GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN

THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
…
…




G
G
I

I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N




…
…


§
§
1
1
.
.


G

G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


C
C
Ủ
Ủ
A
A


D
D
Ã
Ã
Y

Y


S
S
Ố
Ố
.
.


1) GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
 Đn1: Dãy số
( )
n
u
được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới + nếu
| |
n
u
có thể nhỏ hơn một số dương bé
tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu:
lim 0
n
n
u


hay

0
n
u

khi
n
 
.




1
Vd
Dãy số
( )
n
u
với
( 1)
n
n
u
n

 là
1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , ,
2 3 4 5 6 23 24
    được biểu diễn trên trục số, ta

thấy khi n càng lớn thì các điểm chụm lại quanh điểm 0.
Khi n > 23, tức là kể từ số hạng thứ 24 trở đi, ta có
1
| |
n
u
n

<
1
23
, nghĩa là
| |
n
u
có thể nhỏ bao nhiêu
cũng được miễn là chọn n đủ lớn. Khi đó, ta có
( 1)
lim 0
n
n
n



.
 Đn2: Dãy số
( )
n
v

được gọi là có giới hạn là số a khi n dần tới + nếu


lim 0
n
n
v a

 
.
Ký hiệu
lim
n
n
v a


hay
n
v a

khi
n
 
.




2

Vd
Dãy số
( )
n
v
với
2 1
n
n
v
n

 có giới hạn là 2 khi n dần tới +. Thật vậy:
Ta có
2 1 1
lim ( 2) lim 2 lim 0
n
n n n
n
v
n n
  

 
    
 
 
. Vậy
2 1
lim 2

n
n
n




 Giới hạn đặc biệt:

1
lim 0
n
n


;
1
lim 0
k
n
n


; 
lim 0
n
n
q



khi |q| < 1; 
lim
n
c c


với c là hằng số.
 Chú ý: lim
n
n
u

được viết tắc là
lim
n
u
.
2) ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN:
 Định lý:
a) Nếu lim
n
u
= a và lim
n
v
= b thì:
 lim(
n
u


n
v
) = a  b;  lim(
n
u
.
n
v
) = a.b;  lim
n
n
u
a
v b

(b  0).
b) Nếu
n
u
 0 nN* và lim
n
u
= a thì a  0 và lim
n
u a
 .



3
Vd
Tìm
2
2
3
lim
1
n n
n


.
Giải:
2
2
2
2
1
1
lim 3
3
3 3
lim lim 3
1
1
1 1
1
lim 1
n n

n
n
n
n
n
 


 

 
   

 


 
 
.




4
Vd
Tìm
2
1 4
lim
1 2

n
n


.
Giải:
 
2
2 2
1 1
4 lim 4
1 4 2
lim lim 1
1
1
1 2 2
2
lim 2
n
n n
n
n
n
 

    
 


.

3) TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
 Cấp số nhân vô hạn
( )
n
u
có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
1 2

1
n
u
S u u u
q
     

với |q| < 1.
4
4

THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I

H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h

h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
Vì
1 1 1
1 2
(1 )

1 1 1
n
n
n n
u q u u
S u u u q
q q q

      
  
.
Ta có

1 1 1
lim lim lim
1 1 1
n
n
u u u
S q
q q q
 
  
 
  
 
nên
1
1
u
S
q


.




5
Vd
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
( )

n
u
sau:
a)
( )
n
u
với
1
3
n
n
u

; b)
1
1 1 1 1
1
2 4 8 2
n
 
      
 
 
.
Giải:
a) Ta có
1
1 1
,

3 3
u q
 
do đó
1
3
1
1
3
1 1 1 1 1

3 9 27 3 1 1 2
n
u
S
q
        
 
;
b) Ta có
1
1
1,
2
u q
  
do đó
1
1
1 1 1 1 1 2

1
1
2 4 8 2 1 3
1
2
n
u
S
q

 
          
 

 

.
4) GIỚI HẠN VÔ CỰC:
a) Định nghĩa:
 Ta nói dãy số
( )
n
u
có giới hạn + khi
n
 
, nếu
n
u
có thể lớn một số dương bất kỳ, kể từ một số

hạng nào đó trở đi. Ký hiệu
lim
n
u
 
hay
n
u
 
khi
n
 
.
 Ta nói dãy số
( )
n
u
có giới hạn – khi
n
 
, nếu lim( )
n
u
  
. Ký hiệu lim
n
u
 
hay
n

u
 
khi
n
 
.
b) Giới hạn đặc biệt:
 lim
k
n
n

 
(kN*);  lim
n
n
q

 
(q > 1).
c) Định lý:

lim , lim lim 0
Neáu thì
n
n n
n n n
n
u
u a v

v
  
   
.

lim 0, lim 0 0 * limNeáu vaø thì
n
n n n
n n n
n
u
u a v v n N
v
  
       
.
 lim , lim 0 lim .Neáu thì
n n n n
n n n
u v a u v
  
     
.




6
Vd
Tìm

2 5
lim
.3
n
n
n


Giải: Ta có
5
2
2 5
lim lim 0
.3 3
n n
n
n
n


 
vì
5
lim 2 2
n
 
 
 
 
và

lim3
n
 





7
Vd
Tìm
3
2
3 1
lim
2
n n
n n
 


Giải: Ta có
3
2 3
2
2
3 1
1
3 1
2 1

2
n n
n n
n n
n n
 
 



,
2 3
3 1
lim 1 1
n n
 
  
 
 
,
2
2 1
lim 0
n n
 
 
 
 
và
2

2 1
0
n n
 
nN*
nên
3
2
3 1
lim
2
n n
n n
 

= +.




8
Vd
Tìm
2
lim( 2 3)
n n
 

Giải: Ta có
2 2

2
2 3
lim( 2 3) lim 1n n n
n n
 
      
 
 
vì
2
limn
 
và
2
2 3
lim 1 1 0
n n
 
   
 
 
.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I

I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n

h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.

1) Tìm các giới hạn sau:
a)
6 1
lim
3 2
n
n


; b)
2
2
3 5
lim
2 1
n n
n
 

; c)
3 5.4
lim
4 2
n n
n n


;

d)
2
9 1
lim
4 2
n n
n
 

; e)
2
3 2
4 5
lim
3 7
n n
n n
 
 
; f)
5 4
3 2
3 2
lim
4 6 9
n n n
n n
  
 
;

g)
4
2
2 3 2
lim
2 3
n n
n n
 
 
; h)
3 2.5
lim
7 3.5
n n
n


; i)
2
1
lim
2 3
n n
n
 

.
 Hướng dẫn:
a) 2; b)

3
2
; c) Chia tử và mẫu cho
4
n
kết quả bằng 5; d)
3
4

e) 0; f) +; g)
2
2
h) Chia tử và mẫu cho
5
n
kết quả bằng
2
3

; i) 1.
2) Tìm các giới hạn sau:
a)
3 2
lim( 2 1)
n n n
  
; b)
2
lim( 5 2)
n n

  
; c)


2
lim
n n n
 
;
d)


2
lim
n n n
 
; e)
4 2
lim 2 2
n n n
  
; f)
lim 2.3 2 2
n n
 
;
g)


2

lim 1
n n n
  
; h)


2
lim 2 1
n n n
   
; i)
2
4 1
lim
2 1
n n
n
 


 Hướng dẫn:
a) +; b) –; c)
2 2
2
1
lim lim
2
1
1
n n n n

n n n
n n
n
  
  
 
 
; d)
1
lim 1 1n
n
 
   
 
 
 
;
e) +; f)
 
2 2
lim 2.3 2 2 lim 3 2
3 3
n
n
n n
n
 
      
 
 

g)
1
2
; h) + i) 1.
3) Tính tổng:
a)
2 1
1 1 ( 1)
1
10 10 10
n
n
S


      
b)
1
3 3 3 3 3.( 1)

2 4
2 2 2 ( 2)
n
n
S


      

 Hướng dẫn:

a)
10
11

;
b) Dãy số
1
3 3 3 3 3.( 1)
( ): , , , , , ,
2 4
2 2 2 ( 2)
n
n
n
u


 
là cấp số nhân vô hạn với
1
1 3
;
2 2
q u   vì
1
| | 1
2
q
  
nên

( )
n
u
là một cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó
3/ 2 3
1 1/ 2 1 2
S  
 
.



THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N

1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á

p
p
.
. Trang 4
§
§
2
2
.
.


G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N

C
C
Ủ
Ủ
A
A


H
H
À
À
M
M


S
S
Ố
Ố
.
.


I> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
1) Định nghĩa:
Cho khoảng K chứa điểm
0
x
và hàm số y = (x) xác định trên K hoặc trên K \{

0
x
}.
Ta nói hàm số y = (x) có giới hạn là số L khi x dần tới
0
x
nếu với dãy số


n
x
bất kỳ,
n
x
K \{
0
x
} và
n
x
dần tới
0
x
ta có (
n
x
) dần tới L.
Ký hiệu:
0
0

lim ( ) ( )
hay khi
x x
f x L f x L x x

  
.
0
0
0
\{ }
lim ( ) ( )
n
n
x x
n
x K x
f x L f x L
x x

  

   
 



 






1
Vd
Cho hàm số
2
4
( )
2
x
f x
x



. Chứng minh rằng
2
lim ( ) 4
x
f x

 
.
Giải: Hàm số xác định trên R \{–2}.
Giả sử


n
x

là một dãy số bất kỳ, thỏa
n
x
 –2 và
2
khi
n
x n
   
. Ta có:
lim ( )
n
f x

2
4 ( 2)( 2)
lim lim( 2) 4
2 2
n n n
n
n n
x x x
x
x x
  
    
 
.
Do đó
2

lim ( ) 4
x
f x

 
.
2) Định lý về giới hạn hữu hạn:
 Giả sử
0
lim ( )
x x
f x L


và
0
lim ( )
x x
g x M


. Khi đó:



0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M


  
;



0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M

 ;

0
( )
lim
( )
x x
f x L
g x M

 (nếu M  0).
 Nếu (x)  0 và
0
lim ( )
x x
f x L


thì L  0 và
0

lim ( )
x x
f x L


.




2
Vd
Cho hàm số
2
1
( )
2
x
f x
x

 . Tìm
3
lim ( )
x
f x

.
Giải: Ta có



2
2
3
3
3
lim 1
1 9 1 5 3
lim
3
2 lim 2 2 3
x
x
x
x
x
x x




 
  
3) Giới hạn một bên:
 Định nghĩa:
 Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng


0
;

a x
.
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = (x) khi
0
x x
 nếu với dãy số


n
x
bất kỳ
0
n
a x x
 
và
0
n
x x

, ta có
( )
n
f x L

. Ký hiệu
0
lim ( )
x x
f x L




.
0
0 0
0
( ; ),
lim ( ) ( )
n n
n
x x
n
x a x x x
f x L f x L
x x


   

   
 



 

 Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng



0
;
x b
.
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = (x) khi
0
x x
 nếu với dãy số


n
x
bất kỳ
0 n
x x b
 
và
0
n
x x

, ta có
( )
n
f x L

. Ký hiệu
0
lim ( )
x x

f x L



.
0
0 0
0
( ; ),
lim ( ) ( )
n n
n
x x
n
x x b x x
f x L f x L
x x


   

   
 



 

THPT Tân Bình – Bình Dương.
G

G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
 Định lý:
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x x
x x
x x

f x L
f x L
f x L








 









3
Vd
cho hàm số
2
5 2 1
( )
3 1
neáu
neáu

x x
f x
x x
 



 

. Tìm
1
lim ( )
x
f x

.
Giải: Ta có
1 1
lim ( ) lim(5 2) 7
x x
f x x
 
 
  
và
2
1 1
lim ( ) lim( 3) 2
x x
f x x

 
 
   
nên
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
 
 

do
đó không tồn tại
1
lim ( )
x
f x

.
II> GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC:
 Định nghĩa:
 Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (a; +). Ta nói hàm số y = (x) có giới hạn là số L khi
x
 
nếu với dãy số


n
x
bất kỳ,

n
x a

và
n
x
 
, ta có
( )
n
f x L

.
Ký hiệu lim ( )
x
f x L


hay ( )
n
f x L
 khi
x
 
.
lim ( ) ( )
n
n
x
n

x a
f x L f x L
x

  

   
 

 

 

 Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (–; a). Ta nói hàm số y = (x) có giới hạn là số L khi
x
 
nếu với dãy số


n
x
bất kỳ,
n
x a

và
n
x
 
, ta có

( )
n
f x L

.
Ký hiệu lim ( )
x
f x L


hay ( )
n
f x L
 khi
x
 
.
lim ( ) ( )
n
n
x
n
x a
f x L f x L
x

  

   
 


 

 





4
Vd
Tìm
2
2
3 2
lim
1
x
x x
x




Giải: Ta có
2
2
2
2
3

3 2 3 0
lim lim 3
1
1 1 0
1
x x
x x
x
x
x
 

 
  
 


III> GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:
 Định nghĩa:
 Cho hàm số y = (x) xác định trên khoảng (a; +). Ta nói hàm số y = (x) có giới hạn là – khi
x
 
nếu với dãy số


n
x
bất kỳ,
n
x a


và
n
x
 
, ta có ( )
n
f x
 
.
Ký hiệu
lim ( )
x
f x

 
hay
( )
n
f x
 
khi
x
 
.
lim ( ) ( )
n
n
x
n

x a
f x f x
x

  

     
 

 

 




lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
 
     
.
 Giới hạn đặc biệt:

lim
k
x
x

 

với k nguyên dương.
 lim
k
x
x

 
với k lẻ.
 lim
k
x
x

 
với k chẵn.
 Quy tắc tìm giới hạn vô cực:
 Dạng tích: Nếu
0
lim ( ) 0
x x
f x L

 
và
0
lim ( ) ( )
hoaëc
x x
g x


   
thì
0
lim ( ). ( ) ( )
hoaëc
x x
f x g x

   

theo đúng quy tắc về dấu.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N

1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p

p
.
. Trang 6
 Dạng thương
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x


0
lim ( )
x x
f x


0
lim ( )
x x
g x


Dấu của g(x)
0
( )
lim
( )

x x
f x
g x


L
+ hoặc –
Tùy ý 0
+
+
L > 0
–
–
+
–
L < 0
0
–
+




5
Vd
Tìm
3
lim ( 2 1)
x
x x


 

Giải: Ta có
3 3
2 3
2 1
lim ( 2 1) lim 1
x x
x x x
x x
 
 
      
 
 





6
Vd
Tìm
1
2 3
lim
1
x
x

x




và
1
2 3
lim
1
x
x
x





Giải:
Ta có
1 1
lim(2 3) 1 0, lim( 1) 0
x x
x x
 
 
     
. Khi
1
x



thì
1 1 0
x x
   
do đó
1
2 3
lim
1
x
x
x




= +
Ta có
1 1
lim(2 3) 1 0, lim( 1) 0
x x
x x
 
 
     
. Khi
1
x


 thì
1 1 0
x x
   
do đó
1
2 3
lim
1
x
x
x




= –.
 Dạng vô định:
 Khi
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
u x v x
 
 
thì
0
( )
lim

( )
x x
u x
v x

có dạng
0
0

 Khi
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x
 
  
thì
0
( )
lim
( )
x x
u x
v x

có dạng



 Khi

0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x v x
 
  
thì
0
lim[ ( ). ( )]
x x
u x v x

có dạng 0. 
 Khi
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x
 
  
thì
0
lim[ ( ) ( )]
x x
u x v x

 có dạng  – .



7
Vd
Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:
a)
2
3
2
2
lim
8
x
x x
x

 

; b)
2 2
3 4 1
lim
5 2
x
x x
x

  

c)
0

3 1 1
lim
2 2
x
x x

 

 

 
d)


2
lim 1
x
x x x

  

Giải: Ta có
a) Dạng
0
0
:
2
3 2 2
2 2 2
2 ( 1)( 2) 1 3 1

lim lim lim
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 4
x x x
x x x x x
x x x x x x
  
     
    
     

b) Dạng


:
2 2
2 2
3 1
4 1
3 4 1
lim lim
2
5 2
5
x x
x
x x
x x
x
x
x

 
 
  
 
  
 


 

 
 
=
2 2
3 1
4 1
3
lim
2
5
5
x
x x
x

 
  
 
 
 

 
 
 
 

c) Dạng 0. :
0 0 0
3 1 1 3[2 ( 2)] 3 3
lim lim lim
2 2 2 ( 2) 2( 2) 4
x x x
x
x x x x x
  
  
 
    
 
  
 

d) Dạng  –  :
 
2 2
2
2
2
1
1
1

lim 1 lim lim
1 1
1
1
x x x
x
x x x
x
x x x
x x x
x x
x x
  
 

 
  
 
    
 
  
  
 
 




THPT Tân Bình – Bình Dương.
G

G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê

H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7
B
B
À
À
I
I


T
T

Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Tìm các giới hạn sau:
a)
2
3
1
lim
1
x
x
x



; b)
2
2
4
lim
2
x
x
x




; c)
6
3 3
lim
6
x
x
x

 

; d)
2 6
lim
4
x
x
x



;
e)
2
17
lim
1

x
x


f)
2
2 1
lim
3
x
x x
x

  

; g)
2
1
1
lim
3 2
x
x
x x


 
; h)
2
4 1 3

lim
2
x
x
x

 

;
i)
0
2 4
lim
x
x
x

 
; j)
3
2
8
lim
2
x
x
x




; k)
4 3
11
lim
2 7
x
x x
x

 

; l)
4
4
lim
4
x
x
x



.
 Hướng dẫn:
a)
2
3 3
1
lim lim( 1) 4
1

x x
x
x
x
 

   

; b)
2
2 2
4
lim lim(2 ) 4
2
x x
x
x
x
 

  

;
c)
 
6 6
3 3 3 9 1
lim lim
6 6
( 6) 3 3

x x
x x
x
x x
 
   
 

  
; d)
6
2
2 6
lim lim 2
4
4
1
x x
x
x
x
x
 


  


;
e)

2
2
2
17
17
lim lim 0
1
1
1
x x
x
x
x
 
 


; f)
2
2
1 1
2
2 1
lim lim
3
3
1
x x
x x
x x

x
x
x
 
  
  
  



g)
2
1 1
1 1
lim lim 1
3 2 2
x x
x
x x x
 

 
  
; h)
 
2 2
4 1 3 4 8 2
lim lim
2 3
( 2) 4 1 3

x x
x x
x
x x
 
  
 

  
;
i)
0 0
2 4 1 1
lim lim
4
2 4
x x
x
x
x
 
 
 
 
j)
 
3
2
2 2
8

lim lim 2 4 12
2
x x
x
x x
x
 

   

;
k)
4 3
4
3
1 11
1
11
lim lim
7
2 7
2
x x
x x
x x
x
x
x
 
 

 
  


; l)
4
4
4
1
4
lim lim
4
4
1
x x
x
x
x
x
x
 


  


.
2) Tìm các giới hạn sau:
a)
2

2
3 5
lim
( 2)
x
x
x



; b)
1
2 7
lim
1
x
x
x




; c)
1
2 7
lim
1
x
x
x





; d)
2
2 1
lim
2
x
x
x





e)
2
2 1
lim
2
x
x
x




f)

2
0
1 1
lim
x
x x

 

 
 
g)
4
0
1 1
lim
x
x x

 

 
 
; h)
2
3
1 1
lim
3 9
x

x x


 

 
 
 
.
 Hướng dẫn:
a) Ta có
2 2
2
2 2 2
3 5
lim(3 5) 11 0, lim( 2) 0 2) 0 2. lim
( 2)
vaø ( khi Vaäy
x x x
x
x x x x
x
  

         

;
b) Ta có
1 1 1
2 7

lim(2 7) 5 0, lim( 1) 0 1 0 1 1 . lim
1
vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x x
x
  

  

            

;
c) Ta có
1 1 1
2 7
lim(2 7) 5 0, lim( 1) 0 1 0 1 1 . lim
1
vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x x
x
  

  

            


;
d) Ta có
2 2 2
2 1
lim(2 1) 5 0, lim(2 ) 0 2 0 2 2 . lim
2
vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x x
x
  

  

           

;
e) Ta có
2 2 2
2 1
lim(2 1) 5 0, lim(2 ) 0 2 0 2 2 . lim
2
vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x x
x
  


  

           

;
f)
2
2
0
1
lim
x
x
x


. Ta có
2
2 2 2
2
0 0 0
1
lim( 1) 1 0, lim 0 0 0. lim vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x
x
  

       

;
g)
3
4
0
1
lim
x
x
x


. Ta có
3
3 4 4
4
0 0 0
1
lim( 1) 1 0, lim 0 0 0. lim vaø khi Vaäy
x x x
x
x x x x
x
  

        
;
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G

I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H

H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
h)
2
3 3
1 1 2
lim lim
3 9 ( 3)( 3)
x x
x
x x x x
 
 


 
 
 
   
 
.
Ta có
0
3 3
2 5 2
lim 0, lim( 3) 0 3 0 3 3 . lim
3 6 ( 3)( 3)
vaø khi Vaäy
x
x x
x x
x x x x
x x x
 


 
 
          
  
;
3) Tìm các giới hạn sau:
a)
4 2

lim ( 1)
x
x x x

  
; b)
3 2
lim ( 2 3 5)
x
x x

  
; c)
2
lim 2 5
x
x x

 
;
d)
2
1
lim
5 2
x
x x
x

 


; e)
2
1 3
lim
2 7
x
x x x
x

  

; f)


lim 2
x
x x

 
;
g)
2
2 1
lim
1
x
x
x x


 

 

 
; h)
6
2
2
lim
3 2
x
x x
x



; i)
5
2
11
lim
2 1
x
x x
x x

 
 
.

 Hướng dẫn:
a)
4 2 4
2 3 4
1 1 1
lim ( 1) lim (1 )
x x
x x x x
x x x
 
        
;
b)
3 2 3
3
3 5
lim ( 2 3 5) lim ( 2 )
x x
x x x
x x
 
        
;
c)
2
2
2 5
lim 2 5 lim | | 1
x x
x x x

x x
 
      
;
d)
2
2
1
1 1
1
lim lim 1
5
5 2
2
x x
x x
x
x
x
 
 
 
  


;
e)
2
2
1 1

| | 1 3
1 3 1 3
lim lim 1
7
2 7 2
2
x x
x x
x x x
x x
x
x
x
 
  
   
   

 

 
 
;
f)
 
2
2
lim 2 lim lim 0
2 2
1 1

x x x
x
x x
x x
x
  


    
 
 
;
g)
2 3
2 3
2
1 1
2
2 1 2 1
lim lim lim
1
1
1
x x x
x x x
x x
x
x x x x
x
  

 
 
 
    
 
 
 

;
h)
3
6
5 5
2
2
2 2
2 2
| | 1 1
2
lim lim lim ( )
2 2
3 2
3 3
x x x
x
x x
x x
x
x
x

x x
  
 

    

   
 
   
   
;
i)
 
5
5
4 5 4 5
2
2
2
2
1 11 1 11
1 1
11
lim lim lim
1 1
1 1
2 1
2
2
x x x

x
x x
x x x x
x
x x
x
x x
x x
  
   
 
   
 
 
 
 
 
 
.






THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I

Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à

à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
§
§
3
3
.
.


H
H
À
À
M

M


S
S
Ố
Ố


L
L
I
I
Ê
Ê
N
N


T
T
Ụ
Ụ
C
C
.
.


I> HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:

 Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x

xác định trên khoảng K và
0
x
 K.
Hàm số
( )
y f x

được gọi là liên tục tại
0
x
nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x


.




1
Vd

Xét tính liên tục của hàm số
( )
2
x
f x
x


tại
0
3
x

.
Giải: Tập xác định
\{2}
D R

.
Ta có (x) xác định trên khoảng (2; +) chứa
0
3
x

.
3 3
lim ( ) lim 3 (3)
2
x x
x

f x f
x
 
  

. Vậy hàm số
( )
y f x

liên tục tại
0
3
x

.
II> HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN:
 Định nghĩa:
 Hàm số
( )
y f x

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
 Hàm số
( )
y f x

được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b

 
 
  .




2
Vd
Xét tính liên tục của hàm số
2
( ) 1
f x x
 
trên đoạn [–1; 1].
Giải: Tập xác định D = [–1; 1].

0
x
 (–1; 1), ta có
0 0
2 2
0 0
lim ( ) lim 1 1 ( )
x x x x
f x x x f x
 
     nên hàm số liên tục trên khoảng (–1; 1).
Ta có
2

1 1
lim ( ) lim 1 0 ( 1)
x x
f x x f
 
 
    
và
2
1 1
lim ( ) lim 1 0 (1)
x x
f x x f
 
 
   
.
Vậy hàm số
2
( ) 1
f x x
 
liên tục trên đoạn [–1; 1].
III> MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
 Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỷ và các hàm số
lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
 Định lý 2: Giả sử (x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm
0
x
. Khi đó các hàm số y = (x)  g(x) và

hàm số y = (x).g(x) liên tục tại
0
x
. Hàm số
( )
( )
f x
y
g x
 liên tục tại
0
x
nếu g(
0
x
)  0.




3
Vd
Cho hàm số
2
2 2
1
( )
1
5 1
neáu

neáu
x x
x
f x
x
x











Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Giải: Tập xác định D = R.
 Nếu x  1 thì hàm số
2
2 2
( )
1
x x
f x
x




có tập xác định là D = R \{1} nên liên tục trên mỗi khoảng
(–; 1) và (1; +).
 Nếu x = 1 thì (1) = 5. Ta có
2
1 1 1
2 2
lim ( ) lim lim2 2
1
x x x
x x
f x x
x
  

  

. Vì
1
lim ( ) (1)
x
f x f

 nên hàm số
(x) không liên lục tại x = 1.
 Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +) và gián đoạn tại x = 1.
 Định lý 3: Nếu hàm số
( )
y f x

liên tục trên đoạn [a; b] và (a).(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm

c  (a; b) sao cho (c) = 0.




4
Vd
Chứng minh phương trình
3
2 5 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm.
Giải: Hàm số
3
( ) 2 5
f x x x
  
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có (0) = –5 và (2) = 7 nên (0).(2) < 0. Do đó tồn tại ít nhất
0
x
 (0; 2) để (
0
x
) = 0.
Vậy phương trình
3
2 5 0
x x

  
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L

ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
B
B
À
À
I
I

T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.


1) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số
3
( ) 2 1
f x x x
  
tại
0
x
= 3.
 Hướng dẫn:
Tập xác định D = R chứa
0
x
= 3. Ta có
3
3 3
lim ( ) lim( 2 1) 32
x x

f x x x
 
   
và (3) = 32 nên
3
lim ( )
x
f x

= (3).
Vậy hàm số
( )
y f x

liên tục tại
0
3
x

.
2) Xét tính liên tục của hàm số sau:
a)
3
8
2
( )
2
5 2
neáu
neáu

x
x
f x
x
x










tại x = 2; b)
2
1
1
( )
1
2 1
neáu
neáu
x
x
f x
x
x



 





  

tại x = –1;
c)
2
3 2 1
( )
1 1
neáu
neáu
x x
f x
x x
  



  

tại x = –1; d)
2
2 3 2
( )

1 2
neáu
neáu
x x
f x
x x x

  



  


tại x = 2;
e)
2
3 2
2
( )
2
1 2
neáu
neáu
x x
x
f x
x
x


 








tại x = 2; f)
4
3 4
( )
3 1
2 4
neáu
neáu
x
x
f x
x
x x


 


 



 

tại x = 4.
 Hướng dẫn:
a) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2.
Ta có (2) = 5 và
3
2
2 2 2
8
lim ( ) lim lim( 2 4) 12
2
x x x
x
f x x x
x
  

    

nên
2
lim ( ) (2)
x
f x f

 . Vậy hàm số
không liên tục tại x = 2.
b) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1.
Ta có (–1) = –2 và

2
1 1 1
1
lim ( ) lim lim( 1) 2
1
x x x
x
f x x
x
  

    

nên
1
lim ( )
x
f x


(–1). Vậy hàm số liên tục
tại x = –1.
c) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1.
Ta có (–1) = 0 và
2
1 1
lim (3 2) 1, lim ( 1) 0
x x
x x
 

 
    
. Vì
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
 
 
 nên không tồn tại
1
lim ( )
x
f x

. Vậy hàm số không liên tục tại x = –1.
d) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2.
Ta có (2) = 3;
2
2 2
lim( 1) 3, lim( 2 3) 3
x x
x x x
 
 
     

2
lim ( ) 3
x

f x


. Vì
2
lim ( ) (2) 3
x
f x f

 
nên
hàm số liên tục tại x = 2.
e) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2.
Ta có (2) = 1 và
2
2 2 2
3 2
lim ( ) lim lim( 1) 1
2
x x x
x x
f x x
x
  
 
   

nên
2
lim ( ) (2) 1

x
f x f

 
. Vậy hàm số liên
tục tại x = 2.
f) Tập xác định của hàm số là D = [3; +) chứa x = 4.
Ta có (4) = 2;


4 4 4
4
lim lim 3 1 2, lim( 2) 2
3 1
x x x
x
x x
x
  
  

     
 

4
lim ( ) 2
x
f x



. Vì
4
lim ( ) (4) 2
x
f x f

 
nên hàm số liên tục tại x = 4.
3) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
a)
2
5 6
3
( )
3
2 1 3
neáu
neáu
x x
x
f x
x
x x

 







 

; b)
1
1
2
( )
1
1
neáu
neáu
x
x
f x
x
x








 


;
 Hướng dẫn:

a) Tập xác định của hàm số là D = R.
 Với x < 3: Ta có
( ) 2 1
f x x
 
là hàm đa thức xác định trên (–; 3) nên liên tục trên khoảng (–; 3).
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I
I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.

.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n
h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
 Với x > 3: Ta có
2

5 6
( )
3
x x
f x
x
 


là hàm phân thức xác định trên (3; +) nên liên tục trên (3; +).
 Với x = 3: Ta có (3) = 7;
2
3 3 3
5 6
lim ( ) lim lim( 2) 1
3
x x x
x x
f x x
x
  
  
 
   

;
3 3
lim ( ) lim(2 1) 7
x x
f x x

 
 
  
.
Vì
3 3
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
 
 
 nên không tồn tại
3
lim ( )
x
f x

. Vậy hàm số không liên tục tại x = 3.
 Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng (–; 3) và (3; +) nhưng gián đoạn tại x = 3.
b) Tập xác định của hàm số là D = R.
 Với x < 1: Ta có
1
( )
2
f x
x


là hàm phân thức xác định trên (–; 1) nên liên tục trên (–; 1).
 Với x > 1: Ta có

1
( )f x
x
 
là hàm phân thức xác định trên (1; +) nên liên tục trên khoảng (1; +).
 Với x = 1: Ta có (1) = –1;
1 1
1
lim ( ) lim 1
x x
f x
x
 
 

  
;
1 1
1
lim ( ) lim 1
2
x x
f x
x
 
 
  

.
Vì

1 1
(1) lim ( ) lim ( ) 1
x x
f f x f x
 
 
   
nên hàm số liên tục tại x = 1.
 Kết luận: Hàm số liên tục trên R.
4) Xác định tham số m để hàm số sau liên tục:
a)
3 4 1
1
( )
1
1
neáu
neáu
x
x
f x
x
m x

 
 


 


 

tại x = –1; b)
2
4 3
3
( )
3
1 3
neáu
neáu
x x
x
f x
x
mx x

 
 





  

tại x = –3.
 Hướng dẫn:
a) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –1.
Ta có (–1) = m;

1 1 1
3 4 1 3 3
lim ( ) lim lim
1 2
3 4 1
x x x
x
f x
x
x
  
 
  

 

Để hàm số liên tục tại x = –1 khi
1
lim ( ) ( 1) 3/ 2
x
f x f m

   
;
b) Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = –3.
Ta có (–3) = –3m – 1;
2
3 3 3
4 3
lim ( ) lim lim( 1) 2

3
x x x
x x
f x x
x
  
 
    


Để hàm số liên tục tại x = –3 khi
3
lim ( ) ( 3) 3 1 2 1/ 3
x
f x f m m

         .
5) Chứng minh phương trình sau:
a)
3
2 6 1 0
x x
  
có ít nhất hai nghiệm; b)
3 2
2 5 1 0
x x x
   
có ít nhất hai nghiệm;
c)

5 3
2 5 1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1; 0); d)
cos
x x

có nghiệm.
 Hướng dẫn:
a) Hàm số
3
( ) 2 6 1
f x x x
  
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có (0) = 1, (1) = –3, (2) = 5 nên (0).(1) < 0 và (1).(2) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
(0;1)
x  để
1
( ) 0
f x

và tồn tại ít nhất một nghiệm
2
(1;2)
x  để
2
( ) 0

f x

.
Vậy phương trình
3
2 6 1 0
x x
  
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
b) Hàm số
3 2
( ) 2 5 1
f x x x x
   
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 3].
Ta có (0) = 1, (1) = –1, (3) = 13 nên (0).(1) < 0 và (1).(3) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
(0;1)
x  để
1
( ) 0
f x

và tồn tại ít nhất một nghiệm
2
(1;3)
x  để
2
( ) 0
f x


.
Vậy phương trình
3 2
2 5 1 0
x x x
   
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3).
c) Hàm số
5 3
( ) 2 5 1
f x x x
  
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [–1; 0].
Ta có (–1) = 2, (0) = –1 nên (–1).(0) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
( 1;0)
x   để
1
( ) 0
f x

. Vậy phương trình
5 3
2 5 1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1; 0).
c) Hàm số
( ) cos

f x x x
 
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; /2].
Ta có (0) = –1, (/2) = /2 nên (0).(/2) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
(0; / 2)
x


để
1
( ) 0
f x

. Vậy phương trình
cos
x x

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0; / 2)

.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I

I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n

h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
Ô
Ô
N
N


T
T
Ậ
Ậ
P
P


C
C

H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


&
&


K
K
I
I
Ể
Ể
M
M


T
T
R
R

A
A
.
.


1) Tìm các giới hạn sau:
a)
3
3
2 2 3
lim
1 4
n n
n
 

; b)
2
2 3 1
lim
1
n n
n
 

; c)
( 1)
lim 3
2

n
n
 


 
 
;
d)
2 1
lim
1 2
n
n


; e)
4 4
lim
5 5.3
n
n n


; f)
2
2 3
lim
3.2 2.3 5
n

n n


 
.
 Hướng dẫn:
a)
2 3
3
2 3
2
1
lim
1
2
4
n n
n
 
 

b)
2
3 1
2
lim 2
1
1
n n
n

 


;
c)
( 1) 1
lim 3 lim 3 3 0 3
2 2
n
n
n
 
 

 
      
 
 
 
 
  
 
;
d)
 
1 1
2 1 lim 1
2 1 1
2 2
lim lim lim 2 .

1
1 1
1 2
2 1 lim 1
2 2
n
n
n n
n
n
n
n n
   
 
   

   
     
   

 
   
   
;
e)
4 4
4 4 0 0
5 5
lim lim 0
5 5.3 1 0

3
1 5.
5
n
n
n
n
n n
 

 
 
 
  
 
 

 
 
;
f)
2
3 3
2 4 lim 4
2 3 2 4
2 2
lim lim lim 0. 0
3.2 2.3 5 3 2
2 5 2 5
3 3. 2 lim 3. 2

3 3 3 3
n
n
n
n n
n n
n n
n
n n

   
 
   

 
   
   
 
 
   
 
   
   
   
   
   
   
   
.
2) Tìm các giới hạn sau:

a)
2
2
3
lim
4
x
x
x x


 
; b)
2
2
3
5 6
lim
3
x
x x
x x

 

; c)
4
2 5
lim
4

x
x
x




;
d)
3 2
lim ( 2 1)
x
x x x

   
; e)
3
lim
3 1
x
x
x



; f)
2
2 4
lim
3 1

x
x x x
x

  

.
 Hướng dẫn:
a)
2
2
3 5 1
lim
4 10 2
x
x
x x


 
 
; b)
3 3
( 3)( 2) 2 1
lim lim
( 3) 3
x x
x x x
x x x
 

  
 


c)


4 4 4
2 5
lim lim(2 5) 3 0, lim( 4) 0, 4 0 4 4
4
Vì khi
x x x
x
x x x x x
x
  

  

           


d)
3
2 3
1 2 1
lim 1
x
x

x x x

 
     
 
 
e)
3
1
1
lim
1
3
3
x
x
x




f)
2
2 4
1 1
2
lim
1
3
3

x
x x
x

  
  


3) Tìm các giới hạn sau:
a)


3 2
lim 2 2
x
x x x

  
; b)
4 2
3 3
lim
3 4
x
x x
x

 

; c)

2
3
1 2
lim
( 3)
x
x
x



;
d)
2
1
2 1
lim
3 2
x
x
x x



 
; e)
2
3
1 2
lim

2 5 3
x
x
x x



 
; f)
4 3 2
3 2
0
5 4
lim
2
x
x x x
x x

 

;
THPT Tân Bình – Bình Dương.
G
G
I
I
Ớ
Ớ
I

I


H
H
Ạ
Ạ
N
N


1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
ê


H
H
à
à
n
n

h
h


P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
g)
5
6 1
lim
2 10
x
x
x

 

; h)
3 2
2
3
lim

1
x
x x
x
x

 


 

 
; i)
4 3 2
3 2
1
3 2
lim
1
x
x x x x
x x x

   
  

 Hướng dẫn:
a)
3
2 3

1 1 2
lim 2
x
x
x x x

 
    
 
 
; b)
2 4
3 3
1
lim
3
4
x
x x
x
x

 
 

;
c)


2

2
3 3 3
1 2
lim lim(1 2 ) 7 0, lim( 3) 0, ( 3) 0 3
( 3)
Vì khi
x x x
x
x x x x
x
  

          

;
d)
1 1 1
2 1 2 1
lim lim 1 0, lim( 1) 0, ( 1) 0 1 1
( 1)( 2) 2
Vì khi
x x x
x x
x x x x
x x x
  

  
 
 

           
 
  
 
;
e)
3 3 3
1 2 1 2 5
lim lim 0, lim( 3) 0, ( 3) 0 3 3
( 3)(2 1) 2 1 7
Vì khi
x x x
x x
x x x x
x x x
  

  
  
 
          
 
  
 
;
f)
2
0
5 4 4
lim 2

2 2
x
x x
x

 
 

; g)
5 5
5 1 1
lim lim
4
2( 5) 6 1 2 6 1
x x
x
x x x
 
 
  
    
;
h)
2
2
2
1
3
3
lim lim 3

1
1
1
x x
x x
x
x
x
 


 


; i)
3 2 2
2
1 1 1
2 ( 1)( 2) 2 4
lim lim lim 2
1 ( 1)( 1) 1 2
x x x
x x x x x x x
x x x x
  
      
   
   
.
4) Xét tính liên tục của hàm số:

a)
2
2
2
( )
2
5 2
neáu
neáu
x x
x
f x
x
x x

 






 

trên R; b)
2
2
2
( )
2

3 2
neáu
neáu
x x
x
f x
x
x

 
 





 

trên R;
 Hướng dẫn:
a) Hàm số liên tục trên R.
b) Hàm số liên tục trên khoảng (–; –2), (–2; +) nhưng gián đoạn tại x = –2.
5) Chứng minh phương trình sau:
a)
3 2
3 4 7 0
x x x
   
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–2; 0);
b)

4 2
3 5 6 0
x x x
   
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2);
c)
3
1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1;
d)
3
1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn –1;
e)
2
cos sin 1 0
x x x x
  
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; );
 Hướng dẫn:
a) Hàm số
3 2
( ) 3 4 7
f x x x x
   
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [–2; 0].

Ta có (–2) = 5, (0) = –7 nên (–2).(0) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
( 2;0)
x   để
1
( ) 0
f x

. Vậy phương trình
3 2
3 4 7 0
x x x
   
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–2; 0).
b) Hàm số
4 2
( ) 3 5 6
f x x x x
   
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [1; 2].
Ta có (1) = –3, (2) = 8 nên (1).(2) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
(1;2)
x  để
1
( ) 0
f x

.
Vậy phương trình

4 2
3 5 6 0
x x x
   
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
c) Hàm số
3
( ) 1
f x x x
  
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 1].
Ta có (0) = –1, (1) = 1 nên (0).(1) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
(0; 1)
x  để
1
( ) 0
f x

.
Vậy phương trình
3
1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1 thuộc khoảng (0; 1).
d) Hàm số
3
( ) 1
f x x x

  
có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [–1; 0].
Ta có (–1) = –1, (0) = 1 nên (–1).(0) < 0 do đó tồn tại ít nhất một nghiệm
1
( 1; 0)
x   để
1
( ) 0
f x

. Vậy phương trình
3
1 0
x x
  
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn –1 thuộc khoảng (–1; 0).