Phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HƯƠNG



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HOÀN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG












2012
MC LC


Trang
Mc lc…………………………………………………………… 1
M u…………… …………………………………………… 2
Li cm n…………………………………………………………. 4
Chng 1 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân

thng
5
1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng………… 5
1.2 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng

13
Chng 2 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian …

17
2.1 Mt s nh ngha và tính cht c bn v thang thi gian……… 17
2.2 H ng lc tuyn tính trên thang thi gian

27
2.3 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian …

29
2.4 Nhân t Floquet, m Floquet …
42
2.5 Áp d
ng ca lý thuyt Floquet…
50
Kt lun…………………………………………………………… 57
Tài liu tham kho…………………………………………………

58

2
M U
Nhiu bài toán thc t nh các h c hc, các h thng in, h sinh thái, h
ng lc,…, thng c mô t bi các phng trình vi phân. Mt lp quan

trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h s tun
hoàn. nh lý Floquet là mt nh lý c bn nht trong lý thuyt phng trình vi
phân vi h s tun hoàn.
Nghiên cu các phng trình vi phân vi h s tun hoàn nói chung và lý
thuyt Floquet nói riêng là mt ch  c các nhà nghiên cu quan tâm, vì
ây là mô hình hay gp trong thc t, thí d, h thng các hành tinh trong h mt
tri, các dao ng vt lý, , là các h tun hoàn.
Song hành vi phng trình vi phân, lý thuyt phng trình sai phân cng
c nghiên cu và phát trin, c bit trong nhng nm gn ây (xem [5]).
Phng trình sai phân không ch là mt mô hình ri r c ca phng trình vi
phân, mà còn là mt mô hình toán hc c lp, rt nhiu bài toán thc t (trong
kinh t, trong k thut, ) cng có th mô t c bi h phng trình sai phân.
Nm 1988, nh!m thng nht nghiên cu các h ri r c và liên tc, Hilger [8]
ã a ra khái nim thang thi gian. Khái nim thang thi gian ca Hilger
không nhng ch có ý ngha toán hc, mà còn có ý ngha trit hc sâu s"c. Nó
cho phép thng nht hai bn cht ca chuyn ng, ó là tính liên tc và tính ri
r c. Sau khi Hilger a ra khái nim thang thi gian và nghiên cu h ng lc
trên thang thi gian, mt s nhà toán hc ã quan tâm nghiên cu và xây dng
lý thuyt Floquet i vi h ng lc tun hoàn trên thang thi gian.
Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc ích trình bày lý
thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng tuyn tính vi h s tun
hoàn và h ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn.
Ngoài phn m u, kt lun, lun vn g#m hai chng.
3
Chng 1: Lý thuyt Floquet cho phng trình vi phân thng.
Chng này trình bày các nh ngha và tính cht c bn ca h phng
trình vi phân thng, phát biu và chng minh nh lý Floquet i vi phng
trình vi phân thng. Các kin thc trình bày trong Chng này ch yu da
vào các tài liu [2], [3], [4].
Chng 2: Lý thuyt Floquet trên thang thi gian.

Chng 2 trình bày mt s nh ngha và tính cht v thang thi gian, h
ng lc tuyn tính trên thang thi gian, lý thuyt Floquet i vi h ng lc
tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn và mt s ví d áp dng. Ni
dung ca Chng c trình bày theo các tài liu [6], [7], có tham kho thêm tài
liu [1].
Do thi gian và kh nng còn nhiu h n ch nên lun vn này không th
tránh kh$i nhng thiu sót. Rt mong nhn c nhng ý kin óng góp quí báu
ca các thy cô và các b n #ng nghip.
4
LI CM N
Tác gi trân trng cm n Ban Giám hiu, Phòng ào t o sau  i hc,
Trng  i hc khoa hc,  i hc Thái Nguyên ã quan tâm và t o iu kin
tt nht cho tác gi hoàn thành khóa hc sau  i hc.
Tác gi xin trân trng cm n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Thy cùng các
thy cô giáo tham gia ging d y lp cao hc K4B khóa 2010-2012 ã em ht
nhit tình và tâm huyt ca mình trang b cho tác gi nhng kin thc c s.
Tác gi xin trân trng cm n trng Ph& thông Hermann Gmeiner, Hi
Phòng ã t o nhiu iu kin  tác gi có thi gian v'a hoàn thành nhim v
ging d y t i trng, #ng thi hoàn thành tt khóa hc Th c s.
Lun vn này c hoàn thành di s hng d(n tn tình ca thy giáo
PGS TS T Duy Phng, Vin Toán hc. Tác gi xin trân trng bày t$ lòng bit
n sâu s"c ti Thy.
Tác gi cng xin gi li cm n chân thành n các thành viên lp cao hc
K4B ã luôn quan tâm, giúp ) tác gi trong sut quá trình hc tp.
Xin chân thành cm n gia ình, b n bè ã ng h, ng viên và giúp )
tác gi trong sut quá trình hc cao hc và thc hin  tài lun vn.
Thái Nguyên, tháng 10 nm 2012.
5
CHNG 1
LÝ THUYT FLOQUET

CHO H PHNG TRÌNH VI PHÂN THNG

1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng
1.1.1 H phng trình vi phân thng
H phng trình vi phân thng là h phng trình d ng

( )
1 2
, , , , ,
i
i n
dx
f t x x x
dt
=

1,2, , ,
i n
=

,
t I
+
∈
(1.1.1)
trong ó t là bin c lp (ch thi gian),
{
}
:I t t t
+

= < < ∞
v

i t
∈

ho

c
.
t
= −∞
Các hàm s


:
i
f G
→

,
1, ,
i n
=
cho tr

c, xác

nh trong n


a hình tr


.
n
G I D
+
= × ⊂ ×
 

D
là t

p m

trong không gian véc t


n
chi

u th

c
n


ho

c ph


c
.
n

Các hàm kh

vi
1 2
, , ,
n
x x x
là các hàm s

c

n tìm,
Kí hi

u
( )
1
2
1
, , ;
n
n
x
x
x column x x

x
 
 
 
= =
 
 
 


(
)
( )
( )
( )
1
2
1
,
,
( , ) ( , ), , ( , ) .
,
n
n
f t x
f t x
f t x column f t x f t x
f t x
 
 

 
= =
 
 
 
 


Khi

ó (1.1.1)

c vi

t d

i d

ng ph

ng trình vi phân vect

:
( )
, ,
dx
f t x
dt
=

,
t I
+
∈
(1.1.2)
Thông th

ng, ta

òi h
$
i nghi

m c

a ph

ng trình vi phân (1.1.2) ph

i th
$
a mãn

i

u ki

n ban

u

0 0
( )
x t x
=
(1.1.3)
v

i
(
)
0 0
,
t x G
∈
cho tr

c.
nh ngha 1.1.1
Hàm véc t

th

c ho

c ph

c
( )
x x t
=

thu

c l

p hàm kh

vi
1
C

xác

nh trong kho

ng
(
)
,
a b I
+
⊂
và th
$
a mãn ph

ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v

i
6
m


i
,
a t b
< <
trong

ó
(
)
(
)
0 0
, , ,
t x a b D
∈ ×


c g

i là nghi

m c

a ph

ng trình
vi phân (1.1.2), th
$
a mãn


i

u ki

n ban

u (1.1.3).

D

i

ây nh
"
c l

i

nh lý c

b

n v

t
#
n t

i và duy nh


t nghi

m, là c

s




nghiên c

u tính ch

t
&
n

nh nghi

m c

a h

ph

ng trình vi phân th

ng.
Hàm s Lipschitz

Cho t

p
.
n
G
⊂ ×
 
Hàm s


:
n
f G
→



c g

i là
Lipschitz

i v

i
x


u theo

t
n

u t
#
n t

i s

th

c d

ng
L
sao cho
1 2 1 2
( , ) ( , )
f t x f t x L x x
− ≤ −

v

i m

i
1 2
( , ) , ( , )
t x G t x G
∈ ∈

.
Hàm
:
n
f G
→

,
(
)
,
n
G a b D
= × ⊂ ×
 
c gi là hàm Lipschitz a phng
i vi
x
u theo
t
nu vi mi im
x D
∈
t#n t i mt lân cn
( )
V x D
⊂
ca
x
sao cho

f
là Lipschitz i vi
x
u theo
t
trong lân cn y, tc là
1 2 1 2
( , ) ( , )
f t x f t x L x x
− ≤ −

vi mi
1 2
, ( )
x x V x
∈
và
(
)
, .
t a b
∈

nh lý 1.1.1 (nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i và duy nht nghim ca
phng trình vi phân)
Gi s hàm :
n
f G
→


xác nh và liên tc trên tp m
,
n
G
⊂ ×
 
tha mãn
iu kin Lipschitz theo
x
u theo
t
trên
:
G

1 2 1 2
( , ) ( , )
f t x f t x L x x
− ≤ −
vi mi
1 2
( , ) , ( , ) .
t x G t x G
∈ ∈

Khi y vi mi
0 0
( , )
t x G
∈

tìm c mt s
0
d
>
sao cho trên khong
(
)
0 0
, ,
t d t d
− +
nghim ca phng trình vi phân (1.1.2) tho mãn iu kin ban
u (1.1.3) là tn ti và duy nht.
Chúng ta có khái nim &n nh nghim do Lyapunov a ra nm 1892 di ây.
7
nh ngha 1.1.2 Nghim
(
)
0
( ),t t t
η
< < +∞
ca h phng trình (1.1.2)-(1.1.3)
c gi là n nh theo Lyapunov khi
,
t
→ +∞
nu vi mi s dng
ε
cho

trc và vi mi
(
)
0
; ,
t t
∈ +∞
t#n t i s dng
(
)
0
, 0
t
δ δ ε
= >
sao cho
1. Mi nghim
( )
x t
ca phng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghim
( ),
t
η
th$a
mãn iu kin
(
)
0 0
( ) ,
x t t

η δ
− <
(1.1.4)
phi kéo dài c ti vô cùng, tc là mi nghim
( )
x t
có iu kin ban u th$a
mãn (1.1.4) u xác nh trong khong
0
,
t t
≤ < +∞
hay
( )
x t D
∈
vi mi
[
)
0
; .
t t
∈ +∞

2. Các nghim ó th$a mãn bt *ng thc:
( ) ( )x t t
η ε
− <
vi mi
[

)
0
; .
t t
∈ +∞
(1.1.5)
iu kin (1.1.5) nói r!ng, các nghim có iu kin ban u
(
)
0
x t
 gn
(
)
0
t
η

t i im
0
t
phi mãi mãi (vi mi
0
t t
≥
)  trong
ε
−
ng có trc là
(

)
.
t
η

nh ngha 1.1.3 Nghim
(
)
0
( ),t t t
η
< < +∞
ca phng trình (1.1.2) c gi
là n nh u theo
0
t
khi
t
→ +∞
nu vi mi s dng
ε
cho trc, t#n t i s
dng
(
)
δ δ ε
=
không ph thuc vào
0
,

t
sao cho vi mi
(
)
0
; ,
t a
∈ +∞
mi
nghim
( )
x t
ca phng trình (1.1.2) th$a mãn iu kin ban u
(
)
0 0
( )x t t
η δ
− <
u kéo dài c ti vô cùng (xác nh trong khong
0
t t
≤ < +∞
) và th$a mãn iu kin (1.1.5).
nh ngha 1.1.4 Nghim
(
)
0
( ),t t t
η

< < +∞
ca phng trình (1.1.2) c gi
là không n nh theo Lyapunov khi
t
→ +∞
nu t#n t i mt s
0
0
ε
>
và mt
thi im
0
t I
+
∈
sao cho, vi mi s
0,
δ
>
t#n t i ít nht mt nghim
( )
x t
ca
8
phng trình (1.1.2) và t#n t i mt thi im
1 0
t t
>
sao cho

(
)
0 0
( )x t t
η δ
− <

nhng
(
)
1 1 0
( ) .
x t t
η ε
− ≥

iu này có ngha là, t#n t i mt thi im
1 0
t t
>
 nghim
( )
x t
vt ra kh$i
ε
−
ng có trc là
(
)
.

t
η

nh ngha 1.1.5 Nghim
(
)
0
( ),t t t
η
< < +∞
ca phng trình (1.1.2) c gi
là n nh tim cn khi
t
→ +∞
nu:
1. Nghim
(
)
0
( ),t t t
η
< < +∞
là &n nh theo Lyapunov khi
t
→ +∞
và
2. Vi m+i
0
t I
+

∈
t#n t i
0
( ) 0
t
∆ = ∆ >
sao cho tt c các nghim
0
( ), ( )
x t t t
≤ < +∞
th$a mãn iu kin
(
)
0 0
( )x t t
η
− < ∆
u có tính cht:

lim ( ) ( ) 0.
t
x t t
η
→+∞
− =
(1.1.6)
B!ng phép &i bin
( ) ( ) ( ),
y t x t t

η
= −
ta có th a h phng trình (1.1.2) v
phng trình d ng
(
)
( ) , ,
y t f t y
=


vi
( ,0) 0.
f t
≡

Do ó ta luôn có th gi thit
( ,0) 0.
f t
≡
Khi y (1.1.2) có nghim tm thng (nghim cân b!ng)
( ) 0.
t
η
≡

Các nh ngha (1.1.2)-(1.1.5) có th phát biu gn gàng hn cho nghim
( ) 0.
t
η

≡
Thí d, ta nói nghim tm thng
( ) 0
t
η
≡
ca phng trình (1.1.2) vi
( ,0) 0
f t
≡
là n nh tim cn nu nó &n nh theo Lyapunov và vi m+i
0
t I
+
∈

t#n t i
0
( ) 0
t
∆ = ∆ >
sao cho tt c các nghim
0
( ),( )
x t t t
≤ < +∞
th$a mãn iu
kin
0
( )x t

< ∆
ta u có
lim ( ) 0.
t
x t
→+∞
=

Vi m+i
0
t
cho trc, hình cu
0
( )x t
< ∆
c gi là min hút v v trí cân
b!ng
( ) 0
t
η
≡
ca h (1.1.2).
nh ngha 1.1.6 Gi s phng trình (1.1.2) xác nh trong na không gian
.
n
G I
+
= ×

Khi ó nu nghim

(
)
( ),t t t
η
< < +∞
ca phng trình (1.1.2) &n
9
nh tim cn khi
t
→ +∞
và mi nghim
0
( ), ( )
x t t t
≤ < +∞
u th$a mãn iu
kin
lim ( ) ( ) 0
t
x t t
η
→+∞
− =
thì
( )
t
η
c gi là n nh tim cn trong toàn th.
Nh vy nghim
( )

t
η
&n nh tim cn trong toàn th nu t i thi im ban u
0
t
tùy ý, min hút ca nghim ó là toàn th không gian
.
n


Cùng vi h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng thng xuyên:

( )
, ( , ),
dx
f t x t x
dt
ϕ
= +
(1.1.7)
trong ó ta luôn gi thit
(
)
(
)
0,1 0,1
( , ) , ( , )
f t x C G t x C G
ϕ
∈ ∈

là các hàm liên tc
theo bin
t
và kh vi theo bin
.
x

nh ngha 1.1.7 Nghim
(
)
( ),t t t
η
< < +∞
ca phng trình (1.1.2) c gi
là n nh vi nhiu tác ng thng xuyên
( , ),
t x
ϕ
nu vi mi
0
ε
>
và vi
mi
0
,
t I
+
∈
t#n t i s

(
)
0
, 0
t
δ δ ε
= >
sao cho khi
(
)
, ,
t x
ϕ δ
<
mi nghim
( )
x t
ca h (1.1.7) th$a mãn iu kin
(
)
0 0
( )x t t
η δ
− <
cng u xác nh trên
khong (
0
t t
≤ < +∞
) và th$a mãn iu kin

( ) ( )x t t
η ε
− <
vi mi
[
)
0
; .
t t
∈ +∞

1.1.2 H phng trình vi phân thng tuyn tính
Xét h phng trình vi phân thng tuyn tính d ng

( ) ( )
1
, 1, ,
n
i
ik k i
k
dx
a t x f t i n
dt
=
= + =

(1.1.8)
trong ó
(

)
(
)
. , . ( ),
ik i
a f C I
+
∈
tc là các h s
(
)
.
ik
a ca
k
x
và các s h ng t do
(
)
.
i
f
ca h (1.1.8) là các hàm s liên tc trên khong
(
)
; .
I t
+
= +∞
Nu không

có chú thích gì khác, ta luôn gi thit các hàm s
(
)
(
)
,
ik i
a t f t
nhn giá tr thc
và
( ), 1, ,
i
x t i n
=
là các ,n hàm cn tìm cng nhn các giá tr thc.
Nu a vào các kí hiu:
10
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
1, ,
1 1
1, ,
, , , , , ,
i n
n ik n
k n
x t column x x A t a t f t column f t f t
=
=
= = =
 
 

thì h

(1.1.8) có th

vi

t d

i d

ng sau

ây:

( ) ( )
,
dx
A t x f t
dt
= +
(1.1.9)
trong

ó
(
)
(
)
(
)
. , . .
A f C I
+
∈
N

u
( ) 0
f t
≡
thì h

(1.1.9)


c g

i là h

tuy

n tính thu

n nh

t.
nh lý 1.1.2
(

nh lý t
#
n t

i duy nh

t nghi

m cho h

tuy

n tính)

V


i m

i
0
t I
+
∈
và
(
)
0 01 0
, , ,
n
x column x x
=
h

(1.1.9) có duy nh

t nghi

m
( )
x t
xác

nh
v

i m


i
t I
+
∈
và th

a mãn

i

u ki

n ban

u
(
)
0 0
.
x t x
=
H

n n

a, nghi

m


ó
kéo dài

c t

i vô cùng.
Khái nim ma trn nghim c bn
Xét h

ph

ng trình vi phân tuy

n tính thu

n nh

t t

ng

ng v

i h

(1.1.9)

( ) .
dx
A t x

dt
=
(1.1.10)
Gi

s


(
)
[
]
1
( ), , ( ) ,
n
X t x t x t
=
trong

ó
(
)
1
( ) ( ), , ( ) , 1, , ,
i i ni
x t column x t x t i n
= =

là h


g
#
m
n
nghi

m c

a h

(1.1.10),

c l

p tuy

n tính trên kho

ng
.
I
+
Ma tr

n
vuông
(
)
[
]

1
( ), , ( ) ,
n
X t x t x t
=
c

p
,
n


c l

p nên b

i
n
nghi

m

ó sao cho c

t
th


i
là c


t t

a

c

a nghi

m
( ), 1, ,
i
x t i n
=


c g

i là ma tr

n nghi

m c


b

n c

a h


(1.1.10).
N

u
(
)
0
,
n
X t I
=
trong

ó
n
I
là ma tr

n

n v

, thì ma tr

n nghi

m c

b


n
(
)
X t

c

a h

(1.1.10)

c g

i là chu

n hóa t

i
0
.
t t
=

1.1.3 Các tính cht n nh ca h phng trình vi phân tuyn tính
Xét h

ph

ng trình vi phân tuy


n tính
11

( ) ( )
,
dx
A t x f t
dt
= +
(1.1.9)
trong

ó
(
)
(
)
(
)
,
A t f t C I
+
∈ và gi

s



( )

dx
A t x
dt
=
(1.1.10)
là h

thu

n nh

t t

ng

ng.
Tính cht 1
T

t c

các nghi

m c

a h

ph

ng trình vi phân tuy


n tính

u

n

nh ho

c không

n

nh theo Lyapunov khi
.
t
→ +∞

T
'
tính ch

t này, thay vì nói m

t nghi

m c

th


c

a h

ph

ng trình vi phân là
&
n

nh, ta có th

nói h

ph

ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.9) là

n

nh hay
không

n

nh.
Chú ý 1.1.1
Tính ch


t trên không

úng cho h

ph

ng trình vi phân phi tuy

n
vì có ví d

ch

ra r
!
ng, h

phi tuy

n có th

v
'
a có nghi

m
&
n


nh v
'
a có
nghi

m không
&
n

nh.
Tính cht 2
H

ph

ng trình vi phân (1.1.9)

n

nh Lyapunov v

i m

i s

h

ng
t

do
( )
f t
khi và ch
!
khi nghi

m t

m th

ng
(
)
0
t
η
≡
c

a h

thu

n nh

t t

ng
"

ng (1.1.10) là

n

nh Lyapunov khi
.
t
→ +∞

H qu 1.1.1
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính

n

nh n

u ít nh

t m

t
nghi

m c


a h



n

nh, không

n

nh n

u có m

t nghi

m không

n

nh.
H qu 1.1.2
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính không thu


n nh

t

n

nh khi
và ch
!
khi h

tuy

n tính thu

n nh

t t

ng
"
ng

n

nh.
V

i h


qu

trên,

nghiên c

u tính
&
n

nh c

a m

t h

tuy

n tính ta ch

c

n
nghiên c

u tính
&
n


nh c

a nghi

m t

m th

ng c

a h

thu

n nh

t t

ng

ng.
Chú ý 1.1.2
Dáng

i

u nghi

m c


a h

tuy

n tính không thu

n nh

t (1.1.9) v

i
s

h

ng t

do tùy ý
( )
f t
theo ngh

a
&
n

nh c

ng t


ng

ng dáng

i

u c

a
nghi

m c

a h

thu

n nh

t (1.1.10) t

ng

ng.
12
Vì v

y, sau này ta gi

i h

n vi

c nghiên c

u tính
&
n

nh ch



i v

i h

vi phân
tuy

n tính thu

n nh

t.
Tính cht 3
H

ph


ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.9) là

n

nh

u khi và ch
!

khi nghi

m t

m th

ng
(
)
0
t
η
≡
c

a h

thu


n nh

t t

ng
"
ng (1.1.10) là

n

nh

u khi
.
t
→ +∞

Tính cht 4
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.9) là

n

nh ti


m c

n n

u
nghi

m t

m th

ng
(
)
0
x t
≡
c

a h

thu

n nh

t t

ng
"
ng (1.1.10)


n

nh ti

m
c

n khi
.
t
→ +∞

H qu 1.1.3
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.9)

n

nh ti

m c

n khi và
ch

!
khi h

tuy

n tính thu

n nh

t t

ng
"
ng (1.1.10)

n

nh ti

m c

n.
Tính cht 5
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.9)


n

nh ti

m c

n khi và
ch
!
khi m

i nghi

m
(
)
0
( ),x t t t
≤ < +∞
c

a h



u d

n


n
0
khi
,
t
→ +∞
t
"
c là
ta có

lim ( ) 0.
t
x t
→∞
=


H qu 1.1.4
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính

n

nh ti


m c

n thì

n

nh
ti

m c

n trong toàn th

.

Tính cht 6
H

ph

ng trình vi phân (1.1.9)

n

nh khi và ch
!
khi m

i nghi


m
(
)
0
( ),x t t t
≤ < +∞
c

a h



u gi

i n

i trên n

a tr

c
0
.
t t
≤ < +∞

H qu 1.1.5
N


u h

ph

ng trình vi phân tuy

n tính không thu

n nh

t

n

nh
thì m

i nghi

m c

a nó ho

c b

ch

n ho

c không b


ch

n khi
.
t
→ +∞

1.1.4 H kh quy
Lý thuy

t v

h

ph

ng trình vi phân tuy

n tính v

i h

s

h
!
ng

ã


c xây
d

ng t

ng

i tr

n v
-
n. M

t câu h
$
i t

nhiên

t ra là: Li

u có th



a m

t h


ph

ng trình vi phân tuy

n tính v

i h

s

bi

n thiên v

h

ph

ng trình vi phân
tuy

n tính v

i h

s

h
!

ng hay không?- Các h

nh

v

y

c g

i là h

kh

quy.
Ta có
13
nh ngha 1.1.8
Ma tr

n vuông
(
)
[
)
1
0
. ;
L C t
∈ ∞

c

p
n n
×


c g

i là ma tr

n
Lyapunov n

u các

i

u ki

n sau

c th
$
a mãn:
1)
.
( ), ( )
L t L t
b


ch

n trên kho

ng
[
)
0
; ,
t
∞
t

c là

( ) ( )
.
sup ,sup
t t
L t L t
< ∞ < ∞
v

i m

i
0
.
t t

≤ < ∞

2)
(
)
det 0,
L t m
≥ >
trong

ó m là h
!
ng s

d

ng nào

ó.
Nhn xét
Ma tr

n
1
( ),
L t
−
ngh

ch


o v

i ma tr

n Lyapunov
(
)
L t
c

ng là ma
tr

n Lyapunov.
nh ngha 1.1.9
Phép bi

n
&
i tuy

n tính

( ) ,
y L t x
=
(1.1.11)
v


i
( )
L t
là
(
)
n n
× −
ma tr

n Lyapunov,
x
và
y
là các
(
)
1
n
× −
véc t

,

c g

i
là phép bi

n


i Liapunov.
nh ngha 1.1.10
H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính thu

n nh

t (1.1.10)

c
g

i là kh

quy theo Lyapunov n

u nó th



a

c v


h

ph

ng trình vi phân
tuy

n tính v

i ma tr

n h
!
ng

dy
By
dt
= (1.1.12)
nh

m

t phép bi

n
&
i Lyapunov
(
)

.
y L t x
=

nh lý 1.1.3
(Erugin, xem [2], [4])

H

ph

ng trình vi phân tuy

n tính (1.1.10)
là kh

quy khi và ch
!
khi m

t ma tr

n c

b

n
( )
X t
nào


ó c

a nó có th

bi

u
di

n

c

d

ng
( ) ( ) ,
tB
X t L t e
=
trong

ó
(
)
L t
là ma tr

n Lyapunov,

B
là ma
tr

n h
#
ng s

.
1.2 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng
Xét h

ph

ng trình vi phân tuy

n tính
14

( )
, 0
dx
A t x t
dt
= ≥

(1.2.1)
v

i ma tr


n
(
)
A t
có các h

s

là các hàm s

liên t

c (ho

c liên t

c t
'
ng khúc),
và tu

n hoàn, t

c là

(
)
(
)

.
A t A t
ω
+ =
(1.2.2)
Ta có

nh lý Floquet n
&
i ti

ng sau

ây.
nh lý 1.2.1
(

nh lý Floquet, xem [2], [4]) Ma tr

n nghi

m c

b

n, chu

n hóa
t


i
0
t
=
c

a h

tuy

n tính (1.2.1) v

i ma tr

n
(
)
A t
là
ω
- tu

n hoàn có d

ng

( ) ( ) ,
t
X t t e
Λ

= Φ
(1.2.3)
trong

ó
( )
t
Φ
là ma tr

n không suy bi

n, thu

c l

p hàm kh

vi
1
C
(ho

c l

p
hàm liên t

c t
$

ng khúc),
ω
- tu

n hoàn và
(0) ,
n
I
Φ =
còn
Λ
là ma tr

n h
#
ng.
Chng minh
Gi

s


( )
X t
là ma tr

n nghi

m c


b

n chu
,
n hóa t

i 0 c

a h


(1.2.1), t

c là

(0) .
n
X I
=
(1.2.4)
Khi

ó, ma tr

n
( )
X t
ω
+
c


ng là ma tr

n nghi

m c

b

n. Th

t v

y, nh


#
ng
nh

t th

c
.
( ) ( ) ( ),
X t A t X t
≡ ta có:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
d d

X t X t t A t X t A t X t
dt dt
ω ω ω ω ω ω
+ = + + = + + = +
Nh vy,
( )
X t
ω
+
cng là ma trn nghim c bn c bn ca h (1.2.1). Do
tính cht nghim ca h phng trình vi phân tuyn tính, ta có

( ) ( ) ,
X t X t C
ω
+ =
(1.2.5)
trong ó C là ma trn h!ng, không suy bin.
Trong #ng nht thc (1.2.5), cho
0
t
=
và  ý n iu kin (1.2.2) ta có:
( )
C X
ω
=

Vy

( ) ( ) ( ).
X t X t X
ω ω
+ =
(1.2.6)
15
Ma trn
(
)
X
ω
c gi là ma trn mônôrômi ca h tun hoàn (1.2.1).
Do
( )
X t
là ma trn nghim c bn nên
(
)
det 0.
X
ω
≠
t

1
( ) .
LnX
ω
ω
= Λ

(1.2.7)
Khi y ta có

( ) .
X e
ω
ω
Λ
=
(1.2.8)
Biu di%n
( )
X t
di d ng

(
)
( ) ( ) ,
t t t
X t X t e e t e
−Λ Λ Λ
≡ = Φ
(1.2.9)
trong ó
( ) ( ) .
t
t X t e
−Λ
Φ =
Ta có:

( )
( ) ( ) ( ) .
t t
t X t e X t e e
ω ω
ω ω ω
−Λ + −Λ −Λ
Φ + = + = +

 ý n (1.2 6) và (1.2.8) ta suy ra:
(
)
( ) ( ) ( ) . . ( ) ( ),
t t t
t X t X e e X t e e e X t e t
ω ω ω
ω ω
−Λ −Λ Λ −Λ −Λ −Λ
Φ + = = = = Φ

ngha là ma trn
( )
t
Φ
tun hoàn vi chu kì
ω
.
Ngoài ra, nu
( ) ( ; )

A t C
∈ −∞ +∞
thì t' (1.2.9) ta suy ra

1
( ) ( ). ( ; ).
t
t X t e C
−Λ
Φ = ∈ −∞ +∞

Hn na, ta có
(0) , det ( ) det ( )det 0.
t
n
I t X t e
−Λ
Φ = Φ = ≠

nh lý chng minh xong.
nh ngha 1.2.1 Các giá tr riêng
j
λ
ca ma trn
,
Λ
tc các nghim ca
phng trình
det( ) 0
I

λ
Λ − =
c gi là các s m% c trng ca h (1.2.1).
nh ngha 1.2.2 Các giá tr riêng
(
)
1, ,
j
j n
ρ
= …
ca ma trn
(
)
,
C X
ω
=
tc
các nghim ca phng trình c trng

det[ ( ) ] 0
X I
ω ρ
− =
(1.2.10)
c gi là các nhân t ca h (1.2.1).
16
nh lý 1.2.2 &i vi mi nhân t
,

ρ
tn ti mt nghim không tm thng
( )
t
ξ
ca h (1.2.1) tha mãn iu kin

( ) ( ).
t t
ξ ω ρξ
+ =
(1.2.11)
Ngc li, nu iu kin (1.2.11) tha mãn i vi mt nghim không tm
thng
( )
t
ξ
nào ó thì
ρ
là nhân t ca h ã cho.
Chng minh 1) Chn véc t riêng ca ma trn mônôrômi
( )
X
ω
ng vi giá
tr riêng
ρ
làm iu kin u
(0),
ξ

ta có:
( ) (0) (0)
X
ω ξ ρξ
=
và
( ) ( ) (0).
t X t
ξ ξ
=

T' ó ta có:

( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ).
t X t X t X X t t
ξ ω ω ξ ω ξ ρξ ρξ
+ = + = = =

Nh vy iu kin (1.2.11) c th$a mãn.
2) Ngc l i, gi s iu kin (1.2.11) th$a mãn i vi mt nghim không tm
thng
( ) ( ) (0)
t X t
ξ ξ
=
nào ó. t
0
t
=
ta c

( ) (0),
ξ ω ρξ
=
tc là

( ) (0) ( ) (0).
X
ω ξ ξ ω ρξ
= =

Vy
(0)
ξ
là véc t riêng ca ma trn mônôrômi
( )
X
ω
và s
ρ
là nghim ca
phng trình
[
]
det ( ) 0.
X I
ω ρ
− =
Ngha là
ρ
là nhân t ca h (1.2.1).

H qu 1.2.1 H tuyn tính tun hoàn (1.2.1) có nghim không tm thng tun
hoàn vi chu kì
ω
khi và ch! khi h có ít nht mt nhân t b#ng 1.
nh lý 1.2.3 H tuyn tính vi ma trn tun hoàn, liên tc là kh quy.
nh lý 1.2.4 1) H tuyn tính thun nht tun hoàn (1.2.1) là n nh khi và ch!
khi mi nhân t
j
ρ
ca nó u n#m trong hình tròn n v óng
1,
ρ
≤
trong
ó các nhân t n#m trên ng tròn
1
ρ
=
u có c s cp n nu chúng
c xem nh nhng giá tr riêng ca ma trn mônôrômi tng "ng.
2) &iu kin cn và   h tun hoàn n nh tim cn là mi nhân t ca nó
n#m trong hình tròn n v
1.
ρ
<
17

CHNG 2
LÝ THUYT FLOQUET TRÊN THANG THI GIAN
Nh!m thng nht nghiên cu các h ri r c và liên tc, Hilger (1988, [8]) ã a

ra khái nim thang thi gian. Ông và mt s ngi khác ã nghiên cu và phát
trin gii tích (phép toán vi phân và tích phân) và h ng lc trên thang thi
gian. Sau khi Hilger a ra khái nim thang thi gian và nghiên cu h ng lc
trên thang thi gian, mt s nhà toán hc ã quan tâm nghiên cu và xây dng
lý thuyt Floquet i vi h ng lc tun hoàn trên thang thi gian.
Chng này trình bày các kt qu ca DaCunha [7] v h ng
lc tun hoàn trên thang thi gian.
2.1 Mt s nh ngha và tính cht c bn v thang thi gian
2.1.1 Các nh ngha c bn
nh ngha 2.1.1 Thang thi gian là mt tp con óng tùy ý khác r+ng ca tp
các s thc
,

thng c kí hiu là


Thí d, các tp
0
, , ,
   
(tp s thc, tp s nguyên, tp s t nhiên, tp s t
nhiên khác 0),
h
=


vi
0
h
>

là mt s bt kì, là nhng thang thi gian.
Tp
( ) ( )
,
0
, ,
a b
k
k a b k a b a
∞
=
= + + +
 
 


, 0
a b
>

là hp ca các khong óng xut phát t' 0, có  dài
,
a
và hai khong cách
nhau mt o n có  dài
,
b
là thang thi gian.
Các tp
[

)
, \ , , 0;1
   
không phi là thang thi gian.
Ta luôn gi s r!ng, thang thi gian

c trang b mt tôpô cm sinh t' tôpô
thông thng trên tp các s thc
.


18
nh ngha 2.1.2 Cho

là mt thang thi gian. Vi m+i
t
∈

ta nh ngha
toán t nhy tin (forward jump) và toán t nhy lùi (backward jump) nh sau:
1. Toán t nhy tin:
(
)
{
}
: : inf : .
t s s t
σ σ
→ = ∈ >
  

2. Toán t nhy lùi:
{
}
: , ( ): sup : .
t s s t
ρ ρ
→ = ∈ <
  

nh ngha 2.1.3 im
t
∈

c gi là im cô lp phi (right-scattered) nu
(
)
;
t t
σ
>
im trù mt phi (right-dense) nu
sup
t
<

và
(
)
;

t t
σ
=
im cô
lp trái (left-scattered) nu
(
)
;
t t
ρ
<
im trù mt trái (left-dense) nu
inf
t
>


và
(
)
.
t t
ρ
=

im v'a là cô lp phi v'a là cô lp trái c gi là im cô lp (isolated);
im v'a là trù mt phi v'a là trù mt trái gi là im trù mt (dense).
nh ngha 2.1.4 Hàm s
µ
+

→


xác nh bi
(
)
(
)
: ,
t t t
µ σ
= −

t
∈

c
gi là hàm ht (graininess) ca thang thi gian


Hàm h t c trng s thay &i ca thang thi gian t i thi im
.
t

Ví d 2.1.1
1. Khi
=


thì

( ) ( )
t t t
σ ρ
= =
và
( ) 0.
t
µ
=

2. Khi
=


thì
( ) 1, ( ) 1, ( ) 1.
t t t t t
σ ρ µ
= + = − =

3. Khi
{
}
{
}
: , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , ,
h hz z h h h h h h
= = ∈ = − − −
 


0
h
>

thì
( ) , ( ) , ( ) .
t t h t t h t h
σ ρ µ
= + = − =

4. Khi
( ) ( )
,
0
, ,
a b
k
k a b k a b a
∞
=
= + + +
 
 



, 0
a b
>

thì
( ) ( )
)
( )
{ }
0
0
, , ;
( )
, .
k
k
t t k a b k a b a
t
t b t k a b a
σ
∞
=
∞
=

∈ + + +




=



+ ∈ + +





19
( ) ( )
(
( )
{ }
0
0
, , ;
( )
, .
k
k
t t k a b k a b a
t
t b t k a b
ρ
∞
=
∞
=

∈ + + +





=


− ∈ +






( ) ( )
)
( )
{ }
0
0
0, , ;
( )
, .
k
k
t k a b k a b a
t
b t k a b a
µ
∞
=
∞

=

∈ + + +




=


∈ + +





Ký hiu
(
)
{
}
, : .
a b t a t b
= ∈ < <


 n gin, khi thang thi gian

ã cho,
ta s. vit

(
)
[
]
[
)
(
]
, ; , ; , ; ;
a b a b a b a b
thay cho
(
)
[
]
[
)
(
]
, ; , ; , ; ; .
a b a b a b a b

  

Nu thang thi gian

có phn t ln nht M là im cô lp trái thì ta t
{
}
\ .

k
M
=
 
Trong các trng hp còn l i (

không có phn t ln nht
hoc phn t ln nht M không phi là im cô lp trái) thì ta t
.
k
=
 

 thc hin chng minh các nh lý trên thang thi gian, ta cn
Nguyên lý quy np trên thang thi gian
Vi
0
t
∈

gi s
(
)
[
)
{
}
0
: ,
S t t t

∈ ∞
là mt h các phát biu tho mãn:
1. Phát biu
0
( )
S t
là úng,
2. Nu
[
)
0
;t t
∈ +∞

là im cô lp phi và
( )
S t
là úng thì
( ( ))
S t
σ
cng úng,
3. Nu
[
)
0
;t t
∈ +∞
là im trù mt phi và
( )

S t
là úng thì t#n t i mt lân cn
U

ca
t
sao cho
( )
S s
là úng vi mi
(
)
; ,
s U t
∈ ∩ +∞

4. Nu
[
)
0
;t t
∈ +∞
là im trù mt trái và S(s) là úng vi mi
[
)
0
,
s t t
∈
thì

( )
S t
là úng.
Khi ó,
( )
S t
là úng vi mi
[
)
0
; .
t t
∈ +∞

2.1.2 Tính liên tc
20
nh ngha 2.1.5 1. Hàm
:f
→


c gi là chính quy (regulated) nu t#n
t i gii h n bên phi (hu h n) t i tt c các im trù mt phi trong

và t#n
t i gii h n bên trái (hu h n) t i tt c các im trù mt trái trong
.


2. Hàm

:f
→

 c gi là rd - liên tc (right-dense continuous) nu nó liên
tc t i các im trù mt phi và gii h n bên trái là t#n t i (hu h n) t i các im
trù mt trái trong
.


3. Mt
m n
× −
ma trn
(
)
.
A
hàm xác nh trên thang thi gian

c gi là rd
- liên tc nu m+i phn t ca
(
)
.
A
là rd - liên tc.
4. Cho
X
là mt không gian Banach, ánh x

(
)
(
)
: , , ,
k
f X X t x f t x
× →



gi là rd - liên tc nu các iu kin sau c th$a mãn:
a)
f
liên tc t i m+i im
(
)
,
t x
vi
t
là trù mt phi hay
max
t
=


b) Các gii h n
(
)

( ) ( )
(
)
, , ,
, : lim ,
s y t x s t
f t x f s y
−
→ <
=
và
(
)
lim ,
y x
f t y
→
t#n t i t i m+i im
(
)
,
t x
vi
t
là im trù mt trái.
nh lý 2.1.1 (xem [6]) Xét hàm
: .
f
→



Ta có:
1. Nu
f
liên tc thì
f
là rd - liên tc.
2. Nu
f
là rd - liên tc thì
f
là chính quy.
3. Toán t nhy tin
σ
là rd - liên tc.
4. Nu
f
là chính quy (rd-liên tc ) thì :f f
σ
σ
=

c%ng là chính quy (rd-liên
tc).
5. Cho
f
liên tc. Nu
:g
→


 là chính quy (rd-liên tc) thì
fg
c%ng là
chính quy (rd-liên tc).
2.1.3 Tính kh vi
21
nh ngha 2.1.6 Xét hàm s
: .
f
→


&o hàm Hilger hay
∆ −
o hàm
ca
f
t i
k
t
∈

là mt s (nu nó t#n t i), c kí hiu là
(
)
,
f t
∆
nu vi mi
0

ε
>
cho trc t#n t i lân cn U ca t sao cho

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, .
f t f s f t t s t s s U
σ σ ε σ
∆
 
− − − ≤ − ∀ ∈
 
 
 

Hàm
f
c gi là
∆ −

kh vi (nói ng"n gn là kh vi) trên
k

nu
(
)
f t
∆
t#n
t i vi mi
.
k
t
∈


nh lý 2.1.2 (xem [6]) Xét hàm s
:f
→


và
.
k
t
∈

Khi ó ta có:
1. Nu
f

kh vi ti t thì
f
liên tc ti
.
t

2. Nu
f
liên tc ti
t
và
t
là im cô lp phi thì
f
là kh vi ti
t
và
( )
(
)
(
)
(
)
( )
.
f t f t
f t
t
σ

µ
∆
−
=

3. N

u
t
là

i

m trù m

t ph

i thì
f
kh

vi t

i
t
khi và ch
!
khi gi

i h


n
(
)
(
)
lim
s t
f t f s
t s
→
−
−
tn ti hu hn và khi ó
(
)
f t
∆
=
(
)
(
)
lim .
s t
f t f s
t s
→
−
−

4. Nu
f
là kh vi ti
t
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
f t f t t f t
σ µ
∆
= +
Ký hiu:

(
)
{
, : :
rd
C f f
= →

 
 
là rd - liên tc}.

(
)
{
1
, : :
rd
C f f
= →
 
 
là kh vi và
f
∆
là rd-liên tc}.
Ví d 2.1.2 Ta xét hai trng hp
=


và
.
=



1. Nu
=



thì t' nh lý trên suy ra hàm
:
f
→
 
là
∆ −
kh vi t i
t
khi
và ch khi gii h n
(
)
(
)
lim
s t
f s f t
s t
→
−
−
t#n t i, tc là
f
kh vi (theo ngha thông
thng) t i t.
22
Trong trng hp này ta có

( )
(
)
(
)
( )
lim .
s t
f t f s
f t f t
t s
∆
→
−
′
= =
−

2. Nu
=


thì t' nh ngha hoc t' nh lý trên suy ra hàm
:
f
→
 
là
∆ −
kh vi t i

t
∈

và
(
)
(
)
(
)
1
f t f t f t
∆
= + −
=
(
)
f t
∆
,  ây
∆
là toán t sai
phân tin thông thng
(
)
(
)
1 .
u u t u t
∆ = + −

2.1.4 Tính kh tích
nh ngha 2.1.7 Mt hàm
:f
→


gi là tin kh vi (pre-differentiable) vi
min kh vi
D
nu các iu kin sau #ng thi c th$a mãn:
a)
,
k
D
⊂


b)
\
k
D

là không quá m c và không cha im cô lp phi nào ca
,


c)
f
kh vi t i m+i

.
t D
∈

nh lý 2.1.3 (nh lý giá tr trung bình) Cho
f
và
g
là các hàm nhn giá tr
th c, xác nh trên

và là tin kh vi vi min kh vi
.
D
Khi ó, nu

(
)
(
)
,
f t g t t D
∆ ∆
≤ ∀ ∈

thì
(
)
(
)

(
)
(
)
, , , .
f s f r g s g r r s r s
− ≤ − ∀ ∈ ≤

nh lý 2.1.4 Cho
f
là mt hàm chính quy. Khi ó tn ti mt hàm tin kh vi
F
vi min kh vi
D
sao cho
(
)
(
)
,
F t f t
∆
=
vi mi
.
t D
∈

nh ngha 2.1.8
1.Ta gi hàm

F
trong nh lý 2.1.3 là mt tin nguyên hàm (pre-antiderivative)
ca hàm chính quy
.
f

2. Tích phân bt nh ca mt hàm chính quy
f
là
(
)
(
)
: ,
f t t F t C
∆ = +

trong
ó
C
là mt h!ng s tùy ý và
F
là mt tin nguyên hàm ca hàm
.
f

3. Tích phân xác nh ca mt hàm chính quy
f
là
23

( ) ( ) ( )
: ,
s
r
f t t F s F r
∆ = −


, ,
r s
∈


vi
F
là mt tin nguyên hàm ca hàm
.
f

4. Mt hàm
:
F
→


c gi là mt nguyên hàm (antiderivative) ca
:f
→



nu
(
)
(
)
,
F t f t
∆
=
vi mi
.
k
t
∈


nh ngha 2.1.9 Cho
,
a
∈


sup
= ∞

và
f
là rd - liên tc trên
[
)

, .
a
∞
Tích
phân suy rng ca hàm
f
trên
[
)
,
a
∞
c nh ngha nh sau:

( ) ( )
: lim .
b
b
a a
f t t f t t
∞
→∞
∆ = ∆
 

Ví d 2.1.3 Xét mt s thang thi gian c bit:
1. Khi
=



thì vi
f
là hàm liên tc trên

ta có

( ) ( )
.
b b
a a
f t t f t dt
∆ =
 

2. Khi
=


thì vi
:
f
→
 
là mt hàm tùy ý ta có:
( )
( )
( )
1
1
0

b
t a
b
a
a
t b
f t
f t t
f t
−
=
−
=



∆ =


−






3. Khi
h
=



thì vi
:
f h
→
 
là mt hàm tùy ý ta có:

( )
( )
( )
1
1
,
0,
,
b
h
a
k
h
b
a
a
h
b
k
h
f kh h
f t t

f kh h
−
=
−
=





∆ =



−







nh lý 2.1.5 Cho
:
m
V
× →
 

và

:
m
g
→


là kh vi liên tc. Khi ó,
(
)
(
)
., . :V g →

 là
∆
- kh vi và ta có
khi a < b,

khi a = b,

khi a > b,
nu a < b,
nu a = b,
nu a > b.
24
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )

( )
( )
1
0
, , , ,
t x
V t g t V t g t V t g t h t g t g t dh
σ µ
∆ ∆ ∆ ∆
′
= + +



( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
0
, , , ,
t x
V t g t V t g t h t g t g t dh
σ µ
∆ ∆ ∆
′
= + +


 ây
x
V
′
là  o hàm (theo bin th hai ca hàm
(
)
,
V V t x
=
) và
,
⋅ ⋅
là tích vô
hng theo ngha thông thng.
2.1.5 Tính h i quy
Cho

là trng s thc hay phc.
nh ngha 2.1.10 Hàm
:p
→
 
c gi là hi quy (regressive) nu
(
)
(
)
1 0

t p t
µ
+ ≠
vi mi
.
k
t
∈


nh lý 2.1.6 Tp hp
(
)
,
ℜ = ℜ
 
gm tt c các hàm hi quy trên

cùng
vi phép toán
⊕
c xác nh bi

(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
:
p q t p t q t t p t q t
µ
⊕ = + +

lp thành mt nhóm Abel. Phn t kh nghch ca phn t
q
ca nhóm này
c kí hiu là
( )( )
(
)
( ) ( )
: .
1
q t
q t
t q t
µ
−
=
+


Ta gi
(
)
,
ℜ =
 
là nhóm hi quy.
Ta hiu
(
)
(
)
p q t

chính là
(
)
(
)
p q t
⊕

.
Vì th
( )( )
(
)
(
)

( ) ( )
: ,
1
p t q t
p q t
t q t
µ
−
=
+

vi mi
, .
p q
∈ℜ

H qu 2.1.1 Tp tt c các phn t hi quy dng ca
(
)
, ,
ℜ


c xác
nh bi

(
)
, { :1 ( ) ( ) 0
p t p t

µ
+ +
ℜ = ℜ = ∈ℜ + >

 ,vi mi
}
k
t
∈

, là mt nhóm
con ca
( , ).
ℜ


Nhn xét r!ng, nu
,
p q
∈ℜ
thì
, , , .
p q p q p q
⊕ ∈ℜ
  