phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



ĐẶNG TÚ HỒI


PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ:
THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ


CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ : 60.46.36




TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






THÁI NGUYÊN – 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Công trình đựoc hoàn thành tại :
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THUỶ




Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Bường
Phản biện 2: GS.TS. Trần Vũ Thiệu




Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày 07 tháng 11 năm 2010




Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và thư viện Trường Đại học Khoa học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN

Nguyễn Thị Thu Thuỷ và Đặng Tú Hồi (2010). “Kết quả số của
phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu”. Tạp chí
Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 70(08), tr.61 - 64.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Ax = f,
A : X −→ X
∗
h
X X
∗
X
H
x
h,δ
α
F
h,δ
α
(x) = A
h
(x) − f
δ

2
+ αx
∗

− x
2
α > 0 h δ x
∗
(A
h
, f
δ
) (A, f)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
α = α(h, δ)
x
h,δ
α(h,δ)
h δ
A : X → X
∗
M : X → X
∗
h U
s
X
A
h
(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ

α = α(δ)
A
h
≡ A
α δ
ρ(α) =
˜
Kδ
p
, 0 < p < 1,
˜
K ≥ 1,
ρ(α) = αx
δ
α

α = α(δ)
ρ(α) = δ
p
α
−q
, 0 < p ≤ q
A
h
≡ A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X
X

∗
X
R
n
n
∅
x := y x y
∀x x
∃x x
I
A
T
A
a ∼ b a b
A
∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

A(x) = f,
A : X → Y X
Y f Y
A X
Y
A(x) = f f ∈ Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A X
Y
x f x =
R(f) (X, Y ) ε > 0
δ(ε) > 0 ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
i
= R(f
i
), x
i

∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f f
δ
δ → 0 f
δ
→ f
x
δ
x
• X
x ∈ X x x
x > 0, ∀x = 0 x = 0 ⇔ x = 0;
x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
αx = |α|.x, ∀x ∈ X, α ∈ R.
L
p
[a, b] 1 ≤ p < ∞
ϕ =


b

a
|ϕ(x)|
p
dx

1
p
, ϕ ∈ L
p
[a, b].
• x
n
X x
0
∈ X n → ∞
x
n
− x
0
 → 0 n → ∞ x
n
→ x
0
{x
n
} ⊂ X x
0
∈ X x
n
 x

0
∀f ∈ X
∗
X f(x
n
) → f(x
0
)
n → ∞
{x
n
}
x
n
 x sup
1≤n<∞
x
n
 < ∞ x ≤ lim
n→∞
x
n
.
X
{x
n
} ⊂ M M X
• X R X
∗
X X

∗∗
= L(X
∗
, R)
X x ∈ X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x
∗∗
X
∗∗

x
∗∗
, f

=

f, x

, ∀f ∈ X
∗∗
,
f, x f ∈ X
∗
x ∈ X x = x
∗∗
. h(x) = x
∗∗
h : X → X
∗∗

X
L
p
[0, 1], p > 1
X
X
∀ {x
n
} ⊂ X : x
n
 ≤
K ⇒ ∃ {x
n
k
}, x
n
k
 x ∈ X
X
X
X
• X
X
X (x
n
 x)
(x
n
 → x) (x
n

− x → 0)
r : X → Y X
Y r(x) = O(x) x → θ
X
r(x)/x → 0 x → θ
X
L(X, Y ) T : X → Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
• A : X → Y
X Y A
x ∈ X T ∈ L(X, Y )
A(x + h) = A(x) + T h + O(h), h → 0
h θ T
A x A

(x) = T
• M ⊂ X
x
n
→ x (x
n
 x) x
n
∈ M, ∀n ≥ 0 x ∈ M
A
A
x
n
 x
Ax

n
→ Ax.
X Y
A A
A
{x
n
} x x
n
 x x
n
→ x
y
n
= A(x
n
) y = A(x) A
y
n
→ y A(x) = f
D(A)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A
R(A) A
−1
A(x) = f

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds = f

0
(x), x ∈ [a, b],
ϕ(x) f
0
(x) K(x, s)
K(x, s)
∂K(x, s)
∂x
[a, b] × [a, b]
•
A : C[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ(x) → f
0
(x) =

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
L
2
[a, b]
f
0
(x) f
1
(x) L
2
[a, b]

ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =


b
a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx

1
2
.
ϕ
0
(x)
f
1
(x) = f

0
(x) + N

b
a
K(x, s)sin(ωs)ds
ϕ
1
(x) = ϕ
0
(x) + Nsin(ωx).
N ω f
0
f
1
L
2
[a, b]
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b

a


b
a
K(x, s)sin(ωs)ds

2
dx

1
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K(x, s)|,
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|


d

c

K
max
1
ω
cos(ωs)


b
a

2
dx

1
2
≤
|N|K
max
c
0
ω
,
c
0
N ω N/ω
ρ
C[a,b]
(ϕ

0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
•
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ(x) → f
0
(x) =

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
ϕ
0
ϕ
1
L
2
[a, b]

ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b
a
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx

1
2
= |N|


b
a
sin
2

(ωx)dx

1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
N ω ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
)
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x
0
x
∗
A(x
0
) = f,
x
0
− x
∗
 = min{x − x
∗
 : A(x) = f}.
x
∗
X A : D(A) → X
∗
D(A) = X R(A) X
∗
• A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
A
x = y A
• A
δ(t) t ≤ 0, δ(0) = 0
A(x) − A(y), x − y ≥ δ

x − y


, ∀x, y ∈ D(A).
δ(t) = c
A
t
2
c
A
A
A : R
M
→ R
M
A = B
T
B,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
B M
• h d A h
X A(x + ty)  Ax t → 0 x, y ∈ X
A d X x
n
→ x
Ax
n
 Ax n → ∞
ϕ(x, y) = xy
2
(x
2

+y
4
)
−1
(0, 0) h (0, 0).
• A
lim
||x||→+∞

Ax, x

||x||
= +∞, ∀x ∈ X.
A h
X X
∗
A(x) = f
f ∈ X
∗
• U
s
: X → X
∗
U
s
(x) = {x
∗
∈ X
∗
:


x
∗
, x

= ||x
∗
||
s−1
||x|| = ||x||
s
}, s ≥ 2
X s = 2
U X
X
U(x) U(λx) = λU(x) λ ∈ R
U X
∗
X U = I X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X
∗
U : X → X
∗
d
X U
X
f ∈ X
∗
A h X X

∗
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X
A(x
0
) = f.
A X
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
X X
∗
X f ∈ X
∗
A : X → X
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A
M = 5
A =










2 2 2 2 2
2 2.0001 2 2 2
2 2 2.0001 2 2
2 2 2 2.0001 2
2 2 2 2 2.0001









f =

10 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001

T
∈ R
5
.
x =

1 1 1 1 1

T
∈ R

5
.
A = A
h
1
=









2 2 2 2 2
2 2.0001 2 2 2
2 2 2.0001 2 2
2 2 2 2.0001 2
2 2 2 2 2









f = f

δ
1
=

10 10.0001 10.0001 10.0001 10

T
∈ R
5
A = A
h
2
=









2 2 2 2 2
2 2.0001 2 2 2
2 2 2.0001 2 2
2 2 2 2.0001 2
2 2 2 2 2










Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f = f
δ
2
=

10.0001 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001

T
∈ R
5
A
−1
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ.
(A, f
δ
) δ
x
0
x

δ
x
δ
= A
−1
f
δ
A
−1
A
−1
A
−1
f
δ
x
0
δ
δ
δ → 0 x
0
f
0
∈ Y
X Y
X
A : X → Y
X Y T(f, α ) α
Y X
δ

1
α
1
T (f
δ
, α)
α ∈ (0, α
1
) f
δ
∈ Y
f
δ
− f ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
α = α(δ, f
δ
) δ  > 0
δ() ≤ δ
1
f
δ
∈ Y
f
δ
− f ≤ δ ≤ δ()
x
δ

α
− x
0
 ≤  x
0
x
∗
x
δ
α
∈ T (f
δ
, α(δ, f
δ
))
T (f, α)
x
δ
α
∈ T (f
δ
, α(δ, f
δ
))
α = α(δ, f
δ
)
α(δ, f
δ
)

lim
δ→0
α(δ, f
δ
) = 0.
T (f, α)
α
f
δ
δ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X
A(x) = f,
f ∈ X
∗
A : X → X
∗
h X
X X
∗
A
S
0
S
0
= ∅ S
0
X

A
h
(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(A
h
, f
δ
) (A, f)
f − f
δ
 ≤ δ, δ → 0,
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), h → 0,
g(t) A
h
h
X X
∗
x
∗
X
U

s

U
s
(x) − U
s
(y), x − y

≥ m
U
x − y
s
, m
U
> 0,
A
h
: X → X
∗
h
h > 0 U
s
: X → X
∗
X
f
δ
∈ X
∗
δ > 0

α > 0 x
τ
α
τ = (h, δ)
h + δ
α
→ 0 α → 0,
{x
τ
α
} x
0
∈ S
0
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
0
x − x
∗
.
X
∗
U
s
h A
h

+ αU
s
h X X
∗
U
s
α > 0 A
h
+ αU
s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên