Chuyên đề 1 hàm số lượng giác và PT lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.7 MB, 135 trang )

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn
Đoàn
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản 5
Bài tập áp dụng 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8
Bài tập rèn luyện 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 32
Bài tập áp dụng 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35
Bài tập rèn luyện 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59
Bài tập áp dụng 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62
Bài tập rèn luyện 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84
Bài tập áp dụng 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87
Bài tập rèn luyện 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng 93
Bài tập áp dụng 94
Bài tập rèn luyện 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 97
Bài tập áp dụng 97
Bài tập rèn luyện 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101
Bài tập áp dụng 102
Bài tập rèn luyện 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106

Bài tập áp dụng 106
Bài tập rèn luyện 112
I – Hệ phương trình lượng giác 116
Bài tập áp dụng 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 121
Bài tập áp dụng 122
Bài tập rèn luyện 125
" Cần cù bù thông minh…………" Page 1
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG

 Công thức cơ bản
●
2 2
sin x cos x 1+ =
●
tan x.cot x 1=
●
sin x
tan x
cos x
=
●
cos x
cot x
sin x
=
●
os
2

2
1
1 tan x
c x
+ =
●
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
sin 2x 2 sin x. cos x=
●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x
é
-
ê
=
ê
- = -
ê
ë
●

os
2
1 c 2x
sin x
2
-
=
●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=
●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x= -
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x= -
 Công thức cộng cung
●
( )
sin a b sin a. cos b cos a. sin b± = ±
●
( )
osc a b cos a. cos b sin a. sin b± = m
●

( )
tan a t an b
tan a b
1 tan a. tan b
+
+ =
-
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a. tan b
-
- =
+
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
æ ö
+
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
÷
ç

-
è ø
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
æ ö
-
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
 Công thức biến đổi tổng thành tích
●
a b a b
cos a cos b 2cos . cos
2 2
+ -
+ =
●
a b a b
cos a cos b 2sin . sin
2 2

+ -
- = -
●
a b a b
sin a sin b 2 sin . cos
2 2
+ -
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ -
- =
●
( )
sin a b
t an a t an b
cos a.cos b
+
+ =
●
( )
sin a b
t an a tan b
cos a. cos b
-
- =
 Công thức biến đổi tích thành tổng
●

( ) ( )
cos a b cos a b
cos a. cos b
2
+ + -
=
●
( ) ( )
sin a b sin a b
sin a. cos b
2
+ + -
=
●
( ) ( )
cos a b cos a b
sin a. sin b
2
- - +
=
 Một số công thức thông dụng khác
●
π π
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = + = -

ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
●
π π
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = - = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
●
4 4 2
1 cos 4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = - =

●
6 6 2
3 cos 4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4 8
+
+ = - =
Page 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Mụt sụ lu y:
iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh
sin x
cos x
ộ
= a
ờ
ờ
= a
ờ
ở
la:
1 1- ÊaÊ
.
Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ
t an
hoc
cot

, co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
Phng trinh cha
tan x
, iờu kiờn:
( )
cos x 0 x k k
2
p
+ạ ạ p ẻ Â
.
Phng trinh cha
cot x
, iờu kiờn:
( )
sin x 0 x k kạ ạ p ẻ Â
.
Phng trinh cha ca
tan x
va
cot x
, iờu kiờn:
( )
x k. k
2
p
ạ ẻ Â
.
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ
kiờm tra iờu kiờn:

Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua
x
vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri
õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm.
Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua
nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn
nghiờm.
Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac
ẳ
AM
co
sụ o la
k2
n
p
+a

0
0
k.360
hay a
n
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
vi
k , n
+
ẻ ẻÂ Ơ
thi co
n
iờm
M
trờn ng tron
lng giac cach ờu nhau".
Vi du 1: Nờu s
ẳ
AM k2
3
p
= + p
thi co mụt iờm
M
tai vi tri
3
p
(ta chon
k 0=
).
Vi du 2: Nờu s
ẳ

AM k
6
p
= + p
thi co 2 iờm
M
tai vi tri
6
p
va
7
6
p
(ta chon
k 0, k 1= =
).
Vi du 3: Nờu s
ẳ
2
AM k.
4 3
p p
= +
thi co 3 iờm
M
tai cac vi tri
11
;
4 12
p p

va
19
12
p
,
( )
k 0;1;2=
.
Vi du 4: Nờu s
ẳ
k2
AM k.
4 2 4 4
p p p p
= + = +
thi co 4 iờm
M
tai cac vi tri
4
p
,
3
4
p
,
5
4
p
;
7

4
p

(ng vi cac vi tri
k 0,1,2, 3=
).
Vi du 5: Tụng hp hai cung
x k
6
p
= - + p
va
x k
3
p
= + p
Biờu diờn cung
x k
6
p
= - + p
trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri:
6
p
-
va
5
6
p
" Cõn cu bu thụng minh" Page 3

ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Biờu diờn cung
x k
3
p
= + p
trờn ng tron thi co
2 iờm tai cac vi tri:
3
p
va
4
3
p
.
Tụng hp hai cung gụm 4 iờm nh hinh ve va
cung tụng hp la:
x k
3 2
p p
= +
ụi vi phng trinh
2
2
1 1

cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
ộ ộ
ờ ờ
= =
ờ ờ

ờ ờ
ờ ờ
= =
ờ ờ
ở ở

ta khụng nờn giai
trc tiờp vi khi o co ti 4 nghiờm, khi kờt hp va so sanh vi iờu kiờn rõt phc tap, ta nờn ha bõc la
tụi u nhõt. Nghia la:
2
2
2
2
1
cos x
2 cos x 1 0 cos 2x 0
2
1 cos2x 0
2 sin x 1 0
sin x

2
ộ
ờ
ộ
=
ộ
- = =
ờ
ờ
ờ

ờ
ờ
ờ
=
- =
ờ
ờ
ờ
ở
=
ở
ờ
ở
. Tng t ụi vi phng trinh
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1
cos x 1

ộ
ộ
= =
ờ
ờ

ờ
ờ
=
=
ờ
ờ
ở
ở
ta khụng nờn giai nh thờ, ma nờn biờn ụi da vao cụng thc
2 2
sin x cos x 1+ =
. Luc o:
2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0
cos x 1 sin x 0
ộ ộ
ộ
= = =
ờ ờ
ờ

ờ ờ

ờ
=
= =
ờ ờ
ờ
ở
ở ở
S dung thanh thao cõu thõn chu: '' Cos ụi Sin bu Phu cheo ''
õy co thờ xem la cõu thõn chu ''n gian, dờ nh'' trong lng giac nhng no lai ong vai tro la
mụt trong nhng nhõn tụ cõn thiờt, hiờu qua nhõt khi giai phng trinh lng giac.
Cos ụi, nghia la cos cua hai goc ụi nhau thi bng nhau, tc la
( )
cos cos- =a a
, con cac cung
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
( ) ( ) ( )
sin sin , tan t an , cot tan- = - - = - - = -a a a a a a
Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu nhau thi bng nhau, tc la
( )
sin sin- =p a a
, con cac cung
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
( ) ( ) ( )
cos cos , tan tan , cot t an- = - - = - - = -p a a p a a p a a
Phu cheo, nghia la vi hai goc phu nhau (co tụng bng 90
0
) thi sin goc nay bng cos goc kia va
ngc lai, tc la:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2

ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
- = - = - = - =a a a a a a a a
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
Ta hay th ờn vi vi du nho sau õy ờ thõy c hiờu qua cua '' cõu thõn chu '' nay:
Giai phng trinh lng giac:
sin u cos v=
Ro rang, phõn phng trinh lng giac c ban, ta chi biờt cach giai sao cho phng trinh
sin u sin v=
, võy con phng trinh
sin u cos v=
thi sao ?
Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi:
sin u cos v sin u sin v
2
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
= = -
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
u v k2 u v k2 , k
2 2
p p
= - + = + +p pẻ Â
.
Page 4 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
/3
5/6
4/3
/6
O
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh
2
sin x cos x
3
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

thi cac ban hoc sinh se khụng con cam thõy lung tung na.
Mụt sụ cung goc hay dung khac:

( )
( )
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
ỡ
ù
+ =p
ù
ù
ớ
ù
+ =p
ù
ù
ợ
va
( )
( )
( )

sin x k2 sin x

k
cos x k2 cos x
ỡ
ù
+ + = -p p
ù
ù
ẻ
ớ
ù
+ + = -p p
ù
ù
ợ
Â
.
A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
Dang:
u v k2
sin u sin v
u v k2
ộ
= + p
ờ
=
ờ
= - +p p
ờ
ở
c biờt:

sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
ỡ
ù
ù
= =ị p
ù
ù
ù
ù
p
ù
= = +ị p
ớ
ù
ù
ù
p
ù
ù
= - = - +ị p
ù
ù
ợ
Dang:
u v k2
cos u cos v

u v k2
ộ
= + p
ờ
=
ờ
= - + p
ờ
ở
c biờt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
ỡ
ù
p
ù
= = +ị p
ù
ù
ù
ù
= =ị p
ớ
ù
ù
= - = +ị p p
ù
ù

ù
ù
ợ
Dang:
tan u tan v u v k
ék : u, v k
2
= = + p
p
+ạ p
c biờt:
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
ỡ
ù
= = p
ù
ù
ù
ớ
p
ù
= = + p
ù
ù
ù
ợ
Dang:
cot u cot v u v k

ék : u, v k
= = + p
ạ p
c biờt:
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4
ỡ
ù
p
ù
= = + p
ù
ù
ù
ớ
ù
p
ù
= = + p
ù
ù
ù
ợ
BAI TP AP DUNG
Bai 1. Giai phng trinh:
( )
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
ộ ự

- + - = * " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
Bai 2. Giai phng trinh:
( ) ( ) ( )
2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x- + = - *
Bai 3. Giai phng trinh:
( )
cos 3x cos 2x cos x 1 0+ - - = *
Bai 4. Giai phng trinh:
( )
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = *
Bai 5. Giai phng trinh:
( ) ( )
2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + *
" Cõn cu bu thụng minh" Page 5
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài 6. Giải phương trình:
( )

1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
æ ö
p
÷
ç

÷
+ = - *
ç
÷
ç
æ ö
÷
ç
p
è ø
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 7. Giải phương trình:
( )

4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
æ ö æ ö
p p
÷ ÷

ç ç
÷ ÷
+ = + - *
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 8. Giải phương trình:
( )

4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= *
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

ç ç
è ø è ø
Bài 9. Giải phương trình:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +

ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 11.
( )

3
8 cos x cos 3x 1
3
æ ö
p
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 12. Giải phương trình:
( )

3
2 sin x 2 sin x 1
4

æ ö
p
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 13. Giải phương trình:
( )

3
sin x 2 sin x 1
4
æ ö
p
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

Bài 14. Giải phương trình:
( )
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0+ + + = *
Bài 15. Giải phương trình:
( )

2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = *
.
Bài 16. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = *
.
Bài 17. Giải phương trình:
( )

2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + *
Bài 18. Giải phương trình:
( )

2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x- = - *
Bài 19. Giải phương trình:
( )

sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
æ ö
p
÷
ç
÷
+ = + - *
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 20. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + *
Bài 21. Giải phương trình:
( )

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ - = *
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + *

Bài 23. Giải phương trình:
( )

3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = *
Bài 24. Giải phương trình:
( )

2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + *
Bài 25. Giải phương trình:
( )

3 3 2
4 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ - - = *
Bài 26. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )

2
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + - + = *
Bài 27. Giải phương trình:
( )
( )

6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Page 6 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn
Đoàn
Bài 28. Giải phương trình:

( )
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x
4
+ = + + *
Bài 29. Giải phương trình:
( )
( )

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Bài 30. Giải phương trình:
( )

4 2 2 4
3 cos x 4 cos x sin x sin x 0- + = *
Bài 31. Giải phương trình:
( )

3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
-
- = *
Bài 32. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos 2x cos 4x cos 8x
16
= *
Bài 33. Giải phương trình:
( )

3
4 sin 3x cos 2x 1 6 sin x 8 sin x= + - *
Bài 34. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = - *
Bài 35. Giải phương trình:
( )

sin 2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3
+ - -
= *
+
Bài 36. Giải phương trình:
( )

2

1 sin 2x cos2x
2 sin x sin 2x
1 cot x
+ +
= *
+
Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )
tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + *
Bài 38. Giải phương trình:
( )

2
tan x t an x t an 3x 2- = *
Bài 39. Giải phương trình:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = *
Bài 40. Giải phương trình:
( )

2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
æ ö

p
÷
ç
÷
- - = *
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 41. Giải phương trình:
( ) ( )

2
sin 2x cot x tan 2x 4 cos x+ = *
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2
cot x t an x
16 1 cos 4x
cos2x
-
= + *
Bài 43. Giải phương trình:
( )

1
2 tan x cot 2x 2sin 2x

2 sin 2x
+ = + *
Bài 44. Giải phương trình:
( )
( ) ( )

3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
- + = *
-
Bài 45. Giải phương trình:
( ) ( )
( )
( ) ( )

2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
- + +
- = + + *
-
Bài 46. Giải phương trình:
( )
cos 3x t an 5x sin 7x= *

Bài 47. Giải phương trình:
( )

1 1
sin 2x sin x 2 cot x
2 sin x sin 2x
+ - - = *
Bài 48. Giải phương trình:
( ) ( )

4 4
sin x cos x 1
tan x cot 2x
sin 2x 2
+
= + *
Bài 49. Giải phương trình:
( )

2 2 2 2
t an x. cot 2x. cot 3x t an x cot 2x cot 3x= - + *
" Cần cù bù thông minh…………" Page 7
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài 50. Giải phương trình:
( )

x
cot x sin x 1 tan x t an 4
2
æ ö

÷
ç
÷
+ + = *
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Page 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung
x,2x, 3x
, giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung
x
hay cung
2x
? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung
x,2x, 3x
, ta nờn a vờ cung
trung gian
2x
nờu trong biờu thc co cha sin
2

x (hoc cos
2
x). Con khụng cha sin
2
x (hoc
cos
2
x), nờn a vờ cung
x
".
Bai giai tham khao
( )
( ) ( )
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 4 2 cos x 1 3 cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0* - - - + - = - =
( )
( )
( )
( )

2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L
2
ộ
=
p

ờ
- = = + p ẻ
ờ
=
ờ
ở
Â
.

0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;
k
2 2 2 2 2
ỡ
ỡ ỹ
ù
- ằÊÊ
ù ù
p p p p p
ù
ù ù
ộ ự
+ẻ ẻ Ê p Ê ị ẻ
ớ ớ ý
ờ ỳ
ở ỷ
ù ù ù
ẻ
ù ù ù

ợ ỵ
ợ
Â
Â
.
Bai giai tham khao
( ) ( ) ( )
2 cos x 1 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x* - + = -
( ) ( ) ( )
2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 0- + - - =
( ) ( ) ( ) ( )
2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0
ộ ự
- + - = - + =
ờ ỳ
ở ỷ
( )

x k2
2 cos x 1 0
cos x cos
3
k; l
3
sin x cos x 0
tan x 1
x l
4
ộ
p

ộ
p
ờ
= + p
ộ
- =
ờ
=
ờ
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
+ = p
ờ
ờ
= -
ở
= - + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung
3x
va

2x
, chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos
Bai giai tham khao
( )
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0* - + - - - = + - - =
( ) ( ) ( )
( )

2 2
cos x 2cos x 1 2 cos x 1 0 2 cos x 1 cos x 1 0+ - + = + - =
" Cõn cu bu thụng minh" Page 9
Bai 1. Giai phng trinh:
( )
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
ộ ự
- + - = * " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002
Bai 2. Giai phng trinh:
( ) ( ) ( )
2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x- + = - *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004
Bai 3. Giai phng trinh:
( )
cos 3x cos2x cos x 1 0+ - - = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006
Bai 4. Giai phng trinh:

( )
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2005
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
( ) ( )

2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
ộ ộ
= = p
ờ ờ
ờ ờ
- + = ẻ
p
ờ ờ
= - = + p
ờ ờ
ở ở
Â
.
Bai giai tham khao
( ) ( )
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0* + + + =
( ) ( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0+ + + =

( ) ( )
sin x cos x 1 2cos x 0+ + =
( )

sin x cos x tan x 1
x k
4
k; l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3
ộ
p
ộ ộ
= - = -
ờ
= - + p
ờ ờ
ờ
ờ ờ
ẻ
ờ
p
ờ ờ
p
= - =
ờ

= + p
ờ ờ
ờ
ở ở
ở
Â
.
Li binh: T viờc xuõt hiờn cua cung
2x
va cung
x
ma ta nghi ờn viờc chuyờn cung
2x
vờ cung
x
bng cụng thc nhõn ụi cua ham sin va cos, t o xuõt hiờn nhõn t chung hai vờ
( )
( )
2
sin x 1 2 cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x* + - + = +
( ) ( )

2
2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2 sin x cos x cos x 1 1 cos x 0+ = + + - + =
( ) ( ) ( )

2
1
x k2
cos x

3
cos x 1 sin 2x 1 0 k, l
2
sin 2x 1
x l
4
ộ
p
ộ
ờ
= + p
ờ
= -
ờ
ờ
+ - = ẻ
ờ
ờ
p
ờ
=
= + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Li binh: T viờc xuõt hiờn hai cung
3

x
2
p
-
va
7
x
4
p
-
giup ta suy nghi ờn viờc a hai cung
khac nhau nay vờ cung mụt cung chung la
x
. ờ lam c iờu o, ta co thờ dung cụng
thc cụng cung hoc dung cõu thõn chu "cos ụi sin bu phu cheo''. Ta thc hiờn hai y
tng o qua hai cach giai sau õy
Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 6. Giai phng trinh:
( )

1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
ổ ử
p
ữ
ỗ

ữ
+ = - *
ỗ
ữ
ỗ
ổ ử
ữ
ỗ
p
ố ứ
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2008
Bai 5. Giai phng trinh:
( ) ( )
sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + *
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Bai giai tham khao
Cach giai 1. S dung cụng thc cụng cung:
( )
sin a b sin a. cos b cos a. sin b =

( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
ổ ử
p p
ữ
ỗ
ữ
* + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
p p
ố ứ
-
( )

1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
ộ ự
ờ ỳ
+ = - +
ờ ỳ
ờ ỳ

ở ỷ
iờu kiờn:
sin x cos x 0 sin 2x 0ạ ạ
.
( )

sin x cos x
2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
= - +
( ) ( )
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0+ + + =
( )
( )
sin x cos x 1 2 sin 2x 0+ + =
( )

x k
4
t an x 1
sin x cos x 0
x l k, l, m
2
8
1 2 sin 2x 0
sin 2x
5
2

x m
8
ộ
p
ờ
= - + p
ờ
ộ
= -
ộ
ờ
+ =
ờ
p
ờ
ờ
ờ
= - + p ẻ
ờ
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ= -
ờ
ở
ờ
p
ở
= + pờ

ờ
ở
Â
.
Cach giai 2. S dung "cos ụi sin bu phu cheo''
Ta co:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2
ỡ
ộ ự
ổ ử ổ ử
ù
p p
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
ù - = - - - =p
ỗ ỗ
ữ ữ
ù
ờ ỳ
ỗ ỗ

ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ù
ở ỷ
ớ
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử
ù
p p p
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ
- = - + = - + = - +p
ù
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ù
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ù
ờ ỳ
ở ỷ

ù
ợ
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
ộ ự
ờ ỳ
* + = - +
ờ ỳ
ở ỷ
. Giai tng t nh cach giai 1.
Li binh: T tụng hai cung
x x
3 6 2
p p p
+ + - =
giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p p p p
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
+ - = + - + = + + =
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ

ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = -
. Nờu
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan
cos
cot
sin
=
, rụi qui ụng thi bai toan
tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 11
Bai 7. Giai phng trinh:
( )

4 4
7

sin x cos x cot x cot x
8 3 6
ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = + - *
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp. HCM nm 1999
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
K:
sin x 0
1
3
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
ỡ
ổ ử
ù
p
ữ
ù

ỗ
ữ
+ ạ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
p p p p
ố ứ
ù
ữ ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
+ - - - ạ ạ ạ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ớ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ù
p
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ữ

ỗ
ù
ữ
- ạ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ố ứ
ù
ù
ợ
.
( ) ( )

2 2
1 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
p p
* - = = - = = + ẻ Â
.
Bai giai tham khao
K:
cos x 0
1
4

cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos 2x 0
4 4 2 2
cos x 0
4
ỡ
ổ ử
ù
p
ữ
ù
ỗ
ữ
- ạ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
p p p
ố ứ
ù
ữ ữ ữ
ù
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
- + + ạ ạ ạ
ỗ ỗ ỗ

ớ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ù
p
ố ứ ố ứ ố ứ
ữ
ỗ
ù
ữ
+ ạ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ố ứ
ù
ù
ợ
.
Ta co:
t an x t an x tan x t an x tan x cot x 1
4 4 4 2 4 4 4
ộ ự

ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p p p p
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
- + = - - + = - - =
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
( )
( )
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
* - = - - = - - =
( )
( )

2

2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0
1
cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0
t L
t cos 4x 0
2
t cos 4x 0
ỡ
ộ
ù
=
ù
ờ
ù
ỡ
ùù
ờ
- - =
ù
ù
ù ù
ờ
= = =
ớ ớ
= -
ờ

ù ù
=
ở
ù ù
ù
ợ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
( )
( )
( )

sin 2x 0 N
k
x , k
cos 2x 0 L
2
ỡ
ù
=
p
ù
ù
= ẻ

ớ
ù
=
ù
ù
ợ
Â
.
Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 t an x
4 4
tan x . tan x . . 1
4 4 1 tan x 1 tan x
1 tan tan x 1 tan tan x
4 4
p p
- +
ổ ử ổ ử
- +p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- + = = =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ -p p

ố ứ ố ứ
+ -
.
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
gia hai cung
3 x
10 2
p
-
va
3x
10 2
p
+
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:
Page 12 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 8. Giai phng trinh:
( )

4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x t an x
4 4
+
= *
ổ ử ổ ử
p p

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Xõy Dng nm 1997
Bai 9. Giai phng trinh:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001

Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
+ = - + = - = -p
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
. T o, ta se
t
3 x
t
10 2
p
= -
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.

Bai giai tham khao
Ta co:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
+ = - + = - = -p
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
( ) ( )

3 x 1 3 x
1 sin sin 3 2
10 2 2 10 2
ổ ử ổ ử
p p

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
t
3 x
t
10 2
p
= -
. Va
( )
( ) ( )
3 2
1 1
2 sin t sin 3t sin t 3sin t 4 sin t sin t 1 sin t 0
2 2
= = - - =
( )

3 x 3
t k
k x k2

sin t 0
10 2 5
k, l
cos t 0 3 x 2
t l
l x l2
2
10 2 2 5
ộ ộ
p p
ộ
= p
ờ ờ
- = = -p p
ộ
=
ờ
ờ ờ
ờ
ờ
ẻ
ờ ờ
p
ờ
ờ
= ppp
= + p
ờ ờ
ờ
ở

- = + = -p p
ờ
ờ ờ
ở
ở ở
Â
.
Bai giai tham khao
Ta co:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ộ ự ổ ử
p p p p p
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
- = - - = - - - = - + = - +p
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ

ở ỷ
ở ỷ
t
t x x t
4 4
p p
= + = -ị
. Luc o
( )
1 sin 3t sin 2t . sin t
2
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
- = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4 sin t 3sin t cos2t sin t 0
4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1
ộ ộ
= =

ờ ờ
- + =
ờ ờ
- + - = =
ờ ờ
ở ở
( )

t k
x k
sin t 0
4
x m , k, l, m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4
ộ
p
ộ
= p
ờ
= - + p
ộ
=
ờ
p p
ờ

ờ
ờ
= - + ẻ
ờ
p
ờ
ờ
= p
= + p
ờ
ờ
ở
= + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Ta co:
( )
cos 3x cos 3x cos 3 x
3
ộ ự
ổ ử
p
ữ
ỗ
ờ ỳ

ữ
= - + = - +p
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
" Cõn cu bu thụng minh" Page 13
Bai 11. Giai phng trinh:
( )

3
8 cos x cos 3x 1
3
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1999
Bai 10. Giai phng trinh:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Hoc Viờn Bu Chinh Viờn Thụng nm 1999
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Phng trinh:
( ) ( )

3
1 8 cos x cos 3 x 2
3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ

ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
+ = - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
t
t x
3
p
= +
. Luc o:
( )
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t= - = - +
( )
( )

3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2cos 2t 1 0- = - = + =
( )

t k
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k;l;m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3
ộ
p
ộ
ờ
= + pp
ờ
ờ
= + p
ộ
ờ
=
ờ
ờ
p
ờ

ờ
ờ
= + = p p ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= -
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ở
p
= + p
ờ
= - + pờ
ờ
ở
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t
t x x t
4 4
p p

= + = -ị
. Luc o:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
( ) ( )

3 3 2 2
sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t= - = + - ã
( )

2 2
cos t sin t sin t cos t cos t 0- + - =
( )
( )
( )

cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L
2 2 4
ộ
ổ ử
=
p p
ờ
ữ
ỗ
ữ
- = = + = + p p ẻ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ố ứ
ờ
ở
Â
.
Li binh: Trong

( )
ã
, tụi a s dung ki thuõt ghep cụng thc
2 2
1 sin t cos t= +
. Võy trong giai
phng trinh lng giac, dõu hiờu nh thờ nao ờ biờt ghep nh thờ ? Cõu tra li rõt n
gian: " Khi bõc cua sin va cos khụng ụng bõc va hn kem nhau hai bõc, ta nờn ghep
2 2
1 sin t cos t= +
ờ phng trinh tr nờn n gian hn ".
Cach giai 2.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
ộ ự
ộ ự
ổ ử
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ờ ỳ
ữ
+ = + =
ỗ

ữ
ờ ỳ
ỗ ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ
( ) ( ) ( )

3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x+ = + + =
( ) ( )
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x+ + =

2 2
3 sin x 2 cos x sin x 2 sin x cos x cos x 0- + + + =
( ) ( )

2 2
sin x 3 2 cos x cos x 2 sin x 1 0- + + + =
( ) ( )

2 2
sin x 2sin x 1 cos x 2 sin x 1 0- + + + =
( )
( )
( )

2
2
0 2sin x 1 0 VN
2 sin x 1 cos x sin x 0
cos x sin x 0
ộ
= + >
ờ
+ - =
ờ
- =
ờ
ở
Page 14 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 12. Giai phng trinh:
( )

3
2 sin x 2 sin x 1
4
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )
tan x 1 x k , k
4
p
= = + p ẻ Â
.
Cach giai 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
ộ ự
ộ ự
ổ ử
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ờ ỳ
ữ
+ = + =

ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ
( ) ( )

3
sin x cos x 4 sin x 2+ =
Vi
( )
cos x 0 hay sin x 1= =
khụng phai la nghiờm cua phng trinh
( )
2
nờn chia hai vờ cua
phng trinh
( )
2
cho
3
cos x
, ta c:
( ) ( )
( )

3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x+ = +
Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm:
( )
t an x 1 x k , k
4
p
= = + pẻ Â
.
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t
t x x t
4 4
p p
= - = +ị
. Luc o:
( )
( )
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t= + = +
( )
( )

3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t= + +
( )

3 3 2 2 3

sin t sin t sin t cos t cos t sin t cos t cos t sin t cos t 1 0= + + + + =
( )
( )

cos t 0
3
t k x k k , k
sin 2t 2 L
2 4 4
ộ
=
p p p
ờ
= + = + - + p p p ẻ
ờ
= -
ờ
ở
Â
.
Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai
Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mụt ham bõc nhõt lng giac cos (hoc sin hoc ca
sin va cos) dang tụng (hoc hiờu). Ta nờn ghep cac sụ hang nay thanh cp sao cho hiờu
(hoc tụng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay ờ y
( )
x 4x 5x+ =
va
( )
2x 3x 5x+ =

. Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2 cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
* + + + = + =

5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
" Cõn cu bu thụng minh" Page 15
Bai 14. Giai phng trinh:
( )
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0+ + + = *

Bai 13. Giai phng trinh:

( )

3
sin x 2 sin x 1
4
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
- =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
( )

5x k2
5x k x
cos 0
2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x
x x 2m

cos 0
m
2
2 2
é é
p p p
é
ê ê
= + = +p
ê
ê ê
=
ê
ê ê
p p
ê
ê ê
= = + = +Û Û p Û p Î
ê
ê ê
ê
ê ê
ê
ê ê
= +p p p
=
ê
= + p
ê ê
ê

ë
ê ê
ë ë
¢
.
 Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x cos 2x cos 6x cos 4x 0
2 2 2 2
* - + - + - = + + =Û Û
( )
2 cos 4x cos 2x cos 4x 0 cos 4x 2 cos 2x 1 0+ = + =Û Û
( )

k
cos 4x 0
4x k x
2 8 4
k, l
2
2
cos2x cos
2x l2 x l
3
3 3
é é
p p p

é
=
ê ê
= + = +p
ê
ê ê
ê
Û Û Û Î
ê ê
p
ê
p p
=
ê ê
= ± + = ± +p p
ê
ê ê
ë
ë ë
¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x 2
2 2 2
* - + - + - =Û
( ) ( ) ( )

1 1

cos2x cos 4x cos 6x cos2x cos 6x cos 4x 1 0
2 2
- + + = + + + =Û Û
( )

2
2 cos 4x cos 2x 2 cos 2x 0 2 cos 2x cos 4x cos2x 0+ = + =Û Û
( )

x k
2
cos x 0
4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k, l, m
4 2
cos 3x 0
x m
6 3
é
p
ê
= + p
ê
é
=
ê
ê
p p
ê
ê
= = = +Û Û Û Î

ê
ê
ê
ê
=
ê
ê
p p
ë
= +
ê
ê
ë
¢
.
Bài giải tham khảo
Page 16 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 15. Giải phương trình:
( )

2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = *
.
Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000
Bài 16. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = *
.
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài 17. Giải phương trình:
( )

2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + *
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 2x 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2 2 2 2
* - + - = + + +
( )
cos 2x cos6x cos 4x cos 8x 2 cos 4x cos2x 2 cos 6x cos 2x- + = + - =
( )
2 cos2x cos 6x cos 4x 0 4 cos 2x cos 5x cos x 0+ = =
( )

cos x 0
m
cos2x 0 x k x l x ; k, l, m
2 4 2 10 5
cos 5x 0
ộ

=
ờ
ổ ử ổ ử ổ ử
p p p p p
ờ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
= = + = + = + p ẻ
ỗ ỗ ỗ
ờ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ờ
=
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
* - - + = - - +
cos 6x cos 8x cos10x cos12x 2 cos7x cos x 2 cos11x cos x+ = + =
( ) ( )

x k
2
cos x 0
l
cos x cos 7x cos11x 0 x k, l, m
cos 7x cos11x
2
m
x
9
ộ
p
ờ
= + p
ờ
ờ
ộ
=
p
ờ
ờ
- = = - ẻ
ờ
ờ
=
ờ
ờ
ở
ờ

p
=
ờ
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
x xcos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos 9
2
ổ ử
p
ữ
ỗ
ữ
* + = - + - - + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
cos 3x cos 9x sin 7x sin 5x 0 2 cos 6x cos 3x 2 cos 6x sin x 0+ + - = + =
( ) ( )

x k
12 6
cos 6x 0
cos 6x cos 3x sin x 0 x l k, l, m

cos 3x cos x
4
2
m
x
8 2
ộ
p p
ờ
= +
ờ
ộ
=
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ổ ử
+ = = + p ẻ
p
ờ
ữ
ỗờ
ữ
= +
ỗ
ờ
ữ
ờ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
p p
ờ
ở
= - +
ờ
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 17
Bai 18. Giai phng trinh:
( )

2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x- = - *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2002
Bai 19. Giai phng trinh:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
ổ ử

p
ữ
ỗ
ữ
+ = + - *
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thờ Duc Thờ Thao nm 2001
Bai 20. Giai phng trinh:
( )

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
( ) ( ) ( )
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x
cos2x cos 4x 1 cos 6x 0
2 2 2
- + +
* = + + + + =Û Û
( )

2
2 cos 3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos 3x cos x cos 3x 0+ = + =Û Û
( )

k
x
k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos 2x cos x 0 cos2x 0 x k, l, m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2
é
p p
ê
= +
é
ê
é
p p
=
ê
ê
ê
= +

p p
ê
ê
ê
= = = +Û Û Û Û Î
ê
ê
ê
p p
ê
ê
ê
= +
=
ê
ê
ê
p
ë
ë
= + p
ê
ê
ë
¢
.
 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
( ) ( ) ( )
x , 2x , 7x
và nhận xét

7x x
4x
2
+
=
, ta có thể định
hướng nhóm
( )
sin 7x sin x-
,
( )
2
2 sin 2x 1-
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
( )
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2 cos 4x sin 3x cos 4x 0* - - - = - =Û Û
( ) ( )

k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k, l
1
5 l2

sin 3x
x
2
18 3
é
p p
é
=
ê
= +
ê
ê
ê
- =Û Û Û Î
ê
ê
p p
=
ê
= +
ê
ê
ë
ë
¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
sin x sin 3x sin 2x 1 cos2x cos x* + + = + +Û
( ) ( )

2
2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos x cos x sin 2x 2 cos x 1 cos x 2 cos x 1 0+ = + + - + =Û Û
( ) ( ) ( ) ( )
2 cos x 1 sin 2x cos x 0 2 cos x 1 2 sin x cos x cos x 0+ - = + - =Û Û
( ) ( ) ( )

x k
2
cos x 0
x l2
1
6
cos x 2 sin x 1 2cos x 1 0 sin x k, l, m, n
5
2
x m2
1
6
cos x
2
2
x n2
3
é
p
ê

= + p
é
ê
ê
ê
=
é
p
ê
ê
ê
= + p
ê
ê
ê
ê
ê
- + = =Û Û Û Î
ê
ê
ê
p
ê
ê
ê
= + p
ê
ê
ê
ë

= -
ê
ê
p
ë
ê
= ± + p
ê
ë
¢
.
Page 18 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + *
Bài 23. Giải phương trình:
( )

3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = *
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài 21. Giải phương trình:
( )

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ - = *
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn
Đoàn
Bài giải tham khảo

( )
( ) ( )
3 3 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3 sin x 4 sin x sin 4x* - + - =Û

3 3 3 3 3 3 3
4 sin x cos x 3 sin x3 cos x 3 cos x sin x 4 cos x sin x sin 4x- + - =Û
( )

2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x- =Û

3 3
3 3
sin 2x cos 2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
= =Û Û
( )

3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin 12x 0 12x k x , k
12
p
- = = = =Û Û Û p Û Î ¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
( )
3

cos10x 1 cos 8x cos x 2 cos x 4 cos 3x 3 cos 3x* + + = + -Û
( )
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x cos 9x+ + = +Û
2 cos 9x cos x 1 cos x 2 cos x cos 9x+ = +Û
( )
cos x 1 x k2 , k= =Û Û p Î ¢
.
Bài giải tham khảo
( )
( ) ( )
2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 cos x 0* - - - =Û
( ) ( )

2 2 2
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
é ù
- - - - =Û
ê ú
ë û
( )
( )

2
4 sin x 3 sin x cos x 0- - =Û
( ) ( )
2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0
é ù
- - - =Û
ê ú

ë û
( )

2
1 2 2
x k
cos2x cos 2x k2
3
k;l
2 3 3
sin x cos x tan x 1
x l
4
é
p
é é
p p
ê
= ± + p
ê ê
= - = = ± + p
ê
ê ê
Û Û Û Î
ê
ê ê
p
ê
= =
= + p

ê ê
ê
ë ë
ë
¢
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
( )
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0* + + - + - - =Û
( ) ( ) ( ) ( )
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 1 2 sin x 1 2sin x 0+ + - + - + =Û
( ) ( )
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 1 2 sin x 0+ + - + - =Û
" Cần cù bù thông minh…………" Page 19
Bài 24. Giải phương trình:
( )

2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + *
Bài 25. Giải phương trình:
( )

3 3 2
4 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ - - = *
Bài 26. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )

2

2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + - + = *
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
( ) ( )
3 cos 4x 1 2 sin x 1 0- + =
( )

k
x
4x k2
2
cos 4x 1
x l2 x l2 k;l; m
1
6 6
sin 2x
2
7 7
x m2 x m2
6 6
ộ
p
ộ
ờ
=
ờ
= p
ờ
ờ
ộ
=

ờ
ờ
ờ
p p
ờ
ờ
ờ
= - + = - + p p ẻ
ờ
ờ
ờ
= -
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
p p
ờ
= + = +p p
ờ
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
( ) ( )

6 8 6 8 6 2 6 2
sin x 2 sin x cos x 2 cos x 0 sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0* - + - = - - - =
( )

6 6 6 6
sin x cos 2x cos x cos 2x 0 cos 2x sin x cos x 0- = - =
( )

6 6
k
x
cos2x 0
cos 2x 0
k
4 2
x , k
tan x 1
sin x cos x
4 2
x k
4
ộ
p p
ờ
ộ
= +
ộ
=
=
p p

ờ
ờ
ờ
= + ẻ
ờ
ờ
ờ
= p
=
ờ
ờ
ờ
ở
ở = + p
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
( )
( ) ( )
10 8 8 10
5
2 cos x cos x sin x 2 sin x cos 2x 0
4
* - - - + =
( ) ( )

8 2 8 2
5

cos x 2 cos x 1 sin x 1 2 cos x cos 2x 0
4
- - - + =

8 8 8 8
5 5
cos x.cos 2x sin x cos 2x cos 2x 0 cos2x cos x sin x 0
4 4
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + = - + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
( )

8 8
8 8
cos2x 0
2x k
k
2
x , k

5
5
4 2
cos x sin x 0
sin x cos x 1 VN
4
4
ộ
p
ộ
=
ờ
= + p
ờ
p p
ờ
ờ
= + ẻ
ờ
ờ
- + =
ờ
= + >
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
Bai giai tham khao

Cach giai 1
( )
( ) ( )
3 5 5 3
sin x 2 sin x 2 cos x cos x 0* - - + =
( ) ( )

3 2 3 2 3 3
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0 sin x cos 2x cos x cos 2x 0- - - = - =
Page 20 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 27. Giai phng trinh:
( )
( )

6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Ha Nụi Khụi B nm 1999
Bai 28. Giai phng trinh:
( )
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Ngoai Thng Tp.HCM khụi D 2000
Bai 29. Giai phng trinh:
( )
( )

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục gia Ha Nụi khụi D 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )
( )

3 3
3
cos2x 0
m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1
4 2
ộ
=
p p
ờ
- = = + ẻ
ờ
=
ờ
ở
Â
.
Cach giai 2
( )
( ) ( )

3 3 2 2 5 5
sin x cos x sin x cos x 2 sin x 2 cos x 0* + + - - =
( ) ( )

3 2 5 5 3 2
sin x cos x sin x cos x cos sin x 0- - - =
( ) ( ) ( )

3 2 2 3 2 2 3 3
sin x cos x sin x cos x cos x sin x 0 cos 2x sin x cos x 0- - - = - =
( )

3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
m
x , m
sin x cos x 0 tan x 1
4 2
ộ ộ
= =
p p
ờ ờ
= + ẻ
ờ ờ
- = =
ờ ờ
ở ở
Â
.
Bai giai tham khao

( )
2 2
2
1 cos 2x 1 cos 2x
3 sin 2x 0
2 2
ổ ử ổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
* - + =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
( ) ( ) ( )

2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0+ + - - + - + =
( )

2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos 2x 2 cos 2x 1 0+ = + =
( )

k
cos2x 0

x k
4 2 4
k, m
1
cos2x
x m
2
3
ộ
p p p
ộ
=
ờ
= + + p
ờ
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
p
= -
ờ
= + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.

Cach khac
Do
cos x 0 hay sin x 1= =
khụng la nghiờm cua phng trinh
( )
*
Chia hai vờ cua
( )
*
cho
4
cos x
, ta c:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 t an x t an x 0
t tan x 0
ỡ
ù
- + =
ù
ù
* - + =
ớ
ù
=
ù

ù
ợ
( )

2
2
2
t 1
x k
tan x 1
tan x 1
4
t 3
k, m
tan x 3
tan x 3
x m
t tan x
3
ộ
ỡ
ộ
ù
p
=
ù
ờ
ộ
ờ
ộ

= + p
=
ù
=
ờ
ù ờ
ờ
ờ
=
ẻ
ớ
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ù
p
=
=
ờ
ờ
ờ
ù
= + p
ở
ở
ù
=
ờ

ù
ợ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Li binh: Ta nhõn thõy trong phng trinh co cha
cos 3x
lõn
sin 3x
, nờu ta s dung cụng thc
nhõn ba ờ khai triờn cung i ờn kờt qua cuụi cung, nhng no tng ụi phc tap.
" Cõn cu bu thụng minh" Page 21
Bai 30. Giai phng trinh:
( )

4 2 2 4
3 cos x 4 cos x sin x sin x 0- + = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Tp.HCM 1998 1999 t 1
Bai 31. Giai phng trinh:
( )

3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
-
- = *
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất

hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số

2 3 2
8
-
phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
-
* - =Û
( ) ( )

2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos 2x cos 4x sin x
2 2 8
-
+ - - =Û

2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos 2x sin x cos 4x sin x
4
-

+ - + =Û
( ) ( )

2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
-
+ + - =Û
( )

2
2 3 2 1 2 3 2
cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
- -
+ = + + =Û Û
( ) ( )

2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
p p
+ + = - = - = ± +Û Û Û Î ¢
.
Bài giải tham khảo
 Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x, 4x, 8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức

2 2
cos 2x 2 cos x 1 1 2 sin x= - = -
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
,
bằng cách nhân thêm hai vế của
( )
*
cho
sin x
. Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem
sin x 0=
có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy:
( )
sin x 0 x k hay cos x 1 cos 2x cos 4x cos 8x 1= = = ± = = =Û p Û
nên
( )
1
1
16
* ± =Û
(vô nghiệm) nên
sin x 0 x k= =Û p
không là nghiệm của
( )
*

● Nhân cả 2 vế của phương trình
( )
*
cho
16 sin x 0¹
, ta được:
( )
16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin 2x cos2x cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
ì ì
ï ï
= =
ï ï
* ÛÛ
í í
ï ï
¹ ¹
ï ï
î î

4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2 sin 8x cos 8x sin x sin 16x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
ì ì ì
ï ï ï
= = =
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
¹ ¹ ¹

ï ï ï
î î î

k2
x
k2
x
15
15
l
x
l
x
17 17
17 17
x m
ì
é
ï
p
ï
ê
é
=
ï
p
ï
ê
ê
=

ï
ê
ê
ï
ï
p p
Û Û
í
ê
ê
= +
ï
p p
ê
ê
ï
= +
ë
ï
ê
ï
ë
ï
¹ p
ï
ï
î
với
( )

17p 1
k 15n; l ; k, l, m, n, p
2
-
¹ ¹ Î ¢
.
Page 22 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Bài 32. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos 2x cos 4x cos 8x
16
= *
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
Bai giai tham khao
( )
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 2 3 sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x* = + - = +
( )
( )
( )

2
2 sin 3x 2 cos 2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1- = - = o
Do
( )

cos x 0 x k , k
2
p
= = + pẻ Â
khụng la nghiờm phng trinh
( )
o
, nờn nhõn hai vờ
( )
o
cho
cos x 0ạ
, ta c:
( )
( )
3
2 sin 3x 4 cos x 3 cos x cos x 2 sin 3x cos 3x cos x- = = o
( )

l2
x
14 7
sin 6x cos x cos x cos 6x l, k
m2
2
x
10 5
ộ
p p
ờ

= +
ổ ử
p
ờ
ữ
ỗ
ữ
= = - ẻ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
p p
ố ứ
ờ
= +
ờ
ở
Â
.
Bai giai tham khao
Khi
( )
x k2 , k= pẻ Â
thi
( ) ( )
1
5

2
* = - * ị
khụng co nghiờm
( )
x k2 , k= pẻ Â
.
Khi
( )
x
x k2 , k sin 0
2
ạ p ẻ ị ạÂ
. Nhõn hai vờ cua
( )
*
cho
x
2 sin 0
2
ạ
, ta c:
( )
x x x x x x
2 sin cos x 2 sin cos 2x 2 sin cos 3x 2 sin cos 4x 2 sin cos 5x sin
2 2 2 2 2 2
* + + + + = -

3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- + - + - + - + - = -
.
( )

11x 11x 2m
sin 0 m x , m 11, m
2 2 11
p
= = = p ạ ẻ Â
.
Bai giai tham khao
Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng
sin cos
,
cos sin
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nhm muc ich " n
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng

Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem co thoa khụng. Nờu thoa thi ghi nhõn
nghiờm õy, nờu khụng thoa thi loai.
" Cõn cu bu thụng minh" Page 23
Bai 33. Giai phng trinh:
( )

3
4 sin 3x cos 2x 1 6 sin x 8 sin x= + - *
Bai 34. Giai phng trinh:
( )

1
cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = - *
Bai 35. Giai phng trinh:
( )

sin 2x 2 cos x sin x 1
0
t an x 3
+ - -
= *
+
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2011
Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Hoc biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm trờn cung mụt ng
tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghiờm khi co trung vi ngon cung
cua iờu kiờn.
Hoc so vi iờu kiờn trong qua trinh giai phng trinh.

iờu kiờn:
tan x 3
cos x 0
ỡ
ù
-ạ
ù
ù
ớ
ù
ạ
ù
ù
ợ
( ) ( ) ( )
sin 2x 2 cos x sin x 1 0 2 cos x sin x 1 sin x 1 0* + - - = + - + =
( ) ( ) ( )

1
x k2
cos x
3
sin x 1 2cos x 1 0 k, l
2
sin x 1
x l2
2
ộ
p
ộ

ờ
= + p
ờ
=
ờ
ờ
+ - = ẻ
ờ
ờ
p
ờ
= -
= - + p
ờ
ờ
ở
ở
Â
.
So vi iờu kiờn, ho nghiờm cua phng trinh la
( )
x k2 , k
3
p
= + pẻ Â
.
Bai giai tham khao
iờu kiờn:
sin x 0ạ
( )

2 2
sin x(1 sin 2x cos 2x) 2 2 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 2 2 cos x* + + = + + =
( )

2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0+ - = + - =
( )

cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
4
4
ộ
ộ
p
=
ờ
ộ
= + p
ờ
=
ờ
ờ
ờ

ổ ử
ẻ
p
ờ
ờ
ữ
ỗ
ờ
p
ữ
- =
+ =
ỗ
ờ
ờ
ữ
ờ
ỗ
= + p
ữ
ở
ỗ
ờ
ố ứ
ờ
ở
ở
Â
.
So vi iờu kiờn, ho nghiờm phng trinh la

( )
x k x l2 , k, l
2 4
p p
= + = +p pẻ Â
.
Bai giai tham khao
iờu kiờn:
( )
sin x 0
2 sin x cos x 0 sin 2x 0 2x k x k , k
cos x 0
2
ỡ
ù
ạ
p
ù
ạ ạ ạ p ạ ẻ
ớ
ù
ạ
ù
ợ
Â
.
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin 2x cos 2x 2 sin 2x cos 2x

cos x sin x sin x cos x
+
* + = + = +
( ) ( )

1 1
2 sin 2x cos2x sin 2x cos 2x
sin x cos x sin 2x
= + = +
( )

2
sin 2x sin 2x cos2x 1 sin 2x sin 2x cos 2x 1 0+ = + - =
( )

2
sin 2x cos 2x cos 2x 0 cos2x sin 2x cos2x 0- = - =
Page 24 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Bai 36. Giai phng trinh:
( )

2
1 sin 2x cos 2x
2 sin x sin 2x
1 cot x
+ +
= *
+
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2011
Bai 37. Giai phng trinh:

( ) ( )
t an x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn
on
( )

cos2x 0
x k
4
2 cos 2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2
ộ
ộ
p
=
ờ
= + p
ờ
ổ ử
p
ờ
ữ
ỗ
ờ

ổ ử
ữ
- = ẻ
ỗ
p
ờ
ữ
ữ
ỗ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
p p
ữ
- =
ỗ
ố ứ
ờ
ữ
ờ
ỗ
= +
ữ
ỗ
ờ
ố ứ
ờ
ở
ở

Â
.
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm:
( )
x k x l , k, l
4 8 2
p p p
= + = +p ẻ Â
.
Bai giai tham khao
iờu kiờn:
( )

3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3
ỡ
ù
ạ
p p
ù
ù
+ ạ ạ ẻ
ớ
ù
= - ạ
ù

ù
ợ
Â
.
( ) ( )
sin x sin x sin 3x
tan x t an x t an 3x 2 2
cos x cos x cos 3x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
* + = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )

2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x+ =
( )

2
sin x sin 2x 2 cos x cos 3x- =

2 2
2 sin x cos x 2cos x cos 3x- =

( )

2
sin x cos x cos 3x do cos x 0- = ạ
( ) ( )

1 1
1 cos 2x cos 4x cos2x
2 2
- - = +
( )

l
cos 4x 1 x , l
4 2
p p
= - = + ẻ Â
So nghiờm vi iờu kiờn:
Cach 1 : Khi
l
x
4 2
p p
= +
thi
3 l3 2
cos 3x cos 0
4 2 2
ổ ử
p p

ữ
ỗ
ữ
= + = ạ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(nhõn).
Cach 2 : Biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm, ta thõy khụng co ngon cung
nao trung nhau. Do o:
l
x
4 2
p p
= +
la nghiờm cua
phng trinh. (Cach 2 nay mõt nhiờu thi gian).
Cach 3 : Nờu
3 l3
3x k
4 2 2
p p p
= + = + p
thi

3 6l 2 4k 2k 3l 0, 5+ = + - =
(vụ li vi

k, l ẻ Â
).
Võy ho nghiờm cua phng trinh la:
( )
l
x , l
4 2
p p
= + ẻ Â
.
Bai giai tham khao
" Cõn cu bu thụng minh" Page 25
Bai 38. Giai phng trinh:
( )

2
t an x tan x t an 3x 2+ = *
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
/4
/6
/2
3/4
5/6
7/6
5/4
3/2
7/4
11/6
Bai 39. Giai phng trinh:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = *

Chuyên đề 1 hàm số lượng giác và PT lượng giác

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về