Bài giảng: Tiếp tuyến của ĐTHS

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
4

Chủ đề 1. Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết
 PTTT với đồ thò hàm số tại một điểm
PTTT với đồ thị




C : y f x
 tại




0 0
M x ;f x là






0 0 0
d : y f ' x x x f x
   .

(đường thẳng qua




0 0
M x ;f x và có hệ số góc
là


0
f ' x
)
Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của


C
tại
M
, ta
phải hiểu rằng


M C


và
M
là nơi xảy ra sự tiếp
xúc.

d
O
y
x
M x
0
;f x
0
  
C( )

 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thò




C : y f x
 và




C' :y g x
 tiếp xúc nhau

hệ





   
f x g x
f ' x g' x







có nghiệm đối
với

x
.
Nghiệm của hệ chính là hồnh độ tiếp điểm.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
   
2
x x 1
2
3x 1
f x C
 

 . Viết PTTT của



C
tại điểm
M
có hồnh độ bằng
1
.
Giải
Ta có


1
4
f 1

,
 
 
2
3x 4x 1
2 2
3x 1
f ' x
 






1

8
f ' 1
 


PTTT với


C
tại
M
là


1 1
8 4
d : y x 1
   



3
1
8 8
d : y x
  
.


Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số

ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
5

Ví dụ 2. Cho
   
3 2
f x x 4x 5x 2 C
    . Viết PTTT của


C
tại những giao điểm
của


C
với trục hồnh.
Giải
*


M M
M x ;y là giao điểm của


C
với trục hồnh


 
 
3 2
M M M M
M
y x 4x 5x 2 1
y 0 2

   





.
Thay


2
vào


1
ta được
3 2
M M M
x 4x 5x 2 0
   



  
2
M M
x 2 x 1 0
  



M
M
x 2
x 1
 


 

.
Vậy


C
có hai giao điểm với trục hồnh là


1
M 2;0
 và



2
M 1;0
 .
* Ta có
 
2
f ' x 3x 8x 5
  
.
+)


f ' 2 1
 


PTTT với


C
tại
1
M
là


1
d : y 1. x 2 0

  



1
d : y x 2
 
.
+)


f ' 1 0
 


PTTT với


C
tại
2
M
là


2
d : y 0. x 1 0
  



2
d : y 0

.
Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho
   
3 2
f x 4x 6x 1 C
   . Viết PTTT đi qua điểm


M 1; 9
 

của


C
.
Giải
Ta có
 
2
f ' x 12x 12x
  . Giả sử
d
là tiếp tuyến cần tìm.
Cách 1: (Sử dụng PTTT của đồ thị tại một điểm)
*

d
tiếp xúc với


C
tại




0 0
x ;f x








0 0 0
d : y f ' x x x f x
  





 
2 3 2

0 0 0 0 0
d : y 12x 12x x x 4x 6x 1
     
.
*
d
đi qua


M 1; 9
 




 
2 3 2
0 0 0 0 0
9 12x 12x 1 x 4x 6x 1
       



3 2
0 0 0
8x 6x 12x 10 0
   



  
2
0 0
4x 5 x 1 0
  



5
0
4
0
x
x 1




 

.
+)
5
0
4
x






15 5 9
4 4 16
d : y x
  



15
21
4 4
d : y x
 
.
+)
0
x 1
 





d : y 24 x 1 9
  



d : y 24x 15

 
.

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
6

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)
* Giả sử
d
có hệ số góc là
k





d : y k x 1 9
  
.
*
d
tiếp xúc với


C



hệ
 
3 2
2
4x 6x 1 k x 1 9 (1)
12x 12x k (2)

    



 

có nghiệm đối với
x
.
Thay
(2)
vào
(1)
ta có


 
3 2 2
4x 6x 1 12x 12x x 1 9
     




  
2
4x 5 x 1 0
  



5
4
x
x 1




 

.
Thay
5
4
x

vào
(2)
ta được
15
4
k







15
4
d : y x 1 9
  



15
21
4 4
d : y x
 
.
Thay
x 1
 
vào
(2)
ta được
k 24






d : y 24 x 1 9
  



d : y 24x 15
 
.
Vậy
(C)
có hai tiếp tuyến qua
M
và phương trình của chúng là
15
21
4 4
y x
 
,
y 24x 15
 
.
Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho




3 2

1 m 1
m
3 2 3
f x x x C   . Gọi
M
là điểm thuộc


m
C có
hồnh độ bằng
1

. Tìm
m
để tiếp tuyến tại
M
của


m
C song song với đường thẳng
d :5x y 0
 
.
Giải
Ta có




2
f ' x x mx
  ,
d : y 5x

.
*
 
M
m
x 1
M C
 











m
M M
2
y f x
  





m
2
M 1;  .
*

là tiếp tuyến tại
M
của


m
C









M M M
: y f ' x x x f x
   






m
2
: y m 1 x 1
    





m
2
: y m 1 x 1
    
.
*
/ /d




m
2
m 1 5
1 0
 




 





m 4

.




Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
7

Chú ý: (về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)
Cho
1 1 1
d : y k x m
  và
2 2 2
d : y k x m
  .
☞

1 2
d / /d



1 2
1 2
k k
m m





.
☞
1 2
d d



1 2
k k 1
 
.
☞
1
d
tạo với
2

d
góc

(


0 ;90

 
)


k k
1 2
1 k k
1 2
tan


 
.
Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho




2x
x 1
f x C


 . Tìm tọa độ điểm
M
thuộc


C
biết tiếp tuyến
của


C
tại
M
cắt hai trục
Ox
,
Oy
tại
A
,
B
sao cho
OAB

có diện tích bằng
1
4
.
Giải
Ta có



 
2
2
x 1
f ' x

 .
*


M C



 
2x
M
M M
x 1
M
y f x

 




2x

M
M
x 1
M
M x ;

.
*

là tiếp tuyến với


C
tại
M









M M M
: y f ' x x x f x
   



 
 
2x
2 M
M
2 x 1
M
x 1
M
: y x x


   



   
2
2x
2 M
2 2
x 1 x 1
M M
: y x
 
   .

*
A Ox
  



   
2
2x
2 M
A A
2 2
x 1 x 1
M M
A
y x
y 0
 

 









2
M
A x ;0
 .

B Oy
  



   
2
2x
2 M
B B
2 2
x 1 x 1
M M
B
y x
x 0
 

 







 
2
2x
M

2
x 1
M
B 0;

 
 
 
 
.
* Ta có
2
M
OA x
 ,
 
2
2x
M
2
x 1
M
OB

 .
OAB

vng tại
O



 
 
4
x
1 M
2 2
x 1
M
S OAB OA.OB

   .
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
8

*


1
4
S OAB
 



 

4
x
M 1
2 4
x 1
M





 
2
4
M M
4x x 1
 



  


2
M M M M
x 1 2x 1 2x x 1 0
    



M
1
M
2
x 1
x



 



(Phương trình
2
M M
2x x 1 0
  
có
7 0
   
nên vơ nghiệm)




 
1
2
M 1;1

M ; 2



 

.
Ví dụ 6. Cho




3 2
m
f x x 3x mx 1 C    . Tìm
m
để


m
C cắt đường thẳng
d :y 1


tại ba điểm phân biệt


C 0;1
,
D

,
E
sao cho các tiếp tuyến với


m
C tại
D
và
E
vng
góc với nhau.
Giải
Ta có



2
f ' x 3x 6x m
  
.
* Xét phương trình hồnh độ giao điểm của


m
C và
d
:
3 2
x 3x mx 1 1 (1)

    .
Ta có

(1)





2
x x 3x m 0
  



 
 
2
t x
x 0
x 3x m 0 (2) 9 4m



     




.



m
C cắt đường thẳng
y 1

tại ba điểm phân biệt


(1)
có
3
nghiệm phân biệt


(2)
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



 
0
t 0 0
 










9 4m 0
m 0
 





Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
9



9
4
0 m (3)
 
.
*
D
và

E
là các nghiệm của
(2)
nên theo định lý vi-ét, ta có:
D E
D E
x x 3
(4)
x x m
  




.
Hệ số góc các tiếp tuyến với


m
C tại
D
và
E
lần lượt có hệ số góc là


D
f ' x
và



E
f ' x

nên:
Tiếp tuyến với
m
(C )
tại
D
và
E
vng góc với nhau






D E
f ' x .f ' x 1
 







2 2

D D E E
3x 6x m 3x 6x m 1
     



     
 
2 2
2
D E D E D E D E D E D E
9 x x 18x x x x 3m x x 2x x 36x x m 1 0 5
 
        
 
 
.
Thay
(4)
vào
(5)
ta được:
   
2
2 2
9m 18m 3 3m 3 2m 36m m 1 0
 
        
 
 



2
4m 9m 1 0
  



9 65
8
m

 (thỏa mãn
(3)
).
Vậy
9 65
8
m

 .
Chú ý: (Định lý vi-ét thuận)
Nếu phương trình
2
ax bx c
 
(
a 0


) có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thì
b
1 2
a
c
1 2
a
x x
x x

  





.
Ví dụ 7. Cho




3 2
f x x 3x 5x 1 C

    . Viết PTTT của hệ số góc nhỏ nhất của


C
.
Giải
Ta có
 
2
f ' x 3x 6x 5
  


Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ
0
x
là


2
0 0 0
k f ' x 3x 6x 5
   
.
Ta thấy
 
2
0
k 3 x 1 2 2
   

và
k 2




0
x 1

. Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
của


C
là tiếp tuyến có tại điểm có hồnh độ bằng
1
, PTTT là:






: y f ' 1 x 1 f 1
   




: y 2 x 1 4

   



: y 2x 2
  
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
10

Ví dụ 8. [ĐHD02] Cho
 
 
 
2
2m 1 x m
x 1
f x C
 

 và
d : y x

. Tìm
m
để



C
tiếp xúc với
d
.
Giải
Ta có
 


2
m 1
x 1
f ' x


 .


C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm
 
 
2
2m 1 x m
x 1
2
m 1

x 1
x
1
 












.
* Với
m 1

: hệ nói trên vơ nghiệm.
* Với
m 1

: hệ


   
   
2

2 2
2m 1 x m x x 1 (1)
m 1 x 1 (2)

   



  

.
Ta có
(2)



m 1 x 1
m 1 x 1
  


   




x m (3)
x 2 m (4)




 

.
Thay
(3)
vào
(1)
ta được:
   
2
2m 1 m m m m 1
   

0 0
 
(ln đúng). Vậy hệ ln
có nghiệm
x m

.
Tóm tại:


C
tiếp xúc với
d



m 1

.















Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
11

C. Bài tập
Bài 1. Viết PTTT
d
của



C
biết rằng
1)
 
4 2
3
C : y x 2x 

và hồnh độ tiếp điểm bằng
2
.


2)
 
2
x 3x 4
x 1
C : y
 

 và
d
là tiếp tuyến tại giao điểm của


C
với trục tung.
3)
 

3 2
C : y 2x 3x 5
  
và
d
đi qua


19
12
A ;4
.
4)
 
3 2
C : y 2x 3(m 1)x 6(m 2)x 1
     
và
d
đi qua


A 0; 1

.
Đáp số: 1)
y 24x 43
 
. 2)
y 7x 4

 
. 3)
y 12x 15
 
,
645
21
32 128
y x  
,
y 4

. 4)


 
2
3 2
234
32
y 3 3m 9m 11m 1 x m 1 1
      
.
Bài 2. Cho
 
x
y C
x 1



. Chứng minh rằng qua giao điểm của hai tiệm cận của


C
,
khơng kẻ được tiếp tuyến nào tới


C
.
Hướng dẫn: Viết PTTT
d
của


C
tại điểm có hồnh độ
0
x
, chứng minh khơng tồn tại
0
x

để
d
đi qua giao điểm hai tiệm cận của


C
.

Bài 3. Tìm trên đường thẳng
x 3

các điểm mà qua đó có tiếp tuyến tới
 
2x 1
C : y
x 2



.
Hướng dẫn:

là tiếp tuyến với


C
tại điểm có hồnh độ
0
x



 
 
2x 1
5 0
0
2 x 2

0
x 2
0
: y x x




    . Xét


A 3;a
. Qua
A
có tiếp tuyến tới


C


tồn tại
0
x

sao cho

qua
A



phương trình
 
 
2x 1
5 0
0
2 x 2
0
x 2
0
a 3 x




   có nghiệm đối với
0
x



a 7

. Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn u cầu bài tốn là




A 3;1 |a 7


.
Bài 4. Viết PTTT
d
của


C
biết rằng
1) [ĐHD10]
 
4 2
C : y x x 6
   
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1
6
: y x 1
  
.
2) [ĐHB06]
 
2
x x 1
x 2
C :y
 

 và
d
vng góc với tiệm cận xiên của



C
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
12

3)
 
3
C : y x 3x 7
  
và
d
tạo với
: y 2x 3
  
góc
o
45
.
Đáp số: 1)
y 6x 10
  
. 2)
y x 2 2 5
   

,
y x 2 2 5
   
. 4)
y 3x 7
  
,
20 10
1
3 27
y x 7
  
,
20 10
1
3 27
y x 7
  
.
Bài 5. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị
 
3
1 2
C : y x x
3 3
  
mà tiếp tuyến tại đó vng góc
với đường thẳng
1 2
3 3

: y x
   
.
Đáp số:


2;0
 ,


4
3
2;
.
Bài 6. Cho
   
 
3 2
1
m
3
y mx m 1 x 3m 4 x 1 C     
. Tìm điều kiện của
m
để


m
C có
tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

y x 2011
 
.
Hướng dẫn:


m
C có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
y x 2011
 


phương trình
   
2
0 0
mx 2 m 1 x 3m 4 1
     
có nghiệm đối với
0
x



1
2
m 1
  
.
Bài 7. Tìm

m
để tiếp tuyến với
 
2
3x mx 4
C : y
4x m
  


tại điểm có hồnh độ bằng
1

vng góc với tiệm cận xiên của


C
.
Đáp số:
m 25 477
  
.
Bài 8. Cho


2x 1
x 1
y C



 và


M C
 . Gọi
I
là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến với
đồ thị tại
M
cắt hai tiệm cận tại
A
và
B
.
1) Chứng minh
M
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
2) Chứng minh diện tích
IAB

khơng đổi.
3) Tìm
M
để chu vi
IAB

đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn: 1) * Giả sử

M
có hồnh độ là
0
x


tiếp tuyến với


C
tại
M
là
 
 
2x 1
01
0
2 x 1
0
x 1
0
: y x x




   


   
2
2x 2x 1
0
0x
2 2
x 1 x 1
0 0
: y
 

 
   .
*
A
là giao điểm của

và tiệm cận ngang của


C





0
A 2x 1;2
 .
B

là giao điểm của

và tiệm cận đứng của


C



2x
0
x 1
0
B 1;

 
 
 
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
13

* Ta thấy:
x x
A B
0
2

x


;
A
,
B
,
M
thẳng hàng


M
là trung điểm của
AB
.
2) Ta có:
0
IA 2 x 1
 
,
2
x 1
0
IB




1

IAB
2
S IA.IB 2

 
(ĐPCM).
3)
2 2
IAB
P IA IB AB IA IB IA IB 2 IA.IB 2.IA.IB 4 2 2

           .
Dấu bằng xảy ra


IA IB






 
M 0;1
M 2;3




. Vậy

IAB
P

nhỏ nhất




 
M 0;1
M 2;3




.
Bài 9. [ĐHA09] Cho


x 2
2x 3
y C



. Viết PTTT của


C
biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ

tại các điểm
A
,
B
sao cho
OAB

cân tại
O
.
Hướng dẫn: * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là
: y kx m
  
.
OAB

cân tại
O



k 1
m 0
 




.
*


tiếp xúc với


C
tại điểm có hồnh độ
0
x





 
1
0
2
2x 3
0
k f ' x


  .
* Phương trình


0
f ' x 1

vơ nghiệm,



0
f ' x 1
 



0
0
x 1
x 2
 


 

.
0
x 1
 



: y x
  
(loại);
0
x 2
 



: y x 2
   
.
Bài 10. Cho
 


x 3
2 x 1
y C


 . Viết phương trình tiếp tuyến của


C
biết tiếp tuyến
cắt các trục tọa độ tại các điểm
A
,
B
sao cho trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua gốc
tọa độ
O
.

Hướng dẫn: * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là
: y kx m
  
. Trung trực của đoạn thẳng
AB

đi qua gốc tọa độ
O



OAB

cân tại
O



k 1
m 0
 




.
* Các tiếp tuyến thõa mãn u cầu bài tốn là:
3
2
y x

  
,
5
2
y x
  
.
Bài 11. Cho


x 2
x 1
y C



. Viết PTTT của


C
biết tiếp tuyến cắt các tiệm cận tại
A
,
B
sao cho bán kính đường tròn nội tiếp
IAB

đạt giá trị lớn nhất với
I
là giao điểm của

hai tiệm cận.
Hướng dẫn: * Chứng minh
IBC
S

khơng đổi.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
14

* Từ cơng thức
S
p
r

suy ra: bán kính đường tròn nội tiếp
IAB

đạt giá trị lớn nhất


IBC
P

đạt giá trị nhỏ nhất.
* Các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là:
y x 2 2 3
   ,

y x 2 2 3
   .
Bài 12. Cho


2x
x 2
y C


. Viết PTTT của


C
biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
Ox
,
Oy
lần lượt tại
A
,
B
sao cho
AB OA 2

.
Đáp số:
y x
 
,

y x 4
  
.
Bài 13. Cho


x
x 1
y C


. Viết PTTT của


C
biết rằng tiếp tuyến tạo với hai tiệm
cận một tam giác có chu vi bằng


2 2 2

.
Đáp số:
y x 8
  
.
Bài 14. Cho


3x 2

x 1
y C



. Gọi
I
là giao điểm của hai tiệm cận của


C
. Viết PTTT
của


C
biết rằng tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của


C
lần lượt tại
A
,
B
sao cho

5
26
cosBAI  .
Đáp số:

y 5x 2
 
,
y 5x 2
 
.
Bài 15. Cho


2mx 3
m
x m
y C



. Gọi
I
là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm
m
để tiếp
tuyến bất kỳ của


m
C cắt
2
tiệm cận tại
A
,

B
sao cho
IAB

có diện tích bằng
64
.
Đáp số:
58
2

.
Bài 16. Cho
 
2
m
2x 3x m
C :y
x m
 


(


m 0;1
 ). Chứng minh tiếp tuyến với


m

C
tại giao điểm của


m
C với trục tung cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng
1
.
Bài 17. Cho điểm


0 0
A x ;
y
thuộc đồ thị


C
của hàm số
3
y x 3x 1
  
. Tiếp tuyến
với


C
tại
A
cắt đồ thị cắt



C
tại
B
khác
A
. Hãy xác định tọa độ của
B
theo tọa độ của
A
.
Đáp số:


3
0 0 0
B 2x ; 8x 6x 1
   
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
15

Bài 18. Cho
 
4 2
5

1
2 2
y x 3x C
  
và điểm


A C
 có hồnh độ bằng
a
. Tìm các
giá trị của
a
sao cho tiếp tuyến của


C
tại
A
cắt


C
tại hai điểm phân biệt
B
,
C
khác
A
sao cho

B
nằm giữa
A
và
C
, đồng thời
AC 3AB

.
Đáp số:
a 2
 
.
Bài 19. Cho
 
4
2
5x
2 2
y 3x C
   .
1) Gọi
d
là tiếp tuyến của


C
tại điểm
M
có hồnh độ bằng

a
. Chứng minh hồnh độ
giao điểm của
d
với


C
là nghiệm của phương trình
 


2
2 2
x a x 2ax 3a 6 0
    
.
2) Tìm
a
để ngồi điểm
M
nói trên,
d
còn cắt


C
tại hai điểm phân biệt
P
,

Q
. Tìm quỹ
tích trung điểm của đoạn thẳng
PQ
.
Hướng dẫn: 1) Chứng minh phương trình hồnh độ giao điểm của
d
và


C
tương đương
với phương trình
 


2
2 2
x a x 2ax 3a 6 0
    
.
2) Ngồi điểm
M
,
d
còn cắt


C
tại hai điểm phân biệt

P
,
Q


phương trình
2 2
x 2ax 3a 6 0
   
có hai nghiệm phân biệt khác
a



3 a 3
a 1

  


 


.
I
là trung điểm của
P
,
Q





4 2
5
7
2 2
I a; a 9a
   
.
Vậy quỹ tích điểm
I
là đường cong
 
4 2
5
7
2 2
C' :y x 9x
   
với
3 x 3
x 1

  


 



.
Bài 20. Cho
   
3
y x 1 m x 1 C
    . Viết phương trình tiếp tuyến
d
của


C
tại
giao điểm của


C
với
Oy
. Tìm
m
để
d
chắn trên
Ox
,
Oy
một tam giác có diện tích
bằng
8

.
Đáp số:
m 9 4 5
  ,
m 7 4 3
   .
Bài 21. Cho
 
3 2
y x 3x 3x 5 C
    . Chứng minh rằng


C
khơng tồn tại cặp điểm
A
,
B
sao cho hai tiếp tuyến với


C
tại hai điểm đó vng góc với nhau.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
16

Bài 22. Cho

 
4 2
y x 2mx 2m 1 C
     . Tìm
m
để các tiếp tuyến với


C
tại


A 1;0
và


B 1;0
 vng góc với nhau.
Đáp số:
3
4
;
5
4
.
Bài 23. Cho
 
3 2
m
y x mx 1 C   . Tìm

m
để


m
C cắt đường thẳng
y x 1
  

tại ba điểm phân biệt


A 0;1
,
B
,
C
sao cho các tiếp tuyến với


m
C tại
B
và
C
vng
góc với nhau.
Đáp số:
5
 .

Bài 24. Cho
 
3
y x 3x C
  .
1) Chứng minh rằng


m
: y m x 1 2
   
ln cắt


C
tại điểm
A
cố định.
2) Tìm
m
để ngồi điểm
A
nói trên,


C
còn cắt
m

tại hai điểm phân biệt

B
,
C
sao cho
tiếp tuyến với


C
tại hai điểm này vng góc với nhau.
Đáp số: 1)


A 1;2
 . 2)
3 2 2
3

.

Bài 25. Cho
 
3 2
m
y x mx m 1 C    . Viết phương trình tiếp tuyến của


m
C tại
các điểm cố định của



m
C . Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến đó.
Bài 26. Cho
 
2
x 2mx m
m
x m
y C
 

 . Tìm
m
để


m
C cắt
Ox
tại hai điểm phân biệt và
hai tiếp tuyến của


m
C tại điểm đó vng góc với nhau.
Bài 27. Cho


x 1

x 2
y C
 


. Tìm trên


C
cặp điểm
A
,
B
sao cho
AB 8
 và các
tiếp tuyến của


C
tại
A
và
B
song song với nhau.
Đáp số:


A 2 3; 3 1
  

,


B 2 3; 3 1
  
hoặc


A 2 3; 3 1
  
,


B 2 3; 3 1
  
.
Bài 28. Tìm hai điểm
A
,
B
thuộc đồ thị hàm số
 
3
C : y x 3x 2
  
sao cho các tiếp
tuyến tại
A
và
B

có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua hai điểm đó vng góc với
đường thẳng
x y 2011 0
  
.
Đáp số:


A 2;0
 ,


B 2;4
hoặc


A 2;4
,


B 2;0
 .
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
17

Bài 29. [ĐHB04] Cho
 

3 2
1
3
y x 2x 3x C
  
. Viết phương trình tiếp tuyến

của


C
tại điểm uốn và chứng minh

là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của


C
.
Đáp số:
8
3
: y x
   
.
Bài 30. Cho
 
3 2
y x 3x 9x 5 C
    . Tìm tiếp tuyến với
(C)

có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 31. Cho
 
3 2
1
y x mx x m 1 C
3
     . Tìm
m
để hệ số góc của tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là
24
. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 32. Cho
 
3 2
y ax bx cx d C
    . Chứng minh nếu
a 0

thì tiếp tuyến với


C
tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, nếu
a 0

thì tiếp tuyến với



C
tại
điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 33. Cho
     
2 2
y x 1 x 1
C
   và
 
2
y 2x m P
  .
1) Tìm
m
để


C
và


P
tiếp xúc nhau.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị.
Bài 34. Cho
 
1
C : y
x


và
: y ax b
  
.
1) Tìm điều kiện của
a
,
b
để

tiếp xúc với


C
.
2) Khi

tiếp xúc với


C
, gọi
A
và
B
là các giao điểm của

với
Ox

và
Oy
.
+) Chứng minh diện tích
OAB

khơng đổi.
+) Tiếp điểm của

với


C
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
+) Tìm
a
,
b
để khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đển

đạt giá trị nhỏ nhất.