GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (787.08 KB, 40 trang )
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
…
…
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
…
…
§
§
1
1
.
.
N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
H
H
À
À
M
M
.
.
1) VI PHÂN:
Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Khi đó, ta có (
0
x
) =
0
0
0
0
( ) ( )
lim lim
x x x
f x f x
y
x x x
. Nếu
x
khá nhỏ thì tỷ số
y
x
rất gần với (
0
x
) nên có thể coi rằng (
0
x
)
y
x
0
( )
y f x x
. Do vậy,
ta có khái niệm:
Vi phân hàm số tại một điểm: Tích
0
'( )
f x x
được gọi là vi phân của hàm số (x) tại điểm
0
x
và ký
hiệu
0
( )
df x
, tức là
0 0
( ) ( )
df x f x x
.
Vi phân của hàm số: Tích
'( )
f x x
được gọi là vi phân của hàm số (x) và ký hiệu
( )
df x
, tức là
( ) ( )
df x f x x
. Đặc biệt y = x, ta có dx = (x)x = x, do đó
( ) ( )
df x f x dx
hay
dy y dx
.
1
Vd
Vi phân của hàm số
3
( ) 5 1
f x x x
là
3 3 2
( ) ( 5 1) ( 5 1)' (3 5)
df x d x x x x dx x dx
.
2
Vd
Vi phân của hàm số
3
sin
y x
là
3 2
sin 3sin cos
dy d x x xdx
.
2) NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu
F(x) = ƒ(x), xK.
Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì:
Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K.
Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C.
Họ các nguyên hàm của ƒ(x) trên K, ký hiệu: ( ) ( )
f x dx F x C
.
Theo định nghĩa, ta có:
( ) ( ) ( )
F x C f x dx f x
/
/
;
( ) ( ) ( ) ( )
f x dx F x dx dF x F x C
.
1
Vd
2
1 1
dx C
x x
vì
2
1 1
C
x x
/
.
2
Vd
2
dx
x C
x
vì
1
2 x C
x
/
3
Vd
2
2
1
1 tan (tan ) (tan ) tan
cos
x dx dx x dx d x x C
x
/
Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm cơ bản:
0
dx C
dx x C
1
( 1)
1
x
x dx C
ln | |
dx
x C
x
x x
e dx e C
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
cos sin
xdx x C
sin cos
xdx x C
2
tan
cos
dx
x C
x
2
cot
sin
dx
x C
x
Tính chất: Cho ƒ(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì:
[ ( ) ( )] ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
;
( ) ( )
kf x dx k f x dx
.
1
Vd
5 4 5 3 4
1 1 1 1 1
3 4
x
dx dx dx C
x x x x x
3
3
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
2
Vd
3
( )
x x dx
=
11
3
32
xdx xdx x dx x dx
=
43
32
2 3
3 4
x x C
3
Vd
2
4sin
xdx
=
1 cos2
4 2 (1 cos2 ) 2 2 cos2
2
x
dx x dx dx xdx
= 2 sin
x x C
3) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM:
a) Đổi biến số:
Định lý: Cho
( )
u u x
, ( ) ( )
f u du F u C
thì
( ) ( ) ( )
f u x u x dx F u x C
Hệ quả: Nếu
( 0)
u ax b a
,
( ) ( )
f u du F u C
thì
1
( ) ( )
f ax b dx F ax b C
a
Bảng nguyên hàm nâng cao:
du u C
1
( )
dx d ax b
a
1
( 1)
1
u
u du C
1
1 ( )
( ) . ( 1)
1
ax b
ax b dx C
a
ln
du
u C
u
1
ln
dx
ax b C
ax b a
u u
e du e C
1
ax b ax b
e dx e C
a
(0 1)
ln
u
u
k
k du C k
k
1
. (0 1)
ln
ax b
ax b
k
k dx C k
a k
cos sin
udu u C
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
sin cos
udu u C
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
2
tan
cos
du
u C
u
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
ax b a
2
cot
sin
du
u C
u
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
ax b a
1
Vd
2 1 2
cos 2 sin 2
3 2 3
x dx x C
2
Vd
2 3 2 3
1
2
x x
e dx e C
3
Vd
10
9
(1 )
(1 )
10
x
x dx C
4
Vd
3
cos sin
x xdx
.
Đặt t = cosx dt = –sinxdx
4 4
3 3
cos
cos sin
4 4
t x
x xdx t dt C C
5
Vd
2
3
1
x
dx
x
.
Đặt
2 2
3
3 3
3 2
1
3
2 1 1
hay
x dx x dx
t x dt dt
x x
2
3
3
2 2 2
1
3 3 3
1
x
dx dt t C x C
x
.
b) Nguyên hàm từng phần:
Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x dx u x v x v x u x dx
hay
udv uv vdu
Chú ý:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
Dạng 1: ( )
ax b
P x e dx
, ta đặt
( )
ax b
u P x
dv e dx
Dạng 2:
( )sin( )
P x ax b dx
, ta đặt
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx
Dạng 3:
( )cos( )
P x ax b dx
, ta đặt
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx
Dạng 4:
( )ln ( )
n
P x Q x dx
, ta đặt
ln ( )
( )
n
u Q x
dv P x dx
1
Vd
ln(1 )
x x dx
.
Đặt
2
1
ln(1 )
1
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v
nên
2 2
1
ln(1 ) ln(1 )
2 2 1
x x
x x dx x dx
x
=
2 2
ln(1 ) 1 1 1
2 2 1 1
x x x
dx
x x
2 2
( 1)ln(1 ) ( 1)
2 4
x x x
C
2
Vd
sin(2 1)
x x dx
. Đặt
1
sin(2 1)
cos(2 1)
2
du dx
u x
dv x dx
v x
nên
1 1 1 1
sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) sin(2 1)
2 2 2 4
x x dx x x x dx x x x C
3
Vd
2
( 2 1)
x
x x e dx
=
2
( 2 1) ( )
x
x x d e
=
2
( 2 1) 2 ( 1)
x x
e x x e x dx
=
2
( 2 1) 2 ( 1) ( )
x x
e x x x d e
=
2
( 2 1) 2 ( 1) 2
x x x
e x x e x e dx
=
2
( 1)
x
e x C
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ƒ(x) = 2
3
x
– 5x + 7; b) ƒ(x) =
2
1
x
–
2
x
–
1
3
; c) ƒ(x) =
1
3
x
;
d) ƒ(x) = 3
2
x
+
2
x
e) ƒ(x) =
sin5 cos3
x x
; f) ƒ(x) =
2
tan
x
;
g) ƒ(x) =
3 2
x
e
; h) ƒ(x) =
1
(1 )(1 2 )
x x
; i) ƒ(x) =
3
1
x x
x
j) ƒ(x) =
2 1
x
x
e
; k) ƒ(x) =
2 2
1
sin cos
x x
; l) ƒ(x) =
2
10
x
Hướng dẫn:
a)
4 2
5
7
2 2
x x
x C
b)
3
1
3 3
x x
C
x
c)
2
3
3
2
x C
d)
2
3
4
x
x C
e)
1
(sin8 sin 2 )
2
x x dx
=
1 1
cos8 cos 2
16 4
x x C
f)
2
2
1
tan 1 tan
cos
xdx dx x x C
x
g)
3 2 3 2
1
2
x x
e dx e C
h)
1 1 1 1 2
(1 )(1 2 ) 3 1 3 1 2
dx dx dx
x x x x
=
1 1 1 1
ln 1 ln 1 2 ln
3 3 3 1 2
x
x x C C
x
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
i)
2 1 1
3 6 3
x dx x dx x dx
=
5 7 2
3 6 3
3 6 3
5 7 2
x x x C
j)
2 1
x x
dx dx
e e
=
2 1
2 1
ln ln
x x
e e
C
e e
=
2 1
(ln2 1)
x
x x
C
e e
=
2 ln 2 1
(ln2 1)
x
x
C
e
k)
2 2
1 1
sin cos
dx dx
x x
=
cot tan
x x C
với
2
2(1 tan ) 2
tan cot 2cot 2
2tan tan 2
x
x x x
x x
l)
2
10
2ln10
x
C
2) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
( )
x x dx
b)
2
x x x
dx
x
c)
2
4sin
xdx
d)
1 cos4
2
x
dx
Hướng dẫn:
a)
43
32
2 3
3 4
x x C
b)
2
2
x C
x
c)
2 sin
x x C
d)
sin 4
2 8
x x
C
3) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
9
(1 )
x dx
b)
3
2
2
(1 )
x x dx
c)
3
cos sin
x xdx
d)
2
x x
dx
e e
Hướng dẫn:
a)
10
1
(1 )
10
x C
; b)
5
2
2
1
(1 )
5
x C
; c)
4
1
cos
4
x C
;
d)
2
2 2
( 1) 1
( 1) ( 1)
2 2 1 ( 1) 1
x x
x x
x x x x x x
dx e d e
dx e d e C
e e e e e e
4) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ƒ(x) =
2
3
9
1
x
x
b) ƒ(x) =
1
5 4
x
c) ƒ(x) =
2
4
1
x x
d) ƒ(x) =
2
1
1
x x
Hướng dẫn:
a)
1
3 3
2
3 1 1
x d x
=
1 1
3 3 3
2 2
6 1 1 6 1
x d x x C
=
3
6 1
x C
b)
1
2
1
5 4 (5 4)
5
x d x
=
1
2
2
5 4
5
x C
=
2
5 4
5
x C
c)
1
2 2
4
1
1 1
2
x d x
=
5
2
4
2
1
5
x C
=
5
2
4
2
1
5
x C
d)
2
2 1 1
x d x
=
1
2 1
x C
=
2
1
C
x
5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ƒ(x) =
2
3 7 3
x x
b)ƒ(x) = cos(3x + 4) c)ƒ(x) =
2
1
cos (3 2)
x
d)ƒ(x) =
5
sin cos
3 3
x x
Hướng dẫn:
a)
2
3 7 3
x x dx
=
2 2
1
7 3 7 3
2
x d x
=
3
2
2
7 3
3
x
C
=
2
2
3
1
7 3
3
x C
b)
cos(3 4)
x dx
=
1
cos(3 4) (3 4)
3
x d x
=
sin(3 4)
3
x
C
c)
2
1
cos (3 2)
dx
x
=
2
1 1
(3 2)
3 cos (3 2)
d x
x
=
tan(3 2)
3
x
C
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
d)
5
sin cos
3 3
x x
dx
=
5
3 sin sin
3 3
x x
d
=
6
1
sin
2 3
x
C
6) Sử dụng phương pháp từng phần, hãy tính:
a)
ln(1 )
x x dx
b)
2
( 2 1)
x
x x e dx
c)
sin(2 1)
x x dx
d) (1 )cos
x xdx
Hướng dẫn:
a)
2 2
1 1
( 1)ln(1 ) ( 1)
2 4
x x x C
; b)
2
( 1)
x
e x C
;
c)
1 1
cos(2 1) sin(2 1)
2 4
x x x C
;
d)
(1 ) (sin )
x d x
= (1 )sin sin
x x xdx
= (1 )sin cos
x x x C
7) Dùng phương pháp từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ƒ(x) =
3
x
x e
b)ƒ(x) =
3 9
x
e
c)ƒ(x) =
2
cos2
x x
d)ƒ(x) =
ln
x x
.
Hướng dẫn:
a)
3 x
x e dx
=
3
x
x d e
=
3 2
3
x x
x e x e dx
=
3 2
3
x x
x e x d e
=
3 2
3 6
x x x
x e x e xe dx
=
3 2
3 6
x x x
x e x e xd e
=
3 2
3 6 6
x x x x
x e x e xe e dx
=
3 2
3 6 6
x
e x x x C
b)
3 9x
e dx
=
3 9
2
3 9 3 9
3
x
x e d x
=
3 9
2
3 9
3
x
x d e
=
3 9 3 9
2 2
3 9 3 9
3 3
x x
x e e d x
=
3 9 3 9
2 2
3 9
3 3
x x
x e e C
=
3 9
2
3 9 1
3
x
e x C
c)
2
cos2
x xdx
=
2
1
sin 2
2
x d x
=
2
1
sin 2 sin 2
2
x x x xdx
=
2
1 1
sin 2 cos2
2 2
x x xd x
=
2
1 1 1
sin 2 cos2 cos2 (2 )
2 2 4
x x x x xd x
=
2
1 1 1
sin 2 cos2 sin 2
2 2 4
x x x x x C
d) ln
x xdx
=
2 ln
x xd x
=
3
2 ln 2 (ln 1)
x x x x dx
=
3
2 ln 2 ln 2
x x x xdx xdx
3 ln
x xdx
=
3
2 ln 2
x x xdx
ln
x xdx
=
3 3
2 ln 4
3 9
x x x
C
8) Tìm nguyên hàm:
a)
1 1 1 1 1
1 1 ( 1) 1 ( 1) 1
2 2 3 3
1 1
dx x dx x dx x x x x C
x x
b)
1 1 2
ln
( 3)( 2) 5 2 3 5 3
dx dx dx x
C
x x x x x
c)
2
3 3 3 3
12 9 12ln 4 9ln 1
5 4 ( 1)( 4) 4 1
xdx x dx dx
dx x x C
x x x x x x
d)
2 2 2
( 2) 1 1 1
[ ]
( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
dx x x
dx dx
x x x x x x x
=
1 1
ln
4 2 2( 2)
x
C
x x
e)
2 3
2 ( 1)
x x dx
=
2 3 2
( 1) ( 1)
x d x
=
2 4
( 1)
4
x
C
f)
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ln
( 1) ( 1) 2 1 2 1
dx xdx x
d x C
x x x x x x x
g)
2
1 x
xe dx
=
2
1 2
1
(1 )
2
x
e d x
=
2
1
2
x
e
+ C
h)
sin
2
x
x dx
=
2 cos
2
x
xd
=
2 .cos 2 cos
2 2
x x
x dx
=
2 cos 4sin
2 2
x x
x C
i)
3
ln(2 )
x x dx
=
4
1
ln(2 )
4
x d x
4
3
ln(2 ) 1
4 4
x x
x dx
=
4 4
ln(2 )
4 16
x x x
C
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
§
§
2
2
.
.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
.
.
1) KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:
a) Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên
hàm của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích
phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số (x), ký hiệu
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
.
1
Vd
3
3
2 2 2
1
1
3 1
4
2 2 2
x
I xdx
.
b) Tính chất của tích phân: Giả sử hàm số ƒ(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c K. Khi đó:
( )
a
a
f x dx
= 0
( ) ( )
b
a
f x g x dx
=
( )
b
a
f x dx
( )
b
a
g x dx
( )
b
a
f x dx
= –
( )
a
b
f x dx
( )
b
a
kf x dx
=
( )
b
a
k f x dx
( )
b
a
f x dx
+
( )
c
b
f x dx
=
( )
c
a
f x dx
( )
b
a
f x dx
=
( )
b
a
f t dt
=
( )
b
a
f u du
. . .
2
Vd
2
0
1
1
dx
x
. Ta có hàm số y =
1
1
x
không xác định tại x = 1
0;2
suy ra hàm số không liên tục
trên
0;2
do đó tích phân trên không tồn tại.
3
Vd
2
0
|1 |
x dx
=
1 2
0 1
(1 ) (1 )
x dx x dx
=
1 2
2 2
0 1
1 1
(1 ) (1 )
2 2
x x
= 1
4
Vd
ln2
2 1
0
1
x
x
e
dx
e
=
ln2 ln2
1
0 0
x x
e dx e dx
=
ln2 ln 2
1
0 0
x x
e e
=
1
2 1
2
e e
=
1
2
e
5
Vd
2
2
0
sin 2 cos
x xdx
=
2
0
1
sin 2 (1 cos2 )
2
x x dx
=
2 2
0 0
1 1
sin 2 sin 4
2 4
xdx xdx
=
2 2
0 0
cos2 cos4
4 16
x x
= 0
2) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
a) Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1: I =
( ) . ( )
b
a
f u x u x dx
Bước 1: Đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
Bước 2: Đổi cận:
( )
( )
x b t u b
x a t u a
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được
( )
( )
( ) . '( ) ( )
u b
b
a u a
I f u x u x dx f t dt
1
Vd
Tính I =
1
3
3 4
0
1
x x dx
. Đặt
4 3
1 4
t x dt x dx
.
Đổi cận:
1 2
0 1
x t
x t
. Do đó I =
2
2
3 4
1
1
1 1 15
4 16 16
t dt t
2
Vd
Tính I =
3
3
2
0
1
x dx
x
. Đặt
2 2 2
2
1 ( 1).
1
vaø
x
t x dt dx x t
x
Đổi cận:
2
3
1
0
t
x
t
x
. Do đó I =
2
2
3
2
1
1
4
( 1)
3 3
t
t dt t
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7
3
Vd
Tính I =
1
0
(1 )
1
x
x
e x
dx
xe
. Đặt t = 1+ x
x
e
dt = (
x
e
+ x
x
e
)dx.
Đổi cận:
1 1
0 1
x t e
x t
. Do đó I =
1
1
1
1
ln
e
e
dt
t
t
ln(1 + e).
4
Vd
Tính I =
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
. Đặt t = sinx dt = cosxdx.
Đổi cận:
2 1
0 0
x t
x t
. Do đó I =
1
1
0
0
ln 1 ln2
1
dt
t
t
.
Phương pháp đổi biến số dạng 2:
( )
b
a
I f x dx
Bước 1: Đặt
( ) '( )
x t dx t dt
Bước 2: Đổi cận:
x b t
x a t
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được
( ) ( ) '( )
b
a
I f x dx f t t dt
1
Vd
Tính I =
1
2
0
1
x dx
. Đặt x = sint dx = costdt và
2 2
1 1 sin cos
x t t
Đổi cận:
1
2
0
0
x
t
x
t
. Do đó I =
2 2
2
2
0 0
0
1 1 sin 2
cos 1 cos2
2 2 2 4
t
tdt t dt t
.
2
Vd
Tính I =
1
2
2
0
1
dx
x
. Đặt x = sint dx = costdt. Đổi cận:
1
6
2
0
0
tx
x t
. Do đó I =
6
0
dt
=
6
3
Vd
Tính I =
1
2
0
1
1
dx
x
. Đặt x = tant dx =
2
cos
dt
t
và
2
2
1
cos
1 tan
t
t
Đổi cận:
1
4
0
0
x
t
x
t
. Do đó I =
2
4 4
4
2
0
0 0
cos
cos 4
t
dt dt t
t
.
b) Phương pháp tích phân từng phần:
Công thức: Cho hai hàm số
( ), ( )
u x v x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b].
Ta có
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
/ /
/ / / /
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
.
Vậy
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu
Dạng đặc biệt:
Dạng 1: ( )
k
ax b
i
P x e dx
, ta đặt
( )
ax b
u P x
dv e dx
Dạng 2:
( )sin( )
k
i
P x ax b dx
, ta đặt
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
Dạng 3:
( )cos( )
k
i
P x ax b dx
, ta đặt
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx
Dạng 4:
( )ln ( )
k
n
i
P x Q x dx
, ta đặt
ln ( )
( )
n
u Q x
dv P x dx
1
Vd
1
0
x
I xe dx
. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
. Do đó I =
1
1 1
0 0
0
( 1) 1
x x x
xe e dx x e
.
2
Vd
1
ln
e
I x xdx
. Đặt
2
ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v
. Do đó I =
2 2
1
1
1 1
ln
2 2 4
e
e
x e
x xdx
.
3
Vd
2
0
sin
x
I e xdx
. Đặt
sin cos
x x
u x du xdx
dv e dx v e
. Do đó I =
2
2
2
0
0
sin cos
x x
e x e xdx e J
.
Tính J: Đặt
cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
2 2
2
0
0 0
cos cos sin 1
x x x
J e xdx e x e xdx I
Vậy
2
2
1
( 1 )
2
e
I e I I
.
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Tính các tích phân sau:
a)
1
2
2
3
1
2
(1 )
x dx
b)
2
0
sin
4
x dx
c)
2
1
2
1
( 1)
dx
x x
d)
2
2
0
( 1)
x x dx
e)
2
2
1
2
1 3
( 1)
x
dx
x
f)
2
2
sin3 cos5
x xdx
Hướng dẫn:
a) I =
1
5
2
3
1
2
3
1
5
x
=
5 5
3 5
3
3 3
3
3 5
3 1 3 3 3 3 1 3 3 9 1
5 2 5 2 5 10
4
2
b) I =
2
0
cos
4
x
=
2 2
2 2
= 0
c)
2 2
1 1
2 2
1 1
1
dx dx
x x
=
2 2
1 1
2 2
1 3
ln ln( 1) ln 2 ln ln3 ln ln 2
2 2
x x
d)
2 2 2
3 2
0 0 0
2
x dx x dx xdx
=
2 2 2
4 3 2
0 0 0
1 2 1
4 3 2
x x x
=
34
3
e)
2 2 2 2
1 3 3 3 4 4 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
x x
x x x x x
. Do đó I =
2
2
1
2
1/2
4
3ln( 1)
1
x
x
=
4
3ln 2
3
f)
/2
/2
1
(sin8 sin 2 )
2
x x dx
=
2 2
2 2
1 1
cos8 cos2
16 4
x x
= 0
2) Tính các tích phân sau:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
a)
2
0
|1 |
x dx
b)
2
2
0
sin
xdx
c)
ln2
2 1
0
1
x
x
e
dx
e
d)
2
2
0
sin 2 cos
x xdx
Hướng dẫn:
a)
1 2
0 1
(1 ) (1 )
x dx x dx
=
1 2
2 2
0 1
1 1
(1 ) (1 )
2 2
x x
= 1
b)
2
0
1
(1 cos2 )
2
x dx
=
2 2
0 0
1 1
sin 2
2 4
x x
=
4
c)
ln2 ln2
1
0 0
x x
e dx e dx
=
ln2 ln2
1
0 0
x x
e e
=
1
2 1
2
e e
=
1
2
e
d)
2
0
1
sin 2 (1 cos2 )
2
x x dx
=
2 2
0 0
1 1
sin 2 sin4
2 4
xdx xdx
=
2 2
0 0
cos2 cos4
4 16
x x
= 0
3) Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a)
1
0
1
d
x x
b)
4
2
0
tan
cos
x
dx
x
c)
1
3
3 4
0
1
t t dx
d)
1
2 2
0
5
( 4)
x
dx
x
e)
3
2
0
4
1
x
dx
x
f)
6
0
(1 cos3 )sin3
x xdx
Hướng dẫn:
a)
1
1
2
0
1 1
dx x
=
1
3
2
0
2
1
3
x
=
2
2 2 1
3
; b)
4
0
tan (tan )
xd x
=
4
2
0
1
tan
2
x
=
1
2
c)
1
3
4 4
0
1
1 1
4
t d t
=
1
4
4
0
1
1
16
t
=
15
16
; d)
1
2 2 2
0
5
( 4) ( 4)
2
x d x
=
1
2
0
5
2 4
x
=
1
8
e)
3
1
2 2
2
0
2 1 1
x d x
=
3
2
0
4 1
x
= 4 f)
6
0
1
(1 cos3 ) (1 cos3 )
3
x d x
=
6
0
1
(1 cos3 )
6
x
=
1
6
4) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
3
2
3
0
2
1
x
dx
x
b)
1
2
0
1
x dx
c)
1
0
(1 )
1
x
x
e x
dx
xe
d)
2
2 2
0
1
a
dx
a x
Hướng dẫn:
a) I =
3 3
2 2
3 3
0 0
2
1
1
x x dx
dx
x
x
. Đặt 1
2 1
dx
t x dt
x
và
2 2 2
( 1)
x t
.
Đổi cận
3 2
0 1
x t
x t
. Do đó I =
2
2 2
2 2 3
2
3 2
1 1
1
( 1) 2 1 1 5
2 2 2 2
3 3
t tdt t
t dt t
t t t
b) /4
c) Đặt u = 1+ x
x
e
du = (
x
e
+ x
x
e
)dx. Do đó
1 1
1
1
0 1
(1 ) 1
ln
1
e
x
e
x
e x
dx du u
xe u
ln(1 + e)
d) Đặt x = asint dx = acostdt và
2 2 2
sin
a a t
= acost với t[0;
6
]. Do đó
6
2
2 2
0 0
1
6
a
dx dt
a x
5) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
a)
/2
0
( 1)sin
x xdx
b)
2
1
ln
e
x xdx
c)
1
0
ln(1 )
x dx
d)
1
2
0
( 2 1)
x
x x e dx
Hướng dẫn:
a)
2
0
( 1) (cos )
x d x
=
2
2 2 2
0 0 0
0
( 1)cos cos ( 1)cos sin
x x xdx x x x
= 1+ 1 = 2
b)
3
1
1
ln ( )
3
e
xd x
=
3 2 3 3
1 1 1
1
1 1 1 1
ln ln
3 3 3 9
e e e
e
x x x dx x x x
=
3 3
2 1 1
(2 1)
9 9 9
e e
c)
1 1
1
0
0 0
ln(1 ) ln(1 )
1
x
x dx x x dx
x
=
1 1 1
0 0 0
ln(1 ) ln(1 )
x x x x
= 2ln2 – 1
d)
1
2
0
( 2 1) ( )
x
x x d e
1
1
2
0
0
( 2 1) 2 ( 1) 2
x x x
e x x e x e dx
= –1
6) Dùng phương pháp tính tích phân từng phần tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln
x xdx
b)
1
0
( 1)
x
x e dx
c)
0
cos
x
e xdx
d)
2
0
cos
x xdx
Hướng dẫn:
a)
2
6
1
1
ln
6
xd x
=
2
2
6 5
1
1
1 1
ln
6 6
x x x dx
=
2 2
6 6
1 1
1 1
ln
6 36
x x x
=
32
3
ln2 –
7
4
b)
1
0
( 1)
x
x d e
=
1
1
0
0
( 1) ( 1)
x x
x e e d x
=
1 1
0 0
( 1)
x x
x e e
= e
c)
0
cos
x
xd e
=
0
0
cos (cos )
x x
e x e d x
=
0
0
cos sin
x x
e x e xdx
=
0
0
cos sin
x x
e x xd e
=
0 0
0
cos sin cos
x x x
e x e x e xdx
=
0
1 cos
x
e e xdx
0
cos
x
e xdx
=
1
2
e
d)
2 2
2
0
0 0
sin sin sin
xd x x x xdx
=
2 2
0 0
sin cos
x x x
=
2
– 1
7) Tính
1
5
0
(1 )
x x dx
bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số u = 1 – x; b) Tính tích phân từng phần.
Hướng dẫn:
a)
0
5
1
(1 )
u u du
=
1 1
5 6
0 0
u du u du
=
1
6 7
0
1 1
6 7
u u
=
1
42
b)
1
6
0
1
(1 )
6
xd x
=
1 1 1
1
6 6 6 7
0 0 0
0
1 1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
6 6 6 42
x x x d x x x x
=
1
42
8) Tính a)
1
5 4
0
2 2 5
t t t dt
b)
2
0
sin cos
x x xdx
Hướng dẫn:
a)
1
1
5 5
2
0
2 2
t t d t t
=
1
3
5
0
2
2
3
t t
= 2
3
b)
2 2
2
0
0 0
1 1 1
cos2 cos2 cos2 2
4 4 8
xd x x x xd x
=
2 2
0 0
1 1
cos2 sin 2
4 8
x x x
=
8
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
9) Tính a)
1
4
0
5 5 4cos sin
t tdt
b) I =
3
3
2
0
1
x dx
x
Hướng dẫn:
a)
1
4
0
5
5 4cos 5 4cos
4
t d t
=
5
4
0
5 4cost
=
5
4
9 1
b)
4
3
10) Tính các tích phân sau:
a)
3
2
2
1
x
x e dx
b)
3
2
1
1
(ln )
x dx
x
c)
3
2
0
1
x x dx
d)
3
1
2 3
0
x
x e dx
e)
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
Hướng dẫn:
a)
3
2
2
1
x
x e dx
=
3
2
3
1
1
3
x
e d x
=
3
2
1
1
3
x
e
=
8
1
( )
3
e e
b)
3
2
1
1
(ln )
x dx
x
=
3
2
1
(ln ) (ln )
x d x
=
3
3
1
1
(ln )
3
x
=
3
(ln3)
3
c)
3
2
0
1
x x dx
=
3
1
2 2
2
0
1
1 1
2
x d x
=
3
3
2
0
1
1
3
x =
7
3
d)
3
1
2 3
0
x
x e dx
=
3
1
3 3
0
1
3
9
x
e d x
=
3
1
3
0
1
9
x
e
=
3
1
9
e
e)
2
0
cos
1 sin
x
dx
x
=
2
0
(1 sin )
1 sin
d x
x
=
2
0
ln 1 sin
x
= ln2
11) Tính các tích phân sau:
a)
4
0
cos2
x xdx
b)
1
0
ln(2 )
2
x
dx
x
c)
2
2
0
cos
x xdx
d)
1
2 3
0
1
x x dx
e)
2
1
ln
e
x xdx
Hướng dẫn:
a)
4
0
1
(sin2 )
2
xd x
=
4
4
0
0
1 1
sin 2 sin2
2 2
x x xdx
=
4 4
0 0
1 1
sin 2 cos2
2 4
x x x
=
1
8 4
b)
1
0
ln(2 )
2
x
dx
x
=
1
0
ln(2 ) ln(2 )
x d x
=
1
2
0
1
ln (2 )
2
x
=
2
1
ln 2
2
c)
2 2
2 2
2
0
0 0
(sin ) sin 2 sin
x d x x x x xdx
=
2
2
2
0
0
sin 2 (cos )
x x xd x
=
2
2
2
2
0
0
0
sin 2 cos 2 cos
x x x x xdx
=
2
2
2 2
0 0
0
sin 2 cos 2sin
x x x x x
=
2
4
– 2
d)
1
2 3
0
1
x x dx
=
1
1
3 3
2
0
1
1 1
3
x d x
=
1
3
3
0
2
1
9
x
=
2
(2 2 1)
9
e)
2
1
ln
e
x xdx
=
3
1
1
ln
3
e
xd x
=
3 2
1
1
1 1
ln
3 3
e
e
x x x dx
=
3 3
1 1
1 1
ln
3 9
e e
x x x
=
3
2 1
9
e
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
§
§
3
3
.
.
Ứ
Ứ
N
N
G
G
D
D
Ụ
Ụ
N
N
G
G
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
I> DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1) Diện tích hình thang cong:
a) Định nghĩa: Hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = ƒ(x) và các đường y = 0 (trục hoành Ox), x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H) có diện tích
là:
( )
( )
b
H
a
S f x dx
b) Phương pháp giải toán:
Bước 1: Tóm tắc hình
( )
0
:
y f x
y
H
x a
x b
Nếu chưa cho biết a, b thì a, b
là nghiệm phương trình (x) = 0
Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số (x) trên đoạn [a; b]. Nếu vẽ được
đồ thị thì không lập bảng xét dấu.
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
( )
b
a
f x dx
. Nếu vẽ đồ thị thì phần phía trên trục hoành
dương nên không đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành âm nên đổi dấu.
1
Vd
Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường
3 2
3 3
y x x x
, trục hoành và 2 đường x = –2; x = –1.
Giải: Theo công thức tính diện tích, ta có
1
3 2
( )
2
3 3
H
S x x x dx
. Theo bảng xét dấu:
1
1
4 2
3 2 3
( )
2
2
7
3 3 3
4 2 4
H
x x
S x x x dx x x
(đvdt)
2
Vd
Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường
3 2
3 3
y x x x
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2.
Giải: Diện tích
0
3 2
( )
2
3 3
H
S x x x dx
. Theo bảng xét dấu:
1 0
3 2 3 2
( )
2 1
7 7 14
3 3 3 3
4 4 4
H
S x x x dx x x x dx
(đvdt)
3
Vd
Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
3 3
y x x x
với trục hoành.
Giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường y = 0 là
3 2
3 3 0 3, 1, 1
x x x x x x
.
Diện tích
1
3 2
( )
3
3 3
H
S x x x dx
. Theo bảng xét dấu:
1 1
3 2 3 2
( )
3 1
3 3 3 3 4 4 8
H
S x x x dx x x x dx
(đvdt)
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường:
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
a) Định nghĩa:
Hàm số y = ƒ(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], diện tích S của hình
phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ƒ(x), y = g(x) và hai đường
thẳng x = a, x = b là:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
Hàm số x = g(y) và x = h(y) liên tục trên đoạn [c; d], diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng
y = c, y = d là
( ) ( )
d
c
S g y h y dy
b) Phương pháp giải toán:
Bước 1: Tóm tắc hình
( )
( )
:
y f x
y g x
H
x a
x b
. Nếu chưa cho biết a, b thì a, b là nghiệm phương trình
( ) ( )
f x g x
.
Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số (x) trên [a; b]. Nếu vẽ được 2 đồ thị thì không lập bảng xét dấu.
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
( ) ( )
b
a
f x g x dx
. Nếu vẽ 2 đồ thị thì (x) – g(x) dương
khi (x) nằm trên g(x) và ngược lại.
1
Vd
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
và
2
4
y x
.
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là
4 2 2 4 2
2 3 4 2 3 0 1
x x x x x x
. Diện tích
1
4 2
( )
1
2 3
H
S x x dx
.
Theo bảng xét dấu.
1
1
5 3
4 2
( )
1
1
2 64
2 3 3
5 3 15
H
x x
S x x dx x
(đvdt).
2
Vd
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
y x
,
1 3
2 2
y x
và trục hoành (y = 0).
Giải: Theo biến y, phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là
2
2 3 ( 0) 3
y y y y
.
Diện tích
3
2
( )
0
2 3
H
S y y dy
. Theo bảng xét dấu:
3
3
3
2 2
( )
0
0
2 3 3 9
3
H
y
S y y dy y x
(đvdt)
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
II> THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
a) Trường hợp 1: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
( ) 0 ;
y f x x a b
,
0
y
,
x a
và
x b
quay quanh trục Ox là
2
( )
b
a
V f x dx
.
1
Vd
Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
( ) :
C x y R
quay quanh Ox.
Giải: Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
2 2
x R x R
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
( ) :
C x y R y R x
Do đó
2 2 2 2
0
2
R R
R
V R x dx R x dx
3 3
2
0
4
2
3 3
R
x R
R x
(đvtt).
b) Trường hợp 2: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
( ) 0 ;
x g y y c d
,
0
x
,
y c
và
y d
quay quanh trục Oy là
2
( )
d
c
V g y dy
.
2
Vd
Tính thể tích hình khối do ellipse
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b
quay quanh Oy.
Giải: Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
2
2
1
y
y b
b
.
Phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2
( ) : 1
x y a y
E x a
a b b
Do đó
2 2 2 2
2 2
2 2
0
2
b b
b
a y a y
V a dy a dy
b b
2 3 2
2
2
0
4
2
3 3
R
a y a b
a y
b
(đvtt).
c) Trường hợp 3: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
( ), ( )
y f x y g x
,
x a
và
( , ( ) 0, ( ) 0 ; )
x b a b f x g x x a b
quay quanh Ox là
2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx
.
3
Vd
Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x
,
2
y x
quay quanh Ox.
Giải: Hoành độ giao điểm
4
0
0
1
x
x
x
x x
. Do đó
1
4
0
V x x dx
. Theo bảng xét dấu
1
1
4 5 2
0
0
1 1 3
5 2 10
V x x dx x x
(đvtt).
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y =
2
x
, y = x + 2 b) y = |lnx|, y = 1 c) y =
2
( 6)
x
, y = 6x –
2
x
.
Hướng dẫn:
a) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = –1 và x = 2. Do đó:
2
2 2
3 2
2 2
1 1
1
9
2 ( 2) 2
3 2 2
x x
S x x dx x x dx x
b) Hoành độ giao điểm của hai đường là x =
1
e
và x = e. Do đó:
1
1 1
1
1 ln (1 ln ) (1 ln )
e e
e e
S x dx x dx x dx
=
1
e
e
– 2
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 15
c) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 3 và x = 6. Do đó
6 6
2 2
3 3
9 18 ( 9 18) 9
S x x dx x x dx
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y =
2
x
+ 1, tiếp tuyến với đường này tại M(2; 5) và
trục Oy.
Hướng dẫn:
Phương trình tiếp tuyến là y = 4x – 3. Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 0 và x = 2. Do đó
2 6
2 2
0 3
8
1 4 3 ( 4 4)
3
S x x dx x x dx
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 0 và x =
7
6
Hướng dẫn:
7 /6
0
(sin 1)
S x dx
=
7 3
1
6 2
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y =
2
cos
x
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số y =
x
và y =
3
x
c) Đồ thị hai hàm số y = 2
2
x
và y =
4
x
– 2
2
x
trong miền x 0
Hướng dẫn:
a) S =
2
0
cos
xdx
=
2
b) Hai đường cong x =
2
y
và x =
3
y
giao nhau tại y = 0, y = 1.
Trên khảng (0; 1) ta có
2
y
–
3
y
> 0 nên
1
2 3
0
S y y dy
=
1
3 4
0
3 4
y y
=
1 1 1
3 4 12
c) Trong miền x 0, hai đường cong trên giao nhau tại x = 0 và x = 2.
Trên khảng (0; 2), ta có
4
x
– 2
2
x
– 2
2
x
< 0 nên
2
2 4
0
64
4
15
S x x dx
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y =
2
x
– 4, y = –
2
x
– 2x và hai đường thẳng x = –3, x = –2
b) Đồ thị hai hàm số y =
2
x
– 4, y = –
2
x
– 2x
c) Đồ thị hàm số y =
3
x
– 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4.
Hướng dẫn:
a) Trên khoảng (–3; –2), ta có (
2
x
– 4) –( –
2
x
– 2x) > 0 nên
2
2 2
3
4 2
S x x x
=
11
3
b) Hai đường cong y =
2
x
– 4, y = –
2
x
– 2x giao nhau tại x = –2, x = 1
Trên khoảng (–2; 1), ta có (
2
x
– 4) – (–
2
x
– 2x) < 0 nên
2
2 2
2
( 2 4)
S x x x dx
= 9
c)
4
3
2
4
S x x dx
=
0 2 4
3 3 3
2 0 2
4 4 4
x x dx x x dx x x dx
= 44
6) Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y = 1 –
2
x
, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4
Hướng dẫn:
a)
1
2 2
1
(1 )
V x dx
=
1
2 4
1
1 2
x x dx
=
1
3 5
1
2
3 5
x x
x
=
8 8 16
15 15 15
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
b)
2
0
cos
V xdx
=
0
1
(1 cos2 )
2
x dx
=
2
0
1
sin 2
2 2
x x
c)
4 4
2
2
0 0
1
tan 1
cos
V xdx dx
x
=
4
0
tan
x x
=
1
4
7) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt
POM
,
0 , 0
3
OM R R
.
Gọi
là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox
a) Tính thể tích của
theo và R.
b) Tìm sao cho thể tích của
lớn nhất.
Hướng dẫn:
a) MP = x.tan, OP = R.cos. Do đó
cos
cos
3 3
2 2 2 3
0
0
tan . tan . (cos cos )
3 3
R
R
x R
V x dx
b) Đặt t = cos t[
1
2
; 1] vì [0;
3
], ta có
3
3
( )
3
R
V t t
,
3
2
1 1
(1 3 ), 0 ,
3
3 3
(
R
V t V t t
loaïi)
. Vậy
3
1
0; ;1
3 2
2 3 1
max ( ) max ( ) )
27
3
R
V V t
(cos =
8) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y =
x
– 1. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Hướng dẫn:
4
2
1
7
1
6
V x dx
9) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường
2
x
y
, y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình A quanh trục tung.
Hướng dẫn:
4
2
1
4
3
V dy
y
10) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường
2
5
x y
, x = 0 và y = –1 và y = 1. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Hướng dẫn:
1
4
1
5 2
V y dy
11) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và y =
2
4
x
trong miền x 0, y 1
b) Đồ thị hàm số y =
4
x
– 4
2
x
+ 4, y =
2
x
, trục tung và đường thẳng x = 1
c) Đồ thị các hàm số y =
2
x
, y = 4x – 4 và y = –4x – 4.
Hướng dẫn:
a) (Hình) Trong khoảng (0; 1), ta có 1 – x > 0 và trong khoảng (0; 2), ta có
1 –
2
4
x
> 0 nên
2
2
1
0
1
4
x
S dx
=
2
3
0
4
12 3
x
x
và
1
2
0
(1 )
S x dx
=
1
2
0
1
2 2
x
x
. Ta có
1 2
S S S
= 5/6.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
b) Trong khoảng (0; 1), ta có
4
x
– 4
2
x
+ 4 –
2
x
> 0. Do đó S =
1
4 2
0
38
5 4
15
x x dx
c) (Hình)
0 2
2 2
2 0
4 4 4 4
S x x dx x x dx
=
16
3
12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số y =
2
x
+ 1 và y = 3 – x
b) Các đường x =
3
y
, y = 1 và x = 8
c) Đồ thị hai hàm số y =
x
, y = 6 – x và trục hoành.
Hướng dẫn:
a) Hai đường cong giao nhau tại x = 1 và x = –2. Ta có
1
2
2
9
(2 )
2
S x x dx
b)
8
3
1
17
( 1)
4
S x dx
;
c) (Hình)
4
0
22
2
3
S xdx
13) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y =
2
x
, y = 0, x
= 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Hướng dẫn:
32
5
V
14) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =/4. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Hướng dẫn:
4
2
0
( 2)
cos
8
V xdx
15) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y =
2
x
xe
, y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Hướng dẫn:
1
2
0
( 2)
x
V x e dx e
16) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường
2sin 2
x y
, x = 0 và y = 0 và y =
2
. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Hướng dẫn:
2
0
2sin 2 2
V ydy
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
Ô
Ô
N
N
T
T
Ậ
Ậ
P
P
&
&
K
K
I
I
Ể
Ể
M
M
T
T
R
R
A
A
C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
.
.
A. TÍNH TÍCH PHÂN:
1)
1
1 1 1
1
2
2 2
0
0 0 0
( 1) 1 1
( 1)
2 1 ( 1) 1 1 2
dx dx x
x dx
x x x x
2)
1
1 1 1 1
2 3
3 3 2
0 0 0 0
0
1 2 1 1 1 1 1 1 1
(2 1) (2 1)
(2 1) 2 (2 1) 2 2 2(2 1) 4(2 1) 18
x x
dx x dx x dx
x x x x
3)
1
1 1 1
2
0 0 0
0
1 1 1 2 1 6
ln ln
2 5 3 ( 1)(2 3) 1 2 3 2 3 5
x
dx dx dx
x x x x x x x
4)
1 1 1 1 1
1 1
2
0 0
0 0 0 0 0
4 11 4 12 1 9
4 3ln 2 ln 3 ln
5 6 ( 2)( 3) 2 2 3 2
x x dx dx dx
dx dx x x
x x x x x x x
5)
1
1 1 1 1
2
2 2
0 0 0 0
0
2 5 2 4 1 1 1
2 ( 2) 2ln 2 2ln 2
4 4 ( 2) 2 2 2
x x dx
dx dx x dx x
x x x x x
6)
3
3 3
3 2
2 2
0 0
0
3 1 1 9
2 2 3ln 1 3ln4
2 1 1 ( 1) 2 1 4
x x
dx x dx x x
x x x x x
7) Tính I =
1
5
2
0
1
x
dx
x
. Đặt
2
1 2
t x dt xdx
và
4 2
( 1)
x t
Đổi cận:
1 2
0 1
x t
x t
. Do đó I =
2
2
2 2
1
1
1 ( 1) 1 1 1
2 ln ln 2
2 2 2 4 2
t t
dt t t
t
8)
1
1 1
2 2 2
2
0 0
0
1 1 2 1 1 1 2 4
2ln 2ln
1 2 1 2 2 3 3
1 2
3 2
dx x
dx
x x x x x
x x
x x
9)
1
4 2
0
4 2
3 3
x
I dx
x x
. Đặt :
2
2 2 2
2 2
4 2
2 ( 1) 2 1 2 ( 1)
x A B x B C C A
x A Bx C
x x x x x x
Do đó ta có hệ :
0 2
2 4 2
2 0 0
A B A
B C B
C A C
. Vậy :
1 1
2
2
0 0
4 2 2 2
2 1
1 2
x x
I dx dx
x x
x x
1
2
0
4
2ln 2 ln 1 2ln3 ln 2 ln 2 ln1 ln
9
x x
10)
3 3
3 2 2
2 2
1 1
1
x x
I dx dx
x x x x
. Đặt
2
2 2 2
1 ( ) ( )
1 1 ( 1)
x A B C A C x B A x B
x x x x x x x
. Ta có hệ
0 2
1 1
1 2
A C A
B A B
B C
. Vậy :
3
3
2
2
2
2 1 2 1 1 4 1
2ln 2ln
1 3 2
x
I dx
x x x x x
11)
1
1 1 1 1
31 1
2 2
0 0 0 0
0
(2 1)
1 2 1 1 1 1 1
(2 1) (2 1) 2 1
2 2 2 3 3
2 1 2 1
x
x x
dx dx x dx x x
x x
12)
1
1 1 1
3 1
5 3
2 2
0 0 0
0
2 2 4
1 ( 1) 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
5 3 15
x xdx x x x dx x x dx x x
13)
5
5 5 5
3 3
2
2 2 2
1 1 1 7 7 3 3 8
2 2 ( 2) ( 2)
4 4 6 6
2 2
dx
x dx x dx x x
x x
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
14) Tính I =
3
2
3
0
(1 )
x
dx
x
. Đặt t = 1 + x dt = dx và
2 2 2
( 1) 2 1
x t t t
Đổi cận:
3 4
0 1
x t
x t
. Do đó I =
4
4 4
1 1 3
2
3
2 2 2
3
1 1
1
2 1 2 2 5
2 4
3 3
t t
dt t t t dt t t
t
t
.
15) Tính I =
2
2 3
0
1
x x dx
. Đặt
2
3
3
3
1
2 1
x dx
t x dt
x
hay
2
2
3
x dx tdt
Đổi cận:
2 3
0 1
x t
x t
. Do đó I =
3
3
3
2
1
1
2 2 2 52
6
3 9 9 9
t
t dt
16) Tính I =
2 3
2
5
4
dx
x x
. Đặt
2
2
4
4
xdx
t x dt
x
và
2 2
4
x t
Đổi cận:
2 3 4
3
5
x t
t
x
. Do đó I =
4
4 4 4
2
3 3 3
3
1 1 2 1 5
ln ln
4 4 2 2 4 2 4 3
dt dt dt t
t t t t
17) Tính I =
0
2
1
2 2
dx
x x
. Đặt x + 1 = tant dx =
2
2
(1 tan )
cos
dt
t dt
t
Đổi cận:
0
0
1
4
t
x
x
t
. Do đó I =
0 0
2
0
2
4
4 4
1 tan
tan 1 4
t
dt dt t
t
.
18) Tính I =
2
2 2
1
4
x x dx
. Đặt x = 2sint dx = 2costdt. Đổi cận:
2 / 2
1 / 6
x t
x t
.
Do đó I =
2 2 2
2
2 2 2
6
6 6 6
1 2 3
16sin .cos 4 sin 2 2 (1 cos4 ) 2 sin 4
4 3 4
t tdt tdt t dt t t
19) Tính I =
8
2
4
16
x
dx
x
. Đặt t =
2
16
x
2
16
xdx
dt
x
và
2 2
16
x t
.
Đổi cận:
8
4 3
4
0
x
t
x
t
. Do đó I =
4 3 4 3 4 3 4 3
2
2 2 2
0 0 0 0
16 4 3 16
16 16 16
t dt dt dt
dt
t t t
Đặt t = 4tanx
2
4(1 tan )
dt x dx
Đổi cận:
4 3
3
0
0
t
x
x
t
I =
2
3
2
0
4(1 tan ) 4
4 3 4 3
1 tan 3
x
dx
x
20) Tính
1 1
2
2
1/2 1/2
1
1 2 1
2
I x x dx x dx
. Đặt
2 1 sin 2 cos
x t dx tdt
.
Đổi cận
1 / 2
1/ 2 0
x t
x t
. Do đó
/2 /2
2
0 0
1 1
cos (1 cos2 )
4 8 16
I tdt t dt
21)
3 2 3 2 3
1 1 2 1 2
2 2 2 1 2 1 5 1 2 1 5
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x
dx dx dx dx dx
x x x x x
=
2 3
1 2
1 5 1 5
1 1
2 2 1 2 2 1
dx dx
x x
=
3 2
2 1
1 5 1 5 5ln 21
ln 2 1 ln 2 1 2
2 2 2 2 4
x x x x
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
22) Tính I =
3
2
3
1
x dx
. Bảng xét dấu:
Do đó I =
1 1 3
1 1 3
3 3 3
2 2 2
3 1 1
3 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 12
3 3 3
x x x
x dx x dx x dx x x x
.
23) Tính I =
4
2
1
3 2
x x dx
. Bảng xét dấu:
Do đó I =
1 2 4
2 2 2
1 1 2
43
( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)
2
x x dx x x dx x x dx
24) Tính I =
5
3
( 2 2 )
x x dx
. Bảng xét dấu:
Do đó I =
2 2 5
2
2 5
2
3 2
2
3 2 2
4 2 4 4 4 8
dx xdx dx x x x
(Có thể sử dụng tích phân của một hiệu).
25) Tính I =
3
0
2 4
x
dx
. Bảng xét dấu:
Do đó I =
2 3
2 3
0 2
0 2
2 2 1
(2 4) (2 4) 4 4 4
ln 2 ln 2 ln 2
x x
x x
dx dx x x
26) Tính
2 2 2
2 2
0 0 0
5 4cos 4sin 4sin 4sin 1 2sin 1
I x xdx x x dx x dx
. Bảng xét dấu:
Do đó I =
/6 /2
/6 /2
0 /6
0 /6
1 1 1
(sin 2 1) (2sin 1) cos2 cos2
2 2 2 6
x dx x dx x x x x
.
27)
2
2
0
2
0 0 0
2
1 cos2 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin sin 2 2
xdx x dx xdx xdx x x
28)
2 2 2
0 0 0
1 sin 1 cos 2 cos
2 2 4
x
xdx x dx dx
3 /2 2
3 /2 2
0 3 /2
0 3 /2
2 cos 2 cos 2 2 sin 2 2sin 4 2
2 4 2 4 2 4 2 4
x x x x
dx dx
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
29) Tính I =
2
2
1
x
xe dx
. Đặt t =
2
x
, dt = 2xdx.
Đổi cận:
2 4
1 1
x t
x t
. Do đó I =
4
1
1
2
t
e dt
=
4
1
1
2
t
e
=
4
2
e e
30) Tính I =
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
. Đặt
x x
t e dt e dx
và
2
1
2 3 3 2
x
x x x x
e
e e e e
Đổi cận:
ln5 5
ln3 3
x t
x t
. Do đó I =
5
5 5 5
3 3 3
3
2 3
ln ln
( 1)( 2) 2 1 1 2
dt dt dt t
t t t t t
31) Tính I =
4
3
0
sin
cos
x
dx
x
. Đặt
2
tan
cos
dx
t x dt
x
. Đổi cận:
/ 4 1
0 0
x t
x t
. I =
1
1
2
0
0
1
2 2
t
tdt
32) Tính I =
/4
0
2sin3 sin 6
x x dx
=
/4
0
2 1 cos3 sin3
x xdx
. Đặt
1
1 cos3 sin3
3
t x dt xdx
Đổi cận:
/ 4
1/ 2
0
0
x
t
x
t
. Do đó I =
2
2
22
2
0
0
2 1
3 3 6
t
tdt
.
33) Tính I =
0
1 sin
dx
x
=
0
2
0 0
1
tan
2 4 2 4
1 cos cos
2 2 4
dx x x
d
x
x
= 2
34) Tính
/2
2 3
0
cos sin
I x xdx
(bậc sin lẻ). Đặt t = cosx dt = –sinxdx và
2 2 2
sin 1 cos 1
x x t
Đổi cận:
/ 2 0
0 1
x t
x t
. Do đó I =
1
1 1
3 5
2 2 2 4
0 0
0
2
1
3 5 15
t t
t t dt t t dt
35) Tính I =
/2
3 2
0
cos sin
x xdx
(bậc cos lẻ). Đặt t = sinx dt = cosxdx và
2 2 2
cos 1 sin 1
x x t
Đổi cận:. Do đó I =
1
1 1
3 5
2 2 2 4
0 0
0
2
1
3 5 15
t t
t t dt t t dt
36) Tính
/2
5
0
cos
I xdx
. Đặt t = sinx dt = cosxdx và
4 2 2 4 2 4
cos 1 2sin 1 sin sin 1 2
x x x x t t
Đổi cận:
/ 2 1
0 0
x t
x t
. Do đó I =
1
1
3 5
2 4
0
0
2 8
1 2
3 5 15
t t
t t dt t
37) Tính
/2
4 2
0
cos sin
I x xdx
(bậc sin và cosin chẵn). Ta có
4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos
x x x x x
2 2 2 2
1 cos2 1 1 1 1
sin 2 sin cos2 sin 2 1 cos2 cos2 sin 2
8 8 8 16 8
x
x x x x x x x
Do đó I
/2 /2
2
0 0
1 1
(1 cos4 ) cos 2 sin 2
16 8
x dx x xdx
/2 /2
2
0 0
1 1
(1 cos4 ) sin 2 (sin 2 )
16 16 32
x dx xd x
.
38) Tính
/2
0
cos sin 1
dx
I
x x
. Đặt
2
2 2
2 1
tan sin ; cos
2 1 1
x t t
t x x
t t
và
2
2
2
1 cos 1
2cos
2
dx dx dt
dt dx
x
x t
. Đổi cận:
/ 2 1
0 0
x t
x t
. Do đó I =
1
1
0
0
2
ln 1 ln 2
2 2
dt
t
t
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 22
39) Tính.
4 4
3 3 2
0 0
cos 1
.
(sin cos ) (tan 1) cos
x dx
I dx
x x x x
. Đặt
tan 1
t x
2
cos
dx
dt
x
Đổi cận:
/ 4 2
0 1
x t
x t
. Do đó I =
2
2
3 2
1
1
1 3
2 8
dt
t t
40) Tính I =
4 4 4 4 4
3 2
0 0 0 0 0
sin cos
tan tan 1 tan tan tan
cos cos
x d x
xdx x x dx dx xd x
x x
2
4
0
tan 1
ln cos (1 ln2)
2 2
x
x
41) Tính
1
1 1
6 5 3
4 4
6 4 2
2 2
0 0 0 0
0
1 13
tan 1
1 1 5 3 15 4
t dt t t
I xdx t t dt t du
t t
42) Tính
ln3
2
ln2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
. Đặt
2 2
2 2
x
x x
x
e dx
t e dt e dx tdt
e
và
2
2
x
e t
Đổi cận:
ln3 1
ln 2 0
x t
x t
. Do đó I =
1 1
2 3
2 2
0 0
( 2)2 2
2
1 1
t tdt t t
dt
t t t t
43) Tính I =
2
2
2
1
dx
x x
. Đặt
2
2
1
1
xdx
t x dt
x
và
2 2
1
x t
.
Đổi cận:
2
3
2 1
x
t
x t
. Do đó I =
3
2
1
1
dt
t
. Đặt t = tanx
2
(1 tan )
dt x dx
.
Đổi cận:
/ 3
3
/ 4
1
t
t
t
t
. Do đó I =
23 3
2
4 4
(1 tan )
tan 1 3 4 12
x dx
dx
x
Ta có: J =
2
2
2
3
1
1
dx
x x
=
4
6
4 6 12
dz
; K =
2
3
2
2
6
3
1
3 6 6
1
dx dz
x x
.
44) Tính I =
2
22
2
0
1
x
dx
x
. Đặt x = sint dx = costdt và
2 2
1
sin 1 cos2
2
x t t
.
Đổi cận:
2
4
2
0
0
t
x
t
x
. Do đó I =
4 4
4
2
0 0
0
1 1 1 1
sin (1 cos2 ) sin 2
2 2 2 8 4
tdt t dt t t
45) Tính I =
1
2
0
4
dx
x
. Đặt x = 2sint dx = 2costdt và
2
4 4sin 2 cos
t t
.
Đổi cận:
1 / 6
0 0
x t
x t
. Do đó I =
/6 /6
0 0
2cos
2cos 6
tdt
dt
t
46)
2 2
0 0
4 sin cos 2 sin2
x x xdx x xdx
. Đặt
2sin 2
u x
dv xdx
cos2
du dx
v x
Do đó
2 2
2
2
0
0
0 0
1
2 sin 2 cos2 cos2 sin 2
2 2 2
x xdx x x xdx x
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
47) H =
2
0
3 sin3
x
e xdx
. Đặt
3sin3
x
u e
dv xdx
cos3
x
du e dx
v x
H =
2
2
0
0
cos3 cos3
x x
e x e xdx
=
2
0
cos3
x
e x I
Với 3I =
2
0
3 cos3
x
e xdx
. Đặt
3cos3
x
u e
dv xdx
sin3
x
du e dx
v x
và 3I =
2
2
0
0
sin3 sin3
x x
e x e xdx
Do đó H =
2
0
3 sin 3
x
e xdx
=
2 2
2
0 0
3 1 3 1
cos3 sin3
4 4 4 4
x x
e x e x e
48)
2 2 2
2 2
3 2 3 2 2
1 1 1
1 1
3
2
ln
ln ln 1 ln 1 1 3
ln2
1
2 2 2 4 8 2
2
. Ñaët neân
dx
u x
du
x x dx x
x
I dx I
dx
x x x x x
dv
v
x
x
49)
3 3
2
3
2 2
2
2
2 2
2 1
ln( )
1
ln . ln( ) 2 3ln3 2
1
Ñaët neân
x
du
u x x
x x dx I x x x dx
x x
x
dv dx
v x
50)
1 1 1
1 1 1
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1 5 3
( 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2)
2 2 2 2 4 4
x x x x x x
e
x e dx x d e x e e dx x e e
51)
1 1
1 1 1
1
3 3 3 3 3 3 3 3
0
0 0 0
0 0
1 1 1 1 1 1
( ) 2 1
3 3 3 3 3 3
x x x x x x x
xe dx xd e xe e dx xe e e x e
52)
2 2 2
2
2
0
0
0 0 0
( 1)cos ( 1) (sin ) ( 1)sin sin ( 1)sin cos 2
2
x xdx x d x x x xdx x x x
53)
6 6 6
6
0
0 0 0
1 1 5
(2 )sin3 ( 2) (cos3 ) ( 2)cos3 cos3
3 3 9
x xdx x d x x x xdx
54)
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
0 0
0 0 0 0
2 2
x x x x x x
x e dx x d e e x xe dx x e xd e
=
1
1
1
2 2
0
0
0
1 5
2 2 2 2 2
x x x
x
x e xe e dx x x
e e
55)
/2 /2 /2 /2
2 2 2 2
2 2
0 0
0 0 0 0
sin cos cos 2 cos cos 2 sin
x xdx x d x x x x xdx x x xd x
2
2
0
cos 2 sin 2cos 2
x x x x x
56)
2 2 2
1
1
1 1
ln ln 2 ln ln 2ln 2 2
e e
e
e
xdx x x xdx x x x e
57)
1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
0
0 0 0
1 1
( 1) ( 1) ( 1) 2
2 2
x x x x
x e dx x d e x e xe dx
1
1 1
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
0
0 0
0
1 1 1 3 3
( 1) ( 1) ( 1)
2 2 2 2 4
x x x x x x
x e xd e x e xe e dx e x x e
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 24
58)
2
2 2 2
2
2
2 2 2
1
1 1 1
1
1
(2 1)ln ln ( ) ( )ln ( 1) ( )ln ln 4
2 2
x
x xdx xd x x x x x x dx x x x x
59)
2 2 2
2 2 2 2
2
0
0 0 0
1 1
cos3 cos3 cos3 3 sin3
2 2
x x x x
e xdx xd e e x e xdx
2
2 2
2
0
0
1 3
cos3 sin3
2 2
x x
e x xd e
2 2
2
2 2 2 2
0 0
0
1 3 9 2 3 9 3 2
cos3 sin3 cos3 cos 3
2 2 4 4 4 13
x x x x
e e
e x e x e xdx e x xdx
60)
1
0
x
xe dx
. Đặt
2
dx
t x dt
x
. Đổi cận:
1 1
0 0
x t
x t
.
Do đó I =
1 1 1 1 1
1
1 1
3 3 3 2 3 2 3 2
0 0
0
0 0 0 0 0
2 2 2 3 2 3 2 3 6
t t t t t t t t t
t e dt t de t e t e dt t e t de t e t e tde
1
1 1 1
3 2 3 2 3 2
0 0 0
0
2 3 6 6 2 3 6 6 2 2 3 6 6 12 2
t t t t t t t t t
t e t e te e dt t e t e te e e t t t e
61)
2
4
0
cos
xdx
. Đặt
2
dx
t x dt
x
. Đổi cận:
2
2
4
0
0
t
x
t
x
. Do đó I =
2
0
2 cos 2
t tdt
62)
2
1
ln
e
x xdx
. Đặt
2
dx
t x dt
x
. Đổi cận:
2
1
1
t e
x e
t
x
. Do đó I =
2
1
2 ln
e
t tdt
=
3
2
(2 1)
9
e
.
B. TÍNH DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y =
3
x
– 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4.
b) Đồ thị hàm số y =
3 2
3
x x
và trục hoành.
c) Đồ thị hàm số y =
3 2
6 9
x x x
và trục hoành.
d) Đồ thị hàm số y =
2
2 1
x
x
, trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 và x = 3.
e) Đồ thị hàm số y =
3 2
3 2
x x
, trục Ox, Oy và đường thẳng x = 2.
f) Đồ thị hàm số y = lnx, trục hoành và 2 đường thẳng x =
1
e
, x =
e
.
g) Đồ thị hàm số y = |lnx|, y = 1.
Hướng dẫn:
a) Theo đề ta có
4
3
2
4
S x x dx
. Theo bảng xét dấu:
S =
0 2 4
0 2 4
4 4 4
3 3 3 2 2 2
2 0 2
2 0 2
4 4 4 2 2 2
4 4 4
x x x
x x dx x x dx x x dx x x x
= 44
b) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là
3 2
3
x x
= 0
0
3
x
x
nên diện tích
3
3 2
0
3
S x x dx
Theo bảng xét dấu, ta có
3
3
4
2 3 3
0
0
27
(3 )
4 4
x
S x x dx x
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Í
Í
C
C
H
H
P
P
H
H
Â
Â
N
N
1
1
2
2
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25
c) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình
3 2
6 9
x x x
= 0
0
3
x
x
.
Ta có
3
3 2
0
6 9
S x x x dx
Theo bảng xét dấu, ta có
3
3
4 2
3 2 3
0
0
9 27
6 9 2
4 2 4
x x
S x x x dx x
d) Theo đề ta có
3
1
2
2 1
x
S dx
x
. Theo bảng xét dấu:
2 3 2 3 2 3
1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 4 1 2 4 1 5 1 5
1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
x x x x
S dx dx dx dx dx dx
x x x x x x
=
2 3
1 2
1 5 1 5
ln 2 1 ln 2 1
2 2 2 2
x x x x
=
5 25
ln
4 21
e) Theo đề ta có
2
3 2
0
3 2
S x x dx
Theo bảng xét dấu:
3 2
3 2
x x
=
2
( 1)( 2 2)
x x x
= 0
1
1 3
x
x
Ta có
1 2
3 2 3 2
0 1
3 2 3 2
S x x dx x x dx
=
1 2
4 4
3 3
0 1
2 2
4 4
x x
x x x x
=
5
2
f) Theo đề ta có
1
ln
e
e
S x dx
. Theo bảng xét dấu:
Với
ln
xdx
. Đặt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x
nên
ln ln ln
xdx x x dx x x x C
Ta có:
1
1
1
1
1 1
1
1
ln ln ln ln ln 2 1
e e
e
e
e e
S x dx xdx xdx x x x x x x
e
g) Phương trình hoành độ giao điểm là |lnx| – 1 = 0 x =
1/
x e
x e
nên
1/
1 ln
e
e
S x dx
Theo bảng xét dấu:
