Đề cương bài giảng học phần toán cao cấp A1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (725.27 KB, 73 trang )
1
ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP A1
2
CHƯƠNG 1
ðịnh thức và hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 10 (Lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 03 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên nắm ñược khái niệm ma trận, ñịnh thức, hệ phương trình tuyến tính và các tính chất
của chúng.
- Sinh viên có thể cộng, nhân ma trận, tính ñịnh thức bằng nhiều cách khác nhau thành thạo.
- Sinh viên nắm ñược và biết cách giải hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer.
1.1. Ma trận và ñịnh thức
1.1.1. Các ñịnh nghĩa và ví dụ
a. Khái niệm:
Có m x n số, ta có thể xếp thành 1 bảng chữ nhật m hàng, n cột. Bảng ñó ñược gọi là một ma
trận.
b. ðịnh nghĩa 1.1: Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột
A =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a aa
a aa
a aa
ñược gọi là ma trận A cỡ m x n (m,n ∈ N, m,n ≥ 1)
Quy ước: xét ma trận thực,
ij
a
∈ R. Kí hiệu: Mat
mxn
(R)
+
ij
a
là phần tử của ma trận A nằm ở giao ñiểm của hàng i, cột j.
KH: [ ], (viết bằng chữ in hoa)
+ A là ma trận cỡ mxn có phần tử nằm ở hàng i, cột j là:
ij
a
. Ta viết A= [
ij
a
]
mxn
ðặc biệt: Khi m = n thi ta nói: A là ma trận vuông với m hàng, m cột (n hàng, n cột) hay còn gọi
là ma trận cấp n.
+ a
11
, a
22
, a
33
, …, a
nn
là các phần tử chéo.
+ ðường thẳng chứa các phần tử chéo ñược gọi là ñường chéo chính.
+ Ma trận A cấp n
0 00
a a0
a aa
2n22
1n1211
có tính chất: a
ij
= 0 nếu i>j ñược gọi là ma
trận tam giác trên
+ Tương tự
ij
a
= 0 nếu i< j ñược gọi là ma trận tam giác dưới.
+ Trường hợp
ij
a
= 0 nếu i ≠ j ñược gọi là ma trận chéo.
+ a
11
= a
22
= a
33
= …= a
nn
=1 thì A= I và gọi là ma trận ñơn vị. Khi ñó:
3
ij
1 0 0
0 1 0
I (
δ )
0 0 1
= =
,
ij
0 nê i j
1 nê i=j
u
u
δ
≠
=
Một cách khái niệm khác về ma trận:
• Cho m, n là hai số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1. Ta gọi là một ma trận cấp m
×
n là một bảng
chữ nhật gồm m dòng và n cột các phần tử là các số thực sắp xếp và ký hiệu như sau:
A =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a aa
a aa
a aa
.
Mỗi phần tử
ij
a
, ñược gọi là một thành phần hay phần tử của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và
cột thứ j. Người ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ in hoa A, B, C, Ma trận có thể viết gọn
A = (
ij
a
)
m
×
n
. Ma trận chỉ có một dòng (một cột), ñược gọi là ma trận dòng (ma trận cột). Nếu
m = n thì ma trận cấp n
×
n gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận cấp m
×
n với phần
tử thực, ñược ký hiệu là Mat
m
×
n
(R). ðặc biệt nếu m = n ta thường ký hiệu Mat
n
(R).
• Cho ma trận A =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a aa
a aa
a aa
. Ta gọi B =
mn2n1n
m22212
m12111
a aa
a aa
a aa
là ma trận
chuyển vị của ma trận A, và thường ký hiệu là
t
A. Rõ ràng ma trận
t
A có ñược từ ma trận A
bằng cách ñổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của
t
A và như vậy nếu A có cấp m
×
n thì
t
A
có cấp n
×
m.
Ví dụ 1.1: A =
− 752
301
là ma trận thực cấp 2
×
3. Khi ñó ma trận chuyển vị của A là
ma trận cấp 3
×
2:
t
A =
− 73
50
21
.
1.1.2. Các phép toán và tính chất
a. Phép cộng: Cho hai ma trận cùng cấp A = (
ij
a
)
m
×
n
và
B = (
ij
b
)
m
×
n
. Ta gọi là tổng của
hai ma trận ñó là một ma trận C cùng cấp m
×
n, mà phần tử tổng quát
ij
c
của nó là
ij
c
=
ij
a
+
ij
b
, và ký hiệu là: C = A + B.
Rõ ràng cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các thành phần tương ứng (cùng dòng, cùng cột) của
chúng với nhau. Vậy:
4
C =
+++
+++
+++
mnmnm2m2m1m1
2n2n22222121
1n1n12121111
ba baba
ba baba
ba baba
.
b. Phép nhân một ma trận với một số: Cho ma trận A = (
ij
a
)
m
×
n
, và số thực k. Ta gọi là tích
của ma trận A với số k , là một ma trận ký hiệu kA mà phần tử của nó là k
ij
a
. Vậy:
kA =
mnm2m1
2n2221
1n1211
ka kaka
ka kaka
ka kaak
.
Như vậy nhân một ma trận với một số ta chỉ việc nhân số ñó với mọi thành phần của ma trận.
Chú ý 1.1: Trong phép nhân ma trận với một số, nếu k = –1 thì kA = (–1)A, gọi là ma trận ñối
của ma trận A và thường ký hiệu là –A. Như vậy –A = (–1)A.
c. Phép trừ: Cho hai ma trận A, B cùng cấp. Ta gọi là hiệu của A và B là ma trận cùng cấp:
A + (–B) và thường ñược ký hiệu là A – B. Như vậy A – B = A + (–B).
d. Phép nhân các ma trận: Cho các ma trận A = (
ij
a
)
m
×
n
và
B = (
jk
b
)
n
×
p
. Ma trận C =
(
ik
c
)
m
×
p
, với
p1,k,m1,i;.bac
n
1j
jkijik
===
∑
=
, gọi là tích của hai ma trận A và B,
ký hiệu là AB.
Nhận xét 1.1: + Tích AB chỉ ñược xác ñịnh khi số cột của A bằng số dòng của B. Muốn tìm
thành phần c
ik
của tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a
ij
của dòng i trong A nhân với thành
phần b
jk
của cột k trong B rồi cộng lại.
+ Tích AB và BA chỉ tồn tại khi chúng có cấp m
×
n và n
×
m. Khi tồn tại AB và
BA thì nói chung AB
≠
BA (phép nhân ma trận nói chung không giao hoán).
Ví dụ 1.2: Cho A =
−
07
41
53
và B =
−
−
342
741
. Khi ñó AB tồn tại và là ma trận vuông cấp
3, còn BA cũng tồn tại nhưng là ma trận vuông cấp 2.
AB =
−
−
−−
=
+−+−+
+−−+−−+−
+−+−+
49287
19129
6327
3.0)7.(74.04.7)2.(01.7
3.4)7.(14.44.1)2.(41.1
3.5)7.(34.54.3)2.(51.3
, còn BA =
−
611
2150
.
• Các tính chất:
+) Phép cộng và phép nhân ma trận với một số thực có các tính chất:
- Phép cộng:
1) A + B = B + A. ( tính giao hoán).
2) A + ( B + C) = ( A + B) + C. ( tính kết hợp).
3) A + O = O . ( O là ma trận mà các thành phần ñều bằng không).
5
4) A + (-A) = O.
- Phép nhân
5) k(A + B) = kA + kB.
6) (k + l)A = kA + lA.
7) (kl)A = k(lA).
8) 1.A = A.
Các ñẳng thức trên xảy ra với mọi A, B, C thuộc tập hợp Mat
m
×
n
(R) và mọi k, l thuộc tập số
thực R.
+) Với các ma trận A, B, C và mọi k thuộc R ta có các tính chất sau (nếu phép toán có nghĩa).
1) (AB)C = A(BC).
2) A(B + C) = AB + AC.
3) k(AB) = (kA)B = A(kB).
4) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận vuông cấp n (ta gọi là ma trận ñơn vị)
thì AI = IA = A.
1.1.3. ðịnh thức
• ðịnh thức của ma trận vuông
Xét ma trận cấp n:
A =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
a a a
xét phần tử a
ij.
ta bỏ
hàng i, cột j sẽ thu ñược ma trận còn n-1 hàng, n-1 cột. KH: M
ij
: ma trận
con ứng với phần tử a
ij
ðịnh thức của ma trận A, Kí Hiệu là: det(A), ñược ñịnh nghĩa dần dần như sau:
-A là ma trận cấp 1: A=[a
11
] thì det(A)= a
11
-A là ma trận cấp 2: A=
11 12
21 22
a a
a a
thì det(A)= a
11
det(M
11
)- a
12
det(M
12
)= a
11
.a
22
– a
12
.a
21
- A là ma trận cấp n:
det(A)= a
11
det(M
11
)- a
12
det(M
12
)+ +(-1)
1+n
a
1n
det(M
1n
)
trong ñó a
11
; a
12
; ; a
1n
là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trận A.
Kí hiệu:
ðịnh thức của ma trận cấp n gọi là ñịnh thức cấp n
ðịnh nghĩa một cách khác về ñịnh thức như sau:
Nhận xét 1.2.
6
• Cho tập hợp X
≠
∅
. Mỗi một song ánh
XX:σ
→
, ñược gọi là một phép thế của tập X.
Nếu X có n phần tử thì ta có thể viết X = {1, 2, , n}. Khi ñó mỗi phép thế của X thường ñược
biểu diễn dưới dạng:
=
σ(n) σ(2)σ(1)
n 21
σ
.
(dòng trên là các phần tử của X, dòng dưới là ảnh tương ứng của nó qua song ánh
XX:σ
→
). Thông thường ta chỉ xét X hữu hạn, nên giả sử X
n
= {1, 2, , n} với
( n > 0). Song ánh ñồng nhất ñược gọi là phép thế ñồng nhất.
• Phép thế
τ
gọi là một chuyển trí nếu
τ
(i) = j ;
τ
(j) = i ;
τ
(k) = k ;
Xkj,i,
∈
∀
,
kj;ki
≠
≠
và thường ñược ký hiệu là (i, j). Tập hợp các phép thế của tập gồm n phần tử
thường ký hiệu là S
n
. Rõ ràng S
n
có n! phần tử.
• Giả sử
σ
là một phép thế của tập X
n
= {1, 2, , n}. Với mỗi i, j
∈
X
n
,
ji
≠
, ta nói cặp
(
σ
(i),
σ
(j)) là một nghịch thế của
σ
, nếu i < j , nhưng
σ
(i) >
σ
(j).
• Phép thế
σ
ñược gọi là phép thế chẵn (lẻ) nếu nó có một số chẵn (lẻ) các nghịch thế. Ta gán
cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, và mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng –1. Các giá trị
này của phép thế
σ
, gọi là dấu của
σ
và ký hiệu là sign(
σ
).
Vậy: sign(
σ
) =
′
−
′
leuen
nachuen
σ
σ
ˆ
1
ˆ
1
⌣
Ví dụ 1.3:
τ
=
123
321
, thì sign(
τ
) = –1;
σ
=
132
321
, thì sign(
σ
) = 1.
Các hệ quả: 1) sign(
σ
) =
i,j
i j
σ(i) σ(j)
−
−
∏
.
2)
)sign(µ.)sign(σµ)sign(σ;Sµ,σ
n
=
∈
∀
.
3) Mọi chuyển trí ñều là phép thế lẻ.
* ðịnh nghĩa 1.2
• Với ma trận vuông
A =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
a a a
Ta gọi tổng:
D =
n
1s(1) 2s(2) ns(n)
s S
sign(s).a .a . .a
∈
∑
, là ñịnh thức của ma trận A và ký hiệu là
A
hay det(A),
7
hay
nnn2n1
2n2221
1n1211
a aa
a aa
a aa
.
Với cách ký hiệu này ta cũng nói mỗi a
ij
là một thành phần (phần tử) của ñịnh thức, các
a
i 1
, a
i 2
, , a
i n
tạo thành dòng thứ i , các a
1j
, a
2j
, , a
nj
tạo thành cột thứ j của ñịnh thức. Hơn
nữa
A
cũng gọi là ñịnh thức cấp n.
Chú ý 1.2: Mỗi hạng tử của
A
là một tích gồm n thành phần với một dấu xác ñịnh, trong mỗi
tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột.
Ví dụ 1.4. A = (a
11
) thì
A
= a
11
.
A =
2221
1211
aa
aa
thì
A
=
11 12
21 22
a a
a a
= a
11
.a
22
– a
12
.a
21
.
A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
thì:
A
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
13
a
22
a
31
– a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32
.
Ở ñây ta có quy tắc Sarus tính ñịnh thức cấp 3 như sau:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
– a
11
a
12
a
13
+
– a
21
a
22
a
23
+
– +
1.1.4. Một số tính chất của ñịnh thức
1) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: a
i1
+ b
i1
, a
i2
+ b
i2
, , a
in
+ b
in
thì ñịnh thức D = D
1
+ D
2
, trong ñó dòng thứ i của D
1
là: a
i1
, a
i2
, , a
in
,
dòng thứ i của D
2
là: b
i1
, b
i2
, , b
in
, còn các dòng khác của D
1
, D
2
là các
dòng của D.
Chẳng hạn: D =
=
−+
41
b5a3
41
53
+
=
−
41
ba
41
3 b−
+
41
5a
2) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: aa
i1
, aa
i2
, , aa
in
thì có thể ñưa nhân tử chung a ra
ngoài ñịnh thức, tức là:
8
D =
nnn3n2n1
ini3i2i1
1n131211
a aaa
aa aaaaaa
a aaa
=
nnn3n2n1
ini3i2i1
1n131211
a aaa
a aaa
a aaa
a
3) Nếu ñổi chỗ hai dòng (2 cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu.
4) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) giống nhau, thì ñịnh thức bằng không.
5) Nếu ñịnh thức có hai dòng (2 cột) có các thành phần cùng cột tương ứng tỷ lệ, thì ñịnh thức
bằng không.
6) Nếu nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với một số c, rồi cộng vào thành phần cùng cột ở
dòng thứ k thì ta ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho.
Chẳng hạn: D =
974
831
152
. Nhân dòng thứ hai với (–2) rồi cộng vào dòng thứ nhất ta ñược
ñịnh thức D
1
=
974
831
)16(1)6(5)2(2
−+−+−+
=
974
831
1510
−−
= D ( = 52).
7) Nếu
t
A là ma trận chuyển vị của ma trận vuông A thì
A
t
=
A
. Nói cách khác ñịnh
thức không thay ñổi qua một phép chuyển vị, hay ñịnh thức không thay ñổi khi ta ñổi dòng thành
cột và cột thành dòng.
Chú ý 1.3: Từ tính chất này ta suy ra các tính chất nào ñã ñúng với dòng thì cũng ñúng với cột và
ngược lại.
1.1.5. Một số phương pháp tính ñịnh thức
• ðịnh thức con và phần bù ñại số.
Cho ñịnh thức D cấp n.
+ Nếu chọn r dòng: i
1
, i
2
, , i
r
và r cột: j
1
, j
2
, , j
r
( r < n ), của ñịnh thức D, thì các thành
phần nằm ở giao của r dòng và r cột ñó lập thành một ñịnh thức cấp r, ký hiệu bởi:
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
, và gọi là một ñịnh thức con cấp r của ñịnh thức D.
+ Nếu chọn r dòng: i
1
, i
2
, , i
r
và r cột: j
1
, j
2
, , j
r
( r < n ), của ñịnh thức D, và xoá ñi r dòng
và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập nên một ñịnh thức cấp n – r, ký hiệu bởi:
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
,
và gọi là ñịnh thức con bù của ñịnh thức
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
trong ñịnh thức D.
+ Biểu thức
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
A
=
.1)(
r1r1
j ji i +++++
−
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
, ñược gọi là phần bù ñại
số của
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
. Trường hợp r = 1, ta thường viết
11
ji
M
,
11
ji
M
,
11
ji
A
.
9
Ví dụ 1.5: Cho D =
7016
0140
9202
1538
−
−
−
. Mỗi ñịnh thức con cấp 1 của D là một phần tử của D.
ðịnh thức con bù của a
32
= 4 là:
706
922
158
M
32
−
−
−
=
. Còn phần bù ñại số của a
32
= 4 là
A
32
= (–1)
3 + 2
.
32
M
= –
32
M
.
• ðịnh lý 1.1 (Khai triển ñịnh thức theo một dòng):
Cho ñịnh D cấp n mà phần tử là a
i J
. Với mỗi
{
}
ni , ,2,1
∈
, ta luôn luôn có:
D = a
i 1
A
i 1
+ a
i 2
A
i 2
+ + a
i n
A
i n
=
∑
=
n
1j
ijij
Aa
.
Chú ý 1.4: + Nhờ tính chất của ñịnh thức ta cũng có:
D = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ + a
nj
A
nj
=
∑
=
n
1i
ijij
Aa
.
+ a
i 1
A
k 1
+ a
i 2
A
k 2
+ + a
i n
A
k n
= 0 , nếu
ik
≠
.
+ Nhờ ñịnh lý trên, ñể tính ñịnh thức cấp n ta có thể ñưa về tính ñịnh thức cấp nhỏ hơn n.
• ðịnh lý 1.2 Laplace (Khai triển ñịnh thức theo r dòng):
Nếu trong ñịnh thức D cấp n ta ñã chọn ra r dòng cố ñịnh i
1
, i
2
, , i
r
( r < n); M
1
, M
2
, , M
s
là
tất cả các ñịnh thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A
1
, A
2
, , A
s
là những phần bù
ñại số tương ứng thì: D =
s
j j
j 1
M A
=
∑
.
ðể thấy rõ cách tính ñịnh thức theo ñịnh lý Laplace, dưới ñây ta ñưa ra một ví dụ cụ thể như sau:
Ví dụ 1.6: Xét ñịnh thức D =
5074
0210
2316
0530
−
−
. Chọn hai dòng là dòng 1 và dòng 3, ñó
là:
0210
0530
−
. T
ừ
hai dòng này ta có th
ể
l
ậ
p
ñượ
c
2
4
C
= 6
ñị
nh th
ứ
c con c
ấ
p 2, và do
ñ
ó
có 6 ph
ầ
n bù
ñạ
i s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng,
ñ
ó là:
M
1
=
10
30
; M
2
=
20
50
−
; M
3
=
00
00
; M
4
=
21
53
−
; M
5
=
01
03
; M
6
=
02
05
−
.
Trong 6
ñị
nh th
ứ
c con này ch
ỉ
có M
4
= –11
≠
0, các
ñị
nh th
ứ
c còn l
ạ
i
ñề
u b
ằ
ng không. Ngoài ra
=
4
M
54
26
−
, nên A
4
= (–1)
1+3+2+3
. =
4
M
4
M− = 38. V
ậ
y:
D = –11.38 = – 418.
10
•
Một số phương pháp tính ñịnh thức:
i1. ðối với ñịnh thức cấp 3 ta có quy tắc Sarus ñể tính ñịnh thức cấp 3.
i2. Khai triển ñịnh thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột.
(ðể phép tính ñược ñơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có nhiều thành phần bằng 0
hoặc là những số ñơn giản)
Ví dụ 1.7: Tính ñịnh thức D =
9204
10001
3607
0523
−
−
. Nhận thấy dòng (cột) có nhiều số không
nhất là cột thứ 2, do ñó ta khai triển D theo cột 2. Vậy D = (–2)(–1)
1 + 2
.
924
1001
367
−
= 2.
924
1001
367
−
. Lại tiếp tục khai triển ñịnh thức cấp 3 này theo dòng 2 ta ñược:
D = 2.
[ ]
856)2414.(10)654(.2
24
67
.)1.(10
92
36
.)1.(1
3212
−=+−−−=
−
−+−
++
.
i3. ðưa ñịnh thức về dạng tam giác.
D =
ij
a
với a
i j
= 0 nếu i < j (ñịnh thức tam giác dưới), hoặc a
i j
= 0 nếu i > j (ñịnh thức
tam giác trên), tức là D có dạng:
D =
nnn2n1
2221
11
a aa
0
0 aa
0 0a
hoặc D =
nn
2n22
1n1211
a 00
0
a a0
a aa
. Khi ñó D = a
11
.a
22
a
nn
.
Ví dụ 1.8:
200
960
975 −
= 5.6.2 = 60
i4. Áp dụng các tính chất của ñịnh thức.
ðể ñưa ñịnh thức về dạng tam giác ta ñã sử dụng chủ yếu tính chất 6, ñôi khi có sử dụng các tính
chất khác. Nói chung,ñể tính ñịnh thức ta có thể áp dụng mọi tính chất của nó.
Ví dụ 1.9: Tính ñịnh thức:
D =
201210
125874120
2153
3112
−
−
−
Giải: Cộng dòng thứ nhất với dòng thứ hai ta ñược:
11
D =
201210
125874120
1065
3112
−
−
−
Ta thấy ñịnh thức mới có hai dòng thứ hai và thứ tư tỉ lện. Theo tính chất 5, D = 0
i5. Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi.
Phương pháp truy hồi là phương pháp biểu diễn ñịnh thức cần tính qua những ñịnh thức có cấp
thấp hơn có dạng xác ñịnh và theo một công thức xác ñịnh. Tính ñịnh thức cấp thấp hơn ta sẽ lần
lượt tính ñược những ñịnh thức cấp cao hơn.
Ví dụ 1.10. Dùng phương pháp quy nạp, Tính ñịnh thức cấp n + 1 sau ñây:
D
n
=
11 111
aa 000
00 a00
00 aa0
00 0aa
nn
3
22
11
−
−
−
−
. Khai triển ñịnh thức theo cột cuối ta ñược:
D
n
=
11 111
aa 000
00 a00
00 aa0
00 0aa
a
a 00
0 a0
0 aa
1n1n
3
22
11
n
n
2
11
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
– a
n
.D
n - 1
.
Với n = 1 thì D
1
=
1
11
2
11
a
aa
−=
−
. Với n = 2 thì D
2
= a
1
a
2
+ a
1
a
2
+ 0 + 0 + a
1
a
2
– 0 = 3a
1
a
2
.
Dự ñoán D
n
= (–1)
n
( n + 1) .a
1
.a
2
. .a
n
. Ta sẽ chứng minh dự ñoán này là ñúng. Thật vậy với n
= 1 và n = 2 ñiều cần chứng là ñúng. Với n > 2, giả sử mệnh ñề ñúng với n – 1, tức là D
n - 1
= (–
1)
n - 1
.n.a
1
.a
2
. .a
n - 1
. Khi ñó:
D
n
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
– a
n
.D
n - 1
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
– a
n
. (–1)
n - 1
.n.a
1
.a
2
. .a
n - 1
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
+ a
n
. (–1)
n
.n.a
1
.a
2
. .a
n - 1
= (–1)
n
( n + 1) .a
1
.a
2
. .a
n
.
Vậy D
n
=
(–1)
n
( n + 1) .a
1
.a
2
. .a
n
.
Ví dụ 1.11: Tính ñịnh thức cấp 5 sau ñây: D
5
=
42000
54200
05420
00542
00054
. Khai triển ñịnh thức này theo
dòng 1 ta ñược: D
5
= 4D
4
– 5.2.D
3
. Nhưng D
2
= 6 , D
3
= 4D
2
– 5.(2.4 – 0.5) = 24 – 40 = –16, nên
D
5
= 4D
4
– 10D
3
= 4(4D
3
– 10D
2
)
– 10D
3
= 6D
3
– 40D
2
12
= 6(– 16) – 40.6 = –336.
i6. Tính ñịnh thức bằng máy tính bỏ túi và máy tính ñiện tử . (Tham khảo)
Máy tính bỏ túi: “ CASIO fx - 570 MS ” tính ñược ñịnh thức cấp 1, 2, 3.
Máy tính ñiện tử cần cài ñặt chương trình “ Mathematica 4.0 ” chẳng hạn, mới tính ñược
ñịnh thức có cấp tuỳ ý.
1.2. Hệ phương trình tuyến tính
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
• ðịnh nghĩa 1.3
+ Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn là hệ có dạng:
=+++
=+++
=+++
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
bxa xaxa
bxa xaxa
bxa xaxa
(1) hay viết gọn
∑
=
==
n
1j
ijij
m1,i;bxa
,
trong ñó x
1
, x
2
, , x
n
là các ẩn; a
ij
, b
i
∈
R, i =
m,1
; j =
n,1
. Các a
ij
gọi là các hệ số của ẩn x
j
còn b
i
gọi là hạng tử tự do. Các ma trận:
A =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a aa
a aa
a aa
và B =
mmnm2m1
22n2221
11n1211
ba aa
ba aa
ba aa
thứ tự gọi là ma trận các hệ số của hệ và ma trận bổ xung của hệ phương trình ñã cho.
+ ðặt X =
n
2
1
x
x
x
; C =
m
2
1
b
b
b
là ma trận cột thì hệ (1) có dạng AX = C (2) mà ta gọi là dạng
ma trận của hệ phương trình (1).
• Hệ tương thích và hệ tương ñương.
+ Ta gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1) hoặc phương trình (2), là bộ n số thực (c
1
, c
2
,
, c
n
) sao cho khi thay chúng vào các ẩn tương ứng x
1
, x
2
, , x
n
thì hai vế của các phương trình
trong hệ (1) trở thành ñồng nhất thức (ñẳng thức ñúng).
+ Hệ phương trình (1) ñược gọi là có nghiệm (hệ tương thích), nếu tập nghiệm của nó là khác
rỗng. Ngược lại hệ gọi là vô nghiệm (tập nghiệm là tập rỗng).
+ Hai hệ phương trình của cùng n ẩn ñược gọi là tương ñương nếu tập nghiệm của chúng trùng
nhau.
1.2.2. Hệ phương trình Crame
• ðịnh nghĩa 1.4. Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn có ñịnh thức D các hệ số
của ẩn khác không, gọi là hệ Crame.
• ðịnh lí và công thức. Hệ phương trình Crame:
13
=+++
=+++
=+++
nnnn2n21n1
2n2n222121
1n1n212111
bxa xaxa
bxa xaxa
bxa xaxa
có nghiệm duy nhất c
1
, c
2
, , c
n
ñược cho bởi công thức:
n1,j,
D
D
c
j
j
==
, trong ñó D
j
là
ñịnh thức thu ñược từ ñịnh thức D bằng cách thay cột thứ j bởi cột số hạng tự do b
1
, b
2
, , b
n
.
Ví dụ 1.12. Giải hệ phương trình:
=−−
=−−
−=+−
177113
492
745
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ta có:
=
−−
−−
−
=
7113
192
451
D 0173619
1940
910
451
≠=+−=
−
−
−
. Vậy hệ ñã cho là hệ Crame.
=
1
D
34;0;17
71117
194
457
32
−===
−−
−−
−−
DD
. Vậy x
1
= 1; x
2
= 0; x
3
= –2.
1.2.4. Cách giải hệ phương trình tuyến tính
• Ph
ươ
ng pháp Gaux
ơ
(ph
ươ
ng pháp kh
ử
d
ầ
n
ẩ
n s
ố
)
+ ðịnh lí 1.3. Nếu cho một hệ phương trình tuyến tính thì bằng cách:
- ñổi chỗ một phương trình trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với
hệ ñã cho.
- nhân một phương trình trong hệ với một số khác không ta sẽ ñược một hệ phương trình
mới tương ñương với hệ ñã cho.
- nhân một phương trình trong hệ với một số khác không rồi cộng vào một phương trình
trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho.
Chú ý 1.5. Ba phép biến ñổi như trên gọi là các phép biến ñổi sơ cấp.
+ ðịnh lí 1.4. Nếu ta thực hiện trên các véc tơ dòng của ma trận bổ xung của một hệ phương
trình tuyến tính những phép biến ñổi sơ cấp , thì ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương
ñương với hệ ñã cho.
Chú ý 1.6. Thực chất 2 ñịnh lí trên chỉ là một. Trong thực hành ta thường ñưa hệ ñã cho về dạng
chéo trên ma trận bổ xung.
+ Ví dụ 1.13. Giải hệ phương trình:
=−−
=−−
−=+−
177x11x3x
4x9x2x
74x5xx
321
321
321
Ta lập ma trận bổ xung B và biến ñổi như sau:
14
B =
→
−
−−
−−
−
17
4
7
7113
192
451
→
−
−
−
−
38
18
7
1940
910
451
−
−
−
−
34
18
7
1700
910
451
.
V
ậ
y h
ệ
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i h
ệ
sau
ñ
ây:
=
=
−=
⇔
−=
=−
−=+−
1x
0x
2x
3417x
189xx
74x5xx
1
2
3
3
32
321
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (x
1
, x
2
, x
3
) = (1, 0, – 2).
• Ph
ươ
ng pháp dùng
ñị
nh th
ứ
c.
Gi
ả
s
ử
h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính (1) có h
ạ
ngA = h
ạ
ngB = r. Khi
ñ
ó luôn có th
ể
gi
ả
thi
ế
t
ñị
nh
th
ứ
c con c
ấ
p cao nh
ấ
t khác không c
ủ
a A và B là D n
ằ
m
ở
góc trên bên trái (c
ủ
a A c
ũ
ng nh
ư
c
ủ
a
B).
rrr2r1
2r2221
1r1211
a aa
a aa
a aa
D =
+ N
ế
u r = n, thì (1) là h
ệ
Crame do
ñ
ó nó có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
+ N
ế
u r < n thì (1) t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i h
ệ
:
(1*)
xa xabxa xaxa
xa xabxa xaxa
xa xabxa xaxa
nrn1r1rrrrrr2n21n1
n2n1r12r2r2r222121
n1n1r11r1r1r212111
−=−=+++
−−−=+++
−−−=+++
++
++
++
.
Các
ẩ
n x
r + 1
, x
r + 2
, , x
n
ñượ
c g
ọ
i là
ẩ
n t
ự
do. Rõ ràng m
ỗ
i nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) c
ũ
ng là m
ộ
t
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1*). Ng
ượ
c l
ạ
i m
ỗ
i véc t
ơ
dòng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ổ
xung B là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a r
véc t
ơ
dòng
ñầ
u, vì th
ế
m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1*) c
ũ
ng là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a các ph
ươ
ng trình th
ứ
r + 1,
, n c
ủ
a (1) do
ñ
ó c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
V
ớ
i m
ỗ
i b
ộ
n – r s
ố
(c
r + 1
, , c
n
)
∈
R
n – r
h
ệ
(1*) là h
ệ
Crame nên nó có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (x
1
, x
2
,
, x
r
) = (c
1
, c
2
, , c
r
). Khi
ñ
ó (c
1
, c
2
, , c
r
, c
r + 1
, , c
n
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1). Các giá tr
ị
c
1
,
c
2
, , c
r
, ph
ụ
thu
ộ
c vào n – r tham s
ố
c
r + 1
, , c
n
. Suy ra (1) có nghi
ệ
m ph
ụ
thu
ộ
c vào n – r
tham s
ố
. N
ế
u coi c
r + 1
, , c
n
nh
ậ
n giá tr
ị
tu
ỳ
ý thì nghi
ệ
m (c
1
, c
2
, , c
r
, c
r + 1
, , c
n
) g
ọ
i là
nghi
ệ
m t
ổ
ng quát, còn n
ế
u coi c
r + 1
, , c
n
nh
ậ
n giá tr
ị
c
ụ
th
ể
thì nghi
ệ
m (c
1
, c
2
, , c
r
, c
r + 1
, ,
c
n
) g
ọ
i là nghi
ệ
m riêng.
Ví dụ 1.14.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
−=−+−
−=−++
=+−−
=+−−
102xx2x12x
96x3xxx
54x2xxx
12xxx3x
4321
4321
4321
4321
15
D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng
02
11
13
≠−=
−
−
=D
. Bao quanh
ñị
nh th
ứ
c D c
ấ
p 2 này có 4
ñị
nh th
ứ
c
con c
ấ
p 3
ñề
u b
ằ
ng không, do
ñ
ó h
ệ
t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i h
ệ
:
−+=−
−+=−
4321
4321
4x2x5xx
2xx1x3x
ðặ
t x
3
= c, x
4
= d thì h
ệ
có nghi
ệ
m là x
1
=
2
42dc
−
+
−
; x
2
=
2
1410d5c
−
+
−
. Tóm l
ạ
i nghi
ệ
m
t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
là
−+−
2
42dc
,
−+−
dc,,
2
1410d5c
, v
ớ
i c, d
∈
K và m
ộ
t nghi
ệ
m riêng
ch
ẳ
ng h
ạ
n là (–1, –2, 0, 1).
Ví dụ 1.15.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
=++
=++
=++
2
aazyx
azayx
1zyax
(x, y, z là
ẩ
n s
ố
, còn a là tham s
ố
).
Ta có D = a
3
+ 3 – 3a = (a – 1)
2
(a + 2);
D
x
= – (a – 1)
2
(a + 1); D
y
= (a – 1)
2
; D
z
= (a
2
– 1)
2
. V
ậ
y:
+ N
ế
u a
≠
1 và a
≠
–2, thì h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
+
+
++
+
−
2a
1)(a
,
2a
1
,
2a
1a
2
.
+ N
ế
u a = 1, thì 3 ph
ươ
ng trình là m
ộ
t và do
ñ
ó h
ệ
t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i m
ộ
t ph
ươ
ng trình. H
ệ
có
nghi
ệ
m là (– c – d + 1, c, d) v
ớ
i c, d
∈
R
.
+ N
ế
u a = – 2, thì d
ễ
th
ấ
y h
ạ
ngA = 2 còn h
ạ
ngB = 3, do
ñ
ó h
ệ
vô nghi
ệ
m, b
ở
i vì:
−
−−
−
=
4211
2121
1112
B
, có
09
331
032
001
421
212
111
≠=
−
−=
−
−−
.
*) Tài li
ệ
u h
ọ
c t
ậ
p
*) Câu h
ỏ
i, bài t
ậ
p, n
ộ
i dung ôn t
ậ
p và th
ả
o lu
ậ
n
1.1. Cho các ma tr
ậ
n:
−
−
=
51
74
23
A
;
−=
96
15
04
B
;
−
−
=
311
08
72
C
.
Tính: a) A + B – C b) 2A – 7B c) 3A + 5B – 2C.
1.2
.
Cho hai ma tr
ậ
n :
−
=
652
5710
A
;
−
=
072
381
B
.
Tìm ma tr
ậ
n X sao cho: a) A – X = B; b) 3B + 2X = A; c) 5X – 2A = 4B.
1.3. Cho hai ma tr
ậ
n :
16
−
=
652
5710
A
;
−=
96
15
04
B
Tìm ma tr
ậ
n X trong m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau
ñ
ây:
a) X = A +
t
B ; b) 3
t
B – 2X = 2A ; c) 3X +
t
A – 2B = O ( O là ma tr
ậ
n không).
1.4. Nhân các ma tr
ậ
n sau:
a)
−
−
72
510
611
43
. b)
−
−
60
53
74
5124
159
.
c)
−
−
04
91
75
563
704
175
. d)
( )
4
3
2
1
4321
x
x
x
x
aaaa
1.5. Cho các ma tr
ậ
n:
−
=
51
62
A
;
−
=
435
204
B
;
−=
43
02
75
C
.
a) Tính AB ; BC.
b) Tính (AB)C và A(BC). So sánh hai k
ế
t qu
ả
.
1.6. Tính các
ñị
nh th
ứ
c c
ấ
p n sau
ñ
ây:
a)
ax xxx
aa axx
aa aax
11 111
A
−−−−
−−
−
=
. b)
0 111
1 011
1 101
1 110
B =
1.7. Tính các
ñị
nh th
ứ
c :
a)
a0 00b
0a 0b0
00 a00
0b 0a0
b0 00a
A =
b)
n 222
2 322
2 222
2 221
B =
c)
x aaa
a xaa
a axa
a aax
C
321
n21
n21
n21
=
d)
nn21
n221
n211
n21
ba aa1
a baa1
a aba1
a aa1
D
+
+
+
=
17
e)
0111
1110
1101
−−
−−
−−
dcba
f)
641641
27931
8421
1
32
xxx
1.8. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
''''''
'''
''''''''''''
''''''
cba
cba
cba
baaccb
baaccb
baaccb
=
+++
+++
+++
1.9. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp Cramer.
a)
=+
=++
=+
2 5x - 4x 3
5 2x 2x
4 x- 3x 2
32 1
32 1
32 1
x
x
x
; b)
=++
=−+
=−
=+++
4- x- 3x 2x
6- x x- 3x 2
4- 2x - x- x3
1 3x 2x x
432 1
432 1
432 1
432 1
x
x
x
x
1.10. Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a)
=++
=−−
=++
−=+−
22x3x2x
72xx3x
1xx2x
123x2xx
321
321
321
321
b)
−=++−
−=−+−
=−++
129xx4xx
12x2x2x3x
05xx2xx
4321
4321
4321
c)
=++−
−=−+
=++−
−=−++
33x8xx4x
55x2x11x
22x2x3xx
1x4x5x2x
4321
432
4321
4321
d)
=+−+−
=−+−+
=+−+−
=−+−+
38x5x7x2x3x
37x5x2x3xx
25x3x7xx2x
1xx2xx3x
54321
54321
54321
54321
e)
=−−++
=−−++
=−−++
93x3x3x4xx
82x2x2x3x2x
7xxx2x3x
54321
54321
54321
1.11. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
a, b
ñể
h
ệ
có nghi
ệ
m
a)
=++
=++
=++
2
aazyx
azayx
1zyax
b)
=++
=++
=++
4z2byx
3zbyx
4zyax
1.12. Tìm
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
a)
=++
=++
=++
1 zy x
1 zay x
1 z y ax
a
b)
=++
=++
=++
32
32
32
c zy x
b zby x
a z y x
cc
b
aa
18
CHƯƠNG 2
ðại số vectơ và phương pháp tọa ñộ
Số tiết: 05 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập: 02 tiết)
*) Mục tiêu:
-
-
-
2.1. Khái niệm véc tơ
2.1.1. Các ñịnh nghĩa
+ Một ñoạn thẳng trên ñó có quy ñịnh hai ñiểm mút ñược gọi là một véc tơ (hay ñoạn thẳng có
ñịnh hướng). ðiểm mút ñầu ñược gọi là ñiểm gốc, ñiểm mút sau ñược gọi là ñiểm ngọn của véc
tơ. Kí hiệu véc tơ có gốc A, ngọn B là
AB
. Người ta còn kí hiệu véc tơ là
a, b
,
+ ðường thẳng ñi qua A, B gọi là giá của véc tơ
AB
.
+ Một véc tơ có ñiểm gốc và ñiểm ngọn trùng nhau gọi là véc tơ - không và ñược ký hiệu là
0
.
+ ðộ dài của ñoạn thẳng AB cũng gọi là ñộ dài (hay mô ñun) của véc tơ
AB
và ñược kí hiệu
là
AB
. Véc tơ có ñộ dài 1 gọi là véc tơ ñơn vị.
+ Nếu hai giá của hai véc tơ là song song hoặc trùng nhau ta nói rằng hai véc tơ ñó là cộng
tuyến hay cùng phương. ðặc biệt nếu hai véc tơ
AB
và
CD
cùng phươ
ng và khi t
ị
nh ti
ế
n véc t
ơ
CD
sao cho C
≡
A mà B, D cùng phía
ñố
i v
ớ
i A thì ta g
ọ
i hai véc t
ơ
ñ
ó là cùng h
ướ
ng, và g
ọ
i là
ng
ượ
c h
ướ
ng trong tr
ườ
ng h
ợ
p ng
ượ
c l
ạ
i.
ðặ
c bi
ệ
t hai véc t
ơ
cùng mô
ñ
un nh
ư
ng ng
ượ
c h
ướ
ng
ñượ
c g
ọ
i là hai véc t
ơ
ñố
i nhau.
ðố
i c
ủ
a véc t
ơ
a
ñượ
c kí hi
ệ
u là véc t
ơ
–
a
.
+ Hai véc t
ơ
a
và
b
ñượ
c g
ọ
i là b
ằ
ng nhau và vi
ế
t
a b
=
n
ế
u chúng cùng h
ướ
ng và cùng mô
ñ
un.
Nhận xét 2.1.
• Quy ước véc tơ
0
cùng hướng với mọi véc tơ,
00 =
và do ñó mọi véc tơ- không ñều bằng
nhau.
• Quan hệ bằng nhau giữa các véc tơ trong mặt phẳng là một quan hệ tương ñương, do ñó các
véc tơ trong mặt phẳng có gốc tuỳ ý gọi là véc tơ tự do. Khi cố ñịnh gốc của tất cả các véc tơ tại
một ñiểm nào ñó, ta gọi chúng là véc tơ buộc.
2.2. Các phép toán trên véc tơ
2.2.1. Phép cộng
19
• ðịnh nghĩa. Cho
a
và
b
là hai véc tơ bất kì. Khi ñó tồn tại một véc tơ
c
gọi là tổng của hai
véc tơ ñã cho, kí hiệu
c a b
= +
, ñược xác ñịnh như sau: Lấy A, B, C là các ñiểm sao cho
AB
=
a
,
BC
=
b
thì
AC
=
c
. Dễ thấy véc tơ
c
không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm A.
Quy tắc xác ñịnh tổng hai véc tơ như trên còn gọi là quy tắc ba ñiểm. Cũng có thể xác ñịnh
tổng hai véc tơ theo quy tắc hình bình hành.
Ta cũng có thể mở rộng ñịnh nghĩa trên cho tổng của n véc tơ
n
aaa
, ,,
21
.
• Tính chất. Với mọi véc tơ
, ,
a b c
ta luôn có:
+
a b b a
+ = +
.
+
( ) ( )
a b c a b c
+ + = + +
.
+
0
a a
+ =
.
+
( ) 0
a a
+ − =
.
D
C
B
A
C
B
A
2.2.2. Phép trừ
• ðị
nh ngh
ĩ
a 2.1.
Hiệu của hai véc tơ
a
và
b
là một véc tơ
x
sao cho
b
+
x
=
a
. Kí hiệu
hiệu của
a
và
b
là
a
–
b
. Vậy
x
=
a
–
b
.
•
Tính ch
ấ
t 2.1
. Với mọi véc tơ
a
,
b
ta có:
+
a
–
b
=
a
+ (–
b
).
+
baba
+≤+
(dấu bằng xảy ra khi
a
và
b
cùng hướng).
+
baba
−≥−
(dấu bằng xảy ra khi
a
và
b
cùng hướng).
2.2.3. Phép nhân véc tơ với một số thực
• ðị
nh ngh
ĩ
a 2.2
. Cho một véc tơ
a
và một số thực k. Khi ñó tồn tại một véc tơ gọi là tích của
véc tơ
a
và số thực k, kí hiệu là
ak
ñược xác ñịnh như sau: Véc tơ
ak
cùng phương với véc tơ
a
, cùng hướng với
a
nếu k
≥
0, ngược hướng với
a
nếu số k < 0 và
akak
=
.
•
Tính ch
ấ
t
2.2.
Với mọi véc tơ
a
,
b
và mọi số thực p, q ta có:
+
a
.1
=
a
.
+
a
).1(
−
=
a
−
.
+ p(q
a
) = (pq)
a
.
+ p(
a
+
b
) = p
a
+ p
b
.
+ (p + q)
a
= p
a
+ q
a
.
20
• M
ộ
t s
ố
quy t
ắ
c thông d
ụ
ng.
+ Quy tắc ba ñiểm. Với ba ñiểm A, B, C bất kì ta có:
AB
+
BC
=
AC
.
+ Quy tắc hình bình hành. Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB
+
AD
=
AC
.
+ Quy tắc hiệu. Với ba ñiểm O, A, B bất kì ta có:
AB
=
−OB
OA
.
•
Chú ý 2.1.
Tập hợp các véc tơ trong mặt phẳng hoặc trong không gian cùng với các phép
toán ñã ñịnh nghĩa như trên lập thành một không gian véc tơ.
2.3. Hệ véc tơ ñộc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
ðịnh nghĩa 2.3.
+ Cho m véc tơ
m
aaa
, ,,
21
và các số thực k
1
, k
2
, , k
m
.
Khi ñó véc tơ
α
=
mm
akakak
+
+
+
2211
ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của các
véc tơ
m
aaa
, ,,
21
. Nếu
α
=
0
, thì tổ hợp tuyến tính trên gọi là tổ hợp tuyến tính tầm
thường.
+ Cho n véc tơ
m
aaa
, ,,
21
và véc tơ
α
. Nếu tồn tại các số thực k
1
, k
2
, , k
m
sao cho
α
=
mm
akakak
+
+
+
2211
, thì ta nói rằng véc tơ
α
biểu thị tuyến tính ñược qua các véc
tơ
m
aaa
, ,,
21
.
+ Hệ n véc tơ
m
aaa
, ,,
21
ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k
1
, k
2
,
, k
m
không ñồng thời bằng không tất cả sao cho:
mm
akakak
+
+
+
2211
=
0
.
+ Hệ m véc tơ
m
aaa
, ,,
21
ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến
tính, tức là từ tổ hợp tuyến tính tầm thường:
mm
akakak
+
+
+
2211
=
0
ta suy ra ñược k
1
= k
2
= = k
m
= 0.
*. ðịều kiện ñể các véc tơ ñộc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Các ñịnh lí ñưa ra dưới ñây SV tự chứng minh xem như những bài tập.
• ðịnh lí 2.1. Hệ k véc tơ (k > 1)
k
aaa
, ,,
21
là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn
tại ít nhất một véc tơ của hệ biểu thị tuyến tính ñược qua các véc tơ còn lại của hệ ñó.
• Hệ quả 2.1. Hệ k véc tơ (k > 1)
k
aaa
, ,,
21
là ñộc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu không
tồn tại một véc tơ nào của hệ biểu thị tuyến tính ñược qua các véc tơ còn lại của hệ ñó.
• ðịnh lí 2.2. ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính là chúng cùng phương.
• Hệ quả 2.3. ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ ñộc lập tuyến tính là chúng không cùng
phương.
• ðịnh nghĩa 2.4. Ba véc tơ trong không gian ñược gọi là ñồng phẳng nếu giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng nào ñó (hay giá của chúng nằm trên những mặt phẳng song song
hoặc trùng nhau).
21
• Hệ quả 2.2. Cho hai véc tơ không cùng phương:
21
, ee
. Bất kì véc tơ
a
nào ñồng phẳng với
21
, ee
cũng biểu thị tuyến tính ñược một cách duy nhất dưới dạng:
2211
exexa
+
=
.
ðặc biệt trong mặt phẳng 3 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
• ðịnh lí 2.3. ðiều kiện cần và ñủ ñể ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính là chúng ñồng phẳng.
• Hệ quả 2.3. Cho ba véc tơ không ñồng phẳng:
321
,, eee
. Bất kì véc tơ
a
nào trong không
gian cũng biểu thị tuyến tính ñược một cách duy nhất dưới dạng:
332211
exexexa
+
+
=
.
ðặc biệt trong không gian 4 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
2.4. Vectơ trong một hệ tọa ñộ
2.4.1. Hệ toạ ñộ ðềcác vuông góc
ðịnh nghĩa 2.5
+ Hệ trục toạ ñộ ðêcác vuông góc trong mặt phẳng gồm hai ñường thẳng vuông góc
x Ox
′
và
y Oy
′
, trên ñó ñã chọn hai véc tơ ñơn vị
2211
, OEeOEe ==
. Hai ñường thẳng ñó gọi là hai
trục toạ ñộ, trục
x Ox
′
gọi là trục hoành còn trục
y Oy
′
gọi là trục tung. Hai véc tơ
21
, ee
gọi là
hai véc tơ cơ sở, ñiểm O gọi là gốc toạ ñộ. Hệ trục toạ ñộ này còn gọi là hệ toạ ñộ trực chuẩn hay
mục tiêu trực chuẩn và còn kí hiệu là (O,
21
, ee
).
+ Hệ trục toạ ñộ gọi là thuận nếu hướng quay từ
1
e
ñến
2
e
theo góc bé nhất là ngược chiều
quay kim ñồng hồ và gọi là nghịch trong trường hợp ngược lại.
x
′
y
′
1
e
2
e
1
E
2
E
O
x
y
2.4.2. Các phép toán của vectơ trong mặt phẳng
ðối với một mục tiêu trực chuẩn nào ñó cho hai véc tơ
),(
21
aau =
và
),(
21
bbv =
Thế thì
ta có:
u
.
2211
babav +=
. Từ ñó suy ra:
+ Nếu
),( bau
=
, thì
u
2
= a
2
+ b
2
.
+ Với mỗi ñiểm M, toạ ñộ của véc tơ
OM
cũng gọi là toạ ñộ của ñiểm M.
+ Các tính chất ñơn giản:
+
u
+
v
=
1 1 2 2
( , )
a b a b
+ +
và k
u
= (ka
1
, kb
1
),
∈
∀
k
R
.
+ Nếu M = (a, b), N = (c, d), thì MN =
22
)()( bdac −+−
.
+ Nếu
u
= (a, b),
v
= (c, d), thì góc
ϕ
tạo bởi
u
và
v
ñược tính theo công thức
22
2222
cos
dcba
bdac
++
+
=
ϕ
.
2.4.3. ðổi hệ toạ ñộ trực chuẩn
Xét hai mục tiêu trực chuẩn (O,
21
, ee
) (1) và (O
'
,
21
, ee
′
′
) (2). M là ñiểm bất kì trong mặt
phẳng ñối với (1) có toạ ñộ là M(x, y) và ñối với (2) có toạ ñộ là M
),( yx
′
′
. Ngoài ra ñối với
(1) ta có O
'
(p, q);
),(
1
bae
=
′
;
),(
2
dce
=
′
. ðiều ñó có nghĩa là:
21
eqepOO
+=
′
;
211
ebeae
+
=
′
;
212
edece
+
=
′
.
Theo giả thiết ta có:
21
eyexMO
′′
+
′′
=
′
, nên suy ra
212121
)()()()( eydxbeycxaedecyebeaxMO
′
+
′
+
′
+
′
=+
′
++
′
=
′
.
Mặt khác ta cũng có:
212121
)()()()(
eqyepxeqepeyexOOOMMO
−+−=+−+=
′
−=
′
.
Từ hai ñẳng thức trên ta suy ra:
+
′
+
′
=
+
′
+
′
=
⇔
′
+
′
=−
′
+
′
=−
qydxby
pycxax
ydxbqy
ycxapx
(*)
Hệ (*) ñược gọi là công thức ñổi mục tiêu từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2).
2.4.4. Hệ toạ ñộ ðềcác vuông góc trong không gian
ðịnh nghĩa 2.6. Mục tiêu (O,
321
,, eee
), có các véc tơ cơ sở (
321
,, eee
) gồm những véc tơ
ñơn vị và ñôi một vuông góc với nhau, tức là:
1
2
3
2
2
2
1
=== eee
, và
0
133221
=
=
=
eeeeee
, ñược gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ ñộ trực chuẩn), hay hệ
toạ ñộ ðềcác vuông góc và kí hiệu là Oxyz. ðiểm O gọi là gốc toạ ñộ, các ñường thảng Ox, Oy,
Oz gọi là các trục toạ ñộ.
1
e
2
e
3
e
1
E
2
E
3
E
O
x
y
z
.2.4.5. ðổi hệ toạ ñộ trực chuẩn
Cho hai hệ toạ ñộ ñềcác vuông góc (O,
321
,, eee
) (1) và (O
'
,
321
,, eee
′
′
′
) (2) . M là ñiểm bất
kì có toạ ñộ lần lượt ñối với hai hệ ñó là: M(x, y, z) và M(
zyx
′
′
′
,,
). Ngoài ra ñối với hệ toạ ñộ
(O,
321
,, eee
) các véc tơ
321
,, eee
′
′
′
và ñiểm O
'
có toạ ñộ lần lượt là: (a
1
, b
1
, c
1
); (a
2
, b
2
, c
2
);
(a
3
, b
3
, c
3
); (a
0
, b
0
, c
0
). Do ñó ta có:
23
+
′
+
′
+
′
=
+
′
+
′
+
′
=
+
′
+
′
+
′
=
0321
0321
0321
czcycxcz
bzbybxby
azayaxax
(3) và A =
321
321
321
ccc
bbb
aaa
.
Công thức (3) ñược gọi là công thức ñổi mục tiêu từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2), còn ma trận
A gọi là ma trận của phép biến ñổi mục tiêu (3). Do A là ma trận chuyển mục tiêu (chuyển cơ sở)
nên detA
≠
0. Nếu detA > 0, thì ta nói rằng hai hệ toạ ñộ (1) và (2) là cùng hướng, còn nếu detA
< 0, thì ta nói rằng hai hệ (1) và (2) là ngược hướng.
2.4.6. Các phép toán của véc tơ trong không gian
+ Cho một hệ toạ ñộ (O,
321
,, eee
). Mỗi véc tơ
u
trong không gian ñược phân tích một
cách duy
nhất qua các véc tơ
321
,, eee
, tức là tồn tại duy nhất bộ ba số thực (x, y, z) sao cho:
321
ezeyexu
++=
. Bộ ba có thứ tự ñó (x, y, z) gọi là toạ ñộ của véc tơ
u
ñối với hệ toạ ñộ (O,
321
,, eee
) và kí hiệu là:
u
= (x, y, z) hoặc là
u
(x, y, z).
+ Với mỗi ñiểm M, toạ ñộ của véc tơ
OM
cũng gọi là toạ ñộ của ñiểm M.
+ Các tính chất ñơn giản:
- Nếu M(x, y, z) và N(
zyx
′
′
′
,,
), thì:
),,( zzyyxxOMONMN −
′
−
′
−
′
=−=
.
- Nếu
u
= (x, y, z),
v
= (
zyx
′
′
′
,,
), thì:
u
+
v
=
),,( zzyyxx
′
+
′
+
′
+
và k
u
= (kx, ky,
kz),
∈
∀
k
R
.
- Nếu
u
= (x, y, z),
v
= (
zyx
′
′
′
,,
) khác
0
và cộng tuyến, thì tồn tại số thực k
≠
0 sao cho
k
v
=
u
, tức là các toạ ñộ tương ứng của hai véc tơ là tỉ lệ
zzyyxx
′
=
′
=
′
:::
.
- Nếu
u
= (x, y, z),
v
= (
zyx
′
′
′
,,
), thì:
u
.
v
=
zzyyxx
′
+
′
+
′
.
- ðộ dài véc tơ
u
= (x, y, z), là
222
zyxu ++=
.
- Nếu
ϕ
là góc giữa hai véc tơ
u
= (x, y, z),
v
= (
zyx
′
′
′
,,
) ñều khác
0
, thì ta có:
222222
.
cos
zyxzyx
zzyyxx
′
+
′
+
′
++
′
+
′
+
′
=
ϕ
.
- Khoảng cách giữa hai ñiểm M(x, y, z) và N(
zyx
′
′
′
,,
) là:
222
)()()( zzyyxxMN −
′
+−
′
+−
′
=
2.5. Tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ, tích hỗn tạp của 3 vectơ
2.5.1. Tích vô hướng
ðịnh nghĩa 2.5
+ Cho hai véc tơ
a
và
b
khác véc tơ
0
. Từ một ñiểm O bất kì vẽ
bOBaOA
== ;
Khi ñó
góc AOB ñược gọi là góc hợp bởi (góc giữa) hai véc tơ
a
và
b
và ñược kí hiệu là (
a
,
b
). Nếu
24
một trong hai véc tơ
a
và
b
là véc tơ
0
, thì góc (
a
,
b
) ñược xem là tuỳ ý. Nếu (
a
,
b
) =
90
0
, thì ta nói hai véc tơ
a
và
b
là vuông góc với nhau và kí hiệu là:
a
⊥
b
.
a
b
A
O
B
+ Tích vô hướng của hai véc tơ
a
và
b
là một số kí hiệu
a
.
b
ñược xác ñịnh nh
ư sau:
),cos( bababa
=
. ðặc biệt tích vô hướng
a
.
a
gọi là bình phương vô hướng của véc tơ
a
và kí hiệu là
a
2
. Từ ñó suy ra
a
2
=
2
a
.
Tính chất 2.3.
• ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng bằng
không.
•
a
.
b
=
b
.
a
(tích vô hướng có tính chất giao hoán).
• (
ak
).
b
= k(
a
.
b
).
•
a
(
b
+
c
) =
a
.
b
+
a
.
c
.
Một số hệ quả trực tiếp.
+ (–
a
).
b
= –(
a
.
b
).
+
a
(
b
–
c
) =
a
.
b
–
a
.
c
.
+ (
a
+
b
)
2
=
a
2
– 2
a
.
b
+
b
2
.
+ (
a
+
b
)(
a
–
b
) =
a
2
–
b
2
.
2.5.2. Tích có hướng của hai vectơ
+ Ta gọi là tích có hướng của hai véc tơ bất kì
ba
,
trong không gian là một véc tơ
u
, kí hiệu
là
u
= [
ba
,
], hay (
a b
∧
) ñược xác ñịnh như sau:
- Nếu
=
a
0
hoặc
b
=
0
thì [
ba
,
] =
0
.
- Nếu
ba
,
ñều khác véc tơ
0
, thì: véc tơ
u
= [
ba
,
] vuông góc với cả
a
và
b
, tức là
[
ba
,
].
a
= 0 và [
ba
,
].
b
= 0. (xác ñịnh phương). Bộ ba (
a
,
b
,
u
) cùng hướng với bộ ba
cơ sở (
321
,, eee
) của mục tiêu trực chuẩn (O,
321
,, eee
). (xác ñịnh chiều), ñộ dài
),sin( ],[ bababau
==
. (xác ñịnh ñộ dài)
+ Tính chất:
- [
ba
,
] = – [
b
,
a
] (phản giao hoán).
- [k
ba
,
] = k.[
ba
,
],
∈
∀
k
R
.
25
- [
ba
,
+
c
] = [
ba
,
] + [
a
,
c
].
+ Biểu thức toạ ñộ của tích có hướng.
Nếu
u
= (x, y, z),
v
= (
zyx
′
′
′
,,
), thì: [
u
,
v
] =
′′′′′′
yx
yx
xz
xz
zy
zy
;;
.
2.5.3. Tích hỗn tạp của 3 vectơ
3.2.3. Tích hỗn tạp của ba véc tơ
+ Ta gọi là tích hỗn tạp của ba véc tơ
cba
,,
theo thứ tự ñó là số
cba
].,[
và ñược kí hiệu
là (
cba
,,
). Vậy (
cba
,,
) =
cba
].,[
.
+ Các hệ quả suy ra từ ñịnh nghĩa.
- (
cba
,,
) = (
acb
,,
) = (
bac
,,
) (tính chất hoán vị vòng quanh).
- (
cba
,,
) = – (
cab
,,
).
- (
cbak
,,
) = k(
cba
,,
).
∈
∀
k
R
.
- (
cbaa
,,
′
+
) = (
cba
,,
) + (
cba
,,
′
).
+ Biểu thức toạ ñộ của tích hỗn tạp.
Nếu
),,( zyxu
=
;
),,( zyxv
′
′
′
=
;
),,( zyxw
′
′
′
′
′
′
=
, thì ta có:
(
wvu
,,
) =
zyx
zyx
zyx
′′′′′′
′′′
.
+ Vài ứng dụng.
- Tính diện tích tam giác.
Cho A(x
1
, y
1
, z
1
); B(x
2
, y
2
, z
2
); C(x
3
, y
3
, z
3
). Khi ñó diện tích S
ABC
của tam giác ABC ñược
tính theo công thức sau ñây:
S
ABC
=
],[
2
1
ACAB
=
2
1313
1212
2
1313
1212
2
1313
1212
2
1
yyxx
yyxx
xxzz
xxzz
zzyy
zzyy
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
ðặc biệt nếu A, B, C nằm trong mặt phẳng Oxy, tức z = 0, thì ta có:
S
ABC
=
1313
1212
2
1
yyxx
yyxx
−−
−−
.
- Tính thể tích của tứ diện.
Cho A(x
1
, y
1
, z
1
); B(x
2
, y
2
, z
2
); C(x
3
, y
3
, z
3
); D(x
4
, y
4
, z
4
). Khi ñó thể tích V
ABCD
của tứ diện
ABCD ñược tính theo công thức sau ñây:
V
ABCD
=
141414
131313
121212
6
1
),,(
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
ADACAB
−−−
−−−
−−−
=
.
*) Tài liệu học tập
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AD, BE, CF. Hãy tính
. . .
BC AD CA BE AB CF
+ +
?
