong






−∞−
a
b
2
;
v ngh
ị
ch bi
ế
n trong







∞+− ;
2a
b

Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố
y = –x
2
+ 4x –1
Gi
ả
i
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R

Đỉ
nh: I(2 ; 3) và tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng: x = 2
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trong
(
)
2;∞− và ngh
ị
ch bi
ế
n trong
(
)
∞+;2
B
ả
ng bi
ế
n thiên

x
∞
−
2
∞
+

3
y
∞
−

∞
−

Đ
i
ể
m
đặ
c bi
ệ
t: (0 ; –1) , (1 ; 2) , 3( ; –1) , (4 ; 2)

Graph Limited School Edition
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

6
/ Xác
đị
nh hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t, b
ậ
c hai khi
đủ
y
ế
u t
ố
xác
đị
nh nó
Ví dụ 1
/ Xác
đị
nh hàm s
ố
b
ậ
c hai y = ax
2

– 4x + c, bi
ế
t:
a/ Qua hai
đ
i
ể
m A(1 ; –2) v B(2 ; 3)
b/ Có
đỉ
nh I(–2 ; –1)
c/ Tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng là
đườ
ng th
ẳ
ng x = 2 và có tr
ụ
c hoành t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành

độ
x = 3
Gi
ả
i
a/
Đồ
th
ị
qua A, B nên:



+−=
+−=−
ca
ca
843
42
⇔



=+
=+
114
2
ca
ca
⇔




−=
=
1
3
c
a
.V
ậ
y: y = 3x
2
– 4x –1
b/ Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:
( )





−=+−−−
−=
−
−
1)2(42

2
2
4
2
ca
a ⇔



−=++
−=
184
1
ca
a
⇔



−=
−=
5
1
c
a

V
ậ
y: y = – x
2

– 4x –5 ( ta l
ư
u ý:
đỉ
nh I thu
ộ
c
đồ
th
ị
d
ễ
h
ơ
n
1
4
−=
∆
−
a
)
c/ Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:






+−=
=
−
−
ca
a
1290
2
2
4
⇔



=
=
3
1
c
a
.V
ậ
y: y = x
2
– 4x + 3
7
/ Tìm giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng y = f(x) và y = g(x)
Gi
ả
i.
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Xét h
ệ
:



=
=
)(
)(
xgy
xfy
⇒ f(x) = g(x) (1) . Gi
ả
i (1) tìm x (n
ế
u có). Thay vào m
ộ
t trong hai

hàm trên tìm y. K
ế
t lu
ậ
n t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m
Ví d
ụ
. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng y = x + 2 và
4
2

2
−−= x
x
y

Xét h
ệ
:





+=
−−=
2
4
2
2
xy
x
x
y
⇒ x
2
–2x – 4 = 2x + 4 ⇔ x
2
– 4x –8 = 0 ⇔ x = –2 ∨ x = 4
Hai giao
đ

i
ể
m A(–2 ; 0) , B(4 ; 6)

Phương trình
I
. Khái ni
ệ
m: M
ộ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng “ f(x) = g(x) ” .x : g
ọ
i là
ẩ
n
•

Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình: x
0
là nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho, n
ế
u :f(x
0
) = g(x
0
) là
m
ộ
t
đẳ
ng th
ứ
c
đ
úng. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình là tìm t
ậ
p nghi
ệ

m c
ủ
a nó
•
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:D
f
, D
g
l
ầ
n l
ượ
t là t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a f và g. D = D
f
∩D
g
g
ọ
i là

đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
ph
ươ
ng trình .
•

Cho 2 ph
ươ
ng trình (1) và(2). (2) g
ọ
i là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a (1) n
ế
u m
ọ
i nghi
ệ
m c

ủ
a (1)
đề
u là
nghi
ệ
m c
ủ
a (2),ta vi
ế
t : (1) ⇒ (2) . x
1
là nghi
ệ
m c
ủ
a (2) nh
ư
ng không ph
ả
i là nghi
ệ
m c
ủ
a
(1) thì x
1
g
ọ
i là nghi

ệ
m ngo
ạ
i lai c
ủ
a (1)
Ví d
ụ
:
(
)
2
94329432 −=+⇒−=+ xxxx

•

Cho 2 ph
ươ
ng trình (1) v (2). (1) và (2) g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng n
ế
u t
ậ
p nghi
ệ

m c
ủ
a chúng
b
ằ
ng nhau
Ví d
ụ
: (x
2
+ 1)(1 –3x
2
) = (x
2
+ 1)( 2x
2
+ 3x – 2) ⇔ 1 –3x
2
= 2x
2
+ 3x – 2
(x
2
–1)(1 –3x
2
) = (x
2
–1)( 2x
2
+ 3x – 2)

không
⇔ 1 –3x
2
= 2x
2
+ 3x – 2
•

Vài phép bi
ế
n
đổ
i t
ươ
ng
đươ
ng th
ườ
ng g
ặ
p:
1/ f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x) . N
ế
u h(x) không làm thay
đổ
i t
ậ
p xác
đị
nh c

ủ
a
f(x) = g(x)
2/ f(x) = g(x) ⇔ f(x).h(x) = g(x).h(x) . N
ế
u h(x) không làm thay
đổ
i t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
f(x) = g(x) v h(x) ≠ 0 , ∀x ∈ D (D: t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a pt f(x) = g(x) )
3/ f(x) = g(x) ⇒
⇒⇒
⇒ [f(x)]
2
= [g(x)]
2
( phép bi
ế
n

đổ
i này nói chung là không t
ươ
ng
đươ
ng)
4/



+
⇔



)2()1(
)1(
)2(
)1(
hay



−
⇔



)2()1(
)1(

)2(
)1(
. (1) và (2) là ph
ươ
ng trình 1à ho
ặ
c 2
ẩ
n
II
. Ph
ươ
ng trình: ax + b = 0 (1)
•

a ≠ 0 , (1) ⇔ x =
a
b
−

•

a = 0 , (1) ⇔ 0.x + b = 0 . Có 2 tr
ườ
ng h
ợ
p b = 0 ho
ặ
c b ≠ 0
Ví d

ụ
: Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n các ph
ươ
ng trình sau.
1/ m(x –1) = 2x +1 2/ m
2
x + 2 = x + 2m 3/
2
1
1
=
−
+
x
mx

4/
1
12
−
+
=
−
+

x
x
m
x
x
5/
1
1
3
=
+
−
−
x
mmx
6/ |x –m| = |x + 1|
7/
mxmx 21 −=+

Gi
ả
i
1
/ m(x –1) = 2x +1 ⇔ (m –2)x = m + 1
Bi
ệ
n lu
ậ
n
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu


2
1
2
−
+
=⇔≠
m
m
xptm

m = 2 pt tr
ở
thành 0x = 3 vô nghi
ệ
m
V
ậ
y:

m ≠ 2 T
ậ
p nghi
ệ
m:







−
+
=
2
1
m
m
S


m = 2 T
ậ
p nghi
ệ
m: S = ∅
2
/ m
2
x + 2 = x + 2m ⇔ (m
2
–1)x = 2(m –1)
Bi
ệ
n lu
ậ
n

1
2

1
+
=⇔±≠
m
xptm


m = 1 pt tr
ở
thành 0x = 0

m = –1 pt tr
ở
thành 0x = –4
V
ậ
y:

1
±
≠
m
T
ậ
p nghi
ệ
m:







+
=
1
2
m
S


m = 1 T
ậ
p nghi
ệ
m: S = R

m = –1 T
ậ
p nghi
ệ
m: S = ∅
3
/
2
1
1
=
−
+

x
mx

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x ≠ 1
2
1
1
=
−
+
x
mx
⇔ (m –2)x = –3 (1)

m = 2 (1) tr
ở
thành 0x = –3

2
≠
m
(1) ⇔
2
3
−

−
=
m
x
So l
ạ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2
3
11 −≠⇔
−
−
≠
⇒
≠ m
m
x

V
ậ
y:

{

}
1;2 −∉m T
ậ
p nghi
ệ
m:






−
−
=
2
3
m
S


{
}
1;2 −∈m T
ậ
p nghi
ệ
m: S = ∅

4

/
1
12
−
+
=
−
+
x
x
m
x
x


Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x ≠ m và x ≠ 1
1
12
−
+
=
−
+
x
x

m
x
x
⇔ x
2
+ 2x –x –2 = x
2
+ x – mx –m ⇔ mx = 2 – m (1)

m = 0 (1) tr
ở
thành 0x = 2

m ≠ 0 (1) ⇔
m
m
x
−
=
2

So l
ạ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n:


x = m
⇒

m
m
m
−
=
2




−=
=
⇔=−+⇔
2
1
02
2
m
m
mm

x = 1
⇒

1
2

1 =⇔
−
= m
m
m

V
ậ
y:
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

{
}
1;0;2−∈m T
ậ
p nghi
ệ
m: S = ∅

{
}
1;0;2−∉m T
ậ
p nghi
ệ
m:







−
=
m
m
S
2

5
/
1
1
3
=
+
−
−
x
mmx

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x ≠ –1
1
1
3

=
+
−
−
x
mmx
⇔ (m –1)x = m + 4 (1)

m = 1 (1) tr
ở
thành 0x = 5

1
≠
m
(1) ⇔
1
4
−
+
=
m
m
x

So l
ạ
i
đ
i

ề
u ki
ệ
n:
2
3
1
4
11 −=⇔
−
+
=−
⇒
−= m
m
m
x

V
ậ
y:







−∉ 1;
2

3
m
T
ậ
p nghi
ệ
m:






−
+
=
1
4
m
m
S








−∈ 1;

2
3
m
T
ậ
p nghi
ệ
m: S = ∅
6/ |x –m| = |x + 1| ⇔
(
)
( )



−−=−
+=−
bxmx
axmx
1
1

Gi
ả
i (a). (a) tr
ở
thành 0x = m + 1

m = –1 (a) tr
ở

thành 0x = 0

m ≠ –1 (a) tr
ở
thành 0x = m +1 ≠ 0
Gi
ả
i (b). (b) ⇔ 2x = m –1 ⇔
2
1
−
=
m
x

V
ậ
y:

m = –1 T
ậ
p nghi
ệ
m: S = R

m ≠ –1 T
ậ
p nghi
ệ
m:







−
=
2
1m
S

7
/ mxmx 21 −=+ ⇔
(
)
( )



+−=+
−=+
bmxmx
amxmx
21
21

Gi
ả
i (a). (a) ⇔ (m –1)x = –2m –1


m = 1 (a) tr
ở
thành 0x = –3

m
≠
1 (a) ⇔
1
12
−
−
−
=
m
m
x

Gi
ả
i (b): (b) ⇔ (m + 1)x = 2m –1

m = –1 (b) tr
ở
thành 0x = –3

m
≠

–1 (b) ⇔

1
12
+
−
=
m
m
x

V
ậ
y:

m = 1 T
ậ
p nghi
ệ
m:






+
−
=
1
12
m

m
S


m = –1 T
ậ
p nghi
ệ
m:






−
−−
=
1
12
m
m
S

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

m ≠ ± 1 T
ậ
p nghi
ệ

m:






−
−−
+
−
=
1
12
;
1
12
m
m
m
m
S

III
. Ph
ươ
ng trình: ax
2
+ bx + c = 0 , a ≠ 0. ∆ = b
2

–4ac . ( ∆
/
= b
/2
–ac , b
/
=
2
b
)
•

∆ < 0 ( ∆
/
< 0 ) : pt vô nghi
ệ
m
•

∆ = 0 ( ∆
/
= 0 ) : pt có nghi
ệ
m x =
a
b
2
−

•

∆ > 0 ( ∆
/
> 0 ) : pt ⇔






∆−−
=
∆−−
=
∆+−
=
∆+−
=
a
b
a
b
x
a
b
a
b
x
''
2

''
2

•

∆ ≥ 0 ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
•

x
1
và x
2
là 2 nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho thì:
a
b
xx −=+
21
và

a
c
xx =
21
.

•

Chú ý:
(
)
21
2
21
2
2
2
1
.2 xxxxxx −+=+
;
(
)
(
)
21
2
21
2
21
.4 xxxxxx −+=−

(
)
(
)
2121
3
21
3
2
3
1
.3 xxxxxxxx +−+=+

•

N
ế
u S = x + y và P = x.y. Thì x và y là nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình: X
2
– S.X + P = 0,
đ
i
ề
u ki

ệ
n
t
ồ
n t
ạ
i x, y( phân bi
ệ
t ho
ặ
c trùng nhau) là : S
2
– 4P ≥ 0
I
. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
1/ x
2
–2ax + a
2
– b
2
= 0 2/ x
2
+ (3a –2b)x – 6ab = 0 3/ 3x
2
+2(3a –1)x – 4a = 0

4/
(
)
062324
2
=−−− xx
5/
(
)
0323222
2
=++− xx

Gi
ả
i:

1
/ x
2
–2ax + a
2
– b
2
= 0
∆
/
= a
2
– (a

2
– b
2
) = b
2
. pt






−=
−
=
+=
+
=
⇔
ba
ba
x
ba
ba
x
1
1

2/ x
2

+ (3a –2b)x – 6ab = 0
∆
/
= (3a –2b)
2
– 4.1(– 6ab) = (3a + 2b)
2
. pt






−=
−−+−
=
=
+++−
=
⇔
a
baba
x
b
baba
x
3
2
2323

2
2
2323

3/ 3x
2
+2(3a –1)x – 4a = 0
∆
/
= (3a –1)
2
–3(– 4a) = (3a + 1)
2
. pt






−=
−−+−
=
=
+++−
=
⇔
a
aa
x

aa
x
2
3
1313
3
2
3
1313

4/
(
)
062324
2
=−−− xx

∆ =
(
)
(
)
22
236423 +=+−
. pt







−=
−−−
=
=
++−
=
⇔
2
2
4
2323
2
3
4
2323
x
x

5/
(
)
0323222
2
=++− xx

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
∆
/
=

(
)
(
)
22
223224232 −=−+
. pt







=
+−+
=
=
−++
=
⇔
2
2
24
223232
2
3
24
223232
x

x

II . Cho phương trình: x
2
– x –1 = 0, có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
1/
2
2
2
1
xx +
2/
3
2
3
1
xx +
3/
4
2
4
1
xx +
4/
5
2

5
1
xx +
5/
6
2
6
1
xx +
6/
(
)
2
21
xx −

Giải: Ta có: ∆ = 5 > 0 v
1
21
=−=+
a
b
xx
v
1
21
−==
a
c
xx

1/
2
2
2
1
xx + =
(
)
32
21
2
21
=−+ xxxx

2/
(
)
(
)
2121
3
21
3
2
3
1
.3 xxxxxxxx +−+=+
= 4
3/

4
2
4
1
xx +
=
(
)
( )
72
2
21
2
2
2
2
1
=−+ xxxx

4/
5
2
5
1
xx + = (
2
2
2
1
xx + )(

3
2
3
1
xx + ) –
(
)
(
)
21
2
21
xxxx +
= 11
Vì: (
2
2
2
1
xx + )(
3
2
3
1
xx + ) = =+++
5
2
3
1
2

2
3
2
2
1
5
1
xxxxxx
5
2
5
1
xx + +
(
)
(
)
21
2
21
xxxx +

5/
6
2
6
1
xx +
=
(

)
(
)
(
)
( )
142
3
21
2
3
2
3
1
2
3
2
2
3
1
=−+=+ xxxxxx

6/
(
)
(
)
21
2
21

2
21
.4 xxxxxx −+=−
= 5
III . Cho phương trình: x
2
–2(m +1)x + 2m +1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm
x
1
, x
2
v x
1
= 9x
2

Giải: Ta có : ∆
/
= m
2
≥ 0 ∀ m
⇔





+=
+=+
=

12
)1(2
9
21
21
21
mxx
mxx
xx
( )
⇔









+=
+
+
=
=
12
25
1
9
5

1
9
2
2
21
m
m
m
x
xx




−=
=
⇔





+=++
+=+
=
9
4
4
25509189
)1(2

9
2
21
21
m
m
mmm
mxx
xx

IV
. Cho ph
ươ
ng trình: x
2
–2(m –1)x + m
2
–3m + 4 = 0
1/ Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
đ
cho có m
ộ
t nghi
ệ
m
2/ Tìm m

để
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
, x
2
và 20
2
2
2
1
=+ xx
Gi
ả
i.

1
/ ∆
/
= (m –1)
2
–(m
2

–3m +4) = m – 3. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có m
ộ
t nghi
ệ
m khi ∆
/
= 0 hay
m –3 = 0 hay m = 3

2
/
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: ∆
/
≥ 0 hay m ≥ 3
20
2
2
2
1
=+ xx ⇔
(

)
(
)
(
)
02043214202
2
2
21
2
21
=−+−−−⇔=−+ mmmxxxx
⇔



=
−=
⇔=−−
4
3
02422
2
m
m
mm
Bi tập.
1
/ Gi
ả

i và bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình: (m –2)x
2
–2mx + m + 1 = 0
2
/ Cho ph
ươ
ng trình: x
2
– (2m +3)x + m
2
+ 2m + 2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m
x
1
, x
2
th
ỏ
a x

1
= 2x
2

3
/ Cho ph
ươ
ng trình: x
2
– 6x + m – 2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t
4
/ Tìm
độ
dài hai c
ạ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh

ậ
t bi
ế
t chu vi b
ằ
ng 22 m và di
ệ
n tích b
ằ
ng 28m
2

5
/ Cho ph
ươ
ng trình: (m+1)x
2
–2(m –1)x + m –2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m và
t
ổ
ng bình ph
ươ
ng c
ủ

a các nghi
ệ
m
đ
ó b
ằ
ng 2
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
6
/ Cho ph
ươ
ng trình: (m+1)x
2
–2(m –2)x + m –3 = 0
a/ Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m
b/ Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi

ệ
m x = 3, tính nghi
ệ
m còn l
ạ
i
c/ Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
th
ỏ
a 4(x
1
+x
2
) = 7(x
1
x
2
)
7/ Gi
ả
i ph

ươ
ng trình: (x –1)(x+5)(x –3)(x+7) = 297
8/ Tìm m
để
2 ph
ươ
ng trình: x
2
+ mx + 1 = 0 v x
2
+ x + m = 0 có nghi
ệ
m chung
9/ Cho ph
ươ
ng trình: 2x
2
+ (2m –1)x + 2m + 1 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2

và 3x
1

– 4x
2
= 11

1
/ Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình: (m –2)x
2
–2mx + m + 1 = 0
•

m = 2. Ph
ươ
ng trình tr
ở
thnh: –4x + 3 = 0. Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m:
4

3
=x

•

m
≠
2 .
(
)
(
)
212
2/
+=+−−=∆ mmmm

1/
20
/
−=⇔=∆ m
. Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
2
1
4
2
21

=
−
−
== xx

2/
20
/
−<⇔<∆ m
. Ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
3/
20
/
−>⇔>∆ m
và m
≠
2. Ph
ươ
ng trình có
hai nghi
ệ
m:
2
2
2,1
−

+±
=
m
mm
x

2
/ Cho ph
ươ
ng trình: x
2
–(2m +3)x + m
2
+ 2m + 2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m
x
1
, x
2
th
ỏ
a x
1
= 2x
2

Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m:
0
≥
∆
hay
( )
(
)
4
1
01422432
2
2
−≥⇔≥+=++−+ mmmmm

x
1
= 2x
2

mà: 32
21
+=+ mxx ⇒
3
32
2
+
=
m
x
và
3
32
2
1
+
=
m
x

Vì:
22
2
21
++= mmxx
nn
(
)
9
32

2
2
+m
=
22
2
++ mm
⇔
1818918248
22
++=++ mmmm

⇔



=
=
⇔=−
6
0
06
2
m
m
mm
3
/ Cho ph
ươ
ng trình: x

2
– 6x + m – 2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t
Gi
ả
i
Để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t ta ph
ả
i có:
112
2
11

02
06
029
0
0
0
/
<<⇔



>
<
⇔





>−
>
>+−
⇔





>
>

>∆
m
m
m
m
m
P
S

4
/ Tìm
độ
dài hai c
ạ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t bi
ế
t chu vi b
ằ
ng 22 m và di
ệ
n tích b
ằ
ng 28m
2

Gi
ả
i
N
ử
a chu vi: 11. G
ọ
i x là
độ
dài m
ộ
t c
ạ
nh hình ch
ữ
nh
ậ
t, suy ra
độ
dài c
ạ
nh còn l
ạ
i l: 11 – x,
Ta có: 0 < x < 11. Theo gi
ả
thi
ế
t ta có: x(11 – x) = 28 ⇔ x

2
–11x + 28 = 0 ⇔ x = 4 ∨ x = 7
5
/ Cho ph
ươ
ng trình: (m+1)x
2
–2(m –1)x + m – 2 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m và
t
ổ
ng bình ph
ươ
ng c
ủ
a các nghi
ệ
m
đ
ó b
ằ
ng 2
Đ
i
ề

u ki
ệ
n
để
ph
ươ
ng trình
đ
cho có hai nghi
ệ
m l:
( ) ( )( )



≥−+−−
≠+
0211
01
2
mmm
m

⇔



≥+−+−+−
−≠
02212

1
22
mmmmm
m
⇔



≥−
−≠
03
1
m
m
⇔



≤
−≠
3
1
m
m

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
G
ọ
i
21

, xx là nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình
đ
ã cho. Theo gi
ả
thi
ế
t:
(
)
222
21
2
21
2
2
2
1
=−+⇔=+ xxxxxx

⇔
2
1
2
2
1
1

2
2
=
+
−
−






+
−
m
m
m
m

⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
22
11212 +=+−−− mmmm

⇔
1222242
222
++=++−−+− mmmmmmm

⇔
3
5
=m

6
/ Cho ph
ươ
ng trình: (m + 1)x
2
–2(m –2)x + m –3 = 0

a
/ Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m

Xét: m + 1 = 0 hay m = –1
Ph

ươ
ng trình tr
ở
thành: 6x –4 = 0 ⇔ x =
3
2


Xét : m
≠

–1. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có m
ộ
t nghi
ệ
m khi
0
/
=∆
⇔
(
)
(
)
(
)

0312
2
=−+−− mmm
⇔ m
2
– 4m +4 – m
2
+3m – m +3 = 0
⇔ –2m +7 = 0 ⇔
2
7
=m
V
ậ
y có hai giá tr
ị
c
ầ
n tìm c
ủ
a m là: m = –1,
2
7
=m

b
/ Tìm m
để
ph
ươ

ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m x = 3, tính nghi
ệ
m còn l
ạ
i
Vì: x = 3 là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho nên: (m+1)9 –2(m –2)3 + m –3 = 0 hay
9m + 9 –6m + 12 + m –3 = 0 ⇔ 4m + 18 = 0 ⇔
2
9
−=m

Nghi
ệ
m còn l
ạ
i:
7
15

1
2
9
3
2
9
1
3
3
2
−
−
=
+−
−−
=
+
−
=
m
m
x hay
7
5
2
=x

c
/ Tìm m
để

ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
th
ỏ
a 4(x
1
+x
2
) = 7(x
1
x
2
)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m x
1
, x
2

.





≤
−≠
2
7
1
m
m

4(x
1
+x
2
) = 7(x
1
x
2
) ⇔
1
3
7
1
42
4
+

−
=
+
−
m
m
m
m
⇔
37217168
−
=
⇔
−
=
+
mmm

7
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: (x –1)(x+5)(x –3)(x+7) = 297
(x –1)(x+5)(x –3)(x+7) = 297 ⇔ (x
2
+4x –5)(x
2
+4x –21) = 297
Đặ

t: t = x
2
+4x –5, ph
ươ
ng trình tr
ở
thành: t(t –16) = 297 ⇔ t
2
–16t –297 = 0
⇔ t = 27 ∨ t = –11

V
ớ
i t = 27 ta có ph
ươ
ng trình x
2
+ 4x –32 = 0 ⇔ x = 4 ∨ x = –8

V
ớ
i t = –11 ta có ph
ươ
ng trình x
2
+4x +6 = 0 Vô nghi
ệ
m
8
/ Tìm m

để
2 ph
ươ
ng trình: x
2
+ mx + 1 = 0 v x
2
+ x + m có nghi
ệ
m chung
G
ọ
i
0
x là nghi
ệ
m chung c
ủ
a hai ph
ươ
ng trình
đ
ã cho, ta có:





=++
=++

0
01
0
2
0
0
2
0
mxx
mxx

⇔
( )



=−+−
=++
011
01
0
0
2
0
mxm
mxx
⇔
( )( )




=−−
=++
011
01
0
0
2
0
xm
mxx
⇔








=
=
=++
1
1
01
0
0
2
0

x
m
mxx


m = 1: không th
ỏ
a
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

x
0
= 1. Tìm
đượ
c m = –2
9
/ Cho ph
ươ
ng trình: 2x
2
+ (2m –1)x + 2m + 1 = 0. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2

và 3x
1
– 4x
2
= 11
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
ph
ươ
ng trình
đ
cho có nghi
ệ
m:
(
)
(
)
012812
2
≥+−−=∆ mm

Ta c
ĩ

:





−
=+
=−
2
21
1143
21
21
m
xx
xx
⇔







−−
=
−
=
14

619
7
413
2
1
m
x
m
x
mà
2
12
21
+
=
m
xx
nên:
(
)
(
)
2
12
98
619413
+
=
−
−

−
mmm
⇔
4998247678247
2
+=++−− mmmm
⇔




−=
=
⇔=−−
2
6
37
029610024
2
m
m
mm
th
ử
l
ạ
i
đ
i
ề

u ki
ệ
n
IV
. Ph
ươ
ng trình qui v
ề
b
ậ
c nh
ấ
t , b
ậ
c hai.
1/
Ph
ươ
ng trình ch
ứ
a d
ấ
u gi tr
ị
tuy
ệ
t
đố
i

a/



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
hay
⇔= BA
A
2
= B
2

b/ BA = (1) v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n B ≥ 0 . (1) ⇔ A
2
= B
2

c/



<−
≥
=
0
0
AkhiA
AkhiA
A
Ví d
ụ
. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
1/ 1332 −=+ xx 2/ 1332 −=+ xx 3/ 0115
2
=−−− xx
4/ 332 =−− xx 5/ xx 4712 −=+ 6/
22
632 xx −=−

7/
141582
2
+=−+ xxx

8/
5645
22
++=++ xxxx

Gi
ả
i:

1
/ 1332 −=+ xx ⇔




−=
=
⇔



+−=+
−=+
5
2
4
1332
1332
x
x

xx
xx


2
/ 1332 −=+ xx .
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3
1
≥x

1332 −=+ xx
⇔




−=
=
⇔



+−=+
−=+

)(
5
2
4
1332
1332
loaix
x
xx
xx


3
/ 0115
2
=−−− xx
( )
( )










=−−−
<




=−−−
≥
⇔
0115
1
0115
1
2
2
xx
x
xx
x











=−+
<




=+−
≥
⇔
065
1
045
1
2
2
xx
x
xx
x
⇔










−=∨=
<




=∨=
≥
⇔
61
1
41
1
xx
x
xx
x

4/ 332 =−− xx
•
x ≥ 3 . pt ⇔ 2x –x + 3 = 3 ⇔ x + 3 = 3 ⇔ x = 0 ( loại)
• 0 ≤ x < 3. pt ⇔ 2x + x –3 = 3 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 ( nhận)
• x < 0 . pt ⇔ –2x + x –3 = 3 ⇔ x = – 6 ( nhận)
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 và x = – 6
5/ xx 4712 −=+ ⇔



=
=
⇔




+−=+
−=+
4
1
4712
4712
x
x
xx
xx

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 và x = 4
6/
22
632 xx −=− ⇔ 2
084
042
632
632
2
2
22
22
±=⇔




=−
=+

⇔




+−=−
−=−
x
x
x
xx
xx

7/ 141582
2
+=−+ xxx . Điều kiện:
4
1
−≥x

141582
2
+=−+ xxx
⇔



−=∨=
=∨−=
⇔





=−+
=−+
⇔




−−=−+
+=−+
71
42
014122
01642
141582
141582
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 và x = 4
8/
5645
22
++=+− xxxx
. Điều kiện: x
2
+ 6x + 5 ≥ 0 ⇔
15
−
≥
∨
−
≤
xx

5645
22
++=++ xxxx ⇔



=++
=+
⇔




−−−=++

++=++
09112
01
5645
5645
2
22
22
xx
x
xxxx
xxxx
⇔




−=
−=
2
9
1
x
x

2/ Phương trình dạng :
BA =

Giải: Điều kiện: B ≥ 0
pt ⇔ A = B

2
giải và so lại điều kiện
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
1/ xxx −=−− 242
2
2/ 2193
2
−=+− xxx
3/
2193
2
−=+− xxx
4/
( )( )
625341
2
=++−++ xxxx

5/
2173 =+−+ xx
6/ 1153853
22
=++−++ xxxx
7/
275232522 =−+++−+− xxxx

Giải:
1/
xxx −=−− 242
2

. Điều kiện: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2
xxx −=−− 242
2

06242
22
=−−⇔−=−−⇔ xxxxx
⇔
(
)



−=
=
2
3
x
loaix

2/ 2193
2
−=+− xxx ⇔ 3x
2
–9x + 1 = x
2
–4x + 4 ⇔ 2x
2
–5x –3 = 0
3/ 2193

2
−=+− xxx . Điều kiện: x ≥ 2

2193
2
−=+− xxx
⇔ 3x
2
–9x + 1 = x
2
–4x + 4 ⇔ 2x
2
–5x –3 = 0
4/
( )( )
625341
2
=++−++ xxxx
⇔ 6253225
22
=++−+++ xxxx
Đặt:
25
2
++= xxt
( t ≥ 0). Pt ⇔
(
)





=
−=
⇔=−−
3
4
1
043
2
t
loait
tt
02459
2
=++⇔ tt

5/
2173 =+−+ xx
. Đặt:
(
)
01 ≥+= txt
, x = t
2
–1
Pt ⇔




=
=
⇔=−⇔+=+
2
0
042243
22
t
t
tttt

Với t = 0 ⇒ x = –1
Với t = 2 ⇒ x = 3
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Cách khác: Đặt:





+=
+=
1
73
xv
xu
( u, v ≥ 0)
Ta được:




=−
=−
43
2
22
vu
vu
⇔
( )



=−+
+=
432
2
2
2
vv
vu
⇔



=+−
+=
042
2
2

vv
vu
⇔



=∨=
+=
20
2
vv
vu

Với:



=
=
0
2
v
u
ta được





=+

=+
01
273
x
x
được x = –1
Với:



=
=
2
4
v
u
ta được





=+
=+
21
473
x
x
được x = 3

6/ 1153853
22
=++−++ xxxx
Đặt:
( )
0153
2
≥++= txxt
, 3x
2
+ 5x + 1 = t
2

Pt ⇔ 36217
2
=⇔=⇔+=+ tttt ⇔ 3x
2
+ 5x + 1 = 9 ⇔ 3x
2
+ 5x –8 = 0
Cách khác.
Đặt:





++=
++=
153

853
2
2
xxv
xxu
( u , v ≥ 0)
Ta được:



=−
=−
7
1
22
vu
vu
⇔



=+
=−
7
1
vu
vu
⇔




=
=
3
4
v
u
hay





++=
++=
1533
8534
2
2
xx
xx
⇔





=−+
=−+
0853

0853
2
2
xx
xx

7/
275232522 =−+++−+− xxxx
. Đặt:
2
5
52
2
+
=⇒−=
t
xxt

Pt ⇔
2732
2
5
2
2
5
22
=++
+
++−
+

t
t
t
t
⇔
149612
22
=+++++ tttt

(
)
(
)
6514311431 =⇔=⇔=+++⇔=+++⇔ xttttt




Bài tập
Bài 1/ Giải phương trình: xx −=+ 33
Giải
cách1/
xx −=+ 33
⇔



+−=+
≥−
2

693
03
xxx
x
⇔



=+−
≤
067
3
2
xx
x
⇔



=∨=
≤
61
3
xx
x

So lại điều kiện được nghiệm x = 1
Cách 2/ Suy nghĩ bỏ cái căn cho rồi. Làm liền, không thôi quên mất
Đặt t =
3+x

( t ≥ 0) ⇒ x = t
2
–3
Thay vào phương trình: t = 3 – (t
2
–3) ⇔ t
2
+ t – 6 = 0 ⇔ t = –3 (loại) ∨ t = 2
Với t = 2, ta được: x = (–2)
2
–3 = 1
Nâng tầm bài tập lên: Ta có thể thay x bởi f(x) = 2x
2
–5x + 3 chẳng hạn. Ta được bài mới khó
hơn hai chút. Giải phương trình: xxxx 52652
22
+−=+−
Giải
Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
xxxx 52652
22
+−=+− ⇔
)52(652
22
xxxx −−=+−

Đặt: t = 652
2
+− xx ( t ≥ 0) ⇒ 2x
2

–5x = t
2
–6
Ta được phương trình: t = – (t
2
–6) hay t
2
+ t – 6 = 0 ⇔ t = –3 (loại) ∨ t = 2
Với t = 2, ta được: 2652
2
=+− xx ⇔ 2x
2
–5x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨
2
1
=x

Tùy theo mức độ của kỳ thi mà người ta thay x bởi một biểu thức xấu xí nào đó mà ta nhìn
không ra
Bài 2/ Giải phương trình:
2263 =−−+ xx

Giải
Điều kiện:



≥−
≥+
02

063
x
x
⇔



≤
−≥
2
2
x
x
⇔ –2 ≤ x ≤ 2
Cách 1/
2263 =−−+ xx
⇔
xx −+=+ 2263
⇔
xxx −+−+=+ 224463

⇔
xx −= 244
⇔
xx −= 2
⇔



−=

≥
xx
x
2
0
2
⇔



=−+
≥
02
0
2
xx
x
⇔



−=∨=
≥
21
0
xx
x
⇔ x = 1
Thỏa điều kiện ban đầu
Cách 2/ ( nhiều căn quá, bỏ bớt một căn đi)

Đặt: xt −= 2 ( t ≥ 0) ⇒ x = 2 – t
2

Phương trình đã cho trở thành
(
)
2623
2
=−+− tt ⇔ tt +=− 2312
2
⇔ 12 – 3t
2
= 4 + 4t + t
2

⇔ 4t
2
+ 4t –8 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = –2 (loại)
Với t = 1 , ta có phương trình:
x−= 21
⇔ x = 1
Cách 3/ ( nổi khùng , vứt hai cái căn đi)
Đặt:





−=
+=

xv
xu
2
63
( u, v ≥ 0) “ nháp: u
2
= 3x + 6, v
2
= 2 –x ⇒ 3v
2
= 6 –3x”
Ta được:



=+
=−
123
2
22
vu
vu
⇔
( )



=++
+=
1232

2
2
2
vv
vu
⇔



=−+
+=
0844
2
2
vv
vu
⇔



=−+
+=
0844
2
2
vv
vu

⇔
( )




−=∨=
+=
lvv
vu
21
2
⇔



=
=
1
3
v
u
vậy:





−=
+=
x
x
21

633
⇔



−=
=
x
x
21
33
⇔ x = 1
Cách 4/ ( điên lên rồi)
2263 =−−+ xx
⇔
(
)
(
)
(
)
xxxxxx −++=−++−−+ 2632263263

⇔
(
)
xxxx −++=+−+ 2632263
⇔ xxx −++=+ 26322
( kha kha ) ta có:






+=−++
=−−+
22263
2263
xxx
xx
⇔





+=+
=−−+
263
2263
xx
xx
⇔





=−+
=−−+

02
2263
2
xx
xx
⇔



−=∨=
=−−+
21
2263
xx
xx
⇔ x = 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Hệ đối xứng loại I
Có dạng:
(
)
( )



=
=
dyxg
cyxf

;
;
≡
(
)
( )



=
=
dxyg
cxyf
;
;

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
( Đổi tên ẩn cho nhau, mỗi phương trình của hệ không thay đổi)
Chú ý.
1/
(
)
abbaba 2
2
22
−+=+
2/
(
)
(

)
abbaba 4
22
−+=−

3/
(
)
(
)
baabbaba +−+=+ 3
3
33

4/
( ) ( )
[
]
22
22
2
1
bababa −++=+
5/
( ) ( )
[
]
22
4
1

babaab −−+=

Nếu : x + y = S v xy = P thì x, y ( nếu có là nghiệm phương trình: X
2
– S.X+ P = 0
Giả sử :



=
=
⇔=+−
2
1
2
0
XX
XX
PSXX khi đó :



=
=
2
1
Xy
Xx
∨




=
=
1
2
Xy
Xx

Ví dụ 1/ Giải hệ phương trình:



=+
=+
2)(
2
33
yxxy
yx

Giải :



=+
=+
2)(
2
33

yxxy
yx
⇔
(
)
(
)



=+
=+−+
2)(
23
3
yxxy
yxxyyx
⇔
(
)



=+
=+
2)(
8
3
yxxy
yx

⇔



=+
=+
2)(
2
yxxy
yx
⇔



=
=+
1
2
xy
yx
. x, y là nghiệm phương trình: X
2
–2X + 1 = 0 ⇔ X = 1. Nghiệm của hệ: (x ;y) = (1 ;1)
Ví dụ 2/ Giải hệ phương trình:





=+

=+
9
6
yyxx
xyyx

Giải. Đặt :
( )
0, ≥





=
=
vu
yv
xu
hệ trở thành:





=+
=+
9
6
33

22
vu
uvvu
⇔
(
)
( ) ( )



=+−+
=+
93
6
3
vuuvvu
vuuv
⇔
(
)
( )



=+
=+
27
6
3
vu

vuuv
⇔
(
)



=+
=+
3
6
vu
vuuv
⇔



=+
=
3
2
vu
uv
. u, v là nghiệm phương trình : X
2
–3X + 2 = 0
⇔




=
=
2
1
X
X
⇔










=
=



=
=
1
2
2
1
v
u

v
u
. Nghiệm của hệ: (1 ; 4 ) , ( 4 ; 1)
Ví dụ 3/ Giải hệ:
(
)
( )





=++−
=+++
65
185
2222
2222
yxyxyx
yxyxyx

Giải
Đặt:





=
+=

xyv
yxu
22

II/ Hệ đối xứng loại II
Có dạng:
(
)
( )



=
=
dyxg
cyxf
;
;
≡
(
)
( )



=
=
cxyf
dxyg
;

;

( Đổi tên ẩn cho nhau, phương trình này thành phương trình kia của hệ của hệ )
Ví d
ụ. Giải hệ phương trình.





−=−
−=−
232
232
22
22
xyy
yxx

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Giải.





−=−
−=−
232
232

22
22
xyy
yxx
⇔





−=+−−
−=−
2222
22
3322
232
xyyxyx
yxx
⇔
( )( ) ( )



=−−+−
−=−
033
232
22
yxyxyx
yxx

⇔
( )( )



=−+−
−=−
01
232
22
yxyx
yxx
⇔








−=
=
−=−
xy
xy
yxx
1
232

22
Nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
: (1 ;1 ) , (2 ; 2)
III. Hệ đẳng cấp
N
ế
u x = 0 không là nghi
ệ
m:
Đặ
t: t
x
y
= hay y = tx
Ví d
ụ
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:






=++
=+−
2132
4223
22
22
yxyx
xyyx

Gi
ả
i. Vì x = 0 không là nghi
ệ
m,
đặ
t y = tx ta
đượ
c:





=++
=+−
2132
4223

2222
2222
txtxx
txxtx
⇔
(
)
( )





=++
=+−
2132
4223
22
22
ttx
ttx

suy ra:
2
3
2
23
2
2
=

+
+
+−
t
t
tt
hay 4t
2
+ 5t + 1 = 0 ⇔




−=
−=
4
1
1
t
t

Nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
: (4 ; –1), (– 4 ; 1)
IV. Phép thế
Ví dụ 1

/ Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
( ) ( )





=++++++
=−+++
02161322
03232
2
33
2
xxxyxy
yyx

Gi
ả
i


( )

( ) ( )





=++++++
=−+++
02161322
03232
2
33
2
xxxyxy
yyx

⇔
( ) ( )





=++++++
=−+++
04216132
03232
3
2
3

2
yxxxyx
yyx

⇔
( )





=++++++
=−+++
04132662
03232
3
2
23
2
yxyxxx
yyx

⇔
( ) ( )





=++++

=−+++
041312
03232
3
23
2
yxyx
yyx
Vì y = 0 không là nghi
ệ
m
H
ệ
tr
ở
thành:







=+









+
+








+
=−+++
04
1
3
1
2
03232
23
2
y
x
y
x
yyx
⇔
















=
+
−=
+
=−+++
4
11
2
1
03232
2
y
x
y
x
yyx

Ví dụ 2
/ Gi
ả
i h
ệ
:
(
)
( )
( )





=+−++
=++−
021
01
2
2
yyxx
yxyx

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Gi
ả
i

(

)
( )
( )





=+−++
=++−
021
01
2
2
yyxx
yxyx
⇔
(
)
( )( )



=+−++
+=+
02
1
2
yyxyxy
yxyx

⇔
(
)
( )( )



=+−++
+=+
012
1
2
yxyx
yxyx
( Vì: y = 0 không là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
)
Bài tập
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau

1
/
(
)
( )





+=−+
−=++
272
14
2
2
2
xyyxx
xyyxx
⇔
(
)
( )
( )





=+−+

=+++
xyyxx
xyyxx
712
41
2
2
2
⇔
( )
( )







=
+
−+
=
+
++
7
1
2
4
1
2

2
2
x
y
yx
x
y
yx
( x
≠
0)

Đặ
t :





+
=
+=
x
y
v
yxu
1
2

đượ

c:



=−
=+
72
4
2
vu
vu

2
/





=−+
=+
13
2
5
22
xyyx
x
y
y
x

V
ớ
i
2
5
=+
x
y
y
x
.
Đặ
t:
y
x
t =
,
đượ
c 2t
2
–5t + 2 = 0 ⇔




=
=
2
2
1

t
t

th
ế
m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p vào ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i
3
/
(
)
( )
( )





=−−+
=−++
xyxy

xyxxy
2221
521
2
2
v
ớ
i x
≠
0 h
ệ
⇔
( )
( )







=−−
+
=−+
+
222
1
52
1
2

2
yx
x
y
yx
x
y

Đặ
t :





+
=
−=
x
y
u
yxv
1
2
2

đượ
c:
( )




=−
=+
22
5
vu
vu

4
/





=−−
−−=+
22
2322
22
yxyx
yxyx
⇔
(
)






=−−
=−+++
22
03222
22
2
yxyx
yxyx
⇔







=−−




−=+
=+
22
32
12
22
yxyx
yx

yx

5
/
(
)





=++
−=−++
724
14212
22
xyyx
yxyx
⇔
(
)





=++
=−++−++
724
0612122

22
xyyx
yxyx
, 12 ++= yxt
6
/







=−
=+
y
x
y
x
6
2
8
23
3
3
,
đặ
t
y
t

2
=

đượ
c:





=−−
=−−
023
023
3
3
tx
xt
⇔





=−−
=+−−
023
033
3
33

tx
txxt
⇔
(
)
(
)





=−−
=+++−
023
03
3
22
tx
xtxtxt
⇔
( )





=−−
=









++






+−
023
03
4
3
2
3
2
2
tx
xx
txt