Ôn chương III- Dãy số- cấp số -t.sỹ

Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
ÔN TẬP : CHƯƠNG II- DÃY SỐ ; CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
I. Dãy số :
Yêu cầu các em nắm chắc một số lý thuyết về dãy số sau :
1. Các đònh nghóa :
- Dãy số là gì ?
-Dãy số vô hạn ,dãy số hữu hạn ,
- Thế nào là số hạng của dãy số .
2.Cách cho dãy số : có ba cách
- Cho dãy số bằng công thức tổng quát .
-Cho bằng công thức truy hồi .
- Cho bằng lời ,cách xác đònh một số hạng của dãy số .
3. Đònh nghóa dãy số tăng,giảmvà cách chứng minh một dãy số là dãy số tăng,giảm :
- Có hai cách chứng minh :
a. Dãy số tăng : Nếu với mọi nthuộc N*ta có U
n+1
>U
n
• Nếu U
n+1
-U
n
>0 thì U
n
là một dãy tăng (phương pháp thông dụng nhất )
• Nếu các số hạng của dãy số đều là các số hạng dương thì ta xét tỷ số :
Nếu : : Kết luận Un là một dãy số tăng .
Nếu: : Kết luận Un là một dãy số gảim .
Nếu : : Kết luận dãy số là một dãy hằng số .
b. Dãy số bò chặn :

- Dãy số bò chặn trên : Tồn tại M sao cho với mọi n thuộc N* : U
n
≤M .
Thì ta nói rằng dãy số bò chặn trên tai M.
- Dãy số bò chặn dưới : Tồn tại số m sao cho với mọi n thuộc N* ta có U
n
≥m .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 1
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Thì ta nói rằng dãy số bò chặn dưới tại m .
c. Dãy số bò chặn :
Nếu tồn tai hai số m,M sao cho m≤U
n
≤M .Thì ta nói rằng : dãy số là bò chặn .
II. Cấp số cộng .
1. Đònh nghóa :
Cấp số cộng là một dẵy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ hai
trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không
dổi d ,nghóa là : u
n
= u
n-1
+d
Số d gọi ;là công sai của cấp số .
2. Tính chất :
Đònh lý : Nếu u
n
là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng (trừ số hạng
cuối đối với cấp số cộng hữu hạn )đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó trong
dẵy ,tức là : u

n
= u
n+1
+u
n-1
/2 .
3. Số hạng tổng quát :
Đònh lý 2: Nếu cáp số cộng có số hạng đầu là u
1
và có công sai d thì số hạng tổng quát
của nó được xác đònh như sau: u
n
= u
1
+(n-1)d .
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng :
Đònh lý 3: Gỉa sử U
n
là một cấp số cộng ,Với mỗi số nguyên dương n . Gọi s
n
là tổng
của n số hạng đầu tiêncủa nó (S
n
= u
1
+u
2
+u
3
+ +u

n
). Khi đó :
III. Cấp số nhân .
1. Đònh nghóa :
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ
hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng dứng ngay trước nó nhâvới một số
không đổi q ,nghóa là :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 2
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Dãy (u
n
) là cấp số nhân Với mọi n≥2 ,u
n
= u
n-1
.q (số q được gọi là công bội của
cấp số nhân ).
2. Tính chất
* Đònh lý 1: Nếu u
n
là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối
với cấp số nhân hữu hạn )bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy ,tức là :
U
k
2
=u
k-1
.u
k+1
3. Số hạng tổng quát

Đònh lý 2:
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u
1
và công bội q ≠0 ,thì số hạng tổng quát của
nó đươcï xác đònh bởi công thức :
u
n
=u
1
.q
n-1
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân .
Đònh lý 3:
Nếu (u
n
) là một cấp số nhân với công bội q≠1 thì S
n
được xác đònh bằng công thức
S
n
= .
B. Một số dạng toán thường gặp .
Bài toán 1:
Xác đònh một dãy số là một cấp số cộng-cấp số nhân :
* Xuất phát từ đònh nghóa ,dãy (u
n
) là cấp số nhân khi và chỉ khi
Ta dẫn đến bài toán sau:
* Cho dãy số (U
n

), [ cho bằng công thức tổng quát ,hay cho bằng công thức truy
hồi ] ,chứng minh (hay xem )nó có là cấp số nhân- cấp số cộng hay không?
Phương pháp giải :
1. Nếu dãy số là cấp số nhân :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 3
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
- Xét tỷ số :
.
- Nếu tỷ số này là hằng số q ,thì dãy u
n
sẽ là một cấp số nhân ,có công bội là q. Số
hạng u
1
là khi ta thay n=1 vào u
n
. Lúc đó U
n
=U
1
.q
n-1
.
+) Chú ý : Nếu dãy số U
n
cho bằng công thức truy hồi thì U
1
đã biết .Một số câu hỏi
thường gặp ,các em tham khảo thông qua một số ví dụ .
+) Học sinh tự chứng minh công thức sau :
Với u

m
,u
k
là hai số hạng bất kỳ trong cấp số nhân .
2. Nếu dãy số là cấp số cộng :
• Xét hiệu : .
• Nếu hiệu này là một hằng số ,thì ta trả lời : Dãy số là một cấp số cộng với công
sai d.
• Yêu cầu học sinh chứng minh công thức sau :
Với m>k ,và u
m
,u
k
là hai số hạng bất kỳ trong cấp số cộng .
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1.
Cho dãy số (u
n
)với u
n
=22
n+1
.
a. Chứng minh dãy (u
n
)là cấp số nhân .Nêu tính tăng ,giảm của dãy số ;
b. Lập công thức truy hồi của dãy số ?
Bài giải :
a. Lập tỷ số :
=

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 4
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Suy ra Vậy (u
n
) là một cấp số nhân có công bội là q=4 .Khi n=1 thì u
1
=
Công théc tổâng quát của u
n
là u
n
=8.4
n-1
.
Do q>1 cho nên cấp số nhân trên là một cấp số tiến .
b. Như ta đã biết ,u
1
=8 . Ta tính U
n+1
= .
Do đó công thức tuy hồi của cấp số nhân là :
Ví dụ 2:
Dãy số (u
n
) cho như sau :

a. Lập dãy (V
n
)với V
n

= U
n+1
-U
n
. Chứng minh dãy (V
n
) là cấp số nhân ?
b. Lập công thức tính U
n
theo n?
Bài giải :
a. Từø giả thiết suy ra : 3u
n+1
=2u
n
+u
n-1

Vậy : (v
n
) là cấp số nhân có công bội q=-1/3 và v
1
=1.
b. Để tính un viết :
u
n
=(u
n
-u
n-1

)+(u
n-1
)-u
n-2
)+ +(u
2
-u
1
)+u
1
=2004+1.
Ví dụ 3.
Cho các dãy số sau ,dãy số nào là cấp số nhân ?
a.u
n
=(-5)
2n+1
. b) u
n
=(-1)
n
.3
3n+1
.
c) . u
n+1
=u
n
2
. d)

Bài giải :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 5
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
a)Ta xét tỷ số :
. Suy ra :
Vậy u
n
là cấp số nhân ,có công bội q=25, số hạng u
1
= (-5)
3
=-125.
b) Ta xét tỷ số :
=
Chứng tỏ u
n
là một cấp số nhân ,có công bội q= 27 và có số hạg u
1
= (-3)
3
=-27.
c). Ta xét tỷ số :
,không là hằng số ,vì vậy u
n
không là cấp số nhân .
d) Từ
Chứng tỏ (u
n
) là một cấp số nhân ,có công bội q= 7/5 và có số hạng u
1

=1.
Ví dụ 4.
Cho dãy (u
n
) :
a) Lâpl dãy số (x
n
) với xn =
1
3
n
n
u
u
−
+
b, Chứng minh dãy x
n
là một cấp số nhân ?
b) Tìm công thức tính x
n
,u
n
theo n?
Bài giải :
a) Ta xét tỷ số :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 6
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Vậy : .Do đó (x
n

) là một cấp số nhân ,có công bội q= 1/5,có số hạng x
1
=
-1/3. Ta có x
n
=
b) Tìm công thức x
n
,u
n
theo n
Ta có
và : Ta có x
n
=
Bài toán 2.
* Cho hai số thực A và B .Hãy xen vào giữa hai số này k số (k là số cho trứơc)
,để đựơc k+2 số hạng lập thành một cấp số nhân .Tìm k số thêm vào giữa đó ?
Phương pháp giải :
• Theo đầu bài thì A= u
1
và B= u
k+2
.Theo tính chất của số hạng tổng quát của cấp
số nhân ta có : B=u
1
.q
k+1
=A.q
k+1

.Suy ra q
k+1
=
• Biến đổi tỷ số thành dạng
• Giải phương trình : .
• Kết luận : Có m-1 số thêm vào giữa hai số A và B ,các số là k
1
=m
1
-1; k
2
=m
2
-1;
• Chú ý : Áp dụng công thức :
Thì làm nhanh hơn .
* Đối với cấp số cộng thì sử dụng công thức :
Với m,k ,u
m
,u
k
đẫ biết .
Một số ví dụ áp dụng :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 7
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Ví dụ 1:
a) Viết năm số xen vào giữa hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bẩy số
hạng .Xác đònh cấp số nhân này và tính tổng của chúng
b) Viết sáu số xen vào giữa hai số -2 và 256 để được một cấp số nhân có tám hạng
Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu ?

Bài giải :
a) Theo đầu bài thì u
1
=1 và u
7
=729 ,suy ra u
7
=u
1
.q
6
tương đương với 729=1.q
6
.
Hay : q
6
= 3
6
.Vậy q=±3
Với q=3 ,thí các số thêm vào là : 6;9;27;81;243 hoặc -3;9;-27;81;-243 .
Với q=3 thì S
7
=
b)Tương tự a) ta có phương trình
Do đó 6 số viết vào là : 4;-8;16;-32;64;-128.
Ta có
Ví dụ 2.
Viết thêm năm số xen vào giữa hai số 3 và 192 để được 6 số lập thành một cấp số
nhân . Tìm 5 số đó ?
Bài giải :

Theo kết quả của bài 1 .Ta có phương trình :
Với q=2 .Năm số thêm vào là : 3,6,12,24,48.
Với q=-2 .Năm số thêm vào là : 3,-6,12,-24,48
Bài toán 3: Tìm một cấp số nhân
* Để tìm một cấp số nhân ,ta chỉ cần xác đònh được số hạng u
1
và công bội q là được .
Vì vậy đầu bài cho ta luôn tìm cách đưa về hệ gồm hai phương trình có hai ẩn số là u
1

và q .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 8
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
* Để làm được bài toán này ,ta hay sử dụng công thức số hạng tổng quát :
* Hoặc sử dụng hai công thức :
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Giải bài tập phần luyện tập (tr-121-GT11-NC)
Bài 38. Chọn khảng đònh đúng trong các khảng đònh sau đây .
a. Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai
khác không thì các số :
theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng .
b. Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai
khác không thì các số: , theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số nhân .
Bài giải :
Nếu a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì theo tính chất của cấp số nhân ta có
Nếu lập thành cấp số nhân thì :
Nếu : ,lập thành cấp số cộng ,thì : 2b=a+c
Suy ra:
Vậy cả hai khảng đònh trên đều không đúng .
Bài 39. Các số x+6y ; 5x+2y , 8x+y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ; đồng thời

các số x-1,y+2 ,x-3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân .Hãy tìm x,y?
Bài giải :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 9
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Theo đầu bài và tính chất của hai cấp số cộng và nhân ta có hệ PT sau :
Bài 40. Cho cấp số cộng (u
n
)với công sai khác không .Biết rằng các số u
1
.u
2
,u
2
u
3
và
u
3
u
1
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội q≠0. Hãy tìm q ?
Bài giải :
Theo đầu bài ,và theo tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có :
- Theo tính chất của cấp số cộng : u
2
=u
1
+d ,u
3
=u

1
+2d và theo tính chất của cấp số nhân
thì
.
Theo đầu bài : thì
Với :
(Thay từ (2) : )
Do vậy đáp số : q=-2
Bài 41. Số hạng thứ hai ,số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công
sai d ≠0 ,theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân . Hãy tìm công bội của cấp số nhân
đó ?
Bài giải :
a. Gọi u
1
,u
2
,u
2
,thứ tự là ba số hạng của một cấp số cộng : u
2
=u
1
=d ;u
3
=u
1
=2d .
b . Cũng theo thứ tự đó ,nếu chúng lập thành cấp số nhân thì ta có phương trình :
.
Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 10
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Bài 42. Hãy tìmba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ,biết rằng tổng của chúng
bằng 148/9 đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu ,số hạng thứ tư và số
hạng thứ tám của một cấp số cộng ?
Bài giải :
Nếu gọi : là các số hạng của cấp số cộng . Còn a,b,c theo thứ tự là ba
số hạng đầu của một cấp số nhân .Theo đầu bài ta coa hệ phương trình sau :

Lấy phương trình (3) sau khi nhân với 3 ,trừ cho phương trình (2 ) sau khi nhân 2 vế với
7 (khử d ở hai PT này ).ta được PT :
Do ≠0 cho nên : =0 .hay q=1 và q= .
* Với q=1 ,thay vào (1) :
Vậy cấp số nhân là :
Với cấp sô nhân là :
.Bài 43. Cho dãy dãy số (un) xác đònh bởi :
U
1
=1 và u
n+1
=5u
n
+8 với mọi n≥1.
a. Chứng minh dãy (v
n
),với v
n
=u
n
+2 là một cấp số nhân .Hãy tìm số hạng tổng quát

của cấp số nhân đó ?
b. Dựa vào kết quả của phần a) hãy tìm số hạng tổng quát của dãy (u
n
)?
Bài giải :
a.Theo đầu bài thi ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 11
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Do đó công thức tổng quát của v
n
là :
Vì :
Ta có :
(là hằng số ). Vậy chứng tỏ là một cấp số nhân .
b. Dựa vào kết quả của câu a) ,số hạng tổng quát của dãy (u
n
) là :
Ví dụ 2. Tìm cấp số nhân ,biết :
Bài giải :
Theo tính chất của cấp số nhân ,ta có kết quả sau :
Từ đó ta có PT :
17 (1)
Với cách chia hai vế của (1) cho x2≠0 và đặt x= q+1/q với điều kiện
Với điều kiện (*) ta chọn x= .Khi đó : q+1/q =
Ta giải PT tìm được q=2 và q=1/2
Với q=1/2 ta có cấp số nhân là : 8,4,2,1 (u
1
=8 ,q=1/2 )
Với q=2 thì ta có cấp số nhân là : 1,2,4,8 (u
1

=1 ,q=2 )
Bài toán 4 : Chứng minh một đẳng thức cho sẵn
* Phương pháp chung :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 12
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
* .Sử dụng tính chất của cấp số nhân u
2
2
=u
1
.u
3
và đònh nghóa :u
n
=u
1
.q
n-1
,thay vào
trong biểu thức ,rút gọn sẽ được kết quả .
* Hoặc dùng đònh nghóa : ;
Phải linh hoạt trong quá trình biến đổi .
Một số ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 . (Bài 49-tr121-BTGT11-CB).
Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng :
.
Bài giải :
a. Vế trái :Nhân vào ta có
=VP
Do ta thay b

2
=ac ,suy ra b(ac)=b
3
;
Ví dụ 2. Giả sử a,b,c,d theo thứ tự lập thành một cấp số nhân .Chứng minh rằng :
(a-c)
2
+(b-c)
2
+(b-d)
2
-(d-a)
2
=0
Bài giải :
Khi khai triển ta có kết quả của vế trái là
2b
2
+2c
2
-2ac-2bd-2bc-+2da (*)
Do tính chất của cấp số nhân thì : b
2
=ac ;c
2
=bd và ad=bc=aq
3
Vậy vế trái =0 .
* Trên đây ta có ba dạng toán rất hay thường gặp trong các bài tập về cấp số nhân
.Mong rằng các em xem kỹ các ví dụ minh hoạ mà tôi đã trình bày ở trên để rút ra

kinh nghiệm giải toán .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 13
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
B. Phần giải bài tập :
I. Trong GT11-CB,(Từ trang 107 đến 109 ).
Bài 1. Khi nào thì cấp số cộng là là một dãy số tăng ,giảm ?
Xét :
Vậy cấp số cộng là một dãy tăng khi d>0 ,là dãy số giảm khi d<0 .
Bài 2. Cho cấp số nhân có u
1
<0 và công bội q .Hỏi các số hạng khác mang dấu gì
trong các trường hợp sau :
a. q>0 ? b. q <0 .
Bài giải :
b )Từ công thức tổng quát : ,do 0 . nên nếu u
1
<0 ,thì :
* Nếu n là một số chẵn thì >0 do q<0 .Vậy các số hạng khác sẽ mang dấu âm .
* Nếu n là một số lẻ : thì ,do đó u
1
. >0 .
a)Nếu q>0 ,thì với mọi n >0 . Do vậy u
n
<0 .Nghóa là các số hạng khác mang dấu
âm .
Bài 3. Cho hai cấp số cộng có cùng số hạng .Tổng các số hạng tương ứng của chúng
của chúng có lập thành cấp số cộng không ?vì sao ?Cho một ví dụ minh hoạ .
Bài giải :
Giả sử cấp số cộng thứ nhất có số hạng tổng quát là : . Và cấp số
cộng thứ hai có số hạng tổng quát là : .

Xét :
Qua trên ,ta thấy rõ ràng An là một cấp số cộng ,với số hạng đầu là và có
công sai d= .
Ví dụ : Cho cấp số cộng thứ nhất là : 1,3,5,7,9 Với u
1
=1 và d
1
=2.
Cấp số cộng thứ hai là : 1,4,7,10,13, Với v
1
=1 và công sai d
2
=3
Cấp số cộng A
n
là : 2,7,12,17,22, có a
1
=1+1=2 và công sai d=2+3=5.
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 14
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Bài 4. Cho hai cấp số nhân có cùng số hạng .Tích các số hạng tương ứng của chúng có
lập thành cấp số nhân không ? vì sao ? Cho một ví dụ minh hoạ .
Bài giải :
Theo bài 3. Giả sử cấp số nhân thứ nhất có số hạng đầu là u1 với công bội q1. Cấp số
nhân thứ hai có số hạng đầu là v1 với công bội q2. Gọi dãy số An là một dãy số có các
số hạng là tích của các số hạng tương ứng của hai cấp số trên thì ta có :
Qua trên ta thấy A
n
chính là một cấp số nhân có số hạng đầu là tích của hai số
hạng đầu của hai cấp số đã cho ,với công bội q bằng tích của hai công bội của hai

cấp số đã cho .
Ví dụ minh hoạ :
Cho cấp số nhân thứ nhất : 1,2,4,8 có số hạng đầu là 1 với công bội q
1
=2 .
Cấp số nhân thứ hai : 1,3,9,27 có số hạng đầu là 1 với công bội q
2
=3.
A
n
có các số hạng là : 1,6,36,216 có số hạng thứ nhất A
1
=1=1.1 với công bội q=2.3=6
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi nthuộc N*,ta có :
a) 13
n
-1 chia hết cho 6 ? b) 3n
3
+15n chia hết cho 9
Bài giải :
a) Với n=1. 13-1=12 chia hết cho 6. Vậy với n=1 đúng .
Giả sử đúng với n=k (k>1): 13k-1 chia hết cho 6 (1)
Ta chứng minh với n=k+1 chia hết cho 6.
Thật vậy : Khi n=k+1 ,
Do (1) chia hết cho 6,và 12 chia hết cho 6 . Vậy chia hết cho
6.
b)Khi n=1: 3+15=18 chia hết cho 9
- Giả sử b) chia hết cho 9 với n=k : 3k
3
+15k (2) chia hết cho 9.

- Với n=k+1 : 3(k+1)
3
+15(k+1) (3) .Ta chứng minh nó chia hết cho 9.
Thậït vậy : (3) tưng đương với :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 15
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Do (3) : chia hết cho 9 . đương nhiên chia hết cho 9 .Vậy
(3) chia hết cho 9.
Bài 6. Cho dãy số (u
n
) ,biết u
1
=2 , .
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh rằng : bằng quy nạp ?
Bài giải :
a)Năm số hạng đầu của dãysố là : 2,3,5,9,17.
b) Khi n=1 : u
1
=1+1=2. Đúng
Giả sử đúng với n=k :
Với : n=k+1 : .Ta phải chứng minh (2) đúng .
Thật vậy :
Theo giả thiết :
Từ (4) rõ ràng (2) đúng .Nghóa là đúng với n=k+1.
Bài 7. Xét tính tăng ,giảmvà bò chặn của dãy số sau :,biết :
a) u
n
=n+1/n ; b)
c)

Bài giải :
a) Xét hiệu :
Vậy : u
n
là một dãy giảm .Và ,nên u
n
bò chặn dưới tại 2.
a) Xét hiệu :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 16
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Dãy số này không tăng và cũng không giảm vì dấu của u
n
còn phụ thuộc vào n và dấu
của sin ,cos.
Ta biết rằng : .Nên dãy số bò chặn bởi -1 và 1 .
c) Nhân liên hợp ,ta có : )
Vậy dãy số là một dãy số tăng .
Khi n=1 . u
1
=
. Chứng tỏ u
n
là một dãy số tăng và bò chặn dưới tại và bò chặn trên tại .
Bài 8. Tìm số hạng đầu và công sai d của các cấp số cộng (u
n
),biết :
Bài giải :
a. Theo bài ra ta có :
( )
( )

1 1
1 1
1
1 1
1 1
5 10 4 0
15 40 0 3 8 0
1
3 4
8 12 28 2 3 7
3
14
2
u u d
u d u d
u
u u d
u d u d
d
+ + =
+ = + =
= −
 


⇔ ⇔ ⇒
   
+ +
+ = + =
=

=

 


b.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
6 14 60
2 20 60 30 10
3 11 1170 30 7 30 1170 *
3 11 1170
u d u d
u d u d
u d u d d d
u d u d
+ + + =
 + = = −
 
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ + + = − + + =

+ + + =
 

 

Phương trình (*) tương đương với phương trình :
1 1
2 2 2
2 1
3 30 10.3 0
50 12.30 2.30 1170 0 5 36 63 0
21 21
30 10. 12
5 5
d u
d d d d
d u
= → = − =


⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔

= → = − = −

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 17
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Bài 9.Tìm số hạng đầu ø u
1
và công bội q của cấp số nhân ,biết :
Bài giải :

a) Theo bài ra ta có :
b) Tương tự ,ta có hệ :
c) Tương tự ,ta có hệ :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 18
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Bài 10.Tứ giác ABCD có số đo (độ )của các góc lập thành cấp số nhân theo thứ tự
A,B,C,D. Biết góc C gấp bốn lần góc A.Tính các góc của tứ giác ?
Bài giải :
Theo bài ra ta có hệ :
Bài 11. Biết rằng ba số x,y,z lập thành cấp số nhân và ba số x,2y,3z lập thành cấp số
cộng .Tìm công bội của cấp số nhân ?
Bài giải :
Theo tính chất của cấp số nhân và cấp số cộng ,ta có hệ :
Bài 12. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng .Diện tích bề mặt trên của mỗi
tầng bằng một nửa diện tích mặt trên của ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng
1bằng nửadiện tích đế tháp .Biết diện tích đế tháp là 12288 m2.Tính diện tích mặt trên
cùng ?
Bài giải :
Gọi S11 là diện tích của tầng 11.Theo bài ra ,diện tích của mỗi tầng theo thứ tự lập
thành cấp số nhân ,có công bội q=2và S1= .
Bài 13. Chứng minh rằng ,nếu các số a2,b2,c2 lập thành một cấp số cộng (abc≠0),thì
các số
Cũng lập thành một cấp số cộng ?
Bài giải :
* Nếu lập thành cấp số cộng thì :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 19
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
* Nếu :
Lập thành cấp số cộng ,thì :
So sánh (1) và (2 ),ta có điều phải chứng minh .

Bài tập trắc nghiệm
Bài 14.
Từ :
Bài 15.
Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng ,nếu biết số hạng tổng quát un
của nó là :
(A) là một dãy số không tăng ,không giảm .
(B) :
làmột dãy giảm .
Là một dãy số tăng .
Bài 16. Nếu -2,x, 6,y là cấp số cộng ,thì 2x=-2+6=4 ;x=2 ; 12=x+y suy ra y=12-x=10
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 20
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Chọn đáp án (D).
Bài 17. Nếu -4,x,-9 là một cấp số nhân ,thì
Do -4 và -9 cùng dấu cho nên x phải trái dấu .Vậy đáp án đúng là (C).
Bài 18 . Nếu (U
n
)là cấp số cộng thì :
Nhận xét :
Nhận xét tương tự ta thấy trong số các đáp án đã cho ,ta thấy đáp án (B) là một đáp án
đùng vì : khi thay m=90 và n=210 thì (1) có vế phải là : 2u
1
+(300-2)d
=2[u
1
+149d]=2u150
Bài 19. Nếu dãy số là cấp số nhân thì
. Trong số các đáp án cho ,ta thấy đáp án (B) là phù hợp ,vì q=3 .
II. Trong GT11-NC (từ trang : 122 đến trang 125)

Bài 44. Chứng minh rằng :
với mọi n≥2 .
Bài giải :
* Với n=2 : 1.22=4 . Đúng .
* Giả sử đúng với n=k :
* Ta phải CM đúng với n=k+1 :
Thật vậy : Với n=k+1:
Vt=
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 21
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
Bài 45. Cho dãy số (u
n
) xác đònh bởi công thức : u
1
=2
Với mọi n≥2. CM rằng :
Với mọi số nguyên dương n .
Bài giải :
* Với n=2 (1) :
Vậy với n=2 đúng .
* Giả sử đúng với n=k :
* Với n=k+1 : Từ (1)
Chứng tỏ với n=k+1 đẳng thức đúng .
Bài 46. Cho các dãy số (u
n
) và (v
n
) với
a) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (a
n

) : với a
n
= u
n
+v
n
?
b) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (b
n
) : với b
n
=u
n
-v
n
?
c) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (c
n
) : với c
n
=u
n
.v
n
?
Bài giải :
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của b
n
là :

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 22
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
c) Số hạng tổng quát của c
n
là :
Bài 47. Trong các dãy số sau đây ,dãy số nào là cấp số cộng ,dãy số nào là cấp số
nhân ?hãy xác đònh công sai hay công bội của cấp số đó ?
a) Dãy số (u
n
) với u
n
=8n+3 .
b) Dãy số (u
n
)=n
2
+n+1 ?
c) Dãy số (u
n
)= 3.8
n
;
d) Dãy số (u
n
)= (n+2).3
n
.
Bài giải :
a). Ta xét các hiệu và tỷ số sau : .
Chứng tỏ (u

n
) là một cấp số cộng với công sai d=14 .
b) Ta có : ,không là hằng số ,do đó u
n
không là cấp số cộng ,cũng
chẳn là cấp số nhân .
c) Xét tỷ số :
Chứng tỏ u
n
là cấp số nhân với công bội q=8.
d) Xét tỷ số :
còn phụ thuộc n ,cho nên u
n
không là cấp số nhân và cũng không là cấp số cộng .
Bài 48. Hãy chọn khảng đònh đúng trong các khảng đònh sau đây ?
a) Dãy số (u
n
) xác đònh bởi u
1
=3 và u
n+1
=u
n
+5 với mọi n là một cấp số cộng ?
b)Dãy số (u
n
) xác đònh bởi u
1
=3 và u
n+1

=u
n
+n với mọi n≥1 .là một cấp số cộng ?
c) dãy số (u
n
) xác đònh bởi u
1
=4 và u
n+1
= 5u
n
với mọi n≥1 là một cấp số nhân .
d) Dãy số (u
n
) xác đònh bởi u
1
=1 và u
n+1
= nu
n
với mọi n≥1 là một cấp số nhân ?
Bài giải :
a) Un là một cấp số cộng .Khảng đònh đúng vì hiệu là hằng số
b) Khảng đònh sai vì . còn phụ thuộc vào n .
c) Khảng đònh đúng vì : .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 23
Ơn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
d) Khảng đònh sai vì không là hằng số .
Bài 49. Theo ký hiệu thì :
Chu vi của các hình vuông có công thức tổng quát là : và điện tích

Giả sử u
n
là cấp số cộng thí P
n
cũng là cấp số cộng ,nhưng S
n
không là cấp số cộng
Học sinh tự làm thêm theo cách lập luận trên .
Bài 50 (đã làm rồi )
Xét
IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Giả sử
1 2 1 2
, , . 1
n n
x x x R x x x
+
∈ ∨ =
. Chứng minh
1 2

n
x x x n+ + + ≥
2. Chứng minh :
2 2
n
n n
a b a b+ +
 
≥

 ÷
 
với :
*
0, 0,a b n N≥ ≥ ∈
3. Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ?
a.
2
1
n
n
u
n
+
=
b.
( )
1
1
1 sin
n
n
u
n
−
= −
4. Cho một dáy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43, Hiệu của hai số hạng liên tiếp
của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21 , 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của
cấp số đã cho ?
5. Cho phương trình :

( )
4 2
3 24 26 0x x m x n+ − + − − =
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số
cộng ?
6. Tìm m để phương trình :
( ) ( )
2
4 2
3 5 1 0x m x m− + + + =
có bốn nghiệm lập thành một cấp số
cộng ?
7. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng
tam giác ABC có hai góc khơng q
0
60
?
8. Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng
4
16
9
, đồng
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .
9. Một cấp số nhân có 5 số hạng , cơng bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng
đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?
10. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?

11. Tính tổng :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 24
Ôn tập : Chương III-Dãy số -cấp số cộng -cấp số nhân
S=
2 2 2
1 1 1
2 4 2
2 4 2
n
n
     
+ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
12. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :
1 1
5 5 , , 25 25
2
x x x x
a
+ − −
+ +
lập thành một cấp số cộng ?
13. Chứng minh rằng dãy số :
2.3
n
n
a =
lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số
hạng đầu tiên của nó ?

14. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
a c b c b d a d− + − + − − −
15. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :
( ) ( )
2 2
1 , 1, 1y xy x+ + −
lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ?
16. Cho một cấp số cộng :
1 2 3 4
, , ,u u u u
. Chứng minh rằng nếu :
1 4 2 3
6u u u u− ≤
thì biểu thức
A=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
9x u x u x u x u− − − − +
có nghĩa với mọi x ?
17. Chứng minh rằng : Nếu
0 1N< ≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo
thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b

c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
18. Chứng minh rằng , nếu
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó )
thì :
( )
2log log
log 0 , , , , , 1
log log
a c
b
a c
x z
y x y z a b c
x z
= < ≠
+
.
19. Cho ba số : x,3,y lập thành một cấp số nhân và
4
3x y=
. Tìm x,y và công bội q của

cấp số đó ?
20.Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt
chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy
của một cấp số cộng . Tìm ba số đó ?
21.a. Tính tổng của n số hạng :
3 33 333 + + +
b. Tìm x để ba số :
( ) ( )
ln 2,ln 2 1 ,ln 2 3
x x
− +
lập thành một cấp số cộng ?
22. Tìm bốn số biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân , ba số hạng sau lập
thành một cấp số cộng . Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng của hai số ở
giữa là 12 ?
23. Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là 30 , và
tích của chúng bằng 144. Tìm tổng mười số hạng đầu tiên của dãy số đó ?
24. Cho tam giác ABC có
0
90A =
còn a,b,
6
3
,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân .
Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ?
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT-02403833608 Trang 25