Toán Cao cấp A2 dùng cho sinh viên Tin họ

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
3
Ch-ơng I: chuỗi số - dãy hàm - chuỗi hàm

Chuỗi số

1
Các định nghĩa

- Cho dãy số
12
, , , ,
n
a a a
Tổng vô hạn
12
1

nn
n
a a a a




(*) đ-ợc gọi là một
chuỗi số.

Trong (*),
n
a
đ-ợc gọi là số hạng thứ
n
và
12

nn
S a a a
gọi là tổng riêng thứ
n
của
chuỗi. Dãy

n
S
gọi là dãy các tổng riêng của (*)
- Nếu
lim
n
n
SS


thì ta viết
1
n
n
aS

và gọi
S
là tổng của chuỗi.
- Nếu
lim
n
n
SS


là một số hữu hạn thì chuỗi gọi là hội tụ.
- Nếu
lim
n
n
S


hoặc không tồn tại thì chuỗi gọi là phân kỳ.
- Tổng của chuỗi nếu có là duy nhất do giới hạn của dãy

n
S
nếu có là duy nhất.
- Ví dụ 1: Chuỗi
1

n
n
a




+/. Nếu
1a
thì

2
1

1
n
n
n
aa
S a a a
a




+/. Nếu
1a
thì
1 1 1
n

Sn

Khi
1a
thì
lim 0
n
n
a


do đó
lim
1
n
n
a
S
a



Vậy chuỗi hội tụ và có
1
1
n
n
a
a
a

Khi
1a
thì
lim
n
n
S


nên chuỗi phân kỳ và có
1
n
n
a





Khi
1a
thì không tồn tại
lim
n

n
S

nên chuỗi phân kỳ.
- Ví dụ 2:
a/. Chuỗi
1
21
n
n
n




là phân kỳ vì
1
lim
2 1 2
n
n
n




b/. Chuỗi
1
1
n

n



có
1
lim 0
n
n


nh-ng
11
lim 1
2
n
n





phân kỳ nên chuỗi phân kỳ.
- Chuỗi
1
n
n
a

gọi là chuỗi d-ơng nếu
0
n
an

- Chuỗi có dạng

1
1
4321


n
n
aaaaa
trong đó
0
n
a
hoặc
0
n
a
với mọi
n

gọi là chuỗi đan dấu.
- Chuỗi

1n
n
a
với
n
a
có dấu bất kỳ đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi


1n
n
a
hội tụ.
- Giả sử

n
s
là dãy các tổng riêng của chuỗi d-ơng
1
n
n
a



Khi đó
1
0
n n n

s s a


do đó
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
4

n
s
là dãy tăng.
2
Các định lý, tính chất

- Định lý 1: Chuỗi (*) hội tụ khi và chỉ khi
12
0; : ,
n n n p
M n M p N a a a




Hệ quả 1: (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi (*) hội tụ thì
lim 0
n
n

a



Hệ quả 2: Chuỗi (*) và chuỗi nhận đ-ợc từ (*) bằng cách thay đổi hoặc bỏ đi một số hữu hạn
là cùng hội hoặc cùng phân kỳ.
- Định lý 2: Nếu chuỗi
1
n
n
a



,
1
n
n
b



cùng hội tụ và có tổng lần l-ợt là
S
và
T
thì các chuỗi

1
nn

n
ab




;
1
n
n
a




cùng hội tụ và

1
nn
n
a b S T




;
1
n
n
aS

- Định lý 3: Chuỗi d-ơng hội tụ khi và chỉ khi tổng riêng của nó bị chặn.
- Định lý 4: Cho hai chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



và (b):
1
n
n
b



Nếu tồn tại số
0c
và
0
n
sao cho
0

nn
ta có
.
nn
a cb
thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; chuỗi (a) phân kỳ kéo
theo chuỗi (b) phân kỳ.
- Định lý 5: Cho hai chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



và (b):
1
n
n
b



Giả sử
lim
n
n
n
a
k

b


Khi đó, nếu
0 k
thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; Nếu
0 k
thì chuỗi (b) phân
kỳ kéo theo chuỗi (a) phân kỳ.
- Định lý 6: ( Dấu hiệu Cauchy ) Cho chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



Nếu
lim
n
n
n
ac


thì chuỗi (a)
hội tụ với
1c
, phân kỳ với
1c

- Định lý 7: ( Dấu hiệu D'Alembert ) Cho chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



Nếu tồn tại
1
lim
n
n
n
a
D
a



thì
chuỗi (a) hội tụ với
1D
; phân kỳ với
1D

- Định lý 8: ( Dấu hiệu tích phân ) Cho

xf

là một hàm d-ơng, giảm trên


;1

Đặt

nfa
n

khi đó chuỗi


1n
n
a
và tích phân suy rộng



1
dxxf
cùng hội tụ hoặc cùng
phân kỳ.
- Định lý 9: ( Dấu hiệu Leibnitz ) Cho chuỗi đan dấu

0;1
1
1

n
n
n
n
aa
Khi đó nếu
naa
nn

1
và
0lim
n
a
thì chuỗi hội tụ.
- Định lý 10: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
- Định lý 11: Nếu chuỗi


1n
n
a
hội tụ và có tổng là
s
thì chuỗi

212121
112111


kkk
nnnnnnn
aaaaaaaaa
(*) cũng hội tụ và
có tổng là
s

* Chú ý: Nếu có một chuỗi có dạng (*) hội tụ thì chuỗi xuất phát ch-a chắc hội tụ.
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
5
- Định lý 12: Nếu chuỗi (a):


1n
n
a
hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (b):


1n

n
b
nhận đ-ợc bằng cách
đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi (a) cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng tổng của chuỗi
(a).
* Chú ý: Định lý 12 chỉ đúng với các chuỗi hội tụ tuyệt đối. Một chuỗi bán hội tụ cũng có thể
đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng
s
tuỳ ý.
- Định lý 13: ( Định lý Riemann ) Giả sử


1n
n
a
là chuỗi bán hội tụ. Khi đó:
a/. Với
Rs
tuỳ ý, tồn tại một cách đổi chỗ

các số hạng của chuỗi sao cho

sa
n
n



1

b/. Tồn tại một phép đổi chỗ

các số hạng sao cho chuỗi





1n
n
a


3
Một số ví dụ

- Ví dụ 1: Chuỗi
2
1
1
n
n



Với
n
ta có:
22

11
1
2
n
s
n



1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n






Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo Định lý 3.
- Ví dụ 2:
Chuỗi
1
21
32
n
n
n
n

hội tụ theo dấu hiệu Cauchy vì
2 1 2
lim lim 1
3 2 3
n
n
nn
n
a
n





- Ví dụ 3:
Chứng minh rằng chuỗi


2
ln
1
n
nn

phân kỳ. Hàm số

1
ln
fx
xx




; 2,x
là d-ơng,
giảm và





2
2
lnlnlim
ln
x
xx
dx
nên chuỗi đã cho phân kỳ.
- Ví dụ 4: Chuỗi


1

!
n
n
n
n
Ta có
1
1
1
1
1
lim
1
limlim
1

e
n
n
n
a
a
n
n
n
n
Do đó chuỗi đã
cho hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.
- Ví dụ 5: Chuỗi






1
ln
1
n
n
nn
có hàm

xxxf ln
với

1
' 1 0fx
x


1x
Do đó

nnnnn ln1ln1

Mặt khác







n
n
nnn
ln
1ln
khi
n
thì
0

ln

n
n

Tức là

nn ln
Vậy dãy
0
ln
1







nnn
và chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu
Leibnitz.
- Ví dụ 6: Chuỗi


1
2
cos
n
n

n
Ta có
22
1
cos
nn
n

, chuỗi


1
2
1
n
n
hội tụ nên chuỗi


1
2
cos
n
n
n
hội tụ.
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008

Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
6
Vậy


1
2
cos
n
n
n
là hội tụ tuyệt đối.
4
Bài tập

- Bài 1: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi
a/.





1
1212
1
n
nn
b/.

1
3
1
n
nn


- Bài 2: Chứng minh chuỗi




1
1
2
n
n
ntg

hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.

- Bài 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây
a/.

1
11
1
n
nn
b/.


1
2
sin
n
n



- Bài 4: Tính tổng


1
2
3
2
cos
n
n
n

- Bài 5:Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a/.

1
1
1
k
k
k





b/.

2
1
ln 1
k
k
k

- Bài 6:Dùng tiêu chuẩn Côsi để khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a/.
1
sin
3
k
k
kx



b/.
1
1
k
k




c/.
1
cos
2
k

k
k
x



d/.

1
1
1
k
kk






- Bài 7: CMR nếu
11
;
kk
kk
ab



là hai chuỗi hội tụ và
kkk

a c b
thì
1
k
k
c



hội tụ. Còn nếu
11
;
kk
kk
ab



là hai chuỗi phân kỳ thì có thể kết luận đ-ợc gì không?

- Bài 8: Khảo sát các chuỗi sau

a/.
3
4
1
21
32
k
k

k






b/.


44
1
21
k
k k k k





trong đó


là số d-ơng cho tr-ớc

c/.
1
sin
k
k

d/.
1
ln
k
k
k





Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
7
dãy hàm - chuỗi hàm

1
Sự hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm
a
Các khái niệm cơ bản

- Nếu với mọi
Nn

đặt t-ơng ứng với một hàm

xu
n
xác định trên tập
X
thì ta gọi

; ; ;;
21
xuxuxu
n
( gọi tắt

xu
n
) là một dãy hàm xác định trên tập
X
và

xu
n
đ-ợc
gọi là số hạng thứ
n
của dãy.
- Điểm
Xx
0
gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số

0
xu
n
hội tụ.
- Tập
0
X
gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm gọi là miền hội tụ của dãy hàm đó.
- Với mỗi
0
Xx
đặt

xuxu
n
lim
khi đó ta đ-ợc một hàm

xu
xác định trên
0
X
khi đó
ta nói

1
xu
n
hội tụ đến

xu
trên
0
X

- Điểm
Xx
1
tại đó dãy

1
xu
n
phân kỳ gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm.
- Ví dụ: Dãy hàm
; ; ;;;1
2 n
xxx
Ta có
0lim
n
x
khi
1x
và
1lim
n
x
khi

1x
Do đó
miền hội tụ của dãy là


1;1
và giới hạn của dãy là








11
1;10
x
x
xu

- Dãy hàm

xu
n
hội tụ đến hàm

xu
trên tập
X

nếu
,,0 Xx




,x
NN
sao
cho
Nn
ta có


xuxu
n

* Chú ý:
+/.
N
phụ thuộc vào cả
x
và


+/.

xu
n
hội tụ đến

xu
theo nghĩa trên gọi là hội tụ th-ờng hay còn gọi là hội tụ theo điểm
trên tập
X

- Dãy hàm

xu
n
gọi là hội tụ đều đến hàm

xu
trên tập
X
nếu
,0




NN
sao
cho
Nn
và
Xx
đều có

xuxu
n

* Chú ý: Một dãy hàm hội tụ đều thì hội tụ th-ờng, điều ng-ợc lại ch-a chắc đã đúng.
- Nếu

xu
n
hội tụ th-ờng đến

xu
trên tập
X
Ký hiệu:

xuxu
n

trên
X

- Nếu

xu
n
hội tụ đều đến

xu
trên tập
X

Ký hiệu:

n
u x u x
trên
X

- Ví dụ:
a/. Dãy
sin x
n



Ta có
sin
lim 0
x
x
xR
n


Do đó
sin
0
x
n

trên

R

1
0; ; ;N n N x R



Ta có:
sin 1
0
x
nn


Do đó ta có:
sin
0
x
n

trên
R

b/. Dãy

n
x
Đặt

0 0;1
11
x
ux
x








thì ta có

n
n
u x x u x
trên

0;1
Với
0
1
2


thì mọi số tự nhiên
n

có

1
0;1
2
n
n
x
để cho

2
0
11
2
2
n n n
u x u x






Nghĩa là không tồn tại số
N
để

; 0;1n N x
đều có

1
2
n
u x u x

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
8
Tức là

n
ux
không hội tụ đều đến

ux

* Trong ví dụ này ta thấy

n
ux
liên tục trên

0;1
tuy nhiên giới hạn của nó không liên tục
trên

0;1

b
Các định lý

Cho
X
là một tập tuỳ ý trong
R
th-ờng là

;ab
hoặc

;ab

- Định lý 1: (Tính liên tục của dãy hàm) Nếu các hàm số

n
ux
liên tục trên
X
và

n
u x u x
trên
X
thì hàm

ux

liên tục trên
X
.
- Định lý 2: (Tính khả tích của dãy hàm) Cho dãy

xu
n
các hàm liên tục trên

;ab
;

n
u x u x
trên

;ab
Khi đó

ux
khả tích trên

;ab
và

lim
bb
n
x
aa

u x dx u x dx




- Định lý 3: (Tính khả vi của dãy hàm) Cho dãy

xu
n
các hàm có đạo hàm liên tục trên

;ab
; dãy các đạo hàm


,
n
ux
hội tụ đều trên

;ab
. Khi đó nếu

n
u x u x
trên

;ab
thì

ux
có đạo hàm và

,
'
n
u x u x
trên

;ab
.
2
Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
a
Một số khái niệm

- Cho dãy hàm

xu
n
xác định trên tập
X
Khi đó ta gọi tổng vô hạn

12
1

nn
n
u x u x u x u x

(*) là một chuỗi hàm xác định trên
X

- Hàm

n
ux
gọi là số hạng thứ
n
của chuỗi.
- Hàm

12

nn
S x u x u x u x
gọi là tổng riêng thứ
n
của chuỗi hàm.
- Điểm
xX
gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (*) nếu dãy tổng riêng


n
Sx

của
nó hội tụ hay phân kỳ.
- Nếu
0
X
là miền hội tụ của dãy


n
Sx
thì ta cũng gọi
0
X
là miền hội tụ của chuỗi (*)
- Nếu

n
S x u x
trên
0
X
thì ta viết

0
1
;
n
n
u x u x x X

và

ux
gọi là tổng của
chuỗi.
- Ví dụ: Chuỗi
1
1
n
n
x




Ta có

1
1
n
n
S x x x



Nếu
1x

thì

1
1
1
n
n
x
Sx
x





Nếu
1x
thì
lim 0
n
n
x


nên

1
1
1
1;1

1
n
n
xx
x







b
Một số định lý

- Chuỗi (*) gọi là hội tụ đều trên
X
nếu dãy các tổng riêng của nó hội tụ đều trên
X

- Nếu các

k
ux
liên tục, có đạo hàm, khả tích trên
X
thì các tổng riêng

n
Sx

cũng có các
tính chất đó.
- Định lý 1':
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
9
Cho
XR
mà thông th-ờng

;X a b
hoặc

;ab
. Nếu chuỗi

1
n
n
ux



các hàm liên tục
trên
X
, hội tụ đều và có tổng

ux
thì hàm

ux
liên tục.
- Định lý 2':
Cho chuỗi

1
n
n
ux



các hàm liên tục trên

;ab
. Nếu chuỗi là hội tụ đều và có tổng bằng

ux
thì

ux
cũng khả tích

1
bb
nn

n
aa
u x dx u x dx






- Định lý 3': Cho chuỗi

1
n
n
ux



các hàm có đạo hàm

,
n
ux
liên tục trên

;ab
. Nếu chuỗi

1
n

n
ux



hội tụ có tổng là

ux
, chuỗi

,
1
n
n
ux



hội tụ đều trên

;ab
thì

ux
có đạo hàm
trên

;ab
và

,,
1
nn
n
u x u x





- Chuỗi hàm

1
n
n
ux



gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

1
n
n
ux



hội tụ.
* Chú ý: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, ng-ợc lại ch-a chắc đúng.

- Định lý 4: (Weierstrass) Nếu

;
nn
u x C n x X
; chuỗi số
1
n
n
C



hội tụ, thì chuỗi

1
n
n
ux



hội tụ tuyệt đối và đều trên
X
.
- Ví dụ: Hàm số

3
1
sin

n
x
fx
n




Ta có
33
sin 1x
nn

và
3
1
1
n
n



hội tụ, do đó theo định lý 4,
chuỗi
3
1
sin
n
x
n

hội tụ tuyệt đối và đều trên
R
. Vì mọi hàm
3
sin x
n
liên tục trên
R
nên theo
định lý 1',

fx
là một hàm liên tục trên
R

3
Bài tập

- Bài 1: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm

2nn
n
f x x x
trên

0;1

- Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
1
n
n
n
x
x






- Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
2
n
n
n
x
x tg





- Bài 4: Cho dãy hàm số

1 1,2,
n
n
f x nx x n

Chứng minh rằng:

11
00
lim lim
nn
nn
f x dx f x dx





- Bài 5: Tìm tập hội tụ ( tuyệt đối và không tuyệt đối ) của các chuỗi sau:
a/.
1
k
k
k
x



b/.
1

1
x
k
k




Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
10
c/.


1
1
k
p
k
xk





d/.
2

1
1
k
k
k
x
x






- Bài 6: CMR

a/. Dãy

24
1
k
kx
Sx
kx


hội tụ không đều trên

0,1
và hãy kiểm tra rằng

11
00
lim lim
kk
kk
S x dx S x dx





b/. Dãy

1
k
k
S x kx x
hội tụ không đều trên

0,1
tuy nhên

11
00
lim lim
kk
kk
S x dx S x dx

c/. Dãy

2
1
sin
k
S x x kx
k

hội tụ đều trên

,
nh-ng

'
lim ( )
k
k
Sx

tồn tại còn
'
lim ( )
k
k
Sx

không tồn tại.

- Bài 7: ( Bài tập của phần sau ) Tìm miền hội tụ của chuỗi sau

1
41
k
k
k
k
x
k







* Định lý: Cho chuỗi luỹ thừa
0
k
k
k
ax



; Giả sử
lim

k
k
k
al


khi đó bán kính hội tụ r của chuỗi
luỹ thừa đ-ợc tính nh- sau:



1
0
0
0
l
l
rl
l

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
11
Chuỗi luỹ thừa - bài tập

1
Định nghĩa - Bán kính hội tụ

- Chuỗi hàm có dạng
0
n
n
n
ax



(*) trong đó
0 1 2
, , , a a a
là các hằng số, hay tổng quát hơn

0
0

n
n
n
a x x




(**) trong đó
0 0 1 2
, , , , x a a a
là hằng số đ-ợc gọi là chuỗi luỹ thừa.
- Chuỗi (**) có thể đ-a về chuỗi (*) bằng cách đặt
0
X x x
vì vậy ta chỉ xét chuỗi (*).
- Định lý 5: (Abel)
Nếu chuỗi (*) hội tụ tại
0
0x
thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi
x
mà
0
xx

- Đặt

supRx
với

0
n
n
n
ax



hội tụ. Số
R
gọi là bán kính của chuỗi (*)
0R
thì chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất
0x

R
thì chuỗi hội tụ tại mọi
xR
.
- Định nghĩa: Số
R
là bán kính hội tụ của chuỗi nếu mọi
x
mà
xR
thì chuỗi hội tụ,
xR
thì chuỗi phân kỳ.
- Định lý 6: Cho chuỗi luỹ thừa
0

n
n
n
ax



nếu
1
lim
n
n
n
a
a




hoặc
lim
n
n
n
a



thì bán kính
hội tụ của chuỗi là

1

( Nếu
0


thì
R
và nếu


thì
0R
)
- Ví dụ:
+/. Chuỗi
0
!
n
n
x
n



Ta có
1
1
0
1

n
n
a
an



nên bán kính hội tụ là
R
tức là chuỗi hội tụ
tại mọi
xR

+/. Chuỗi
1
nn
n
nx



Ta có
n
n
an
nên
0R
tức là chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy
nhất
0x

+/. Chuỗi
2
0
1
n
n
n
x
n
x







có
11
1
n
n
n
a
ne

do đó bán kính hội tụ của chuỗi là
Re

Tại
xe
ta có:
2
1
1
1
n
n
n
n
xe
n
n
n









không dần đến
0

nên miền hội tụ của chuỗi là

;ee

2
Sự hội tụ đều của chuỗi luỹ thừa

- Định lý 7: Nếu chuỗi luỹ thừa (*) có bán kính hội tụ là
0R
thì
''
,0R R R
chuỗi (*) hội
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
12
tụ tuyệt đối và đều trên

;RR

- Định lý 8: Cho chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
ax

có bán kính hội tụ là
R
Khi đó:
i/. Hàm

0
n
n
n
f x a x




liên tục trên

;RR

ii/.

1
00
00
1
xx
nn
n
n

nn
a
f t dt a t dt x
n







với

;x R R

iii/.

'1
1
n
n
n
f x na x





với

;x R R

- Hệ quả:
Nếu chuỗi

0
n
n
n
f x a x




có bán kính hội tụ
R
thì

fx
có đạo hàm mọi cấp trên khoảng

;RR
và


1 1
k
nk
n
nk

f x n n n k a x






- Định lý 9:
Giả sử chuỗi

0
n
n
n
f x a x




có bán kính hội tụ
R
và chuỗi số
0
n
n
n
aR

hội tụ. Khi đó ta
có

0
lim
n
n
xR
n
f x a R






- Ví dụ:
+/. Tính tổng

2 3 4

1 2 3 4
x x x x
fx
Vì chuỗi có bán kính bằng 1 nên nếu
1x
thì

'2
1

1
1
f x x x
x


Từ đó

ln 1
1
dx
f x x C
x




Với
00xC
Vậy

1;1x


ln 1f x x

Chuỗi hội tụ tại
1x
nên

1
1 1 1
lim ln 1 1 1
2 3 4
x
fx



Vậy ta có:

1
1
1
ln2
n
n
n







+/.

2
1 2 3 f x x x
Chuỗi có bán kính hội tụ

1R
Với
1x
ta có:

1
11
00
1
xx
nn
nn
x
f t dt nt dt x
x








Từ đó



'
2
1

1;1
1
1
x
f x x
x
x







3
Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

- Hàm

fx
gọi là khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa trên khoảng

;RR
nếu có chuỗi luỹ
thừa
0
n
n
n
ax

sao cho

0
n
n
n
f x a x






;x R R

- Định lý 10: Nếu

fx
khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa

;RR
thì

fx
có đạo hàm
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008

Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
13
mọi cấp trên

;RR
và


0!
k
k
f k a

0,1,2, k

- Cho

fx
có đạo hàm mọi cấp trên một khoảng

;RR
Khi đó chuỗi


0
!
n
n

n
f
S x x
n





gọi là khai triển Taylor của hàm

fx
trong lân cận của
0
( Khai triển Taylor trong lân cận
của
0
còn gọi là khai triển Macloranh )
- Khai triển Taylor của

fx
trong lân cận của điểm bất kỳ có dạng



0
!
n
n
n

fa
xa
n





- Ví dụ: Hàm

1
1
f x x
x



Trong đó

2
1
0
00
x
ex
x
x

Ta có


00
k


với
0,1,2, k
và


1
1!
1
1
k
k
k
x
x

Do đó


0 ! 0 !
k
f k k
Từ đó khai triển Taylor của

fx
là:



00
0
1
!1
n
nn
nn
f
S x x x
nx

1;1 \ 0S x f x x

- Định lý 11: Nếu tồn tại số d-ơng
C
sao cho


; 0,1,2, ; ;
n
f x C n x R R
thì ta
có




0
0
;
!
n
n
n

f
f x x x R R
n





- Ví dụ: Theo khai triển Taylor ta có
+/.


3 5 2 1
sin 1
1! 3! 5! 2 1 !
n
n
x x x x
x
n




+/.


2 4 2
1 1
2! 4! 2 !

n
n
x x x
cosx
n


+/.
2
1
2! !
n
x
xx
ex
n


4
Bài tập

- Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!
n
n
n
nx
n

- Bài 2: Tính tổng
46

3.4 5.6
xx
x


- Bài 3: Chứng tỏ dãy hàm

1
n
fx
nx

hội tụ đều trên mọi


,


,

0

nh-ng không
hội tụ đều trên

0,


- Bài 5: Xét tính liên tục đều của tổng chuỗi hàm
1
1
n
x
n








- Bài 6: Tính tổng của chuỗi luỹ thừa
23
1.2 2.3 3.4 x x x


Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:

14
Ch-ơng II:
phép tính vi phân hàm nhiều biến

kh ông gian R
n

1
Chuẩn và không gian Mêtric trong R
n

+/.
n
R
là một không gian vecto với phép toán

1 1 2 2
, , ,
nn
x y x y x y x y
;

12
, , ,
n
x x x x

1 2 1 2
, , , ; , , , ;
n
nn
x x x x y y y y R R


Khi đó phần tử
của
n
R
gọi là một vecto hay là một điểm.
+/. Chuẩn Euclid của
x
là số
2 2 2 2
12
1

n
ni
i
x x x x x




+/.
1 1 2 2
1

n
n n i i
i
xy x y x y x y x y



gọi là tích vô h-ớng của hai vecto
&xy

Khi đó
,,
n
x y z R
có

2

xy yx
x y z xy xz
x x x x x x




+/. Định lý 1:
, , &
n
x y z R R

ta có:

0; 0 0x x x


xx




.xy x y


x y x y


x z x y y z

+/. Khoảng cách giữa hai điểm
,xy
là số

2
1
,
n
ii
i

x y x y x y







gọi là
khoảng cách Euclid trong
n
R
và
, , ;
n
x y z R R


, ta có:


, 0; , 0x y x y x y





,,x y y x

, , ,x z x y y z





,,x y x y



2
Tôpô trong R
n

+/. Cho
;0
n
xR


gọi


,
n
B x y R x y

là

_ lân cận của điểm
x
Tức là:

_ lân cận của điểm
x
là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách đến
x
bé hơn




,
n
B x y R x y



là

_ lân cận đóng của điểm
x


x B x B x

+/. Điểm
x
gọi là điểm trong của
A
nếu tồn tại
0


sao cho
()B x A



+/. Điểm
x
gọi là điểm ngoài của
A
nếu tồn tại
0


sao cho
()B x A

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
15
+/. Điểm
x
gọi là điểm biên
A
nếu mọi
0


,
()Bx

đều chứa những điểm thuộc
A
và
những điểm không thuộc
A

+/. Tập tất cả các điểm biên của
A
ta ký hiệu là
A
và gọi là biên của tập
A

+/. Tập
A
gọi là mở nếu

; 0:x A B x A




+/. Tập
A
gọi là đóng nếu

; 0:x A B x A




+/. Ví dụ 1:
a. Trong
n
R
thì

Bx

là các tập mở trong
n
R

b. Các khoảng là các tập mở trong
R

c. Trong
n
R
thì

Bx

là các tập đóng trong
n
R

d. Nếu


,2 , 1,3AB
thì

2 ; 1,3AB

+/. Cho tập tuỳ ý
n
AR
Khi đó:

A A A
là tập đóng bé nhất chứa

A
và gọi là bao đóng của
A


0
\A A A
là tập mở lớn nhất nằm trong
A
và gọi là phần trong của
A

0
\A A A


A
là tập liên thông nếu
12
,
n
S S R
thoả mãn
12
;S A S A


và
12
S S A

đều có
12
S S A



Tức là: Tập
A
đ-ợc gọi là liên thông nếu chia tập đó ra thành hai phần rời nhau thì
hai phần đó phải có ít nhất một điểm biên chung nhau nằm trong
A

+/. Ví dụ 2:
a. Mọi khoảng, đoạn, nửa khoảng trong
R
là tập liên thông nói riêng và
R
là một tập liên
thông.
b. Hình Elip, hình tròn, các đa giác lồi hoặc lõm, nửa mặt phẳng trong
2
R
là những tập liên
thồng.
c. Hình cầu, khối đa diện là những tập liên thông trong
3
R

d. Các

- lân cận
()Bx

,

Bx

trong
n
R
là những tập liên thông
+/. Tập
D
gọi là một miền trong
n
R
nếu
D
mở và
D
liên thông. Nếu
D
là một miền thì
D D D
gọi là miền đóng.
+/. Ví dụ 3:
Trong
2

R
thì một đa giác không kể biên là một miền. Một đa giác có kể biên là một miền
đống.
+/. Tập
n
AR
gọi là bị chặn nếu
0:c x c x A
Tức là
A
nằm trong hình cầu
đóng, tâm là gốc toạ độ, bán kính
c




Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
16
hàm nhiều biến - giới hạn


1
Hàm nhiều biến
a
Các khái niệm

- Cho
n
XR
, một quy luật
f
đặt t-ơng ứng mỗi điểm

12
, , ,
n
x x x x X
với một số
thực

12
, , ,
n
u f x x x R
gọi là một hàm
n
biến số có miền xác định là tập
X
.
- Ký hiệu hàm
f
có miền xác định
X
là

,u f x x R
hoặc

,x f x x R

- Nếu

12
, , ,
n
u f x x x
là hàm cho bởi một công thức thì miền xác định của hàm
f
là tập
tất cả các điểm

12
, , ,
n
x x x
mà công thức đã cho xác định.
- Nếu
f
là một hàm hai biến thì ta sẽ ký hiệu

, ; ,z f x y x y R

- Ví dụ:
+/. Hàm hai biến

22
, ln 1z f x y x y
có miền xác định là hình tròn mở ( không kể
biên ) tâm O, bán kính 1
+/. Hàm hai biến

,z g x y xy
có miền xác định là tập các điểm

,xy
có một trong hai
toạ độ bằng 0 hoặc hai toạ độ cùng dấu, tức là miền xác định của nó góc phần t- thứ I & III
cùng với các trục toạ độ.
b
Biểu diễn hình học của hàm hai biến

- Cho hàm hai biến

, ; ,z f x y x y R
; Khi ta biểu diễn tất cả các điểm

,,x y z
trong
không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
th-ờng ta đ-ợc một mặt, gọi là mặt biểu diễn của hàm

,z f x y

- Ví dụ: Mặt biểu diễn của hàm hai biến

, 2 1z f x y x y
là mặt phẳng
2 1 0x y z

c
Đ-ờng mức

- Với
0
zz
cố định thì

0
,z f x y
zz







là ph-ơng trình của một đ-ờng cong nằm trong mặt
phẳng
0
zz
, gọi là đ-ờng mức hay đ-ờng đẳng trị.
- Ví dụ:

Hàm hai biến

22
1
,z f x y
xy


, với mọi
0
0zz
, đ-ờng mức là đ-ờng tròn tâm

0
0,0,Iz
bán kính
0
1
z
nằm trong mặt phẳng
0
zz

2
Giới hạn hàm nhiều biến
a
Điểm tụ của một tập hợp

- Cho tập
n

XR
, điểm
n
aR
gọi là điểm tụ của tập
X
nếu

0, Ba



đều chứa
những điểm thuộc
X
khác với
a

Tức là:
0, :0x X x a


Suy ra những điểm thuộc
X
không phải là điểm tụ
Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:

17
đ-ợc gọi là điểm cô lập.
- Ví dụ:
+/.
X Q R
ta có mọi điểm của R đều là điểm tụ của Q
+/. Mọi
()x B x


đều là điểm tụ của
()Bx


+/. Tập
2
11
,:X n N R
nn







có duy nhất một điểm tụ

0,0 X
Mọi điểm của X

đều là điểm cô lập.
b
Giới hạn của dãy điểm trong R
n

- Dãy điểm

n
k
xR
gọi là có giới hạn
n
aR
khi
k
nếu
0, k


để
Kk
có
K
aa


Ký hiệu:
lim
K
K

aa



- Tập
n
KR
gọi là compac nếu mọi dãy



12
, , ,
k k k
kn
a x x x K
có dãy con

jk
a

hội tụ tới
aK

- Định lý:
n
KR
là compac khi và chỉ khi
K
đóng và bị chặn.

c
Giới hạn của hàm hai biến


- Định nghĩa: Hàm

,u f x y
xác định trên
2
XR
;
A
là một điểm tụ của
X
( nh- vậy
A
không nhất thiết thuộc
X
), khi đó nói

,f x y
có giới hạn
L
khi

,M x y
dần tới

2
12

,A a a R
nếu cho tr-ớc một số
0


tuỳ ý thì tồn tại một số
0


t-ơng ứng sao cho
với mọi

, ( ; \M x y H A A X


thì
( , )f x y L


Nói cách khác:
lim ( , )
MA
f x y L


khi
chỉ khi
12
0, 0, ( , ) :0 ,0 ( , )x y X x a y a f x y L

- Hàm

,z f x y
xác định trên
2
R
viết

0
0
lim ,
xx
yy
f x y A




nếu




0 0 0 0
, \ , ; ;
n n n n
x y X x y x x y y
đều có

,
nn
f x y A

- Ví dụ:
+/. Tính

22
22
, 0,0
sin( )
lim
xy
xy
I
xy




Đặt
; sinx rcos y r


Ta có
1I

+/. Xét xem giới hạn
2 2 2

44
( , ) (0,0)
sin( )
lim
xy
xy
J
xy




có tồn tại hay không?
Đặt
; sinx rcos y r


có
2 2 2
4 4 4 4
00
sin( ) 1
lim lim
sin
rr
xy
J
x y cos

Giới hạn này không tồn tại vì nó phụ thuộc vào


- Tính chất: Nếu

1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim , ; lim ,
x y a a x y a a
f x y M g x y N


thì
+/.

12
( , ) ( , )
lim , ,
x y a a
f x y g x y M N





+/.

12
( , ) ( , )
lim , ,
x y a a
f x y g x y MN





+/.



12
( , ) ( , )
,
lim 0
,
x y a a
f x y
M
N
g x y N



d
Giới hạn lặp

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
18

- Hàm

,u f x y
xác định trên
X
;

00
,xy
là điểm tụ thuộc
X
, với
0
yy

Đặt:

0
lim ,
xx
g y f x y

Nếu tồn tại

0
lim
yy
g y A


thì
A
gọi là giới hạn lặp của hàm số

,u f x y
khi
00
;x x y y

Ký hiệu:

00
lim lim ,
y y x x
f x y

(1) và

00
lim lim ,
x x y y
f x y

(2)
- Ví dụ:
a. Ta biết
0
0
lim
xx
yy
x
yx



không tồn tại, tuy nhiên lại tồn tại các giới hạn lặp khác nhau:
0 0 0
limlim lim0 0
y x y
x
yx



và
0 0 0
limlim lim 1
x y x
xx
y x x

b. Không tồn tại giới hạn kép nh-ng tồn tại các giới hạn lặp bằng nhau:
2 2 2 2
0 0 0 0
limlim limlim 0
y x x y
xy xy
y x y x




c. Tồn tại giới hạn kép
0
0
1
lim sin 0
x
y
x
y






vì

1
sin 0xx
y

nh-ng lại không tồn tại các giới
hạn lặp
00
1
limlim sin
xy
x
y




vì không tồn tại
0
1
limsin
y
y


3
Bài tập

Bài 1: Cho hàm

1

1
,
n
ii
i
x y x y




với

1 2 1 2
, , , ; , , ,
n
nn
x x x x y y y y R
CMR:
a/.
1

là một khoảng cách trên
n
R

b/. Tồn tại hằng số d-ơng
,AB
sao cho

1

, , , ;A x y x y B x y


,
n
x y R
trong
đó

,xy

là một khoảng cách Euclid trên
n
R

c/.

1
lim , 0 lim , 0
kk
kk
x x x x





Bài 2: Tìm các giới hạn

a/.

0
0
lim
11
x
y
xy
xy




b/.
0
0
sin
lim
x
y
xy
y




Bài 3: Cho hàm
22
( , )
xy
f x y

xy


Chứng tỏ rằng hàm này không có giới hạn khi (x,y) dần
đến (0,0). Hãy tìm những dãy

, 0,0
kk
xy
sao cho

,
kk
f x y m
trong đó m là một số
cho tr-ớc.

Bài 4: Xét các giới hạn của

22
2
22
( , )
cos x cos y
f x y
xy



khi (x,y) dần tới (0,0) đồng thời hoặc lặp.

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
19
hàm liên tục

1
Hàm liên tục

- Hàm

u f x
xác định trên
n
XR
đ-ợc gọi là liên tục tại
0
xX
nếu

0
0
lim
xx
f x f x

- Hàm

fx
gọi là liên tục trên tập
X
nếu nó liên tục tại
xX
.
- Hàm

fx
gọi là liên tục đều trên tập
X
nếu
0, 0: , ,x y X



xy


có

f x f y



- Chú ý:

fx
liên tục đều trên
X
thì

fx
liên tục trên
X
, ng-ợc lại ch-a chắc đúng.
2
Tính chất của hàm liên tục

- Định lý 1: Nếu hàm

fx
liên tục trên tập compac
n
KR
thì

fx
đạt cận trên đúng và
cận d-ới đúng trên
K

Tức là:

,:a b K f a f x f b x K

- Định lý 2: Nếu hàm

fx
liên tục trên tập compac
n
KR
thì

fx
liên tục đều trên tập
compac
K

3
Bài tập

Bài 1: Xét tính liên tục tại

0,0
của các hàm số sau:
a/.



22
22
22
22
11
0

,
00
xy
xy
xy
f x y
xy











b/.




22
22
22
22
1
0
,

00
cos x y
xy
xy
f x y
xy














Bài 2: CMR hàm số

,
xy
f x y
xy



không có giới hạn tại

0,0


Bài 3: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại

0,0

a/.

2
2
,
2
yx
f x y
yx




b/.

1
, sinf x y
xy


Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008

Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
20

Bài 4: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:
a/.

,
xy
f x y
xy



tại

0,0

b/.


1
,
1
cosxy
f x y
xy

tại

0,1




Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
21
đạo hàm - bài tập

1
Đạo hàm

- Định nghĩa: Cho hàm số

y f x
xác định trên

0
, , ,a b x a b
Cho
0
x
số gia

x
sao
cho

0
,x x a b
và gọi

00
y f x x f x
là số gia của hàm số ứng với số gia
x
của đối số.
Nếu tồn tại và hữu hạn
0
lim
x
y
x



thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

fx
tại
0
x
, hàm

fx
gọi là có đạo hàm tại
0
x
Ký hiệu

'
0
0
lim
x
y
fx
x





Nếu chỉ tồn tại và hữu hạn

0
'
0
lim
x
y
fx
x

hoặc

0
'
0
lim
x
y
fx
x






thì các giới hạn đó
gọi lần l-ợt là các đạo hàm bên trái hoặc bên phải của hàm

fx
tại
0
x

- Định lý 1: Hàm

fx
có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi

fx
có đạo hàm bên trái, phải tại
0
x
và các đạo hàm đó bằng nhau.
- ý nghĩa hình học, cơ học: Trong mặt phẳng toạ độ xét đ-ờng cong (C) có ph-ơng trình

y f x
và điểm

0 0 0
, ( )M x f x
thuộc (C). Nếu tồn tại

'
0
fx
thì ph-ơng trình tiếp tuyến
với đ-ờng cong (C) tại M
0
là

'

0 0 0
y f x f x x x

Một chất chuyển động thẳng có ph-ơng trình quãng đ-ờng đi đ-ợc s theo thời gian t là s =
s(t) Tại điểm t
0
- Định lý 2: Hàm

fx
có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại
0
x

- Định lý 3: Nếu

fx
và

gx
là các hàm có đạo hàm tại
x
thì tổng, hiệu, tích, th-ơng
(

0gx
) cũng có đạo hàm tại
x

và:


'
''
f x g x f x g x





'
''
.f x g x f x g x f x g x








'
''
2
f x f x g x f x g x
g x g x

- Định lý 4: Cho hàm

y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
, hàm

z g x
xác định trong một
khoảng chứa

00
y f x
và có đạo hàm tại
0
y
Khi đó hàm

gf x
có đạo hàm tại
0
x
và

'
'

0 0 0
gf x g y f x

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
22
- Định lý 5: Cho hàm

y f x
liên tục và đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trong khoảng

,ab
Nếu

fx
có đạo hàm tại điểm

0
,x a b
và
0
0x
thì hàm ng-ợc

xy

của

fx
cũng có đạo hàm tại

00
y f x
và


'
'
0
1
y
fx



2
Đạo hàm riêng

- Giả sử

,z f x y
xác định trên

_ lân cận của điểm

00

,xy
Cho
x
số gia
x

, khi đó số
gia của hàm số tại điểm

00
,xy
là

0 0 0 0
,,
xx
f f x y f x y

Nếu tồn tại và hữu hạn:
0
lim
x
x
x
f



thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm

,f x y
theo
biến
x
tại

00
,xy
Ký hiệu

00
,
f
xy
x


hoặc

'
00
,
x
f x y

- T-ơng tự:

00
,
f

xy
y


hoặc

'
00
,
y
f x y

- T-ơng tự:

00
,
i
f
xy
x


hoặc

'
00
,
i
x
f x y

- Ví dụ:
a/. Cho

32
,2f x y x xy y
Ta có:

22
, 3 2 1,0 3
ff
x y x y
xx





, 4 1 1,0 1
ff
x y xy
yx




b/.

,f x y x
Ta có

0, 0fy
nên

0,0 0
f
y



và

,0f x x
Hàm một biến này
không có đạo hàm tại
0x
nên không tồn tại

0,0
f
x



c/.



00
,

10
xy
f x y
xy








Hàm gián đoạn tại

0,0
vì

11
, 0,0
nn




nh-ng
11
,1f
nn

không dần đến

0,0 0f
khi
n

Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại

0,0
, thật vậy



00
0 ,0 0,0
00
0,0 lim lim 0
xx
f x f
f
x x x





và

0,0 0
f
y




3
Đạo hàm riêng cấp cao

+/.
2
2
'' ''
2
xx
x
ff
ff
x x x






và
2
2
'' ''

2
yy
y
ff
ff
y y y







Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
23
+/.
2
''
xy
ff
f
x y x y

và
2
''
yx
ff
f
y x y x






( Đây là hai đạo hàm hỗn hợp )
+/. Ví dụ: Cho hàm

3
, sin
y
f x y x y xe

Ta có
2
3 cos
y
f
x y xe
x

và
3
sin
y
f
x xe
y




2
2
6 sin
y
f
xy xe
x



;
2
2
3 cos
y
f

x xe
xy



;
2
2
3 cos
y
f
x xe
yx



;
2
2
sin
y
f
xe
y




+/. Định lý Schwartz: Nếu đạo hàm hỗn hợp
'' ''

;
xy yx
ff
xác định và liên tục trong một

_ lân
cận của điểm

00
,xy
thì

'' ''
0 0 0 0
,,
xy yx
f x y f x y

4
Bài tập

Bài 1: Dùng định nghĩa, tính
a/.

1,1
f
x


với

2
, ln 1f x y x y

b/.

0,0 ; 0,0
ff
xy


với



22
22
22
1
sin 0
,
00
xy x y
xy
f x y
xy

Bài 2: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a/.

, ln
2
y
f x y x
x





b/.

,
x
f x y arctg
y


c/.

22
,
xy
f x y x y e


Bài 3: Cho hàm số



2 2 2 2
22
22
0
,
00
xy
x y x y
xy
f x y
xy

CMR:

22
0,0 0,0
ff
x y y x







Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
24
Ch-ơng III:
tích phân bội

tích phân trên hình hộp

1
Bài toán tính thể tích hình trụ

Hình trụ

V
có phía trên là mặt

:,S z f x y
với

,f x y
liên tục và

,0f x y
, phía
d-ới hình

D
là hình chiếu của

S
lên mặt phẳng toạ độ
Oxy
. Hình

D
có diện tích là
S
, khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ

V
theo ph-ơng pháp sau:

+/. Gọi phân hoạch
P
là một phép chia

D
thành
n
hình nhỏ

1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
sao cho
12

n
S S S S

+/. Đ-ờng kính của tập
n
AR
là số


:,d A A Sup x y x y A
Khi đó đ-ờng kính
của phân hoạch
P
là

: 1,
i
P max S i n

+/. Dựng hình trụ

i
V
t-ơng ứng vói mỗi
i
và có đáy

i
S
Gọi
i
V
là thể tích hình trụ

i
V
. Ta có
1
n
i
VV


+/. Lấy

,
i i i
x y S
khi đó thể tích hình trụ có đáy

i
S
, chiều cao

,
ii
f x y
là

,
i i i
f x y S
Ta có:

11
,
nn
i i i i
V V f x y S


Nếu
0P
thì sai số dần tới

0
Vậy

0
1
lim ,
n
i i i
P
V f x y S




V
không phụ thuộc vào phân hoạch
P
và cách chọn điểm

,
i i i
x y S

2
Định nghĩa


- Cho hàm

,z f x y

xác định trên miền

D
bị chặn.
- Phân hoạch
P
chia

D
thành
n
miền

1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
có diện tích t-ơng
ứng
1 2 3
; ; ; ;
n
S S S S
Thực hiện phép chọn
C
các điểm

,
i i i
x y S

Khi đó

1
, , ,
n
i i i
I f P C f x y S

là tổng tích phân của hàm

,f x y
ứng với phân hoạch
P
và
phép chọn
C
của
P

- Nếu tồn tại

0
lim , ,
P
I f P C I


không phụ thuộc vào phân hoạch
P
và phép chọn

C
, tức
là
0, 0


sao cho với mọi phân hoạch
P
và mọi phép chọn
C
nếu

,,P I I f P C


thì
I
gọi là tích phân của hàm

,f x y
trên miền

D
.
Ký hiệu:



0
1

, lim ,
n
i i i
P
D
f x y dS f x y S





- Khi chia

D
thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song
,Ox Oy
thì
i i i
S x y

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
25
Khi đó
S dxdy
và

,,
DD
f x y dS f x y dxdy


- Nếu


,
D
f x y dxdy

tồn tại thì hàm

,f x y
gọi là khả tích trên

D

* Định lý:
Nếu hàm

,f x y
liên tục trên miền đóng, bị chặn

D
thì

,f x y
khả tích trên

D

3
Tính chất
a
Nếu

, 1; ,f x y x y D
và miền

D
có bằng diện tích
S
thì


,
DD
f x y dxdy dxdy S


b
Nếu

,f x y
khả tích trên miền

D
và
R


thì

,f x y

cũng khả tích trên

D
và




,,
DD
f x y dxdy f x y dxdy




c
Nếu

,f x y
và

,g x y
khả tích trên miền

D
thì

,,f x y g x y
khả tích trên

D
,






, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy




d
Nếu

D
đ-ợc chia thành hai miền nhỏ

12
,DD
thì






12
, , ,
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy


e
Nếu

,f x y
và

,g x y
khả tích trên

D
và

,,f x y g x y
thì

,,
DD
f x y dxdy g x y dxdy


Đặc biệt:


, 0 , 0
D
f x y f x y dxdy


f
Nếu

,f x y
khả tích trên miền

D
và

,m f x y M
thì

,
D
mS f x y dxdy MS


h
Nếu

,f x y
khả tích trên miền đóng, bị chặn, liên thông

D
thì

00
,x y D
sao cho



00
, , .
D
f x y dxdy f x y S


4
Bài tập

- Bài 1: Đánh giá các tích phân trong từng tr-ờng hợp

a/.


22
49
D
x y dxdy

trong đó

D
là hình tròn
22
4xy

b/.



2 2 2 2
22
D
x y x y dxdy

trong đó

02
:
02

x
D
y







- Bài 2:
CMR nếu

fx
là hàm số khả tích trên

,ab
thì

2
2
bb
aa
f x dx b a f x dx

- Bài 3: Xác định miền lấy tích phân
a/.
1; 1; 0x y x y x

Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
26
b/.
22
4; 0; 0x y y x

c/.
2 2 2 2
;1x y y x

d/.

22
1 2 1xy


- Bài 4: CMR nếu

,f x g y

lần l-ợt là các hàm khả tích trên

,ab
và

,cd
thì



,,
bd
a b c d a c
f x g y dxdy f x dx g y dy







Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008



Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang:
27
tích phân trên tập giới nội

1
Định nghĩa

- Cho hàm ba biến

,,u f x y z
xác định trên miền bị chặn

V
trong không gian
Oxyz
;
Gọi
V
là thể tích của

V
; Chia

V
thành
n
miền nhỏ là

12
, , ,
n
V V V
có thể
tích lần l-ợt nh- sau:

12
, , ,
n
V V V
sao cho
1
n
i
i
VV



Trên mỗi miền nhỏ

i
V
lấy
điểm tuỳ ý

,,
i i i
x y z
Lập tổng

1
,,
n
i i i i
i

f x y z V



(*)
- Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm

,,f x y z
trên miền

V
, ký hiệu

ii
d d V

là đ-ờng kính của miền

i
V
Đặt

1,
i
d max d i n

- Nếu tồn tại

1
lim , ,

n
i i i i
n
i
f x y z V




không phụ thuộc vào cách chia miền

V
và cách chọn
điểm

,,
i i i i
x y z V
thì giới hạn đó gọi là tích phân ba lớp của hàm

,,f x y z
trên miền

V

Ký hiệu:


,,
V

f x y z dV

Hoặc


,,
V
f x y z dxdydz


- Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói

,,f x y z
khả tích trên

V

- Định lý: Nếu hàm số

,,f x y z
liên tục trên miền đóng, bị chặn

V
thì

,,f x y z
khả tích
trên

V

2
Tính chất
a

VV
dV dxdydz V


b





, , , ,
VV
f x y z dV f x y z dV R




c






, , , , , , , ,

V V V
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV




d
Nếu

12
V V V
(

V
đ-ợc chia thành hai miền

1
V
&

2
V
) thì






12

, , , , , ,
V V V
f x y z dV f x y z dV f x y z dV


e
Nếu

, , , , , ,f x y z g x y z x y z V
Thì




, , , ,
VV
f x y z dV g x y z dV