dạy học số phức ở thpt theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




ĐỒNG VĂN HƢƠNG



DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT
THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC








THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




ĐỒNG VĂN HƢƠNG



DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT
THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN


Chuyên ngành: Lý luân và phƣơng pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

LỜI NÓI ĐẦU
Để hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản
thân, chúng tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn
TS. Nguyễn Anh Tuấn giảng viên khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội, các
thầy, cô giáo Khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các Thày,
Cô giáo phản biện, Ban giám hiệu, trường THPT Tứ Sơn, Bắc Giang và tổ
toán của các trường THPT trên địa bàn huyện Lục nam – Bắc giang.
Chúng tôi xin bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy
giáo hướng dẫn cùng các thầy, cô giáo trong khoa toán, Khoa SĐH Trường
ĐHSP Thái Nguyên, các thầy cô giáo phản biện và các thầy cô giáo đã tham
gia giảng dạy lớp CH toán khoá 16 - Chuyên ngành Lý luận và Phương pháp
dạy học toán.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010.
Tác giả



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

BĐT : Bất đẳng thức

DH : Dạy học
GV : Giáo viên
HĐ : Hoạt động
HS : Học sinh
KN : Kĩ năng
PPDH : Phương pháp dạy học
PT : Phương trình
THPT : Trung học phổ thông
SGK : Sách giáo khoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
3
1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trường THPT
3
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
3
1.1.2. Kĩ năng giải toán
5
1.1.3. Phân biệt KN và kĩ xảo
5
1.1.4. Cách thức rèn luyện KN cho HS
6
1.2. Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức
vào giải toán ở THPT.

7
1.2.1. Sơ lược về số phức
7
1.2.1.1. Lịch sử
7
1.2.1.2. Định nghĩa
7
1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức

.
8
1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán
ở trường THPT
14
1.3. Kết luận chương 1
15
CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT
16
2.1. Định hướng sư phạm
16
2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT
16
2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác
17
2.2.2. Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp.
24
2.2.3. Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng
30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

2.2.4. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình và chứng minh bất
đẳng thức
42
1.2.4.1. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình
42
1.3.4.2. Ứng dụng số phức chứng minh một số bất đẳng thức
44
2.3. Hệ thống bài tập rèn luyện
47
2.3.1. Các bài toán lượng giác
47
2.3.2 Các bài toán đại số tổ hợp
52
2.3.3 Các bài toán hình học phẳng
56
2.3.4 Các bài toán giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức
61
2.4 Các bài tập tự rèn luyện
65
2.5 Kết luận chương 2
66
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
67
3.1. Mục đích thực nghiệm
67
3.2. Nội dung thực nghiệm
67
3.3. Đối tượng thực nghiệm.

67
3.4. Kế hoạch thực nghiệm.
67
3.5. Kết quả thực nghiệm
69
3.6. Kết luận chương 3
70
KẾT LUẬN
71
TÀI LIỆU THAM KHẢO
72



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu và yêu cầu của giáo dục phổ thông nói chung, giáo dục môn
Toán nói riêng đòi hỏi tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn. Số phức được
đưa vào chương trình toán THPT nhằm hoàn thiện cho HS về hệ thống số sau
khi học xong bậc này, ngoài ra số phức còn có rất nhiều ứng dụng đặc biệt là
ứng dụng để giải một số dạng toán ở THPT.
Một trong những mục tiêu dạy học của bộ môn toán là rèn luyện kĩ
năng, tính ứng dụng các nội dung để giải toán.
Nội dung số phức mới được đưa vào chương trình SGK ở bậc học
THPT, việc khai thác ứng dụng của chúng cho HS là cần thiết.
Với mỗi nội dung được đưa vào chương trình toán phổ thông, chúng
đều có những ứng dụng nhất định. Số phức cũng không nằm ngoài những nội

dung đó, do vậy đòi hỏi người làm toán cần nghiên cứu tính ứng dụng của nó.
Căn cứ vào khả năng và hứng thú của bản thân về số phức và tầm quan
trọng của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức vào giải toán THPT,
chúng tôi đã chọn đề tài “Dạy học số phức ở THPT theo hướng rèn luyện kĩ
năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán”
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu:
Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT.
Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn
luyện kĩ năng ứng dụng số phức trong giải toán cho HS THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu tổng quan về kĩ năng, và vấn đề rèn luyện kĩ năng.
- Điều tra, tìm hiểu thực tiễn: Thực trạng DH số phức và ứng dụng số
phức trong giải toán THPT.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

2
- Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán
THPT.
- Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để
rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng phương án đề ra.
3. Giả thuyết khoa học
Xác định được một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải toán và xây
dựng hệ thống bài toán cùng với những hướng dẫn DH thì có thể rèn luyện kỹ
năng ứng dụng số phức vào giải toán cho HS.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lí học, từ

điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan tới đề tài của luận văn.
- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và
ngoài nước có liên quan đến nội dung kĩ năng, ứng dụng số phức vào giải
toán THPT.
4.2. Phương pháp điều tra quan sát
- Điều tra tìm hiểu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán ở
trường THPT trong Huyện Lục nam, Bắc giang.
4.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương
án đề ra tại trường THPT Tứ Sơn, Lục nam, Bắc giang.
5. Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán
ở THPT.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

3
CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trƣờng THPT
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Khi nghiên cứu các tài liệu bàn về kĩ năng (KN), ta thấy có hai quan
niệm về lĩnh vực này, đó là:
Quan niệm 1:
Coi KN là mặt kĩ thuật của một thao tác, hành động hay một hoạt động
nào đó. Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải hiểu được mục
đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta nắm được các
tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau

tức ta đã có KN về hành động.
Theo Xavier Roegier quan niệm: Kĩ năng là khả năng thực hiện một
hoạt động.
Theo V.A.Kruchexki thì: “KN là các phương thức thực hiện hoạt động,
những cái mà con người đã nắm vững”. Ông cho rằng: Chỉ cần nắm vững
phương thức của hành động là con người có KN, không cần đến kết quả hoạt
động của cá nhân [1, 78]. Trong cuốn “Tâm lí học cá nhân”. Côvaliôp.A.G
cũng xem: “KN là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và
điều kiện của hành động” [3, 11].
Khi bàn về KN, Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng: “KN là mặt kĩ thuật
của hành động. Con người nắm được cách thức hành động - tức kĩ thuật của
hành động là có KN” [24, 2].
Quan niệm 2: Coi KN không đơn thuần là mặt kĩ thuật của hành động
mà còn là một biểu hiện năng lực của con người. KN theo quan niệm này vừa
có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính
mục đích. Chẳng hạn, theo N.D.Lêvitôp: KN là sự thực hiện có kết quả một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

4
động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp
dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định [13, 3].
K.K.Platơnôp, nhà tâm lí học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lí của KN là sự
thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương
thức hành động” [22, 77]. Nói đến kĩ năng, A.V. Petrovski viết: Năng lực sử
dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng
để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành
công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định, được gọi là kĩ năng
(A.V. Petrovski (1982), tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Giáo
dục, HN).

Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “KN là
năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ
thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [5, 132].
Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn
về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động.
Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự
khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN mà thôi.
Có thể hiểu: KN là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay
một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng
và lựa chọn những tri thức, kinh nghiệm đã có.
Khi bàn về KN cần lưu ý một số điểm sau đây:
Điểm thứ nhất: KN trước hết là mặt kĩ thuật của một thao tác hay một
hành động nhất định, không có KN chung chung, trừu tượng tách rời hành
động cá nhân của con người. Khi nói tới KN là nói tới một hành động cụ thể
đạt tới mức đúng đắn và thuần thục nhất định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

5
Điểm thứ hai: Thành phần của KN bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã
có, quá trình thực hiện hành động, sự kiểm soát thường xuyên trực tiếp của ý
thức và kết quả của hành động.
Điểm thứ ba: Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát
triển của KN là: tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp
nhịp nhàng các động tác trong hành động. Hành động chưa thể trở thành KN
nếu hành động đó còn vụng về, còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để
triển khai.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Trên cơ sở về khái niệm kĩ năng, ta có thể nêu nên khái niệm về kĩ
năng giải toán như sau:

Đó là khả năng vận dụng các kiến thức, tri thức toán học đã biết cùng
với kinh nghiệm đã có để tiến hành có hiệu quả tốt những hoạt động nhằm
giải quyết bài toán, hoặc lớp bài toán cụ thể đã đề ra.
Người có kĩ năng giải toán tốt là, khi đứng trước một bài toán có thể
giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau với việc vận dụng bằng nhiều tri thức
toán học khác nhau một cách ngắn ngọn, xúc tích.
1.1.3. Phân biệt KN và kĩ xảo
Tuy có sự khác nhau đôi chút về định nghĩa, song hầu hết các nhà
nghiên cứu đều thống nhất: “Kĩ xảo là loại hành động được tự động hoá nhờ
luyện tập. Nó có đặc điểm: Không có sự kiểm soát thường xuyên của ý thức,
động tác mang tính khái quát, không có động tác thừa, kết quả cao mà ít tốn
năng lượng thần kinh và bắp thịt”.
Kĩ năng và kĩ xảo về bản chất đều là các thuộc tính kĩ thuật của hành
động cá nhân. Chúng đều được hình thành trên cơ sở các tri thức về hành
động đã được lĩnh hội và triển khai trong thực tiễn. Tuy nhiên giữa KN và kĩ
xảo có nhiều điểm khác nhau. Sự khác nhau giữa chúng được đặc trưng bởi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

6
mức độ thuần thục, tự động hoá. So với KN, kĩ xảo thuần thục hơn, tự động
hoá hơn và được giải phóng khỏi sự kiểm soát của ý thức. Nói chung, để có
kết quả cao trong hành động mà cá nhân không bị “cộm” trong ý thức thì thao
tác (với tư cách là phương tiện) không chỉ dừng lại ở mức độ KN, nó phải
vươn tới trình độ kĩ xảo. Với tư cách đó, kĩ xảo có tính hoàn thiện cao hơn
KN, được hình thành trên cơ sở KN có trước.
1.1.4. Cách thức rèn luyện KN cho HS
Theo Tâm lý học, để có kỹ năng tiến hành một hoạt động nào đó, con
người cần phải được làm nhiều lần chính hoạt động đó.
Trong môn Toán, để cho HS có KN giải một bài toán hay một dạng

toán nào đó, GV cần xác định và tổ chức cho HS tiến hành các hoạt động
tương ứng với kỹ năng đó. Thông qua các hoạt động này, cùng với những
kiến thức sẵn có HS đi đến lời giải của bài toán hoặc lớp các bài toán.
Ví dụ: Để rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai
2
0ax bx c  
cho HS,
GV tổ chức HS thực hiện các hoạt động (HĐ):
HĐ1: Nhận dạng phương trình bậc hai bằng cách xác định đúng các hệ
số, ẩn.
HĐ2: Tính biệt thức
2
4b ac  
.
HĐ3: Xác định nghiệm thông qua xét và công thức nghiệm
Nếu
0
thì kết luận phương trình có hai nghiệm thực:
1,2
4
b
x
a
  


còn không, kết luận phương trình có hai nghiệm phức:
1,2
4
bi

x
a
  

.
Như vậy, để giải phương trình bậc hai, HS cần phải thực hiện theo các
HĐ như trên. Nếu làm việc đó nhiều lần thì HS sẽ có KN giải phương trình
bậc hai. Bài toán về giải phương trình bậc hai là tương đối dễ và cơ bản ở
trường THPT đối với HS nên hầu hết các em đều đạt đến mức kĩ xảo giải
phương trình bậc 2. Đối với một số bài toán hay dạng toán khó hơn, HS để có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7
được KN giải cần phải nhanh nhạy hơn, linh động hơn và cần có tư duy toán
học, không phải chỉ áp dụng một cách cứng nhắc các HĐ mà GV đưa ra là
xong mà cần biến đổi khéo léo, huy động tất cả vốn kiến thức sẵn có để vận
dụng giải quyết bài toán.
1.2. Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức
vào giải toán ở THPT.
1.2.1. Sơ lược về số phức
1.2.1.1. Lịch sử
Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu
tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “ không thể có” hoặc “số ảo” trong
công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã
định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã
đưa ra căn bậc hai của
1
.
Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng

tổng quát “
a bi
” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm
của một phương trình bậc n.
Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “
i
” để
chỉ căn bậc hai của
1
, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này.
1.2.1.2. Định nghĩa
Trong toán học, trường số phức, ký hiệu

, có nhiều phương pháp xây
dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương phương pháp tiên đề.
Gọi

là trường số thực. Ký hiệu

là tập hợp các cặp
( , )ab
với
,ab
.
Trong

định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

( , ) ( , ) ( , )
( , )*( , ) ( , )

a b c d a c b d
a b c d ac bd ad bc
   
  

thì

là một trường.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

8
Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực

vào

bằng cách cho mỗi
số thực
a
ứng với cặp
( ,0)a 
. Khi đó
0 (0,0);1 (1,0); 1 ( 1,0);     
. Nhờ
phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực

với tập con các số phức dạng
( ,0)a
, khi đó tập các số thực


là tập con của tập số phức

và

được xem
là một mở rộng của

. Ký hiệu
i
là cặp
(0,1)
. Ta
có
2
(0,1)*(0,1) ( 1,0) 1i     
.
Số
i
được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng
*ai
được gọi là các
số ảo (thuần ảo).

1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức

.
Dạng đại số của số phức
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo
i
đặc trưng bởi biểu

thức
2
1i 
. Mỗi số phức
z
đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

.z a bi

Trong đó
,ab
là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại
số của số phức
z

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức
được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý
2
1i 
.
Như vậy, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
( )*( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd bc ad i
      
     

Từ đó, ta có thể suy ra:

Gọi
;'z a bi z c di   
khi đó:
Hiệu của
z
và
'z
ký hiệu là
'zz
:

' ( ) ( )z z a c b d i    
.
Nếu
'0zz
thì
'z
được gọi là số đối của số phức
z
, ký hiệu là
z
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

9
Với mọi số phức
z a bi
khác 0, tồn tại duy nhất một số phức
'z

sao cho
. ' 1zz 
. Khi đó
'z
được gọi là số phức nghịch đảo của số phức
z
:
ký hiệu:
1
1
'zz
z



Ta dễ dàng xác định được
1
2 2 2 2
ab
zi
a b a b




Thương của
z
và
'z
( ' 0)z 

ký hiệu là
'
z
z
là số phức
1
2 2 2 2
.'
'
z ac bd cb ad
z z i
z c d c d


  


Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức
z
, ký hiệu
n
z
là số phức xác định
như sau:
- Nếu
n
là số nguyên dương thì:
.
n
n

z z z z


- Nếu
0n 
thì
0
1z 

- Nếu
n
là số nguyên âm và
0z 
thì
1
n
n
z
z



Căn bậc
n
(
n
nguyên dương) của số phức
z
, ký hiệu
n

z
là số phức
'z
sao
cho:

'
n
zz


Số phức liên hợp

a) Định nghĩa:
Cho số phức
z a bi
, số phức có dạng
a bi
được gọi là số phức liên
hợp của số phức
z
, ký hiệu là
z
.
b) Các tính chất:

z
là số thực khi và chỉ khi
zz
.


z
là số thuần ảo khi và chỉ khi
zz


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

10

zz

 Nếu
z a bi
thì
22
.z z a b
và
1
.
z
z
zz




''z z z z  



zz  


. ' . 'z z z z


11
'
'
z
z






'
'
zz
z
z






Mô đun của một số phức.

a) Định nghĩa mođun của số phức
Cho số phức
z a bi
. Ta gọi mođun của số phức
z
, ký hiệu
z

là một số thực được xác định bởi công thức
z
22
ab
.
Minh họa hình học

Giả sử số phức
z a bi



được biểu diễn bởi điểm
( , )M a b
trên mặt phẳng phức
Độ dài của véc tơ
OM

chính là mođun của số phức
z
.
Vậy

z
OM

hay
22
a bi a b  

Giả sử:

1 1 1 1
2 2 2 2
( , )
( , )
A
B
z a bi A a b
z a b i B a b
  
  


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

11

B A B A
AB OB OA z z z z AB      
  

Nhận xét

.z z z

b)Tính chất của mođun

00zz  


''z z z z  
(bất đẳng thức tam giác)

. ' 'z z z z


11
z
z

với
0z 

 Với n là số tự nhiên và


thì

;
''
n
n
z

z
zz
zz

với
' 0;z z z



Argumen của một số phức khác 0

a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức

, mỗi số phức
z a bi
được biểu diễn bởi
một điểm duy nhất
( ; )M a b
. Khi
0z 
ta nhận được véctơ
OM


Góc định hướng
( , )i OM


 

( trong đó
i

là véc tơ đơn vị trên trục
Ox
)
được xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của
2

. Góc

được gọi là
acgumen của số phức
z
và ký hiệu Arg
()z
.
Như vậy nếu

là một acgumen của
z
thì
2;kk


cũng là
acgumen của
z
. Do vậy arg(z)=
2;kk



.
Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của

.
b) Cách xác định acgumen của số phức
z

Đặt
22
r OM z a b   



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

12
Ta có các hệ thức
cos
sin
ar
br








Hay
os
sin
a
c
r
b
r













Trong trường hợp
0a 
thì
khi 0
2
khi 0
2
b
b
















c) Tính chất của acgumen

ar ( ) ar ( )g z g z


ar ( ) ar ( )g z g z

  


ar ( ) ar ( )g z g z

  



ar ( ') arg( ) arg( ')g zz z z


1
arg( ) arg( )
arg( ) arg( ) arg( ')
'
arg( ) arg( )
n
z
z
z
zz
z
z n z




Dạng lƣợng giác của một số phức.

a) Định nghĩa
Cho số phức
z a bi
. Khi đó ta thay
cos
sin
ar
br








ta được
( os isin )z r c


(trong đó
;rz


là acgumen của
z
). Số phức
( os isin )z r c


được gọi là dạng lượng giác của số phức
z
.
Chú ý:
- Số phức 0 không có dạng lượng giác.
- Số phức
z
có mođun bằng 1 là
os isinzc




b) Các phép toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

13
Cho hai số phức
,'zz
khác 0 được viết dưới dạng
( os isin )z r c


;
' '( os ' isin ')z r c


khi đó ta có các hệ thức sau:

' '[ os( ') isin( ')]
[ os( ') isin( ')]
''
22
[ os( ) isin( )]
nn
zz rr c
zr
c
zr
kk

z r c
n n n n
   
   
   
   
   
   

Với
0,1,2, , 1.kn


(cos isin )
nn
z r n n


(Công thức Moivre)
Lưu ý, ứng với mỗi giá trị của
k
ta ký hiệu
n
z
là
k
z
.
Căn bậc n của mỗi số phức
0z 

có đúng n giá trị khác nhau; đặc biệt,
mỗi số phức khác 0 đều có hai căn bậc 2, đó là hai số phức đối nhau.
Khi
1r 
: ta có
cos sinzi


;
cos sinzi



2
2
cos sin
cos sin
1
1
cos
2 2 2
1
1
sin
2 2 2
n
n
n
n
nn

n
n
n
n
nn
n
n
z n i n
z n i n
z
z z z
z
n
z
z
z z z
z
n
i i iz










  









  



Mọi đa thức bậc n với hệ số phức

1
0 1 1 0
( ) ( 0)
nn
nn
P z a z a z a z a a


     

đều có đúng n nghiệm phức ( phân biệt hay trùng nhau).
Công thức Ơle

a) Khái niệm và ký hiệu
i
e



Xét hàm số
:f 
được xác định bởi:
( ) os isinfc
  

. Hàm
()f

thỏa mãn các tính chất:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

14

( ') ( ). ( ')f f f
   



'( ) ( )f if


(
'( )f

là đạo hàm của
()f


)
Từ các tính chất trên ta có thể đưa ra định nghĩa sau:
b) Định nghĩa:
Với mọi


, ta định nghĩa:
os isin
i
ec




Như vậy với mọi số phức
z
bất kĩ khác 0 có môđun là
r
và acgumen là

có
thể viết được dưới dạng:
.
i
z r e


. Dạng này được gọi là lũy thừa của số phức.
Nhận xét:

+
1
i
e


và
arg( )
i
e




+
ii
ee




c)Tính chất

()
.
i i i
e e e
   




()
i
i
i
e
e
e







 
n
i i n
ee


với
n

 Công thức Ơle:
os
2
ii
ee

c





và
sin
2
ii
ee
i






1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán
ở trường THPT
Qua tìm hiểu việc dạy và học toán ở các trường THPT: Lục Nam,
Phương Sơn, Cẩm Lý và Tứ Sơn của Huyện Lục Nam, Tỉnh Bắc Giang,
chúng tôi thấy: Việc ứng dụng số phức vào giải toán được dạy và học rất ít, cụ
thể là chỉ dừng lại ở bài toán hạ bậc
sin
k
x
hoặc
os
k

cx
(
4,5)k 
nhờ công thức
Moivre và công thức khai triển nhị thức Newton.
Qua trao đổi với một số Thầy, Cô giáo dạy toán ở các trường THPT ở
trên thì nguyên nhân ít ứng dụng số phức vào giải toán cho HS là do:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

15
+ Số phức mới đưa vào chương trình SGK, phần lớn các bài tập trong
sách cũng chỉ là nội bộ về số phức.
+ Bản thân các Thầy, Cô cũng tự nhận thấy mình nắm kiến thức và kỹ
năng về số phức và ứng dụng còn nhiều hạn chế do họ cũng chưa thực sự
quan tâm đến nội dung mới mẻ này.;
+ Mặt khác tài liệu viết về ứng dụng số phức để giải toán còn ít.

1.3. Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1 tôi đã trình bày khái niệm về kĩ năng, kĩ năng giải
toán, một số nội dung cơ bản về số phức được đưa vào chương trình toán
THPT.Trên cơ sở đó trong chương 2 chúng tôi xác định một số kĩ năng ứng
dụng số phức giải một số dạng toán ở trường THPT và hệ thống các bài toán
được vận dụng các kĩ năng ứng dụng số phức để giải.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

16
CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT

2.1. Định hƣớng sƣ phạm
Căn cứ vào nội dung (lý thuyết và bài tập) số phức trong chương trình,
SGK toán THPT hiện hành ta có thể khai thác các ứng dụng của chúng để giải
các dạng toán khác.
Trong nội bộ môn toán ở trường phổ thông, có nhiều lĩnh vực như: đại
số, lượng giác, giải tích, hình học, … liên quan đến số phức.
Một trong những nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay là tăng
cường tính ứng dụng và thực tiễn.
Trong các kì thi có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng công cụ số phức
để giải một cách ngắn ngọn, xúc tích.
Theo định hướng này, ở chương 2, chúng tôi tiến hành:
+ Xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số dạng toán
trong trường phổ thông.
+ Chọn lọc xây dựng hệ thống bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng trên.
2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT

Để sử dụng số phức trong giải toán, về cơ bản, HS thường tiến hành
các hoạt động sau:
+ Chuyển đổi bài toán hoặc yêu cầu của bài toán từ dạng thông thường
sang dạng bài toán với số phức
+ Sử dụng công cụ số phức để giải bài toán ở dạng đã chuyển đổi.
+ Chuyển đổi kết quả bài toán đã giải được về dạng ban đầu.
Trong khuôn khổ, phạm vi của một đề tài luận văn Thạc sỹ, chúng tôi
đề xuất một số kĩ năng cụ thể ứng dụng số phức vào giải bốn loại toán sau
đây:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

17
+ Giải toán lượng giác;
+ Giải toán Đại số tổ hợp;
+ Giải toán Hình học phẳng;
+ Giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức.
2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác
Chuyển bài toán hay yêu cầu của bài toán lượng giác sang bài toán có
chứa ngôn ngữ số phức, sau đó sử dụng các kiến thức về số phức và lượng
giác để giải bài toán. Đối với mỗi bài toán ta có thể chuyển đổi sang ngôn ngữ
số phức theo những cách khác nhau, sau đây là một số kĩ năng chuyển đổi đối
với một số biểu thức lượng giác sang biểu thức số phức:
Kỹ năng 1.
Chuyển biểu thức lượng giác dạng
1 1 2 2
( cos , cos , , cos )
nn
f a k x a k x a k x
hoặc

1 1 2 2
( sin , sin , , sin )
nn
f a k x a k x a k x
sang dạng số phức
Đối với một số bài toán lượng giác được cho bởi hai biểu thức dạng:
1 1 2 2
( cos , cos , , cos )
nn
f a k x a k x a k x
(1) và
1 1 2 2
( sin , sin , , sin )
nn
f a k x a k x a k x
(2), ta
nhân biểu thức (2) với
i
rồi cộng với (1) sẽ được biểu thức có chứa số
phức
12
( , , , )
n
f z z z
trong đó
(cos sin )
j j j j
z a k x i k x
.
Kỹ năng 2.

Vận dụng số phức để tính toán, biến đổi các biểu thức đã chuyển đổi
Đây là bước quan trọng để ta tìm ra đáp số của bài toán, để thực hiện
được kĩ năng này đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức tổng hợp
Ví dụ 1: Rút gọn các tổng sau:
a)
1 cos os2 cosx c x nx   

b)
sinx sin2 sinx nx  

* Gợi ý sư phạm:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

18
Đây là dạng toán được cho bởi 2 hệ thức dạng
1 1 2 2
( cos , cos , , cos )
nn
f a k x a k x a k x
(1) và
1 1 2 2
( sin , sin , , sin )
nn
f a k x a k x a k x
(2), như
vậy vận dụng kĩ năng 1và kĩ năng 2 ta có lời giải bài toán:
Lời giải
Ta xét tổng:
(1 cos os2 cos ) (sinx sin2 sin )x c x nx x nx i        

2
1
1 (cos is ) ( os2 is 2 ) (cos isin )
1 (cos isin ) (cos isin ) (cos isin )
1 (cos isin ) [1 cos( 1) ]-isin( 1)
1 (cos isin ) (1 cos ) isin
1
[1 os( 1) sin( 1) ][
2 2cos
n
n
x inx c x in x nx nx
x x x x x x
x x n x n x
x x x x
c n x i n x
x

       
       
    

   
   

2
2
22
2

2
(1 cos ) isin ]
1
[(1-cos( 1) )(1 cos ) sin( 1) sin ]
4sin
2
1
[(1-cos( 1) )sinx (1 cos )sin( 1) ]
4sin
2
11
[(1-cos cos( 1) cos ] [(sin sin( 1) sin ]
4sin 4sin
22
1 (2
[2sin 2sin
2
4sin
2
xx
n x x n x x
x
n x x n x i
x
x n x nx x n x nx i
xx
xn
x
  
    

    
       

2
1) 1 (2 1)
sin ] [2sin os 2 os sin ]i=
2 2 2 2 2 2
4sin
2
1 (2 1) 1 (2 1)
[sin sin ]+ [cos os ]i=
2 2 2 2
2sin 2sin
22
1 ( 1) 1 ( 1)
[sin cos ]+ [sin sin ]i
2 2 2 2
sin sin
22
x x x x n x x
cc
x
x n x x n x
c
xx
n x nx n x nx
xx







Suy ra:
1 cos os2 cosx c x nx   
=
1 ( 1)
[sin cos ]
22
sin
2
n x nx
x



sinx sin2 sinx nx  
=
1 ( 1)
[sin sin ]
22
sin
2
n x nx
x

.
Nhận xét:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

19
Nếu bài toán chỉ yêu cầu rút gọn tổng a) (không cho tổngb)) thì ta vẫn
có thể xét tổng trên.
Ví dụ 2: Tính tổng
0
cos
n
k
nn
k
s C k




với
[0, ]



Bài giải
Đặt
0
os isin
sin
n
k
nn
k

zc
T C k







Ta có
00
(cos isin ) (cos isin )
nn
k k k
n n n n
kk
S iT C k k C
   

    



0
(1 )
n
k k n
n
k
C z z


  

(1)
Mặt khác, ta có
2
1 1 os isin 2cos 2 sin os
2 2 2
z c i c
  

     


2cos cos sin
2 2 2
i
  





Do
[0, ]


. Từ (1) suy ra:

2cos cos isin

2 2 2
n
nn
nn
S iT
  
   
  
   
   

Vậy
2cos os
22
n
n
n
Sc





và
2cos sin
22
n
n
n
T








Kỹ năng 3.
Chuyển biểu thức lượng giác dạng
(sin ,cos ,tan ,cot )f x x x x
   
sang bài
toán chứa biểu thức số phức
( , )g z z

Đặt
cos sinz x i x
, ta có
cos sinz x i x
từ đó ta suy ra được các biểu
thức:
cos
2
zz
x


,
sin
2

zz
x
i


,
tan
()
zz
x
z z i



,
()
cot
i z z
x
zz



; (1.30)
Hơn nữa, ta có: