Khóa luận tốt nghiệp toán học :SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (893.22 KB, 56 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGÔ THỊ THU HÀ
SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA, NĂM 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGÔ THỊ THU HÀ
SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Chuyên ngành: Đại số
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: GVC-TS. Hoàng Ngọc Anh
SƠN LA, NĂM 2014
LƠ
̀
I CA
̉
M ƠN
- TS.
-
,
,
.
- Lý - Tin,
; ;
.
,
,
,
,
, .
!
MỤC LỤC
MƠ
̉
ĐÂ
̀
U 1
1. L do chọn đ tài 1
2. Mc đch nghiên cứu 1
3. Nhiê
̣
m vu
̣
nghiên cƣ
́
u 2
4. Giả thuyt khoa học 2
5. Đối tƣng nghiên cứu 2
6. Phƣơng pha
́
p nghiên cƣ
́
u 2
7. Đo
́
ng go
́
p cu
̉
a kho
́
a luâ
̣
n 2
8. Câ
́
u tru
́
c luâ
̣
n văn 2
Chƣơng 1: MÔ
̣
T SÔ
́
KIÊ
́
N THƢ
́
C LIÊN QUAN 2
1.1. Vành đa thức 3
1.1.1. 3
1.1 4
1.2. Quan hệ chia ht trong min nguyên 4
1.2.1 4
1.2 5
1.2 5
1.3. Vành Gauss, vành chnh, vành Ơ clit 5
1.3.1. Vành Gauss 5
1.3.2. Vành chính 5
1.3 6
1.4. Đa thức lấy hệ tử trên một trƣờng 6
1.4 6
1.4 7
1.5. Đa thức bất khả quy trên trƣờng số 7
1.5
Z
và
Q
7
1.5
R
8
1.5
C
8
Chƣơng 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ
ỨNG DỤNG 9
2.1. Một số phƣơng pháp phân tch đa thức thành nhân tử 10
2.1.1. Phƣơng pháp đặt nhân tử chung 10
2.1.2. Phƣơng pháp dùng hẳng đẳng thức 10
2.1.3. Phƣơng pháp nhóm hạng tử 11
2.1.4. Phƣơng pháp tách một hạng tử thành nhiu hạng tử 13
2.1.5. Phƣơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử 14
2.1.6. Phƣơng pháp đặt ẩn ph 15
2.1.7. Phƣơng pháp hệ số bất định 17
2.1.8. Phƣơng pháp xét giá trị riêng 18
2.1.9. Phối hp nhiu phƣơng pháp 19
2.2. Ứng dng của bài toán phân tch đa thức thành nhân tử ở phổ thông .20
2.2.1. Ứng dng vào bài toán rút gọn 20
2.2.2. Ứng dng vào bài toán chứng minh đẳng thức, chứng minh tnh chia
ht 21
2.2.3. Ứng dng vào giải phƣơng trình 24
2.2.4. Ứng dng vào giải hệ phƣơng trình 33
2.2.5. Ứng dng tnh nguyên hàm, tch phân 36
2.2.6. Ứng dng tnh giới hạn vô định 44
2.2.7. Ứng dng để xét dấu của một biểu thức. 46
2.2.8. Ứng dng vào việc khảo sát hàm số 48
KÊ
́
T LUÂ
̣
N 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
1
MƠ
̉
ĐÂ
̀
U
1. L do chọn đ tài
,
, n
,
.
,
,
.
,
, , c sinh,
.
8,
8 .
.
,
.
8
,
.
,
,
,
, .
“ S dng đa thc
bâ
́
t kha
̉
quy đê
̉
phân ti
́
ch đa thư
́
c tha
̀
nh nhân tư
̉
”.
2. Mc đch nghiên cứu
.
2
3. Nhiê
̣
m vu
̣
nghiên cƣ
́
u
,
:
- ?
-
liê
?
4. Giả thuyt khoa học
,
.
,
sau
.
5. Đối tƣng nghiên cứu
-
.
- Nghiê
.
6. Phƣơng pha
́
p nghiên cƣ
́
u
- Nghiên cu tài liu.
- Phân tích, tng hp các kin thc.
- Kinh nghim bi tho lun vng dn.
7. Đo
́
ng go
́
p cu
̉
a khóa luận
.
8. Câ
́
u tru
́
c khoá luận
:
,
.
:
1:
liên quan
2:
Chƣơng 1: MÔ
̣
T SÔ
́
KIÊ
́
N THƢ
́
C LIÊN QUAN
3
1.1. Vành đa thức
1.1.1. Vành đa thức một bin
1.1.1.1. Khái niệm
Cho
A
01
0
n
ni
ni
i
f x a a x a x a x
, 0, ,
i
a A i n n
,
x
.
i
i
ax
i)
0
i
x
thì
fx
.
ii) Cho
1
01
0
n
ni
ni
i
g x b b x b x b x
, 0,
ii
f x g x a b i n
.
Ax
.
Trên
Ax
00
;
nm
ij
ij
ij
f x a x g x b x
:
mn
và
m n s
, ta có
1
1
0
n
i n n s
i i n n s
i
f x g x a b x b x b x
+ Phép nhân:
00
.
m n i
i
i j j
ij
f x g x a b x
thì
Ax
4
+
Ax
x
trên
.A
Ax
x
trên
.A
1.1.1.2. Bậc của một đa thức
01
n
n
f x a a x a x
n
deg fn
0
n
a
.
n
a
.f
1.1.1.3. Nghiệm của đa thức
A
A
và
2
0 1 2
x
n
n
f x a a x a a x
Ax
.
01
n
n
f c a ac a c A
fx
.c
0fc
thì
c
.fx
fx
trong
A
0fx
.
1.1.2. Vành các đa thức nhiu bin
G
11
A A x
2 1 2
1
n n n
A A x
A A x
Vành
1n n n
A A x
12
, , ,
n
A x x x
12
, , ,
n
x x x
.A
1.2. Quan hệ chia ht trong min nguyên
1.2.1. Định nghĩa
Cho
a
và
b
X
a
b
hay nói
a
b
X
sao cho
a bc
.
b
a
ab
1.2.2. Tnh chất
5
X
ta có:
a)
aX
|0; | ; 1| ; | ; | .a a a a a a a a
b)
, , , | ; | | .a b c X a b b c a c
c)
a
12
, , , ( 1)
n
a a a n
thì
a
1 1 2 2
nn
x a x a x a
12
, , , .
n
x x x X
1
R
phép
nhân trong
.X
1.2.3. Các phần tử liên kt, phần tử bất khả quy của một min nguyên
Định nghĩa: Cho
X
,a b X
,
b
u
X
sao cho
.a bu
aX
a
a
a
.
0P
X
X
1.3. Vành Gauss, vành chnh, vành Ơ clit
1.3.1. Vành Gauss
Định nghĩa:
R
ành Gauss)
0
1.3.2. Vành chính
Định nghĩa:
C
an
C
C
xC
sao cho
x
Cx
.
V d:
Z
K
Kx
Định l:
1.3.3. Vành Ơclit
6
Định nghĩa:
X
*
()XX
N
:X
xx
i)
,a b X
ab
thì
ab
ii)
, ; , :a X b X q r X a bq r
0r
0r
thì
rb
g.
Định l:
vành Gauss.
1.4. Đa thức lấy hệ tử trên một trƣờng
1.4.1. Tnh chất Ơclit của vành đa thức lấy hệ tử trên một trƣờng
1.4.1.1. Định l
khi clit.
Chứng minh
S K x
và
S
S
:SS
degff
clit.
T
,f g S
ta có:
f
g
thì
deg deggf
f
g
f gh r
,deg degr S r f
rf
.
Kx
clit.
1.4.1.2. Hệ quả
7
K
Kx
1.4.2. Đa thức bất khả quy trên một trƣờng
Định nghĩa: Cho
P
p x P x
px
P
px
.
P
. Nói khác
P
Px
.
Chú ý: .
V d:
2
2x
Q
R
2
2x
2
2 2 2x x x
.
Tnh chất:
.
1.5. Đa thức bất khả quy trên các tập hp số
1.5.1 Đa thức bất khả quy trên
Z
và
Q
1.5.1.1. Định nghĩa
.
1.5.1.2. Định l
.
1.5.1.3. Một số kt quả
-
Q
:
Q
.
Q
.
8
+ :
0
n
i
i
i
f x a x
0n
, các
p
sao cho
n
a
p
và các
i
a i n
p
0
a
p
fx
Q
.
Q
V d:
20 10 4 2
6 18 42 12p x x x x x
Q
3p
.
Chú ý:
V d:
2
Q
Eisenstenin.
-
Z
:
Z
.
Z
24x
Z
vì
22x
.
-
Z
và
Q
:
Z
Q
.
Z
trên
Q
.
1.5.2. Đa thức bất khả quy trên
R
R
1.5.3. Đa thức bất khả quy trên
C
C
9
Chƣơng 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ
ỨNG DỤNG
8
(
1)
:
6:
chung.
7:
.
8:
.
9:
.
: Phân
(
)
(8
1 trang 18).
.
V d:
:
3
76xx
:
32
32
32
7 6 1 6
7 6 2 2 3
7 6 3 3 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
2
6;xx
22
2 3; 3 2x x x x
.
:
3
7 6 3 1 2x x x x x
1
:
-
10
trên
R
.
-
th
R x
.
,
(
) trên
R
.
2.1. Một số phƣơng pháp phân tch đa thức thành nhân tử
2.1.1. Phƣơng pháp đặt nhân tử chung
2.1.1.1. Phƣơng pháp
AB AC A B C
.
A
.
2.1.1.2. V d
V d 1: :
3 2 3 3 2 2
2
) 16 48 32
) 19 3 2 38 2 3
a x y z x y x y z
b x y x y xy y x
Lời giải
a. Ta có
16;48;32 16
x và y z
.
22
16xy
.
3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2
16 48 32 16 . 16 .3 16 .2x y z x y x y z x y xz x y y x y z
22
16 3 2x y xz y z
b.
38 2 3 38 3 2xy y x xy x y
. Do
19 3 2xy x y
.
22
19 3 2 38 2 3 19 3 2 38 3 2x y x y xy y x x y x y xy x y
=19xy 3 2 2x y x
2.1.2. Phƣơng pháp dùng hẳng đẳng thức
11
2.1.2.1. Phƣơng pháp
ng:
2.1.2.2. V d
V d 2:
2
22
22
2 2 2
) 6 9
) 2
) 4 8
) 2
a x x
b x y x y x y x y
c x a b a b
d x xy y z
Lời giải
2
2
) 6 9 3a x x x
2
22
2
2
2
) 2
2 4
b x y x y x y x y x y x y
x y x y
yy
22
) 4 8 4 8
42
42
c x a b a b x a b a b a b
a b x a b
a b ax bx
2 2 2 2 2 2
2
2
) 2 2
=
d x xy y z x xy y z
x y z
x y z x y z
2.1.3. Phƣơng pháp nhóm hạng tử
2.1.3.1. Phƣơng pháp
12
A B C D
,
, , , A B C D
, , , A B C D
AB
và
CD
2.1.3.2. V d
V d 3: :
2
) 3 3
) 2 3 6
)
a x x xy y
b xy z y xz
c bc b c ca c a ab a b
Lời giải
22
) 3 3 3 3
3
3
a x x xy y x xy x y
x x y x y
x y x
) 2 3 6 2 6 3
2 3 3
3 2
b xy z y xz xy y z xz
y x z x
x y z
2 3 6 2 3 6
2 3 2
2 3
xy z y xz xy xz z y
x y x y z
y z x
13
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
)
c bc b c ca c a ab a b b c bc c a ca ab a b
b c ca bc c a ab a b
c b a c b a ab a b
2
2
c b a b a c b a ab a b
a b c b a c ab
2
2
a b cb ca c ab
a b cb c ca ab
a b c b c a b c
a b b c c a
2.1.4. Phƣơng pháp tách một hạng tử thành nhiu hạng tử
2.1.4.1. Phƣơng pháp
pháp khác
2.1.4.2. V d
V d 4:
22
32
) 2 7 5
) 8 17 10
a x xy y
b x x x
Lời giải
2 2 2 2
) 2 7 5 2 2 5 5
2 5
2 5
a x xy y x xy xy y
x x y y x y
x y x y
3 2 3 2 2
2
2
2
) 8 17 10 7 7 10 10
1 7 1 10 1
1 7 10
1 2 5 10
b x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
1 2 5 2
1 2 5 .
x x x x
x x x
14
2.1.5. Phƣơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
2.1.5.1. Phƣơng pháp
2.1.5.2. V d
V d 5: :
4
54
72
) 4
) 1
) 1
ax
b x x
c x x
Lời giải
4 4 2 2
4 2 2
2
2
2
22
) 4 4 4 4
4 4 4
2 2
2 2 2 2
a x x x x
x x x
xx
x x x x
5 4 5 4 3 3 2 2
5 4 3 3 2 2
3 2 2 2
23
) 1 1
( ) 1
1 1 1
1 1
b x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
7 2 7 2
62
3 3 2
3 2 2
23
2
) 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
c x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
xx
5 4 2
11x x x x
15
2.1.6. Phƣơng pháp đặt ẩn ph
2.1.6.1. Phƣơng pháp
.A x B x C
,A x B x
2.1.6.2. V d
V d 6: :
22
22
4 3 2
) 1 2 12
) 1 2 3 4 24
) 4
) 6 7 6 1
a x x x x
b x x x x
c x x y x y z x z y z
d x x x x
Lời giải
22
) 1 2 12 1a x x x x
2
1x x t
2
21x x t
.
1
2
2
1 12 12
9 3
3 3 3
3 4
t t t t
tt
t t t
tt
Thay
2
1t x x
:
2 2 2 2
22
2
1 2 12 2 5
1 1 5
1 1 1 5
1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x
x
2
25x x x
22
) 1 2 3 4 24 1 4 2 3 24
5 4 5 6 24 2
b x x x x x x x x
x x x x
16
2
54t x x
2
5 6 2x x t
.
2
2
2
2 24 2 24
16 2 8
4 4 2 4
4 6
t t t t
tt
t t t
tt
Thay
2
54t x x
:
22
2
1 2 3 4 24 5 5 10
5 5 10
x x x x x x x x
x x x x
22
2 2 2 2
) 4
4 3
c x x y x y z x z y z
x xy xz x xy xz yz y z
2
t x xy xz
2
x xy xz yz t yz
.
3
:
2
2 2 2 2 2
4 4 4 2t t yz y z t tyz y z t yz
Thay
2
t x xy xz
:
2
2 2 2
2
2
42
2 2 2
x x y x y z x z y z x xy xz yz
x xy xz yz
4 3 2
) 6 7 6 1 4d x x x x
0x
4
:
2 2 2 2
22
6 1 1 1
6 7 6 7x x x x x x
x x x x
1
xt
x
2
22
1
2xt
x
4
22
2 2 2 2 2
2 6 7 6 9 3 = 3x t t x t t x t xt x
17
Thay
1
tx
x
:
2
4 3 2
2
2
22
1
6 7 6 1 3
= 3 1
3 13 13 3
22
x x x x x x x
x
xx
xx
2.1.7. Phƣơng pháp hệ số bất định
2.1.7.1. Phƣơng pháp
fx
và
gx
2.1.7.2. V d
V d 7: :
32
3
) 2 2 12
) 19 30
a x x x
b x x
Lời giải
32
) 2 2 12a x x x
2x
32
2 2 12f x x x x
. Nên ta
p
2x
2
2f x x x bx c
3
x
32
2 2 2x b x c b x c
:
22
4
22
6
2 12
b
b
cb
c
c
2
2 4 6f x x x x
2
46xx
R
)
3
) 19 30b x x
18
Ta có
2x
3
19 30g x x x
, nên ta phân tích
2x
2
2g x x x bx c
3
x
32
2 2 2x b x b c x c
20
2
2 19
15
2 30
b
b
bc
c
c
V
2
2 2 15g x x x x
2 3 5x x x
2.1.8. Phƣơng pháp xét giá trị riêng
2.1.8.1. Phƣơng pháp
2.1.8.2. V d
V d 8: Phân
2 2 2
P x y z y z x z x y
Lời giải
hay
x
y
thì
22
0P y y z y z y
P
cho
xy
.
Ta
x
y
, thay
y
z
, thay
z
x
thì
P
không thay
P
x y z x
P
xy
yz
và
zx
.
P
có :
k x y y z z x
.
k
P
, , x y z
.
2 2 2
x y z y z x z x y k x y y z z x
19
, , x y z
nên ta gán
, , x y z
2; 1; 0x y z
:
4.1 1. 2 0 .1.1. 2 2 2
1
kk
k
P x y y z z x x y y z x z
.
Chú ý:
, , x y z
0x y y z z x
.
2.1.9. Phối hp nhiu phƣơng pháp
2.1.9.1. Phƣơng pháp
2.1.9.2. V d
V d 9: :
23
32
) 4 4 4
) 2
a x y xy y y
b x x x
Lời giải
2 3 2 2
2
2
) 4 4 4 4 4 4
2 4
2 2 2 2
a x y xy y y y x x y
y x y
y x y x y
3 2 2
2
) 2 2 1
1
b x x x x x x
xx
3 2 3 2 2
2
2
2
2
1 1
1
1
x x x x x x x
x x x x
x x x
xx
2.2. Ứng dng của bài toán phân tch đa thức thành nhân tử ở phổ thông
20
2.2.1. Ứng dng vào bài toán rút gọn
V d 1:
4
4 3 2
64
8 16 64
x
M
x x x
Lời giải
4 3 2
8 16 64 0x x x
4
4 3 2
4 2 2
22
2
22
2
2
22
22
2
2
64
8 16 64
16 64 16
8 16 64
8 16
4 64
4 8 4 8
4 8 4 8
48
48
x
M
x x x
x x x
x x x
xx
xx
x x x x
x x x x
xx
xx
2
2
48
48
xx
M
xx
V d 2:
4 2 2 2 2
4 2 2 2 2
22
22
a b a a b
A
a b a a b
Lời giải
4 2 2 2 2
2 2 0a b a a b
4 2 2 2 2
4 2 2 2 2
22
22
a b a a b
A
a b a a b
