Chuyên đề: Các phương pháp giải phương trình mũ

1

CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Đinh Văn Trường. Tổ Toán – Trường THPT Nghèn. SĐT: 01677.10.19.15

Phương trình mũ nằm trong lớp bài toán Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình của chương
trình Toán học Phổ thông. Việc rèn luyện cho các em phương pháp giải phương trình mũ sẽ giúp các em có
nhứng kĩ năng và định hướng tốt trong việc giải quyết những bài toán trong lớp bài toán này. Chuyên đề trình
bày các phương pháp giải và phân loại phương trình mũ theo các phương pháp giải đó.

Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số
Biến đổi phương trình đưa các số hạng về cùng cơ số a:








f x g x
a a f x g x
  
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
1 2 4
9 3
 

x x

b)
1 1
2 2
2 2
5 9 3 5
 

  
x x
x x

c)
   
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
 
 
  


Bài giải:
a)
2
x 1 1 2x 2
9 9 x 1 1 2x
 
     

2
1
x
x 0
2
3x 4x 0



  


 

.
b)
9 5 5 5 5
5.5 9
9 9 27
5
 
     
 
 
x
x x
x x


3

x
2
5 5
9 9
   

   
   
3
x
2
 
.
c) Nhận xét:




10 3 10 3 1
  

PT
   
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
 

 
   

x 3 x 1
x 1 x 3
 
  
 
. Điều kiện:
x 1
x 3



 


2 2
x 3 1 x x 2
      


Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ
* Đặt ẩn phụ dạng 1: Đặt


f x
t a

,
t 0


Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
3 1 3
9 3 28.3
   
 
x x

b)
2 2
2
2 2 3
  
 
x x x x
(ĐH D - 2003)

Bài giải:
a) Đặt
2
x 3
t 3


,
t 1


vì
2
3 x 0
 

PT trở thành:
2
28
t 3 t
3
 
2
3t 28t 9 0
   

 
t 9
1
t L
3







2
x 3 2 x 7
     

b) Đặt
2
x x
t 2


,
t 0


PT trở thành:
2
4
t 3 t 3t 4 0
t
     



2
t 1 L
x 1
x x 2
x 2
t 4
  
 

    









Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)
8 18 2.27
 
x x x

b)
1 2 1
2
3 2 12 0
 
  
x
x x

www.VNMATH.com
2

Bài giải: a) Chia cả 2 vế của PT cho
x
27
, ta thu được PT:

x x 3x x
8 2 2 2
2 2 0
27 3 3 3
       
     
       
       

Đặt
x
2
t
3
 

 
 
,
t 0

. PT trở thành:
3
t t 2 0
  
x
2
t 1 1 x 0
3
 

     
 
 

b)
x x x
2 2 2
3.9 2.16 12 0
   
.Chia cả 2 vế của PT cho
x
2
12
, ta thu được PT:
x x
2 2
3 4
3. 2. 1 0
4 3
   
  
   
   

Đặt
x
3
t
4
 


 
 
,
t 0

. PT trở thành:
2
3t 1 0
t
  
 
x
2
t 1
3
3t t 2 0 1 x 0
2
4
t L
3


 

        
 

 
 



Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a)




4 15 4 15 62
   
x x
b)




3
5 21 7 5 21 2

   
x x
x

Bài giải:
a) Nhận xét:




4 15 4 15 1

  

Đặt




x x
1
t 4 15 4 15
t
    
,
t 0


PT trở thành:
2
1
t 62 t 62t 1 0
t
     

t 31 8 15
  


2
t 4 15
  





x 2
4 15 4 15 x 2
      

b) Chia cả 2 vế của PT cho
x
2
, ta thu được PT:

5 21 5 21
7 8
2 2
   
 
 
   
   
   
x x

Đặt
x x
5 21 5 21 1
t
2 2 t
   

 
  
   
   
   
,
t 0


PT trở thành:
2
7
t 8 t 8t 7 0
t
     

x
x
5 21
2
5 21
1
x 0
2
t 1
x log 7
t 7
5 21
7
2



 



 

 




 

  







 



 
 


 


* Đặt ẩn phụ dạng 2: Đặt 2 ẩn phụ


f x
u a

và


g x
v a

, với
u, v 0


Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a)
 
2
2 2
1
1
4 2 2 1

 
  

x
x x x

b)
4 2 1 1 2 1
3 3 4.3
   
 
x x x x
(Thi thử ĐHV năm 2011)
Bài giải:
a) Nhận xét:
 
2
2 2
2
x 1
x x 2x 2x
1 x
2
4 2
2

 

 
Đặt
 
2
2

x 1
1 x
u 2
v 2









,
u, v 0

. PT trở thành:
 
u u
v u 1 v 1 1 0
v v
 
      
 
 
v 1
u
1
v









2
2
1 x
x x
2 1 x 0
x 1
4 1



 

 


 
 



b) Đặt
2x
x 1

u 3
v 3








,
u, v 0

. PT trở thành:




2 2
u 3v 4uv u v u 3v 0
     
u v
u 3v







2x x 1
2x x 1 1
3 3 2x x 1
2x 1 x 1
3 3

 


  
 


  






1 17
x
8
5
x
4












www.VNMATH.com
3


Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
a)
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
   
 
   
x x x x

b)
2
2 2 6 6
  
x x


Bài giải:
a) Đặt

x 1
1 x
u 2 1
v 2 1



 


 


,
u, v 1

. PT trở thành:

8 1 18
u v 1 u v
 
 

Nhận xét:










x 1 x 1 x 1 x 1
uv 2 1 2 1 2 1 2 1 u v
   
        
.
Ta có hệ:
8 1 18 u v 2
u 8v 18
u v u v
9
uv u v
u 9;v
uv u v
8
 
 
 
 



 

 

 
 



 
 

Từ đó, nghiệm của PT là:
x 1

hoặc
x 4


b) Đặt
x
x
u 2
v 2 6




 


,
u 0,v 6
  . PT trở thành:

2
u v 6

 

Nhận xét:
2 x 2
v 2 6 u 6 v u 6
      
. Ta có hệ
phương trình:
  
2
2
2
u v 6
u v 6
u v u v 1 0
v u 6

  
 
 

 
   
 





Do điều kiện của u, v nên hệ

u v 3
  
2
x log 3
 
Phương pháp 3. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dạng 1: Phương trình có dạng:


f x k

(1) hoặc




f x g x
 (2). Ta có hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1. Nếu hàm số


y f x
 đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (1) có nghiệm duy
nhất.
Mệnh đề 2. Nếu hàm số


y f x
 đồng biến (nghịch biến) và hàm số



y g x
 nghịch biến (đồng biến) trên
tập K thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a)
x x x
3 4 5
 
b)
7 6 11 2
   
x x
x


Bài giải:
a) Chia cả 2 vế của phương trình cho
x
5
, ta được:
x x
3 4
1
5 5
   
 
   
   

Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số nghịch biến trên R nên
x x
3 4
y
5 5
   
 
   
   
là hàm số
nghịch biến trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
x 2

. Thật vậy
+ Với
x 2

thì
2 2
3 4
VT 1 VP
5 5
   
   
   
   
. + Với
x 2

thì

2 2
3 4
VT 1 VP
5 5
   
   
   
   
.
+ Với
x 2

thì
2 2
3 4
1
5 5
   
 
   
   
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
x 2

.
b) Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số đồng biến trên R nên
x x
y 7 6
 

là hàm số đồng biến
trên R và VP của phương trình là hàm số bậc nhất có hệ số
a 11 0
  
nên
y 11x 2
  
là hàm số nghịch biến
trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
x 0

. Thật vậy
+ Với
x 0

thì
0 0
VT 7 6 2 11.0 2 VP
       . + Với
x 0

thì
0 0
VT 7 6 2 11.0 2 VP
       .
+ Với
x 0

thì
VT VP 2

 
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
x 0

.
www.VNMATH.com
4

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
a)




2
2 1 2 2 3 0
    
x x
x x
b)


25 2 3 5 2 7 0
    
x x
x x

Bài giải:
a) Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai

ẩn x. Ta có:

     
2 2
2
2 1 8 2 3 2 5
3 2
 

       

 

x x x
x
x
x

Xét phương trình:
x x
x 3 2 2 3 x
    

Hàm số
x
y 2

đồng biến trên R
và hàm số
y 3 x

 
nghịch biến trên R
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất
x 1

.
Vậy phương trình có 2 nghiệm
2; 1
  
x x

b) (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn)
Đặt
5

x
t , điều kiện
0

t

Khi đó phương trình tương đương với:


2
2 3 2 7 0
    
t x t x

     

2 2
1
' 3 2 7 4
7 2
 

       

 

t
x x x
t x

Ta có:
x
5 7 2x
 
có nghiệm duy nhất
x 1



Dạng 2: Phương trình có dạng:




f x f y
 (3). Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 3. Nếu hàm số


y f x
 đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (3)
x y
 
.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a)
2
3 1 2 2
2 2 4 3 0
  
    
x x x
x x
(*) b)
2 2
os sin
os2
 
c x x
e e c x
(**)

Bài giải:
a) Ta có:





2 2
x 4x 3 x 3x 1 x 2
      

(*)


 
2
x 3x 1 2 x 2
2 x 3x 1 2 x 2
  
      

Xét hàm số:


t
f t 2 t
 
.
Ta có:


t
f ' t 2 ln 2 1 0, t R
    
. Do đó



f t
đồng
biến trên R.
PT




2
f x 3x 1 f x 2
    
2
x 3x 1 x 2
    

x 1
x 3







b) Ta có:
2 2
cos2x cos x sin x
 

(**)
2 2
cos x 2 sin x 2
e cos x e sin x
   

Xét hàm số:


t
f t e t
 
.
Ta có:


t
f ' t e 1 0, t 0
    
. Do đó


f t
đồng biến
trên


0;

.

PT




2 2
f cos x f sin x
 
2 2
cos x sin x
 
x k
4

    

Phương pháp 4. Đánh giá hai vế của phương trình
+ Nếu
VT M

và
VP M

thì
VT VP M
 
. + Nếu
VT VP

thì tìm dấu = xảy ra theo đánh giá.

Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:
a)
2
4
2 2 16

  
x x
x
b)
3
2.6 4 3.12 2.8 2.3
   
x x x x x

(Đề thi thử trên Tuhoctoan.net)

Bài giải:
a) Ta có:
x x x x
VT 2 2 2 2 .2 2
 
   
và
2
4
4
VP 16 x 16 2
   
. Do đó, PT

VT VP 2 x 0
    

b) Chia cả hai vế của phương trình cho
x
2
ta thu được PT:
3
3 3 3
2. 1 3. 2 2.
2 2 2
     
   
     
     
x x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
3
2. 1 1
3 3
2
2. 1
2 2 2
 
 
 
   
 
  

   
   
x
x x
và
3
3
3. 2 1 1
3 3
2
3. 2
2 3 2
 
  
 
   
 
  
   
   
x
x x

Do đó,
VT VP

. Dấu = xảy ra
x 0
 
.

www.VNMATH.com
5

Phương pháp 5. Đưa về phương trình tích:
Biến đổi phương trình đưa về dạng
A 0
A.B 0
B 0


 




Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a)
5 2 5 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
   
 
  
x x
x x
x x

b)
2 2 2
2 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3

      
x x
x x x x x x x

Bài giải:
a)




x 5 4 x 5 4
2 x 1 x 1
1
x . 2 2 2 2
4
   
 
   
 
x 5 4
2 x 1
1
x
1
2x 2 2 0
4
x 1 x 5 4
 



 
 

    
 

 
   



Giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối ta được
x 4


Vậy PT có 3 nghiệm:
x 4

;
1
x
2
 

b) Điều kiện:
1
2 x
3
  





2
2 5 3 1 2 .3 2 1 2 .3 0
      
x x
x x x x x




2
1 2 .3 2 5 3 2 0
     
x
x x x x
2
1 2 .3 0
2 5 3 2 0

 


   


x
x

x x x
.
Nhận xét: + Với
2 x 0
  
thì
x
1 2x.3 0
 

+ Với
1
0 x
3
 
thì
1
x
3
2
1 2x.3 1 .3 0
3
   

Do đó PT
x
1 2x.3 0
 
vô nghiệm.
Giải phương trình chứa căn

4 22
x
9
 
  là nghiệm của PT.
Phương pháp 6. Lôgarit hóa
Lấy lôgarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp.
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
a)
1
5 .8 500


x
x
x

b)
2 3
3 2

x x


Bài giải:
a) Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta
được:
5 5
x 1
x log 8 log 500

x

 




2
54 5
x x 1 log 8 x 3 log
    


2
5 5
x log 2 3 x 3log 2 0
    
5
x log 2
x 3




 


b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta
được:
x

x x
3 3
2
2 3 .log 2 log 2
3
 
  
 
 


2 3
3
x log log 2
 




www.VNMATH.com
6

MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1.
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x    
  

2.
3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0
x x 
  

3.






26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
     

4.




2 3 2 3 14
x x
   

5.
3 1
5 3

5.2 3.2 7 0
x
x


  

6.
3
3 1
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x
   
   
   
   

7.
1 2 1
4.9 3 2
x x
 


8.
2
2

2 .3 1,5
x x x

9.
2 1
1
5 .2 50
x
x
x




10.
3
2
3 .2 6
x
x
x


11.
2
2 1 3
x
x
 

12.
3 2
2 8 14
x
x x

   

13.


25 2 3 5 2 7 0
x x
x x
    

14.
3
8 .2 2 0
x x
x x

   

15.


2 3 2
.3 3 12 7 8 19 12
x x

x x x x x
      

16. 6224
241

 xxx

17. 0273.43
5284

 xx

18.
2
6.52.93.4
x
xx


19.
xxx
6242.33.8 
20.
 
77.0.6
100
7
2


x
x
x

21.
13
250125


xxx

22. 623.233.4
212


xxxx
xxx


23.
033.369
31
22

 xx

24.
0639
11
22


 xx

25.
1
2
3
694



xx
x

26.
211
2222
2332


xxxx

27.
xxx 

21
10
5
1
5.2

28.




3
2531653


x
xx

29.
xxx
36.281.216.3 
30.


2
log
12222
2
2
xx
x
xlo









31.


8444242
22
 xxxx
x

32.
3loglog
2
9log
222
3. xxx
x

33. 052.2
82
log3log

 xx
xx
34.
5log3log
22
xxx 

35.






324log
242
2


xx
x

36.
xxx 100lglg10lg
3.264 

37. 62
6
1
2
1
2
3
1
3 





















 x
xx
x
x
x

38. 093.613.73.5
1112

 xxxx

39. 20515.33.12

1

xxx

40.
2
222
4log6log2log
3.24
xx
x 

41. 2653  x
xx

42.


2
1
122
2


x
xxx

43.





 
3210
101
3232
1212
22


 xxxx

44. 02525
21

 xxxx


www.VNMATH.com