BT Chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị của hs

WWW.VIETMATHS.COM

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I.SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : ( SGK)
II.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :
Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng
khoảng xác định)
Cho hàm số y  f ( x, m ) , m là tham số, có tập xác định D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:
a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
a  0
  0


 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0


3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

b
)
2a

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với
a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức baäc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:
  0
 x1  x2  0   P  0

S  0


  0
 0  x1  x2   P  0

S  0


 x1  0  x2  P  0

5) Để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì
ta thực hiện các bước sau:
 Tính y.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a  0


  0

 Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2
 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

(1)
(2)


WWW.VIETMATHS.COM
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

VD1: Định m để hàm số ln đồng biến
a) y  x 3  3 x 2  mx  m
 D=R
 y'  3x 2  6 x  m
'  0
 9  3m  0  m  3
a  1  0

Hàm số luôn đồng biến  y'  0  

 Vậy: với m  3 thì hs ln đồng biến trên D.
b) y  mx 3  (2m  1) x 2  (m  2) x  2
 D=R
 y '  3mx 2  2(2 m  1) x  m  2
Hàm số luôn đồng biến
4 m 2  4m  1  3m(m  2)  0
( m  1) 2  0

'  0
 y'  0  


m0
a  3m  0
m  0
m  0
 Vậy: với m  0 thì hs ln đồng biến trên D.
mx  4
c) y 
xm
 D= R \ {m}



y' 

m2  4
( x  m) 2
m  2
m  2

Hàm số luôn đồng biến  y '  0  m 2  4  0  
 m  2

 Vậy: với 
thì hs ln đồng biến trên D.
m  2
VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: y 

x 2  mx  3
m x

 D= R \ {m}


y' 

 x 2  2mx  m 2  3
( x  m) 2
'  0
 m 2  m 2  3  0 (điều không thể)
 a  1  0

Hàm số luôn nghịch biến  y'  0  

 Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D.
VD3: Định m để hàm số y  x 3  3 x 2  ( m  1) x  4m nghịch biến trong ( - 1; 1)
 D=R
 y'  3x 2  6 x  m  1

2


WWW.VIETMATHS.COM
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)  y' 0 và x1  1  1  x2
af (1)  0
3(3  6  m  1)  0
m  4




 m  8
af (1)  0
3(3  6  m  1)  0
m  8
 Vậy: m  8 thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).

VD4: Định m để hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x tăng trên (2;)
 D=R
 y '  3 x 2  2( m  1) x  (2m 2  3m  2)
Hàm số tăng trên (2;)  y' 0 và x1  x 2  2
7 m 2  7 m  1  0
 '  0


 2

 3
'  0
3
 7 m  7 m  1  0
  m  2

 
 
 2
 m2
2

af ( 2)  0
2
m  5
3( 2m  m  6)  0


S
  2(m  1)


2

 2  2

 3.2
3
 Vậy:   m  2 thì hs tăng trên (2;)
2
VD5: Định m để hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

 D=R
 y'  3x 2  6 x  m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.  y' 0 và x1  x 2  1
9  3m  0
m  3
3
 2

m
4

 S  4 P  1  4  4m  1
3
 Vậy: m  thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
4

2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ :
*) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và
(C2) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm). Số nghiệm
của phương trình sao bằng số giao điểm của hai đồ thị .
*) Đồ thị hàm bậc 3 y = ax3 + bx 2 + cx + d (a  0 )cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
3
2
 Phương trình ax + bx + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3
2
 Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại , cực tiểu và yCĐ.yCT < 0
*) Dùng độ thị biện luận số nghiệm của phương trình :
Cho phương trình : f(x) = m hoặc f(x) = f(m) (1)
+) Với đồ thị ( C ) của h/s y = f(x)
+) Đường thẳng d : y = m hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng
phương với trục OX
P2: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C ) và d .Tùy theo m dựa vào số
giao điểm để kết luận về số nghiệm của phương trình .
3


WWW.VIETMATHS.COM
*) BÀI TẬP :
Câu 1: Cho hµm sè y 

x 1
x 1

( 1 ) có đồ thị (C ) .

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( 1).
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d ) : y 2 x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
Cõu 2 : Cho hàm số y

2x 1
có đồ thị là (C)
x2

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Cõu 3 : Cho hm s y =

2x  1
(1)
x 1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho
tam giác OMN vng góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Câu 4 : Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
Câu 5 : Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3.

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc
nhau.
2x  4
.
1 x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  của hàm số trên.

Câu 6: Cho hàm số y 

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai
điểm M, N và MN  3 10 .
Câu 7 : Cho hàm số y 

2x  2
(C)
x 1

1. Khảo sát hàm số.
Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =
Câu 8 :
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số: y 

5.

2x  3
x2

2. Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp
tuyến của (C ) tại hai điểm đó song song với nhau.

Câu 9 : Cho hàm số y  x3  2mx 2  3( m  1) x  2 (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  0 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C
sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1).

4


WWW.VIETMATHS.COM
4

Câu 10 : Cho hàm số y =

x
5
 3x 2 
2
2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với
giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.

Câu 11 : Cho hàm số y  x 4  4 x 2  3 .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2. Biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trình x 4  4 x 2  3  3k .
Câu 12 : Cho hàm số y 

x 1
.

x 1

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
2.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x 1
x 1

 m.

m x
có đồ thị là ( H m ) , với m là tham số thực.
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m  1 .
2. Tìm m để đường thẳng d : 2 x  2 y  1  0 cắt ( H m ) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo
3
thành một tam giác có diện tích là S  .
8
3
Câu 14 : Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2  .
2

Câu 13 : Cho hàm số y 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm m để phương trình sau có đúng 8 nghiệm thực phân biệt
| 2x4  4x2 

Câu 15 : Cho hàm số y =

3
1
|  m2  m  .
2
2

2x
(C)
x2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh
khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 16 : Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Định m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
3

x  3 x  m 3  3m

Câu 17 : Cho hàm số y   x 3  3 x 2  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình x 3  3 x 2  m3  3m2 có ba nghiệm phân biệt.
5


WWW.VIETMATHS.COM
Câu 18 : Cho hàm số y  x  5 x  4 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình | x 4  5 x 2  4 | log 2 m có 6 nghiệm.

4

2

Câu 19 : Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4  2 x 2  1  log2 m  0

(m > 0)

Câu 20 : Cho hàm số y  f ( x )  8 x 4  9 x 2  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
8cos4 x  9 cos2 x  m  0 với x  [0;  ]
Câu 21 : Cho hàm số y 

3x  4
x 2

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2 
:
 3 

2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn  0;
Câu 22 : Cho hàm số y 

x 1

.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Câu 23 : . Cho hàm số y 

x 1
 m.
x 1

x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt
đối xứng nhau qua đường thẳng (  ): x  2 y  3  0 .
Câu 24 : Cho hàm số y  f ( x)  8x 4  9x 2  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
8cos 4 x  9cos2 x  m  0 với x  [0;  ] .

*) Chú ý : Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3 bằng đồ thị
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax 3  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1)
Goïi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 ñieåm chung
6

WWW.VIETMATHS.COM
 f không có cực trị
   f có 2 cực trị

  yCĐ .yCT  0


( h.1a )
( h.1b)
y

y

(C)

(C)
yCĐ
A
x0

O

(h.1a)

yCT
x1 o

A

x0

x

x2

x

(h.1b)

 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox

  f có 2 cực trị

( h.2)

 yCĐ .yCT  0

y

y

(C)
(C)
yCĐ
A
x0 o

yCĐ

(H.2)

B x2
A
x0 x1 x'0 o
yCĐ

B
x1

x'0

x

C
x" 0

x
(H.3)

(yCT = f(x0) = 0)

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

  f có 2 cực trị

( h.3)

 yCĐ .yCT  0

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
 f có 2 cực trị
 y .y  0

  CĐ CT
 xCÑ  0, xCT  0

 a. f (0)  0 ( hay ad  0)
y

y

a>0

a<0

(C)
yCÑ

yCÑ
A
o

B x2
xA x1 xB

C
xC

f(0)
o

x

yCT

A x1 B
xA
xB x2

C
xC

x

yCT
f(0)

(C)

7


WWW.VIETMATHS.COM
 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
 f có 2 cực trị
 y .y  0

  CÑ CT
 x  0, x  0
CT
 CÑ
 a. f (0)  0 ( hay ad  0)

a>0

y

a<0

(C)

y

(C)
f(0)
yCÑ
A

B x2
xA x1 xB

C
xC o

yCÑ
xA

x

yCT

A x1 B
C
xB x2 xC o
yCT
f(0)

x

Câu 25:
Cho hàm số y = x 3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số)
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Câu 26 : Cho hàm số y  x 3 – 3 x  1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y  mx  m  3 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc
với nhau.
Câu 27 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm
phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vng góc với nhau.
Câu 28 : Cho hàm số y  x 3  3 x (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y  m( x  1)  2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P

sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau.
Câu 29 : Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  (m2  1) ( m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  0.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ
dương.
1
3

Câu 30 : Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m 

2
có đồ thị (Cm ) .
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn
hơn 15.
Câu 31 : Cho hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  m , trong đó m là tham số thực.
8


WWW.VIETMATHS.COM
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.
 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng
 Phương trình x3  3 x2  9 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
 Phương trình x3  3 x2  9 x  m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
 Đường thẳng y  m đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
 m  11  m  11.

Câu 32 : Cho hàm số y  x 3  3mx 2  9 x  7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  0 .
2) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.
Câu 33 : Cho hàm số y  x3  3mx 2  mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  1 .
2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y  x  2 tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành
cấp số nhân.
Câu 34 : Cho hàm số y  x 3  2mx 2  (m  3) x  4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y  x  4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba
điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
Câu 35 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi d k là đường thẳng đi qua điểm A( 1; 0) với hệ số góc k (k  ¡ ) . Tìm k để đường
thẳng d k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ
O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .
Câu 36 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .
Câu 37 : Cho hàm số y  x 3  mx  2 có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Câu 38 : Cho hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  2 có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Câu 39 : Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x  6 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Định m để đường thẳng (d ) : y  mx  2m  4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

Câu 40 : Cho hàm số y  x 3 – 3 x 2  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
9


WWW.VIETMATHS.COM
2) Tìm m để đường thẳng (): y  (2m  1) x – 4 m –1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
Câu 41 : Cho hàm số y  x 3  3m2 x  2m có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại đúng hai điểm phân biệt.

Câu 42 Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 có đồ thị là Cm

 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  8 .
2) Định m để đồ thị Cm  cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

 

Câu 43 Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  2m  1 có đồ thị là Cm .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m  0 .
2) Định m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số
cộng.
Câu 44 Cho hàm số y  x 4 – (3m  2) x 2  3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ
hơn 2.

Câu 45 Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  2m  1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 3.
Câu 46 Cho hàm số y  x 4  2 m 2 x 2  m 4  2m (1), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 ..
2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) ln cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
m  0.
Câu 47

Cho hàm số y 

2x 1
có đồ thị là (C).
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y   x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 48 Cho hàm số y 

x3
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao
cho I là trung điểm của đoạn MN.
Câu 49

Cho hàm số y 

2x  4
1 x

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho MN  3 10 .
10


WWW.VIETMATHS.COM
2x  2
(C).
x 1

Câu 50 : Cho hàm số y 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d): y  2 x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB  5 .

Câu 51 : Cho hàm số y 

x 1
(1).
xm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y  x  2 cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho AB  2 2 .
Câu 52 : Cho hàm số y 

2x  1
(C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB
vuông tại O.
Câu 53 : Cho hàm số: y 

x2
.
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) ln có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
x  y  m  0

A
của (C) và thỏa  A
.
 xB  yB  m  0

3.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:
I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
11


WWW.VIETMATHS.COM
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
(a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Neáu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
 Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.
ax 2  bx  c
P( x )
=
(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
a' x  b'
Q( x )
b'
phân biệt khác  .
a'

 Hàm soá y 

12

WWW.VIETMATHS.COM
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
y( x0 ) 

P( x0 )

hoặc y( x0 ) 

Q( x 0 )

P '( x0 )
Q '( x0 )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định
lí Vi–et.

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
 y1  f ( x1 )  Ax1  B
 y  f ( x )  Ax  B
 2
2
2

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 

P ( x ) ax 2  bx  c

.
Q( x )
dx  e

 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 

P '( x0 )
Q '( x0 )

.

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị aáy laø: y 

P '( x ) 2 ax  b

.
Q '( x )
d

Câu 54 : Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh.
Câu 55 : Cho hàm số y   x 3  (2m  1) x 2  (m2  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
1

3

Câu 56 : Cho hàm số y  x 3  mx 2  (2m  1) x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Câu 57 : Cho hàm số y  x3  3 x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1 .
13


WWW.VIETMATHS.COM
3

2

Câu 58 : Cho hàm số y  x  3mx  4 m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Câu 59 : Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d: x  8y  74  0 .
Câu 60 : Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5  0 .
Câu 61 Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  9 x  m  2 (1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau

1
2
3
Câu 62 Cho hàm số y  x  3(m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1  x2  2 .

qua đường thẳng d: y  x .

Câu 63 Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .
1
3

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  .
1
3

1
3

Câu 64 Cho hàm số y  x 3  ( m  1) x 2  3( m  2) x  , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  2 x2  1 .
Câu 65 Cho hàm số y  4 x 3  mx 2 – 3 x .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2 .
Câu 66
Cho hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ
là các số dương.
Câu 67 Cho hàm số y  x 3 – 3 x 2  2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3 x  2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
Câu 68 Cho hàm số y  x 3  (1 – 2m) x 2  (2 – m) x  m  2 (m là tham số) (1).
14


WWW.VIETMATHS.COM
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu 69 Cho hàm số y  x3  3mx 2  3( m 2  1) x  m3  m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.
Câu 70 : Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3(1  m2 ) x  m3  m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Câu 71 Cho hàm số y  x3  3 x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y  4 x  3 .
Câu 72 Cho hàm số y  x3  3 x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d: x  4 y – 5  0 một góc 450 .
Câu 73 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  4 .
·

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB  120 0 .
Câu 74 Cho hàm số y  x 3 – 3mx 2  3( m2 – 1) x – m3
(Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  2 .
2) Chứng minh rằng (Cm) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định.
1
2

Câu 75 Cho hàm số y  x 4  mx 2 

3
2

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  3 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại.
Câu 76 Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2(m  2) x 2  m 2  5m  5
(Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.

Câu 77 Cho hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  m 2  5m  5
Cm 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Câu 78 Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  m có đồ thị (Cm) .
15


WWW.VIETMATHS.COM
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có một góc bằng 120 0 .
Câu 79 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1 .
Câu 80 : Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó
lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  laø:
y – y0 = f (x0).(x – x0)
(y0 = f(x0))

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:
 f ( x )  g( x )
 f '( x )  g '( x )


(*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q có nghiệm kép.


VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0  x0 ; y0  :

 Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x 0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
 Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).
  có hệ số góc k  f (x0) = k
(1)
16


WWW.VIETMATHS.COM
 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x )  kx  m
 f '( x )  k


(*)

 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:
+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 
+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì

1
a

k a
 tan 
1  ka

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  ñi qua ñieåm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)
  ñi qua A( x A ; y A ) neân: yA – y0 = f (x0).(xA – x0)

(2)

 Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của  .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x)  k( x  x A )  yA

 f '( x )  k

(*)

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:
 f ( x )  g( x )
 f '( x )  g '( x )


(*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
(C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x)
17

WWW.VIETMATHS.COM
1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).
  tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f (u)  au  b
 f '(u)  a

 g(v)  av  b

 g '( v)  a


(1)
(2)
(3)
(4)

 Từ (2) và (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)
 Thế a từ (2) vào (1)  b = (u)
(6)
 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của .
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và
(C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

Câu 81 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) (C1 ) : y  x 2  5x  6; (C2 ) : y   x 2  5 x  11
b) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y   x 2  x  14
c) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 3  3 x  10
VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó

tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
 Gọi M(x0; y0)  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).
 Vì
 // d
nên
f (x0) = kd
(1)
hoặc

d

nên

f (x0) = 

1
kd

(2)

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0)  (C).
Câu 82 : Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C): y 

1
x2  3x  6
; d: y  x
x 1
3

x2  x  1
; d là tiệm cận xiên của (C)
x 1
x2  x 1
c) (C): y 
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
x 1

b) (C): y 

d) (C): y 

x2  x  1
; d: y = x
x

Câu 83 : Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
18


WWW.VIETMATHS.COM
trước:
3

2

a) (C): y  x  x  x  10 ; d: y  2 x

x2  x  1

b) (C): y 
; d: y = –x
x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k

(1)
(2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được:
f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)
 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Câu 84 : Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y   x 3  3 x 2  2
b) (C ) : y  x 3  3 x  1
câu 85 : Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y 

x 1
; d là trục tung
x 1

2 x2  x

; d: y = 1
x 1
x3
e) (C ) : y 
; d: y = 2x + 1
x 1

c) (C ) : y 

b) (C ) : y 
d) (C ) : y 

x2  x  2
; d là trục hoành
x 1

x2  3x  3
; d: x = 1
x2

VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được
2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Gọi M(xM; yM).
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k

(1)

(2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được:
f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)
 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2.
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành
(3) có 2 nghiệm phân biệt

thì 
 f ( x1 ). f ( x2 )  0

Câu 86 : Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.
19


WWW.VIETMATHS.COM
Viết phương trình các tiếp tuyến đó:

1
x2  x  1
a) (C ) : y  2 x  3 x  1; A  0;  
b) (C ) : y 
; A(1; 1)

4
x 1
Câu 87 Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  ( 2  m) x  m  2 (1) (m là tham số).
2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y  7  0
góc  , biết cos 

1
26

.

Câu 88 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Câu 89 Cho hàm số y  3x  x 3 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y   x các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt
với đồ thị (C).
Câu 90 Cho hàm số y   x 3  3x 2  2 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị (C).
1
3

Câu 91 Cho hàm số y  f ( x )  mx 3  (m  1) x 2  (4  3m) x  1 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hồnh độ âm mà
tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng (d): x  2 y  3  0 .
2

2

Câu 92 Cho hàm số y   x  1 .  x  1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm A( a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Câu 93 Cho hàm số y  f ( x )  x 4  2 x 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hồnh độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Câu 94 Cho hàm số y 

2x
(C).
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu 95 Cho hàm số y 

x2
2x  3

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục
20

WWW.VIETMATHS.COM
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Câu 96 Cho hàm số y =

2x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
Câu 97 Cho hàm số y 

2x  3
có đồ thị (C).
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất.
Câu 98 Cho hàm số y 

2x  3
.
x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn

ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 99

Cho hàm số y 

2x  1
có đồ thị (C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) thì biểu thức P = a  b  a 2  b 2 nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b.
Thật vậy: P = a  b  a 2  b 2  2 ab  2 ab  (2  2) ab  (2  2) S .
Dấu "=" xảy ra  a = b.
Câu 100

x2
(C).
x 1

Cho hàm số: y 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm
tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Câu 101

Cho hàm số y 

x3
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu 102

Cho hàm số : y 

x2
(C)
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích khơng đổi.
21


WWW.VIETMATHS.COM
Câu 103

Cho hàm số y =

x2
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận,  là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là
khoảng cách từ I đến  . Tìm giá trị lớn nhất của d.
Câu 104

Cho hàm số y 

2x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
2.
Câu 105

Cho hàm số y 

x 1
(C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

Câu 106

Cho hàm số y 

2x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm
4), B(4; 2).
Câu 107

Cho hàm số y 

A(2;

2 x 1
.
1 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hồnh độ là a. Tiếp tuyến
tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và
tính diện tích tam giác IPQ.
Câu 108

Cho hàm số y 

2x  3
(C).
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và
·

tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng

4
17

, với I là giao 2 tiệm cận.

5. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
22


WWW.VIETMATHS.COM
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) .
Đồ thị (C) của hàm số y  f ( x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như
sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  .
Đồ thị (C) của hàm số y  f  x  có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như

sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y 

 Phân tích y 
 Khi đó  x 

y 

P( x )
có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )

P( x )
a
thành dạng y  A( x ) 
, với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
Q( x )
Q( x )

 Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước
23


WWW.VIETMATHS.COM

số của a.
 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x)
đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB
 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
1
a

: y   x  m

(C)

(d)

()

 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):
1
a

f(x) =  x  m

B

(1)

A

I

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.
Chú ý:

x  x

 A, B đối xứng nhau qua trục hoành   A B
 y A   yB
x  x

B
 A, B đối xứng nhau qua trục tung   A
 y A  yB

x  x

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A B
 y A  yB  2 b
 x  x  2a

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   A B
 y A  yB

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  a)  b .
I
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) vaø d:
B
A
f(x) = k ( x  a)  b (1)
 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA , xB.
x  x

B
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A
y A   yB


24


WWW.VIETMATHS.COM

7. HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m)
(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.
Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm).

 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)
Cách 1:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m
 y0 = f(x0, m), m
(1)
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
 Dạng 1: (1)  Am + B = 0, m
 Daïng 2: (1)  Am 2  Bm  C  0 , m

 A  0

B  0

A  0


(2a)

 B  0

(2b)

C  0


 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.

Cách 2:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m
 y0 = f(x0, m), m
(1)
 Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.
 F (m) = 0
(3)
 Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Câu 109

Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

a) y  (m  1) x  2m  1

b) y  mx 2  2(m  2) x  3m  1

c) y  (m  1) x 3  2mx 2  ( m  2) x  2 m  1

d) y  (1  2m ) x 2  (3m  1) x  5m  2

e) y  x 3  mx 2  9 x  9m

f) y  (m  2) x 3  mx  2

g) y  2mx 4  x 2  4m  1

h) y  x 4  mx 2  m  5

i) y 

( m  1) x  2
(m  1, m  2)
xm

k) y 

25

x  3m  1
( m  2) x  4 m