các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 tham khảo

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n – 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3
3
< 3
n
< 3
5
=> n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).

5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
− + + + + +
− + − + − + + −
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
− +
− = − = −
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+

Ta có: x + 2
≥
0 => x
≥
- 2.
+ Nếu x
≥
-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2
≤
x < -
2

3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−
Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006
≤
x
≤
2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006
≤
x
≤
2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên
một đường thẳng, ta có:
x – y =

3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33
1
11:
3
1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x
==
−
===>=
=> x =
11
4
x)vòng(
33
12
==>

(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đường thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia
MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I
vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4
điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI tại F

∆
ABM =
∆
DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),

·
AMB
= DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID
⊥
AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) =>
∆
CAI =
∆

FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
=> EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) =>
∆
AFE =
∆
CAB
=>AE = BC
D
B
A
H
I
F
E
M
a) (2 điểm)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4

6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −
= − = −
+ +
+
+
− −
= −

+
+
−
= −
−
= − =
b) (2 điểm)

2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
3 3 2 2
n n n n+ +
+ − −
=
2 2
3 (3 1) 2 (2 1)
n n
+ − +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2

n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M
10 với mọi n là số nguyên dương.
a) (2 điểm)
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3, 2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2

3
x
x
x
x
x x
x
x
− =
− =−
= + =
−
=− + =
−
− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =


⇔ − = ⇔








⇔
b) (2 điểm
( ) ( )

( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x

x
x
x x
x x
x x
+
 
 ÷
 
+
− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
 
⇔ − − − =
 


⇔




⇔



a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.

Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c
= =
= k
⇒
2 3
; ;
5 4 6
k
a k b k c= = =
Do đó (2)
⇔
2
4 9 1
( ) 24309

25 16 36
k + + =
⇒
k = 180 và k =
180−
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =
180−
, ta được: a =
72−
; b =
135−
; c =
30−
Khi đó ta có só A =
72−
+(
135−
) + (
30−
) =
237−
.
b) (1,5 điểm)
Từ
a c
c b
=
suy ra

2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
a/ (1điểm) Xét
AMC∆
và
EMB∆
có :
AM = EM (gt )
·
AMC
=

·
EMB
(đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên :
AMC∆
=
EMB∆
(c.g.c ) 0,5 điểm
K
H
E
M
B
A
C
I
⇒
AC = EB
Vì
AMC
∆
=
EMB∆

·
MAC⇒
=
·
MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB
∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK∆ = ∆
( c.g.c )
Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà

·
AMI
+
·
IME
= 180
o
( tính chất hai góc kề bù )
⇒

·
EMK
+
·
IME
= 180
o

⇒
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE
= 50

o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM⇒
=
·
HEB
-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o

·
BME
là góc ngoài tại đỉnh M của
HEM∆
Nên
·
BME
=
·
HEM
+
·
MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
( định lý góc ngoài của tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh
∆
ADB =
∆
ADC (c.c.c)
suy ra
·
·
DAB DAC=

Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
b)
∆
ABC cân tại A, mà
µ
0
20A =
(gt) nên
·
0 0 0
(180 20 ): 2 80ABC = − =
∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
0 0 0
80 60 20ABD = − =
.
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4≤
0
≤

a 4≤

=>
a
= 0; 1; 2; 3 ; 4
*
a
= 0 => a = 0
*
a
= 1 => a = 1 hoặc a = - 1
20
0
M
A
B
C
D
*
a
= 2 => a = 2 hoặc a = - 2
*
a
= 3 => a = 3 hoặc a = - 3
*
a
= 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10
−
và nhỏ hơn

9
11
−
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
9 7 9
10 11x
− −
< <
=>
63 63 63
70 9 77x
< <
− −
=> -77 < 9x < -70. Vì 9x
M
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
7
8
−
Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2

và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 1
2
+ 2m.1 + m
2
= m
2
+ 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m
2
= m
2
– 2m
Để P(1) = Q(-1) thì m
2
+ 2m + 1 = m
2
– 2m
⇔
4m = -1
⇔
m = -1/4

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
x y
a / ; xy=84
3 7
=>
2 2
84
4
9 49 3.7 21
x y xy
= = = =
=> x
2
= 4.49 = 196 => x =
±
14
=> y
2
= 4.4 = 16 => x =
±
4
Do x,y cùng dấu nên:
• x = 6; y = 14
• x = -6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

+ − − + − −
= = = = = =
− − − −
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x
=
− −
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
1 3 2
12 2
y y
y
+
= = −
−
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y =
1
15
−
Vậy x = 2, y =
1
15
−
thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
• A =
1+x
+5
Ta có :
1+x

≥
0. Dấu = xảy ra
⇔
x= -1.

⇒
A
≥
5.Dấu = xảy ra
⇔
x= -1.
Vậy: Min A = 5
⇔
x= -1.
• B =
3
15
2
2
+
+
x
x

=
( )
3
123
2
2
+
++
x
x
= 1 +
3
12
2
+x
Ta có: x
2

≥
0. Dấu = xảy ra
⇔
x = 0

⇒
x
2
+ 3
≥
3 ( 2 vế dương )
⇒

3
12
2
+x

≤

3
12

⇒

3
12
2
+x

≤
4
⇒
1+
3
12
2
+x

≤
1+ 4
⇒
B

≤
5
Dấu = xảy ra
⇔
x = 0
Vậy : Max B = 5
⇔
x = 0.
Câu 6: a/
Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 90
0
+ BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE và TIC
I
1
= I
2
( đđ)
E
1
= C
1
( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 90

0
=> DC
⊥
BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D
1
= MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D
1
= MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180
0
( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 180
0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP
⊥
MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 90
0

=> MA
⊥
BC (đpcm)
CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm
1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm
2.a
Ta có :
1
3
2
+
++
a
aa
=
1
3
1
3)1(
+
+=
+
++
a
a
a
aa
vì a là số nguyên nên
1

3
2
+
++
a
aa
là số nguyên khi
1
3
+a
là số nguyên hay
a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1 -3 -1 1 3
a -4 -2 0 2
Vậy với a
{ }
2,0,2,4 −−∈
thì
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25

2.b Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có
các trường hợp sau :



=
=
⇒



−=−
=−
0
0
112
121
y
x
x
y
Hoặc



=
=
⇒




=−
−=−
1
1
112
121
y
x
x
y
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c
b
a
=
( ĐPCM
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là

aaa
=111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
aa
nn
.37.3111
2
)1(
==
+
Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n =
74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó
703
2
)1(
=
+nn
không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó
666
2
)1(
=
+nn
thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25

0,25
0,5
4
B C
D
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH =
2
CD

⇒
CH = BC
Tam giác BCH cân tại C
⇒
CBH = 30
0

⇒
ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45
0

+30
0
=75
0
0,5
0,5
1,0
1,0
5 T : x
2
-2y
2
=1suy ra x
2
-1=2y
2
Nu x chia ht cho 3 vỡ x nguyờn t nờn x=3 lỳc ú y= 2 nguyờn t tho
món
Nu x khụng chia ht cho 3 thỡ x
2
-1 chia ht cho 3 do ú 2y
2
chia ht cho
3 M(2;3)=1 nờn y chia ht cho 3 khi ú x
2
=19 khụng tho món
Vy cp s (x,y) duy nht tỡm c tho món iu kin u bi l (2;3)
0,25
0,25
Đáp án

1/ a)
41
1
2
41
1
11
41
1
)
35
4
5
2
7
5
()
6
1
3
1
2
1
( =++=+++++
b) A= 2009 -
)
2010.2009
1
2009.2008
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
( +++++
= 2009
)
2010
1
2009
1

5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1( +++++

= 2009 -
2010
2009
2009)
2010
1
1( =
2/
2
x
+ 2
x+3
= 144 => 2
x
(1+2
3
) = 144=> 2
x
= 16
2
x
= 2
2
=> x = 4
b)
120102009 =+ xx
=>
120102009 =+ xx
Ta lại có
12010200920102009 =++ xxxx

120102009 =+ xx
(x - 2009).(2010 - x)

0 2009

x

2010
Vậy
120102009 =+ xx
2009

x

2010
3/ a) Vì
d
c
b
a
=
nên
d
b
c
a
d
b
d
b

c
a
c
a
d
b
c
a
===>=
Hay
cd
ab
d
c
b
a
==
2
2
2
2

Ta lại có
22
2
2
2
2
2
2

2
2
2
811
811
37
37
3
3
8
8
11
11
7
7
dc
ba
cdc
aba
cd
ab
d
b
c
a
c
a
q

=
+
+
====
Hay
22
2
2
2
811
37
811
37
dc
cdc
bca
aba

+
=

+
b) Gọi các phan số cần tiìm là
f
e
d
c
b
a
;;

theo bài ra ta có:
a : c : e = 3 : 5 : 7; b : d: f =2 : 3 : 4
Đặt
;
753
k
eca
===

p
fdb
===
432
Ta có a= 3k; c = 5k; e =7k; b = 2p; d =3p; f = 4p
Ta lại có
8
35
;
6
25
;
4
15
2
5
.
2
3
2
5

24
295
12
59
24
7
12
=====>
==>==>=++
f
e
d
c
b
a
p
k
p
k
f
e
d
c
b
a
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng
24
7
12
4/ Ta có 2

m
- 2
n
> 0 => 2
m
> 2
n
=> m > n
Nên (1) 2
n
(2
m-n
1) = 2
8
Vì m-n > 0 => 2
m-n
1 lẽ => 2
m-n
-1 =1 => 2
m-n
= 2
1
=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9
5/

a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD
b) Từ ADC = ABE => ADC = ABE
Gọi K là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác AKD và IKB có
AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)
Vậy KAD = KIB = 60

0
=> BIC = 120
0
c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1)
Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt)
B
1
= B
2
( B
1
+ B
3
= B
2
+ B
3
= 60
0
) Vậy tam giác
IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2)
Từ (1) và (2) => IA + IB = ID
d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 120
0
D
K
J
C
I
E

A
B
1
3
2