TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
HIỆN ĐẠI
ĐỀ BÀI
1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ
thống thực càng tốt).
2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.
3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:
+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov.
+ Điều khiển trượt.
+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc.
+ Tuyến tính mở rộng (Gain-schudeling).
+ Tuyến tính hình thức.
+ Tuyến tính hóa chính xác.
+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping).
4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Bài 1:
1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau





=
+=
+=

1
212
2
2
11
xy
uxxx
xxx


Trong đó: Hai biến trạng thái x
1
, x
2
Tín hiệu vào u(t)
Tín hiệu ra y(t)
2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
2.1. Xác định điểm cân bằng của hệ thống
Ta có phương trình trạng thái của hệ thống:





=
+=
+=
1
212
2

2
11
xy
uxxx
xxx


(2.1a)
Mô hình (2.1a) khi có u(t) = 0 và trở thành
)(
~
),(
0
xfuxfx
u
==
=

Một điểm trạng thái
e
x
thỏa mãn
tf ∀= 0)0(
~
(2.1b)
được gọi là điểm cân bằng của hệ thống. Tức là, (2.1b) có nghiệm
0
=
e
x

và nghiệm này
thỏa mãn
0
=
e
x

Như vậy hệ (2.1a) có một điểm cân bằng là (0, 0)
2.2. Kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng
Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng. Lyapunov sử dụng tập các
đường đồng mức của hàm xác định dương, trơn V(x) trong toàn bộ không gian trạng thái.
T
T
x
V
x
V
x
V
grandV








∂
∂

∂
∂
=








∂
∂
==∇
21
,
υ
thì vecto Grandient gradV, luôn vuông góc đường
cong v
k
và chỉ chiều tăng theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k.
Với hàm xác định dương V(x) thì

T
T
T
x
V
x
V

x
V
dt
xd
dt
xd








∂
∂
∂
∂
=








∂
∂
=∇=∇

21
,cos
ϕ
υ
υ
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Theo tiêu chuẩn Lyapunov
Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính
xcy
uBxAx
=
+=

Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1a) như sau:



=
+=
212
2
2
11
xxx
xxx


(2.2a)

- Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm, nếu nghiệm thực bằng 0 thì phải là
nghiệm đơn của phương trình det(λI-A)=0.



+=
+=
uxxx
xxx
212
2
2
11


(2.2b)
Khai triển các hàm (2.1b) thành chuỗi Taylor tại điểm
00
,ux
như sau:







−
∂
∂

+−
∂
∂
+=
−
∂
∂
+−
∂
∂
+=
)()()()(),(),(
)()()()(),(),(
01
,
1
2
01
,
1
2
00
22
01
,
1
1
01
,
1

1
00
11
0000
0000
ux
u
f
xx
x
f
uxfuxf
ux
u
f
xx
x
f
uxfuxf
uxux
uxux




























∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
⇔
2
2
1

2
2
1
1
1
,
2
2
1
2
2
1
1
1
,
00
00
)(
)(
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
B

x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
ux
ux
Thay điểm cân bằng








=
0
0
0
x
dựa vào ma trận Jacobi ta được hệ tuyến tính trong lân cận
điểm làm việc.
ux

xx
x
x








+








=
1
0
12
12
1

Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau:
uxx









+








==
1
0
00
10

(2.2c)
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Nếu tồn tại V(x) xác định dương và
)(xV

xác định âm thì hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng

đó.
Nếu chọn hàm
2
2
2
1
)( bxaxxV
+=

Suy ra
2211
22)( xbxxaxxV


+=
cùng với mô hình (2.2a) ta có
)(222)(
2
2
2
11
2
21
3
1
bxaxxxbxaxxV
+=+=


Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và

)(xV

xác định âm tức là a>0, b>0, x
1
<0.
Vậy, nếu như giá trị x
1
không thỏa mãn thì ta có hệ không ổn định.
Ngoài ra ta thấy trong lân cận điểm cân bằng của hệ phi tuyến tương dương với hệ tuyến
tính (2.2c)
Mô hình tuyến tính này có hai giá trị riêng λ
1
= λ
2
= 0, không có nghiệm nằm bên trái trục ảo
nên hệ chưa cân bằng mà giá trị riêng chỉ nằm biên trục ảo.
2.3. Kiểm tra tính điều khiển được
Mô hình toán học được tuyến tính hóa lân cận điểm cân bằng như sau:
uxx








+









=
1
0
00
10

Hệ có








=
10
1
τ
τ
A
e









−
=⇒
−
10
1
)(
τ
τ
T
e
TA
∫
−−−
=⇒
T
TATTA
T
deBBeQ
T
0
)()(
τ
ττ
( )













=








−
−−
=









−
















−
=
∫
∫
T
T
TT
d
T
TT
d

T
T
T
T
2
23
1
)(
1
01
10
1
0
10
1
2
2
2
0
2
0
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
0
12
)det(

4
≠=
T
Q
T
với T>0
Vậy hệ có thể điều khiển được
3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp cuốn chiếu (Backstepping))
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại



+=
+=
uxxx
xxx
212
2
2
11


(3.2a)
Mô hình (3.2a) có thể viết lại khi thay x
2
= z, x
1
= x




+=
+=
uxzz
zxx


2
(3.2b)
Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta có ngay hệ con
thứ nhất của đối tượng:
zxx
+=
2

(3.2c)
Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có
2
1
))((
2
1
)(),( xzxVzxV
υ
−+=
(3.2d)
2
1

2
1
)( xxV
=
)(.)(
2
1
zxxxxxV +==


(3.2e)
Để hệ con (3.2c) ổn định thì (3.2d) xác định âm, gán (3.2d) giá trị là:–x
2
xzx
xzxx
−=+⇔
−=+
2
22
)(
Như vậy, phép biến đổi z = υ(x) = -x-x
2
Thay vào (3.2d) ta có
222
)(
2
1
2
1
),( xxzxzxV

+++=
(3.2f)
)23)(()(
)2)((.),(
32222
2
xzxxzuxxzxxxzx
xxxzxxzxxzxV
++++++++++−=
+++++=




)23)((
3222
xzxxzuxxxzx ++++++++−=
Để
)(xV

xác định âm chọn
)23()(
322
xzxxzuxxxz +++++=++−
đồng thời thay u bởi
r(x,z) ta có r(x,z)
Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:
322
23)(),( xzxxzxxxzzxr −−−−−++−=
Thay x bởi x

1
, và z bởi x
2
2121
2
1
3
1
3
12
2
1211
2
11221
3)(2
23)(),(
xxxxxx
xxxxxxxxxxxr
−+++−=
−−−−−++−=
Vậy hệ sau khi có bộ điều khiển là
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại





++++−=

+=
)(2
2121
2
1
3
12
2
2
11
xxxxxxx
xxx


4. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
4.1. Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống
Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:





=
+=
+=
1
212
2
2
11

xy
uxxx
xxx


Khi biểu diễn điểm
)(
0
tx
khi t=t
0
trong không gian vecto n chiều (hai chiều x
1
, x
2
) và sau
đó cho t
0
= chạy từ 0 đến ∞ ta thu được một đường cong biểu diễn nghiệm
)(tx
ứng với u(t)
dã cho. Đường cong này gọi là quỹ đạo trạng thái của hệ thống.
Hình 4.1a: Sơ đồ khối quỹ đạo pha của hệ thống
Ta thấy với giá trị đầu vào dương thì hệ sẽ không xác định tại thời điểm 1,9s hệ sẽ có giá trị
nhảy vọt và đưa hệ ra khỏi vĩ đạo trạng thái:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Còn với gí trị vào kích thích u<0 thì cho ta hệ tiệm cận ổn định
4.2. Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp cuốn chiếu

Cùng một mô hình đối tượng ta xây dựng sơ đồ khối theo mô hình toán học sau khi đã thiết
kế bộ điều khiển theo phương pháp back stepping (cuốn chiếu).





++++−=
+=
)(2
2121
2
1
3
12
2
2
11
xxxxxxx
xxx


Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Kết quả mô phỏng sau khi xây dựng sơ đồ khối và sau 3s trạng thái của quỹ đạo được đưa về
vị trí cân bằng
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại

Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Bài 2:
1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Thiết kế bộ điều khiển Gain-Scheduling cho hệ có mô hình trạng thái sau:
(2.1)





−=
+=
•
•
2
21
2
21
xxx
uxx
Viết lại hệ dưới dạng:
),( uxfx
=
•
Trong đó:







=
2
1
x
x
x
,






−
+
=
2
21
2
xx
ux
f
2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng
Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình
0
=

•
x
ứng với u
0
= 0.
Suy ra:
0|
0
,
=
ux
e
f
⇔



=−
=
0
0
2
21
2
ee
e
xx
x
⇔




=
=
0
0
1
2
e
e
x
x
Khai triển Taylor của hàm
),( uxf
xung quanh điểm cân bằng
),(
0
ux
e
ta có thể mô tả hệ
thống bằng mô hình tuyến tính tương đương:
~~
~
uBxA
dt
xd
+=
Trong đó
e
xxx

−=
~
,
e
uuu
−=
~
Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi:
0
1 2
1 2
11 12
21 22
2 2
1 2
,
e
x u
f f
x x
a a
A
a a
f f
x x
∂ ∂
 
 ÷
∂ ∂
 

 ÷
= =
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 ÷
∂ ∂
 
0
0
,
1
1
11
=
∂
∂
=
ux
e
x
f
a
,
1
0
,
2
1

12
=
∂
∂
=
ux
e
x
f
a
1
0
,
1
2
21
=
∂
∂
=
ux
e
x
f
a
,
02
2
,
2

2
22
0
=−=
∂
∂
=
e
ux
x
x
f
a
e
Vậy ma trận hệ thống A là:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại






=
01
10
A
Ta có đa thức đặc tính của hệ thống :
det(sI - A) = s

2
– 1 = (s+1)(s-1)
Đa thức đặc tính của hệ thống có 2 nghiệm là s
1
= -1 và s
2
= 1 trong đó nghiệm s
2
nằm bên
phải trục ảo, do đó hệ thống không ổn định tại điểm cân bằng.
3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp tuyến tính mở rộng (Gain-scheduling))
Thiết kế theo các bước như sau:
1- Xác định các điểm làm việc
)(vx
v
,
)(
0
vu
của đối tượng (2.1), trong đó
v
là vector
tham số:
Giải hệ phương trình (2.1) tại điểm cân bằng ta có:
2 2
2 2
1 2 1 2
0
0
x u u x

x x x x
+ = = −
 
⇔
 
− = =
 
Chọn
1
v x
=
ta có :
2
u v
x v

= −


=


Vậy điểm làm việc của đối tượng được biểu diễn theo tham số là:
v
v
v
x
v
u v


 
=

 ÷

 

= −


Quan hệ giữa tham số
v
và các biến trạng thái của đối tượng là:
1
v x
=
2- Tuyến tính hóa đối tượng tại các điểm làm việc
)(vx
v
,
)(
0
vu
để có mô hình tuyến tính
tương đương:
Ta có:
2
2
1 2
( , )

x u
f x u
x x
+
 
=
 ÷
−
 

( , ) ( ).( ) ( )( )
v v
f x u A v x x B v u u
≈ − + −

% %
( ). ( ).A v x B v u
≈ +
Trong đó :
( ), ( )
0 1
( )
1 2
v
v
x v u v
f
A v
x
v

∂
 
 
= =
 ÷
 ÷
∂
−
 
 
( ), ( )
1
( )
0
v
v
x v u v
f
B v
u
∂
 
 
= =
 ÷
 ÷
∂
 
 
Vậy mô hình tuyến tính tương đương của nó tại các điểm làm việc sẽ là:

~~
.
0
1
.
21
10
),( ux
v
uxfx






+






−
==
•
3- Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho đối tượng thông qua mô hình tuyến tính
tương đương:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Hình 2.1 –Mô hình tuyến tính tương đương
với bộ điều khiển phản hồi trạng thái.
Giả sử các điểm cực của hệ kín (tại điểm làm việc) đã chọn trước là
1 2
1s s
= = −
.
Sở dĩ ta chọn điểm cực trên vì một số lý do sau đây:
- Điểm cực không nằm trên trục ảo
- Điểm cực nằm bên trái trục ảo thì hàm truyền đạt là hàm bền, khi đó hệ ổn định.
Sử dụng phương pháp gán điểm cực, do đối tượng có hai biến trạng thái nên bộ điều khiển
1
R
là một ma trận hàng hai cột
( )
1 1 2
,R r r
=
( )
1 2
1 2
0 1 1
1
.
0
1 2 1 2
r r
A BR r r
v v

− −
   
 
⇒ − = − =
 ÷  ÷
 ÷
− −
 
   
1 2
1 2
1
det( ) ( ).( )
1 2
s r r
sI A BR s s s s
s v
+ −
 
⇒ − + = = − −
 ÷
− −
 
2 2
1 2 1
(2 ) 1 2 2 1s s v r r r v s s
⇔ + + + + + = + +
Đồng nhất thức ta có:
1
1

2 1
2
1
2 2
1 2 1
2
r
v r
v
r r v
r


=
+ =
 
⇒ ⇒
 
+ + =



= −

Vậy bộ điều khiển
1
R
phụ thuộc vào tham số
v
như sau:

1
1
, 2R
v
 
= −
 ÷
 
4 - Từ bộ điều khiển
1
R
cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều khiển
cho mô hình trạng thái phi tuyến ( bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến hay gọi là bộ
điều khiển Gain-Scheduling) như sau:
Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết lại như sau:
% %
1
( ).u R v x
ω
= −
%
1
1
( ).( )
( ).( )
v
v
v v
u u u R v x x
u R v x x u

ω
ω
⇒ = − = − −
⇔ = − − +
Từ
1
R
ta tìm được ta thay vào phương trình ta được:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
~~
~
).().( uvBxvAx
+=
•
1
( )R v
ω
%
x
%
u
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
1
2
1 2
1
( ) 2 .
1
( ) ( ) 2( )

v
x
u t v
x
v
v
u t x v x v v
v
ω
ω
 
 
 
 
⇒ = − − − −
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
 
 
 
⇔ = − − − − −
 ÷
 
Do sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái mới chỉ gán được
điểm cực chứ không giải quyết được nhứng vấn đề khác như độ quá

điều chỉnh, độ sai lệch tĩnh. Nên người ta sử dụng thêm một bộ điều khiển tiền xử lý
2
R
, vì
đối tượng (1) có môt tín hiệu vào nên
2
R
là một đại lượng vô hướng (giống một khâu
khuyếch đại).
% %
2 1
( ) ( ).u R v R v x
ω
= −
Trong bài toán này không cho giá trị đầu ra y nên giả sử ta chọn
1
y x
=
để đánh giá sai
lệch tỉnh theo sơ đồ cấu trúc hình 2.2.
Hình 2.2 –Mô hình tuyến tính tương đương
với bộ điều khiển phản hồi trạng thái và khâu tiền xử lý.
Lúc này ta có hệ:





=
+−=

•
~~
~
1
).0,1(
')(
xy
BxBRAx
ω
1
1
( ) ( )
T
G s C sI A BR B
−
⇔ = − +
Từ đó ta có hàm truyền đạt khi có
2
R
như sau:
2
( ) ( ). ( )G s G s R v
′
=
Hệ không có sai lệch tĩnh khi:
2
0
0
1
lim ( ) 1 ( )

lim ( )
s
s
G s R v
G s
→
→
′
= ⇒ =
Tính
1 1
1 1
3 3
1 2 1 2
s
v v
A BR sI A BR
v s v
   
− + −
   
− = ⇒ − + =
   
   
− − +
   
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
1
2

( )
x
u t
x
ω
= −
~~
~
).().( uvBxvAx
+=
•
1
( )R v
ω
%
u
2
( )R v
{
(1,0)
T
C
ω
′
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
1
1
2 1
1
( )

1
1
3
( )( 2 ) 3
s v
sI A BR
s
s s v
v
v
−
 
+ −
 
⇒ − + =
 
− +
+ + −
 
 
2 1
1
1 2
( ) (1,0)
1
1 1
0
3
( )( 2 ) 3 ( )( 2 ) 3
s v

s v
G s
s
s s v s s v
v
v v
 
+ −
 
+
 
⇒ = =
 ÷
 
− +
 
+ + − + + −
 
 
2
0
0
1 1 1
( )
lim ( )
2 2
lim
1
( )( 2 ) 3
s

s
R v
G s
s v v
s s v
v
→
→
⇒ = = = −
+
+ + −
Vậy ta có được bộ điều khiển tiền xử lý là:
2
1
2
R
v
= −
4. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
a- Mô hình ban đầu của hệ thống
Hình 2.3 –Sơ đồ cấu trúc của hệ thống.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Hình 2.4 –Mô phỏng hệ thống trên Simulink.
Hình 2.5 –Quỹ đạo pha của hệ thống.
b- Mô hình hệ thống có bộ điều khiển
Hình 2.6 –Cấu trúc bộ điều khiển phi tuyến với nhiều khâu xử lý từng phần.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại

Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái x1.

Hình 2.8 – Đáp ứng biến trạng thái x2.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại

Hình 2.9 – Quỹ đạo trạng thái từ điểm ban đầu.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)