BÀI tập về ĐƯỜNG TRÒN

BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN.
A. Các kiến thức liên quan.
1. Phương trình đường tròn.
 Đường tròn tâm I( a, b) và bán kính R có phương trình : (x – a)
2
+ (y – b)
2
=
R
2

 Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0, với điều kiện a
2
+ b
2
> c , là
phương trình đường tròn tâm I( -a, -b) và có bán kính là R =
√
a

+ b

− c
B. Các dạng bài tập.
I. Dạng 1: Xác định tâm,bán kính và nhận dạng đường tròn.
1. Phương pháp giải.
Cho đường cong dạng x

2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 (1)
(1) Là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a
2
+ b
2
> c, khi đó bán kính của
đường tròn là R =
√
a

+ b

− c
2. Bài tập.
Bài 1. Trong các phương trình sau đâu là phương trình đường tròn, nếu là phương
trình đường tròn hay xác định tâm và bán kính.
a) x
2
+ y
2
– 0,14x + 5
√
2 y – 7 = 0
b) x
2
+ y
2

– 2x + 6 y + 103 = 0
c) x
2
+ y
2
– 2xy + 3 y + 4y – 7 = 0
d) 3x
2
+3 y
2
– 2003x -17y = 0
e) x
2
+ y
2
– 2x -2y - 2 = 0
f) x
2
+ y
2
– 2x - 2y - 2 = 0
g) x
2
+ y
2
– 4x - 6y + 2 = 0
Bài 2. Cho phương trình :
x
2
+ y

2
+ mx – 2(m + 1)y + 1 = 0 (1)
a. với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
b. Tìm tập hợp các tâm của các đường tròn nói trên.
Bài 3. Cho ( C
m
) : x
2
+ y
2
– 2(m + 1)x – 4(m – 1) y + 5 – m = 0
a. Tìm m để (Cm) là phương trình đường tròn.?
b. Khi đó tìm quỹ tích tâm đường tròn?
Bài 4. Cho (Cm) : x
2
+ y
2
– 2m x – 2(m + 1) y + 2 m – 1 = 0
a. Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định với mọi m ∈ℝ
b. Tìm m để (Cm) là phương trình đường tròn. Tìm quỹ tích tâm đường tròn?
II. Dạng 2. Viết phương trình đường tròn.
1. Phương pháp.
 Để viết được phương trình đường tròn thì phải xác định đựơc tâm và bán
kính của đường tròn đó. Gọi I ( a, b) là tâm của đường tròn ( C), từ các dữ
kiện của đầu bài ta tìm đựơc toạ độ của I.
 Chú ý:
 Điểm A thuộc đường tròn (C) thì IA = R
 (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ khi d( I, Δ) = R
2. Bài tập.
Bài 1. Lập phương trình đường tròn ( C) biết

a. Có tâm I(1, 3) và đi qua điểm A(3, 1).
b. Qua A( -1, 1), B( 1, -3) , C( 0, -1)
c. Có tâm I( -2,0) và tiếp xúc với đường thẳng Δ : 2x + y – 1 =0
d. Qua A( -1, 1), B( 1, -3) và có tâm I thuộc đường thẳng Δ : 2x – y + 1 = 0
e. Tâm I( 2, 3) và tiếp xúc Δ : 3x + 4y + 2 = 0
f. Đi qua 2 điểm A( 1, 1) và B ( 1, 4) và tiếp xúc với trục Ox
g. Tâm I thuộc Δ : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc Δ
1
: x + y + 4 = 0 và tiếp xúc
Δ
2
: 7x – y + 4 = 0
h. Qua A ( 2, -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ
i. Tâm I thuộc đường thẳng Δ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với d : x – 7y + 10 = 0
tại A( 4,2)
j. Cho ( C1) có phương trình : ( x – 1 )
2
+ ( y – 2 )
2
= 4 và d : x – y – 1 = 0.
Lập phương trình ( C2) đối xứng với (C1) qua d.
k. Cho Δ
1
: x + 3y + 8 = 0, Δ
2
: 3x – 4y + 10 = 0 và A (-2, 1). Lập phương trình
đường tròn tâm I thuộc Δ
1
, qua A và tiếp xúc với Δ
2

l. Có tâm I thuộc đường thẳng d : 2x – y + 1 = 0, có bán kính là
√
3 và cắt
đường thẳng Δ : x + y + 1 = 0 tại hai điểm M, N sao cho độ dài đoạn MN =2.
Bài 2. Viết phương trình đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC với
A(-1,7), B ( 4, -3), C ( -4,1).
III. Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C)
1. phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x
0
,y
0
)
Bài toán : Cho đường tròn (C ) có tâm I ( a,b ), bán kính R và điểm M thuộc ( C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.
Cách giải:
Gọi d là phương trình tiếp tuyến của ( C ) tai M, khi đó d

đ  
ℎậ 
⃗
à  ℎá ế


2. phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm M( x
0
,y
0
) không thuộc đường tròn
Bài toán. Cho đường tròn ( C) có tâm I( a,b) , bán kính R và điểm M ( x

0
,y
0
)
không thuộc đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm
M.
Cách giải.
 Viết dạng phương trình đường thẳng đi qua điểm M( x
0
,y
0
) là
a( x – x
0
) + b( y – y
0
) = 0 (d) ( a
2
+ b
2
≠ 0 )
 d là tiếp tuyến của ( C) khi d( I, d) = R
3. Bài tập.
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) : x
2
+ y
2
= 4 trong các trường hợp sau:
a. Tại điểm A( 0, 2 ) thuộc ( C)
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x – y + 17 = 0

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y – 5 = 0
d. Tiếp tuyến đi qua điểm A( 2, -2)
Bài 2. Cho ( C) : x
2
+ y
2
– 2x – 4 y – 5 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ của (C)
nếu.
a. ∆ đi qua điểm A( -2, 1)
b. ∆ vuông góc với d : 4x +3y = 0
c. ∆ song song với d : 4x – 3y – 5 = 0
d. ∆ tạo với d 1 góc 45
0
d: x – 2y – 5 = 0
e. ∆ tạo với d : 4x – 3y + 1 = 0 1 góc  mà cos  =

√


Bài 3. Cho ( C) : x
2
+ y
2
- 4x + y – 12 =0
Và d : x + 2y + 4= 0
Lập phương trình tiếp tuyến của ( C) tai giao điểm.
Bài 4. Lập phương trình các tiếp tuyến sau của hai đường tròn và chỉ rõ tiếp tuyến
ngoài.
a. ( C1): x
2

+ y
2
= 49 và ( C2) : x
2
+ y
2
- 20x +99 =0
b. ( C1) : x
2
+ y
2
– 2y – 3 = 0 và ( C2) : x
2
+ y
2
- 8x – 8y + 28 =0