Các bài toán tọa độ

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

Bài 1: Cho a là một hằng số, t là tham số thực . Coi 3 điểm A( t + a , 0 ) , B( 0 , a – t ) và C sao cho
OC OA OB
= +
= += +
= +
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuruuur uuur uuur
uuur uuur uuur

1. Viết phương trình tập hợp những điểm C
2. Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
∆∆
∆
qua C và vuông góc AB
3. CM
( )
∆
∆∆
∆
đi qua 1 điểm cố đònh
Bài giải:
1.Từ
OC OA OB
= +
uuur uuur uuur
thoả
x t a

C x y 2a 0
y a t
= +

= ⇒ + − =

= −


Vậy tập hợp những điểm C là (d) : x + y – 2a = 0
2.Gọi M(x
0
,y
0
)
( )
∈ ∆
thoả
CM AB CM.AB 0
⊥ ⇔ =
uuuur uuur

(t a)x (t a)y 4at 0
⇔ + + − − =

( )
∆

3.
x 2a

( ) : (x y 4a)t ax ay 0
y 2a
=

∆ + − + − = ⇔

=


Vậy
( )
∆
qua điểm cố đònh I(2a,2a)

Bài 2: Cho phương trình
2
( ) : x. cos 2 y.sin2 2 cos 0
∆ θ + θ − θ =
∆ θ + θ − θ =∆ θ + θ − θ =
∆ θ + θ − θ =

1. Tính khoảng cách M(m,
θ
θθ
θ
) đến
( )
∆
∆∆
∆

2. Chứng tỏ rằng có 1 điểm M trên trục Ox mà khoảng cách đến
( )
∆
∆∆
∆
độc lập
θ
θθ
θ

Bài giải:
1.
2
2
2 2
M,
m.cos2 sin 2 2 cos
d m.cos2 sin 2 2 cos
cos 2 sin 2
 
 
 
∆
θ+ θ θ− θ
= = θ+ θ θ− θ
θ+ θ

2
M,

d (m 1)cos2 sin 2 1
 
 
 
∆
= − θ + θ θ−


M,
: d
 
 
 
∆
∀θ
độc lập
θ

m 1 0
M(1,0)
0
− =

⇔ ⇒

θ =


Vậy có 1 điểm M(1,0)
∈

Ox thoả
M,
d 1
 
 
∆
=


Bài 3: Trong hệ trục Oxy cho
A(a,0);B(0, b)
. Lấy
M(a t,0);N(0, b t) t
+ + ∈
+ + ∈+ + ∈
+ + ∈




1. Viết phương trình trung trực của MN
2. Chứng tỏ rằng đường trung trực này đi qua 1 điểm cố đònh khi t thay đổi
Bài giải:
1.
a t b t
I ,
2 2
+ +
 
 

 

Gọi H(x,y)
( )
∈ ∆
là đường trung trực của MN thoả
HI MN HI.MN 0
⊥ ⇔ =
uur uuuur

2 2
a b
(a t)x (b t)y at bt 0
2 2
⇔ + − + − + − + =

2 2
b a
(x y a b)t ax by 0 (*)
2
−
⇔ − − + + − + =
(*) ngiệm đúng
2 2
x y a b 0
a b b a
J ,
b a
2 2
ax by 0

2
− − + =

− −

 
⇔ ⇒

−
 
− + =
 




Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

Bài 4: Cho 2 điểm
A(a,0);B(0, b)
. Đường trung trực
( )
∆
∆∆
∆
của đoạn AB cắt các đường phân giác của góc
thứ nhất và của góc thứ hai lần lượt tại P và Q
1. Viết phương trình
( )
∆

∆∆
∆
và tính toạ độ P,Q
2. CM APBQ là một hình vuông
3. Giả sử a,b thay đổi sao cho a + b = k ( k = const ) . Chứng tỏ rằng 1 trong 2 điểm P, Q cố đònh . Tìm
tập hợp trung điểm I của đoạn AB
Bài giải:
1.Gọi I là trung điểm Ab thoả
a b
I ,
2 2
 
 
 

M(x,y)
∈
trung trực
( )
∆

2 2
a b
IM AB IM.AB 0 ax by 0
2
 
−
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ − − =
 
 

uuur uuur

Vì P là giao điểm của đường phân giác của góc thứ nhất : y = x nên
2 2
y x
a b a b
P P ,
a b
ax by 0
2 2
2
=

+ +

 
⇒
 
−

 
− − =
 
 

 


Q là giao điểm của đường phân giác của góc thứ hai
a b b a

Q ,
2 2
− −
 
⇒
 
 

2.
2 2 2
2 2 2
AB PQ
AB a b
APBQ
AB PQ
PQ a b
=
= +
⇒ ⇒

⊥
= +

là hình vuông
3. a + b = k
k k
P ,
2 2
 
⇒

 
 
là điểm cố đònh
1
1 1
a
x
2
I
b k
y x
2 2

=




= = −


Vậy
k
I ( ) : x y 0
2
∈ ∆ + − =

Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – k = 0

Bài 5:

1. Cho 2 điểm A( 3cost , 0 ) ; B( 0 , 2sint ).Tìm tập hợp các điểm M(x,y) sao cho:
2AM 5MB 0
+ =
+ =+ =
+ =
uuur uuur r
uuur uuur ruuur uuur r
uuur uuur r
khi t
thay đổi
2. Lập phương trình quỹ tích tâm của đường tròn tiếp xúc trục Ox và đi qua A(1,2)
Bài giải:
1.Gọi (L) là tập hợp phải tìm
M(x,y) và
x 2 cos t
2AM 5MB 0 M
10
y sin t
3
= −


+ =
⇒

=


uuuur uuur r

2 2
x y
1(Elip)
100
4
9
⇒
+ =
2.Gọi (L) là quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc Ox và qua A(1,2)
I(x
0
,y
0
)
(L)
∈
⇔
I là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc Ox tại M
2 2
IM Ox tại M
x y 2x 4y 5 0
IM=IA
⊥

⇔
⇒
+ − − + =



Bài 6: Cho
ABC
∆
∆∆
∆
có đỉnh A(2,2)
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

1. Lập phương trình các cạnh tam giác , biết
9x 3y 4 0 ; x y 2 0
− − = + − =
− − = + − =− − = + − =
− − = + − =
là đường cao kẻ từ B và C
2. Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với AC một góc
4
π
ππ
π

Bài giải:

{ }
{ }
AC
AC
AC
1.AC BH A(2,2) AC : x 3y 8 0

AB CH A AB : x y 0
AC CH C : C( 1,3)
4
BC :7x 5y 0
2 2
3
AB BH B : B ,
3 3
1
2.AC : x 3y 8 0 k
3
gt : (AC,d) k tan(AC,d) 1
4
k k
1
1 k k 2
1 k.k 2
x 2y C 0
Mà đườ
2x y C 0
⊥ ⇒ ∈ + − =
⊥ ⇒ ∈ − =

∩ = −

⇒ + − =

 
∩ =
 


 

+ − = ⇒ = −
π
= ± + π ⇒ = ±
−
⇒ = ± ⇒ = ∨ = −
+
− + =

⇒

+ + =

C = 2
ng thẳng qua A
C = -6
x 2y 2 0 2x y 6 0

⇒


⇒ − + = ∨ + − =


Bài 7: Cho P(3,0) và
1 2
( ) : 2x y 2 0 ; ( ) : x y 3 0
∆ − − = ∆ + + =

∆ − − = ∆ + + =∆ − − = ∆ + + =
∆ − − = ∆ + + =
.Gọi (d) là đường thẳng đi qua P và cắt
1 2
( ),( )
∆ ∆
∆ ∆∆ ∆
∆ ∆
lần lượt tại A,B . Viết ohương trình (d) biết PA = PB
Bài giải:
(d) : y = k (x – 3) ,
{ }
{ }
1
2
A
B
2 3k
(d) ( ) A x
2 k
3k 3
(d) ( ) B x
k 1
−
∩ ∆ = ⇒ =
−
−
∩ ∆ = ⇒ =
+

PA = PB
P B
A
2x x x k 8 (d) : y 8x 24
⇒ = + ⇒ = ⇒ = −



Bài 8: Cho hình vuông có đỉnh A(-4,5) và 1 đường chéo trên : 7x – y + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh
và đường chéo của hình vuông
Bài giải:
BD : 7x – y + 8 = 0 ;
A AC BD AC : x 7y 31 0
∈ ⊥
⇒
+ − =

1 9
I AC BD I , C(3,4)
2 2
 
= ∩
⇒
−
⇒
 
 

Gọi
( )

∆
qua A và hợp với AC một góc 45
0
có hệ số góc k

AC
AC
AC
k k
1
k và tan(AC, ) 1 1
7 1 k.k
3 4
k k 3x 4y 32 0 4x 3y 24 0
4 3
−
= − ∆ = ± ⇔ = ±
+
⇒ = ∨ = − ⇒ − + = ∨ + − =

Vậy phương trình qua C :
3x 4y 32 0 4x 3y 24 0
− + = ∨ + − =


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

Bài 9: Lập phương trình các cạnh
ABC
∆

∆∆
∆
nếu B(2,-1) , đường cao và phân giác ngoài qua A và C lần lượt
là:
3x 4y 27 0 ; x 2y 5 0
− + = + − =
− + = + − =− + = + − =
− + = + − =

Bài giải:

AH : 3x – 4y + 27 = 0 ; phân giác CC’: x + 2y – 5 = 0
B BC AH BC : 4x 3y 5 0
∈ ⊥
⇒
+ − =

{
}
BC CC' C C( 1,3);( ) AC : qua C thỏa y k(x 1) 3
∩ = ⇒ − ∆ ≡ = + +

4
BC : 4x 3y 5 0 ; k
3
1
CC' : x 2y 5 0 ; k
2

+ − = = −





+ − = = −



(CA,CC’) = (CC’,CB)
tan(CA,CC') tan(CC',CB)
⇔ =

2 1 2
2 1 2
k k k k
k 0 ( ) : y 3
1 k .k 1 k .k
− −
⇔ = ⇔ = ⇒ ∆ =
+ +

{
}
CA AH A : A( 5,3) AB: 4x 7y 1 0
∩ = − ⇒ + − =


Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC
∆

∆∆
∆
có đỉnh C(-2,-4) và trọnh tâm G(0,4)
1. Giả sử M(2,0) là trung điểm của cạnh BC . Xác đònh tọa đôï các đỉnh A,B
2. Giả sử M di động trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0 , tìm quỹ tích điểm B . Xác đònh M để độ dài
cạnh AB là ngắn nhất
Bài giải:
1.Vì M là trung điểm cạnh BC nên :
B M
C
B B M
x x 2x
y y 2y
+ =


+ =


MA 3MG
=
uuuur uuuur
mà
A A
3MG ( 6,12) A( 4,12)
MG ( 2,4);
MA (x 2,y )

= −
⇒

−

= −

= −


uuuur
uuuur
uuuur

2.M( x
0
,y
0
)
(d)
∈
0 0
y 2 x
⇒
= −

0
0
B
C
B
C
x 2x x

y 2y y
= −


= −

B B
x y 10
⇔ + =

Vậy quỹ tích điểm B là đường thẳng
( )
∆
: x + y – 10 = 0
Vì
MA 3MG
=
uuuur uuuur
nên A(-2x
0
, 8+2x
0
)
2
0
1
AB 32 x 2 2 min AB 2
4
 
⇒

= + + ≥ =
 
 

0
1 1 9
x M ,
4 4 4
 
⇔ = −
⇒
−
 
 


Bài 11: Cho 3 điểm A(2,4) ; B(3,1) ; C(1,4) và
( )
∆
∆∆
∆
x – y – 1 = 0
1. Tìm
M ( )
∈ ∆
∈ ∆∈ ∆
∈ ∆
sao cho AM + MB nhỏ nhất
2. Tìm
N ( )

∈ ∆
∈ ∆∈ ∆
∈ ∆
sao cho AN + CN nhỏ nhất
Bài giải:
1.
1 2
A A B B
x y 1
x y 1
3 2 2
t 0 t
2 2
2 2
− −
− −
= = − < < = =
⇒
A,B nằm cùng phía đối với
( )
∆
và
AB (1, 3)
= −
uuur

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

⇒
AM + BM

≥
AB =
10
(1)
(1)

xảy ra
M ( )
M nằm trong A,B
∈ ∆

⇔



M ( )
AM cùng hướng AB
∈ ∆


⇔



uuuur uuur

( )
M M
M M
y x 1

1 5
M , min AM BM 10
3x y 2 0
4 4
= −

 
⇔ ⇒ − − + =

 
+ + =
 


2.
( ')
∆
qua A và vuông góc
( )
∆
thỏa
( ') : x y 6 0
I '
∆ + − =


= ∆ ∩∆

7 5
I ,

2 2
 
⇒
 
 

I trung điểm AA’
⇒
A’(5,1)
AN + CN = A’N + CN
≥
CA’ = 5 (2)
(2)

xảy ra
N ( )
CN cùng hướng CA'
∈ ∆


⇔



uuur uuuur

23 16
N , min(AN CN) 5
7 7
 

⇔ + =
 
 


Bài 12:
1.Lập phương trình đường thẳng qua A(2,1) và tạo 2x + 3y + 4 = 0 một góc 45
0

2. Cho P(2,5) , Q(5,1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng
đó bằng 3
Bài giải:
1.(d) : 2x + 3y + 4 = 0 ; k
d
=
2
3
−

( )
∆
qua A thỏa y = k (x – 2 ) + 1
( ,d)
∆
= 45
0

1
tan( ,d) 1 k k 5
5

⇔ ∆ = ± ⇔ = ∨ = −

x 5y 3 0 5x y 11 0
⇒ − + = ∨ + − =

2.
( )
∆
qua P thỏa y = k (x – 2 ) + 5
Q,
7
d 3 k ( ) : 7x 24y 134 0
24
 
 
∆
= ⇔ = − ⇔ ∆ + − =

( )
∆
qua P thỏa
( ') : x 2
∆ =

Q, '
d 3 x 2 0
 
 
∆
= ⇒ − =

thỏa ycbt