Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.: Khóa luận tốt nghiệp toán học

1
CHƯƠNG 1.
MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu
Giáo dục tính tích cực, chủ động và phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn
đề cho học sinh là vấn đề cần được quan tâm trong mọi thời đại. Công nghệ
thông tin ngày càng có vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực, trong đó có giáo
dục. Nó đã, đang và sẽ có tác động trực tiếp đến nội dung, phương tiện và
phương pháp dạy học. Vì vậy, mỗi nhà trường THPT cần trang bị cho học
sinh kỹ năng không ngừng tự bổ sung kiến thức và đổi mới tri thức, phát triển
kỹ năng tích cực học tập của học sinh, biết tự mình thu thập tri thức và vận
dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhằm đáp ứng nhu cầu trên, hiện nay, các
chương trình giáo dục toán phổ thông thường tạo điều kiện cho tất cả học sinh
để: Xây dựng kiến thức toán thông qua giải quyết vấn đề; Giải quyết vấn đề
nảy sinh từ toán học và những hoàn cảnh khác; Áp dụng và mô phỏng nhiều
phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề; Theo dõi và phản ánh quá trình
giải quyết vấn đề.
Theo PISA (chương trình đánh giá Học sinh Quốc tế - Programme for
International Student Assessment) thì học sinh lớp 10 đang ở lứa tuổi mười
lăm, lứa tuổi vừa hoàn thành phổ cập chính thức bậc trung học cơ sở, cũng là
giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quyết định, ở đó năng lực toán của học sinh
sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp
theo và nghề nghiệp sau này. Do đó, để hình thành các năng lực về toán cho
học sinh là điều rất quan trọng.
Trong chương trình Đại số lớp 10, có rất nhiều khái niệm, định lý… khá trừu
tượng và vẫn còn nhiều giáo viên dạy theo lối truyền thụ, thiếu mô hình trực
quan động nên học sinh thường gặp khó khăn trong việc nắm khái niệm cũng
như nhầm lẫn các khái niệm. Khi đó, sẽ xảy ra trình trạng học sinh phải học
thuộc định nghĩa, định lý và vận dụng máy móc vào giải bài tập mà không
hiểu được bản chất của các khái niệm cơ bản. Chúng tôi cho rằng, các phần

mềm động có thể giúp ích cho việc học toán, nghĩa là: thông qua các biểu diễn

2
trực quan động được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Skepchpad
(GSP), giáo viên có thể sử dụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá
trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề, khảo sát, giải quyết vấn đề, củng cố,
kiểm tra và đánh giá, thông qua đó học sinh có thể phát hiện và giải quyết vấn
đề một cách dễ dàng, nhanh chóng.
1.1. Nhu cầu nghiên cứu
Giải quyết vấn đề là mục tiêu chính của việc học toán. Với học sinh, đó là kỹ năng
cơ bản cho công việc ở tương lai. Khác với một số nước trên thế giới, các hoạt
động tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động chưa có vị trí riêng trong
nội dung dạy học hay các chủ đề của chương trình toán ở nước ta. Do đó, đa số
học sinh đều bỡ ngỡ khi tiếp xúc với các kiểu nhiệm vụ này, đặc biệt là sử dụng
các biểu diễn trực quan động để giải quyết các vấn đề toán học và thực tế.
Phương pháp dạy học luôn cần được đổi mới để phù hợp với các yêu cầu của
thời đại và mỗi người giáo viên luôn mong muốn mang đến cho học sinh
những giờ học thực sự hiệu quả, giáo viên truyền đạt đầy đủ kiến thức nhưng
mất không quá nhiều thời gian, học sinh chủ động hoàn toàn. Lấy ví dụ, để rút
ra được định lý về dấu của tam thức bậc hai, giáo viên phải có 6 đồ thị của
hàm số bậc hai tương ứng với các trường hợp. Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào
để học sinh có thể rút ra được kết luận mà không phải dùng nhiều hơn một đồ
thị? không mất quá nhiều thời gian trên lớp? Sử dụng biểu diễn trực quan
động là một câu trả lời phù hợp.
Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, nâng cao các năng lực toán cho học
sinh, việc đổi mới phương pháp cần được thực hiện theo hướng tích cực hoá
người học, cần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, chủ động, tích cực và sáng tạo. Thích hợp với định hướng đó có
nhiều xu hướng dạy học nhằm nâng cao năng lực đại số với sự hỗ trợ của các
biểu diễn trực quan động trên máy tính.

1.2. Đề tài nghiên cứu
Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc nâng cao năng lực
toán của học sinh THPT nói chung và trong việc nâng cao năng lực đại số của

3
học sinh lớp 10 nói riêng là một nhiệm vụ thiết thực, có ý nghĩa. Các mô hình
toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức và
nâng cao năng lực toán học cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này
cũng như áp dụng nó vào giảng dạy cần được thực hiện một cách phổ biến.
Chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng
lực đại số của học sinh lớp 10”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao
năng lực đại số của học sinh lớp 10” là:
 Lên ý tưởng và thiết kế các mô hình động, phù hợp với khả năng của
học sinh để học sinh có thể thực hiện được các thao tác trên mô hình nhằm đạt
hiệu quả trong giờ dạy.
 Nắm bắt được năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải
quyết các vấn đề toán học và các vấn đề thực tế bằng cách sử dụng biểu diễn
trực quan động.
 Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động đối với việc nâng
cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Dựa vào các mục đích ở trên, nghiên cứu này sẽ trả lời ba câu hỏi sau:
 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại
số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao
trong giảng dạy và học tập?
 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Những năng lực đại số nào mà học sinh
lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và thực tế thông qua thao
tác trên các biểu diễn trực quan động?

 Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Các bài toán có sử dụng biểu diễn trực
quan động có vai trò như thế nào đối với việc nâng cao năng lực đại số của
học sinh lớp 10?
4. Định nghĩa các thuật ngữ
 Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm
của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình
ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công

4
cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và
phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi,
2003, [14, tr. 217).
 Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo
dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn
trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng
hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn
trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh
Phúc, 2010, [4]).
 Biểu diễn bội: BDB là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và
khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác
nhau (Minh Phúc, 2010, [4]).
 Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để
trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng.
 Biểu diễn trực quan động: BDTQĐ trên máy tính là biểu diễn trực
quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong
biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP,
có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức
toán (Minh Phúc, 2010, [4]).
 Vấn đề: Vấn đề là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải
quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương

pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [10]).
 Suy luận: Suy luận chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy
tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây
dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L. D.,2004, [15]).
 Tư duy: là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá
trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện
tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.
 Tư duy toán học: là khả năng của người học để đạt một kết luận có cơ
sở từ những dữ liệu toán học đã cho. Đặc trưng quan trọng nhất của tư duy
toán học là tính có vấn đề, tư duy phải được gắn với những tình huống có vấn

5
đề. Học sinh phải đặt được giả thuyết, rồi từ những mối liên hệ trong tình
huống có vấn đề để đi đến kết luận và lý giải kết quả đạt được. Những kết quả
này sẽ được tổng hợp thành những ý tưởng toán học mới. Ở đây, chúng ta chia
thành bốn thành phần chính là nhắc lại, hiểu, phê phán và sáng tạo. Với quan
điểm này thì quá trình suy luận toán học là một bộ phận của tư duy toán học,
nó nằm trên mức độ tư duy nhắc lại.
 Tư duy logic: là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy
nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình
phát triển.
 Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan
hệ, suy nghĩ mới về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.
 Tư duy phê phán: là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi
khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua việc học
sinh có khả năng nhận ra giả thiết và các yêu cầu của bài toán, hoặc phát hiện
được tính hợp lý trong các điều kiện của bài toán, tính đầy đủ của lời giải Tư
duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào các yếu tố của bài toán
hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin.
5. Ý nghĩa của nghiên cứu

 Thứ nhất: Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy và người học
những mô hình động có thể sử dụng trong giờ học nhằm hỗ trợ học sinh giải
quyết một số vấn đề.
 Thứ hai: Kết quả thăm dò sẽ cung cấp một cái nhìn khách quan về
năng lực đại số của học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán bằng
cách sử dụng biểu diễn trực quan động.
 Thứ ba: Kết quả của nghiên cứu sẽ giúp chúng ta thấy được những vai
trò của các biểu diễn trực quan động trong quá trình giúp học sinh giải quyết
vấn đề.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và các phụ lục.
Chương 1: Mở đầu

6
Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, mục đích nghiên cứu,
các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên
cứu này.
Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan
Trong chương 2, chúng tôi trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu,
nền tảng lý thuyết gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết về biểu diễn bội và lý
thuyết về trực quan động. Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu cơ sở lý thuyết theo
khuôn khổ đánh giá của PISA. Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên
quan.
Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu
Trong chương 3, chúng tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng
nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân
tích dữ liệu và các hạn chế.
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình
nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu nêu ra ở chương 1.

Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng
Trong chương này, trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu từ đó lý giải
cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu.
7. Tóm tắt
Trong chương 1, chúng tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài “Sử dụng
biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp
10.”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa
một số thuật ngữ cho khóa luận. Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ
sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2.

7
CHƯƠNG 2.
NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
1. Giới thiệu
Mục đích của chương này là xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu, lịch sử của
vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết, cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh
giá toán của PISA, biểu diễn bội và biểu diễn trực quan động, tóm tắt sơ lược
các nghiên cứu trước đây liên quan đến đề tài.
2. Nền tảng lý thuyết
2.1. Lý thuyết kiến tạo
Trong quá trình dạy học, điều quan trọng nhất không phải là giáo viên dạy
những gì mà học sinh học được những gì. Do đó, khi dạy người giáo viên
không những quan tâm đến phương pháp, nội dung giảng dạy của mình mà
còn phải chú ý đến việc học sinh học như thế nào. Lý thuyết kiến tạo nhằm trả
lời cho câu hỏi “con người học như thế nào?”. Bằng cách xây dựng lý thuyết
từ những biểu diễn trực quan động, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái
niệm, định lý, hệ quả và có thể đi từ nhận biết sang hiểu nó. Về cơ bản, lý
thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố là
đồng hóa và điều ứng.
 Đồng hóa: nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết

thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận
thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;
 Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với
những sơ đồ nhận thức đang có. Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương
hợp với thông tin trái ngược đó.
Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau:
 Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ
không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;
 Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của
chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập
đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể.

8
Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của
hoạt động nhận thức của chúng ta. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy
phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác
nhau. Và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ học sinh xây dựng
kiến thức chính xác. Đôi khi học sinh kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng
trong trường hợp cụ thể. Khi đó giáo viên cần phải đưa ra thêm những tình huống
cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình. Một khi học sinh nhận ra rằng
tri thức được kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có thể điểu chỉnh
và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp.
Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tập tích cực gắn liền với
sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của học sinh. Tích tích cực học tập
liên quan mật thiết với động cơ học tập của học sinh. Động cơ đúng tạo ra
hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong
cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú
và bồi dưỡng động cơ học tập (Trần Vui, 2006, [9]).
2.2. Biểu diễn bội

2.2.1. Giới thiệu
Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong
những chủ đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây. Biểu diễn bội
cung cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái
niệm toán, định lý, hệ quả được học. Điều quan trọng đặt ra là những biểu diễn
nào được dùng cho những khái niệm, định lý riêng biệt. Các câu hỏi sau đây cần
có được những câu trả lời xác đáng: (1) Với một khái niệm đại số, một định lý,
sử dụng biểu diễn bội như thế nào để hỗ trợ học sinh nắm bắt khái niệm, định lý
đó? (2) Các biểu diễn thao tác được đóng vai trò như thế nào trong hỗ trợ học
sinh kiến tạo tri thức toán? (3) Học sinh chọn lựa các thao tác trên các biểu diễn
như thế nào để giải quyết các vấn đề toán được đặt ra?
Biểu diễn trực quan động với thế mạnh của mình có thể thể hiện đồng thời
nhiều loại biểu diễn khác nhau và hỗ trợ tốt cho học sinh khám phá kiến thức.

9
2.2.2. Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán
Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán
như sau:
 Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;
 Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;
 Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;
 Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn.
Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc
khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem
như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. (Minh
Phúc, 2010, [4]).
Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3
phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế 
Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn
được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên

theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn:
Giai đoạn
phát triển
Phân loại Mô tả
Biểu diễn ký
hiệu
Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán.
Biểu diễn
ký hiệu
Biểu diễn ngôn
ngữ
Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng ngày
như tiếng Việt, tiếng Anh.
Biểu diễn
biểu tượng
Biểu diễn minh
họa/ trực quan
Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ
đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc
giả lập ba chiều trên máy tính.
Biểu diễn thực
thao tác được
Thực hiện các thao tác lên các mô hình
ba chiều thực hoặc mô hình cho phép
thao tác. Biểu diễn thực tế
Biểu diễn thực
Dựa trên các trạng thái thực của đối
tượng.

10

2.2.3. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội
Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng học sinh phải kiến tạo tri thức cho bản thân
bởi chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến
thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân
người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Từ đó, chúng ta
không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ một
biểu diễn như nhau.
Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán
học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để học sinh nắm bắt được
bản chất toán học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán
học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh
hoặc biểu hiện khác nhau.
Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn
nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng
ta tin rằng học sinh nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó
được khám phá bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích
(Minh Phúc, 2010, [4]).
2.3. Biểu diễn trực quan động
2.3.1. Biểu diễn trực quan động trên máy tính
Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho
phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự
hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được
các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán. Thao tác động
theo William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:
 Thao tác trực tiếp. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình
bậc nhất 1 ẩn là một đa giác rồi lấy một điểm di động M trên biên của đa giác
đó. Bạn nắm lấy điểm M rồi kéo rê nó đến trùng với các đỉnh của đa giác. Bạn
sẽ nói “Tôi kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và
nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”.

11
 Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục
trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên
kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm. Chẳng hạn, nếu tính độ dài cung
¼
AM
trên đường tròn lượng giác thì giá trị hiển thị độ dài của cung trên màn
hình sẽ thay đổi tương ứng với sự thay đổi vị trí của điểm M khi kéo rê M.
 Môi trường tối ưu cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên
quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá chúng, làm việc
với chúng. Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và
bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ
không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ.
Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo
cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động
trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể cho
học sinh tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến
thức cũng như giải quyết vấn đề.
2.3.2. Biểu diễn trực quan động – Chiếc cầu nối giữa dạy và học
Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy - học toán đã đang được nhiều
nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả với những giáo viên có kinh
nghiệm dạy học nhất, họ cũng phải thấy rằng phải mất nhiều hơn một lần giải
thích một cách rõ ràng để học sinh nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào
đó. Để cho học sinh nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm,
không chỉ đơn giản là bằng cách giáo viên nói cho các em biết các quan hệ đó.
Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là
những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học.
Vai trò của biểu diễn trực quan được nhấn mạnh với các ví dụ về thống kê, số
học, hình học, đại số và giải tích. BDTQĐ được xem như là một công cụ để
hiểu toán, để đạt đến sự hiểu biết đó, chúng ta cần xem xét trực quan hóa dưới

dạng: Thường biểu diễn với các biểu diễn có tính đồ thị, thường xảy ra không
phải như là một chủ đề cô lập, mà trong một bối cảnh toán học có sự hiện diện
của các biểu diễn số và ký hiệu.

12
Như vậy, BDTQĐ tạo nên một công cụ minh họa hoàn hảo cho những ý tưởng
của giáo viên cũng như của học sinh cần diễn đạt, nó kích thích quá trình trao
đổi toán, tạo hứng thú học tập, tự đặt câu hỏi và định hướng giải quyết vấn đề.
Nếu việc dạy toán ở một góc độ nào đó được xem như là một quá trình truyền
thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng
tỏ các ý tưởng toán học, giáo viên tìm kiếm cách để thuyết phục học sinh
(Vĩnh Lợi, 2010, [3]).
2.3.3. Biểu diễn trực quan động - Công cụ của tư duy
BDTQĐ bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình toán học được thiết kế bằng
những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết yếu để
dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế
bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan
về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng
thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng có thể
hỗ trợ học sinh khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học,
đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số. Với những công cụ và công nghệ phù
hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy
luận và giải quyết các vấn đề toán học.
Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho
học sinh một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học
nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá
trình mà nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ.
Có thể nói rằng, việc sử dụng BDTQĐ sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho
học sinh tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm
chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm

cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy
khả năng tư duy của học sinh (Vĩnh Lợi, 2010, [3]).
2.3. Giải quyết vấn đề
Giải quyết vấn đề là một thành tố quan trọng của quá trình dạy học, nó không chỉ
là mục đích mà còn là phương tiện chính của việc học toán. Có nhiều phương
pháp cụ thể để giải quyết vấn đề, dưới đây là mười phương pháp phổ biến thường
được sử dụng ở bậc THPT trong những tình huống toán và cuộc sống:

13
 Phát hiện quy luật;
 Phân tích đi lên;
 Giải theo một cách nhìn khác;
 Giải một bài toán đơn giản hơn;
 Xét các trường hợp đặc biệt;
 Vẽ hình;
 Đoán và thử;
 Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu);
 Sắp xếp các dữ liệu;
 Suy luận logic.
Giáo viên cần giúp học sinh phát triển những phương pháp cụ thể để giải
quyết vấn đề. Những vấn đề tốt tạo cho học sinh cơ hội để củng cố và mở
rộng tri thức của mình và kích thích việc tìm kiếm tri thức mới. Hầu hết các
khái niệm toán học đều có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa
trên những kinh nghiệm quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những
tình huống toán học. Để phát triển tư duy toán học cho học sinh, giáo viên cần
phải chọn các vấn đề toán học có một trong những đặc điểm:
 Hấp dẫn và thách thức học sinh;
 Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác;
 Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;
 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán hoặc áp dụng một kỹ năng toán;

 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;
 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát.
Với các vấn đề thực tế không quen thuộc, chúng đòi hỏi học sinh phải có các
kỹ năng tư duy và suy luận bậc cao, khả năng lập luận, chuyển thể và giải
thích giữa các biểu diễn khác nhau Vì vậy, quá trình học sinh tìm kiếm và sử
dụng các biểu diễn toán để giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn là cơ
hội tốt để giáo viên đánh giá năng lực toán của các em (Ngọc Bích, 2010, [1]).
3. Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA
PISA là chương trình Đánh giá học sinh Quốc tế do các quốc gia công nghiệp
phát triển thuộc Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD và một số quốc

14
gia khác được tiến hành ba năm một lần, bắt đầu từ năm 1997. Dựa trên cơ sở
đánh giá hiểu biết toán của học sinh tuổi 15 của PISA, chúng tôi nghiên cứu
và đưa ra đánh giá về năng lực đại số của học sinh tuổi 15 để từ đó xây dựng
các mô hình trực quan động có hiệu quả.
3.1. Năng lực toán
Theo PISA, những quá trình toán học mà học sinh áp dụng khi các em nổ lực
giải quyết vấn đề được hiểu là các năng lực toán. Để xác định và kiểm tra
những năng lực này, PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học sau
đây (Trần Vui, 2008, [12]).
1) Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt câu hỏi (“Có
hay không ?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta
tìm ?”); biết loại câu trả lời có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân
biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết,
ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như hạn chế
của các khái niệm toán đã cho.
2) Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán
học là gì và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và
đánh giá các chuỗi lập luận toán; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề

bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và
trình bày các lập luận toán.
3) Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách,
về những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như theo dạng
viết, hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi người khác về
những vấn đề đó.
4) Mô hình hoá: Điều này liên quan đến việc chuyển thể “thực tế”
thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán theo nghĩa “thực tế”; làm
việc với một mô hình toán; làm cho các mô hình thoả đáng; phản ánh, phân
tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình
và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); giám sát và
điều khiển quá trình mô hình hoá.

15
5) Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và
xác định những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần tuý toán”,
“ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác
nhau theo nhiều cách.
6) Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hoá, chuyển thể,
giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của những đối
tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu
diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn
tuỳ theo bối cảnh và mục đích.
7) Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình thức và các phép toán:
Điều này liên quan đến việc giải mã, giải thích ngôn ngữ kí hiệu và hình thức,
hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự
nhiên thành ngôn ngữ kí hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức
chứa các kí hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực
hiện các phép tính.
8) Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến

việc hiểu biết và có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau
(bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và
biết các hạn chế của những loại công cụ đó.
3.2. Cụm năng lực toán
Để mô tả và báo cáo một cách hiệu suất các năng lực của học sinh, cũng như
thế mạnh và điểm yếu theo một quan điểm quốc tế thì người ta cần đến một
vài cấu trúc. Một cách đưa ra cấu trúc đó theo cách dễ hiểu và quản lý được là
mô tả theo các cụm năng lực, dựa trên các loại nhu cầu nhận thức cần đến để
giải quyết các bài toán khác nhau.
PISA chọn các hoạt động nhận thức để mô tả các năng lực toán trên theo ba cụm
năng lực: cụm tái tạo, cụm liên kết và cụm phản ánh. Ba cụm năng lực gói gọn các
quá trình nhận thức khác nhau cần giải quyết nhiều dạng vấn đề, phản ánh cách thức
các quá trình toán học tiêu biểu được huy động để học sinh giải quyết các vấn đề
nảy sinh khi học sinh tương tác với thế giới của mình.

16
1) Cụm tái tạo: Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến
sự tái tạo các kiến thức đã được thực hành. Chúng bao gồm những điều
thường hay được dùng nhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hoá và kiểm tra ở
lớp. Những năng lực này là:
 Kiến thức về các sự kiện và sự biểu diễn các vấn đề chung;
 Sự nhận ra các tương đồng;
 Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;
 Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;
 Áp dụng các thuật toán thông thường và kỹ năng có tính kỹ thuật;
 Thao tác với các biểu thức chứa kí hiệu và công thức theo dạng chuẩn;
 Tiến hành các tính toán.
Các câu hỏi đánh giá các năng lực thuộc cụm tái tạo có thể được mô tả với
những chỉ số chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen
thuộc. Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn tiêu chuẩn quen

thuộc được thực hành về các đối tượng toán học nổi tiếng; chuyển dịch giữa
các biểu diễn chỉ liên quan khi sự chuyển dịch chính nó là một phần được thiết
lập của các biểu diễn được sử dụng.
2) Cụm liên kết: Các năng lực cụm liên kết được xây dựng trên các
năng lực tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn
toàn quen thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc.
Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự
tích hợp và liên kết tài liệu từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến
thức chương trình khác nhau, liên kết giữa các biểu diễn khác nhau của một
vấn đề và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành.
Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn của các đối tượng toán
học ít quen thuộc; chọn và chuyển dịch giữa các dạng biểu diễn khác nhau của
các đối tượng và bối cảnh toán học, chuyển thể và phân biệt các dạng biểu
diễn khác nhau.
3) Cụm phản ánh: Các năng lực cụm phản ánh tập trung vào khả
năng của học sinh phản ánh về các phương án giải quyết vấn đề hay sử

17
dụng chúng để thiết lập các tiếp cận có tính sáng tạo hơn những gì mà học
sinh đã thực hành một cách thành thạo. Đánh giá liên quan đến cụm phản
ánh gồm có các suy luận bậc cao, lập luận, trừu tượng hoá, tổng quát hoá
và xây dựng mô hình.
Người ta có thể dùng các mô tả trên để phân loại các câu hỏi toán và sắp xếp
chúng vào một trong các cụm năng lực. Một cách để làm điều đó là phân tích
các yêu cầu của câu hỏi. Cụm năng lực nào cung cấp mô tả phù hợp nhất về
các yêu cầu của câu hỏi trong mối liên quan với các cụm năng lực đang xét thì
câu hỏi sẽ được sắp xếp vào cụm năng lực đó.
3.3. Toán học hoá
OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận và giao
tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và

lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh. Giải quyết vấn đề như vậy đòi
hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các
kinh nghiệm học đường và cuộc sống. Trong OECD/PISA, một quá trình cơ
bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là
“toán học hóa”.
Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình,
“các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục
đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ
hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường
hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng
các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678).
Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA
được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa. Những bước này được
chỉ ra ở Hình 1.

18

Hình 1. Quy trình toán học hóa
(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp;
(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả
thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán
học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện
trung thực cho bối cảnh thực tế;
(4) Giải quyết bài toán;
(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế,
bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải.
Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn.
Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang
toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 Xác định toán học phù hợp tương tự với một vấn đề được đặt ra
trong thực tế;
 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo
các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;
 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu
và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;
 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;
 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

19
 Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán.
Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá
trình có thể tiếp tục trong toán học. Học sinh sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu
có… không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể
tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết. Các em
sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh
nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập
luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung
là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988). Tuy
nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này.
Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:
 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;
 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;
 Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;
 Kết hợp và tích hợp các mô hình;
 Lập luận;
 Tổng quát hóa.
Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan
đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây,
học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận

toàn bộ quá trình, phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá
trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của
quá trình phản ánh và công nhận này là:
 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;
 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;
 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;
 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó.
Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình
toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải
được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc (Trần Vui, 2008, [12]).

20
4. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
4.1. Khái niệm hình học động
Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi.
Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các
phần mềm như Skepchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công cụ
cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử.
Các bản vẽ trên Skepchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các
công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Skepchpad nhớ
các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối
tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là một điểm di động trên biên của đa
giác, nhớ đường thẳng d luôn đi qua điểm A…
Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh
luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán
học của học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu
ích trong việc phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến các phần mềm tới
tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu
rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho
giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết

kế sẵn trong dạy và học Toán.
4.2. Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo
dục toán
Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời
gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn
mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời
khỏi những ý tưởng toán học. Một số khác khẳng định những lợi ích quan
trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực,
bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc
sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh.
PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung
vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề
trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá

21
kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương
trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức
trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [17, tr. 11]). PISA
cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng
cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp
chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung
toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực.
5. Các kết quả nghiên cứu liên quan
Từ trước đến nay, nhiều tác giả nghiên cứu về vấn đề các mô hình động có vai
trò như thế nào trong quá trình giúp học sinh kiến tạo tri thức, tuy nhiên mỗi
người có cách tiếp cận riêng theo ý tưởng của mình. Ở phần này, tôi sẽ giới
thiệu một số nghiên cứu đã có trước đây.
Một số nghiên cứu:
 Michael (2006) cùng cộng sự tiến hành một nghiên cứu vai trò của
các biểu diễn bội với việc hiểu các mối quan hệ toán học trong quy luật. Các

mức độ này hiểu là:
1) Rút ra các mối quan hệ toán học dựa vào kinh nghiệm: học sinh ở
mức độ này có thể tiếp tục một quy luật;
2) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tiềm ẩn: Học sinh ở mức độ này
có thể tiên đoán các số hạng của quy luật ở một vị trí xa hơn;
3) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tường minh: Học sinh ở mức độ
này có khả năng tổng quát quy luật và đưa ra một quy tắc bằng biểu tượng hay
bằng lời.
Kết quả nghiên cứu đã khẳng định rằng: với các quy luật phức tạp, dạng biểu
diễn bằng lời dường như gây nhiều khó khăn hơn cho học sinh ở tất cả các
mức độ nhận thức so với các dạng biểu diễn khác. Trong khi đó, biểu diễn
trực quan động giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc dự đoán các số hạng ở
các vị trí xa hay tổng quát hóa, có lẽ vì nó giúp học sinh nhận ra một vài mối
quan hệ không nhìn thấy được khi dùng các biểu diễn bằng lời. Spicer (2000)
đã nhận định: các biểu diễn trực quan động có thể tạo ra sức mạnh hữu hình
cho những gì không thể nhìn thấy hoặc tưởng tượng được.

22
 Bolyard (2005), Steen, Brooks và Lyon (2006) cũng đã đề cập đến vai trò
của các biểu diễn trực quan động: nó làm cho những đối tượng toán học trừu tượng
có ý nghĩa hơn, thúc đẩy động cơ và nâng cao kết quả học tập của học sinh.
 Trong bài báo với tiêu đề “ Những đóng góp của các biểu diễn trực quan
động trong việc học toán” - Trần Vui, đã xác định vai trò của biểu diễn trực quan
trong hệ thống biểu diễn toán và các đặc trưng của nó đối chiếu với biểu diễn đại số.
Những kết quả nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa
các lời giải toán học thuần tuý ký hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán.
 Nhóm tác giả: Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc
đã nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ học sinh khám phá các chủ đề
trong nội dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động thiết
kế bằng phần mềm GSP. Các sách này được thiết kế bám sát những nội dung

trong chương trình của SGK. Những đầu sách này là tài liệu bổ ích cho học
sinh và giáo viên trong dạy học môn toán (Vĩnh Lợi, 2010, [3]).
Các nghiên cứu trên đã đề cập chủ yếu đến vai trò của các BDTQĐ, giúp học
sinh khám phá một số kiến thức trong nội dung toán ở THPT. Và chưa khai
thác đến vấn đề quá trình học sinh khám phá kiến thức, tương tác với các thao
tác động trên mô hình như thế nào? học sinh thể hiện các năng lực gì của mình
qua các thao tác? sử dụng các biểu diễn trực quan động tác động như thế nào
đến các năng lực đại số của học sinh? Bên cạnh việc nghiên cứu lại những vai
trò của các biểu diễn trực quan động, trong khóa luận này, chúng tôi sẽ đề cập
thêm đến những vấn đề đó.
Tóm tắt chương 2. Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề
liên quan đến lịch sử đề tài như: khái niệm hình học động, xu hướng kết nối
toán học với cuộc sống thực tiễn. Chúng tôi đã cung cấp nền tảng lý thuyết
dựa theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA. Từ cơ sở và các định hướng này,
chúng tôi sẽ thiết kế quá trình nghiên cứu trong chương 3.

23
CHƯƠNG 3.
PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU
1. Giới thiệu
Mục đích của nghiên cứu là sử dụng các BDTQĐ để nâng cao năng lực
đại số của học sinh lớp 10. Chương này nhằm giới thiệu phương pháp và quy
trình nghiên cứu cho khóa luận, gồm các mục: thiết kế quá trình nghiên cứu,
xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu,
trình bày quy trình thu thập và phân tích dữ liệu, các hạn chế khi thực hiện
theo phương pháp và quy trình nghiên cứu đó.
2. Thiết kế quá trình nghiên cứu
Quá trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây:
 Nghiên cứu về phần mềm GSP để từ đó thiết kế các biểu diễn động
giúp học nắm được các kiến thức và giải quyết một số bài toán trong chương

trình SGK Đại số 10 Nâng cao.
 Phân tích và nghiên cứu các nội dung trong SGK, để từ đó lựa chọn
các mảng kiến thức có thể sử dụng biểu diễn trực quan động nhằm giúp học
sinh nâng cao năng lực đại số trong quá trình tự kiến tạo nên các tri thức cho
bản thân.
 Tìm hiểu những năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải
quyết các bài toán có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động.
 Nghiên cứu tác động tích cực của các biểu diễn trực quan động trong
việc giúp học sinh nâng cao năng lực đại số.
Cụ thể:
Những nội dung trong SGK Đại số 10 Nâng cao có sử dụng các biểu diễn trực
quan động
 Hàm số bậc nhất và bậc hai
 Phương trình và hệ phương trình
 Bất đẳng thức và bất phương trình
 Góc và công thức lượng giác

24
Trong mỗi nội dung, chúng tôi tiến hành thiết kế như sau:
 Bước 1: Lựa chọn các mảng kiến thức và một số bài toán liên quan.
 Bước 2: Xây dựng mô hình.
 Bước 3: Xây dựng hệ thống các câu hỏi.
 Bước 4: Đánh giá các câu trả lời của học sinh.
 Bước 5: Phân tích sư phạm.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 10/2 Trường THPT Chuyên Quốc Học.
4. Công cụ nghiên cứu
 Các mô hình động, kế hoạch bài học, phiếu học tập.
 Bảng khảo sát thu thập thông tin phản hồi về vai trò của các biểu diễn
trực quan động (khả năng thu nhận kiến thức khi có các biểu diễn trực quan

động có dễ dàng hơn không, các em gặp những khó khăn gì khi giáo viên sử
dụng biểu diễn trực quan động để kiến tạo kiến thức cho các em…).
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
 Nghiên cứu những vấn đề trong chương trình và trong SGK, các bài
toán có liên quan đến đề tài.
 Nghiên cứu những bài toán, mô hình toán, kế hoạch bài học theo
từng chủ đề và có thể phát triển chúng theo hướng đề tài.
 Nghiên cứu cơ sở lý luận về hiểu biết đại số theo hướng PISA đề từ
đó đưa ra những đánh giá đúng về năng lực đại số của học sinh.
5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu định tính trong giáo dục toán
 Nghiên cứu hoạt động
 Quan sát
 Phỏng vấn
6. Quy trình thu thập dữ liệu
 Thu thập dữ liệu của phần mềm GSP thông qua phần hướng dẫn, hỗ
trợ để xây dựng các mô hình động, công cụ giúp học sinh kiến tạo tri thức và
giải các bài toán liên quan.

25
 Sử dụng 4 mô hình liên quan đến nội dung áp dụng định lý về tịnh
tiến đồ thị (file kl | 1. gsp và kl | 2. gsp); định lý về dấu tam thức bậc hai (file
kl | 14. gsp và kl | 15. gsp) nhằm mục đích giúp học sinh nhớ, hiểu và vận
dụng được các định lý, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề. Chuẩn bị
các phiếu học tập, hệ thống bảng hỏi dùng cho nghiên cứu. Chúng tôi sẽ tiến
hành giới thiệu 4 mô hình dạy học đã thiết kế cho học sinh, học sinh quan sát
các mô hình, thực hiện các thao tác trên mô hình và trả lời các câu hỏi trên
phiếu học tập.
 Thông qua các phiếu hỏi cho học sinh, chúng tôi tiến hành thu thập

dữ liệu từ phía học sinh để nhận định về sự tác động tích cực của biểu diễn
trực quan động trong việc học toán của học sinh.
 Tiến hành nghiên cứu hoạt động: thông qua hoạt động dạy – học của
giáo viên và học sinh, chúng tôi nghiên cứu để trả lời các câu hỏi: Quá trình
suy nghĩ, lập luận của học sinh khi thực hiện các thao tác trên mô hình? Làm
thế nào để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10 thông qua các biểu
diễn trực quan động?.
7. Quy trình phân tích dữ liệu
 Với quá trình nghiên cứu phầm mềm động GSP và phân tích SGK,
chúng tôi tiến hành thống kê các kiến thức sẽ sử dụng BDTQĐ để từ đó thiết kế
nên các mô hình động chính xác về mặt toán học, phù hợp và có hiệu quả.
 Với những dữ liệu được thu thập trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi
tiến hành thống kê các kết quả thu được, phân tích quá trình tiếp thu tri thức góp
phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, thứ hai và thứ ba, thống kê các tác động
tích cực của biểu diễn động trong việc học toán đối với học sinh, các thế mạnh và
các hạn chế của các biểu diễn trực quan động.
8. Các hạn chế
 Trong quá trình thực nghiệm, học sinh được thực hiện trực tiếp các thao
tác trên các mô hình. Do điều kiện cơ sở vật chất của các trường THPT nên
đối tượng nghiên cứu chỉ gồm 15 học sinh lớp 10/2 trường THPT Chuyên