ĐỀ CƯƠNG bài GIẢNG học PHẦN lý THUYẾT GALOA (đại học sư PHẠM TOÁN)

Mục lục
1 Lý thuyết trường
1.1 Các kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Nhóm các phép thế, nhóm giải được . . .
1.1.2 Trường các thương, trường con nguyên tố
1.1.3 Đặc số của trường . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Các đa thức trên một trường . . . . . . .
1.2 Mở rộng trường. Mở rộng đơn . . . . . . . . . .
1.2.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Trường phân rã của đa thức. Mở rộng chuẩn tắc
1.4.1 Trường phân rã của đa thức . . . . . . .
1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mở rộng tách được . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Nghiệm bội của đa thức bất khả quy . . .
1.5.2 Đa thức tách được, mở rộng tách được . .
1.5.3 Trường hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Lý thuyết Galois
2.1 Nhóm Galois. Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Nhóm Galois . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois . . . . . . . . .
2.2.1 Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois . . . . .
2.2.3 Một số định lý khác . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn
2.3.1 Căn của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trường chia đường tròn . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Mở rộng xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
6
7
8

9
9
10
12
13
13
14
15
15
16
17

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

20
20
20
23
24

24
24
26
26
26
26
27
28


2

3 Ứng dụng
3.1 Giải phương trình bằng căn thức . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức . . . . . .
3.2 Phương trình tổng quát bậc n . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n
3.3 Dựng hình bằng thước kẻ và compa . . . . . . . . . .
3.3.1 Tiêu chuẩn dựng được bằng thước kẻ và compa
3.3.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compa . .
Tài liệu tham khảo

MỤC LỤC

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

32
32
32
33
33
33
34
34
34
35
37


Chương 1

Lý thuyết trường
Số tiết: 13 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)
A) MỤC TIÊU
- Sinh viên nắm được các khái niệm nhóm các phép thế, nhóm giải được, trường
các thương, trường con nguyên tố, đặc số của trường và các đa thức trên một
trường.
- Sinh viên nắm được định nghĩa và tính chất của một số mở rộng trường như:
Mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số, trường phân
rã, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được.
- Sinh viên hiểu được mối quan hệ giữa các mở rộng trường.
- Sinh viên tích cực, chủ động nghiên cứu giáo trình.
B) NỘI DUNG

1.1
1.1.1

Các kiến thức liên quan
Nhóm các phép thế, nhóm giải được

Định nghĩa 1.1. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Khi đó tập
aH = {ah|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép trái của H trong G. Tương tự, tập
Ha = {ha|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép phải của H trong G.
Bổ đề 1.1. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Khi đó hai lớp ghép trái
của H trong G hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc bằng nhau.
Định lý 1.1. Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó
(i) G = a∈G aH ,
(ii) Với mỗi a ∈ G, thì ánh xạ f : H → aH cho bởi x → ax là một song ánh.
(iii) Nếu H hữu hạn thì các lớp ghép của H trong G có cùng số phần tử.
Định nghĩa 1.2. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Số các lớp ghép
trái khác nhau của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G và kí hiệu là

[G : H].


4

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Trong học phần này, ta dùng kí hiệu |S| để chỉ lực lượng của tập hợp S .
Định lý 1.2. (Định lý Lagrange). Giả sử H là một nhóm con của nhóm
hữu hạn G. Khi đó cấp của H là ước cấp của G. Hơn nữa |G| = |H|[G : H].
Định nghĩa 1.3. Cho n là một số nguyên dương, và tập T = {1, 2, . . . , n}.
Gọi Sn là tập tất cả các song ánh trên T . Với mỗi σ ∈ Sn được gọi là một phép
thế bậc n và viết là

σ=

1
2
...
σ(1) σ(2) . . .

n
σ(n)

Tập Sn lập thành một nhóm với phép thế nhân ánh xạ và được gọi là nhóm các
phép thế bậc n. Cấp của nhóm Sn là n!.
Định nghĩa 1.4. Giả sử i1 , i2 , i3 , . . . , ik (k > 1) là những phần tử khác nhau
của tập T = {1, 2, . . . , n}. Kí hiệu (i1 i2 i3 . . . ik ) là một phép thế bậc n sao cho
i1 → i2 , i2 → i3 , . . . , ik−1 → ik , ik → i1 và các phần tử còn lại của T biến thành
chính nó. Khi đó ta nói rằng (i1 i2 i3 . . . ik ) là một vịng xích cấp k (hoặc k−

vịng xích). Một vịng xích cấp 2 được gọi là một chuyển vị. Hai vịng xích

σ = (i1 i2 i3 . . . ik )

τ = (j1 j2 j3 . . . jk ),

được gọi là độc lập tuyến tính nếu {i1 , i2 , i3 . . . , ik } ∩ {j1 , j2 , j3 . . . , jk } = ∅.
Phép thế đồng nhất được gọi là một vịng xích cấp 1 và kí hiệu là (1).
Mệnh đề 1.1. Nếu

σ = (i1 i2 i3 . . . ik )

τ = (j1 j2 j3 . . . jk )

là hai vịng xích độc lập thì στ = τ σ .
Định lý 1.3. Mọi phép thế σ ∈ Sn đều có thể phân tích được thành tích những
vịng xích độc lập.
Hệ quả 1.1. Mọi phép thế σ ∈ Sn đều có thể phân tích được thành một tích
những chuyển vị.
Bổ đề 1.2. Phép thế đồng nhất trong Sn khơng thể phân tích được thành một
tích của một số lẻ những chuyển vị.
Hệ quả 1.2. Không có một phép thế nào trong Sn phân tích được thành một
tích của một số chẵn các chuyển vị và đồng thời nó cũng phân tích thành một
tích của một số lẻ các chuyển vị. Nói cách khác, mọi phép thế trong Sn đều chỉ
phân tích được thành một số chẵn hoặc một số lẻ các chuyển vị.


Định nghĩa 1.5. Một phép thế σ ∈ Sn được gọi là chẵn (tương ứng lẻ) nếu
nó phân tích được thành một tích của một số chẵn (tương ứng một số lẻ) các
chuyển vị.

Theo Hệ quả 1.2, mọi phép thế của Sn hoặc là chẵn hoặc là lẻ. Đặt An là tập
tất cả các phép thế chẵn của Sn . Khi đó An là một nhóm con của Sn . Nhóm
An được gọi là nhóm thay phiên bậc n.
Định lý 1.4. Cho n > 1 khi đó An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn có cấp
n!/2 và [Sn : An ] = 2
Một nhóm con quan trọng khác của nhóm Sn đó là nhóm Dn sinh bởi hai
phần tử σ = (1 2 3 4 5 . . . n) và

1 2
3
4
5
... n − 1 n
τ = 1 n n − 1 n − 2 n − 3 ...
3
2
Nhóm Dn được gọi là nhóm nhị diện bậc n.
Định lý 1.5. Với n ≥ 3, nhóm Dn có cấp 2n sinh bởi hai phần tử σ và τ thỏa
mãn:
(i) σ có cấp n và τ có cấp 2.
(ii) τ σ = σ −1 τ
Ngược lại, nếu G là một nhóm bất kì sinh bởi σ và τ thỏa mãn (i), (ii) với
n ≥ 3 thì G đẳng cấu với Dn .
Định nghĩa 1.6. Cho G là một nhóm và một dãy lồng nhau những nhóm con
của G:

G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ Gn = {e} .

(1)

Dãy (1) được gọi là một tháp chuẩn tắc của G nếu Gi là nhóm con chuẩn tắc
của Gi−1 với mọi i = 1, 2, . . . , n. Dãy (1) được gọi là một tháp Abel (tương ứng
xyclic) nếu nó là một tháp chuẩn tắc và nhóm thương Gi−1 /Gi là nhóm Abel
(tương ứng xyclic) với mọi i. Tháp (1) được gọi là tháp xyclic cấp nguyên tố nếu
nó là một tháp xyclic, đồng thời các nhóm thương Gi−1 /Gi có cấp nguyên tố với
mọi i. Nhóm G được gọi là một nhóm giải được nếu tồn tại một tháp Abel (1)
của G.
Ví dụ 1.1. (i) Mọi nhóm Abel đều là nhóm giải được.
(ii) Nhóm S3 là nhóm giải được vì tồn tại một tháp Abel S3 ⊃ (123) ⊃ {(1)}.
Định lý 1.6. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn. Khi đó các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) G là một nhóm giải được.
(ii) Tồn tại một tháp xyclic của G.
(iii) Tồn tại một tháp xyclic cấp nguyên tố của G.
5


6

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Định lý 1.7. (i) Mọi nhóm con của một nhóm giải được là một nhóm giải được.
(ii) Ảnh đồng cấu của một nhóm giải được là một nhóm giải được.
(iii) Nhóm thương của một nhóm giải được cũng là một nhóm giải được.
Định lý 1.8. Mọi nhóm cấp pn (p là một số nguyên tố) đều là nhóm giải được.

1.1.2

Trường các thương, trường con nguyên tố

Giả sử vành A là vành giao hốn có đơn vị 1 = 0.
Định nghĩa 1.7. Tập con S của vành A được gọi là một tập đóng nhân nếu
0 ∈ S, 1 ∈ S và S là đóng với phép nhân, nghĩa là, xy ∈ S , với mọi x, y ∈ S .
/
Ví dụ 1.2. A là một miền nguyên, tập A∗ là các phần tử khác 0 của A là một
tập đóng nhân của A.
Định lý 1.9. Cho S là tập đóng nhân của vành A. Khi đó trên tập tích Đề các
A × S , quan hệ ∼ xác định bởi: (x, s) ∼ (y, t) ↔ ∃u ∈ S, u(xt − ys) = 0 với
mọi (x, s) và (y, t) thuộc A × S , là một quan hệ tương đương trong A × S .
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu lớp tương đương (x, s) chứa cặp (x, s) của A × S
x
là và ký hiệu AS là tập thương gồm các lớp tương đương đó.
s
Định lý 1.10. Tập thương AS cùng với các phép toán

x y
tx + sy x y
xy
+ =
, . =
s
t
st
s t
st
là một vành giao hốn có đơn vị. Ta gọi AS là vành các thương của vành A theo
S.
Mệnh đề 1.2. Tương ứng

ϕ : A → AS ; a →

a
1

là một đồng cấu vành. Hơn nữa mọi phần tử của ϕ(S) đều có nghịch đảo trong
AS .
m
Ví dụ 1.3. Khi A = Z, S = Z\pZ, với p là một số nguyên tố thì AS = { ∈
n
Q, (n, p) = 1}.
Bây giờ ta đề cập đến một trường hợp đặc biệt khi A là một miền ngun, cịn
tập đóng nhân S là tập A∗ tất cả các phần tử khác 0 của A.


Hệ quả 1.3. Nếu A là một miền nguyên và S = A∗ là tập tất cả các phần tử
khác 0 của A thì AA∗ là một trường.
a b
a
Trong trường hợp này ta có AS = { /a ∈ A, s ∈ S ∗ }, với = ↔ ta = sb.
s
s
t
a
a
s
Nếu = 0 thì a = 0 và có nghịch đảo là . Bởi vậy AA∗ là một trường.
s
s
a
Định nghĩa 1.8. Trường AA∗ của miền nguyên A được gọi là trường các thương

của miền nguyên A.
Ví dụ 1.4. Trường các thương của vành số nguyên Z là trường các số hữu tỷ
Q.
Mệnh đề 1.3. Nếu A là một miền nguyên thì A nhúng được vào trường các
a
thương AA∗ của nó bởi đơn cấu ϕ(a) = . Hơn nữa, mỗi phần tử của AA∗ được
1
−1
viết dưới dạng ϕ(a)ϕ(b) , với a ∈ A, b ∈ A∗ .
Tính chất phổ dụng của vành các thương được phát biểu trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4. Cho S là một tập con đóng nhân của vành A. Khi đó mọi đồng
cấu vành f : A → K , có tính chất f (s) là khả nghịch trong K với mọi s ∈ S ,
a
đều tồn tại duy nhất một đồng cấu h : AS → K sao cho f = h◦ϕ, với ϕ(a) = .
1
Định nghĩa 1.9. Một trường được gọi là một trường ngun tố nếu nó khơng
chứa một trường con thực sự nào.
Ví dụ 1.5. Trường số hữu tỷ Q và trường Zp là trường nguyên tố.

1.1.3

Đặc số của trường

Định nghĩa 1.10. Giả sử A là một vành có đơn vị 1. Khi đó A được gọi là
vành có đặc số 0 nếu m1 = 0 với mọi số nguyên dương m; A được gọi là vành
có đặc số n nếu n là một số nguyên dương bé nhất thỏa mãn n1 = 1. Đặc số
của vành A ký hiệu là char(A).
Ví dụ 1.6. Vành các số hữu tỷ Q có đặc số 0. Vành Z3 có đặc số là 3.
Mệnh đề 1.5. Nếu A là một miền nguyên thì hoặc char(A) = 0 hoặc char(A) =
p là một số nguyên tố.

Mệnh đề 1.6. Giả sử A là một vành có đơn vị và char(A) = n > 0. Khi đó
m1 = 0 nếu và chỉ nếu n là ước của m.
Định lý 1.11. Giả sử A là một vành có đơn vị 1. Khi đó
(i) Tập P = {m1/m ∈ Z} là một vành con của A.
(ii) Nếu A có đặc số 0 thì P ∼ Z.
=
(iii) Nếu A có đặc số n thì P ∼ Zn .
=
7


8

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Do trường cũng là một vành có đơn vị nên những định nghĩa và tính chất
trên về đặc số của vành A vẫn đúng với trường A tương ứng. Hơn nữa ta có kết
quả thú vị sau:
Hệ quả 1.4. (i) Mọi trường có đặc số 0 đều là trường vô hạn và chứa một
trường con đẳng cấu với trường số hữu tỷ Q.
(ii) Mọi miền nguyên có đặc số nguyên tố p, đều chứa một trường con đẳng
cấu với Zp .
Nhận xét. Từ hệ quả trên ta rút ra rằng, mỗi trường nguyên tố, thì hoặc
đẳng cấu với trường các số hữu tỷ Q, hoặc đẳng cấu với Zp .

1.1.4

Các đa thức trên một trường

Giả sử K là một trường. K[x] là vành đa thức của ẩn x trên trường K . Đa

thức f (x) gọi là một ước của đa thức g(x) nếu có một đa thức q(x) sao cho
g(x) = f (x).q(x). Một đa thức là ước của đơn vị khi và chỉ khi nó là một phần
tử khác 0 của trường K .
Vì vành K[x] là một miền nguyên nên các khái niệm và các tính chất của phần
tử bất khả quy được chuyển sang cho đa thức bất khả quy.
Định nghĩa 1.11. Hai đa thức f (x) và g(x) được gọi là liên kết với nhau nếu
f (x) = ag(x) với a là ước của đơn vị.
Đa thức q(x) được gọi là một ước thực sự của f (x) nếu q(x) là một ước của
f (x), khác ước của đơn vị và không liên kết với f (x).
Định nghĩa 1.12. Đa thức p(x) ∈ K[x] được gọi là một đa thức bất khả quy
nếu nó khác 0, khác ước của đơn vị và không liên kết với f (x).
Định nghĩa 1.13. Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] được gọi là nguyên tố
cùng nhau nếu 1 là một ước chung lớn nhất của chúng.
Định lý 1.12. Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] nguyên tố cùng nhau khi
và chỉ khi tồn tại hai đa thức h(x) và k(x) sao cho

p(x)h(x) + q(x)k(x) = 1.
Mệnh đề 1.7. Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc vành K[x]. Nếu
f (x) ∈ K[x] thì f (x) chia hết cho p(x) hoặc nguyên tố cùng nhau với p(x).
Định lý 1.13. Với mỗi đa thức bất khả quy p(x) ∈ K[x], bậc p(x) = n > 0,
đều tồn tại một trường F sao cho:
(i) K ⊂ F ;
(ii) p(x) có một nghiệm u ∈ F ;
(iii) Mỗi phần tử c ∈ F đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng:

c = b0 + b1 u + . . . + bn−1 un−1 , bi ∈ K.


Hệ quả 1.5. Giả sử f (x) ∈ K[x], bậc f (x) = n > 0. Thế thì tồn tại một
trường F chứa K và chứa n nghiệm của f (x).

Định lý 1.14. (Tiêu chuẩn Eisenstein). Giả sử

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0
là một đa thức với hệ số nguyên. Nếu có một số nguyên tố p sao cho:
(i) an không chia hết cho p;
(ii) Các hệ số còn lại chia hết cho p;
(iii) a0 khơng chia hết cho p2 ;
thì f (x) là đa thức bất khả quy trong Q[x].

1.2
1.2.1

Mở rộng trường. Mở rộng đơn
Mở rộng trường

Định nghĩa 1.14. Cho K và F là hai trường. Trường F được gọi là một mở
rộng của K nếu K là một vành con của F.
Nếu trường F là một mở rộng của trường K thì F cũng là một khơng gian
vectơ trên K . Số chiều của không gian vectơ này được gọi là bậc mở rộng của
F trên K và ký hiệu là [F : K]. Trường F được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô
hạn) của K nếu bậc mở rộng của nó là hữu hạn (vơ hạn).
Một tháp các trường là một dãy các trường K1 , K2 , . . . , Kn sao cho K1 ⊂
K2 ⊂ . . . ⊂ Kn , Ki+1 là mở rộng của Ki với i = 1, 2, . . . , n − 1.
Ví dụ 1.7. (i)√
Trường số phức C là một mở rộng bậc 2 của trường số thực R.
√
(ii) Trường Q[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Q} là một mở rộng bậc 2 của trường số
hữu tỷ Q. Tương tự, trường Q[i] = {a + bi : a, b ∈ Q} cũng là một mở rộng bậc
2 của Q.
Định lý 1.15. Cho một tháp trường K ⊂ E ⊂ F. Khi đó F là một mở rộng

bậc hữu hạn của K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của E và E
là một mở rộng bậc hữu hạn của K . Hơn nữa, [F : K] = [F : E][E : K].
Hệ quả 1.6. Cho một tháp các trường K = K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn = F. Khi đó
nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của K thì [F : K] = [F : Kn−1 ] . . . [K2 : K1 ].
Cho F là một trường và X ⊂ F . Khi đó giao của tất cả các trường con của
F chứa X được gọi là trường con của F sinh bởi tập X . Nếu F là một mở rộng
của K và X ⊂ F thì trường con sinh bởi X ∪ K được gọi là trường con sinh
bởi X tên K và ký hiệu là K(X). Trong trường hợp X là một tập hữu hạn
gồm n phần tử u1 , u2 , . . . , un thì ta viết K(X) = K(u1 , u2 , . . . , un ). Trường
K(u1 , u2 , . . . , un ) được gọi là một mở rộng hữu hạn sinh của K.
9


10

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Định lý 1.16. Giả sử F là một mở rộng của K và X ⊂ F . Khi đó trường
K(X) gồm tất cả các phần tử có dạng:

f (u1 , u2 , . . . , un )
,
g(v1 , v2 , . . . , vm )
trong đó ui , vj ∈ X, g(v1 , v2 , . . . , vm ) = 0, và f (x1 , x2 , . . . , xn ), g(x1 , x2 , . . . , xm )
là các đa thức thức trên K.
Định nghĩa 1.15. Giả sử K và E là hai trường con của một trường F . Trường
hợp thành của K và E trong F là một trường con sinh bởi tập K ∪ E và ký hiệu
là KE . Trường hợp thành của các trường con K1 , K2 , . . . , Kn của F là trường
con sinh bởi tập: K1 ∪ K2 ∪ . . . ∪ Kn , ký hiệu là K1 K2 . . . Kn .
Chú ý. Với các ký hiệu như ở Định nghĩa 1.15. Khi đó

(i) KE = K(E) = E(K).
(ii) K1 , K2 , . . . , Kn = K1 (K2 (. . . (Kn−1 (Kn )))).

1.2.2

Mở rộng đơn

Định nghĩa 1.16. Giả sử F là một mở rộng của K . Khi đó ta nói rằng F là
một mở rộng đơn của K nếu tồn tại một phần tử u ∈ F sao cho F = K(u),
còn u được gọi là phần tử nguyên thủy của F .
√ √
√
√ √
Ví dụ 1.8. (i) Q( 2, 3) là một mở rộng đơn của Q vì Q( 2, 3) = Q( 2 +
√
3).
(ii) Q(i, −i) là một mở rộng√đơn của Q vì Q(i, −i) = Q(i).
√
√
(iii) Q(w, 3 2) với w = −1+i 3 cũng là một mở rộng đơn của Q vì Q(w, 3 2) =
2
√
3
Q(w + 2).
Định nghĩa 1.17. Giả sử F là một mở rộng của trường K và u ∈ F . Phần tử
u được gọi là đại số trên K nếu tồn tại một đa thức bậc dương f (x) ∈ K[x] sao
cho f (u) = 0. Trong trường hợp u không là nghiệm của bất kỳ một đa thức bậc
dương nào trên K , thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K .
Ví dụ 1.9. (i) Phần tử i ∈ C là đại số trên trường số thực R.
√

(ii) Phần tử 2 ∈ R là đại số trên trường số hữu tỷ Q.
(iii) Với mọi a ∈ K đều là đại số trên trường K.
(iv) Các số thực π, e đều là siêu việt trên trường số hữu tỷ Q.
Định lý 1.17. Cho F là một mở rộng của trường K và u ∈ F là đại số trên
K . Khi đó tồn tại một đa thức p(x) ∈ K[x] bất khả quy nhận u làm nghiệm.
Hơn nữa, nếu u là một nghiệm của một đa thức f (x) ∈ K[x] thì f (x) chia hết
cho p(x). Đa thức p(x) được gọi là đa thức tối tiểu của u trên K . Các đa thức
tối tiểu của u thì liên kết với nhau.


√
Ví dụ 1.10. (i) x2 − 2 là một đa thức tối tiểu của 2 ∈ R trên trường số hữu
tỷ Q.
(ii) x2 + 1 là một đa thức tối tiểu của i ∈ C trên√
trường số thực R.
√
4
2
(iii) x − 10x + 1 là đa thức tối tiểu của 2 + 3 ∈ R trên trường số hữu tỷ
Q.
Định lý 1.18. Cho F là một mở rộng của trường K và u ∈ F là phần tử đại
số trên trường K . Giả sử p(x) là một đa thức tối tiểu bậc n của u trên K. Khi
đó
(i) K[u] = K(u) ∼ K[x]/(p(x)).
=
2
(ii) {1, u, u , . . . , un−1 } là một cơ sở của K(u) trên trường K.
(iii) [K(u) : K] = n = deg(p(x)).
√
√

Ví dụ 1.11. (i) Đa √ tối tiểu của 2 trên Q là x2 − 2. √ có Q( 2) ∼
thức
Ta
=
√
2
Q[x]/(x − 2), và {1, 2} là một cơ sở của Q( 2) trên Q, [Q( 2) : Q] = 2 bởi
Định lý 1.16.
√ √
√ √
3
2+ √ : Q] = 4
3)
(ii) Đa√
thức tối tiểu của √ 2+ √ trên Q là x4 −10x2 +1, [Q( √
√ √
√ 3
2
và {1, 2 + 3, ( 2 + 3) , ( 2 + 3) } là một cơ sở của 2 + 3 trên Q.
Cho F là một mở rộng của trường K và u, v ∈ F . Nếu u và v là hai nghiệm
của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên K thì K(u) ∼ K(v) bởi vì chúng cùng
=
đẳng cấu với K[x]/(p(x)). Tuy nhiên ta có thể mở rộng tính chất này như sau:
Cho K và E là các trường và σ : K → E là một đẳng cấu. Khi đó ánh xạ
K[x] → E[x] cho bởi:

f (x) = a0 + . . . + an xn −→ σf (x) = σ(a0 ) + . . . + σ(an )xn
cũng là một đẳng cấu. Dễ thấy, nếu p(x) là một đa thức bất khả quy trong
K[x] thì σp(x) cũng là một đa thức bất khả quy trong E[x]. Do đó ta có hệ
quả sau.

Hệ quả 1.7. Cho σ : K → E là một đẳng cấu. Giả sử u là một phần tử đại số
của một mở rộng nào đó trên K và p(x) là một đa thức tối tiểu của u trên K ,
giả sử v là một phần tử đại số của một mở rộng nào đó trên E và σp(x) là đa
thức tối tiểu của v trên K. Khi đó tồn tại một đẳng cấu σ : K(u) → E(v) sao
cho σ(u) = v và σ(c) = σ(c) với mọi c ∈ K.
Hệ quả 1.8. Giả sử F là một mở rộng của trường K và u, v ∈ F là hai
nghiệm của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên K . Khi đó tồn tại một đẳng
cấu τ : K(u) → K(v) sao cho τ (u) = v và τ (c) = c với mọi c ∈ K.
Ví dụ 1.12. Đa thức x3 −2 bất khả quy √ √ bởi√ chuẩn Eisenstein√ p =
trên Q
tiêu
với
3
3
3
3
2 , với w = (−1+ 3i)/2.
2. Chú ý rằng các nghiệm của x −2 là √ 2, 2w,√ 2w
√
√
3
Theo Hệ quả √ ta có đẳng cấu √ : Q( √2) ∼ Q( 3 2)√ : Q( 3 2) ∼ Q( 3 2w) và
1.8
id
,σ
=√
=
√
3
3

Q( 3 2) ∼ Q( 2w2 ) sao cho σ( 3 2) = 3 2w, τ 3 2 = 2w2 và σ(c) = c, τ (a) =
=
a, với mọi c, a ∈ Q.
11


12

1.3

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Mở rộng đại số

Định nghĩa 1.18. Giả sử F là một mở rộng của trường K . Trường F được gọi
là một mở rộng đại số của K nếu mọi phần tử của F đều đại số trên K.
√
Ví dụ 1.13. (i) Trường Q( 2) là một mở rộng đại số của trường số hữu tỷ Q.
(ii) Trường số phức C là một mở rộng đại số của trường số thực R.
(ii) Các trường C và R không là mở rộng đại số của trường số hữu tỷ Q.
Mỗi phần tử u ∈ F đại số trên K đều thuộc vào một trường mở rộng của K
có bậc hữu hạn (đó là trường K(u)). Ngược lại, nếu cho trước một trường mở
rộng bậc hữu hạn của trường K thì ta có khẳng định sau:
Định lý 1.19. Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó F là
một mở rộng đại số của K
Chú ý. Nếu F là một mở rộng của K và F chứa một phần tử siêu việt u
trên K thì F phải là một mở rộng bậc vô hạn của K . Chẳng hạn C và R là các
mở rộng bậc vơ hạn của Q vì chúng chứa các phần tử siêu việt e, π.
Định lý 1.20. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó F
là một mở rộng hữu hạn sinh của K .

Định lý 1.21. Giả sử F = K(u1 , u2 , . . . , un ) là một mở rộng hữu hạn sinh của
trường K và các phần tử ui (i = 1, 2, . . . , n) đều là đại số trên K . Khi đó F là
một mở rộng đại số bậc hữu hạn của K.
√ √
√ √
Ví dụ 1.14. Các phần tử 2, 3 là đại số trên Q nên Q( 2, 3) là √ √
một mở
rộng đại số có bậc hữu hạn của Q. Ta có thể√
tính bậc mở rộng của Q( 2,√ 3)
√ √
√
trên Q như sau: Xét tháp các trường Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2)( 3) = Q( 2, 3).
Khi đó
√ √
√ √
√
√
[Q( 2, 3) : Q] = [Q( 2, 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q].
√
√
√
Ta biết rằng [Q( 2) √Q]√ 2 và {1, √ là một cơ sở của Q( 2) trên Q. √
:
=
2}
Để
xác định bậc của Q( √
2, 3) trên Q( 2) ta cần tìm đa thức tối tiểu của 3
√
√

trên Q( 2). Rõ ràng 3 là một nghiệm của x2 − 3 ∈ Q( 2[x]). Đa thức x2 − 3
√
√
khơng có nghiệm trong Q( 2) √ do đó x2 − 3 bất khả quy trong Q( 2). Theo
và
√ √
√ √
√
Định lý 1.18, [Q( 2, 3) : Q( 2)] = 2. Vậy [Q√ 2, 3) : Q] = 4 và {1, 3}
( √ √
√ √
là một √ sở của Q( 2, 3) trên Q. Do đó {1, 2, 3, 6} là một cơ sở của
cơ
√
Q( 2, 3) trên Q.
Hệ quả 1.9. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó nếu F là một mở
rộng đại số của E và E là một mở rộng đại số của K thì F là một mở rộng đai
số của K.


Hệ quả 1.10. Cho F là một mở rộng của trường K . Giả sử E là tập tất cả các
phần tử của F đại số trên K . Khi đó E là một trường con của F và E là một
mở rộng đại số của K.
Ví dụ 1.15. F = C và K = Q trong Hệ quả 1.10. Khi đó người ta gọi tập E
là trường các số đại số. Trường các số đại số là một mở rộng đại số bậc vô hạn
của trường hữu tỷ Q.

1.4
1.4.1

Trường phân rã của đa thức. Mở rộng chuẩn tắc
Trường phân rã của đa thức

Định nghĩa 1.19. Giả sử F là một mở rộng của trường K và f (x) ∈ K[x] là
một đa thức bậc n ≤ 1. Đa thức f (x) được gọi là chẻ ra trên F nếu nó phân
tích được thành tích những nhân tử tuyến tính (đa thức bậc nhất) trong F [x],
nghĩa là
f (x) = a(x − u1 )(x − u2 ) . . . (x − un ),
trong đó a ∈ K và các phần tử u1 , u2 , . . . , un ∈ F khơng nhất thiết phải khác
nhau.
√
Ví dụ 1.16. (i) Đa thức x2 − 2 ∈ Q[x] chẻ ra trên Q[ 2] vì x2 − 2 = (x −
√
√
2)(x + 2). Tương tự đa thức x2 + 1 ∈ Q[x] chẻ ra trên trường số phức C.
Tuy nhiên nó không chẻ ra trên trường số thực R.
√ √
(ii) Đa thức f (x) = (x2 − 2)(x2 − 3) ∈ Q[x] chẻ ra trên Q( 2, 3).
√
(iii) Đa thức f (x) = x4 − 4x2 − 5 ∈ Q[x] chẻ ra trên Q(i, 5). Tuy nhiên f (x)
không chẻ ra trên Q(i).
Như vậy một đa thức f (x) ∈ K[x] chẻ ra trên F thì F chứa tất cả các
nghiệm của f (x). Sau đây ta sẽ nghiên cứu một trường mở rộng nhỏ nhất chứa
tất cả các nghiệm của đa thức f (x). Trước hết ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.20. Cho F là một mở rộng của trường K và f (x) ∈ K[x].
Trường F được gọi là một trường phân rã (hoặc trường nghiệm) của đa thức
f (x) trên K nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Đa thức f (x) chẻ ra trên F , nghĩa là

f (x) = a(x − u1 )(x − u2 ) . . . (x − un ).

(ii) F = K(u1 , u2 , . . . , un ).
Ví dụ 1.17. (i) C = R(i) là trường phân rã của đa thức x2 + 1 trên trường
số thực R. Tuy nhiên C không phải là trường phân rã của đa thức x2 + 1 trên
trường √ hữu tỷ Q.
số
(ii) Q( 2) là trường phân rã của đa thức x2 − 2 trên trường số hữu tỷ Q.
13


14

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

(iii) Q(i,
Q.

√

5) là trường phân rã của đa thức x4 − 4x2 − 5 trên trường số hữu tỷ

Giả sử K là một trường cho trước và p(x) ∈ K[x] là một đa thức bất khả
quy trên K . Vấn đề đặt ra là tồn tại hay không một trường E là mở rộng của
K làm cho p(x) có nghiệm trong E? Trả lời cho câu hỏi này ta có định lý sau.
Định lý 1.22. (Kronecker) Với K[x] là một trường cho trước và p(x) là một
đa thức bất khả quy trên K . Khi đó tồn tại một trường E là một mở rộng của
K làm cho p(x) có nghiệm trong E .
Giả sử f (x) là một đa thức trên một trường K . Khi đó tồn tại một mở
rộng K(u) của K sao cho u là một nghiệm của f (x). Ta có thể viết f (x) =
(x−u)(g(x)), trong đó f (x) ∈ K(u)[x]. Tương tự tồn tại một mở rộng K(u)(v)
của K(u) sao cho v là một nghiệm của g(x). Rõ ràng v cũng là một nghiệm của

f (x). Tiếp tục quá trình này ta sẽ tìm được một trường phân rã F của f (x)
trên K. Như vậy trường phân rã của một đa thức f (x) trên K luôn luôn tồn
tại. Ta có thể chứng minh nhận định này bằng quy nạp theo bậc của đa thức
f (x). Điều này thể hiện ở định lý sau.
Định lý 1.23. Giả sử K là một trường và đa thức f (x) ∈ K[x] có bậc n ≤ 1.
Khi đó tồn tại một trường phân rã F của đa thức f (x) trên K. Hơn nữa ta ln
có [F : K] ≤ n!.
Với f (x) là một đa thức trên trường K , ta có thể xây dựng được nhiều trường
phân rã khác nhau cho f (x) trên K . Vấn đề đặt ra là quan hệ giữa các trường
này như thế nào? Để trả lời, ta có định lý sau.
Định lý 1.24. Cho K và E là hai trường và σ : K → E là một đẳng cấu. Giả
sử F là một trường phân rã của đa thức f (x) trên K và L là trường phân rã của
đa thức σf (x) trên E . Khi đó σ được mở rộng thành một đẳng cấu σ : F → L.
Hệ quả 1.11. Hai trường phân rã của cùng một đa thức f (x) ∈ K[x] thì đẳng
cấu.

1.4.2

Mở rộng chuẩn tắc

Định nghĩa 1.21. Cho F là một mở rộng đại số của trường K . Khi đó ta nói
rằng F là một mở rộng chuẩn tắc của K (hoặc chuẩn tắc trên K ) nếu mọi đa
thức khả quy trong K[x] có một nghiệm trong F thì nó chẻ ra trên F.
Nhận xét. Trường F là một mở rộng của trường K nếu và chỉ nếu đa thức
tối tiểu của mỗi phần tử của F chẻ ra trên F.
Từ định nghĩa mở rộng chuẩn tắc, người ta có thể cho rằng, việc kiểm tra một
trường là một mở rộng chuẩn tắc trên trường K là một việc khó khăn. Nhưng
ta có định lý sau.

Định lý 1.25. Giả sử F là một mỏ rộng của trường K . Khi đó F là một trường
phân rã của một đa thức f (x) trên K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu
hạn và chuẩn tắc của K .
√ √
Ví dụ 1.18. (i) Trường Q( 2, 3) là một mở rộng chuẩn tắc của trường các
số hữu tỷ Q vì √ là trường phân rã của đa thức (x2 − 2)(x2 − 3) trên Q.
nó
√
3
(ii) Trường Q( 2) chứa nghiệm thực 3 2 của đa thức x3 − 2 bất khả quy trên Q.
√
√
√
Đa thức này không chẻ ra trên Q( 3 √ vì nó có các nghiệm phức 3 2w, 3 2w2 ,
2)
√
trong đó w = (−1 + i 3)/2. Vậy Q( 3 2) không là mở rộng chuẩn tắc của Q và
do đó nó khơng là trường phân rã của bất kỳ đa thức nào trong Q[x].
Hệ quả 1.12. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó nếu F là một mở
rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của K thì F là một mở rộng chuẩn tắc của E.
Giả sử E là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Vấn đề đặt ra là có
hay khơng một mở rộng F của E sao cho F là một mở rộng chuẩn tắc tối tiểu
(theo quan hệ bao hàm) của K hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta có định
lý sau.
Định lý 1.26. Giả sử E là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó
tồn tại một mở rộng F của E sao cho
(i) F là một mở rộng chuẩn tắc bậc hữu hạn của K .
(ii) Nếu có một tháp các trường K ⊂ E ⊂ L ⊂ F và đồng thời L là một mở
rộng chuẩn tắc của K thì L = F. Khi đó trường F được gọi là một bao đóng
chuẩn tắc của E trên K .

√
√
Ví dụ √
1.19. Lấy K = Q và E = Q( 3 2). Ta biết rằng Q( 3 2, w) với w =
(−1 + i 3)/2 là trường phân rã của x3 − 2 trên Q và do đó nó là một mở rộng
√
chuẩn tắc của Q. Rõ ràng, Q( 3 2, w) là một mở rộng chuẩn tắc nhỏ nhất của
√
√
√
Q chứa Q( 3 2). Vậy Q( 3 2, w) là một bao đóng chuẩn tắc của Q( 3 2) trên Q.

1.5
1.5.1

Mở rộng tách được
Nghiệm bội của đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.22. Cho K là một trường và f (x) ∈ K[x]. Một nghiệm u ∈ K
của f (x) được gọi là có bội m nếu (x − u)m là ước của f (x) nhưng (x − u)m+1
không là ước của f (x). Nếu m > 1 thì ta nói rằng u là nghiệm bội của f (x).
Đặc biệt m = 2 thì u được gọi là nghiệm kép, m = 1 thì u được gọi là nghiệm
đơn.
Định nghĩa 1.23. Giả sử f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn là một đa thức
trên trường K . Đa thức f (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 được gọi là đạo hàm
hình thức của f (x).
15


16

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Nếu f (x) và g(x) là hai đa thức trên trường K thì đạo hàm hình thức của
tổng và tích của chúng có các tính chất sau:

(f + g) (x) = f (x) + g (x);
(f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x).
Định lý 1.27. Cho F là một mở rộng của K . Một phần tử u ∈ F là một
nghiệm bội của f (x) ∈ K[x] nếu và chỉ nếu u là một nghiệm chung của f (x)
và f (x).
Hệ quả 1.13. Cho K là một trường. Đa thức f (x) ∈ K[x] là tách được nếu và
chỉ nếu f (x) và f (x) nguyên tố cùng nhau.
Mệnh đề sau đây cho ta một cách để kiểm tra tính tách được của các đa
thức bất khả quy trên một trường số có đặc số bất kỳ.
Mệnh đề 1.8. Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy trên trường K . Khi đó
(i) Nếu K có đặc số 0 thì p(x) tách được.
(ii) Nếu K có đặc số nguyên tố p thì p(x) khơng tách được nếu và chỉ nếu
nó có dạng: p(x) = a0 + a1 xp + a2 x2p + . . . + an xnp .

1.5.2

Đa thức tách được, mở rộng tách được

Định nghĩa 1.24. Giả sử K là một trường. Một đa thức f (x) ∈ K[x] bậc n
được gọi là tách được nếu f (x) có n nghiệm phân biệt trong một trường phân
rã của nó.
Ví dụ 1.20. (i) Đa thức x2 + 1 ∈ Q[x] là tách được.
(ii) Đa thức x2 − 2 ∈ Q[x] là tách được.
(iii) Đa thức x4 − 4x2 − 5 ∈ Q[x] là tách được.

Định nghĩa 1.25. Giả sử F là một mở rộng đại số của trường K . Một phần
tử u ∈ F được gọi là tách được trên K nếu đa thức tối tiểu của u trên K là đa
thức tách được. Trường F được gọi là một mở rộng tách được của K nếu mọi
phần tử của u đều tách được trên K.
Ví dụ 1.21. (i) Mọi mở rộng đại số của một trường có đặc số 0 đều là tách
được vì mọi đa√
thức bất khả quy đều tách được.
√
3
(ii) Trường Q( 2) là một mở rộng đại số của Q. Vì char(Q) = 0 nên Q( 3 2)
là một mở rộng tách được của Q.
Định lý 1.28. Cho tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó nếu F là một mở
rộng tách được của K thì F là một mở rộng tách được của E và E là một mở
rộng tách được của K.


√ √
Ví dụ 1.22. Trường Q( 2, 3) là một mở rộng hữu hạn sinh và tách được của
√ √
√
√
Q. Áp dụng định lý trên, ta có Q( 2, 3) = Q( 2 + 3) là một mở rộng đơn
√
√
của Q và 2 + 3 là phần tử nguyên thuỷ của mở rộng này.
Định lý 1.29. (Định lý về phần tử nguyên thuỷ). Giả sử F là một mở
rộng hữu hạn sinh và tách được của K . Khi đó F là một mở rộng đơn của K.

1.5.3

Trường hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.26. Một trường K gọi là hoàn chỉnh nếu mọi đa thức có hệ tử
trong K đều là tách được.
Định lý 1.30. Một trường có đặc số 0 là hồn chỉnh. Một trường có đặc số p
là hồn chỉnh khi và chỉ khi mọi phần tử của K đều có căn bậc p trong K .
Ví dụ 1.23. Mọi trường hữu hạn đều là trường hoàn chỉnh.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois. Nhà xuất
bản giáo dục.
[2]. Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois và lý thuyết các mở rộng trường.
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[3]. Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học
Sư phạm.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Ta luôn giả sử rằng trường F là mở rộng trường của trường K .
Bài 1.1. Xác định bậc của các mở rộng trường sau:
√
a) Q ⊂ A = {a + b √2 | a, b ∈ Q},
b) Q ⊂ B = {a + b α | a, b ∈ Q} với α ∈ N,
c) Q ⊂ A = {a + bi | a, b ∈ Q}.
√
√
√
Bài 1.2. Chứng minh rằng Q( 3) = {a + b 3 | a, b ∈ Q} và Q( 5) =
√
{a + b 5 | a, b ∈ Q} đều là các mở rộng bậc 2 của Q nhưng không đẳng
cấu với nhau.
Bài 1.3. a) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên Q đều đẳng cấu với
√

Q( d) với d ∈ Z là một số khơng chính phương.
b) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên R đều đẳng cấu với C.
17


18

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG

Bài 1.4. Chứng minh rằng các trường sau là mở√ √đơn trên Q:
rộng
√ √
√
√
a) Q( 3, 5);
b) Q(i, 2);
c) Q( 2, 3 5);
d) Q(i, 3 2).
Bài 1.5. Chứng minh rằng các phần tử sau là đại số trên Q : √
√
√
3
a) 3 + 5i;
b) i − 2;
c) 1 + 3 2;
d) 2 + 5.
Bài 1.6. Giả sử u là phần tử đại số trên K . Chứng minh rằng u+1 và cu(c ∈ K)
cũng là phần tử đại số trên K .
Bài 1.7. Xác √
định đa thức√ tiểu của phần tử sau √ Q.

tối √
trên
√
√
a) 1 + 5;
b) 3i + 2;
c) 3 + 5;
d) i + 2.
Bài 1.8. Giả sử u là phần tử siêu việt trên K . Chứng minh rằng K(u) ∼ K(x)
=
với K(x) là trường các thương của vành K[x]
Bài 1.9. Giả sử p là một số nguyên tố và [F : K] = p. Chứng minh rằng nếu
u ∈ F là phần tử đại số trên K thì F = K(u) hoặc K(u) = K.
Bài 1.10. Chứng minh rằng mọi mở rộng đại số của R đều đẳng cấu với R
hoặc với C.
Bài 1.11. Xét mở rộng trường F ⊂ F (x) với biến x siêu việt trên F . Cho mở
rộng M ⊂ F (x) với M chứa F như một trường con thực sự. Chứng minh
rằng M ⊂ F (x) là một mở rộng đại số.
Bài 1.12. Cho F ⊂ K là một mở rộng đại số và f ∈ K[x] là một đa thức khác
0. Chứng minh rằng tồn tại g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là ước của g .
Bài 1.13. Cho E : F là một mở rộng đại số. Chứng minh rằng E là bao đóng
đại số của F nếu mọi đa thức f ∈ F [x] có bậc lớn hơn 0 đều phân rã trong
E.
Bài 1.14 Cho K : F là một mở rộng hữu hạn với F là một trường vô hạn.
Chứng minh rằng K : F là mở rộng đơn khi và chỉ khi K chỉ có hữu hạn
các trường con chứa F .
Bài 1.15. Xây dựng trường phân rã của các đa thức x3 +2x+1 và x3 +x2 +x+2
trên Z3 . Chúng có đẳng cấu với nhau khơng?
Bài 1.16. a) Cho F là trường có đặc số p và a ∈ F . Chứng minh rằng nếu đa
thức xp − x − a khả quy trong F [x] thì phân rã trong F ,

b) Với mọi số nguyên tố p, chứng minh rằng đa thức xp − x − 1 bất khả
quy trên Q.
Bài 1.17. Cho F là trường có đặc số 0, cho f, g ∈ F [x] và d = (f, g). Chứng
minh rằng tập nghiệm của f và h = f /d là trùng nhau.


Bài 1.18. Cho F là trường có đặc số p và a ∈ F khơng có căn bậc p trong F .
Chứng minh rằng f = xp − a bất khả quy trên F .
Bài 1.19. Chứng minh rằng trường các số phức C khơng có mở rộng hữu hạn
thực sự nào.
Bài 1.20. Cho Q(u) là mở rộng bậc 3 trên Q, sinh ra bởi một nghiệm u của
đa thức x3 − 2x + 2. Hãy tìm bậc của mở rộng Q(w) trên Q, trong đó
w = u2 − u và hãy chỉ ra các đa thức tối tiểu của w trên Q.
Bài 1.21. Chứng minh rằng bậc của trường phân rã của một đa thức bậc n thì
khơng vượt quá n!.
Bài 1.22. √ mở rộng nào sau đây là mở √ √chuẩn tắc trên Q: √
Các
rộng √
√
3
a) Q( 3);
b) Q( 5);
c) Q( 2, 3, 5);
d) Q( 3, i).
Bài 1.23. Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 đều là chuẩn tắc.
Bài 1.24. Giả sử E1 , E2 là các mở rộng chuẩn tắc của K . Chứng minh rằng
E1 ∪ E2 là một mở rộng chuẩn tắc của K .

19

Chương 2
Lý thuyết Galois
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)
A) MỤC TIÊU
- Sinh viên nắm được các khái niệm: Nhóm Galois, Mở rộng Galois.
- Sinh viên hiểu được định lý cơ bản của mở rộng Galois, áp dụng định lý Galois
vào trường chia đường trịn và khái niệm mở rộng xyclic.
- Sinh viên tích cực, chủ động nghiên cứu giáo trình.
B) NỘI DUNG

2.1

Nhóm Galois. Mở rộng Galois

2.1.1

Nhóm Galois

Định nghĩa 2.1. Giả sử F là một mở rộng của trường K . Khi đó tập tất cả các
tự đẳng cấu của F giữ nguyên các phần tử của K lập thành một nhóm nhân ánh
xạ. Nhóm này được gọi là Nhóm Galois của F trên K và ký hiệu là Gal(F, K).
Trong trường hợp F là một trường phân rã của đa thức f (x ∈ K[x]) thì nhóm
Gal(F, K) được gọi là nhóm Galois của f (x) hay của phương trình f (x) = 0.
Ví dụ 2.1. (i) Nhóm Galois của trường số phức C trên trường số thực R gồm
hai phần tử. Đó là ánh xạ đồng nhất id và tự đẳng cấu σ trên C biến một số
phức thành số phức liên hợp của nó.
√
(ii) Nhóm Galois của trường Q( 2) trên trường số hữu tỷ Q cũng gồm hai
√

phần tử. Đó là ánh√ đồng nhất id và tự đẳng cấu σ trên Q( 2) sao cho
xạ
√
σ(a + b 2) = a − b 2 với a, b ∈ Q.
Định lý 2.1. Giả sử F là một trường phân rã của đa thức f (x) trên trường K
và u, v ∈ F . Khi đó tồn tại một phần tử σ ∈ Gal(F, K) sao cho σ(u) = v nếu
và chỉ nếu u và v có cùng một đa thức tối tiểu trên K .


Nhận xét. Nếu một trường F là một mở rộng đại số của trường K và
u ∈ K , thì tập
{σ(u)/σ ∈ Gal(F, K)}
chứa trong tập nghiệm của một đa thức tối tiểu của u. Vì thế nó là một tập
hữu hạn.
Định lý 2.2. Cho F = K(u1 , u2 , . . . , un ) là một mở rộng đại số của trường
K . Khi đó nếu σ, τ ∈ Gal(F, K) và σ(ui ) = τ (ui ) với mọi i = 1, 2, . . . , n thì
σ = τ . Hay nói cách khác, σ ∈ Gal(F, K) hoàn toàn được xác định bởi tác động
của nó vào các phần tử u1 , u2 , . . . , un .
√ √
√
Ví dụ √ Với mỗi σ ∈ Gal(Q( 2, 3), Q). Vì 2 là√ nghiệm của x2 − 2
2.2.
một
√
nên σ( 2) cũng là một nghiệm của x2 − 2. Do đó σ( 2) = ± 2. Tương tự
√
√
σ( √ = ± 3. Theo Định lý 2.2, σ hoàn toàn xác định bởi tác động√ nó
3)
√

√ của
vào 2 và 3. Do đó có nhiều nhất bốn tự đẳng cấu trong Gal(Q( 2, 3), Q)
√
√
tương ứng với bốn tác động trên 2 và 3 :
√
√
√
√
2 → √2
2 → − 2
√
id = √
;τ = √
3 →
3
3 →
3
√
√
√
√
2 → √
2
2 → − √2
α= √
;β = √
3 → − 3
3 → − 3
√ √

Ta sẽ chứng minh Gal(Q( 2, 3), Q) là một nhóm cấp 4 bằng cách thiết lập
các tự đẳng cấu τ, α, β tương ứng với các tác động đó. Ta thiết lập τ như sau:
√
√
−
đa thức x2 − 2 là đa thức tối√
tiểu của 2 và√ 2 trên Q. Khi đó tồn tại một
√
√
đẳng cấu δ : Q( 2) ∼ Q(− 2) sao cho δ( 2)√ − 2 và δ(c) = c với mọi
=
=
√
trên Q
c ∈ Q. Chú ý rằng, x2 − 3 là đa thức √ tiểu của 3 √ √ ( 2). Khi đó δ được
tối √
√ √
mở rộng thành một đẳng cấu √ : Q( 2, 3) ∼ Q(− 2, 3) = Q(√ 2, 3) sao
τ
=
√
√
√
√
√
cho τ ( √ = 3, τ ( 2) = δ( 2) = − 2. Do đó τ ∈ Gal(Q( 2, 3), Q) thỏa
3)
√
√
√

mãn τ ( 2) = − 2 và τ ( 3) = 3.
Tương tự ta cũng thiết lập được các tự đẳng cấu α và β tương √ với những
√ ứng
tác động như trên. Hơn nữa, các phần tử τ, α, β của Gal(Q( 2, 3), Q) có cấp
2. Chẳng hạn,
√
√
√
√
√
√
√
τ 2 ( 2) = τ (τ ( 2)) = τ (− 2) = −τ ( 2) = −(− 2) = 2 = id( 2).
√
√
√
√
√
τ 2 ( 3) = τ (τ ( 3)) = τ ( 3) = 3 = id( 3).
√
√
√
Theo Định lý 2.2, τ 2 = id. Dễ dàng kiểm tra được (τ α)( 2) = β( 2), (τ α)( 3) =
√
√ √
β( 3) và do đó τ α = β. Ta cũng có Gal(Q( 2, 3), Q) ∼ Z2 × Z2 .
=
√ √
Trong ví dụ trên, Q( 2, 3) là trường phân √ của đa thức (x2 − 2)(x2 − 3)
√ rã

trên trường số hữu tỷ Q và mỗi σ ∈ Gal(Q( 2, 3), Q) đều tương ứng với một
21


22

CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT GALOIS

√
√ √
√
phép thế trên tập tất cả các nghiệm 2, − 2, 3, − 3 của đa thức f (x). Điều
này đã là một minh họa cho hệ quả sau.
Hệ quả 2.1. Giả sử F là một trường phân rã của một đa thức tách được f (x)
bậc n trên trường K . Khi đó nhóm Gal(F, K) đẳng cấu với một nhóm con của
nhóm các phép thế Sn .
Chú ý.
(i) Nếu F là trường phân rã của đa thức f (x) tách được bậc n trên một trường
K , thì ta có thể đồng nhất Gal(F, K) với một nhóm con của Sn , bằng cách
đồng nhất mỗi σ ∈ Gal(F, K) √ một phép thế cảm sinh trên tập nghiệm của
√ với
f (x). Chẳng hạn, Gal(Q( 2, 3), Q) = {id, τ, α, β} như ở ví dụ sau Định lý
2.2.
√ 
√ 
 √
√
2 → √
2
2 → − 2

√
√
√
− 2 → − 2
− 2 →

√ ;τ =  √
√2 
id =  √
 3 →
 3 →
3
3
√
√
√
√
− 3 → − 3
− 3 → − 3
√ 
√ 
√
√
2 → √
2
2 → − 2
√
√
√
− 2 → − 2

− 2 →
2
√ ;β =  √
√ 
α= √
 3 → − 3
 3 → − 3
√
√
√
√
− 3 →
3
− 3 →
3
√
√ √
√
Nếu ký hiệu 2, − 2, 3, − 3 tương ứng với 1, 2, 3, 4 thì id, τ, α, β tương
ứng với √ √
các phần tử (1), (12), (34), (12)(34) của nhóm S4 . Khi đó ta nhận được
Gal(Q( 2, 3), Q) ∼ {(1), (12), (34), (12)(34)} là một nhóm con của S4 .
=
(ii) Giả sử F là trường phân rã của đa thức f (x) tách được trên một trường K .
Theo Hệ quả 2.1, mọi phần tử của Gal(F, K) được xem như là một phép thế
trên tập nghiệm của f (x). Tuy nhiên, một phép thế trên tập nghiệm của f (x)
có thể khơng tạo thành một tự đẳng cấu của F giữ nguyên các phần tử của
√ √
K . Chẳng hạn, Q( 2, 3) là trường phân rã của f (x) = (x2 − 2)(x2 − 3) trên
trường số hữu tỷ Q. Theo ví dụ sau Định lý 2.2, khơng có một phần tử nào của

√ √
Gal(Q( 2, 3), Q) sinh ra bởi phép thế sau đây trên tập nghiệm của f (x):
√
√ √
√
2 −√2 √3 −√3
√
2 − 2
3 − 3
Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Trường E được gọi là trường trung
gian của mở rộng F trên K . Khi đó nhóm Galois của mở rộng F trên E là
một nhóm con của nhóm Galois của mở rộng F trên K , nghĩa là, Gal(F, E) ⊂
Gal(F, K). Ngược lại, nếu cho trước một nhóm con H của nhóm Gal(F, K),
thì có tồn tại một trường trung gian của mở rộng F trên K hay không? Câu
trả lời được thể hiện bởi mệnh đề sau:


Mệnh đề 2.1. Cho F là một mở rộng của trường K và H là một nhóm con
của nhóm Galois Gal(F, K). Khi đó

EH = {a ∈ F/σ(a) = a với mọi σ ∈ H}
là một trường trung gian của mở rộng F trên K.
Trường EH ở Mệnh đề 2.1 được gọi là trường bất động của nhóm con H.
Ví dụ 2.3. (i) Xét nhóm con H = {id, α} của
√ √
Gal(Q( 2, 3), Q) = {id, τ, α, β}
√
√
√
như ở ví dụ sau Định lý 2.2. Vì α( 2) = 2 nên Q( 2) ⊂ EH với EH là

trường bất động của nhóm con H . Xét tháp các trường
√
√ √
Q( 2) ⊂ EH ⊂ Q( 2, 3),
Ta có

√ √
√
√ √
√
[Q( 2, 3) : Q( 2)] = [Q( 2, 3) : EH ][EH : Q( 2)].
√
√ √
√
√
Chú ý rằng, 3√ EH và [Q( 2, 3) : Q( 2)] = 2 nên [EH : Q( 2)] = 1 và
∈
/
do đó EH = Q( 2).
(ii) Ta biết rằng Gal(C, R) = {id, σ} trong đó σ là một ánh xạ biến một số phức
thành liên hợp của nó. Rõ ràng C là trường bất động của nhóm con < id >.
Trường bất động của Gal(C, R) chính là R.
√
√
√
(iii) Giả sử σ ∈ Gal(Q( 3 2), Q). Vì 3 2 là một nghiệm của x3 − 2 nên σ( 3 2)
cũng là một nghiệm của x3 − 2. Tuy nhiên, đa thức x3 − 2 chỉ có duy nhất
√
√
√

√
một nghiệm thực 3 2 và hai nghiệm phức. Do đó, σ( 3 2) = 3 2 = id( 3 2). Theo
√
√
Định lý 2.2, σ = id. Vậy, Gal(Q( 3 2), Q) =< id > chính là Q( 3 2).
Định lý 2.3. Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó nếu
H là một nhóm con của nhóm Galois Gal(F, K) và E là một trường bất động
của nhóm con H thì F là một mở rộng đơn, chuẩn tắc và tách được của E.

2.1.2

Mở rộng Galois

Trong nhiều mở rộng E của trường K với nhóm Galois Gal(E, K), ta gặp
phải hai hiện tượng: khi lấy trường các điểm bất động của nhóm Gal(E, K),
thì lại khơng phải là K . Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu một loại mở rộng E
sao cho trường các điểm bất động của nhóm Gal(E, K) chính là K .
Định nghĩa 2.2. Cho F là một mở rộng của trường K . Trường F là một mở
rộng Galois của trường K (hoặc Galois trên K ) nếu nó là một mở rộng bậc hữu
hạn, chuẩn tắc và tách được của K.
23


24

CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT GALOIS

Ví dụ 2.4. (i) Trường số phức C là một mở rộng Galois của trường số thực R,
tuy nhiên trường số phức C không là mở rộng Galois của trường các số hữu tỷ
Q.

√ √
(ii) Trường Q( √
2, 3) là một mở rộng Galois của trường số hữu tỷ Q.
3
(iii) Trường Q( 2) không là mở rộng Galois của trường số hữu tỷ Q.
(iv) Trường các thương Z2 (t) của Z2 (t) không là mở rộng Galois của Z2 (t2 ).
(v) Nếu trường K có đặc số 0 thì F là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ
nếu F là trường phân rã của một đa thức f (x) nào đó trên K .
Định lý 2.4. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó nếu
H là một nhóm con của nhóm Galois Gal(F, K) và E là trường bất động của
nhóm con H thì F là một mở rộng Galois của E . Hơn nữa, H = Gal(F, E) và
[H] = [F : E].
Định lý 2.5. Giả sử F là một mở rộng Galois của K và E là trường trung
gian của mở rộng này. Khi đó E là trường bất động của nhóm Gal(F, E).
Hệ quả 2.2. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K . Khi đó F
là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ nếu K là trường bất động của nhóm
Gal(F, K). Trong trường hợp này ta có

[F : K] = |Gal(F, K)| .
Hệ quả trên chỉ ra rằng: Dấu hiệu đặc trưng cho một mở rộng F là một mở
rộng Galois của K là trường bất động của nhóm Galois Gal(F, K) lại đúng
bằng K .
Bổ đề 2.1. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó nếu một mở rộng bậc
hữu hạn, chuẩn tắc của K và E là một mở rộng chuẩn tắc của K , thì Gal(F, E)
là một nhóm con chuẩn tắc của Gal(F, K). Hơn nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼
=
Gal(E, K).

2.2
2.2.1

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
Nhận xét.

Từ chứng minh Bổ đề 2.1 ta suy ra rằng: Nếu E là một mở rộng chuẩn tắc
của K và F là một mở rộng của E thì σ(E) = E , với mọi σ ∈ Gal(F, K). Hơn
nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E) đẳng cấu mọi nhóm con của Gal(E, K).

2.2.2

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Định lý 2.6. (Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois). Giả sử F là một mở
rộng Galois của trường K . Khi đó


(i) Có một song ánh từ tập tất cả các trường trung gian của mở rộng F
trên K lên tập tất cả các nhóm con của Gal(F,K) bằng cách cho tương ứng
mỗi trường trung gian E của mở rộng này với một nhóm con Gal(F, E) của
Gal(F, K). Hơn nữa,

[F : E] = |Gal(F, E)| và [E : K] = [Gal(F, K) : Gal(F, E)],
(ii) Trường trung gian E là một mở rộng chuẩn tắc của K nếu và chỉ nếu
Gal(F, E) là một nhóm con chuẩn tắc của Gal(F, K). Trong trường hợp này
ta có một đẳng cấu

Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼ Gal(E, K).
=
Định nghĩa 2.3. Song ánh ở Định lý cơ bản của lý thuyết Galois, (i) được gọi
là một tương ứng Galois của mở rộng F trên K .

Nhận xét. Qua tương ứng Galois của mở rộng F trên K thì các trường F
và K lần lượt tương ứng với các nhóm Gal(F, E) =< id > và Gal(F, K).
√ √
Ví dụ 2.5. Ta có thể biểu diễn tương ứng Galois của mở rộng Q( 2, 3) trên
√ √
Q như sau: Ta biết rằng Q( 2, 3) là một mở rộng Galois của Q vì nó là
trường phân rã của đa thức (x2 − 2)(x2 − 3) √ √ Theo Định lý cơ bản của
trên Q.
√ √
lý thuyết Galois, [Q( 2,√ 3) : Q] = [Gal(Q( 2, 3), Q)] = 4. Theo ví dụ sau
√
Định lý 2.2, Gal(Q( 2, 3), Q) = {id, τ, α, τ α} cho bởi:
√
√
√
√
2 → √2
2 → − 2
√
id = √
;τ = √
;
3 →
3
3 →
3
√
√
√
√

2 → √
2
2 → − √2
α= √
; τα = √
.
3 → − 3
3 → − 3
√ √
G = Gal(Q( 2, 3), Q) là một nhóm Abel đẳng cấu với nhóm Z2 × Z2 . Các
nhóm con của G là:

< id >, < τ >, < α >, < τ α >, G
Qua tương ứng Galois, các nhóm con này lần lượt cho tương ứng với các trường
√ √
trung gian của mở rộng Q( 2, 3) trên Q là:
√ √
√
√
√
Q( 2, 3), Q( 3), Q( 2), Q( 6), Q.
√ √
Chú ý rằng tất cả các trường trung gian của mở rộng Q( 2, 3) trên Q đều là
mở rộng chuẩn tắc của Q, và do đó các nhóm con của G qua tương ứng Galois
này đều là nhóm con chuẩn tắc của G.
25