Đề cương ôn tập ĐS> 11 HKI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (833.81 KB, 52 trang )
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 1
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP LỚP 11 HKI NĂM 2010-2011
PHẦN 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (HSLG)
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG)
A. LÝ THUYẾT
I. Hàm số lượng giác:
1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lượng giác
* Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:
- Các hàm số
sin , cosy x y x
xác định với mọi
x
- Hàm số:
tany x
xác định với mọi
,
2
x k k
- Hàm số:
coty x
xác định với mọi
,x k k
2. Dạng 2:
3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Phương pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lượng giác
Chú ý: * Hàm số
sin , cosy x y x
có TGT là:
1;1
* Hàm số
tan , coty x y x
có TGT là:
II. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:
0
0
180
à 1 = .
180
1 rad v rad
2. Radian: (rad)
rad
0
180
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
2
.
y
x
o
180
O
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 2
III. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
k
CA
k
C
k
A
2
DB,
k,
2
2
-D
2k
2
2
B
2k
IV. Đònh nghóa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
t
'
At : trục tang
u
'
Bu : trục cotang
2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:
cos
sin
tan
cot
OP
OQ
AT
BU
x
y
(tia gốc)
Z)(k2),(
kOyOx
t
(tia ngọn)
O
x
y
O
C
A
B
D
x
y
B
M
(điểm gốc)
t
O
A
(điểm ngọn)
2kAB
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1R
1
1
'x
'u
u
t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x
O
t
1
Q
B
T
M
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 3
b. Các tính chất :
Với mọi
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
1 cos 1 hay cos 1
tan xác đònh ,
2
k k Z
cotg xác đònh k
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
)( Zk
V. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt
-
3
-1
-
3
/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-
3
-1
-
3
/3
1
1
-1
-1
-
/2
5
/6
3
/4
2
/3
-
/6
-
/4
-
/3
-1/2
-
2
/2
-
3
/2
-1/2
-
2
/2
-
3
/2
3
/2
2
/2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A
/3
/4
/6
3
/3
3
B
/2
3
/3
1
3
O
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 4
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Góc
Hslg
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
2
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
0
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
-1
1
tan
0
3
3
1
3
KXĐ
3
-1
3
3
0
0
cot
KXĐ
3
1
3
3
0
3
3
-1
3
KXĐ
KXĐ
VI. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
và -
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
( tổng bằng
) (Vd:
6
5
&
6
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
( tổng bằng
2
) (Vd:
3
&
6
,…)
4. Cung hơn kém
2
:
và
2
(Vd:
3
2
&
6
,…)
5. Cung hơn kém
:
và
(Vd:
6
7
&
6
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( )
2
cot( ) tan
2
cot
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( )
2
cot( ) tan
2
cot
5. Cung hơn kém
:
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
tang , cotang
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 5
VII. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin
2
2
2
2
1
1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan
Ví dụ: Chứng minh rằng:
cos sin 2 cos( )
4
cos sin 2 cos( )
4
3. Công thức nhân đôi:
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2tan
tan2
1 tan
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
5. Công thức hạ bậc:
2 2 2
1 cos 2 1 cos2 1 cos2
cos ; sin ; tan
2 2 1 cos 2
6.Công thức tính
sin ,cos ,tan
theo
tan
2
t
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan
1 1 1
t t t
t t t
2
2cos1
cos
2
2
2cos1
sin
2
2sin
2
1
cossin
4
cos33cos
cos
3
4
3sinsin3
sin
3
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 6
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu = sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu = cosv
u = -v+k2
tanu = tanv u = v+k (u;v )
2
cotu = cotv u = v+k (u;v
k
k )
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
)
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 7
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = a ; cosx = a ; tanx = a ; cotx = a (
a R
)
* Gpt : sinx = a (1)
Nếu
1a
thì pt(1) vô nghiệm.
Nếu
1a
thì ta đặt a = sin
và ta có :
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
(
k Z
)
* Gpt : cosx = a (2)
Nếu
1a
thì pt(2) vô nghiệm
Nếu
1a
thì ta đặt a = cos
và ta có
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
(
k Z
)
* Gpt: tan x = a (3) ( pt luôn có nghiệm
a R
)
Đặt a = tan
thì
(3) tan x = tan x = + k
(
k Z
)
* Gpt: cot x = a (4) ( pt luôn có nghiệm
a R
)
Đặt a = cot
thì
(4) cotx = cot x = +k
(
k Z
)
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
(
k Z
)
2. Dạng 2:
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
(
0a
)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 8
3. Dạng 3:
cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b
thì pt
2 2 2 2 2 2
(1) cos sin
a b c
x x
a b a b a b
(2)
Đặt
2 2 2 2
b
cos và sin
a
a
a b b
với
0;2
thì :
2 2
2 2
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
Chú ý :
2 2 2
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c
4. Dạng 4:
2 2
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x
(1)
Cách giải 1:
p dụng công thức hạ bậc :
2 2
1 cos2 1 cos2
sin và cos
2 2
x x
x x
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x x x
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos x
ta được pt:
2
tan tan 0a x b x c
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
x k
2
có phải là nghiệm của (1) không?
5. Dạng 5:
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c
(1)
Cách giải :
Đặt
cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x t
Do
2
2
t 1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x
Thay vào (1) ta được phương trình :
2
1
0
2
t
at b c
(2)
Đề cương Ơn tập HKI Tốn 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 9
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2 cos( )
4
x t
tìm x.
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c
III. Các dạng phương trình lượng giác (PTLG)
1. PTLG cơ bản
khi 1
sin ( )
( ) arcsin 2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
f x m
f x m k
m
f x m k
khi 1
cos ( )
( ) arccos 2
khi 1
( ) arccos 2
VN m
f x m
f x m k
m
f x m k
tan ( ) ( ) arctan ;f x m f x m k
cot ( ) ( ) arccot ;f x m f x m k
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm tập xác định của hsố sau:
a/ y =
2 sinx
b/ y = tan(x+
4
) c/.
2010
y =
1- 2cosx
d.
2sin
.
2cos 1
x
y
x
Giải:
a/ĐK:
2 sin 0x
do: –1 ≤ sinx ≤ 1,
x R
nên
2 sin 0x
,
x R
Vậy D = R
b/ĐK:
4 2
x k
( )
4
x k k Z
Vậy: D =
\
4
R k
c/. Hàm số xác định
1- 2cosx 0
1
cosx
2
π
x ± + k2
π
4
Vậy TXĐ của hàm số:
π
D = \ ± + k2
π; k
4
d/. Hàm số xác định khi và chỉ khi
2cos 1 0x
TXĐ:
\ 2 ,
3
D k k
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 10
Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của các hsố:
a/ y = cos(x -
4
) b/ y = tan|x| c/ y = sinx + cosx d/ y = cosx.tanx
Giải:
a/ y = cos(x -
4
)
Txđ D = R ,
x R x R
( ) os(-x- ) os(x+ )
4 4
f x c c
Ta có: f(
4
) = 1 và f(-
4
) = 0
( ) ( )
4 4
( ) ( )
4 4
f f
f f
vây hsố không chẵn không lẻ
b/ y = tan|x|
Txđ D = R \ {
2
+k
},
x D x D
f(-x) = tan|-x| = tan|x| = f(x) Vậy f(x) là hsố chẵn
c/ y = sinx + cosx
TXĐ: D = R,
x R x R
f(- x) = - sinx + cosx
Ta có: f(
4
) =
2
, f(-
4
) = 0
( ) ( )
4 4
( ) ( )
4 4
f f
f f
Vậy hsố không chẵn không lẻ
d/ y = cosx.tanx
TXĐ: D =
|{ , }
2
R k k Z
,
x D x D
f(- x) = cosx.tanx = - f(x).Vậy hsố f(x) là hsố lẻ
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a/. y =
3 2sinx
; b/.
sinx+cosx+2y
; c/.
sin cosy x x
; d/. y = 2cos
2
2x +3sin4x
Giải
a/. Ta có:
1 sinx 1
2 2sinx 2
1 y 5
axy = 1 ; Miny = 5M
b/.
2 sin cos 2
2 2 sin cos 2 2 2
2 2 sin cos 2 2 2
x x
x x
x x
GTLN là
2 2
đạt được khi chỉ khi
sin cos 2 sin( ) 1
4
2
4 2
2 ;
4
x x x
x k
x k k
GTNN là
2 2
đạt được khi chỉ khi
sin cos 2 sin( ) 1
4
3
2 2 ;
4 2 4
x x x
x k x k k
c/.
)
4
sin(2cossin)(
xxxxf
Do đó
2)(2 xf
Vậy:
)(xf
lớn nhất bằng
2
khi
1)
4
sin(
x
)(xf
nhỏ nhất bằng
2
khi
1)
4
sin(
x
d/.
1)4sin(10
cos
10
3
;sin
10
1
14sin
10
3
4cos
10
1
10
14sin34cos4sin32cos2
2
xy
Đăt
xx
xxxxy
Ta có:
1)4sin(1
x
110110 y
Vậy:
110min;110max yy
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 11
Bài 4: Khảo sát tính chẵn, lẻ của hàm số sau :
( ) 1 sinx 1 sinxf x
Giải
TXĐ :
D
;
x D x D
( ) 1 sin(-x) 1 sin(-x) 1 sinx 1 sinx ( )f x f x
Vậy hàm số f(x) lẻ.
Bài 5. Giải các PT sau:
a) 2sinx – 1 = 0 b) 3cos2x + 2 = 0
c)
3
tanx + 1 = 0 d) -2cot3x + 5 = 0.
e) sin(2x + 60
0
) = sin(x + 30
0
) f) tan(2x -1 ) =
3
.
g) cot(
3)20
4
(
0
x
h/ cot3x = tan
2
5
Giải
a)
1
2sin 1 0 sin
2
x x
2
6
5
2
6
x k
x k
b)
2
3cos2 2 0 cos2
3
x x
2
2 arccos( ) 2
3
1 2
arccos( )
2 3
x k
x k
c)
1
3 tan 1 0 tan
3
x x
6
x k
d)
5
2cot3 5 0 cot3
2
x x
5 1 5
3 arccos( ) arccos( )
2 3 2 3
x k x k
e/ sin(2x + 60
0
) = sin(x + 30
0
)
0 0 0
2 60 30 360 30 360
2 60 180 30 360 30 120
o o
o o o o o o
x x k x k
x x k x k
f) tan(2x -1 ) =
3
kx
3
12
22
1
6
k
x
g/ cot(
3)20
4
(
0
x
000
1803020
4
k
x
00
720200 kx
.
h/ cot3x = tan
2
5
cot 3 cot
10
x
3
10 30 3
k
x k x
Bài 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
a.
3 cot 3x 3 0
b. 2sin x - 3 = 0 c. cos(x + 30
o
) + 2cos
2
15
o
= 1
Gi¶i:
a.
k
x
18 3
b/ pt
sinx =
3
2
ptVN
c/ pt
o 2
os(x + 30 ) 1 2 os 15
o
c c
o o
os(x + 30 ) os150
30 150 360 120 360
30 150 360 180 360
o o o o o
o o o o o
c c
x k x k
x k x k
Bài 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
a) sin3x =
3
2
; b.
cot x+ 3
3
; c. cos2x =
2
2
d;
3
tan x+
6 3
;
a). sin3x =
3
2
b/.
Ta có:
1 sinx 0;1 sinx 0; x
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 12
3
s i n 3
2
s i n 3 s i n ( )
3
3 2
3
4
3 2
3
2
9 3
( )
4 2
9 3
x
x
x k
x k
k
x
k
k
x
c/.
8
( )
8
x k
k
x k
cot x+ 3.
3
Ñ K :x - + ( )
3
cot x+ cot( )
3 6
x+ ( )
3 6
x ( )
2
k k
k k
k k
d/.
x ( )
3
k k
Bài 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a)
2
3cos x 5cox 2 0
b/ cos
2
x + sin x + 1 = 0
c/ 2cos 2x + 2cos x -
2
=0 d/ 5tan x - 2cot x - 3 = 0
e/ 3cos
2
6x+8sin 3x cos 3x - 4 = 0
Giải
a)- §Æt cos x = t, t
1
, Ta cã pt: 3t
2
- 5t + 2 = 0
1
2
3
t
t
Víi t = 1
cos x = 1
2x k
Víi t =
2
3
cosx =
2
3
2
2
3
x arccos k
b/
2
sinx = - 1
sin sinx - 2 = 0
sinx = 2
pt x
2
2
x k
c/ - Pt
2
2 2cos x 1 2cos x 2) 0
2
4cos x 2cos x 2 2 0
- §Æt cos x = t, t
1
Pt
2
4t 2t 2 2 0
2
t
2
1 2
t loai
2
2
cos x x k2 ,k Z
2 4
d/ - §iÒu kiÖn: cos x
0,sin x 0
Pt
1
5tan x 2 3 0
tan x
2
5tan x 3tan x 2 0
x k
tan x 1
4
2
2
tan x
x arc tan k
5
5
k Z
e/ Ta có: Pt
2
3 1 sin 6x 4sin 6x 4 0
cng ễn tp HKI Toỏn 11 0919.159281
Biờn son: Nguyn Hu Tõn GV trng THPT Long Khỏnh A Hng Ng - ng Thỏp 13
2
3sin 6x 4sin 6x 1 0
sin 6x 1
1
sin 6x
3
x k
12 3
1 1
x arcsin k k Z
6 3 3
1 1
x arcsin k
6 6 3 3
Bài tập 9: Giải phơng trình :
a/. 3cos
2
2x -4sinx cosx +2 =0
b/. cos2x + 5sinx 3 = 0
c/.
sinx + 3 osx + sinx + 3 osx 2c c
d/. 3sin
2
x sinx.cosx 4cos
2
x = 2
Gii
a/. 3cos
2
2x -4sinx cosx +2 =0
3cos
2
2x -2sin2x + 2 = 0
3(1-sin
2
2x)-2sin2x +2 =0
-3sin
2
2x -2sin2x +5 =0
Đặt sin2x = t (-1
t
1)
Phơng trình có dạng
-3t
2
-2t +5 = 0
)(
3
5
1
loait
t
Ta có sin2x = 1
2x =
2
2
k
x=
Zkk ,
4
b/. cos2x + 5sinx 3 = 0
cos2x + 5sinx 3 = 0
1 2sin
2
x + 5sinx 3 = 0
2sin
2
x 5sinx + 2 = 0
sinx = 2(L)
1
sinx =
1
2
sinx =
2
2
6
sinx = sin
5
6
2
6
x k
x k
c/.
sinx + 3 osx + sinx + 3 osx 2c c
t
sinx + 3 osxt c
ta cú phng trỡnh: t
2
+ t 2 = 0
1
2 ( )
t
t L
Vi t = 1
sinx + 3 osx 1 sinx + 3 osx = 1c c
1 3 1 1
sinx + osx = sinxcos osxsin
2 2 2 3 3 2
2
2
3 6
6
sin( ) sin
5
3 6
2
2
3 6
2
c c
x k
x k
x
x k
x k
d/. 3sin
2
x sinx.cosx 4cos
2
x = 2
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 14
Nếu cosx = 0
2
sin 1
2
x k x
, thay vào phương trình ta được:
3 = 2 (Vô lí) (1/2 đ)
osx 0c
, chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ta được pt:
3tan
2
x – 2tanx – 1 = 2(1 + tan
2
x) (1/2 đ)
2
tanx = - 1
tan 2 t anx - 3 = 0
4
tanx = 3
arctan3 + k
x k
x
x
Bµi tËp 10: Gi¶i các ph¬ng tr×nh :
a/. 2cos2x – 8cosx + 5 = 0
b/.
3 sinx + osx + 3 sinx + osx 2c c
Giải
a/. 2cos2x – 8cosx + 5 = 0
2
2(2 os 1) 8 osx + 5 = 0c x c
2
1
cosx =
1
2
4 os 8 osx + 3 = 0 cosx = 2
3
2 3
osx = ( )
2
c x c x k
c VN
b/. Đặt
3sinx + osxt c
ta có ptrình: t
2
+ t – 2 = 0
1
2 ( )
t
t L
Với t = 1
3 sinx + osx 1 3 sinx + osx = 1c c
2
3 1 1
sinx + osx = sin( ) sin
2
2 2 2 6 6
2
3
x k
c x
x k
Bµi tËp 11: Gi¶i các ph¬ng tr×nh :
a/. 2sin
2
x +5cosx + 1=0;
b/. 5sin
2
x +3cosx + 3 =0;
c/. cos2x + 3cosx 4 = 0;
d/. cos2x – 3cosx + 2 = 0
Giải
a/. Ta có:
2sin
2
x + 5cosx + 1=0 2cos
2
x – 5cosx – 3 = 0
1
osx=-
1
cosx=-
2
2
osx=3
2
cos cos
3
2
2 ( )
3
c
c
x
x k k
b/.
2 ( )x k k
c/. cos2x + 3cosx 4 = 0 2cos
2
x -1 + 3cosx - 4 = 0 2cos
2
x + 3cosx – 5 = 0
o s x = 1
x = 2 ( )
5
o s x = -
2
c
k k
c
d/. Ta có: cos2x – 3cosx + 2 = 0
2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 15
cos 1
1
cos
2
x
x
osx = 1 x =k2
2
1
3
cosx =
2
2
3
c
x k
x k
Bµi tËp 12: Gi¶i các ph¬ng tr×nh :
a/. 2cos
2
2x + 3sin
2
x = 2
b/.
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x
Giải
a/. 2cos
2
2x + 3sin
2
x = 2
2 2
cos 2 1
1 cos2
2cos 2 3. 2 4cos 2 3cos 2 1 0
1
2
cos 2
4
2 2
1 1 1
2 arccos 2 arccos
4 2 4
x
x
x x x
x
x k x k
k Z
x k x k
b/.
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x
2
2 2 2 2
1
sin cos 2sin cos sin 2
2
x x x x x
2
sin 2 sin 2 2 0x x
sin 2 1 2 2
;
2
4
sin 2 2
x x k
x k k Z
x loai
Bài tập 13 Giải các phương trình
a. sinx + cosx = 1
b.
sinx - 3 osx = 1c
Giải
a. sinx + cosx = 1
2 sin( ) 1
4
x
2
2
2
4 4
sin( )
4 2
2
2
2
4 4
x k
x k
x
x k
x k
b.
1 3 1 1
sinx - osx = os sinx - sin osx = sin( ) sin
2 2 2 3 3 2 3 6
pt c c c x
2
2
3 6
2
7
5
2
2
6
3 6
x k
x k
x k
x k
Bài 14 Giải các phương trình sau:
a/
3 sin 3x cos3x 2
b/ 3sin2x + 4cos2x = 5
Giải:
a/ Có: a =
2 2
3;b 1; a b 2
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 16
3 1
3 sin x cos x 2 2 sin x cos x 2
2 2
2
2 sin x cos cos x sin 2 2sin x 2 sin x
6 6 6 6 2
5
x k2
x k2
6 4
12
sin x sin k Z
3 11
6 4
x k2 x k2
6 4 12
b/
3 4
5( sin 2 os2x) = 5
5 5
pt x c
3 4
sin 2 os2x = 1
5 5
x c
Đặt
3 4
os , sin
5 5
c
: sin 2 os + sin cos2x = 1pt xc
sin(2 ) 1 2 2
2
x x k
4 2
x k
*) Chú ý: Pt asinx + bcosx = c cã nghiÖm
2 2
c
a b
2 2 2
1 c a b
Bài tập 15: Giải PT sau:
2sin3 5 os3x = mx c
(1)
Ta có:
2 5 2 5
3( sin3 os3x) = m 3cos(3x - ) = m (sin , os = )
3 3 3 3
m
cos(3x - ) = (2)
3
pt x c c
Bµi tËp 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
a/ 2sin3x – 2cos3x =
2
b/ 5sin2x – 6cos
2
x = 13 c/.
osx - 3sinx= 2c
d/.
sinx- 3cosx= 2
Giải:
a/pt
5 2
3 2
1
4 6 36 3
sin(3 )
5 17 2
4 2
3 2
4 6 36 3
k
x k x
x
k
x k x
b/ pt
16
5sin 2 3 os2x = 16 sin(2x - ) = ( )
34
x c ptVN
5 3
( os = , sin )
34 34
c
c/.
osx - 3sinx= 2c
.
Ta có
1 3 2
osx - 3sinx= 2 cosx- sinx= cos cosx-sin sinx=cos
2 2 2 3 3 4
c
2
2
3 4
2
cos(x+ )=cos ( )
7
3 4
2 2
3 4 12
x k
x k
k
x k x k
d/.
7
2
1 2
( )
1 3
2
1 2
x k
k
x k
Bµi tËp 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
cng ễn tp HKI Toỏn 11 0919.159281
Biờn son: Nguyn Hu Tõn GV trng THPT Long Khỏnh A Hng Ng - ng Thỏp 17
sinx +
3
cosx = 2
Gii
Ta cú: sinx +
3
cosx = 2
1 3
sinx + osx = 1 sinx.cos sin osx = 1 sin( ) sin
2 2 3 3 3 2
2 2 ,
3 2 6
c c x
x k x k k
Bài tập 18: Giải phơng trình :
a/ sin
2
x + 4sin x cos x - 5cos
2
x = 0 b/ 4sin
2
x 6sinxcosx + 2cos
2
x = 0
Gii:
a/ - Nếu
cos x 0
2
sin x 1
, pt có dạng: 1 = 0.
Do đó, cos x
0
. Chia cả hai vế của phơng trình cho cos
2
x ta đợc:
2
t anx = 1
x k
tan x 4 tan x 5 0
4
tanx = - 5
x arctan(-5) + k
b/ Nu sinx = 0
2
os 1 :2 0( )c x pt VL
Do ú sinx
0
.Chia 2 v ca pt cho sin
2
x ta c pt:
2cot
2
x 6cotx + 4 = 0
cotx = 1
4
cotx = 2
arccot2 + k
x k
x
*)Chỳ ý:
1.Khi a = 0 hoc c = 0 thỡ cú th gii theo pt tớch.
2.pt: asin
2
x + bsin x cos x + ccos
2
x = d
cú th quy v pt thun nht bc hai i vi sinx v cosx bng cỏch thay d = d(sin
2
x + cos
2
x) hoc a v
phng trỡnh bc nht i vi sin2x v cos2x bng cỏch s dng CT h bc v CT nhõn ụi.
Bi tp 19 : Gii phng trỡnh:
2 2
sin 3sinxcosx + 2cos 1x x
Gii
Cỏch 1: pt
2 2 2 2
sin 3sinxcosx + 2cos sin osx x x c x
2
cosx = 0
os 3 sinxcosx = 0
cosx - 3 sinx = 0
c x
2 2 2 2
osxcos sin sinx = 0 os(x + ) = 0 x + = x =
3 3 3 3 2 6
x k x k x k x k
c c k k
Cỏch 2: pt
1 os2x 3
sin 2 1 os2x = 1
2 2
c
x c
2
3 sin 2 os2x = 1 sin2xsin os2xcos cos os(2x + ) os
3 3 3 3 3
2
2x + 2
3 3
6
2
2x + 2
3 3
2
x c c c c
k
x k
k
x k
Bi tp 20 : Gii phng trỡnh::
2 2
1
sin sin 2 2 os
2
x x c x
Gii:
2 2
sin 4sinxcosx - 5cos 0pt x x
cng ễn tp HKI Toỏn 11 0919.159281
Biờn son: Nguyn Hu Tõn GV trng THPT Long Khỏnh A Hng Ng - ng Thỏp 18
Nu cosx = 0
cos x 0
2
sin x 1
, pt có dạng: 1 = 0 (VL)
Do ú cosx
0
. Chia cả hai vế của phơng trình cho cos
2
x ta đợc: tan
2
x + 4tanx 5 = 0
t anx = 1
4
tanx = - 5
arctan(-5) + k
x k
x
Bi tp 21 : Gii phng trỡnh:
2sin
2
x +3sin2x +6cos
2
x =7 (1)
2sin
2
x+6sinxcosx+6cos
2
x=7
Với cosx =0 ta có
7
2
VP
VT
không thoả mãn
cosx
0
Chia cả hai vế của (1) cho cos
z
x ta đợc :
2tan
2
x +6tanx +6 =7 (1+tan
2
x)
5tan
2
x -6tanx +1 = 0
Đặt tanx = t ; Phơng trình có dạng
5t
2
-6 t + 1 = 0
5
1
1
t
t
Ta có :
5
1
tan
1tan
x
x
Zkkx
kx
,
5
1
arctan
4
Bài tập 22: Giải phơng trình :
a/ 3sin
2
x sin2x cos
2
x = 0
b/ 3sin
2
2x sin2xcos2x 4cos
2
2x = 2
c/ 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = - 1
Gii
a/ 3sin
2
x sin2x cos
2
x = 0
Nu cosx = 0
sin
2
x = 1
pt: 3 = 0 (VL)
Do ú cosx
0, chia 2 v cho cos
2
x ta c:
3tan
2
x 2tanx 1 = 0
t anx = 1
4
1
1
tanx = -
arctan(- )
3
3
x k
x k
b/ 3sin
2
2x sin2xcos2x 4cos
2
2x = 2
Nu cos2x = 0
sin
2
2x = 1
pt: 3 = 2 (VL)
Do ú cos2x
0, chia 2 v cho cos
2
2x ta c:
tan
2
2x tan2x 6 = 0
1
arctan(-2) +
tan 2 2
2 2
tan 2 3 1
arctan3 +
2 2
k
x
x
x k
x
c/ 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = - 1
Nu cosx = 0
sin
2
x = 1
pt: 2 = - 1 (VL)
Do ú cosx
0, chia 2 v cho cos
2
x ta c:
3tan
2
x + (3 +
3
)tanx +
3
= 0
t anx = - 1
4
1
tanx = -
3
6
x k
x k
Bài tập 23: Giải phơng trình :
2
1 os2x
1 cot 2
sin 2
c
x
x
Gii
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 19
Điều kiện:
sin 2 0
2
k
x x
2 2
1 os2x sin 2 os2x 1 os2x
1 cot 2
sin 2 sin 2 sin 2
c x c c
x
x x x
2 2
sin 2 sin 2 . os2x = 1 - cos2x cos 2 sin 2 . os2x - cos2x = 0
os2x = 0
cos2x = 0
cos2x(cos2x - sin2x - 1) = 0
sin2x - cos2x = 1
2 sin(2 ) 1
4
x x c x x c
c
x
4 2 4 2
2
2
2 2
4 4 4
sin(2 ) sin
3
4 4
2 2
4 4 2
k k
x x
x k
x k x k
x
x k x k
Kết hợp điều kiện ta có phương trình có nghiệm
4 2
k
x
Bµi tËp 24: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 6sin
2
x – sinx.cosx – cos
2
x = 3
Giải
Nếu cosx = 0
2
sin 1
2
x k x
, thay vào phương trình ta được: 6 = 3 (Vô lí)
osx 0c
, chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ta được pt: 6tan
2
x – tanx – 1 = 3(1 + tan
2
x)
2
tanx = - 1
4
3tan t anx - 4 = 0
4
4
tanx =
arctan
3
3
x k
x
x k
Bµi tËp 24: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2sin
2
x 5sinx.cosx cos
2
x = 2
Giải
Ta có: 2sin
2
x 5sinx.cosx cos
2
x = 2 4sin
2
x – 5sinx.cosx+cos
2
x = ()
cosx = 0.Ta có : 4 = 0 (sai)
cosx =0 không phải là nghiệm
cosx 0 . () 4tan
2
– 5tanx + 1 = 0
t a nx= 1
x =
4
( )
1
1
t a nx=
x =arcta n
4
4
k
k
k
Bµi tËp 25: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5sin
2
x + 3sinx.cosx 4cos
2
x = 2;
Giải
x =
( )
4
x = a rcta n(-2)
k
k
k
Bµi tËp 26: Gi¶i các ph¬ng tr×nh :
a)
sin 2 3cos 0x x
b) cos3x – cos4x + cos5x = 0
c) tan2x – 2tanx = 0
Giải
a)
sin2 3cos 0 2sin cos 3cos 0x x x x x
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 20
cos 0
cos (2sin 3) 0
2sin 3 0
x
x x
x
2
3
sin ( )
2
x k
x VN
2
x k
b)
cos3 cos4 cos5 0x x x
(cos3 cos5 ) cos4 0x x x
2cos4 cos cos4 0
cos4 (2cos 1) 0
x x x
x x
cos4 0
cos4 0
1
2cos 1 0
cos
2
x
x
x
x
4
8 4
2
2
2
3
3
x k
x k
x k
x k
c) ĐK:
cos2 0
2
cos 0
4 2
x k
x
x
x k
2
2tan
tan2 2tan 0 2tan 0
1 tan
x
x x x
x
3
2 2
1 2tan
2tan ( 1) 0 0
1 tan 1 tan
x
x
x x
tan 0
4
x x k
Bài tập 27 : Giải các phương trình:
a/ cos2xcos5x = cos3xcos4x b/ cos
2
x + cos
2
3x = 2cos
2
2x
Giải:
a/
1 1
( os7x + cos3x) = ( os7x + cosx)
2 2
pt c c
3x = x + k2
cos3x = cosx
3x = - x + k2
2
k
x
b/
1 1
(1 os2x) + (1 os6x) = 1 + cos4x
2 2
pt c c
cos2x + cos6x = cos4x 2cos4xcosx - cos4x = 0
cos4x = 0
8 4
1
cosx =
2
2
3
k
x
x k
Bài tập 28 : Giải phương trình: 2sinx(3+sinx )+2cosx(cosx-1) =0
6sinx -2cosx =-2
3sinx –cosx =-1
22
)1(3
sin(x+
)=-1
sin(x+
)=-
10
1
2)
10
1
arcsin(
2)
10
1
sin(
kx
karx
Zkkx
kx
,2)
10
1
arcsin(
2)
10
1
arcsin(
Víi cos
10
3
;sin
10
1
Bài tập 29 : Giải các phương trình
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 21
a/ (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
b/ tanx + tan2x = sin3xcosx
c/ tanx + cot2x = 2 cot4x
Giải:
a/ ĐK: cosx
0
pt
2
( osx sinx)(sinx + cosx) sinx + cosxc
sinx + cosx = 0
( dk)
4
cos2x = 1
x k
tm
x k
b/ ĐK: cosx
0
và cos2x
0
pt
2
sin3x = 0
sin 3
sin 3 osx
osxcos2x
cos os2x = 1
x
xc
c
xc
sin3x = 0 sin3x = 0
(1 os2x) os2x = 2 os2x = 1c c c
3
3
k
x
k
x
x k
c/ ĐK: cosx
0
; sin2x
0
và sin4x
0
pt
os(2x - x) os4x
osx cos2x
c c
c
k
os4x = cos2x x =
3
c
Đối chiếu đk ta có nghiệm của pt là:
x =
3
k
với k nguyên và không chia hết cho 3
Bài tập 30 : Giải phương trình:
a/ 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0
b/ tan
2
x + cot
2
x – tanx – cotx = 0
Giải:
a/ Đặt t = sinx + cosx (
2 2t
)
2
sin 2 1x t
Ta có pt: 5( t
2
– 1) + t + 6 = 0
2
5 1 0t t
(ptVN) . Vậy pt đã cho VN
b/ Đặt t = tanx + cotx
2 2 2
tan cot 2x x t
2
1
: 2 0
2
t
pt t t
t
Với t = - 1
t anx + cotx = - 1
2
1 sin 2 2( )
sin2x
x VN
Với t = 2
t anx + cotx = 2
sin2x = 1 x =
4
k
Bài tập 31 : Giải phương trình:
2 2
os x - sin
sinx + cosx
1 sin 2
c x
x
Điều kiện:
sin 2 1
4
x x k
(sinx + cosx)(1 - sin2x) = (sinx + cosx) (cosx - sinx)
sinx + cosx = 0 (1)
(sinx + cosx)(1 - sin2x + sinx - cosx) = 0
1 - sin2x + sinx - cosx = 0(2)
pt
Giải (1): sinx + cosx = 0
4
x k
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 22
Giải (2): Đặt t = sinx – cosx
2
sin 2 1x t
, thay vào pt ta được:
1 + t
2
– 1 + t = 0
2
0
0
1
t
t t
t
Với t = 0
sinx - cosx = 0 x =
4
k
Với t = - 1
2
sinx - cosx = - 1 sin(x - ) sin( )
3
4 4
2
2
x k
x k
Đối chiếu với điều kiện ta có: pt có nghiệm là:
2
3
2
2
x k
x k
Bài tập 32 : Tìm m để phương trình có nghiệm: 2msinx + m = sinx + 2m – 3
Giải
Ta có:
(2 1)sinx = m - 3pt m
+ Nếu m =
1
2
thì pt có dạng: 0.sinx =
5
2
(VN) loại.
+ Nếu m
1
2
thì pt có dạng: sinx =
3
2 1
m
m
.
Để phương trình có nghiệm thì:
2
1
3 2
4
1 0
2
3
2 1 2 1
1 1
3
4
3 3 4
2 1
2
1 0
3
2 1 2 1
1
2
m
m
m m
m
m
m m
m m
m
m
m
m m
m
Bài tập 33 (tự làm) : Tìm m để phương trình có nghiệm: mcosx + m + 1 = 2cosx + 3m – 1
Bài tập 34 : Giải phương trình
3sin5x+cos5x+ 3 os2x-sin2x=0c
Ta có:
3sin5x+cos5x+ 3 os2x-sin2x=0 3sin5x+cos5x=sin2x- 3 os2x
3 1 1 3
sin5x+ cos5x= sin2x- os2x os sin5x+sin cos5x=cos sin2x-sin os2x
2 2 2 2 6 6 3 3
sin(5x+ )=sin(2x- )
6 3
c c
c c c
2
5 x + 2 x - 2 x = -
6 3 6 3
( )
2
5 x + 2 x + 2 x =
6 3 6 7
k
k
k
k
k
Bài tập 35 : Giải phương trình: cosx(1 + sinx) = 1 + sinx – sin
2
x
Giải
2
1- cosx = 0 cosx = 1
(1 osx)(sinx-cosx) = 0
sinx- cosx = 0 tanx = 1
4
x k
c
x k
Bài tập 36 : Giải phương trình: sinxcosx + sinx + cosx = 1
Đặt t = sinx + cosx
2
1
sinxcosx =
2
t
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 23
Ta có pt: t
2
+ 2t – 3 = 0
1
sinx + cosx = 1 2 sin( ) 1
3 ( ai)
4
t
x
t lo
2
in( ) sin
4 4
2
2
x k
s x
x k
Bài tập 37 : Giải phương trình: cosx(1 + sinx) = 1 + sinx – sin
2
x
Giải
cosx(1 + sinx) = 1 + sinx – sin
2
x
2
1- cosx = 0 cosx = 1
(1 osx)(sinx-cosx) = 0
sinx- cosx = 0 tanx = 1
4
x k
c
x k
Bài tập 37 : Giải các phương trình:
a/.
2
3
)
4
2sin(
x
b/.
2cos3sin xx
c/.
2cos2sinsin5
22
xxx
d/.
xxxx 8cos6cos4cos2cos
Giải
a)
2
3
)
4
2sin(
x
3
sin)
4
2sin(
x
2
34
2
2
34
2
kx
kx
kx
kx
12
11
24
7
)( Zk
b/.
2cos3sin xx
4
cos)
6
cos(
2
2
cos
6
cos
6
sin
2
2
cos
2
3
sin
2
1
x
x
xx
2
46
2
46
kx
kx
2
12
2
12
5
kx
kx
c/.
2cos2sinsin5
22
xxx
)cos(sin2cos2sinsin5
22
xxxxx
0coscossin2sin3
22
xxxx
01tan2tan3
2
xx
kx
kx
x
x
3
1
arctan
4
3
1
tan
1tan
d/.
xxxx 8cos6cos4cos2cos
xxxx cos.7cos2cos.3cos2
cos (cos3 cos7 ) 0
2
cos 0
cos7 cos3
2
5
2
5
x x x
x k
x
x k
x x
x k
x k
x k
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 24
CHƯƠNG II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
A. LÝ THUYẾT
I. Hai quy tắc đếm cơ bản
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
A
2
=
Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
Ứng với mỗi cách chọn A
1
, có n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
Có n
1
.n
2
cách chọn dãy đối tượng A
1
, A
2
.
II. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
1) Hoán vị:
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số hoán vị: P
n
= n! = 1.2.3…n
2) Chỉnh hợp:
Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp:
k
n
n!
A
(n k)!
3) Tổ hợp:
Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
Hai tính chất
k n k
n n
C C
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
III. Nhị thức Niu-Tơn
n
n k n k k
n
k 0
0 n 1 n 1 n n
n n n
(a b) C a b
C a C a b C b
- Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):
k n k k
k 1 n
T C a b
- Đặc biệt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C x C
- Khai triển
n
ba
được
1n
số hạng
IV. Biến cố và xác suất của biến cố
1. Phép thử và không gian mẫu
a. Phép thử ( T ): là một thí nghiệm hay một hành động mà:
Kết quả của nó không đoán trước được
Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
b. Không gian mẫu (
): Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
2. Biến cố
a. Định nghĩa:
Đề cương Ôn tập HKI Toán 11 0919.159281
Biên soạn: Nguyễn Hữu Tân – GV trường THPT Long Khánh A – Hồng Ngự - Đồng Tháp 25
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy
thuộc vào kết quả của T
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập
hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là
A
.
Ví dụ Đối với phép thử là “Gieo một con súc sắc” . Xét sự kiện A: “Xuất hiện số chấm lẻ” thì khi đó
A được gọi là một biến cố.
b. Các loại biến cố
Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả
bởi tập
.
Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện. Biến cố không
thể được mô tả bởi tập
.
Biến cố tổng ( hợp ): Sự kiện C được gọi là tổng của hai sự kiện A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi
A xảy ra hoặc B xảy ra. Kí hiệu
BACBAC ,
Biến cố tích ( giao ): Sự kiện C được gọi là tích của hai sự kiện A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi
đồng thời A xảy ra và B xảy ra. Kí hiệu
BACBAC ,.
Biến cố xung khắc: Hai sự kiện A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu A xảy ra thì B không
xảy ra và B xảy ra thì A không xảy ra. Kí hiệu
BABA ,.
Biến cố đối: Biến cố B được gọi là đối lập với sự kiện A nếu A xảy ra thì B không xảy, A không
xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu
AB
( hoặc
A\
được gọi là biến cố đối của biến cố A )
Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
3. Xác suất của biến cố
a. Định nghĩa xác suất cổ điển:
A
AP
Trong đó:
A
là kết quả thuận lợi cho A,
là không gian mẫu
b. Định nghĩa xác suất bằng thống kê:
N
n
AP
Chú ý:
10 AP
0,1 PP
APAP 1
V. Các quy tắc tính xác suất
