PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
CHUYÊN ĐỀ MÔN: TOÁN.
Tác giả: Nguyễn Ngọc Xuân
Tổ: Toán. Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Tỉnh: Hòa Bình.
PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình
hàm. Ta có thể:
• Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là
0, 1, 2, ± ±
• Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu
thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt
( )
f x y+
mà
muốn có
( )
0f
thì ta thế y bởi
x−
, muốc có
( )
f x
thì cho
0y =
, muốn có
( )
f nx
thì thế
y
bởi

( )
1n x−
.
1.1 Thế ẩn tạo PTH mới:
Ví dụ 1: Tìm
{ }
: \ 2f →¡ ¡
thỏa mãn
( )
2
2 1
2 1 1
1
x
f x x x
x
+
 
⇒ + ∀ ≠
 ÷
−
 
.
Lời giải: Đặt
{ }
1
2 1
\ 2
1
x

x
t t
x
MGT
≠
+
 
= ⇒ =
 ÷
−
 
¡
(tập xác định của f). Ta được:
1t
x
t x
+
=
−
thế vào (1):
( )
( )
2
2
3 3
2
t
f t t
t x
−

= ∀ ≠
−
. Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm có dạng
( )
( )
2
2
3 3t
f t
t x
−
=
−
.
Nhận xét:
+ Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết
x
x D
t D
MGT
∈
⊃
. Với giả thiết đó mới đảm bảo tính chất: “ Khi t
chạy khắp các giá trị của t thì x=1 cũng chạy khắp tập xác định của f”.
+ Trong ví dụ 1,nếu
:f →¡ ¡
thì có vô số hàm dạng
( )
( )

( )
2
2
3 3
2
2
x
x
f x
x
a

−
≠

=
−



(Với
a
∈
¡
tùy ý)
Ví dụ 2: Tìm hàm
]
(
]
(

: ; 1 0;1f −∞ − ∪ → ¡
thỏa mãn:
(
)
( )
2 2
1 1 1 2f x x x x x− − = + − ∀ ≥
.
Lời giải: Đặt
( )
2 2
2
2
0
1 1
1
x t
t x x x x t
x x t
− ≥


= − − ⇔ − = − ⇔

− = −


Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
2
2 2 2

1
1 2
2
x t
x t
t
x x xt t
x
t
≥

≥


⇔ ⇔
 
+
− = − +
=



. Hệ có nghiệm
2
1
1
0 1
2
t
t

x t
t
t
≤ −

+
⇔ ≥ ⇔

< ≤

]
(
]
(
; 1 0;1t ∈ −∞ − ∪
. Vậy
]
(
]
(
1
; 1 0;1
x
t D
MGT
≥
= = −∞ − ∪
.
Với
2

1t x x= − −
thì
( )
2
1 1
1x x f t
t t
+ − = ⇒ =
thỏa mãn (2).
Vậy
( )
1
f x
x
=
là hàm số cần tìm.
Ví dụ 3: Tìm
2
: \ ;3
3
f
 
→
 
 
¡ ¡
thảo mãn:
( )
3 1 1
1, 2 3

2 1
x x
f x x
x x
− +
 
= ∀ ≠ ≠
 ÷
+ −
 
.
Lời giải: Đặt
( )
1
2
3 1 2 2 1
\ ;3
2 3 3
x
x
x t
t t x
x t
MGT
≠
≠
− +
 
= ⇒ = ⇒ =
 

+ −
 
¡
thế vào (4) ta được:
( )
4
3 2
t
f t
t
+
=
−

thỏa mãn (3). Vậy hàm số cần tìm là:
( )
4
3 2
t
f x
x
+
=
−
Ví dụ 4: Tìm
( ) ( )
: 0; 0;f +∞ → +∞
thỏa mãn:
( )
( )

( )
( )
( ) ( )
, 0; 4 .xf xf y f f y x y= ∀ ∈ +∞
Lời giải:
Cho
( )
1, 0;y x= ∈ +∞
, ta được:
( )
( )
( )
( )
1 1xf xf f f=
.
Cho
( )
1
1
x
f
=
ta được:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1

1 1 1 1 1f f xf x f xf
x
= ⇒ = ⇒ =
. Đặt:
( ) ( )
( )
( )
1
1
f
a
t xf f t f t
t t
= ⇒ = ⇒ =
(với
( )
1a f=
). Vì
( ) ( )
( )
( )
0;
1 0; 0;
x
f t
MGT
∈ +∞
∈ +∞ ⇒ = +∞
.
Ví dụ 5: Tìm hàm

( ) ( )
: 0; 0;f +∞ → +∞
thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3
1 ; . . , 0;
2
f f xy f x f f y f x y
x y
 
 
= = + ∀ ∈ +∞
 ÷
 ÷
 
 
(5).
Lời giải:
Cho
1; 3x y= =
ta được:
( )
1
3
2
f =
.
Cho
( )
1; 0;x y= ∈ +∞

ta được:
( )
3
f y f
y
 
=
 ÷
 
. Thế lại (5) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 , 0; 5'f xy f x f y x y= ∀ ∈ +∞
. Thay y bởi
3
x
ta đượcL
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 1
3 2f f x f f x
x x
   
= ⇒ =
 ÷  ÷
   
. Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm là:
( )

1
0
2
f x x= ∀ >
.
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Ví dụ 6: Tìm hàm
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
( ) 4 , 6 .x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = + ∀ ∈¡
Lời giải: Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6
1 1
4 4
x y f x y x y f x y
x y x y x y x y x y x y x y x y
⇔ − + − + − =
 
       
= + − − + + + − + + − − + − −
       
 
 

Đặt
u x y
v x y
= −


= +

ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
3 3 3 3
1
4
vf u uf v u v u v u v u v
vf u uf v u v v u v f u u u f u v
− = + − + − −
⇒ − = − ⇔ − = −
+ Với
0uv ≠
ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3 3 3
* 3

, 0
f u u f v v f u u
u v a f u au u u
u v u
− − −
= ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = + ∀ ≠¡
+ Với
0; 0u v= ≠
suy ra:
( ) ( ) ( )
3 3
0 0 0.f u u f u u f− = ⇔ = ⇒ =
Hàm
( )
3
f u au u= +
thỏa mãn
( )
0 0f =
. Vậy
( )
3
f u au u u= + ∀ ∈¡
Hàm số cần tìm là:
( ) ( )
3
f u ax x a= + ∈¡
. Thử lại thấy đúng.
1.2. Thế ẩn tạo ra hệ PTH mới:
Ví dụ 1: Tìm hàm

:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡
.
Lời giải:
Đặt
t x= −
, ta được:
( ) ( ) ( )
1 1f t tf t t t− − − = − + ∀ ∈¡
. Ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
f x xf x x
f x
xf x f x x

+ − = +

⇒ =

− + − = − +


. Thử lại hàm số cần tìm là:

( )
1f x =
.
Ví dụ 2: Tìm hàm số
{ }
: \ 0,1f →¡ ¡
Thỏa mãn:
( ) ( )
*
1
1 2
x
f x f x x
x
−
 
+ = + ∀ ∈
 ÷
 
¡
.
Lời giải: Đặt
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 2 1 .
x
x f x f x x
x
−

= ⇔ + = +
Đặt
( ) ( ) ( )
1
2 1 2 1
1
1 1
, 2 1 .
1
x
x f x f x x
x x
−
= = ⇔ + = +
−
Đặt
( ) ( ) ( )
2
3 2 2
2
1
, 2 1 .
x
x x f x f x x
x
−
= = ⇔ + = +
Ta có hệ
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
1
1 2
2 1 1
3 2 2
1
1 1 1 1
1
2 2 1
1
f x f x x
x x x
f x f x x f x x
x x
f x f x x

+ = +

+ − +
 
+ = + ⇒ = = + +

 ÷
−
 

+ = +

. Thử lại thấy đúng.

Vậy hàm số cần tìm có dạng:
( )
1 1 1
2 1
f x x
x x
 
= + +
 ÷
−
 
.
Ví dụ 3: Tìm hàm số
{ }
: \ 1;0;1f − →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( )
1
1 1 3 .
1
x
xf x xf x
x
−
 
+ = ∀ ≠ −
 ÷
+
 
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ

Lời giải:
Đặt
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 3 2 1.
1
x
x xf x f x
x
−
= ⇒ + =
+
Đặt
( ) ( ) ( )
1
2 1 1 2
1
1 1
, 3 2 1.
1
x
x x f x f x
x x
−
= = − ⇒ + =
+
Đặt
( ) ( ) ( )
2

3 2 2 3
2
1 1
, 3 2 1.
1 1
x x
x x f x f x
x x
− +
= = ⇒ + =
+ −
Đặt
( ) ( ) ( )
3
4 3 3
3
1
, 3 2 1.
1
x
x x x f x f x
x
−
= = ⇒ + =
+
Ta có hệ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( )
( )
1
2
1 1 2
2 2 3
3 3
2 1
2 1
4 1
.
5 1
2 1
2 1
xf x f x
x f x f x
x x
f x
x x
x f x f x
x f x f x

+ =

+ =

− +
⇒ =

−

+ =


+ =

Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm là:
( )
( )
2
4 1
.
5 1
x x
f x
x x
− +
=
−
Ví dụ 4. (Áo 1996) Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2 4
1 2 2 ,x f x f x x x+ − = − ∀ ∪ ¡
Giải
Thay
x
bởi
1 x−

ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
1 1 2 1 1x f x f x x x− − + = − − −
Như vậy ta có hệ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2 4
1 2 2
1 1 2 1 1
x f x f x x
x f x f x x x

+ − = −


− − + = − − −


Ta có
( ) ( )
2 2
1 1D x x x x= − − − +
và
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
x
D x x x x x= − − − − +

. Vậy
( )
. ,
x
D f x D x= ∀ ∈¡
.
Từ đó ta có nghiệm của bài toán là
( )
2
4 2
1 : ,
:
2 :2
x x a x b
f x c x a
a a a b

− ≠ ≠

= ∈ =


− − =

¡
(c là hằng số tùy ý),
Với a, b là nghiệm của phương trình
2
1 0x x− − =
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ

Nhận xét: bài toán trên được dùng một lần nữa trong kì thi VMO 2000, bảng B.
Ví dụ 5. Tìm tất các các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2 cos , ,f x y f x y f x y x y+ + − = ∀ ∈¡
Hint:
1. Thế
2
y
π
→
1. Thế
2
y y
π
→ +
2. Thế
0x →
Đáp số:
( ) ( )
cos sin ,f x a x b x a b= + ∈¡
Ví dụ 6.
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( )
, ,f xy x y f xy f x f y x y+ + = + + ∈¡
. Chứng
minh rằng:
( ) ( ) ( )

, ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡
Hint:
1. Tính
( )
0f
2. Thế
1y = −
. Chứng minh
f
là hàm số
3. Thế
( ) ( )
1 2 1 2 1y f x f x= ⇒ + = +
4. Tính
( )
( )
2 1f u v uv+ + +
theo (3) và theo giả thiết để suy ra
( ) ( ) ( )
2 2f uv u f uv f u+ = +
5. Cho
1
,
2 2
y
v x= − →
và
,2u y uv x→ →
để suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 7. Tìm tất cả các hàm số

:f →¡ ¡
đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 , 0
1 , , , , 0,0 ; 0
f x xf x x
f x f y f x y x y x y x y
= ∀ ≠
+ = + + ∀ ∈ ≠ + ≠¡
Hint:
1. Tính
( ) ( )
0 , 1f f −
2. Tính
1a +
với
( )
1 1
1 1
1 1
x
a f f f x
x x
+
   
= = = +
 ÷  ÷
+ +
   

theo cả hai điều kiện.
Đáp số:
( )
1f x x= +
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Nhận xét: Thủ thuật này áp dụng cho một lớp các bài toán gần tuyến tính
Ví dụ 8. Tìm tất cả các hàm số
*
:f →¡ ¡
thỏa mãn
( )
1
1
2
f =
và
( ) ( ) ( )
3 3
, ,f xy f x f f y f x y
y x
+
 
 
= + ∀ ∈
 ÷
 ÷
 
 
¡
Hint:

1. Tính
( )
3f
2. Thế
3y →
Đáp số:
( )
1
2
f x =
Ví dụ 9. Tìm tất các các hàm số
*
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện:
( )
*
1
2 3 ,f z f x x
y
 
+ = ∀ ∈
 ÷
 
¡
Hint: Thế
1
x
x
→
Đáp số:

( )
2
f x x
x
= −
Ví dụ 10. Tìm tất cả các hàm số
{ }
: \ 0,1f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện:
( ) { }
1
2 , \ 0,1
x
f x f x x
x
−
 
+ = ∀ ∈
 ÷
 
¡
Hint:
Thế
1 1
,
1
x
x x
x x
− −

→ →
−
Đáp số:
( )
1 1
1
x
f x x
x x
−
= + −
−
Luyện tập:
2. Tìm tất cả các hàm số
:f
+ +
→¤ ¤
thỏa mãn điều kiện:
( ) ( )
1 1,f x f x x
+
+ = + ∀ ∈¤
và
( )
( )
3 3
,f x f x x
+
= ∀ ∈¤
Hint:

1. Quy nạp
( ) ( )
, ,f x n f x n x
+
+ = + ∀ ∈ ∀∈¤ ¥
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
2. 2. Với
p
q
+
∈¤
, tính
3
2
p
f q
q
 
 
 ÷
+
 ÷
 ÷
 
 
theo hai cách.
Đáp số:
( )
,f x x x
+

= ∀ ∈¤
Ví dụ 11. (VMO 2002). Hãy tìm tất cảc các hàm số
( )
f x
xác định trên tấp số thực
¡
và thỏa mãn
hệ thức
( )
( )
( )
( )
2002
2001. . , ,f y f x f x y y f x x y− = − − ∀ ∈¡
(1)
Giải
a. Thế
( )
y f x=
vào (1) ta được
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2002
0 202. ,f f x f x f x x= − − ∀ ∈¡
(2)
b. Lại thay
2002

y x=
vào (1) thì
( )
( )
( ) ( )
2002 2002
0 2001. . ,f x f x f x f x x− = − ∀ ∈¡
(3)
Lấy (2) cộng với (3) ta được
( ) ( )
( )
2002
0,f x f x x x+ = ∀ ∈¡
Từ đây suy ra với mỗi giá trị
x
∈
¡
thì ta có hoặc là
( )
0f x =
hoặc là
( )
2002
f x x= −
. Ta sẽ chỉ ra
rằng để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc phải có đồng nhất
( )
0,f x x≡ ∀ ∈¡
hoặc
( )

2002
,f x x x≡ − ∀ ∈¡
.
Thật vậy, vì
( )
0 0f =
trong cả hai hàm số trên, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại
0a
≠
sao cho
( )
0f a =
và tồn tại
0b
>
sao cho
( )
2002
f b b= −
(vì chỉ cần thay
0x
=
vào quan hệ (1)
ta nhận được hàm
f
là hàm chẵn). Khi đó thế
x a=
và
y b= −
vào (1) ta được

( )
( )
2002
f b f a b− = +
Vậy ta nhận được dãy quan hệ sau
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
2002
2002
002 2002
2002 2002 2002
0
0 0 0
b
f b
f b
f a b
a b a b b
2
≠ −
=
= −
= +

≠


=

− + − + < −


Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Bằng cách thử lại quan hệ hàm ban đầu ta kết luận chỉ có hàm số
( )
0,f x x≡ ∀ ∈¡
thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
Ví dụ 12. (Hàn Quốc 2003) Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
, ,f x f y f x xf y f f y x y− = + + ∀ ∈¡
(4)
Giải
Nhận thấy hàm
( )
0f x ≡
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét trường hợp
( )
0f x ≠
a. Thế
( )

x f y=
vào (4) ta được
( ) ( ) ( )
( )
2
2
0
0 2
2 2
f
x
f f z z f x= + → = − +
.
Hay
( )
( )
( ) ( )
2
0
1 2
f x f
f f x = − +
.
b. Thế
( )
x f z=
, với
z
là một số thuộc
¡

thì ta được
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
f f z f y f f z f z f y f f y− = + +
.
Với lưu ý là
( )
( )
( ) ( )
2
0
2 2
f y f
f f y = − +
và
( )
( )
( ) ( )
2
0
2 2
f z f
f f z = − +
Thay vào quan hệ hàm ở trên ta được

( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( )
2
0
2
f z f y
f f z f y f
−
− = − +
. (5)
c. Tiếp theo ta chứng tỏ tập
( ) ( )
{ }
| ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡
. Do
( )
0f x ≠
nên tồn tại một giá trị
0
y
sao cho
( )
0
0f y a= ≠
. Khi đó từ quan hệ (4) ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x a f x xa f a f x a f x ax fa− = + + → − − = +
.

Vì vế phải là hàm bậc nhấ cả X nên
xa fa+
có tập giá trị là toàn bộ
¡
. Do đó hiệu
( ) ( )
f x a f x− −

cũng có tập giá trị là toàn bộ
¡
, khi
x∈¡
. Mà
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
| , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈ =¡ ¡ ¡
,
Do đó
( ) ( )
{ }
| ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡
. Vậy từ quan hệ (5) ta thu được
( ) ( )
2
0 ,
2
x
f x f x= − + ∀ ∈¡

Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Mặt khác ta lại có
( ) ( ) ( )
2
0 ,
2
x
f x f x T f= − + ∀ ∈
Nên
( )
0 0f =
. Thử lại thấy hàm số
( )
2
,
2
x
f x x= − ∀ ∈¡
thỏa mãn hệ hàm.
Kết luận: Có hai hàm số thỏa mãn là
( )
2
,
2
x
f x x= − ∀ ∈¡
hoặc .
Nhận xét: Bài toán trên lấy ý tưởng từ bài thi IMO 1996: Tìm tất cá các hàm số
:f →¡ ¡

thỏa mãn
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1, ,f x f y f f y xf y f x x y− = + + − ∀ ∈¡
.
Đáp số là
( )
2
1,
2
x
f x x= − + ∀ ∈¡
Ví dụ 13. (Iran 1999) Xác định các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn
( )
( )
( )
( )
2
4 , ,f f x y f x y yf x x y+ = − + ∀ ∈¡
Giải
a. Thế
2
y x=
ta được
( )

( )
( ) ( )
2 2
0 4 ,f f x x f x f x x+ = + ∀ ∈¡
b. Thế
( )
y f x= −
ta được
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0 4 ,f f f x x f x x= + − ∀ ∈¡
Cộng hai phương trình trên ta được
( ) ( )
( )
2
4 0,f x f x x x− = ∀ ∈¡
.
Từ đây ta thấy vỡi mỗi
x
∈
¡
thì hoặc là
( )
0f x ≡
hoặc là
( )

2
f x x=
. Ta chứng minh nếu
f
thỏa
mãn yêu cầu bài toán thì
f
phải đồng nhất với hai hàm số trên. Nhận thấy
( )
0 0f =
, từ đó thay
0x
=
ta được
( ) ( )
,f y f y y= − ∀ ∈¡
, hay
f
là hàm chẵn. Giả sử tồn tại
0, 0a b≠ ≠
sao cho
( ) ( )
2
0,f a f b b= = −
, khi đó thay
,x a y b= = −
ta được
( )
( )
( )

( )
2 2
.f b f a b f b f a b− = + → = +
Từ đó ta có quan hệ sau
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
2
2
2 2
2 2 2
0
0 (0 0)
b
f b
f b
f a b
a b a a b b
≠ −
=
= −
= +
≠


=


− + − + < −

Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Do đó xảy ra điều mâu thuẫn. Thử lại thấy hàm số
( )
0f x ≡
thỏa mãn yêu cầu.
Nhận xét:
1. Rõ ràng bài toán VMO 2002 có ý tưởng giống bài toán này.
2. Ngoài phép thế như trên thì bài toán này ta cũng có thể thực hiện những phép thế khác nhau
như:
a. Thế
( )
( )
2
1
.
2
y x f x= −
b. Thế
0y =
để
( )
( )
( )
2
f f x f x=
, sau đó thế
( )
2

y x f x= −
.
c. Thế
( )
y x f x= −
và sau đó là
2
y x x= −
.
Ví dụ 14. Tìm hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện:
( )
( )
( ) ( )
2 , ,f x f y f x x f y x y− = + + ∀ ∈¡
. (6)
Giải
Nhận thấy hàm
( )
0f x ≡
không thỏa mãn yêu cầu. Xét
( )
0f x ≠
.
a. Thay
x
bởi
( )
f y

vào (6) ta được
( )
( )
( )
( )
0
2
f
f f y f y= − +
b. Lại thay
x
bởi
( )
f x
ta được
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
0
2
2

0
f f x f y f f x f x f y
f
f x f x f y
f x f y f
− = + +
 
= − + + +
 ÷
 
= − − +
Tuy nhiên việc chứng minh tập
( ) ( )
{ }
| ,f x f y x y− ∈¡
có tập giá trị là
¡
chưa thực hiện được.
c. Từ đây ta có
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( )
( )
2
2
2 2 0
2 2 0 .
f f x f y f f x f y f y
f f x f y f x f y f y
f x f y f f x
f x f y f
− = − −
= − + − +
= − − + +
= − − +
Ta sẽ chứng minh tập
( ) ( )
{ }
2 | ,f x f y x y− ∈¡
bằng
¡
. Thật vạy tồn tại giá trị
0
y ∈¡
sao cho
( )
0
0f y a= ≠
. Khi đó thay
0
y y=

vào (6) ta có
( ) ( )
2 ,f x a f x x a x− − = + ∀ ∈¡
Mà khi
x
∈
¡
thif
x a+
có tập giá trị là
¡
. Chứng tỏ tập
( ) ( )
{ }
2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡
. Mà
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
2 | , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈¡ ¡
nên
( ) ( )
{ }
2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡
. Do đó từ
(c) ta kết luận
( )
,f x x x= − ∀ ∈¡
. Thay vào (6) ta được

( )
0 0f =
Kết luận: Hàm số
( )
,f x x x= − ∀ ∈¡
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Ví dụ 15. (Belarus 1995) Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( )
( )
( ) ( ) ( )
f f x y f x y f x f y+ = + +
Giải
Rõ ràng
f
khác hằng số.
a. a.
0y =
vào điều kiện bài toán ta được
( )
( )
( )
( )
( )
1 ,f f x f o f x x= + ∀ ∈ ¡
b. Trong đẳng thức trên thay
x
bởi

x y+
thì
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 0 ,f f x y f f x y f x y f x f y xy+ + = + = + + −
Đơn giản ta được
( ) ( ) ( ) ( )
0 .f f x y f x f y xy+ = −
(7)
c. Thay
1y =
vào (7) thì
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1f x f x f x+ = −
.
d. Lại thay
1y = −
vào
x
bởi
1x +
vào (7) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
0 . 1 . 1 1f f x f x f x= + − + +
.
Kết hợp hai đẳng thức trên ta được
( )

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
0 1 1 0 1 0f f f f x f f f x f− − − = − − +
.
Nếu
( )
( )
( ) ( )
2
0 1 1 0f f f− − =
, thì thay
0x =
vào phương trình cuối cùng ta được
( )
0 0f =
, nên
theo (7) thì
( ) ( )
f x f y xy=
. Khi đó
( ) ( )
1 ,f x f x x= ∀ ∈¡
, điều này dẫn đến
( )
( )
( ) ( )
2

0 1 1 1f f f− − = −
, mâu thuẫn. Vậy
( )
( )
( ) ( )
2
0 1 1 0f f f− − ≠
, suy ra
( )
f x
là một đa thức
bậc nhất nên có dạng
( )
f x ax b= +
. Thay vào quan hệ hàm ban đầu suy ra
1, 0a b= =
. Vậy hàm số
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( )
,f x x x= ∀ ∈¡
.
Nhận xét: Nếu chịu khó tính ta sẽ tính được
( )
0 0f =
bằng cách thế các biến
,x y
bởi hai số
0 và 1.
Ví dụ 16. (VMP 2005) Hãy xác định tất cả các hàm số
:f →¡ ¡

thỏa mãn điều kiện
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,f f x y f x f y f x f y xy x y− = − + − ∀ ∈¡
(8)
Giải
a. Thế
0x y= =
vào (8) ta được
( )
( )
( )
( )
2
0 0f f f=
b. Thế
x y=
vào (8) và sử dụng kết quả trên thì
( )
( )
( )
( )
2 2
2
0 ,f x f x x= + ∀ ∈¡
Suy ra
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
2 2
,f x f x f x f x x= − → = − ∀ ∈ ¡
.
c. Thế
0y =
vào (8) được
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 ,f f x f f x f x f x= − + ∀ ∈¡
(*)
THế
0,x y x= = −
vào (8) được
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
( )
( )
( ) ( ) ( )
0 ,f f x f f x f x a x= − + − − ∀ ∈¡
.
Từ hai đằng thức trên ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
0 2 0 ,f f x f x f x f x f x− − + − + = ∀ ∈ ¡
. (9)
Giả sử tồn tại
0

0x ≠
sao cho
( ) ( )
0 0
f x f x= −
, thì thế
0
x x=
vào (9) ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2 2
0
2 2
2 2
0
0
0
0
0 0 0
0
f x f

f x f
f x f
x
=
→ =
→ + = +
→ =
Suy ra mâu thuẫn
Vậy
( ) ( )
,f x f x x= − ∀ ∈¡
, từ điều này kiết hợp vs (9) ta có
( ) ( )
( )
0 1 0,f f x x− = ∀ ∈¡
Từ đây suy ra
( )
0 0f =
, vì nếu ngược lại thì
( )
1, 0f x x= ∀ ≠
, trái với điều kiện
f
là hàm lẽ. Từ đây
ta nhận được quan hệ quen thuộc
( ) ( )
( )
( )
0 0 0 0 0
x f x f f x f x x= = − = − =

Vô lý. Vậy chứng tỏ
( )
,f x x x= − ∀ ∈¡
. Thử lại thấy hàm này thỏa mãn bài toán.
Nhận xét: Bài toán trên cho kết quả là hàm chẵn
( )
f x x= −
. Nếu vẫn giữa nguyên vế phải và
để nhận được hàm lẽ
( )
f x x=
, ta sửa lại dữ kiện trong vế trái như trong ví dụ sau
Ví dụ 17. Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,f f x y f x f y f x f y xy x y− = − + − ∀ ∈¡
Giải
a. Thế
0y =
ta được
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 ,f f x f x f f f x x= − + ∀ ∈¡
(10)
b. Thế
( )

y f x=
và sử dụng kết quả trên, ta được
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
0 . *
0 0 0 . ,
f f x f f x f x f x xf x
f xf f x f x f f x xf x
= − + −
= − + + −
Hay
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 0 . 0 . 0,f f x f x f f x xf x x− + + − = ∀ ∈ ¡
.
c. Thế
0x =

vào đẳng thức trên ta được
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
0 0 0 0 0f f f− = → =
hoặc
( )
0 1f =
.
d. Nếu
( )
0 0f =
thì thay vào (10) ta có
( )
( )
( )
,f f x f x x= ¬ ∈¡
, thay kết quả này vào
trong (*) ta có
( )
f x x=
.
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
e. Nếu
( )
0 1f =
thay vào (10) ta có

( )
( )
( )
2 1f f x f x= −
, thay vào trong (*) ta có
( )
1
1
2
f x x= +
.
Kết luận: thay vào ta thấy chỉ có hàm số
( )
,f x x x= ∀ ∈¡
là thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 18. (AMM,E2176). Tìm tất cả các hàm số
:f →¤ ¤
thỏa mãn điều kiện
( )
2 2f =
và
( ) ( )
( ) ( )
,
f x f y
x y
f x y
x y f x f y
+
 

+
= ∀ ≠
 ÷
− −
 
Giải
Ta sẽ chứng minh
( )
f x x=
là nghiệm duy nhất của bài toán dựa vào một chuỗi các sự kiến sau.
Trước tiên nhận thấy
f
không thể là hàm hằng.
a. Tính
( ) ( )
0 , 1f f
. Thay
0y =
ta nhận được
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 1 0 1 1 ,
0
f x f

f f f x f f x
f x f
+
= → − = + ∀ ∈
−
¤
.
Suy ra
( ) ( )
1 1, 0 0f f= =
.
b. Hàm
f
là hàm lẻ. Thay
y x= −
ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
1 1
f x f cx f c
c
f
f x f cx c f c
+ +
+
 

= =
 ÷
− − −
 
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
.f cx f c f x=
, lấy
,
p
c q x
q
= =
thì ta được
( )
( )
f p
p
f
q f q
 
=
 ÷
 
Ví dụ 19. Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn
( )
( )

( )
( )
( )
2
2
2
2 , ,f x y f x xf y y x y− = − + ∀ ∈¡
.
Giải
Thay
0x y= =
thì
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0 0 0f f f= → =
hoặc
( )
0 1f =
1. Nếu
( )
0 0f =
, thì thay
x y=
vào điều kiện ban đầu ta được
( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
( )
2 2
2
0 2 ,f f x xf x x f x x f x x x= − + = − → = ∀ ∈¡
.
Nhận thấy hàm số này thỏa mãn.
2. Nếu
( )
0 1f =
thì lại vẫn thay
0x y= =
ta nhận được, với mỗi
x
∈
¡
thì hoặc là
( )
1f x x= +

hoặc là
( )
1f x x= −
. Giả sử tồn tại giá trị
a
sao cho
( )
1f a a= −
. Khi đó thay

, 0x a y= =
ta
được
( )
2 2
4 1f a a a= − +
Nhưng ta lại có hoặc là
( )
2 2
1f a a= +
hoặc
( )
2 2
1f a a= −
. Do đó ta phải có hoặc là
2 2
4 1 1a a a− + = +
hoặc
2 2
4 1 1a a a+ = −
, tức
0a
=
hoặc
1
2
a =
. Tuy nhiên kiểm tra đều không thỏa.
Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu là
( )

,f x x x= ∀ ∈¡
hoặc là
( )
1,f x x x= + ∀ ∈¡
.
Ví dụ 20. (THTT T9/361) Tìm tất cả các hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
3 3
2 3 , ,f x y y f x y f x f y x y− + + = + ∀ ∈¡
.
Giải
a. Thay
3
y x=
ta có
( ) ( )
( )
(
)
( )

( )
2
3 6 3
0 2 3 ,f x f x x f x f x x+ + = + ∀ ∈¡
b. Thay
( )
y f x= −
ta được
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
( )
2 2
3
2 3 0 ,f x f x f x f x f x f x+ − + = ∀ ∈¡
.
Từ hai đẳng thức trên ta được
( )
( )
(
)
( )
( )
2 3
3 6

2 3 8 , .x f x x f x x+ = ∀ ∈¡
Do đó
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2 2

3 6
3 2 2
3 3 9
3
2
3 3 3 3 6
0 4 3
4 4 . .
15
4 2 .
4 16
f x x f x x
f x f x x f x x x
x
f x x f x x f x x f x x f x x
= − +
= − + −
 
 
= − + + = − + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Chú ý rằng
( )
2
3
6

15
2 0
4 16
x
f x x
 
+ + =
 ÷
 
thì
( )
0, 0 0x f= =
. Bởi vậy trong mọi trường hợp ta đều có
( )
3
f x x=
. Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn bài toán.
BÀI TẬP
1. Tìm
{ }
: \ 1f →¡ ¡
thỏa mãn:
2
1
1 1f x x
x
 
+ = + ∀ ∈
 ÷
 

¡
.
2. Tìm
: \
a
f
b
 
− →
 
 
¡ ¡
thỏa mãn:
2
4
1
b ax x a
f x
bx a x b
−
 
= ∀ ≠ −
 ÷
+ +
 
(a,b là hằng số cho trước
và
0ab
≠
).

3. Tìm
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( )
( )
2
2002 0 2002f x f x x− = ∀ ∈¡
.
4. Tìm
{ }
: \ 0f →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) { }
1 1
1 \ 0;1
2 1
f x f x
x x
 
+ = ∀ ∈
 ÷
−
 
¡
.
5. Tìm
{ }
: \ 1;0f ± →¡ ¡
thỏa mãn:
( )

( )
{ }
1
64 \ 1
1
x
f x f x x
x
−
 
= ∀ ∈ −
 ÷
+
 
¡
.
6. Tìm
2
: \
3
f
 
→
 
 
¡ ¡
thỏa mãn:
( )
2 2
2 996

3 2 3
x
f x f x x
x
 
+ = ∀ ≠
 ÷
−
 
.
7. Tìm
{ }
: \ 1f ± →¡ ¡
thỏa mãn:
3 3
1
1 1
x x
f f x x
x x
− +
   
+ = ∀ ≠ ±
 ÷  ÷
+ −
   
.
8. Tìm
:f →¡ ¡
thỏa mãn:

( ) ( )
2
2 1f x f x x x+ − = ∀ ∈¡
.
Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
9. Tìm
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( )
2008 *
1
f x f x x
x
 
+ = ∀ ∈
 ÷
 
¡
.
10. Tìm
1
: \
3
f
 
± →
 
 
¡ ¡
thỏa mãn:

( )
1 1
1 3 3
x
f x f x x
x
−
 
+ = ∀ ≠
 ÷
−
 
.
11. Tìm
:f →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( )
2
0
a
f x f x x a a
a x
 
+ = ∀ ≠ >
 ÷
−
 
.
12. Tìm
{ }

, : \ 1f g →¡ ¡
thỏa mãn:
( ) ( )
2 1 2 2 1 2
1
1 1
f x g x x
x
x x
f g x
x x

+ + + =

∀ ≠

   
+ =
 ÷  ÷

− −
   

.
PHỤ LỤC
Tài liệu tham khảo: Internet.