BT ham so mu -logarit (CB)

HÀM SỐ MŨHÀM SỐ LÔGARIT
I .HÀM SỐ MŨ :
1. Đònh nghóa : với a > 0 ; a  1.
Hàm số y =
x
a
gọi là hàm số mũ
Chú ý : Khi a= 1 thì y =1
x
=1  x  R)
Ví dụ : Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số mũ ?
A. y= x
3
B. y=
x
( 3)
C. y=
3
x
D. y=
1
x

2. Đạo hàm của hàm số mũ :
Thừa nhận : 
t 0
lim

t
e 1
t


= 1 
t 0
lim

at
e 1
t

= a
Ví dụ : 1)
0
lim
x
5x
e 1
x

2)
0
lim
x

2.Sin3x
e 1
x

3)
0
lim

x
3x x
e e
sin 4x


Đònh lý : (e
x
)
/
= e
x
> ( e
u
)
/
= u
/
.e
u

( a
x
)
/
= a
x
.lna > ( a
u
)

/
= u
/
.a
u
.lna
p dụng : Tính đạo hàm :
1) y = e
Sin x
2) y = e
3x
.(x
2
 2x + 5 )
3) y =
x
x
2.e 4
5 e


4) y = (35.e
x
)
7
5) y =
x 1
7


6) y =
2
Cos x
5
7) y = 3
Cos x

8) y = x.e
x


3.Khảo sát hàm số mũ :
+ TXD : D = R TGT : (0; + )
+ Sự biến thiên :
vì y
/
= a
x
.lna nên đạo hàm của hàm số mũ cùng dấu với lna
 a > 1 thì y
/
>0 , h/s đồng biến : x
1
> x
2

1
x
a
>

2
x
a

 0 <a< 1 thì y
/
< 0 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2

1
x
a
<
2
x
a

+ Tiệm cận :
Khi a>1
x
lim

a
x
=+ ;
x
lim


a
x
=0
=> y= 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang

Khi 0< a<1
x
lim

a
x
=0 ;
x
lim

a
x
=+
=> y= 0 (trục Ox)là tiệm cận ngang
+ Bảng biến thiên :

x  0 1 + x  0 1 +
a 1
y = a
x
0 y = a
x
0

a > 1

0< a< 1

1

a
+


+


+Đồ thò h/s :
Vì a
0
=1 => đồ thò y = a
x
luôn đi qua A(0;1) và (1;a)
y =
x
a
và y =
x
a
1
(hay
x
a







1
) đ/ x qua Oy





Ví dụ 1: Vẽ đồ thò h/s y = 2
x
và y =
x
1
3
 
 
 

Ví dụ 2: Nhận xét hàm số nào sau đây đồng biến , nghòch biến ?
a) y =
 
 
 
x
4


b) y =
 

 
 
 
x
1 2
3
c) y =
x
1
2 1
 
 

 

II.HÀM SỐ LÔGARIT:
1. Đònh nghóa : Cho a > 0 ; a  1.
Hàm số : y =
a
log x
được gọi là hàm số lôgarít cơ số a
Ví dụ: Các hàm số y=log
3
x ; y=
1
4
log

x ; y=
5
log
x; y =lnx có cơ số bằng ?
2. Đạo hàm của hàm số logarit :
Ta có : 
x 0
lim

ln(1 x)
x

= 1 
x 0
lim

ln(1 .x)
x
 
=  ( chứng minh)
Ví dụ : 1/
x 0
lim

2
ln(1 3x)
x 2x


2)

x 0
lim

Sin4x 3x
ln(1 2x)


3)
x 0
lim

sin 2x
ln(1 5x)


Đònh lý : (lnx)
/
=
1
x
x(0;+) > (lnu)
/
=
u
u


(log
a
x)

/
=
1
xlna
> (log
a
u )
/
=
u
u.lna


Ví dụ : Tính đạo hàm :
1) y =
3
log (4x 1)

2) y =
5
x
x
2e 1
e 3
 

 

 
3) y =

4 2
2
log (x 4)


4) y =
2lnx 3
4 5ln x


5) y = ln( 7
x
+ e
x
) 6) y=log
5
(5x
2
6x +11)
7) Chứng minh các biểu thức : Cho y = ln(Cos x)
x

y

a >1

1

0 <a< 1
y

x

1

O

O

CMR : a) y
/
+ Sin 2x .y
//
+ 3.tgx = 0 b) y
/
.tgx  y
//
1 = 0
3. Khảo sát hàm số logarit : y =
a
log
x ( 0< a 1 )
+ TXD : D =
R


( hay (0; + ) Tập giá trò là R
+ Sự biến thiên của hàm số : Vì y
/
=

1
xlna

 a > 1 thì y
/
>0 với mọi x >0 , h/s đồng biến trên (0;+)
 0 <a< 1 thì y
/
< 0 , h/s nghòch biến trên (0;+)
+ Tiệm cận :
Khi a>1
x 0
lim


log
a
x = ;
x
lim

log
a
x =+
=> x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng
Khi 0< a<1
x 0
lim



log
a
x =+ ;
x
lim

log
a
x =
=> x= 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng

+ Bảng biến thiên :

x 0 1 a + x 0 a 1 +
1 1
y=
a
log
x

 y=
a
log
x


+ Đồ thò :
Vì
a
log

1 = 0;
a
log
a = 1 đồ thò luôn đi qua điểm (1;0) ; (a;1)






Chú ý : y =
a
log x
<=> x = a
y

 a
M
= N ( với N > 0 ) <=> M =
a
log N

Ví dụ : Vẽ đồ thò hàm số :
a) y =
2
log
x b) y = 
2
log
x c) y = 2

2
log
x
Bài tập :
1. Vẽ đồ thò hàm số :
a) y = 3
x
b) y =
x
1
3
c) y = 3
x
d) y = 3
x

e) y = 4
x
3 f) y = 2
x
+ 1

g) y = 2
x+2
h) y =
2
log
x
2

a > 1


0< a< 1

0

0

+


+


y

a >1

1

0 < a < 1
y

x

x

1

O

O

i) y = log
3
x k)y = log
1/3
x l) y=
log x
3
3
m) y =
3
log
x 2
2. a) Vẽ đồ thò hàm số y =
x
1
2

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
x
1
2
= 3m + 1
3. Tìm x biết :
a) 5
x

= 625 b) 3
x
= 243 c) 3
x
=81 d) 2
3x+1
=32
e)
 
 
 
x
4
9
=
 
 
 
5
3
2
f)
 
 
 
x
2
3
.
 

 
 
x
9
8
=
27
64
g)
x x
2 . 3
=36
h) (0,25)
2 x
=

x 3
256
2
i) 27
x 1

= 729.3
x 1

k) (
3 3
 )
x
=1

4. Giải các phương trình sau :
a) 5
2x
6.5
x
+ 5 = 0 b) 2
2x+1
+5.2
x
3 = 0
c) 3
2x
+ 3
x+1
18 = 0 d) 4
x
5.2
x
24 = 0
e) 2
x
= 1 x f) 3
x
+x 11 = 0
g) 3
x+2
+ 3
x1
= 28 h) 5
2x1

+2
2x
5
2x
+2
2x+2
= 0
i)
 
2
3x 10x 3
x 3
 
 =1 k)
2
3x 10x 3
x 3
 
 =1
5. Suy ra mối quan hệ giữa x và y tùy các bất đẳng thức sau :
a) (1/3)
x
< (1/3)
y
b) (1,5)
x
< (1,5)
y

c) (0,3)

x
> (0,3)
y
d) (5/4)
x
< (5/4)
y
e) (2,3)
x
< (2,3)
y

6. Tìøm tập xác đònh của hàm số :
a) a) y = 3
x 2

b) y = 3
x
+ 3
1 x

c) y =
|x 3| |8 x|
2
  

d) y =
2
log
(x

2
3x) e) y =

x 1
.lgx
3
f) y =
5
log


x 2
x 3

g) y=
2
log

 
 
 
 
2
4x 11
2x 4x 6
h)y =
3
log
1
2

log
x i) y =
1 2x
lg
x 3

