Tính hệ phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực và hệ phẳng siêu động theo phương pháp chuyển vị từ đó vẽ biểu đồ bao nội lực

Vũ Tiến Võ
BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC KẾT CẤU 2
1. NỘI DUNG
Tính hệ phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực.
Tính hệ phẳng siêu động theo phương pháp chuyển vị.
Vẽ biểu đồ bao nội lực.
2. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN
Mã đề: 121
Sơ đồ tính và các trường hợp tải:
L
1
L
2
L
2
L
1
EI=Const
TH1
TH2
g
TH3
q
1
q
3
TH4
TH5
TH6
q
2

q
4
q
2
q
1
q
4
q
2
q
3
q
3
q
4
q
1
Trong đó:
g bh
γ
=
: Trọng lượng bản thân dầm
q: Hoạt tải trên các nhịp trong các trường hợp tải
Số liệu hình học:
Stt b x h (cm) L
1
(m) L
2
(m)

2 20 x 35 4 3
1
Vũ Tiến Võ
Số liệu tải trọng:
Stt q
1
(kN/m) q
2
(kN/m) q
3
(kN/m) q
4
(kN/m)
1 8 10 12 14
Số liệu dùng chung:
3 3
3
3
2.4 10 /
12
25 /
E kN cm
bh
I
kN m
γ
= ×
=
=
Ta có:

25 0.2 0.35 1.75 /g bh kN m
γ
= = × × =
3. XÁC ĐỊNH NỘI LỰC CÁC TRƯỜNG HỢP TẢI
3.1. PHƯƠNG PHÁP LỰC
Bậc siêu tĩnh:
3 3 4 6 6n V K
= − = × − =
Chọn hệ cơ bản: hình 3.1.1
4m
3m 3m
4m
X
1
X
2
X
3
EI=Const
HCB
Hình 3.1.1
Hệ phương trình chính tắc:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
P
P

P
X X X
X X X
X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + + ∆ =


+ + + ∆ =


+ + + ∆ =

Trong đó:
1 2 3
; ;X X X
: lực tương ứng tại vị trí loại bỏ liên kết thứ 1; 2; 3.
2
Vũ Tiến Võ
kP
∆
: hệ số tự do, là chuyển vị theo phương lực X
k
do riêng tải trọng ngoài
gây ra trên hệ cơ bản.
km
δ
: các hệ số phụ, là chuyển vị theo phương lực X

k
do X
m
=1 gây ra trên
hệ cơ bản (k # m).
kk
δ
: các hệ số chính, là chuyển vị theo phương lực X
k
do X
k
=1 gây ra trên
hệ cơ bản.
Tính các hệ số chính và các hệ số phụ của phương trình chính tắc
+ Biểu đồ đơn vị
k
M
: hình 3.1.2
4m
3m 3m
4m
X
1
=1
M
1
X
2
=1
M

2
M
3
X
3
=1
1
1/2
1
1
1/2
M
s
(M
s
)=(M
1
)+(M
2
)+(M
3
)
1
1
1
1/2
1/2
a)
b)
c)

d)
4
3m
8
3m
Hình 3.1.2
3
Vũ Tiến Võ
+ Các hệ số
kk
δ
và
km
δ
được tính như sau:
( ) ( )
11 1 1
1 1 1 4 2 1 1 8 2 1 2 1
1 1 1 3 1 2
2 2 3 3 2 2 3 3 2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × + × × × × + × × × × = ×
 
 
( ) ( )
22 2 2
1 1 2 1

1 3 1 2 2
2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × × = ×
 
 
( ) ( )
33 3 3 11
1
2M M
EI
δ δ
= = = ×
( ) ( )
12 21 1 2
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 
 
( ) ( )
13 31 1 3

0M M
δ δ
= = =
( ) ( )
23 32 2 3
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 
 
+ Kiểm tra các hệ số chính phụ:
( ) ( )
1
1 1 1 4 2 1 1 8 2 1 5 1
1 1 1 3 1
2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
S
M M
EI EI
 
= × × × × + × × × × + × × × = ×
 
 
Mặt khác:
11 12 13

1 1 5 1
2 0
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( )
2
1 1 1
1 3 1 2 3
2
S
M M
EI EI
 
= × × × × = ×
 
 
4
Vũ Tiến Võ
Mặt khác:
21 22 23
1 1 1 1
2 3
2 2EI EI
δ δ δ

 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
5 1
2
S s
M M M M
EI
= = ×
Mặt khác:
31 32 33
1 1 5 1
0 2
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
Như vậy các hệ số chính phụ của phương trình chính tắc tính
đúng.
3.1.1. Trường hợp 1
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ

cơ bản: hình 3.1.3
4m
3m 3m
4m
a)
b)
g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m
M
0
P
qL
2
1
/8=3.50
qL
2
2
/8=1.97
qL
2
1
/8=3.50
3.50
3.50
1.97
[kNm]
Hình 3.1.3
Tính các hệ số tự do
kP
∆

của phương trình chính tắc:
5
Vũ Tiến Võ
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
3.5 4 1
2 3 2 3
1 1
4.30
2 1 1 1 2 1
3.5 4 1 1.97 3 1
3 2 2 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − × + × × × ×
 

 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
1.97 3 1 2 3.94
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3 1
1
4.30
P P P
M M
EI
∆ = = ∆ = ×
Kiểm tra:
( )
( )

0
1 2 1 1
3.5 4 1
2 3 2 3
1 1
2 12.54
2 1 1 1 2
3.5 4 1 1.97 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= × = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1

4.3 3.94 4.3 12.54
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 4.3 0
2
1 1
2 3.94 0
2 2
1
0 2 4.3 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




+ + + =



⇔
1
2
3
1.89
1.02
1.89
X
X
X
= −


= −


= −

6
Vũ Tiến Võ
Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:

( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.4a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
[ ]
1 2 1 1 1
2.55 4 2.55 4 1
2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
1.9 4 1.9 4 1
1 1 1
2 3 2 2 3
10.90 10.95 0.05
2 1 2 1 1
3.5 4 1 3.5 4
3 2 3 2 2
1 2
1.9 1.02 3 1 1.95 3 1
2 3

S P
M M
EI EI EI
 
× × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
= = − = − ×
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
 
 
− + × × + × × ×
 
Sai số:
0.05
100% 0.04%
10.95
× =
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
+ Nhịp 1:
4m

1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
2.55kNm 1.90kNm
O
1
O
2
7
Vũ Tiến Võ
1
4
0 4 1.9 1.75 4 2.55
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
3.34
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 4 3.66
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:
3m
1.75kN/m
Q

tr
Q
ph
1.90kNm 1.02kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 1.02 1.75 3 1.9
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
2.33
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 3 2.92
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 3, 4: Được suy ra từ nhịp 1 và nhịp 2 do hệ đối xứng.
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.4b
Bằng cách giải hình học tính được giá trị lực cắt tại các vị trí
1

4
L
,
2
4
L
,
3
4
L
và giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
8
Vũ Tiến Võ

1m
1.75kN/m
2.55kNm
M(kNm)
3.66kN
O
1
0 3.66 1 2.55 1.75 1 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 1:
3m
1.75kN/m
2.55kNm
3.66kN
M(kNm)
O
3
0 3.66 3 2.55 1.75 3 0.56
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 2:

0.75m
1.75kN/m
1.90kNm
M(kNm)
2.92kN
O
0.75
0 2.92 0.75 1.9 1.75 0.75 0.20
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × = −
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 2:
9
Vũ Tiến Võ
2.25m
1.75kN/m
1.90kNm
2.92kN
M(kNm)
O
2.25
0 2.92 2.25 1.9 1.75 2.25 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 3, 4: Được suy ra từ nhịp 1 và nhịp 2 do hệ đối xứng.
a)

b)
3.66
3.34
2.92
2.33
2.33
2.92
3.34
3.66
0.16
1.91
1.59
0.30
1.61
1.01
1.01
0.30
1.61
1.59
0.16
1.91
6.26
3.66
4.66
6.26
3.66
Q
P
[kN]
3.50

1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
-1.02
0.24
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
0.24
M
P
[kNm]
Hình 3.1.4
3.1.2. Trường hợp 2
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.5
10
Vũ Tiến Võ
16

q
1
=8kN/m
q
3
=12kN/m
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
16
13.5
[kNm]
Hình 3.1.5
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1

10.67
2 1 1 1
16 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P

M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
37.67
2 1 1 1 2

16 4 1 13.5 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
10.67 13.5 13.5 37.67
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
11

Vũ Tiến Võ
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 10.67 0
2
1 1
2 13.5 0
2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
4.27
4.26
5.68
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.6a

Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 1 1 1 1 1
13.87 4 13.87 4 1 4.27 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 2 1 1
4.27 4 1 4.27 4.26 3 1 4.26 5.68 3 1
1
2 3 2 2
2 1 1 1 1 2
13.5 3 1 5.68 4 5.68 4 1
3 2 3 2 2 3
1 1 1 2 1
2.84 4 1 2.84 4
2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 
× × × × − × × × × + × × × ×
 
 
 
− × × × × − + × × − + × ×

 
=
 
 
+ × × × + × × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
=
[ ]
1 1
41.45 43.65 2.20
EI EI
− = − ×
Sai số:
2.20
100% 5.04%
43.65
× =
12
Vũ Tiến Võ
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
+ Nhịp 1:
4m
8kN/m

Q
tr
Q
ph
13.87kNm 4.27kNm
O
1
O
2
1
4
0 4 4.27 8 4 13.87
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
13.60
ph
Q kN⇒ = −
0 8 4 18.40
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:
4.27 4.26
0
3
Q tg
α
−

= + = ≈
+ Nhịp 3:
3m
12kN/m
Q
tr
Q
ph
4.26kNm 5.68kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 5.68 12 3 4.26
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
18.47
ph
Q kN⇒ = −
0 12 3 17.53
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 4:
13
Vũ Tiến Võ

5.68 2.84
2.13
4
Q tg kN
α
+
= + = =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.6b
Bằng cách giải hình học tính được giá trị lực cắt tại các vị trí
1
4
L
,
2
4
L
,
3
4
L
và giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí

1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
1m
8kN/m
13.87kNm
M(kNm)
18.40kN
O
1
0 18.4 1 13.87 8 1 0.53
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 1:
3m
8kN/m
13.87kNm

18.40kN
M(kNm)
O
3
0 18.4 3 13.87 8 3 5.33
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
14
Vũ Tiến Võ
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 3:
0.75m
12kN/m
4.26kNm
M(kNm)
17.53kN
O
0.75
0 17.53 0.75 4.26 12 0.75 5.51
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 3:
2.25m

12kN/m
M(kNm)
O
4.26kNm
17.53kN
2.25
0 17.53 2.25 4.26 12 2.25 4.81
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 2, 4: dể dàng tính được bằng cách giải hình học.
15
Vũ Tiến Võ
a)
b)
18.40
13.60
17.53
18.47
2.40
10.40
5.60
8.53
0.47
9.47
13.60
2.13
17.53
20.60
18.40

Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
0.00
16.00
-13.87
0.53
6.93
5.33
-4.27
-4.27
-4.27
-4.26
5.51
-4.26
8.53
4.81
-5.68
-1.42
0.71
-3.55
2.84
13.50
2.13
2.13
2.13
Hình 3.1.6

3.1.3. Trường hợp 3
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.7
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.7
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
16
Vũ Tiến Võ
( )
( )

0
1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3

1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0

2 1 2 1 1
11.25 3 1 28 4 1
3 2 3 2 3
1 1
41.17
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
 
× × × + × × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
11.25 11.25 18.67 41.17

P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




+ + + =



⇔
1
2
3
5.09
2.15
8.80
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )

0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.8a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
17
Vũ Tiến Võ
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
2.55 4 1 2.55 4 5.09 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
5.09 4 1 11.25 3 1 5.09 2.15 3 1
2 3 3 2
1 1 2 1 2 1 1
2.15 8.8 3 1 28 4 1 28 4
2 3 2 3 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1
8.8 4 8.8 4 1 23.6 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 1
23.6 4 1
2 3

S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × − + × ×
= − + × × + × × × × − × × × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × ×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]
1
81.90 81.90 0
EI
= − =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P

Q
: hình 3.1.8b
a)
b)
1.90
2.22
3.70
17.88
31.70
11.80
26.52
1.90
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
17.70
10.30
15.98
1.90
1.90
14.02
24.30
31.70
2.22
2.22
8.48
0.98

6.52
11.25
28.00
2.55
0.64
-1.27
-3.18
-5.09
-2.15
-8.80
-5.48
-3.82
-7.14
-23.60
11.80
7.63
4.08
5.55
8.50
1.10
Hình 3.1.8
18
Vũ Tiến Võ
3.1.4. Trường hợp 4
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.9
q
1
=8kN/m
16

16
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.9
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
16 4 1

2 3 2 3
1 1
21.92
2 1 1 1 2 1
16 4 1 11.25 3 1
3 2 2 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − ×
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − × + × × × ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25

3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
19
Vũ Tiến Võ
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 

 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0
1 2 1 1 2 1 1 1
16 4 1 16 4 1
2 3 2 3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
11.25 3 1 28 4 1 51.83
3 2 3 2 3
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
   
× × × − × + × × × − ×
 ÷  ÷

 
   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
21.92 11.25 18.67 51.84
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3

1
2 0 21.92 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
10.80

0.63
9.18
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.10a
20
Vũ Tiến Võ
Kiểm tra biểu đồ
( )
P

M
:
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 1 2 1
16 4 1 16 4 10.6 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 2
10.6 4 1 10.8 4 10.8 4 1
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 1
11.25 3 1 10.8 0.63 3 1 0.63 9.18 3 1
3 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1
28 4 1 28 4 9.18 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 2
9.18 4 1
2 3
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × × − × × × ×
= + × × × − + × × − + × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × +
1 2 1 1 1
23.1 4 23.1 4 1
2 3 2 2 3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
110.29 110.30 0
EI
= − ≈
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.10b
11.25
16.00
28
-10.60
-10.80

-0.63
-9.18
-23.10
1.35
1.25
5.30
0.18
5.27
5.54
-4.91
-7.04
-2.77
8.37
1.47
11.86
a)
b)
8.05
2.85
3.46
34.44
31.46
8.76
27.40
15.95
Q
P
[kN]
M
P

[kNm]
17.46
10.55
18.39
0.05
15.95
11.61
24.55
31.46
2.85
2.85
10.89
3.39
4.11
7.95
16.05
21
Vũ Tiến Võ
Hình 3.1.10
3.1.5. Trường hợp 5
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.11
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P

11.25
[kNm]
q
2
=10kN/m
q
3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.11
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
22
Vũ Tiến Võ

( )
( )
0
2 2
1 2 1 2 1 1
11.25 3 1 13.5 3 1 24.75
3 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × + × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Kiểm tra:
( )

( )
0
1 2 2 1
11.25 3 1 13.5 3 1 49.50
3 3
S P
M M
EI EI
 
= × × × + × × × = ×
 
 
( )
1 2 3
1 1
11.25 24.75 13.5 49.50
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 24.75 0

2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
2.97
10.61
4.10
X
X
X

= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.12a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
23
Vũ Tiến Võ
( )
( )
( )

( )
1 1 1 2 1 1 1 1
1.49 4 1 1.49 4 2.97 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
2.97 4 1 11.25 3 1 2.97 10.61 3 1
1
2 3 3 2
2 1 1 1 1
13.5 3 1 10.61 4.1 3 1 4.1 4
3 2 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
4.1 4 1 2.05 4 1 2.05 4
2 3 2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 
× × × × − × × × × + × × × ×



− × × × × + × × × − + × ×

=


+ × × × − + × × + × × × ×




− × × × × + × × × × − × × × ×
 









[ ]
1 1
53.55 54.22 0.67
EI EI
= − = − ×
Sai số:
0.67
100% 1.24%
54.22
× =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.12b
1.54
1.54
1.54

15.83
20.17
1.12
3.56
-0.27
1.14
4.40
4.46
6.15
a)
b)
2.17
13.57
1.54
28.93
17.37
1.12
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
1.54
12.45
1.12
17.55
6.83
11.17
4.95

2.55
10.05
11.25
13.50
1.49
-2.97
-10.61
-4.10
2.05
0.38
-0.74
-1.86
-2.57
-1.03
0.51
1.12
1.12
1.54
Hình 3.1.12
24
Vũ Tiến Võ
3.1.6. Trường hợp 6
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản: hình 3.1.13
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M

0
P
[kNm]
q
4
=14kN/m
28
28
q
1
=8kN/m
16
16
q
3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.13
25