phương trình và hệ phương trình nang cao(rất hay)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Trần Minh Hiền - GV trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước
Ngày 15 tháng 11 năm 2010
Mục lục
Mục lục 1
1 Phương pháp cộng đại số 3
2 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức 9
3 Phương pháp đặt ẩn phụ 16
4 Hệ phương trình với những phương trình đặc biệt 22
5 Phương pháp thế 29
6 Phương pháp lượng giác 34
7 Hệ hoán vị vòng quanh 37
8 Phương pháp dùng đạo hàm 45
1
MỤC LỤC MỤC LỤC
Chuyên đề này tôi trình bày một số phương pháp giải các bài toán hệ phương trình. Loại toán
này ngày càng xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 và cả kỳ
thi tuyển sinh đại học. Để giải tốt loại toán này yêu cầu học sinh phải thuần thục biến đổi đại
số, phân tích dữ kiện bài toán để định hướng lời giải. Trong chuyên đề này chúng tôi không dành
nhiều thời gian cho phân tích từng ví dụ, mà chỉ đưa ra các bài toán vận dụng cho từng phương
pháp. Các em học sinh nên tập thói quen suy nghĩ và trả lời câu hỏi: Bài toán này có yếu tố nào
để ta lựa chọn con đường giải? Các ví dụ tương đối đa dạng, bao gồm một lượng lớn các bài tập
ở mức độ trung bình, và có cả những bài toán khó. Sau mỗi phương pháp hay đặc trưng của hệ
đều có những bài tập luyện tập có hướng dẫn và đáp số. Các em hãy độ lập giải và đối chiếu với
kết quả bài toán. Phần cuối chuyên đề là các bài tập tự luyện. Các em học sinh hãy thử vận dụng
các kiến thức thu được để công phá các bài tập này. Vì đây là lần đầu tiên ra mắt chuyên đề, bản
thân tác giả không thể tránh được các sai sót, mong nhận được sự góp ý của quý đồng nghiệp và
các em học sinh. Chúng tôi rất mong nhận được những phê bình, cũng như những lời giải hay, và
những vấn đề mới liên quan đến nội dung chuyên đề này.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1 Phương pháp cộng đại số
Phương pháp này với mục tiêu là làm "trơn" hóa các biểu thức trong hệ. Ban đầu các hệ số của
từng phương trình trong hệ chưa thể hiện được mối quan hệ logic với nhau, sau khi thêm, bớt,
cộng, trừ, nhân, chia ta làm cho chúng "xích lại gần nhau hơn". Đó chính là chìa khóa của rất
nhiều bài toán. Dưới đây chúng ta đề cập đến một số bài toán như vậy.
Bài tập 1.1. Giải hệ phương trình
xy + y
2
+ x − 3y = 0
x
2
+ xy −2y = 0
.
Giải
Trừ hai vế của hệ ta được
(x − y)(x + y −1) = 0.
Từ đây ta được x = y hoặc x + y − 1 = 0. Thay vào ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (0, 0), (2, 2),
2
3
,
1
3
.
Bài tập 1.2. Giải hệ phương trình
x
2
+ y
2
+ xy = 3

x
2
+ 2xy = 7x + 5y −9
.
Giải
Cộng hai vế của phương trình ta được
2x
2
+ y
2
+ 3xy −7x − 5y + 6 = 0 ⇔ (y + 2x − 3)(y + x − 2) = 0.
Từ đây ta được y + 2x − 3 = 0 hoặc y + x − 2 = 0. Thay vào, và giải hệ ta có nghiệm
(x, y) = (1, 1), (2, −1).
Bài tập 1.3. Giải hệ phương trình
(x − y) (x
2
− y
2
) = 7
(x + y) (x
2
+ y
2
) = 175
.
Giải
Rõ ràng bài toán này chỉ cần cộng đại số là có hướng giải. Thật vậy, cộng hai vế của phương trình
ta được
x
3

+ y
3
= 91 (1)
Thay kết quả (1) vào phương trình thứ hai của hệ ta được
xy(x + y) = 84. (2)
Từ hai phương trình (1) và (2) giải ra ta có nghiệm của hệ
(x, y) = (4, 3), (3, 4).
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Bài tập 1.4. Giải hệ phương trình
y
3
− x
3
= 1
x
5
− y
5
+ xy = 0
.
Giải
Hình thức bài toán này làm ta nghĩ đến biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng đồng bậc. Ta
có phương trình thứ hai của hệ tương đương với
x
5
− y
5
+ xy(y
3

− x
3
) = 0 ⇔ (x − y) x
4
+ y
4
= 0 ⇔ x = y.
Thay dữ kiện này vào phương trình thứ nhất của hệ ta thấy hệ vô nghiệm.
Bài tập 1.5. Giải hệ phương trình
x
2
(y + z)
2
= (3x
2
+ x + 1)y
2
z
2
y
2
(z + x)
2
= (4y
2
+ y + 1)z
2
x
2
z

2
(x + y)
2
= (5z
2
+ z + 1)x
2
y
2
Giải
Bài toán này giải bằng hình thức chia từng phương trình của hệ với biểu thức thích hợp. Nhận xét:
các tập sau (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) là nghiệm của hệ phương trình. Xét xyz = 0, ta biến đổi hệ
về dạng
1
y
+
1
z
2
= 3 +
1
x
+
1
x
2
1
z
+
1

x
2
= 4 +
1
y
+
1
y
2
1
x
+
1
y
2
= 5 +
1
z
+
1
z
2
.
Cộng ba phương trình trên ta được
1
x
+
1
y
+

1
z
2
−
1
x
+
1
y
+
1
z
− 12 = 0.
Từ đây ta tìm ra được nghiệm của hệ là
(x; y; z) =
9
13
;
9
12
;
9
11
, −
5
6
; −
5
5
; −

5
4
.
Bài toán dưới đây có hướng giải giống như bài toán trên
Bài tập 1.6. Giải hệ phương trình
6x(y
2
+ z
2
) = 13yz
3y(z
2
+ x
2
) = 5zx
6z(x
2
+ y
2
) = 5xy
.
Hệ này có nghiệm
(x; y; z) = 1;
1
2
;
1
3
, 1; −
1

2
; −
1
3
, −1;
1
2
; −
1
3
, −1; −
1
2
;
1
3
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Bài tập 1.7. Giải hệ phương trình
x
4
− y
4
= 240
x
3
− 2y
3
= 3(x

2
− 4y
2
) − 4(x − 8y)
.
Giải
Nhân phương trình thứ hai với −8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được
x
4
− 8x
3
+ 24x
2
− 32x + 16 = y
4
− 16y
3
+ 96y
2
− 256y + 256,
hay
(x − 2)
4
= (y −4)
4
.
Từ đây ta được x − 2 = y − 4 hoặc x − 2 = 4 − y. Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (−4, −2), (4, 2).
Bài tập 1.8. Giải hệ phương trình
x

3
+ 3xy
2
= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y −17x
.
Giải
Bài toán này cũng giống tương tự như bài toán trên. Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 rồi
cộng với phương trình thứ nhất của hệ, ta được
(x + 1) (x − 1)
2
+ 3(y −4)
2
= 0.
Từ đây giải ra ta tìm được x = −1. Từ đây tính được y
2
= 16. Vậy nghiệm của hệ là
(x, y) = (−1, −4), (−1, 4).
Bài tập 1.9. Giải hệ phương trình
1 −
12
x + 3y
√
x = 2
1 +
12

x + 3y
√
y = 6
.
Giải
Điều kiện bài toán: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3y > 0. Hệ đã cho được viết lại như sau
1 −
12
x + 3y
=
2
√
x
1 +
12
x + 3y
=
6
√
y
⇔
3
√
y
+
1
√
x
= 1
3

√
y
−
1
√
x
=
12
y + 3x
.
Nhân hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được
9
y
−
1
x
=
12
y + 3x
⇔ (3x − y)(9x + y) = 0 ⇔ y = 3x.
Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = 4 + 2
√
3, 12 + 6
√
3 .
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Bài tập 1.10. Giải hệ phương trình
xy + x + 1 = 7y

x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
.
Giải
Dễ thấy y = 0 nên hệ đã cho tương đương với
x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔
x +
1
y

+
x
y
= 7
x +
1
y
2
−
x
y
= 13
.
Cộng hai vế của hệ ta được
x +
1
y
2
+ x +
1
y
− 20 = 0.
Từ đây giải ra x +
1
y
= −5 hoặc x +
1
y
= 4. Thay vào giải nghiệm của hệ là
(x, y) = 1;

1
3
, (3, 1).
Bài tập 1.11. Giải hệ phương trình
√
3x 1 +
1
x + y
= 2
√
7y 1 −
1
x+y
= 4
√
2
.
Giải
Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, x
2
+ y
2
= 0. Dễ thấy nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì x > 0, y > 0. Do đó
ta viết lại hệ phương trình dưới dạng
1 +
1
x + y
=
2
√

3x
1 −
1
x + y
=
4
√
2
√
7y
Thực hiện phép trừ rồi phép cộng hai vế của phương trình ta được
1
x + y
=
1
√
3x
−
2
√
2
√
7y
1 =
1
√
3x
+
2
√

2
√
7y
.
Nhân hai phương trình của hệ ta được
1
x + y
=
1
3x
−
8
7y
⇔ (y −6x)(7y + 4x) = 0 ⇒ y = 6x(vì x > 0, y > 0).
Thay vào ta giải được nghiệm của hệ là
(x, y) =
11 + 4
√
7
21
,
22 + 8
√
7
7
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Bài tập 1.12. Giải hệ phương trình
x

2
(y −z) =
5
3
y
2
(z −x) = 3
z
2
(x − y) =
1
3
.
Giải
Nhân cả ba vế của phương trình ta được
x
2
y
2
z
2
(y −z)(x − y)(z − x) = −
5
3
(3)
Cộng ba vế của phương trình ta được
x
2
(y −z) + y
2

(z −x) + z
2
(x − y) =
5
3
,
hay
(x − y)(y −z)(z − x) = −
5
3
. (4)
Từ (3) và (4) ta được x
2
y
2
z
2
= 1. Xảy ra hai trường hợp
1. Trường hợp xyz = 1, nhân phương trình đầu với y, phương trình thứ hai với x, rồi cộng lại
ta được
xyz(y −x) = −
5
3
y + 3x ⇒ y −x = −
5
3
y + 3x ⇒ y =
3
2
x.

Tương tự ta có z = −x. Thay vào ta có nghiệm
(x, y, z) = −
3
2
3
, −
3
2
3
2
3
,
3
2
3
.
2. Trường hợp xyz = −1, tương tự ta có y = 3x, z =
x
2
. Thay vào hệ ta được nghiệm
(x, y, z) = −
3
2
3
, −3
3
2
3
, −
1

2
3
2
3
.
Dưới đây là một số bài tập luyện tập.
a)
x
2
+ y
2
− 3x + 4y = 1
3x
2
− 2y
2
− 9x − 8y = 3
(Hướng dẫn: nhân phương trình thứ nhất với 3, rồi trừ cho phương
trình thứ hai) Nghiệm là
(x; y) =
3 −
√
13
2
; 0 =
3 −
√
13
2
; −4 =

3 +
√
13
2
; 0 =
3 +
√
13
2
; −4 .
b)
√
x
2
+ y
2
+
√
2xy = 8
√
2
√
x +
√
y = 4
(Hướng dẫn: nhân căn hai vào phương trình thứ nhất, rồi trừ cho
phương trình thứ hai để có x = y). Nghiệm của hệ là (x, y) = (4, 4).
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
c)

x + y + xy(2x + y) = 5xy
x + y + xy(3x − y) = 4xy
(Hướng dẫn: nhận xét x = y = 0 là nghiệm, xét xy = 0. Chia
mỗi phương trình cho xy rồi trừ hai phương trình đó ta được x = 2y −1). Nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 1),
−1
√
51
10
,
9 −
√
51
20
,
−1 +
√
51
10
,
9 +
√
51
20
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
2 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức
Trong phần này chúng ta vận dụng những bất đẳng thức cổ điển, điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai để so sánh hai vế của một phương trình của hệ, từ đó tìm được điều kiện cần để hệ

có nghiệm.
Bài tập 2.1. Giải hệ phương trình
x +
2xy
3
√
x
2
− 2x + 9
= x
2
+ y
y +
2xy
3
√
y
2
− 2y + 9
= y
2
+ x
.
Giải
Cộng hai vế của phương trình lại ta được
2xy
3
√
x
2

− 2x + 9
+
2xy
3
√
y
2
− 2y + 9
= x
2
+ y
2
. (5)
Ta có
3
√
x
2
− 2x + 9 =
3
(x − 1)
2
+ 8 ≥ 2,
nên
2xy
3
√
x
2
− 2x + 9

≤
2|xy|
3
√
x
2
− 2x + 9
≤
2|xy|
2
= |xy|.
Tương tự
2xy
3
√
y
2
− 2y + 9
e|xy|,
mà theo bất đẳng thức Cauchy thì x
2
+ y
2
≥ 2|xy| nên vế trái của (5) ≤ vế phải của (5). Vậy dấu
bằng xảy ra khi x = y = 1 hoặc x = y = 0. Thử lại thấy hai giá trị này là nghiệm của hệ.
Bài tập 2.2. Giải hệ phương trình
y = −x
3
+ 3x + 4
x = 2y

3
− 6y −2
.
Giải
Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng
y −2 = −(x
3
− 3x − 2)
x − 2 = 2(y
3
− 3y −2)
⇔
y −2 = −(x + 1)
2
(x − 2)
x − 2 = 2(y + 1)
2
(y −2)
.
Nếu x > 2 thì từ phương trình đầu tiên suy ra y < 2, mâu thuẫn với phương trình thứ hai. Tương
tự cho x < 2. Vậy x = 2, suy ra y = 2. Thử lại thấy giá trị này là nghiệm.
Bài tập 2.3. Giải hệ phương trình
x
4
+ y
2
=
698
81
x

2
+ y
2
+ xy −3x − 4y + 4 = 0
.
Giải
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
Giải sử hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y). Ta viết lại phương trình thứ 2 theo x
x
2
+ (y −3)x + (y −2)
2
= 0.
Để phương trình này có nghiệm x thì
∆ = (y −3)
2
− 4(y −2)
2
≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
7
3
.
Tương tự ta viết lại phương trình thứ 2 theo y
y
2
+ (x − 4)y + x
2
− 3x + 4 = 0.
Để phương trình này có nghiệm với y thì

∆ = (x − 4)
2
− 4(x
2
− 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
4
3
.
Từ hai kết quả này áp dụng vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
x
4
+ y
2
≤
256
81
+
49
9
=
687
81
<
698
81
.
Điều này chứng tỏ hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập 2.4. Giải hệ phương trình
1
xy

=
x
z
+ 1
1
yz
=
y
x
+ 1
1
zx
=
z
y
+ 1
.
Giải
Điều kiện xyz = 0. Nhận thấy nếu một trong ba số x, y, z có một số âm, chẳng hạn x < 0 thì
phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số x, y, z là số âm, chẳng hạn x < 0, y < 0 thì
phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số x, y, z cùng dấu.
1. Xét trường hợp x, y, z > 0 thì ta viết lại hệ như sau
z = x
2
y + xy
x = y
2
z + yz
y = z
2

x + zx
.
Cộng ba phương trình ta được
x + y + z = (x
2
y + y
2
z + z
2
x) + (xy + yz + zx) ≥ 6xyz. (6)
Mặt khác, ta biến đổi hệ về dạng
z
xy
= x + z
x
yz
= z + x
y
zx
= z + y
⇒
z
xy
+
x
yz
+
y
zx
= 2(x + y + z),

GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
Thì ta có
2(x + y + z) =
x
2
+ y
2
+ z
2
xyz
≥
(x + y + z)
2
3xyz
⇒ 6xyz ≥ x + y + z. (7)
Từ (6) và (7) ta có x = y = z, từ đó ta có nghiệm của hệ trong trường hợp này là
(x, y, z) =
√
2
2
,
√
2
2
,
√
2
2
.

2. Trường hợp x, y, z < 0 thì bằng cách chuyển về trường hợp số dương ta tìm thêm được một
nghiệm nữa là
(x, y, z) = −
√
2
2
, −
√
2
2
, −
√
2
2
.
Cách 2. Xét trường hợp x, y, z > 0.
Nếu x ≥ y, chia hai vế của phương trình thứ hai và thứ ba của hệ ta được
x
2
y
2
=
x + y
y + z
.
Từ đây suy ra x ≥ z. Lại chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được
z
2
x
2

=
x + z
y + x
,
suy ra y ≥ z. Từ đó thì x ≥ y ≥ z. Lại chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba ta
được
z
2
x
2
=
x + z
y + z
,
suy ra x ≤ y. Vậy ta phải có x = y = z. Từ đó lại tìm được nghiệm của hệ như cách 1.
Bài tập 2.5. Giải hệ phương trình
30
y
x
2
+ 4y = 2007
30
z
y
2
+ 4z = 2007
30
x
z
2

+ 4x = 2007
.
Giải
Từ đặc điểm của hệ suy ra x, y, z > 0. Giả sử x = max{x, y, z} thì lấy phương trình thứ ba trừ
cho phương trình thứ nhất, ta được
30
x
z
2
−
y
x
2
+ 4(x − y) = 0 ⇔ 30(x
3
− yz
2
) + 4x
2
z
2
(x − y) = 0 ⇒
x
3
= yz
2
x = y
⇔ x = y = z.
Từ đó ta có nghiệm của hệ là
x = y = z =

1002 ± 2
√
250971
4
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập 2.6. Giải hệ phương trình
3(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 1
x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
= xyz(x + y + z)
3
.

Giải
Ta có
1 = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (x + y + z)
2
.
Ngoài ra, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra được xyz(x + y + z) ≥ 0. Do đó ta có
xyz(x + y + z) ≥ xyz(x + y + z)
3
.
Kết hợp với phương trình thứ hai, ta được
xyz(x + y + z) ≥ x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
.
Nhưng ta lại có

x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
≥ xyz(x + y + z).
Từ đó phải có x = y = z. Do đó hệ có nghiệm
(x, y, z) =
1
3
,
1
3
,
1
3
, −
1
3
, −
1
3
, −

1
3
.
Bài tập 2.7. Giải hệ phương trình
x
2
+ y
2
= 1
125y
5
− 125y
3
+ 6
√
15 = 0
.
Giải
Ta biến đổi phương trình thứ 2 về dạng
y
3
(1 − y
2
) =
6
√
15
125
⇔
y > 0

y
6
x
4
=
4.3
2
5
5
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì
3 = 3(x
2
+ y
2
) = y
2
+ y
2
+ y
3
+
3
2
x
2
+
3
2
x

2
≥ 5
5
y
6
9
4
x
4
⇔ y
6
x
4
≤
4.3
2
5
5
.
Từ đó ta y
2
=
3
2
x
2
. Do đó ta tìm được nghiệm của hệ là:
(x; y) =
√
10

5
;
√
10
5
, −
√
10
5
; −
√
10
5
.
Cách 2. Từ 125y
3
x
2
= 6
√
15, suy ra y > 0. Đặt t = y
√
15
5
thì t > 0. Phương trình thứ 2 được viết
lại
3t
5
− 5t
3

+ 2 = 0 ⇔ (t − 1)
2
(3t
3
+ 6t
2
+ 4t + 2 = 0) ⇔ t = 1.
Từ đó ta cũng tìm được nghiệm của hệ.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập 2.8. Giải hệ phương trình
x
5
+ y
5
+ z5 = 3
x
6
+ y
6
+ z
6
= 3
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwart ta có
(x
5
+ y
5

+ z
5
)
2
≤ (x
4
+ y
4
+ z
4
)(x
6
+ y
6
+ z
6
) ⇒ x
4
+ y
4
+ z
4
≥ 3. (8)
Lại áp dụng bất đẳng thức trên ta được
(x
4
+ y
4
+ z
4

)
2
≤ (x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
6
+ y
6
+ z
6
) = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≤ 3 3(x
4
+ y
4
+ z
4
),
hay
x
4

+ y
4
+ z
4
≤ 3. (9)
Kết hợp (8) và (9) ta được x
4
+ y
4
+ z
4
= 3 và nghiệm là
(x, y, z) = (1, 1, 1).
Bài tập 2.9. Giải hệ phương trình
x
3
+ y = 3x + 4
2y
3
+ z = 6y + 6
3x
3
+ x = 9z + 8
.
Giải
Ta biến đổi hệ phương trình về dạng
(x − 2)(x + 1)
2
= 2 − y
2(y −2)(z + 1)

2
= 2 − z
3(z −2)(z + 1)
2
= 2 − x
.
Nếu x > 2 thì từ phương trình thứ nhất suy ra y < 2, lại theo phương trình thứ 2 suy ra z > 2,
lại theo phương trình thứ ba thì x < 2(vô lý).
Tương tự cho trường hợp x < 2. Vậy x = 2, suy ra y = z = 2. Vậy nghiệm của hệ là
(x, y, z) = (2, 2, 2).
Bài tập 2.10. Giải hệ phương trình
(x + 1)(x
2
+ 1)(x
4
+ 1) = y
7
+ 1
(y + 1)(y
2
+ 1)(y
4
+ 1) = x
7
+ 1
.
Giải
Ta viết lại các phương trình trên dưới dạng
x
7

+ x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x
g(x)
= y
7
⇒ y
7
= x
7
+ g(x) và x
7
= y
7
+ g(y).
Ta xét các trường hợp sau
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
1. Nếu x > 0 thì g(x) > 0, do đó y
7
= x
7

+ g(x) > x
7
. Vậy y > x. Lại từ y > x > 0 thì
x
7
= y
7
+ g(y) > y
7
> x
7
, hệ vô nghiệm.
2. Nếu x = 0 thì y = 0. Vậy (0, 0) là một nghiệm của hệ.
3. Nếu x < −1 thì g(x) = x(x +1)(x
4
+x
2
+1) < 0 nên y
7
= x
7
+g(x) < x
7
. Do đó y < x < −1.
Lại từ y < −1 thì g(y) < 0, nên x
7
= y
7
+ g(y) < y
7

hay x < y. Vậy hệ phương trình vô
nghiệm trong trường hợp này.
4. Nếu x = −1 thì ta tìm được y = −1.
5. Nếu −1 < x < 0 thì g(x) < 0 và ta cũng dẫn đến vô lý như các trường hợp trên.
Tóm lại, hệ phương trình có hai nghiệm
(x, y) = (0, 0), (−1, −1).
Dưới đây là một số bài tập luyện tập. Giải các hệ phương trình
a)
2x
2
x
2
+ 1
= y
3y
3
y
4
+ y
2
+ 1
= z
4z
4
z
6
+ z
4
+ z
2

+ 1
= x
(Hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các biểu thức dưới
mẫu, để suy ra x = y = z). Nghiệm của hệ (x, y, z) = (0, 0, 0), (1, 1, 1).
b)
1
√
x
+
1
√
y
+
1
√
z
= 3
√
3
x + y + z = 1
(Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức
1
a
+
1
b
+
1
c
≥

9
a + b + c
). Nghiệm
của hệ là (x, y, z) =
1
3
,
1
3
,
1
3
.
c)
√
x +
√
y +
√
z = 3
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 +
3
√
xyz)
3
(Hướng dẫn: Thực chất là đi chứng minh bất đẳng
thức (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 1 +
3
√
xyz

3
). Nghiệm của hệ là (x, y, z) = (1, 1, 1).
d)
x
2
y
2
− 2x + y
2
= 0
2x
2
− 4x + 3 + y
3
= 0
(Hướng dẫn: rút y
2
từ phương trình thứ nhất, đánh giá để thu được
−1 ≤ y ≤ 1. Rồi biến đổi phương trình thứ hai về 7(x − 1)
2
+ 1 + y
3
= 0). Nghiệm của hệ
phương trình là (x, y) = (1, −1).
e)
xy
3
= 9
x + 3y = 6
(Hướng dẫn: nhận xét x, y đều dương, vận dụng bất đẳng thức Cauchy dưới

dạng x + 3y = x + y + y + y). Hệ phương trình vô nghiệm.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC
f)
√
x +
√
y +
√
z =
√
2000
1
3x + 2y
+
1
3y + 2z
+
1
2z + 3x
=
1
x + 2y + 2z
+
1
2x + y + 2z
+
1
2x + 2y + z
(Hướng dẫn, dùng

bất đẳng thức
1
a
+
1
b
≥
4
a + b
, chứng minh vế trái phương trình thứ hai lớn hơn vế phải của
phương trình thứ 2). Nghiệm của hệ là (x, y, z) =
2006
9
,
2006
9
,
2006
9
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f(x, y), b = g(x, y) có ngay
trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép
chia cho một biểu thức khác 0 với mục đích đưa hệ đã cho về dạng quen thuộc, giải được.
Bài tập 3.1. Giải hệ phương trình
x
2
+ 1 + y(x + y) = 4y

(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y
.
Giải
Dễ thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình, ta viết lại hệ dưới dạng
x
2
+ 1
y
+ y + x = 4
x
2
+ 1
y
(y + x − 2) = 1
.
Đặt a =
x
2
+ 1
y
, b = x + y − 2 ta được hệ
a + b = 2
ab = 1
. Giải hệ này ta được a = b = 1. Từ đó ta
tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 2), (−2, 5).
Bài tập 3.2. Giải hệ phương trình
4xy + 4(x

2
+ y
2
) +
3
(x + y)
2
= 7
2x +
1
x + y
= 3
.
Giải
Điều kiện x + y = 0. Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng
3(x + y)
2
+ (x − y)
2
+
3
(x + y)
2
= 7
x + y +
1
x + y
+ x − y = 3
.
Đặt a = x + y +

1
x + y
(|a| ≥ 2), b = x − y ta được hệ
3a
2
+ b
2
= 12
a + b = 3
.
Giải hệ này ta được a = 2, b = 1. Từ đó tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 0).
Bài tập 3.3. Giải hệ phương trình
x
2
− 2xy + x + y = 0
x
4
− 4x
2
y + 3x
2
+ y
2
= 0
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Giải
Ta biến đổi hệ phương trình về dạng

(x
2
+ y) + x(1 − 2y) = 0
(x
2
+ y)
2
+ 3x
2
(1 − 2y) = 0
.
Đặt a = x
2
+ y, b = x(1 − 2y) thì ta có hệ
a + b = 0
a
2
+ 3bx = 0
.
Từ phương trình thứ nhất ta có a = −b. Thay vào phương trình thứ hai ta được
a
2
− 3ax = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 3x.
1. Trường hợp a = 0 thì x
2
+ y = 0 hay y = −x
2
. Thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta có
x(2x
2

+ 1) = 0 ⇔ x = 0(suy ra y = 0).
2. Trường hợp a = 3x ta có x
2
+ y = 3x hay y = 3x − x
2
. Thay vào phương trình ban đầu của
hệ ta được
x
3
− 3x
2
+ 2x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2.
Từ đó ta tìm được các nghiệm của hệ là
(x, y) = (0, 0), (1, 2), (2, 2).
Cách 2. Rút y từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
y =
x
2
+ x
2x − 1
.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
4x
6
− 12x
5
+ 10x
4
− 6x
3

+ 4x
2
= 0.
Phân tích phương trình này ta được
2x
2
(x − 1) (x − 2) 2x
2
+ 1 = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2.
Từ đó ta cũng tìm được nghiệm của hệ.
Cách 3. Nhận thấy hệ có nghiệm (x, y) = (0, 0). Với x = 0, chia phương trình thứ nhất của hệ
cho x, chia phương trình thứ hai của hệ cho x
2
ta được
x +
y
x
= 2y −1
x
2
+
y
2
x
2
= 4y −3
⇔
x
2
+ y

x
2
= (2y −1)
2
x
2
+ y
x
2
= 6y −3
.
Từ đây ta có (2y −1)
2
= 6y −3, và tiếp tục ta tìm được nghiệm của hệ.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài tập 3.4. Giải hệ phương trình
1
x
+
1
y
= 9
1
3
√
x
+
1
3

√
y
1 +
1
3
√
x
1 +
1
3
√
y
= 18
.
Giải
Đặt a =
1
3
√
x
, b =
1
3
√
y
, hệ phương trình trở thành
a
3
+ b
3

= 9
(a + b)(1 + a)(1 + b) = 18
⇔
(a + b)
3
− 3ab(a + b) = 9
(a + b)(1 + a + b + ab) = 18
.
Giải hệ này ta tìm được (a, b) = (1, 2), (2, 1). Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) =
1
8
, 1 , 1,
1
8
.
Bài tập 3.5. Giải hệ phương trình
x + y +
1
x
+
1
y
= 5
x
2
+ y
2
+
1

x
2
+
1
y
2
= 9
.
Giải
Điều kiện xy = 0. Đặt u = x +
1
x
(|u| ≥ 2), v = y +
1
y
(|v| ≥ 2), thì ta có
u + v = 5
u
2
+ v
2
= 13
.
Giải hệ này ta tìm được (u, v) = (2, 3), (3, 2). Từ đó ta có nghiệm của hệ là
(x; y) = 1;
3 +
√
5
2
, 1;

3 −
√
5
2
,
3 +
√
5
2
; 1 ,
3 −
√
5
2
; 1 .
Bài tập 3.6. Giải hệ phương trình
16x
3
y
3
− 9y
3
= (2xy −y)(4xy
2
+ 3)
4x
2
y
2
− 2xy

3
+ y
2
= 3
.
Giải
Đặt a = 2xy, b = y thì ta có hệ phương trình
2a
3
− 9b
3
= (a − b)(2ab + 3)
a
2
− ab + b
2
= 3
Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được a = 2b. Từ đó ta có nghiệm của hệ
(x, y) = (1, 1), (1, −1).
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài tập 3.7. Giải hệ phương trình
√
7x + y +
√
2x + y = 5
√
2x + y + x − y = 2
.
Giải

Điều kiện min{7x, 2x} ≥ −y. Đặt a =
√
7x + y, b =
√
2x + y thì hệ phương trình được viết lại
dưới dạng
a + b = 5 (1)
b + x − y = 2 (2)
.
Nhận thấy a
2
− b
2
= 5x, kết hợp với (1) suy ra b =
5 − x
2
, thế vào (2) ta được
5 − x
2
+ x − y = 2 ⇒ x = 2y − 1.
Lại thế ngược giá trị này vào (2) ta được
5y −2 + y −1 = 2 ⇒ y =
11 −
√
77
2
.
Từ đó, nghiệm của hệ là
(x, y) = 10 −
√

77,
11 −
√
77
2
.
Bài tập 3.8. Giải hệ phương trình
4
√
x
1
4
+
2
√
x +
√
y
x + y
= 2
4
√
y
1
4
−
2
√
x +
√

y
x + y
= 1
.
Giải
Nếu x = 0 hoặc y = 0 hoặc x = y = 0 thì hệ vô nghiệm. Do đó điều kiện của hệ là x, y > 0. Đặt
√
x = u,
√
y = v(u, v > 0), hệ đã cho trở thành
√
u
1
4
+
2u + v
u
2
+ v
2
= 2
√
v
1
4
−
2u + v
u
2
+ v

2
= 1
⇔
2
√
u
+
1
√
v
=
1
2
2
√
u
−
1
√
v
=
4u + 2v
u
2
+ v
2
.
Nhân hai vế của phương trình ta được
2v(u
2

+ 2v
2
) − u(u
2
+ 2v
2
) = 0 ⇔ (2v − u)(u
2
+ 2v
2
) = 0 ⇒ u = 2v.
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = 64 17 + 12
√
2 , 16 17 + 12
√
2 .
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài tập 3.9. Giải hệ phương trình
x(y + z) = x
2
+ 2
y(z + x) = y
2
+ 3
z(x + y) = z
2
+ 4
.

Giải
Đặt
a = −x + y + z; b = x − y + z; c = x + y −z ⇒ z =
a + b
2
, y =
a + c
2
, x =
b + c
2
.
Thay vào ta có hệ phương trình
a(b + c) = 4
b(c + a) = 6
c(a + b) = 8
.
Cộng ba phương trình lại ta được ab + bc + ca = 9. Từ đó ta nhận được
ab = 1
ac = 3
bc = 5
⇔
a =
√
15
5
b =
√
15
3

c =
√
15
hoặc
a = −
√
15
5
b = −
√
15
3
c = −
√
15
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x, y, z) =
2
√
15
3
,
3
√
15
5
,
4
√

15
15
= −
2
√
15
3
, −
3
√
15
5
, −
4
√
15
15
.
Bài tập 3.10. Giải hệ phương trình
x
3
+ 8y
3
− 4xy
2
= 1
2x
4
+ 8y
4

− 2x − y = 0
.
Giải
Xét y = 0 ta có x = 1. Xét y = 0, đặt x = ty ta có
y
3
(t
3
− 4t + 8) = 1
y
3
(2t
4
+ 8) = 2t + 1
.
Chia hai vế của phương trình ta được
t
3
− 8t
2
+ 12t = 0 ⇒ t = 0 hoặc t = 6 hoặc t = 2.
Thay vào ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 0), 0,
1
2
, 1,
1
2
,
3

3
√
25
,
1
2
3
√
25
.
Dưới đây là một số bài tập luyện tập. Giải các hệ phương trình sau
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1.
√
x +
√
y = 9
3
√
x +
3
√
y = 5
(Hướng dẫn: đặt u =
6
√
x, v =
6
√

y, ta được một hệ đối xứng của u, v).
Nghiệm của hệ là (x, y) = (64, 1), (1, 64).
2.
√
2x + y −
√
x + 4y = −1
√
2x + y + x = 3
(Hướng dẫn: đặt y =
√
2x + y, v =
√
x + 4y). Nghiệm của hệ
là (x, y) = (1, 2).
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
4 Hệ phương trình với những phương trình đặc biệt
Trong một số loại hệ phương trình, thì chìa khóa để giải nằm trong đặc điểm của mỗi phương
trình trong hệ. Cũng có khi cần phải khai thác một cách độc lập từng phương trình một. Dưới
đây là một số loại hệ như vậy.
Bài tập 4.1. Giải hệ phương trình
2xy + 3x + 4y = −6
x
2
+ 4y
2
+ 4x + 12y = 3
.
Giải

Phương trình thứ nhất của hệ viết được dưới dạng
(x + 2)(2y + 3) = 0.
Từ đó suy ra được x = −2 hoặc 2y + 3 = 0. Thay vào ta tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = −2,
1
2
, 2, −
3
2
, −2, −
7
2
, −6; −
3
2
.
Bài tập 4.2. Giải hệ phương trình
√
x + y +
√
x + 3 =
y −3
x
√
x + y +
√
x = x + 3
.
Giải
Điều kiện x > 0, y ≥ 3. Ta biến đổi phường trình thứ nhất của hệ

√
x + y +
√
x + 3 =
x + y −(x + 3)
x
⇔
x + y −(x + 3)
√
x + y −
√
x + 3
=
x + y −(x + 3)
x
⇔ (y −3)
1
√
x + y −
√
x + 3
−
1
x
= 0
Xét hai trường hợp
a) Trường hợp 1: y = 3 thay vào phương trình hai của hệ ta được
√
x + 3 +
√

x = x + 3.
Bình phương hai vế, ta nhận thấy phương trình này vô nghiệm.
b) Trường hợp 2:
1
√
x + y −
√
x + 3
−
1
x
= 0 hay
√
x + y −
√
x + 3 = x. Từ đây ta được hệ
√
x + y −
√
x + 3 = x
√
x + y +
√
x = x + 3
.
Trừ hai vế của hệ, rồi giải, ta tìm ra được nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 8).
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
Bài tập 4.3. Giải hệ phương trình

x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy −zx − xy = 3
x
2
+ y
2
+ yz −zx − 2xy = −1
.
Giải
Một phương trình trong hệ được viết lại như sau
(x + y)
2
− z(x + y) + z
2
− 3 = 0
(x − y)
2
− z(x − y) + 1 = 0
.
Xem phương trình thứ nhất như là phương trình bậc hai của x + y, thì để có nghiệm, phải có
∆ = z
2
− 4 ≥ 0 ⇒ z
2
≥ 4.

Tương tự cho phương trình thứ hai ta có z
2
≤ 4. Vậy phải có z
2
= 4. Từ đây ta tìm được nghiệm
của hệ là
(x, y, z) = (1, 0, 2), (−1, 0, 2).
Bài tập 4.4. Giải hệ phương trình
x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
.
Giải
Điều kiện xy = 0. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được
x
2
y −y = xy
2
− x ⇒ (x − y)(xy + 1) = 0.
1. Trường hợp 1: x = y, thay vào phương trình thứ hai ta được
x
3
− 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x
2

+ x + 1) = 0 ⇔ x = 1.
2. Trường hợp 2: xy + 1 = 0 ⇒ y = −
1
x
, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
x
4
+ x + 2 = 0.
Phương trình này vô nghiệm vì
x
4
− 2x
2
+ 1 + x
2
+ x + 1 + x
2
= (x
2
− 1)
2
+ x +
1
2
2
+ x
2
+
3
4

> 0.
Vậy hệ có một nghiệm là
(x, y) = (1, 1).
Bài tập 4.5. Giải hệ phương trình
x
4
− x
3
y + x
2
y
2
= 1
x
3
y −x
2
+ xy = −1
.
Giải
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
Phương trình thứ hai được phân tích thành
(x
2
+ 1)(xy −1) = 0 ⇒ xy = 1.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được
x
4
− x

2
= 0.
Từ đây tìm được nghiệm của hệ là
(x, y) = (1, 1), (−1, −1).
Bài tập 4.6. Giải hệ phương trình
x −
1
x
= y −
1
y
(x − 4y)(2x − y + 4) = −36
.
Giải
Điều kiện xy = 0. Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng
x − y =
(y −x)(y
2
+ xy + x
2
)
x
3
y
3
⇔ x = y hoặc
y
2
+ xy + x
2

x
3
y
3
= −1.
1. Trường hợp x = y, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
x
2
+ 4x − 16 = 0.
Từ đó tìm được nghiệm trong trường hợp này là
(x, y) = (−6, −6), (2, 2).
2. Trường hợp
y
2
+ xy + x
2
x
3
y
3
= −1 thì do y
2
+ xy + x
2
> 0 với mọi xy = 0 nên nếu (x, y) là
nghiệm của hệ thì xy < 0. Mặt khác phương trình thứ hai của hệ tương đương với
2x
2
+ 4y
2

− 9xy + 4x − 16y = −36 ⇔ 2(x + 1)
2
+ 4(y −2)
2
− 9xy = −18.
Do xy < 0 nên phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là
(x, y) = (−6, −6), (2, 2).
Bài tập 4.7. Giải hệ phương trình
x +
√
1 + x
2
y + 1 + y
2
= 1
x
√
3x − 2xy + 1 = 4xy + 3x + 1
.
Giải
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
Ta có
1 + y
2
> y
2
= |y| ≥ ±y ⇒ 1 + y
2
± y > 0.

Tương tự
√
1 + x
2
± x > 0.
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được viết lại
x +
√
1 + x
2
= 1 + y
2
− y
⇔ x + y +
√
1 + x
2
− 1 + y
2
= 0
⇔ x + y +
x
2
− y
2
√
1 + x
2
+
√

1 + y
2
= 0
⇔ (x + y)
√
1 + x
2
+ 1 + y
2
+ x − y = 0
⇔ x + y = 0.
Thay y = −x vào phương trình thứ hai ta được
x
√
3x + 2x
2
+ 1 = −4x
2
+ 3x + 1 ⇔ x|x|
3
x
+
1
x
2
+ 2 = x
2
−4 +
3
x

+
1
x
2
.
1. Xét x > 0, thì ta có
3
x
+
1
x
2
+ 2 = −4 +
3
x
+
1
x
2
.
Giải phương trình này ta được x =
3 +
√
37
14
.
2. Xét x < 0m tương tự ta tìm được x =
3 −
√
37

14
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(x, y) =
3 +
√
37
14
, −
3 +
√
37
14
,
3 −
√
37
14
,
−3 +
√
37
14
.
Bài tập 4.8. Giải hệ phương trình
(2x
2
− 1)(2y
2
− 1) =

7
2
xy
x
2
+ y
2
+ xy −7x − 6y + 14 = 0
.
Giải
Phương trình thứ hai của hệ được viết lại dưới dạng
x
2
+ (y −7)x + y
2
− 6y + 14 = 0.
Để phương trình này có nghiệm thì
∆ = (y −7)
2
− 4y
2
+ 24y −56 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
7
3
.
GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung