ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)

1












ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

SỐ HỌC

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)

2

CHƯƠNG 1
Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được các khái niệm về lý thuyết chia hết trong vành số nguyên: Quan hệ chia
hết và phép chia với dư; ước, ước chung lớn nhất, bội, bội chung nhỏ nhất; số nguyên tố; phần
nguyên và phần phân của một số thực
- Sinh viên hiểu được các tính chất của phép chia hết, phép chia với dư, ước chung lớn nhất,
bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố, định lý cơ bản của số học và phân tích tiêu chuẩn của

!
n
.
- Sinh viên biế
t v
ậ
n d
ụ
ng lý thuy
ế
t
đ
ã h
ọ
c gi
ả
i các bài t
ậ
p liên quan.
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia với dư
1.1.1. Quan hệ chia hết
Định nghĩa 1.1.1
S
ố
nguyên
a

đượ
c g
ọ

i là
chia hết cho
m
ộ
t s
ố
nguyên
b
, hay
b chia hết cho a

n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
nguyên
c
sao cho
a + bc
. Khi
a
chia h
ế
t cho

b
ta vi
ế
t
a
⋮
b
ho
ặ
c
b | a
và b
đượ
c g
ọ
i là
ước
c
ủ
a
a
, còn
a

đượ
c g
ọ
i là
bội
c

ủ
a
b
.
Nhận xét 1.1.2.

a
chia h
ế
t cho 0 khi và ch
ỉ
khi
a =
0. Do
đ
ó b
ộ
i c
ủ
a s
ố
0 ch
ỉ
là 0. Tuy nhiên t
ậ
p
các
ướ
c c
ủ

a 0 l
ạ
i là toàn b
ộ

Z
.
Các tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n:
(i)

1
| a
v
ớ
i m
ọ
i
a
∈
Z
.
(ii)
a | a
v

ớ
i m
ọ
i
a
∈
Z
.
(iii)

N
ế
u
a | b
và
b | c
thì
a | c
.
(iv)

N
ế
u
b
≠

0 và
a | b
thì

|a|
≤
|b|.

(v)

N
ế
u
a | b
i
thì
a |
1
n
i i
i
b x
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x
i

∈
Z

.
(vi)

N
ế
u
a | b
và
b | a
thì
a b
=
ho
ặ
c
a b
= −
.
(vii)

Quan h
ệ
chia h
ế
t trong
Z
có tính ph
ả
n x
ạ

, b
ắ
c c
ầ
u, nh
ư
ng không có tính
đố
i x
ứ
ng.
(viii)

Quan h
ệ
chia h
ế
t trong
Z
có tính ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng.
1.1.2. Phép chia với dư
Định lí 1.1.5.

V

ớ
i m
ỗ
i c
ặ
p s
ố
nguyên a và b
≠
0, luôn luôn t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t c
ặ
p s
ố
nguyên
q, r v
ớ
i 0
r
≤
< |b|
để
a = qb + r.

1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.
1.2.1. Ước chung lớn nhất
Định nghĩa 1.2.1.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, ,a
n
. S
ố
nguyên
d

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
ướ
c chung c
ủ
a các
a
i

n

ế
u
d | a
i
v
ớ
i m
ọ
i
i =
1
, ,n
. Ký hi
ệ
u t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các
ướ
c chung c
ủ
a
a
1
, ,a
n
là

Ư
C(
a
1
a
n
)
.

Định lí 1.2.2.

Cho các s
ố
nguyên a
1
, , a
n
. Khi
đ
ó ta có các kh
ẳ
ng
đị
nh sau:


3

(i)

N
ế
u a
1
, ,a
n
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0 thì
Ư
C(a
1
,,a
n
) là m
ộ
t t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n và khác r
ỗ
ng.
(ii)

N
ế
u a
1
= a
2
= = a
n
= 0 thì
Ư
C(a
1
, ,a
n
) =
Z
.
Định nghĩa 1.2.4.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, ,a
n
.
S
ố
nguyên

d

đượ
c g
ọ
i là 1
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t
c
ủ
a
các
a
i
n
ế
u
d
là m
ộ
t
ướ
c chung c
ủ
a các
a

i
và
d
chia h
ế
t cho m
ọ
i
ướ
c chung c
ủ
a chúng. Ng
ườ
i ta
ký hi
ệ
u s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong t
ậ
p các
ướ
c chung c
ủ
a
a

1
, ,a
n
là (
a
1
, ,a
n
). N
ế
u (
a
1
, ,a
n
) = 1 thì
a
1
, ,a
n
đượ
c g
ọ
i là
nguyên t
ố
cùng nhau
. Các s
ố
nguyên

a
1
, ,a
n

đượ
c g
ọ
i là
nguyên t
ố
sánh
đ
ôi
, hay
đ
ôi
m
ộ
t nguyên t
ố
cùng nhau
n
ế
u (
a
i
, a
j
)

=
1 v
ớ
i m
ọ
i
i, j =
1
, ,n
và
i
≠
j.

Nhận xét 1.2.5.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
a
n
. Khi
đ
ó ta có:
(i)

N
ế
u

a
1
, ,a
n
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0 và s
ố
nguyên
d
là
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
a
1
a
n
thì
0
d

≠
và
–d
c
ũ
ng là
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
a
1
, ,a
n
. Tr
ườ
ng h
ợ
p này (
a
1
, ,a
n
) là s
ố
l

ớ
n nh
ấ
t
n
ằ
m trong t
ậ
p
Ư
C(
a
1
, ,a
n
) và (
a
1
, ,a
n
) là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng.
(ii)

N

ế
u
a
1
= a
2
= = a
n
=
0 thì
Ư
C(
a
1
, ,a
n
)
=
Z
,
và do
đ
ó trong tr
ườ
ng h
ợ
p này t
ậ
p
ướ

c
chung l
ớ
n nh
ấ
t ch
ỉ
là {0} và (
a
1
a
n
) = 0.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, ,a
n
. Khi
đ
ó nh
ữ
ng tính ch
ấ
t sau
đ
ây c
ủ

a
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t,
đượ
c suy ra
t
ứ
c kh
ắ
c t
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a.
(i)

(0
, a
1
, ,a
n
)
=
(

a
1
, ,a
n
)
.
(ii)

(1
, a
1
, ,a
n
)
=
1
=
(–1
, a
1
, ,a
n
)

(iii)

(
a
1
, ,a

n
)
=
((
a
1
, ,a
n-1
),
a
n
). Tính ch
ấ
t này ch
ỉ
ra cách tìm
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a nhi
ề
u s
ố

đượ
c quy v

ề
vi
ệ
c tìm
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a 2 s
ố
.
(iv)

(
ka
1
, ,ka
n
)
= |k|
(
a
1,
, ,a
n
) v
ớ

i m
ọ
i
k
∈
Z
.
(v)

N
ế
u
a = bc + d
thì (
a,b
)
=
(
b,d
)
.

(vi)

(0
, a
)
= |a|
v
ớ

i m
ọ
i
a
∈
Z
.
T
ừ
(v) ng
ườ
i ta
đư
a ra
đượ
c m
ộ
t thu
ậ
t toán tìm
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a 2 s
ố
d

ướ
i
đ
ây:
Thuật toán Euclid:
Gi
ả
s
ử

a
và
b
là hai s
ố
nguyên d
ươ
ng v
ớ
i
a

≥

b
và
đặ
t
r
0

= a, r
1
= b
. B
ằ
ng
cách áp d
ụ
ng liên ti
ế
p thu
ậ
t toán chia, ta
đượ
c:
r
0
= r
1
q
1
+ r
2

r
1
= r
2
q
2

+ r
3

…
R
n-2
= r
n-1
q
n-1
+ r
n

R
n-1
= r
n
q
n

v
ớ
i
r
1
> r
2
> > r
n
>

0. Cu
ố
i cùng, s
ố
0 s
ẽ
xu
ấ
t hi
ệ
n trong dãy phép tchia liên ti
ế
p, vì dãy các
s
ố
d
ư

b = r
1
> r
2
> > r
n

≥

0

không ch

ứ
a quá
b
s
ố

đượ
c. H
ơ
n n
ữ
a t
ừ
(v) ta suy ra
(a, b) = (r
0
, r
1
) = (r
1
, r
2
) = = (r
n-2
, r
n-1
) = (r
n-1
, r
n

) = (r
n
,
0
) = r
n
.
Do
đ
ó
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a a và b là s
ố
d
ư
khác 0 cu
ố
i cùng trong dãy phép chia.
Định lí 1.2.7.

Cho các s
ố
nguyên a
1

, ,a
n
. Khi
đ
ó ta có các kh
ẳ
ng
đị
nh sau:

4

(i)

N
ế
u d =
(
a
1
, ,a
n
)
thì t
ồ
n t
ạ
i các s
ố
nguyên x

1
,…., x
n

để
d =
1
n
j j
j
a x
=
∑
.
(ii)

N
ế
u d =
(
a
1
, ,a
n
)
thì ideal chính sinh b
ở
i d và ideal sinh b
ở
i a

1
a
n
c
ủ
a
Z
là nh
ư
nhau.
Định nghĩa 1.2.8.
cho các s
ố
nguyên
a
1
, ,a
n
. S
ố
nguyên
d

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ

h
ợ
p tuy
ế
n tính
nguyên c
ủ
a các
a
i
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i các s
ố
nguyên
x
i

để

d =
1
n
j j
j
a x

=
∑
.

T
ừ

đị
nh lý v
ừ
a r
ồ
i ta suy ra các k
ế
t qu
ả
sau:
Hệ quả 1.2.9 (Định lý Bezout).

Các s
ố
nguyên a
1
, ,a
n
nguyên t
ố
cùng nhau n
ế
u và ch

ỉ
n
ế
u t
ồ
n
t
ạ
i các s
ố
nguyên x
1
,

x
2
,
,x
n
sao cho
1
n
j j
j
a x
=
∑
= 1.
Hệ quả 1.2.10.

Cho các s
ố
nguyên a
1
a
n
. Khi
đ
ó c là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính nguyên c
ủ
a a
1
, ,a
n

n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u c là b

ộ
i c
ủ
a d = (a
1
, ,a
n
).
Hệ quả 1.2.11.

N
ế
u các s
ố
nguyên a
1
, ,a
n
cùng nguyên t
ố
v
ớ
i m
ộ
t s
ố
nguyên a thì tích a
1
a
n

nguyên t
ố
v
ớ
i a.
Định lý 1.2.12. (Bổ đề Euclid)

Cho các s
ố
nguyên a, b, c. Khi
đ
ó n
ế
u
(
a,b
)
=
1
và a chia h
ế
t
cho bc thì a chia h
ế
t cho c.
Định nghĩa 1.2.13.
Cho các s
ố
nguyên

a, b, c
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
ax + by = c
v
ớ
i các
ẩ
n s
ố

nguyên
x, y
đượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình vô
đị
nh hay ph
ươ
ng trình Diophante.
Định lý 1.2.14
.
Cho các s
ố

nguyên a, b, c. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình ax + by = c có ngi
ệ
m nguyên khi
và ch
ỉ
khi d =
(
a, b
)
chia h
ế
t c.
Cách giải phương trình Diophante ax + by = c.
Gi
ả
s
ử
cho ph
ươ
ng trình Diophante
ax + by = c
v
ớ
i
a, b
không

đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0.
Khi
đ
ó l
ờ
i gi
ả
i c
ủ
a ph
ươ
ng tình này th
ườ
ng
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n qua các b
ướ
c sau:
Bước 1:
Tìm (
a, b

)
= d
cùng c
ặ
p (
x’, y’
)

∈
Z
2

để

ax’ + by’ = d
. Ki
ể
m tra n
ế
u
c
không chia h
ế
t
cho
d
thì ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ

m, và chuy
ể
n sang B
ướ
c 2.
Bước 2:

Gi
ả
s
ử
c = ds
. Khi
đ
ó (
x
0
, y
0
) = (sx’, sy’)
là m
ộ
t nghi
ệ
m riêng c
ủ
a
ax + by = c.
Bước 3:
Gi

ả
s
ử

a = da’
và
b = db’
. Ta rút ra
đượ
c:
a’(x-x
0
) = b’(y
0
-y).

Do (
a’, b’
)
=
1 và
a’
(
x – x
0
) chia h
ế
t cho
b’
nên theo b

ổ

đề
Euclid thì
x – x
0
chia h
ế
t cho
b’
hay
x – x
0
= b’
v
ớ
i
t
∈
Z
. Do
đ
ó
y – y
0
= – a’t
.
Ta
đượ
c

0
0
'
'
x x b t
y y a t
= +


= −

v
ớ
i
t
∈
Z

T
ừ
các b
ướ
c l
ậ
p lu
ậ
n v
ừ
a r
ồ

i, ta d
ễ
suy ra: {(
x
0
+ b’t , y
o
– a’t | t
∈
Z
} là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m
c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Ng
ườ
i ta còn g
ọ
i
0

0
'
'
x x b t
y y a t
= +


= −

(
t
∈
Z
) là nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho.

5

Hệ quả 1.2.15.

Gi
ả
s
ử
d = (a, b). Khi
đ
ó n
ế
u ph
ươ
ng trình ax + by = c có m
ộ
t nghi
ệ
m riêng
(
x
o
, y
0
)
thì nó có nghi
ệ
m t
ổ
ng quát là
0
0
b
x x t

d
a
y y t
d

= +




= −


(t
∈
Z
)
Nh
ư
v
ậ
y, m
ấ
u ch
ố
t c
ủ
a l
ờ
i gi

ả
i là tìm nghi
ệ
m riêng, mà th
ự
c ch
ấ
t n
ằ
m
ở
b
ướ
c 1. Sau
đ
ây ta s
ẽ

ch
ỉ
ra m
ộ
t thu
ậ
t toán nh
ằ
m tìm nghi
ệ
m riêng c
ủ

a ph
ươ
ng trình này. Xét ph
ươ
ng trình
ax + by =
c
v
ớ
i (
a, b
)
= d
và
a, b
khác 0,
d
là
ướ
c c
ủ
a
c
. R
ồ
i b
ằ
ng cách bi
ế
n

đổ
i
ax =
(
–a
)(
–x
)

hay
by =
(
–
b
)(
–y
)

(n
ế
u c
ầ
n), ta có th
ể
luôn coi
ax + by = c
v
ớ
i
a, b

d
ươ
ng. Bây gi
ờ
ta tìm hi
ể
u thu
ậ
t toán
tìm
d
cùng c
ặ
p (
x’, y’
)

∈
Z
2

để
ax’ + by’ = d.

Tr
ở
l
ạ
i thu
ậ

t toán tìm
(a, b)
thì trong tr
ườ
ng h
ợ
p này
r
n
= d
v
ớ
i
r
0
= a
và
r
1
= b;
r
0
= r
1
q
1
+ r
2
r
1

= r
2
q
2
+ r
3

r
n-2
= r
n-1
q
n-1
+ r
n
r
n-1
= r
n
q
n

d = r
n

và ta c
ầ
n tìm c
ả
c

ặ
p (
x’, y’
)

∈
Z
2

để

ax’ + by’ = r
n
. Nh
ậ
n xét r
ằ
ng, n
ế
u ta thi
ế
t k
ế

đượ
c m
ộ
t dãy
các b
ộ

ba (
x
k
, y
k,
r
k
), sao cho luôn có
ax
k
+ by
k
= r
n
= d
. Do
đ
ó b
ộ
ba (
x
n
, y
k,
r
n
) cho ta l
ờ
i gi
ả

i bài
toán. Mong mu
ố
n này
đư
a ta
đế
n thi
ế
t k
ế
sau: Ch
ọ
n
(
x
0
, y
0,
r
0
)
=
(1
,
0
, a
)
và
(

x
1
, y
1,
r
1
)
=
(0
,
1
, b
)
,
cùng d
ạ
ng truy h
ồ
i (
x
k
, y
k,
r
k
)
=
(
x
k-2

– x
k-1
q
n-1
, y
k-2
– y
k-1
q
k-1,
r
k-2
– r
k-1
q
k-1
)
.
Để
d
ễ
ki
ể
m tra
đượ
c b
ằ
ng quy n
ạ
p r

ằ
ng
ax
k
+ by
k
= r
k

v
ớ
i m
ọ
i
k =
0
,
1
,…, n
. Do
đ
ó (
x’, y’, d
)
=
(
x
n
, y
n

, r
n
)
.

1.2.2. Bội chung nhỏ nhất
.
Định nghĩa 1.2.17.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, , a
n
. S
ố
nguyên
m

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
b
ộ
i chung
c

ủ
a
a
1
, , a
n
n
ế
u
m
chia h
ế
t cho t
ấ
t c
ả
các s
ố

a
i
. S
ố
nguyên
s

đượ
c g
ọ
i là m

ộ
t b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t
c
ủ
a
a
1
, , a
n
n
ế
u
s
là b
ộ
i chung c
ủ
a các s
ố

a
i
và
s

chia h
ế
t cho m
ọ
i b
ộ
i chung khác c
ủ
a các
a
i
.
Kí hi
ệ
u
BC(a
1
, , a
n
)
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các b
ộ
i chung,
BCNN(a

1
, , a
n
)
là t
ậ
p các b
ộ
i chung nh
ỏ

nh
ấ
t, [
a
1
, , a
n

] là m
ộ
t s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong t
ậ
p các b

ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a các s
ố

a
1
, ,a
n
.

Nhận xét 1.2.18.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, , a
n
.
(i)

Vì b
ộ
i c

ủ
a 0 ch
ỉ
là 0, nên n
ế
u
a
1
, , a
n
không khác 0 t
ấ
t c
ả
thì
BC(a
1
, , a
n
)
= {0} và [
a
1
,
, a
n

] = 0.
(ii)

Do
a
1
a
2
a
n
là m
ộ
t b
ộ
i chung c
ủ
a
a
1
, , a
n
, nên
BC(a
1
, , a
n
)
là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ

ng.
(iii)
BCNN(a
1
, , a
n
) =
{[
a
1
, , a
n
]
, –
[
a
1
, , a
n
]}
Các k
ế
t qu
ả
sau
đ
ây ch
ỉ
ra cách tìm b
ộ

i chung nh
ỏ
nh
ấ
t, và m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t
và
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t.

6

Định lý 1.2.19.

Cho a và b là hai s

ố
nguyên khác 0. Khi
đ
ó ta có [a, b](a, b) = |a||b|.
Định lí 1.2.20
.
Cho n (n
≥

1
) s
ố
nguyên a
1
, ,a
n
khác 0. Khi
đ
ó ta có:
(i)

[a
1
, ,a
n
] luôn t
ồ
n t
ạ
i [a

1
, ,a
n
] = [[a
1
, ,a
n-1
], a
n
].
(ii)

N
ế
u a
1
, ,a
n
;à các s
ố
nguyên t
ố
t sánh
đ
ôi thì: [a
1
, ,a
n
] = a
1

a
2
a
n
.
Nhận xét 1.2.21.
Cho các s
ố
nguyên
a
1
, …, a
n
(n
≥

3
)
thì
đẳ
ng th
ứ
c
(a
1
, …, a
n
) [a
1
, …, a

n
] = |a
1
,a
2
, …, a
n
|

nói chung là không
đ
úng. Ch
ẳ
ng h
ạ
n (2,2,2) [2, 2, 2] = 2.2 = 4 < 8 = 2.2.2.
Hệ quả 1.2.22
.
Cho a là b
ộ
i chung c
ủ
a n s
ố
nguyên t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ

i nguyên t
ố
cùng nhau a
1
, …, a
n
.
Khi
đ
ó a là b
ộ
i tích c
ủ
a a
1
,…, a
n
.

1.3. Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học
.
1.3.1. Số nguyên tố
Định nghĩa 1.3.1
. M
ộ
t s
ố
nguyên
p

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
s
ố
nguyên t
ố
n
ế
u
p >
1 và
p
không có m
ộ
t
ướ
c s
ố
nguyên d
ươ
ng nào khác 1 và chính nó. M
ộ
t s
ố
nguyên
m

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
h
ợ
p s
ố
n
ế
u
|m|
>
1 và
|m|
có ít nh
ấ
t m
ộ
t
ướ
c s
ố
nguyên d
ươ
ng khác 1 và
|m|.

S
ố
t
ự
nhiên
n

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
s
ố

chính ph
ươ
ng
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
nguyên

d

để

n = d
2
.
Định lý 1.3.2
.
Cho m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
p và các s
ố
nguyên tu
ỳ
ý m, a, b. Khi
đ
ó ta có:
(i)

(m, p) =
; |
1; |
p p m
p m



/


(ii)

N
ế
u m > 1 thì luôn t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
ướ
c nh
ỏ
nh
ấ
t, l
ớ
n h
ơ
n 1 c
ủ
a m và
ướ
c này là m
ộ

t s
ố

nguyên t
ố
.
(iii)

M
ỗ
i h
ợ
p s
ố
nguyên d
ươ
ng d có ít nh
ấ
t
1

ướ
c nguyên t
ố
không v
ượ
t quá
d
.
(iv)

N
ế
u p | ab thì p | a ho
ặ
c p | b.
Định lí 1.3.3 (Euclid).

T
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên t
ố
là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p vô h
ạ
n.
1.3.2. Định lý cơ bản của số học

Định lý 1.3.4 (Định lý cơ bản của số học)
.
M
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên l
ớ
n h
ơ
n
1

đề
u phân tích
đượ
c thành
m
ộ
t tích h
ữ
u h
ạ
n th
ừ
a s
ố
nguyên t

ố
và phân tích này là suy nh
ấ
t n
ế
u không k
ể

đế
n th
ứ
t
ự
các
th
ừ
a s
ố
.
Hệ quả 1.3.5.

N
ế
u m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên n chia h

ế
t cho s
ố
nguyên t
ố
p nh
ư
ng không chia h
ế
t cho p
2
,
thì
n
là m
ộ
t s
ố
vô t
ỉ
.
Hệ quả 1.3.6
. Cho m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên d không chính ph
ươ

ng, khi
đ
ó, n
ế
u x, y là hai s
ố
nguyên th
ỏ
a
mãn
x d y
=
thì x = y = 0.
Định lý 1.3.7
.
1
n
n
p e
+
<

1.4. Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n!
1.4.1. Phần nguyên và điểm nguyên.

7

Định nghĩa 1.4.1.
Cho m
ộ

t s
ố
th
ự
c
a,

ph
ầ
n nguyên
c
ủ
a
a
, ký hi
ệ
u là [
a
], là s
ố
nguyên l
ớ
n nh
ấ
t
không v
ượ
t quá
a
. Hi

ệ
u
a – [a] = {a}
đượ
c g
ọ
i là
ph
ầ
n phân
hay
ph
ầ
n l
ẻ
c
ủ
a
a
.
Nhận xét 1.4.2.
T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a phân nguyên và ph

ầ
n phân, ta d
ễ
dàng suy ra m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t
sau:
(i)

Th
ươ
ng h
ụ
t c
ủ
a phép chia m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
a
cho m
ộ
t s

ố
nguyên d
ươ
ng
b
là
[ ]
a
b
.
(ii)

[x] = x khi và ch
ỉ
khi
x
∈
Z
.
(iii) N
ế
u a
∈
Z
và x < a thì [x] < a.
(iv)

N
ế
u x

≤
y thì [x]
≤
[y].
(v)

[x] = n n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u n
≤
x < n+1.
(vi)

[x] = n n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u x – 1 < n
≤
x.
Định lý 1.4.3
. Ph
ầ
n nguyên c

ủ
a m
ộ
t s
ố
th
ự
c có các tính ch
ấ
t sau
đ
ây:
(i)

N
ế
u
n
∈
Z
thì [a + n] = [a] + n.
(ii)

1 1 1
[ ] [ ] [ ] 1
n n n
i i i
i i i
a a a n
= = =

≤ ≤ + −
∑ ∑ ∑
v
ớ
i m
ọ
i
n
+
∈
ℕ
.
(iii)N
ế
u
a
+
∈
R
và
d
+
∈
ℕ
thì s
ố
các s
ố
nguyên d
ươ

ng là b
ộ
i c
ủ
a d không l
ớ
n h
ơ
n a
đ
úng b
ằ
ng
[ ]
a
b
.
(iv)

[2a] = [a] + [a +
1
2
].
Định lý 1.4.5. (Sierpinski).

Đặ
t
2
1
10

n
n
n
p
α
∞
−
=
=
∑
, khi
đ
ó ta có:
1 1
2 2 2
[10 ] 10 [10 ]
n n n
n
p
α α
− −
= −
.

Định nghĩa 1.4.6.
Cho m
ộ
t mi
ề
n ph

ẳ
ng
D
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
(
Oxy
) .
Đ
i
ể
m
(x
1
, y
1
)
thu
ộ
c D
v
ớ
i
1 1

,
x y
∈
Z

đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m nguyên hay
đ
i
ể
m l
ướ
i c
ủ
a
D
.
Định lý 1.4.7.

Cho hàm s
ố
f(x)
≥
0 xác

đị
nh và liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a, b]. G
ọ
i T là s
ố
t
ấ
t c
ả
các
đ
i
ể
m nguyên c
ủ
a mi
ề
n
2
{( , ) |
D x y a x b
= ∈ ≤ ≤
Z
;

0 ( )}
y f x
< ≤
. Khi
đ
ó ta có
[ , ]
[ ( )]
i a b
T f i
∈ ∩
=
∑
Z

1.4.2. Phân tích tiêu chuẩn của n!
Định lý 1.4.8
. Cho m
ộ
t s
ố
nguyên n > 1. Khi
đ
ó n! Có d
ạ
ng phân tích tiêu chu
ẩ
n là:
1 2
1 2

!
s
s
n p p p
α
α α
=
v
ớ
i
2 3
[ ] [ ] [ ] ; 1, , .
i
i i i
n n n
i s
p p p
α
= + + + =

*) Tài liệu tham khảo:

[1] D
ươ
ng Qu
ố
c Vi
ệ
t (2009), Lý thuy
ế

t s
ố
và
đ
a th
ứ
c, Nhà xu
ấ
t b
ả
n
Đạ
i h
ọ
c s
ư
ph
ạ
m Hà
N
ộ
i, Hà N
ộ
i.

8

[2] L
ạ
i

Đứ
c Th
ị
nh (1977), Giáo trình S
ố
h
ọ
c, Nhà xu
ấ
t b
ả
n Giáo d
ụ
c, Hà N
ộ
i.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia với dư
1.1.1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

Trong 3 s
ố
nguyên liên ti
ế

p ph
ả
i có m
ộ
t s
ố
chia h
ế
t cho 3.
(ii)

Trong 4 s
ố
nguyên liên ti
ế
p ph
ả
i có m
ộ
t s
ố
chia h
ế
t cho 4.
(iii) Trong n s
ố
nguyên liên ti
ế
p ph
ả

i có 1 s
ố
chia h
ế
t cho n.
1.1.2.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

Tích c
ủ
a 3 s
ố
nguyên liên ti
ế
p chia h
ế
t cho 6.
(ii)

Tích c
ủ
a 2 s
ố
ch
ẵ

n liên ti
ế
p ph
ả
i chia h
ế
t cho 8.
(iii) Tích c
ủ
a 4 s
ố
t
ự
nhiên liên ti
ế
p c
ộ
ng thêm 1 là m
ộ
t s
ố
chính ph
ươ
ng.
1.1.3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong 11 s

ố
nguyên b
ấ
t k
ỳ
ph
ả
i có hai s
ố
có hi
ệ
u chia h
ế
t cho 10.
1.1.4.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

n
3
– n chia h
ế
t cho 6 v
ớ
i m
ọ

i s
ố
nguyên n.
(ii)

n
5
– n chia h
ế
t cho 30 v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên n.
1.1.5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng không có các s
ố
nguyên d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn
đ
i

ề
u ki
ệ
n a
2
+ 2b
2
=
4c
2

1.1.6.
p, q là các s
ố
nguyên t
ố
l
ớ
n h
ơ
n 3. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: (p
2
– q
2
) chia h
ế

t cho 24.
1.1.7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u m, n nguyên d
ươ
ng thì mn(m
60
– n
60
) chia h
ế
t cho 56786730.
1.1.8.
Cho m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng n, tìm d
ư
c
ủ
a phép chia s
ố

1
2007
+ 2
2007
+ …. + n
2007
cho s
ố
n + 2.
1.1.9.
Cho m, n là hai s
ố
nguyên d
ươ
ng.
Tìm d
ư
c
ủ
a phép chia (5m)!(5n)! Cho m!n!(3m+n)!(3n+m)!.
1.1.10.
Cho m, n là nh
ữ
ng s
ố
nguyên d
ươ
ng. Tìm d
ư

c
ủ
a phép chia (2m)!(2n)! Cho m!n!(m+n)!.
1.1.11.
Cho x
1
và y
1
là nh
ữ
ng nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình x
2
– 6x +1 = 0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, v
ớ
i
m
ỗ
i s
ố
nguyên d

ươ
ng n, t
ổ
ng
1 2
n n
x x
+
là m
ộ
t s
ố
nguyên và tìm d
ư
c
ủ
a phép chia s
ố

đ
ó cho 3.
1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

1.2.1.
Ch
ứ
ng minh chi ti
ế
t t
ấ

t c
ả
các nh
ậ
n
đị
nh còn ch
ư
a
đượ
c ch
ứ
ng minh trong lý thuy
ế
t.
1.2.2.
Cho
n
là m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
. Tìm (8,
n
2
– 1).

1.2.3.
Cho các s
ố
nguyên
a, b, k, l, m, n
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

(
5
a +
3
b,
13
a +
8
b) = (a, b).
(ii)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u

kn – lm =
1
±
thì (
ma + nb, ka + lb) = (a,b )


9

1.2.4.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u 2
n
+
1
= a
2
thì
n = a =
3
.
1.2.5.
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng: N
ế
u
a, n
≥

2 và
a
n
–
1

là m
ộ
t sô nguyên t
ố
thì
a =
2 và
n
là m
ộ
t s
ố

nguyên t
ố
.
1.2.6.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (
n! +
1
, (n+
1
)! +
1
) =
1

n
ế
u
n
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng.
1.2.7.
Cho các s
ố
nguyên
đươ

ng
m, n
v
ớ
i
m > n
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2
(2 1,2 1) 1
m n
+ + =
.
1.2.8.
Cho
m, n
là hai s
ố
t
ự
nhiên th
ỏ
a mãn
(
2
m
–

1
)(
2
n
–
1
)
chia h
ế
t
a
mm
–
1
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(m, n) =
1
.
1.2.9.
Cho dãy các s
ố
nguyên
a
1
, a

2
,
sao cho
a
1
= a
2
=
1
; a
n+2
= a
n
a
n+1
, n=
1
,
2
,

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
1946

không chia h

ế
t cho 4.
1.2.10.
Cho
đ
a th
ứ
c
f(x) = x
n
+ a
1
x
n-1
+ … + a
n

[ ]
x
∈
Z
v
ớ
i
a
n
>
0 và
n
≥

1. V
ớ
i s
ố
nguyên
m
ta
đặ
t
t
0
= m, t
i
= f(f(…(f(m))…))
,
i
l
ầ
n
f
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(t
t
, t
s

) = t
(r, s)
v
ớ
i m
ọ
i
r, s
nguyên không
âm.
1.2.11.
Hãy gi
ả
i
đ
áp cho các bài sau:
(i)

Cho
f(x) = x
3
– x +
1. Ký hi
ệ
u
a
n
(x) = f(f( (f(x))…)), n
l
ầ

n
f
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các s
ố
trang
dãy
m, a
1
(m), a
2
(m)
đ
ôi m
ộ
t nguyên t
ố
cùng nhau v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
m >

1.
(ii)

Cho
x
1
, x
2

là các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
x
2
–
6
x +
1
=
0.
Đặ
t
a
n
=
1 2

,
n n
x x n N
+ ∈

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
n
là m
ộ
t s
ố
nguyên và
a
n
không chia h
ế
t cho 3, 4, 5.
1.2.12.
Cho
f(x)
là m
ộ
t
đ
a th

ứ
c v
ớ
i các h
ệ
s
ố
nguyên và
f(x) >
0 v
ớ
i m
ọ
i
x
nguyên. Ký hi
ệ
u
a
0
=
0
, a
n
= f(a
n-1
)
v
ớ
i m

ọ
i
n
≥

1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(a
m
, a
n
) = a
(m, n)
.
Khi
f(x) =
9
1
2
i
i
x
=
+
∑
9
1

2
i
i
x
=
+
∑
,
hãy tìm (
a
2006,
a
2004
)
.

1.2.13.
Cho dãy s
ố
Fibonacci
F
1
= F
2
=
1

và
F
n+2

= F
n+1
= F
n

v
ớ
i
n
≥

1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(F
r
,
F
s
) = F
(r, s)
.

1.2.14.
Cho các s
ố
nguyên
a

và
b
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(a + b,
[
a, b
]
) = (a, b).
1.2.15.
Cho
n
≥

2

s
ố
nguyên
a
1
, , a
n
.
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
|a
1
a
2
a
n
|
≥

[
a
1
, , a
n
]
( a
1
, , a
n
).

1.2.16.
Cho
ba
s
ố
nguyên d
ươ

ng
m, n, p
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

[
m, n, p
]
=
( , , )
( , )( , )( , )
mnp m n p
m n n p p m
.
(ii)

[m, n, p] =
( , , )[ , ][ , ][ , ]
m n p m n n p p m
mnp
.
1.2.17.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng [1, 2, …., 200] = [101, 102,…., 200].
1.2.18.
Tìm r
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên x và y sao cho 3xy – 7y = 3x + 1.
1.2.19.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên 13x + 21y = 12
1.2.20.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên 3x + 31y = 15.

10

1.3 Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học
.

1.3.1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n, thì
đ
o
ạ
n [(n+1)!+2,(n+1)!+n+1] không ch
ứ
a
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
nào.
1.3.2
. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng t
ồ
n t
ạ
i nhi
ề
u vô h
ạ
n các s
ố
nguyên t
ố
d
ạ
ng 4n
+
3 v
ớ
i
n
∈
ℕ
.
1.3.3.
Tìm s
ố
nguyên p sao cho p + 10 và p + 14 c
ũ
ng là nh
ữ

ng s
ố
nguyên t
ố
.
1.3.4
. Cho m
ộ
t s
ố
nguyên n > 2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u m
ộ
t trong hai s
ố

1 1
2 ,2
n n
− +
là m
ộ
t s
ố

nguyên t
ố
thì s
ố
còn l
ạ
i là h
ợ
p s
ố
.
1.3.5.
Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
t
ự
nhiên n
để
sao cho n(n+1)(n+2)(n+3) có
đ
úng 3
ướ
c nguyên t
ố
.
1.3.6.

Cho m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên n > 1 có phân tích chính t
ắ
c
1 2
1 2

s
s
n q q q
α
α α
= . Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
r
n

là m
ộ
t s
ố
nguyên khi và ch

ỉ
khi
i
α
chia h
ế
t cho
r
v
ớ
i m
ọ
i
i =
1
,
2
,
3
,s.
1.3.7
. Gi
ả
s
ử

p, q
là hai s
ố
nguyên t

ố
phân bi
ệ
t th
ỏ
a mãn
pq | n
2
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
pq | n.

1.3.8.
Cho ba s
ố
nguyên d
ươ
ng
a, b, c
v
ớ
i
(a, b) =
1. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng v
ợ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
thì t
ừ

ab = c
n
ta suy ra t
ồ
n t
ạ
i
x, y
+
∈
ℕ

để
sao cho
a = x
n
và

b

= y
n
.

1.3.9.
Cho
f(n) = n
4
+
2
n
3
- n
2
+
1. Xác
đị
nh các s
ố
nguyên n sao cho
|f(n)|
là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
.

1.3.10.
S
ố
4
p +
1 có là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
không? N
ế
u bi
ế
t các s
ố

p
, 2
p+
1 là nguyên t
ố
và
p >
3
.

1.3.11.
Gi

ả
s
ử

a >
1 là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng,
n
≥

2 và
a
n
+
1 là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ

ng
n =
2
k
v
ớ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
k
nào
đ
ó.
1.3.12.
Bi
ế
t
p
và 8
p
2
+
1 là các s
ố
nguyên t
ố
, tìm
p

. Các s
ố

p, p+
10
, p+
14 là các s
ố
nguyên t
ố
,
tìm
p.

1.3.13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng s
ố
d
ư
c
ủ
a phép chia m
ộ
t s
ố
nguyên t

ố

p
cho 30 ch
ỉ
có th
ể
là 1 ho
ặ
c
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
.
1.3.14.
Cho
đ
a th
ứ
c
f(x) = x
2
+ x +
41. Xét các s
ố

f(

0
), f(
1
), …., .f(
40
)
, nh
ữ
ng s
ố
nào là h
ợ
p s
ố
?
1.3.15.
Cho
đ
a th
ứ
c
f(x) = x
2
+
3
x

+
19. Xét các s
ố

f(
0
), f(
1
),…, f(
15
).
Nh
ữ
ng s
ố
nào là nguyên
t
ố
.
1.3.16.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng không t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
a th

ứ
c b
ậ
c d
ươ
ng h
ệ
s
ố
nguyên
f(x)

để

f(n)
là s
ố

nguyên t
ố
v
ớ
i m
ọ
i
n
nguyên d
ươ
ng.
1.4. Phần nguyên và phân tích tiêu chuẩn của n!

1.4.1
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
ab
b
c c
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
v
ớ
i m
ọ
i
a, b

và
c
nguyên d
ươ
ng.
1.4.2
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
x|x| + y|y| =
1
,
[
x
]
+
[
y
]
=
1
.
1.4.3.
Cho bi
ế
t khi nào [

–x
]
= –
[
x
]
.
1.4.4
. Cho n là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng hãy xác
đị
nh ph
ầ
n nguyên
[ ( 1)( 2)( 3)]
n n n n+ + +


11

1.4.5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
[(2 3) ]
n
+
là m
ộ
t s
ố
l
ẻ
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
.
1.4.6.
Tìm s
ố
m
ũ
c
ủ
a 2 trong phân tích tiêu chu
ẩ

n c
ủ
a
[(1 3) ]
n
+
v
ớ
i
n
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng
cho tr
ướ
c.
1.4.7
. Cho
,
a b
∈
R
và
a, b
≥

0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
[5
a
]
+
[5
b
]

≥

[3
a + b
]
+
[3
b + a
]
.
1.4.8.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ

i s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
b
ấ
t kì và s
ố
th
ự
c
a
≥

0

ta có b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
[ ]
[
]
[ ] [2 ]

1 2
na
a a
na
n
≥ + + + .
1.4.9.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
≥

2 và
k =
[
ln n
] ta có:
[
ln
2]
+

[
ln
3]
+ +
[
ln n
]
+
[
e
]
+
[
e
2
]
+ +
[
e
k
]
= nk.
1.4.10.
Tìm s
ố
m
ũ
c
ủ
a s

ố
5 trong d
ạ
ng phân tích tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a 100000!
1.4.11.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(2 )!
!( 1)!
n
n n
+
là m
ộ
t s
ố
nguyên v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t

ự
nhiên
n
≥

1
.
1.4.12
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
(2 )!(2 )!
! !( )!
m n
m n n m
+
là m
ộ
t s
ố
nguyên v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự

nhiên
m
và
n
.
1.4.13.
Ch
ứ
ng minh r
ắ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c
x
và s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
ta có
1
1
1

[ ] [x + ] [ ]
n
i
x nx
i
−
=
+ =
∑
.
1.4.14.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1

n n n k
n
k k k
+ + −
     
+ + + =
     
     
.
1.4.15
. Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
a
và
b
là các s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
và nguyên t
ố
cùng nhau ta có:
1 1
1 1
[ ] + [ ] ( 1)( 1)
a b
i i
ib ia
a b
a b
− −
= =
= − −

∑ ∑
.











12

CHƯƠNG 2
Các hàm số học
S
ố
ti
ế
t: 4 (Lý thuy
ế
t: 3 ti
ế
t; bài t
ậ
p, th
ả
o lu

ậ
n: 1 ti
ế
t)
*) Mục tiêu:

- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m: Hàm s
ố
h
ọ
c; hàm nhân; các hàm s
ố
h
ọ
c quan tr
ọ
ng:
hàm
( )
n
τ
và hàm
( )
n

σ
, hàm Euler
( )
n
ϕ
; s
ố
hoàn thi
ệ
n; Hàm Mobius.
- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các tính ch
ấ
t c
ủ
a các hàm s
ố
h
ọ
c; các hàm s
ố
h
ọ
c quan tr
ọ
ng: hàm
( )

n
τ
và hàm
( )
n
σ
, hàm Euler
( )
n
ϕ
, lu
ậ
t thu
ậ
n ngh
ị
ch.
- Sinh viên bi
ế
t v
ậ
n d
ụ
ng gi
ả
i các bài t
ậ
p liên quan.
2.1. Hàm nhân và công thức tổng trải
2.1.1. Hàm nhân

Định nghĩa 2.1.1.
M
ộ
t hàm s
ố
f
xác
đị
nh trên t
ậ
p
+
ℕ
(t
ậ
p các s
ố
nguyên d
ươ
ng) và nh
ậ
n các giá
tr
ị
trong các tr
ườ
ng các s
ố
ph
ứ

c
ℂ
,
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
hàm s
ố
h
ọ
c
. Nh
ư
v
ậ
y, m
ỗ
i hàm s
ố
h
ọ
c xác
đị
nh m
ộ
t ánh x
ạ

f
:
+
→
ℕ ℂ
.
Định nghĩa 2.1.2.
Hàm s
ố
h
ọ
c
f
khác hàm không,
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
hàm nhân
,
n
ế
u
(
)
(
)

(
)
f ab f a f b
=
v
ớ
i m
ỗ
i c
ặ
p s
ố
nguyên d
ươ
ng
,
a b
nguyên t
ố
cùng nhau.
2.1.2. Công thức tổng trải
Nh
ớ
r
ằ
ng trong các phát bi
ể
u và ch
ứ
ng minh c

ủ
a ph
ầ
n này, ta gi
ớ
i h
ạ
n ch
ỉ
nói
đế
n các
ướ
c
d
ươ
ng và
|
d n
∑
l
ấ
y theo t
ấ
t c
ả
các
ướ
c d
ươ

ng c
ủ
a
n
.
Định lí 2.1.4. ( Công thức tổng trải).
N
ế
u m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng n có phân tích tiêu chu
ẩ
n
1 2
1 2
s
s
n p p p
α
α α
=
⋯
,
thì v
ớ
i m

ọ
i hàm nhân f ta có
| 0 1
1 1
( ) ( ( )) (1 ( ))
i i
s s
i i
j j
d n j j
i i
f d f p f p
α α
= =
= =
= = +
∑ ∑ ∑
∏ ∏
.

2.1.3. Hàm
( )
n
τ
và hàm
( )
n
σ
cùng các số hoàn thiện
V

ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
, ta kí hi
ệ
u
( )
n
τ
là các
ướ
c s
ố
nguyên d
ươ
ng c
ủ
a
n
và
( )
n
σ
là t

ổ
ng
các
ướ
c nguyên d
ươ
ng c
ủ
a
n
. Khi
đ
ó d
ễ
th
ấ
y
,
τ σ
là nh
ữ
ng hàm s
ố
h
ọ
c.
Bổ đề 2.1.5.

N
ế

u n có phân tích chính t
ắ
c
1 2
1 2
s
s
n p p p
α
α α
=
⋯
thì
(i)

| 0
1
(1 )
i
s
m mj
i
d n j
i
d p
α
=
=
= +
∑ ∑

∏

(ii)

|
1
1 (1 )
s
i
d n
i
α
=
= +
∑
∏

(iii)

| 1
1
(1 )
i
s
j
i
d n j
i
d p
α

=
=
= +
∑ ∑
∏

Định lí 2.1.6.
Các hàm
τ
và
σ
là nh
ữ
ng hàm nhân.
Định nghĩa 2.1.7.
S
ố
nguyên d
ươ
ng
n

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t s
ố

hoàn thi
ệ
n
n
ế
u
( ) 2
n n
σ
=
.
Định lí 2.1.8. (Euclid- Euler)

M
ộ
t s
ố
ch
ẵ
n m là m
ộ
t s
ố
hoàn thi
ệ
n khi và ch
ỉ
khi m có d
ạ
ng

1
2 (2 1)
n n
m
−
= −
v
ớ
i
2 1
n
−
là s
ố
nguyên t
ố
.
2.1.4. Hàm Euler
( )
n
ϕ

S
ố
các s
ố
thu
ộ
c dãy
1, ,

n
…
nguyên t
ố
v
ớ
i
n
đượ
c lí kí hi
ệ
u là
( )
n
ϕ
. D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng
( )
n
ϕ
là
m
ộ
t hàm s
ố

h
ọ
c. Ng
ườ
i ta g
ọ
i hàm
( )
n
ϕ
là
hàm Euler.

13

Bổ đề 2.1.9.

N
ế
u p là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
thì
1
( ) 1, ( )
p p p p p
α α α

ϕ ϕ
−
= − = −
v
ớ
i
α
nguyên d
ươ
ng.
Bổ đề 2.1.10.
Hàm Euler là m
ộ
t hàm nhân.
Định lí 2.1.11.

N
ế
u m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n > 1 có phân tích tiêu chu
ẩ
n
1 2
1 2
s

s
n p p p
α
α α
=
…

thì
1
1
( ) (1 )
s
i
i
n n
p
ϕ
=
= −
∏
.
Hệ quả 2.1.12. (Hệ thức Gauss).
V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ

ng n > 1 ta có
|
( )
d n
d n
ϕ
=
∑
.
2.1.5. Một vài ví dụ về các hàm số học
Ví dụ 2.1.14.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng m, n ta luôn có:
(i)

( ) ( ) ( ).
m n mn
τ τ τ
+ ≥

(ii)

( ) ( ) ( ).

m n mn
σ σ σ
≥

(iii)

( ) ( ) ( ).
mn m n
ϕ ϕ ϕ
≥

(iv)

V
ớ
i
2
n
≥
ta có
( ) ( ) 2 .
n n n
σ σ
+ ≥

Ví dụ 2.1.15.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
| | '|( / )
( ) ( ) ( ') ( )
d n d n d n d
n
d g f d d
d
µ µ
=
∑ ∑ ∑
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n.
Ví dụ 2.1.16.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( ) (1 ln )
n n n
σ
< +
và

( )
2(1 ln )
n
n
n
ϕ
>
+
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên
d
ươ
ng n
đủ
l
ớ
n.
12.2. Hàm Mobius và Luật thuận nghịch
2.2.1. Hàm Mobius
Định nghĩa 2.2.1.
Hàm s
ố
h
ọ
c

µ

đượ
c xác
đị
nh b
ở
i
1 2
2
1 neu 1
( ) ( 1) neu co phan tich tieu chuan
0 neu chia het cho voi nguyen to
k
k
n
n n n p p p
n p p
µ
=


= − =




được gọi là hàm Mobius.
Bổ đề 2.2.2. Hàm Mobius là một hàm nhân.
Định lí 2.2.3. Nếu một số nguyên dương n có phân tích chính tắc

1 2
1 2

s
s
n p p p
α
α α
=
, còn
µ
là một
hàm Mobius và f là m
ột hàm nhân tùy ý, thì
|
1
( ) ( ) (1 ( ))
s
i
d n
i
d f d f p
µ
=
= −
∑
∏
.
Hệ quả 2.2.4. Với mỗi số nguyên n > 1, ta có
|

( ) 0
d n
d
µ
=
∑
.
2.2.2. Luật thuận nghịch
Đị
nh lí sau đây được gọi là Luật thuận nghịch Dedekind-Liouville.
Định lí 2.2.5. Cho f là một hàm nhân, và một hàm số học g được xác định bởi
|
( ) ( )
d n
g n f d
=
∑
.
Khi đó ta có
|
( ) ( ) ( )
d n
n
f n d g
d
µ
=
∑
.
Hệ quả 2.2.6. Cho một số nguyên n > 1 có phân tích tiêu chuẩn

1 2
1 2
s
s
n p p p
α
α α
=
…
.
Khi đó ra có các đẳng thức sau:

14

(i)
|
1
( ) 1
(1 )
s
d n
i
i
d
d p
µ
=
= −
∑
∏

(ii)

|
( ) ( )
d n
d n
d n
µ ϕ
=
∑

(iii)

|
( ) ( ) 1
d n
n
d
d
µ τ
=
∑

(iv)
|
( ) ( )
d n
n
d n

d
µ σ
=
∑

Định lí 2.2.7. Với mỗi số nguyên dương
2
n
≥
, ta kí hiệu
( )
n
δ
là tổng các bình phương nghịch
đảo các ước dương của n. Khi đó
δ
là một hàm nhân, và nếu n có phân tích tiêu chuẩn
1 2
1 2

s
s
n p p p
α
α α
=

thì
2( 1)
2 2 2

|
1
1
1 1
( )
1
i
s
i
d n
i
i
p
n
d n p
α
δ
+
=
−
= =
−
∑
∏

Định lí 2.2.8. Cho f là một hàm nhân. Khi đó với mọi số nguyên dương m và n ta luôn có
[
]
( , ) (( , )) ( ) ( )
f m n f m n f m f n

=

*) Tài liệu tham khảo:

[1] Dương Quốc Việt (2009), Lý thuyết số và đa thức, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà
Nội, Hà Nội.
[2] L
ại Đức Thịnh (1977), Giáo trình Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Hàm nhân và công thức tổng trải
2.1.1. Cho một số tự nhiên
1
p
>
. Chứng minh rằng p là một số nguyên tố khi và chỉ khi
( ) 1
p p
ϕ
= −
.
2.1.2. Cho một số tự nhiên
1
n
>
. Chứng minh rằng
0
( , ) 1
( )
2
k n

k n
n n
k
ϕ
≤ ≤
=
=
∑
.
2.1.3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n ta có
!
| 2 1
n
n
−
.
2.1.4. Chứng minh rằng nếu n lẻ thì
( ) ( ) (mod 2)
n n
σ τ
≡
.
2.1.5. Chứng minh rằng nếu
7 (mod 8)
n
≡
thì
( ) 0 (mod 8)
n
σ

≡
.
2.1.6. Tìm giá trị của n biết:
(i)

2 3
n
α β
=
và
( ) 8
n
ϕ
=
.
(ii)

3 4 5
n
α β γ
= và
( ) 48
n
ϕ
=

(iii)

25 7
n

α β
=
và
( ) 120
n
ϕ
=

2.1.7 Tìm giá trị của n biết:
(i)
( ) 12
n
ϕ
=

(ii)

( ) 17
n
ϕ
=


15

(iii)
( ) 24
n
ϕ
=

2.1.8 Chứng minh rằng:
1
1
( )
( , )
n
k
n
n k
ϕ
=
 
=
 
 
∑
.
2.1.9 Chứng minh rằng: nếu
23 (mod 24)
n
≡
thì
( ) 0 (mod 24)
n
σ
≡
.
2.1.10 Chứng minh rằng :
( )

n
τ
là một số lẻ khi và chỉ khi n là một số chính phương.
2.1.11 Chứng minh rằng: nếu p là một số nguyên tố và
2
n
≥
thì
2
1
( )
n
p
σ
−
là hợp số
2.1.12 Số tự nhiên n được gọi là một số thừa nếu
( ) 2
n n
σ
>
và được gọi là một số thiếu nếu
( ) 2
n n
σ
<
. Chứng minh rằng:
(i) Lũy thừa một số nguyên tố là một số thiếu.
(ii)
Có vô số số tự nhiên n thỏa mãn

( ) 2 1
n n
σ
= −
.
(iii)
Số lẻ chỉ có hai ước nguyên tố khác nhau là một số thiếu.
2.1.13 Tìm các số tự nhiên n biết rằng n có dạng phân tích tiêu chuẩn
r s
n p q
=
và
( ) 6, ( ) 28
n n
τ σ
= =
.
2.1.14 Cho dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên
r s
n p q
=
và
( ) 18)
n
τ
=
. Tính
2007
( )
n

τ
.
2.1.15 Cho hai số tự nhiên
, 1
m n
≥
. Chứng minh rằng:
[
]
( ) ( , ) ( , )
mn m n m n
ϕ ϕ
=

2.1.16 Chứng minh rằng nếu
( )
n s
ϕ
=
thì
2
log
2.3
s
n ≤
.
2.1.17 Giả sử
1
2 (mod 4)
k

i
i
a
=
≡
∏
. Chứng minh rằng:
(i)
Tồn tại j sao cho
2 (mod 4)
j
a ≡ .
(ii)
i
a
là số lẻ với mọi
i j
≠
.
2.1.18 Cho hai số nguyên dương
a
và
b
. Đặt
[
]
, , ( , )
n a b d a b
= =
. Chứng minh rằng:

(i)

( ) ( )
ab d n
ϕ ϕ
=
.
(ii)

( ) ( ) ( ) ( )
ab d d a b
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
.
(iii)

( ) ( ) ( ) ( )
a b d n
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
.
2.1.19 Cho một số nguyên tố
p
. Chứng minh rằng:
(i)
Nếu
1 (mod 4)
p
≡
thì

( ) 1 (mod 4)
k
p k
σ
≡ + .
(ii) Nếu
3 (mod 4)
p
≡
thì
1 (mod 4) (2 | )
( )
0 (mod 4) (2 | )
k
k
p
k
σ

=

/


2.1.20 Chứng minh rằng nếu
n
là một số hoàn thiện thì có nhiều vô hạn các số tự nhiên
m
thỏa
mãn

( ) 2( )
n n m
σ
= +
.
2.1.21 Chứng minh rằng: nếu
n
là một số hoàn thiện thì
|
2
1
p n
p
p
>
−
∏
.
2.1.22 Chứng minh rằng nếu số lẻ
n
là một số hoàn thiện thì
2
1
k
r m
i
i
n p q
=
=

∏
.
trong
đó
,
i
p q
là những số nguyên tố lẻ và
1 (mod 4)
p r
≡ ≡
.


16

2.2. Hàm Mobius và Luật thuận nghịch
2.2.1.
Cho dãy số nguyên tố bất kì
1 2 1
1, 3, 2, 1
n n
p p p p n
+
= ≥ − ≥ ≥
. Đặt
1
n
n i
i

s p
=
=
∑
. Chứng
minh r
ằng khi đó giữa
n
s
và
1
n
s
+
có ít nhất một số chính phương với mọi
n
nguyên dương.
2.2.2. Chứng minh rằng
n
n
p
p
   
−
 
 
   
chia hết cho
p
với

p
là một số nguyên tố và
n
là một số tự
nhiên l
ớn hơn
p
.
2.2.3. Chứng minh rằng :
|
( ) ( )
d n
n d
n d
ϕ µ
=
∑
.
2.2.4. Chứng minh rằng:
1
( )
n
k
k n
n
n k
τ
=
 
 

=
 
 
 
 
∑
.
2.2.5.
Tìm công th
ứ
c tính
|
( ) ( / )
d n
d n d
µ µ
∑
.
2.2.6.
Kí hi
ệ
u
1 1 1 1
!(1 ( 1)
1! 2! 3! !
n
n
D n
n
= − + − + + − . Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
1
( 1)
n
n n
D nD
−
= + −
và
2 1
( 1)( )
n n n
D n D D
+ +
= + +
.
2.2.7.
Hàm s
ố
h
ọ
c ( )
n
v n D
=
v
ớ

i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên n. H
ỏ
i
( )
v n
có ph
ả
i là hàm nhân hay không?
2.2.8.
T
ậ
p các hàm s
ố
h
ọ
c v
ớ
i phép toán x:
0
( x )( ) ( ) ( )
n
i
f g n f i g n i
=

= −
∑
có nh
ữ
ng tính ch
ấ
t gì?
2.2.9.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
!
n n
n n
e n en
e e
   
< <
   
   
, v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ

ng n.
2.2.10.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2
|
1 1 ( )
( ) ( )
d n
d
n n d
µ
ϕ ϕ
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên
2
n
≥
.

17

CHƯƠNG 3
Lý thuyết đồng dư
S
ố
ti
ế
t: 8 (Lý thuy
ế
t: 5 ti
ế

t; bài t
ậ
p, th
ả
o lu
ậ
n: 3 ti
ế
t)
*) Mục tiêu:

- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m: quan h
ệ

đồ
ng d
ư
, th
ặ
ng d
ư
, vành các l
ớ
p th

ặ
ng d
ư

n
ℤ
, c
ă
n nguyên th
ủ
y, ch
ỉ
s
ố
.
- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các tính ch
ấ
t c
ủ
a quan h
ệ

đồ
ng d
ư
, vành các l

ớ
p th
ặ
ng d
ư
, c
ă
n
nguyên th
ủ
y và ch
ỉ
s
ố
.
- Sinh viên v
ậ
n d
ụ
ng gi
ả
i các bài t
ậ
p liên quan.
3.1. Quan hệ đồng dư và thặng dư
3.1.1 Quan hệ đồng dư
Định nghĩa 3.1.1.
Cho m
ộ
t s

ố
nguyên d
ươ
ng m. Hai s
ố
nguyên a
và
b
đượ
c
gọ
i
là đồ
ng d
ư

modulo m n
ế
u hi
ệ
u a – b chia h
ế
t cho m. N
ế
u a
đồ
ng d
ư
v
ớ

i b modulo m,
thì
ta vi
ế
t
a b
≡
(mod
m)
và gọ
i
đó là
m
ộ
t
đồ
ng d
ư
th
ứ
c.
Nhận xét 3.1.2.

a b
≡
(mob m) khi
và chỉ
khi a
và
b chia cho m (v

ớ
i Thu
ậ
t
toá
n Euclid)
thì
nh
ậ
n
cù
ng m
ộ
t s
ố
d
ư
.
Mệnh đề 3.1.3.
Cho m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng m. Khi
đó
ta
có
:

(i)
a b
≡
( mod m) khi
và chỉ
khi
a b mt
≡ +
v
ớ
i
t
∈
ℤ
.
(ii) Quan h
ệ đồ
ng d
ư
modulo m
là
m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trong t

ậ
p
ℤ
.
Định nghĩa 3.1.4.
Cho
cá
c l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng theo quan h
ệ đồ
ng d
ư
modulo m
đượ
c
gọ
i
là cá
c l
ớ
p
th
ặ
ng d
ư

modulo m.
Mệnh đề 3.1.5.
S
ố cá
c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo m
đú
ng b
ằ
ng m.
3.1.2. Hệ thặng dư
Định nghĩa 3.1.7.
N
ế
u t
ừ
m
ỗ
i l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo m ta l

ấ
y ra m
ộ
t
đạ
i di
ệ
n,
thì
t
ậ
p h
ợ
p
cá
c l
ớ
p
đạ
i di
ệ
n
đó đượ
c
gọ
i
là
m
ộ
t h

ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
modulo m. N
ế
u t
ừ
m
ỗ
i l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo m ta
l
ấ
y ra m
ộ
t
đạ
i di
ệ

n không âm
bé
nh
ấ
t,
thì
t
ậ
p h
ợ
p
cá
c
đạ
i di
ệ
n
đó đượ
c
gọ
i
là
m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
không âm
bé
nh
ấ
t modulo m.
Nhận xét 3.1.8.
T
ừ đị
nh
nghĩ
a
củ
a m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
ta suy ra: M
ộ

t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
modulo m
là
m
ộ
t h
ệ
s
ố
g
ồ
m m s
ố
nguyên,
đ
ôi m
ộ
t không d
ư
modulo m.
H

ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
không âm
bé
nh
ấ
t modulo m
là
{
}
0,1, , 1
m
−
.
Cò
n h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ

y
đủ
v
ớ
i
giá trị
tuy
ệ
t
đố
i
nhỏ
nh
ấ
t modulo m
đượ
c
xá
c
đị
nh nh
ư
sau:
+
1 1 1
, 1, ,
2 2 2
m m m
− − −
 

− − +
 
 
khi m
lẻ và

+
, 1, , 1
2 2 2
m m m
 
− − + −
 
 
ho
ặ
c
1, 2, ,
2 2 2
m m m
 
− + − +
 
 
khi m ch
ẵ
n

18

Định lí 3.1.10.
Cho m
là
m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng
và
a, b
là
nh
ữ
ng s
ố
nguyên, v
ớ
i a nguyên t
ố
v
ớ
i
m. Khi
đó
n
ế
u x l
ấ

y
giá trị
trong
toà
n b
ộ
m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
modulo m,
thì
ax + b
cũ
ng l
ấ
y
giá trị
trong
toà
n b
ộ

m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ nà
o
đó
modulo m.
3.1.3. Tính chất của đồng dư thức
(i)

N
ế
u
h d
=
i i
a b
≡
(mod m) v
ớ
i i = 1,…,n,
thì

1 1
n n
i i
i i
a b
= =
≡
∑ ∑
(mod m)
(ii)

N
ế
u
a b c
≡ +
(mod m)
thì
a c b
− ≡
(mod m)
(iii)

N
ế
u
a b
≡
(mod m)
thì

a hm b
+ ≡
(mod m)
(iv)

N
ế
u
i i
a b
≡
(mod m) v
ớ
i
1, ,
i n
=
,
thì
1 1
n n
i i
i i
a b
= =
≡
∏ ∏
(mod m)
(v)

N
ế
u
a b
≡
(mod m)
thì
ah bh
≡
(mod m)
(vi)

N
ế
u
i i
a b
≡
(mod m) v
ớ
i
1, ,
i n
=
và
x y
≡
(mod
m
),

thì

1 1
n n
i i
i i
i i
a x b y
= =
≡
∑ ∑
(mod
m
)
(vii)

N
ế
u
a b
≡
(mod
m
)
và
d
∈
Ư
C
( , )

a b
v
ớ
i (
m,d
) = 1,
thì

a b
d d
≡
(mod
m
)
(viii)

N
ế
u
a b
≡
(mod
m
)
thì
(mod )
ah bh mh
≡

(ix)

N
ế
u
a b
≡
(mod
m
)
và
d
∈
Ư
C
( , , )
a b m
thì

a b
d d
≡
(mod
m
d
)
(x)

N
ế
u

a b
≡
(mod
m
)
thì
( , ) ( , )
a m b m
=

(xi)

( ) (mod )
n n
am b b m
+ ≡

Định nghĩa 3.1.12.

( , )
a m

đượ
c cho b
ằ
ng (
b,m
) v
ớ
i m

ộ
t s
ố
b a
∈
. Khi
( , )
a m
= 1
thì
l
ớ
p
a

đượ
c
gọ
i
là
m
ộ
t
l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
nguyên t

ố
v
ớ
i mô
đ
un m.

Định nghĩa 3.1.15.
N
ế
u t
ừ
m
ỗ
i l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
nguyên t
ố
v
ớ
i modulo
m
, ta l
ấ
y ra m
ộ

t
đạ
i di
ệ
n,
thì
t
ậ
p
cá
c
đạ
i di
ệ
n
đó đượ
c
gọ
i
là
m
ộ
t
h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu

gọ
n modulo m.

Nhận xét 3.1.16.
Thông th
ườ
ng, ta
chọ
n h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu
gọ
n modulo
m
t
ừ
m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ

y
đủ
không âm
bé
nh
ấ
t
{
}
0,1, , 1
m
−
.
Vì
r
ằ
ng s
ố cá
c s
ố
trong t
ậ
p
{
}
0,1, , 1
m
−
nguyên t
ố

v
ớ
i
m

là
( )
m
ϕ
, nên s
ố cá
c ph
ầ
n t
ử củ
a m
ộ
t h
ệ
thu
gọ
n modulo
m
là
( )
m
ϕ
.
Định lí 3.1.18.

Cho m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng m
và
m
ộ
t s
ố
nguyên a nguyên t
ố
v
ớ
i m. Khi
đó
n
ế
u x
l
ấ
y
giá trị
trong
toà
n b
ộ
m

ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu
gọ
n modulo m,
thì
ax
cũ
ng l
ấ
y
giá trị
trong
toà
n b
ộ
m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu

gọ
n
nà
o
đó
modulo m.
Đinh lí 3.1.19.

N
ế
u m
và
k
là cá
c s
ố
nguyên d
ươ
ng,
thì
m
ỗ
i l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo m
là

t
ậ
p h
ợ
p
củ
a
đú
ng k l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo km.
3.2. Vành
m
ℤ

3.2.1 Vành
m
ℤ
các lớp thặng dư modulo m.

19

Cho t
ậ
p th
ươ

ng
m
ℤ
=
{
}
|
a a
∈
ℤ
cá
c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo
m
.
Để
bi
ế
n t
ậ
p
nà
y
thà
nh m

ộ
t
và
nh ta
đị
nh
nghĩ
a hai quy t
ắ
c c
ộ
ng
và
nhân
cá
c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
nh
ư
sau
a b a b
+ = +
và
.
a b ab
=

v
ớ
i
mọ
i
,
a b
∈
ℤ

Khi
đó để
ki
ể
m tra
đượ
c
cá
c quy t
ắ
c
nà
y
là
nh
ữ
ng
phé
p
toá

n,
và gọ
i
là phé
p
toá
n c
ộ
ng
và
nhân
cá
c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo
m
.
Cũ
ng d
ễ
ki
ể
m tra
đượ
c r
ằ

ng, hai
phé
p
toá
n
nà
y
sẽ là
m cho
m
ℤ
l
ậ
p
thà
nh m
ộ
t
và
nh giao
hoá
n
có đơ
n
vị
1
và
ph
ầ
n t

ử
không
0
.
Định nghĩa 3.2.1
. Cho m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng
m
. Khi
đó và
nh
m
ℤ
v
ớ
i hai
phé
p
toá
n c
ộ
ng
và
nhân
cá

c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo
m
,
đượ
c
gọ
i
là và
nh
cá
c l
ớ
p th
ặ
ng d
ư
modulo m.
L
ớ
p
m
a ∈
ℤ
đượ

c
gọ
i
là
m
ộ
t
l
ớ
p
khả nghị
ch, n
ế
u t
ồ
n
tạ
i
m
b ∈
ℤ
để
. 1
a b
=
.
Định lí 3.2.3.

L
ớ

p
m
a ∈
ℤ
là khả nghị
ch n
ế
u
và chỉ
n
ế
u
( , ) 1
a m
=
.
Đinh lí 3.2.4.
*
m
ℤ
là
m
ộ
t
nhó
m nhân giao
hoá
n
có
c

ấ
p
là
( )
m
ϕ

Nhận xét 3.2.5
. Khi
m p
=
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
,
thì mọ
i ph
ầ
n t
ử khá
c không trong
p
ℤ
đề
u
khả

nghị
ch. Do
đó
p
ℤ
là
m
ộ
t tr
ườ
ng
và
*
p
ℤ
có

( ) 1
p p
ϕ
= −
ph
ầ
n t
ử

3.2.2.Định lí Euler và Định lí Fermat
Định lí 3.2.6. (Euler)

Cho m nguyên d

ươ
ng. Khi
đó
v
ớ
i
mọ
i s
ố
nguyên a nguyên t
ố
v
ớ
i m, ta
có
đồ
ng d
ư
th
ứ
c
( )
1(mod )
m
a m
ϕ
≡

Định lí 3.2.7. (Fermat nhỏ)

N
ế
u m
ộ
t s
ố
nguyên a không chia h
ế
t cho s
ố
nguyên t
ố
p,
thì

1
1(mod )
p
a p
−
≡

Hệ quả 3.2.8.

N
ế
u p
là
m
ộ

t s
ố
nguyên t
ố thì
(mod )
p
a a p
≡
v
ớ
i
mọ
i
a
∈
ℤ
.
3.3 Căn nguyên thủy và chỉ số.
3.3.1.Căn nguyên thủy
Định nghĩa 3.3.1.
Cho s
ố
nguyên
m
> 1
và
s
ố
nguyên
a

nguyên t
ố
v
ớ
i
m
. Khi
đó
s
ố
nguyên
d
ươ
ng
d
nhỏ
nh
ấ
t sao cho
1(mod )
d
a m
≡
đượ
c
gọ
i
là
s
ố mũ củ

a
a
modulo
m
, hay
cò
n
gọ
i
là
a

thu
ộ
c s
ố mũ
d
modulo
m
.
Vì
( )
1(mod )
m
a m
ϕ
≡
theo
đ
inh

lí
Euler nên s
ố mũ
d
củ
a s
ố
nguyên
a
t
ồ
n
tạ
i.
Mệnh đề 3.3.3.

Cho m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng m. Khi
đó
ta luôn
có
:
(i)

S

ố mũ
d
củ
a a modulo m
là ướ
c
củ
a
( )
m
ϕ

(ii)

N
ế
u
(mod )
a b m
≡
thì
a
và
b
cù
ng thu
ộ
c s
ố mũ
modulo m

(iii)

N
ế
u a thu
ộ
c s
ố mũ
d modulo m,
thì
0 1 1
, , ,
d
a a a
−

đ
ôi m
ộ
t không
đồ
ng d
ư
v
ớ
i nhau
modulo m

20

(iv)

N
ế
u a thu
ộ
c s
ố mũ
d modulo m
và
s
là
m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng sao cho
( , ) 1
s d
=
,
thì
s
a

cũ
ng thu
ộ

c s
ố mũ
d
(v)

N
ế
u a thu
ộ
c s
ố mũ
d modulo m,
thì
0 1 1
, , , (mod )
d
x a a a m
−
≡
là cá
c nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
củ
a ph
ươ
ng
trì

nh
1(mod )
d
x m
≡
.
Mệnh đề 3.3.6.
Cho m
ộ
t s
ố
nguyên m >
1
và
m
ộ
t s
ố
nguyên g. Khi
đó
ta
có
:
(i)

g
là
c
ă
n nguyên

thủ
y modulo m khi
và chỉ
khi
*
m
ℤ

là
m
ộ
t
nhó
m cyclic sinh b
ở
i
g

(ii)

g
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo m khi
và chỉ
khi
0 1 ( ) 1

, , ,
m
g g g
ϕ
−
l
ậ
p
thà
nh m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu
gọ
n modulo m.
(iii)
N
ế
u g
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo m,

thì
s
g
là
c
ă
n nguyên th
ủ
y modulo m n
ế
u
và chỉ
n
ế
u
( , ( )) 1
s m
ϕ
=
.
Bổ đề 3.3.7.
N
ế
u a
và
b thu
ộ
c s
ố mũ
d

1
và
d
2
t
ươ
ng
ứ
ng modulo m v
ớ
i (d
1
,d
2
) =
1
thì
ab thu
ộ
c s
ố
mũ
d
1
d
2
.
Hệ quả 3.3.8.

N

ế
u
1 2
, , ,
n
a a a
thu
ộ
c
cá
c s
ố mũ
t
ươ
ng
ứ
ng
đ
ôi m
ộ
t nguyên t
ố cù
ng nhau
1 2
, , ,
n
d d d
thì
1 2
, , ,

n
a a a
thu
ộ
c s
ố mũ
1 2
, , ,
n
d d d
.
Định lí 3.3.9. Chỉ có cá
c s
ố
2, 4
ho
ặ
c
cá
c s
ố có dạ
ng
, 2
n n
p p
v
ớ
i
p
nguyên t

ố lẻ và
n
nguyên
d
ươ
ng,
là có
c
ă
n nguyên
thủ
y.
Hệ quả 3.3.11.
N
ế
u p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố thì nhó
m nhân
*
p
ℤ
là
m
ộ

t
nhó
m cyclic.
Định lí 3.3.12. Giả
s
ử
g
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo p v
ớ
i p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố lẻ và
0
< g < p.
Khi
đó
t
ồ
n
tạ

i b sao cho
0
< b < p, gb
≡

1
(
mod
p)
và
b
cũ
ng
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo p. H
ơ
n
n
ữ
a ho
ặ
c g ho
ặ
c b
là
c

ă
n nguyên
thủ
y modulo p
2

Định lí 3.3.13.
N
ế
u p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố lẻ và
g
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo p
2
thì
g
là
c
ă

n
nguyên
thủ
y modulo p
n
v
ớ
i
mọ
i n
≥
2
.
Định lí 3.3.14.

Cho m
ộ
t s
ố
nguyên m >
1
. Khi
đó
*
m
ℤ
là
m
ộ
t

nhó
m cyclic khi
và chỉ
khi m
là
2, 4
ho
ặ
c
cá
c s
ố có dạ
ng p
n
,
2
p
n
v
ớ
i c
ặ
p p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố lẻ và

n nguyên d
ươ
ng.
3.3.2. Chỉ số.
Trong ph
ầ
n
nà
y
chú
ng ta luôn
kí
hi
ệ
u
n
m p
=
ho
ặ
c
2
n
m p
=
và
g
là
c
ă

n nguyên
thủ
y d
ươ
ng
bé
nh
ấ
t
xá
c
đị
nh modulo
m
.
Ta bi
ế
t r
ằ
ng khi
đó
{
}
0 1 ( ) 1
*
, , ,
m
m
g g g
ϕ

−
=
ℤ …
và
{
}
0 1 ( ) 1
, , ,
m
g g g
ϕ
−
…
là
m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu
gọ
n
modulo
m
.
Định nghĩa 3.3.15.
Cho m

ộ
t s
ố
nguyên
a
nguyên t
ố
v
ớ
i
m
. Khi
đó
n
ế
u
(mod )( 0).
d
a g m d
≡ ≥

thì
d
đượ
c
gọ
i
là chỉ
s
ố củ

a
a
modulo
m
v
ớ
i c
ơ
s
ố
g
.

21

Kí
hi
ệ
u
d
=
ind
g
a

hay
d
=
ind
a

khi
g
đã xá
c
đị
nh. D
ễ
dàng
chỉ
ra n
ế
u
d
=
ind
g
a
thì
s
ố
'
d

không âm
mà
' (mod ( ))
d d m
ϕ
≡
cũ

ng
là chỉ
s
ố củ
a
a
modulo
m
.
Bổ đề 3.3.16. Chỉ
s
ố cá
c
tí
nh ch
ấ
t sau:
(i)

a
≡
b
(mod ( ))
m
ϕ
n
ế
u
và chỉ
n

ế
u
ind
g
a
≡
ind
g
b
(mod ( ))
m
ϕ
.
(ii)


ind
g
g
k
≡
k
(mod ( ))
m
ϕ
.
(iii)

ind
g

1
=
0
và
ind
g
g
≡
1
(mod ( ))
m
ϕ
.

(iv)


ind
g
(ab)
≡
ind
g
a +
ind
g
b
(mod ( ))
m
ϕ

.

(v)


ind
g
(
a
1
a
2
…a
n
)
≡

ind
g
a
1
+
ind
g
a
2
+ … +
ind
g
a

n

(mod ( ))
m
ϕ
.
(vi)

N
ế
u a chia h
ế
t cho b
thì
ind
g
(
a
b
)=
ind
g
a –
ind
g
b
Định lí 3.3.18.

Cho m
ộ

t s
ố
nguyên t
ố
p. Khi
đó
ta
có cá
c k
ế
t
quả
sau
đ
ây:
(i)

V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên a nguyên t
ố
v
ớ
i p., khi
đó
a thu

ộ
c s
ố mũ
δ
modulo p n
ế
u
và chỉ
n
ế
u
1
( , 1)
p
inda p
δ
−
=
−
. Suy ra a
là
c
ă
n nguyên
thủ
y modulo p n
ế
u
và chỉ
n

ế
u (
ind
a, p –
1
)
= 1.

(ii)

Cho
δ
là
m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên cho tr
ướ
c,
và là ướ
c
củ
a (p –
1
). Khi
đó
trong m

ộ
t h
ệ
th
ặ
ng
d
ư
thu
gọ
n modulo p
có
( )
ϕ δ
s
ố
thu
ộ
c
mũ
δ
modulo p. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p riêng
có
( 1)
p
ϕ

−
c
ă
n
nguyên
thủ
y modulo p.
*) Tài liệu tham khảo:

[1] D
ươ
ng Qu
ố
c Vi
ệ
t (2009),
Lý thuy
ế
t s
ố
và
đ
a th
ứ
c,
Nhà xu
ấ
t b
ả
n

Đạ
i h
ọ
c s
ư
ph
ạ
m Hà
N
ộ
i, Hà N
ộ
i.
[2] L
ạ
i
Đứ
c Th
ị
nh (1977),
Giáo trình S
ố
h
ọ
c
, Nhà xu
ấ
t b
ả
n Giáo d

ụ
c, Hà N
ộ
i.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3.1. Quan hệ đồng dư và thặng dư
3.1.1.

Hã
y ch
ứ
ng minh t
ấ
t
cả cá
c k
ế
t
quả cò
n ch
ư
a ch
ứ
ng minh trong ph
ầ
n
lí
thuy
ế
t.

3.1.2.
Cho
p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
. Ch
ứ
ng minh
( )
p p p
a b a b
+ ≡ +
(mod p).
3.1.3.
Cho
dã
y s
ố
{
}
n
a
đượ
c
xá

c
đị
nh nh
ư
sau:
1 2 3 4
1, 9, 9, 6
a a a a
= = = =

và
4
n
a
+
b
ằ
ng ch
ữ
s
ố
t
ậ
n
cù
ng
củ
a
3 2 1
2 3 4

n n n n
a a a a
+ + +
+ + +
v
ớ
i
2 2 2 2 2
2000 2001 2002 2003 2004
a a a a a
+ + + +
,
1
n
≥
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
2 2 2 2 2
2000 2001 2002 2003 2004
a a a a a
+ + + +
không chia h
ế
t cho 4
3.1.4.

Tì
m 2 ch
ữ
s
ố
t
ậ
n
cù
ng
củ
a
cá
c s
ố
9
9
9
7
và
9
9
9
.
3.1.5. Xé
t
dã
y s
ố
nguyên

{
}
n
a
xá
c
đị
nh nh
ư
sau:
1 2 3 3 1 2
1990, 1989, 2000, 9 19 1991, 1
n
n n n
a a a a a a a n
+ + +
= = = = + + + ≥
.
(i)
Gọ
i
n
r
là
s
ố
d
ư

củ

a
phé
p chia
n
a
cho 1992. ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
dã
y
{
}
n
r
tu
ầ
n
hoà
n

22

(ii)

Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng t
ồ
n
tạ
i s
ố
a
củ
a
dã
y trên sao cho
1992 1975 1954 1945 1930 2
5 4 5 8 2 11 48
a a a a a a
+ + + + + +
chia h
ế
t cho 1992
3.1.6.

Tì
m h
ệ
th
ặ
ng d
ư
thu
gọ
n theo

cá
c modulo: 6;10;12;15;16.
3.1.7.
Cho
, ,a b c
∈
ℤ
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
100 10 0
a b c
+ + ≡
(mod 21) khi
và chỉ
khi
2 4 0(mod 21)
a b c
− + ≡
.
3.1.8.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế

u p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố lẻ thì
ta
có

2
( 2) 2( 1)
p p
p p p
+
+ + +
⋮

3.1.9.
Cho m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
3
p
>
. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng d
ư
c
ủ
a
phé
p chia s
ố
2
1
( 1)
p
j
j
=
+
∏
cho p
là
0
ho
ặ
c 4.
3.2. Vành
n
ℤ

3.2.1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên t
ố
p
có
vô s
ố
s
ố
t
ự
nhiên n
để
2 (mod )
n
n p
≡
.
3.2.2.
V

ớ
i s
ố
nguyên t
ố
p > 7
hã
y
chỉ
ra
3 2 1(mod 42 )
p p
p
− ≡
.
3.2.3.
Cho n
là
m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên
lẻ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
!
2 1(mod )
n
n
≡
.
3.2.4.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
{
}
*
7
3 / 1, ,6
n
n= =
ℤ

3.2.5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m

ỗ
i s
ố
nguyên t
ố
p không t
ồ
n
tạ
i
cá
c s
ố
nguyên a,n v
ớ
i n<1 sao cho
2 3
p p n
a
+ =
.
3.2.6.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
( ,561) 1

a
=
thì
560
1(mod561)
a ≡
.
3.2.7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 1
n
−
không chia h
ế
t cho n v
ớ
i
mọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n>1.
3.2.8.
Cho
( , ) 1

a n
=
thỏ
a
mã
n
1
1(mod )
n
a n
−
≡
và
1
k
a
−
không chia h
ế
t cho n v
ớ
i
mọ
i s
ố
nguyên
d
ươ
ng k
là ướ

c
củ
a n – 1 , k < n –1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
.
3.2.9. Tì
m s
ố
d
ư
trong
phé
p chia s
ố
2006 2007 20086 18
(2005 2006 2007 )
+ + chia 53.
3.2.10.
Cho m
ộ

t s
ố
nguyên t
ố
p > 3. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u d
ư

củ
a
phé
p chia s
ố
p cho 8 b
ằ
ng 1
thì
1
2
2 1
p−
−
chia h
ế
t cho

p
.
3.2.11.
Cho
( , ) 1
a m
=
và
d
là
m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng
nhỏ
nh
ấ
t sao cho
1(mod )
d
a m
≡
. Ch
ứ
ng
minh r
ằ

ng:
(i)

1(mod )
n
a m
≡
khi
và chỉ
khi
0(mod )
n d
≡

(ii)

(mod )
n k
a a m
≡ khi
và chỉ
khi
(mod )
n k d
≡

3.2.12.
Cho
( , ) 1
a m

=
và
d
là
s
ố
nguyên d
ươ
ng
nhỏ
nh
ấ
t sao cho
1(mod )
d
a m
≡
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
d
là ướ
c
củ
a
( )
m

ϕ
.

23

3.2.13.

Kí
hi
ệ
u
2
2 1
n
n
f
= +
v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
n
(
n
f

đượ
c
gọ
i
là
s
ố
Fermat th
ứ
n
). Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng:
(i)

2 2 0(mod )
n
f
n
f
− ≡
(ii)

( , ) 1
n m
f f
=

v
ớ
i
mọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
m n
≠
.

(iii)

5
0(mod 641)
f
≡

3.2.14
. Cho
p
> 1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
cá
c m

ệ
nh
đề
sau
là
t
ươ
ng
đươ
ng:
(i)

p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố

(ii)

0(mod )
k
p
C p
≡
v
ớ

i
mọ
i
k
= 1,2,…,
p
– 1
(iii)

1
( 1) (mod )
k k
p
C p
−
≡ −
v
ớ
i
mọ
i
k
= 0,1,…,
p
– 1
3.2.15.
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng v
ớ
i
mọ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
ta
có
4 1
3
2 3
n+
+
chia h
ế
t cho 11
3.2.16.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
7
7
7 7
7 7

7 7
7 7
−
chia h
ế
t cho 10
cò
n s
ố

5555 2222
2222 5555
+
chia h
ế
t cho 7 .
3.2.17.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: N
ế
u
p
là
m
ộ
t s
ố

nguyên t
ố lẻ thì
1(mod )
r
a p
≡
khi
và chỉ
khi
1
1(mod )
p r
a p
+
≡
3.2.18.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: N
ế
u
m, n
nguyên d
ươ
ng sao cho
( , ) 1
m n
=

,
thì
( ) ( )
1(mod )
n m
m n mn
ϕ ϕ
+ ≡
3.3. Căn nguyên thủy và chỉ số
3.3.1.
Cho bi
ế
t
cá
c
nhó
m sau, nh
ó
m
nà
o
là nhó
m cyclic:
* * *
10 14 12
; ;
ℤ ℤ ℤ
.
Hã
y

tì
m
cá
c h
ệ
sinh c
ự
c
ti
ể
u
củ
a
cá
c
nhó
m
nà
y.
3.3.2. Tì
m c
ă
n nguyên
thủ
y modulo 47.
3.3.3. Tì
m c
ă
n nguyên
thủ

y modulo 16.
3.3.4.
Liên h
ệ
v
ớ
i
lí
thuy
ế
t
để phá
t bi
ể
u
cá
c k
ế
t
quả và khá
i ni
ệ
m nêu trong
lí
thuy
ế
t, theo ngôn
ng
ữ củ
a

nhó
m.
3.3.5.
Cho
,
m n
là
nh
ữ
ng s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n 1 nguyên t
ố cù
ng nhau.
Giả
s
ử
m
n

là
m
ộ
t s
ố
th

ậ
p
phân vô
hạ
n tu
ầ
n
hoà
n
có
chu
kì
g
ồ
m
a
ch
ữ
s
ố
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
là
s
ố mũ củ
a 10 modulo

n
.
3.3.6.
Cho
p
là
m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố lẻ
,
a
là
s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n 1.
Hã
y ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)
Mọ

i
ướ
c nguyên t
ố lẻ củ
a
1
p
a
−
thì
ho
ặ
c
là ướ
c
củ
a
1
a
−
ho
ặ
c
là ướ
c
có dạ
ng
2 1
pn
−

.
(ii)
Mọ
i
ướ
c nguyên t
ố lẻ củ
a
1
p
a
+
thì
ho
ặ
c
là ướ
c
củ
a
1
a
+
ho
ặ
c
là ướ
c
có dạ
ng

2 1
pn
+
.
(iii)
Có
vô s
ố
s
ố
nguyên t
ố có dạ
ng
2 1
pn
+
.



24

CHƯƠNG 4
Phương trình đồng dư
S
ố
ti
ế
t: 9 (Lý thuy
ế

t: 6 ti
ế
t; bài t
ậ
p, th
ả
o lu
ậ
n: 3 ti
ế
t)

Mục tiêu:

- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m v
ề
: ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư
m
ộ

t
ẩ
n, ph
ươ
ng trình
đồ
ng
d
ư
m
ộ
t
ẩ
n b
ậ
c cao, ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư
b
ậ
c hai.
- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các tính ch
ấ

t và cách gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư
.
- Sinh viên bi
ế
t v
ậ
n d
ụ
ng gi
ả
i các bài t
ậ
p liên quan.
4.1. Phương trình đồng dư 1 ẩn
4.1.1 Khái niệm phương trình đồng dư
Định nghĩa 4.1.1.
Cho
m
là m
ộ
t s
ố
nguyên d

ươ
ng và
0 1
, , ,
n
a a a
là các s
ố
nguyên. Khi
đ
ó
đồ
ng
d
ư
th
ứ
c ch
ứ
a bi
ế
n
x
có d
ạ
ng
(
)
1
0 1 1

0 mod
n n
n n
a x a x a x a m
−
−
+ + + + ≡
(1)
Đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư

ẩ
n

x
. N
ế
u
0
0

a
≡
/
(mod
m
), thì (1)
đượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng
trình
đồ
ng d
ư
b
ậ
c
n
. Vi
ệ
c tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
nguyên c
ủ

a
x
th
ỏ
a mãn (1)
đượ
c g
ọ
i là
gi
ả
i
ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư
.
Định nghĩa 4.1.2.
Cho ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư

(
)
(

)
1
0 1 1
0 mod
n n
n n
f x a x a x a x a m
−
−
= + + + + ≡
. (*)
S
ố
nguyên
α

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t nghi
ệ
m
đ
úng c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*), và vi

ế
t là
x
=
α
, n
ế
u
f
(
α
)
0
≡

(mod
m
). L
ớ
p
(mod )
m
α

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*), và vi
ế
t là
(
)
mod
x m
α
≡
, n
ế
u m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
(mod )
m
α

đề

u là m
ộ
t nghi
ệ
m
đ
úng c
ủ
a (*).
Bổ đề 4.1.3.

N
ế
u ph
ươ
ng trình
(
)
1
0 1 1
( ) 0 mod
n n
n n
f x a x a x a x a m
−
−
= + + + + ≡
có nghi
ệ
m

đ
úng
α
thì nó c
ũ
ng nh
ậ
n
(
)
mod
x m
α
≡
làm nghi
ệ
m.

Nhận xét 4.1.4.
Ta có m
ộ
t vài nh
ậ
n xét d
ướ
i
đ
ây khi gi
ả
i ph

ươ
ng trình (1).
(i)

Ta có th
ể

đư
a t
ấ
t c
ả
các h
ệ
s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
c
ủ
a ph
ươ
ng trình v
ề
các s
ố
không âm, nh

ỏ
h
ơ
n
m
.
(ii)

T
ậ
p các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) nh
ằ
m trong t
ậ
p
{0, 1, , 1}
m
−
. Vì v
ậ
y, ta ch
ỉ
c
ầ
n tìm t
ấ

t c
ả
các
nghi
ệ
m
đ
úng c
ủ
a (1) n
ằ
m trong t
ậ
p
{0,1, , 1}
m
−
là suy ra t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m hay nghi
ệ
m
đ
úng.
Do
đ

ó v
ề
nguyên t
ắ
c, (1) bao gi
ờ
c
ũ
ng gi
ả
i
đượ
c, vì ta ch
ỉ
vi
ệ
c duy
ệ
t các nghi
ệ
m
đ
úng c
ủ
a nó
trên m
ộ
t h
ệ
th

ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
nào
đ
ó.
(iii) Th
ự
c ch
ấ
t c
ủ
a vi
ệ
c gi
ả
i (1) chính là
đ
i gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1
0 1
( ) 0 (mod m)

n n
n
f x a x a x a
−
= + + + ≡
trên vành
n
Z
.
Định nghĩa 4.1.6.
Hai ph
ươ
ng trình
đồ
ng d
ư

đượ
c g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng n
ế
u chúng có cùng m
ộ
t
t

ậ
p nghi
ệ
m
đ
úng.

25

Mệnh đề 4.1.7.

Cho
1
0 1
( ) [ ]
n n
n
f x a x a x a x
−
= + + + ∈
Z
khi
đ
ó ta có m
ộ
t s
ố
phép bi
ế
n

đổ
i t
ươ
ng
đươ
ng sau
đ
ây:
(i)

( ) 0 (mod )
f x m
≡
t
ươ
ng
đươ
ng
( ) 0 (mod )
f x mb m
+ ≡
.
(ii)

( ) 0 (mod )
f x m
≡
t
ươ
ng

đươ
ng
. ( ) 0 (mod )
a f x m
≡
.
(iii)

( ) 0 (mod )
f x m
≡
t
ươ
ng
đươ
ng
. ( ) 0 (mod )
a f x am
≡
v
ớ
i a > 0,
a
∈
Z
.
(iv)

N
ế

u
0 1
( , , , )
n
d UC a a a
∈
và (d, m) = 1 thì
( ) 0 (mod )
f x m
≡
t
ươ
ng
đươ
ng
0
0 (mod )
n
n
a a
x m
d d
+ + ≡

(v)

N
ế
u
0 1

( , , , )
n
d UC a a a
∈
và d > 0 thì
( ) 0 (mod )
f x m
≡
t
ươ
ng
đươ
ng
0
0 (mod )
n
n
a a
m
x
d d d
+ + ≡
.
4.1.2. Phương trình đồng dư bậc nhất

Định nghĩa 4.1.8.
Ph
ươ
ng trình
đồ

ng d
ư
b
ậ
c nh
ấ
t
ẩ
n
x
là ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng sau
đ
ây:
(mod )
ax b m
≡
(2)
trong
đ
ó
, , 0(mod )
a b a m
∈ ≡
/
Z
.

Mệnh đề 4.1.9.

N
ế
u

(a, m) =
1
thì ph
ươ
ng trình (2) có
đ
úng m
ộ
t nghi
ệ
m.
Mệnh đề 4.1.10.

N
ế
u (a, m) = d thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi d | b. Khi
đ
ó nó s

ẽ

có d nghi
ệ
m.
Một vài phương pháp giải phương trình

(mod )
ax b m
≡
.
Theo l
ậ
p lu
ậ
n trên, thì ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t luôn
đư
a
đượ
c v
ề
ph
ươ
ng trình d

ạ
ng
(mod )
ax b m
≡
v
ớ
i
( , ) 1
a m
=
, và nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình này là duy nh
ấ
t. Do
đ
ó ta ch
ỉ
c
ầ
n tìm
m
ộ
t nghi
ệ

m c
ủ
a
(mod )
ax b m
≡
,
( , ) 1
a m
=
,
0 ,
a m b m
< < <
. Sau
đ
ây ta nêu m
ộ
t s
ố
cách gi
ả
i
th
ườ
ng
đượ
c s
ử
d

ụ
ng:
Thử qua một hệ thặng dư đầy đủ:
Thông th
ườ
ng,
để
ti
ế
t ki
ệ
m tính toán, ng
ườ
i ta th
ử
qua m
ộ
t
h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
có tr
ị

tuy
ệ
t
đố
i nh
ỏ
nh
ấ
t. Vì
( , ) 1
a m
=
, nên khi
x
ch
ạ
y qua m
ộ
t h
ệ
th
ặ
ng d
ư

đầ
y
đủ
modulo
m

. Do
đ
ó luôn t
ồ
n t
ạ
i
0
x A
∈
là m
ộ
t nghi
ệ
m
đ
úng c
ủ
a ph
ươ
ng trình. T
ừ

đ
ó ta có
nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình là
0
(mod )
x x m
≡

Dùng thuật toán đệ quy:
Gi
ả
s
ử

t
∈
ℤ
sao cho
\ ( )
a b mt
+
. Khi
đ
ó
(mod )
b mt
x m
a
+
≡ là
nghi

ệ
m. Vi
ệ
c tìm
t
d
ẫ
n t
ớ
i vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(mod )
mt b a
≡ −
. Gi
ả
s
ử

1 1 1 1
(mod ),0 , (mod ),0
m m a m a b b a b a
≡ < < − ≡ < <
. Ph
ươ

ng trình trên t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
1 1
(mod )
m t b a
≡
. Rõ ràng sau m
ỗ
i b
ướ
c ta
đ
ã chuy
ể
n ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
ph
ươ
ng trình v
ớ
i

các h
ệ
s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n. Quá trình này s
ẽ
d
ừ
ng sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c.
Dùng định lý Euler:
Vì
( )
1 (mod )
m
a m
ϕ

≡ nên
( ) 1
. (mod )
m
a a b b m
ϕ
−
≡ .