SKKN Một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

A. đặt vấn đề
Bài toán viết phơng trình đờng thẳng là dạng toán hay và không quá khó trong
chơng trình lớp 12, để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức
hình học không gian, mối quan hệ giữa đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ
t duy lời giải toán vừa phải, nhẹ nhàng, lôgíc và hấp dẫn ngời học. Là dạng toán
chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ không gian các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở Trờng THPT Thờng Xuân 2- một trờng miền núi
vùng đặc biệt khó khăn- tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình
yếu, mức độ t duy vừa phải, các em gặp nhiều khó khăn để có thể định hớng đợc
cách giải quyết bài toán; các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này.
Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán viết phơng
trình đờng thẳng trong không gian, phân loại những bài toán điển hình mang tính
khái quát đồng thời đề xuất hớng giải quyết các bài toán dạng này có vai trò quan
trọng trong việc hình thành cho học sinh những phơng pháp và kĩ năng giải toán,
giúp các em có đợc những định hớng rõ ràng hơn, tiếp cận một cách đơn giản- dễ
nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn đề khi đứng trớc những bài toán dạng này, nhất là học sinh “vïng khã”.
Tõ thùc tÕ trªn cïng víi mong mn tổng hợp đợc một tài liệu để đồng nghiệp
có thể áp dụng đợc trong quá trình giảng dạy, học sinh có thể áp dụng đợc trong
quá trình tự học, tôi đà đúc rút kinh nghiệm dạy học của bản thân và đa ra sáng
kiến kinh nghiệm một số bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không
gian"

B. giảI quyết vấn dề
1. Cơ sở lí luận của vấn đề
Bài toán viết phơng trình đờng thẳng là dạng toán hay và không quá khó
trong chơng trình lớp 12.
Cùng với phơng pháp tọa độ, học sinh đà có cái nhìn khác về hình học;
thấy đợc mối liên hệ giữa hình học và giải tích,thoát đợc lối t duy trực quan của
hình học mà các em đà học lâu nay.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong quỏ trỡnh ging dy chơng phơng pháp toạ độ trong không gian, tụi
thy a phn hc sinh rất lúng túng, kỹ năng giải tốn hình khơng gian còn yếu,
1


khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao… Bên cạnh đó bài
tập sách giáo khoa của chương Phương pháp tọa độ trong kh«ng gian trong
chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa
phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu, học sinh trường “vïng
khã” dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và e sợ khơng học. Do đó dạy bài tập, đặc
biệt với chương này, tìm tịi, chọn bài tập, kết hợp bài tập sách giáo khoa, thiết kế
trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ
bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ
đó đạt kết quả cao nhất cú th c trong kim tra, ỏnh giỏ.
Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 12A 2, 12A5, 12A6- ban CB trờng
THPT Thờng Xuân 2, trong những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học xong chơng
phơng pháp toạ độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học
2012 -2013.
+) Quá trình thực hiện đề tài
* Trớc khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Trong không gian với hệ Oxyz, viết phơng trình tham số và phơng trình
chính tắc của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M( c1; 2; 3 ) và có chỉ phơng là ud = ( 2; -4 ; 1)
b/ d ®i qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đờng thẳng d1 : x + 1 = y + 2 = z
2

3

1

c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc víi mp(P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d ®i qua 2 ®iĨm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)
*/Sè liƯu cơ thĨ tríc khi thùc hiƯn đề tài
Kết quả của lớp 12A2 ( sĩ số 29)
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời lời giải
Câu a 20
7
2
Câu b 18
6
5
Câu c 18
6
5
Câu d 19
7
3
Kết quả của lớp 12A5 ( sĩ số 36)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai
Số h/s không có lời lời giải
Câu a 19
10
7
Câu b 18
14
4
Câu c 18

15
3
Câu d 17
15
4
Kết quả của lớp 12A6 ( sĩ số 38)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai
Số h/s không có lời lời giải
Câu a 15
15
8
Câu b 13
16
9
Câu c 12
18
8
Câu d 20
12
6
Nh vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu
lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng
thú.
2


3. giải pháp và tổ chức thực hiện
Vấn đề 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản
1. Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng
* u 0 và có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng d thì u là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng d.

* u là véc tơ chỉ phơng của d thì k. u ( k 0 ) cũng là véc tơ chỉ phơng của d.
2.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là véc tơ pháp tuyến của (
)
* n là véc tơ pháp tuyến của ( α ) th× k. n ( k ≠ 0 ) cũng là véc tơ pháp tuyến
của ( )
3. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Phơng trình tổng quát cđa ( α ) cã d¹ng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C2 0) v
* Nếu ( ) có phơng trình Ax + By + Cz + D= 0 th× vÐc tơ pháp tuyến của ( ) là
n (A;B;C)
* Nếu ( ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n (A;B;C) làm véc tơ pháp tuyến thì
phơng trình của ( α ) lµ : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* NÕu ( α ) chøa hay song song với giá của hai véc tơ khác phơng a =(a1;a2;a3)
b (b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( ) là
n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* NÕu ( α ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) th× (
α ) cã phơng trình là :

x y z
+ + = 1 ; (a.b.c 0) (phơng trình mặt phẳng theo đoạn
a b c

chắn )
4. Phơng trình của đờng thẳng
Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0) d và véc tơ chỉ phơng của d là u (a; b ; c ) thì
x = x0 + at
* phơng trình tham số của đờng thẳng d là : y = y0 + bt

 z = z + ct

0


;( t lµ tham sè)

* phơng trình chính tắc của d là : x x0 = y − y0 = z − z0 ; (a.b.c ≠ 0 )
a

5. C¸c kiÕn thøc kh¸c
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
- véc tơ AB = (xB-xA ; yB-yA; zB-zA )
- Toạ độ trung điểm I cđa AB lµ I= (

b

c

x A + xB y A + y B z A + z B
;
;
)
2
2
2

* a = (a1;a2;a3) b = (b1;b2;b3)
- TÝch cã híng cđa a và b là một véc tơ ký hiệu là [ a , b ]
[ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
Chó ý :
-) [ a , b ] ⊥ a vµ [ a , b ] ⊥ b

3


- )Nếu a và b cùng phơng thì

a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

- ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
-) Véc tơ Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là u
Vấn đề 2: Nêu phơng pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác
định véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng ( gọi tắt là chỉ phơng) và toạ độ một điểm
mà đờng thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 sgk
hh12) để viết phơng trình đờng thẳng.
các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phơng của một đờng
thẳng cho trớc .
Hớng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).
Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phơng u của đờng thẳng d trong các
trờng hợp sau:
x = 2 + 3t
a) d :  y = −3 − t

 z = 5 − 2t


;( t lµ tham sè)

b) d: x − 2 = y + 1 = z
3

2

4

Lêi gi¶i
a/ Ta cã M(2 ;-3 ;5) ∈ d, chØ ph¬ng cđa d lµ u =(3; -1; -2)
b/ Ta cã M(2 ;-1 ;0) d, chỉ phơng của d là u =(3; 2; 4)
Dạng 2 : Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của đờng thẳng d
biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phơng u = (a; b; c).
Hớng dẫn:
x = x0 + at

* phơng trình tham số của đờng thẳng d là : y = y0 + bt ;( t lµ tham sè)
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
* phơng trình chính tắc của d là :
; (a.b.c ≠ 0 )
=
=
a
b
c

VÝ dơ : Trong kh«ng gian víi hƯ Oxyz .Viết phơng trình tham số và phơng trình
chính tắc của d trong các trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phơng là u =(3; -1; -2)
b/ d đi qua điểm M(1;0;3) và có chỉ phơng là u =(0; -1; -2)
c/ d đi qua gốc toạ độ và có chỉ phơng là u =(3; 1; -2)
Lêi gi¶i
 x = 2 + 3t

a/ Ta cã phơng trình tham số của d là : y = 1 − t ( t lµ tham sè )
 z = 3 2t


phơng trình chính tắc của d lµ:

x − 2 y −1 z − 3
=
=
3
−1
−2

4


x = 1

b/ phơng trình tham số của d là:  y = − t ( t lµ tham sè )
z = 3 2t

Không có phơng trình chính tắc .

x = 3t
c/ phơng trình tham số của d lµ  y = t
( t lµ tham sè )

z = 2t


phơng trình chính tắc của d là x = y = z
3

1

2

Dạng 3: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d biết d đi qua hai điểm
A,B cho trớc.
Hớng dẫn: - Chỉ phơng của d là AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B ( Đa bài toán về dạng 2)
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của d trong các
trờng hợp sau:
a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phơng của d lµ AB =(-3; -1; -5)
 x = 2 − 3t

lÊy A(2; 3; 5) d . phơng trình tham số cđa d lµ  y = 3 − t

 z = 5 − 5t


( t lµ tham sè )

b/ Do d đi qua M và N nên chỉ phơng của d lµ MN =(3; 0; -4)
 x = −2 + 3t

phơng trình tham số của d là: y = 1
 z = 3 − 4t


( t lµ tham sè )

c/ Do d đi qua M và O nên véc tơ chỉ phơng của d là OM =(-1; 2; 3)
x = 1 t

phơng trình tham số của d lµ:  y = 2 + 2t
 z = 3 + 3t


( t là tham số )

Dạng 4 : Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng ( ) .
Hớng dẫn: - pháp tuyến n của mặt phẳng ( ) là chỉ phơng của d đa bài toán
về dạng 2
Ví dơ : Trong kh«ng gian víi hƯ Oxyz . ViÕt phơng trình tham số của d trong các
trờng hợp sau :
a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc víi ( α ): x + 2y – 3z + 1 = 0

b/ d đi qua gốc toạ độ và vu«ng gãc víi ( α ): 3x - 5y + 2z -2 = 0
c/ d ®i qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
d/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)
e/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
5


a) Do d ( ) nên chỉ phơng của d là u =(1; 2; -3) phơng trình tham sè cđa d
x = 2 + t

lµ  y = 3 + 2t
 z = 1 − 3t


( t là tham số)

b/ Do d ( ) nên chỉ phơng của d là u =(3; -5; 2) phơng trình tham số của d
x = 3t

là y = −5t
 z = 2t


( t lµ tham sè)

x = 2

lµ  y = −3
z = 1 + t



( t là tham số)

c/ Do d (Oxy) nên chỉ phơng của d là k =(0; 0; 1) phơng trình tham số của d

d/ Do d (Oxz) nên chỉ phơng của d là j =(0; 1; 0) phơng trình tham số của d
x = 2

là y = −3 + t
z = 1


( t lµ tham sè)

e/ Do d (Oyz) nên chỉ phơng của d là i =(1; 0; 0) phơng trình tham số của d
x = 2 + t

lµ  y = −3
z = 1


( t là tham số)

Dạng 5: Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với đờng thẳng d.
Hớng dẫn: - chỉ phơng của dchính là chỉ phơng của d
đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d trong
các trờng hợp sau:
x = 2 + t

a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song víi d’  y = 3 + 2t ( t lµ tham sè)

 z = 1 − 3t

x − 2 y +1 z
=
=
3
2
4
2 x + 3 y − z + 1 = 0 (1)
c/ d ®i qua ®iĨm M(0; 2; 1) vµ song song víi d’ 
3 x − y + 2 z + 3 = 0 (2)

b/ d ®i qua điểm M(-1;2;3) và song song với d:

d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Lời giải
a/ Do d // d chỉ phơng của d lµ u = (1; 2; -3)

x = 2 + t

phơng trình tham số của d là: y = 2 + 2t ( t lµ tham sè)
 z = −1 − 3t


b/ Do d // d’ ⇒ chØ phơng của d là u = (3; 2; 4)

6

x = 1 + 3t

phơng trình tham số cđa d lµ:  y = 2 + 2t ( t lµ tham sè)
 z = 3 + 4t


c/ Ta cã

n 1 = (2; 3; -1)
n 2 = (3; -1; 2)

Véc tơ chỉ phơng của d là u =[ n 1, n 2] = (5; -7 ; -11)
Do d // d chỉ phơng của d là u = (5; -7; -11)
x = 5t

phơng trình tham số của d lµ:  y = 2 − 7t ( t lµ tham sè)
 z = 1 − 11t


d/ Do d // trục ox chỉ phơng của d là i = (1; 0; 0)

x = 2 + t

phơng trình tham sè cđa d lµ:  y = 3
( t là tham số)
z = 4


Dạng 6 : Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và

(Q)
Hớng dẫn : - Chỉ phơng của d là u = [ n P, n Q] ; Đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ1: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 vµ (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lêi gi¶i .
Ta cã n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1)
Do d //(P) và d//(Q) nên chỉ phơng của d là u = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)
 x = 3 − 3t

⇒ ph¬ng trình tham số của d là: y = 1 − 4t
 z = 5 − 9t


( t lµ tham số)

Ví dụ2: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và mặt
phẳng (Oxy)
Lời giải .
Ta có pháp tuyến của (P) là : n P = (3; 2; -4); Pháp tuyến của (Oxy) là k =(0; 0; 1)
Do d //(P) và d//(Oxy) nên chỉ phơng của d là u = [ n P, k ]= (2; -3; 0)
 x = −2 + 2t

⇒ ph¬ng trình tham số của d là: y = 1 3t
z = 5


( t là tham số)

Dạng 7 : Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, song song với mặt
phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng d’.( d’ kh«ng vu«ng gãc víi (P))
Híng dÉn : - Xác định pháp tuyến của (P) và chỉ phơng của d.( n P và u )
- Chỉ phơng của d là u = [ n P, u ] (Đa bài toán về dạng 2)
Ví Dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d
trong các trờng hợp sau:
7


a/ d ®i qua ®iĨm M(2; 3; 0), song song (P): 3x 2y +z+1 = 0 và vuông góc víi
d’: x − 1 = y + 1 = z + 3 .
2

3

4

b/ d ®i qua ®iĨm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với
x = 1 + 3t

d’:  y = 2 − t
 z = 4 + 2t


( t lµ tham sè )

Lời giải
a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là n P = (3; -2; 1); chỉ phơng của d’ lµ u ’= (2; 3;
4)
Do d//(P) vµ d ⊥ d chỉ phơng của d là u = [ n P, u ’] = (-11; -10; 13)

 x = 2 11t

phơng trình tham số của d là:  y = 3 − 10t
 z = 13t


( t là tham số)

b/ Ta có : - Pháp tuyến của (Oxz) là j = (0; 1; 0)
- Chỉ phơng của d’ lµ u ’= (3; -1; 2 )
Do d//(Oxz) vµ d d chỉ phơng của d là u = [ j , u ’] = (2; 0; -3)
 x = 2 + 2t

phơng trình tham số của d lµ:  y = 1
 z = 3 − 3t


( t là tham số)

Dạng 8 : Đờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đờng thẳng
không cùng phơng d1 và d2.
Hớng dẫn : -Xác định chỉ phơng của d1 và d2 ( u 1 và u 2)
Chỉ phơng của d là u = [ u 1, u 2]
Đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d
trong các trờng hợp sau:
x = 2 − 3t

a/ d ®i qua ®iĨm M(2; -3; 4) và vuông góc với d1: y = 3 + t
 z = −1 + 2t



d2:

( t lµ tham sè )

x +1 y z + 3
= =
2
5
3

b/ d ®i qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc với trục Oy và ®êng th¼ng
 x + 3 y − 2 z + 2 = 0 ( P)
 2 x − y + 3 z − 2 = 0 (Q )

d’ 

Lêi gi¶i
a/ Ta có : Chỉ phơng của d1 là u 1 = (-3; 1; 2)
Chỉ phơng của d2 là u 2 = (2; 5; 3 )
Do d ⊥ d1 vµ d d2 chỉ phơng của d là u =[ u 1, u 2]= (-7; 13; -17)
8


x = 2 7t

phơng trình tham số cđa d lµ:  y = −3 + 13t
 z = 4 17t

( t là tham số)

b/ Xét đờng thẳng d ta có :
- Pháp tuyến của (P) là n P = (1; 3; -2 )
- Ph¸p tun cđa (Q) là n Q = (2; -1; 3)
Chỉ phơng cđa d’ lµ u ’ = [ n P, n Q] = (7; -7; -7)
Hay chỉ phơng của d là u ’ = (1; -1; -1); chØ ph¬ng cđa trơc oy lµ j = (0; 1; 0)
Do d ⊥ d’ và d oy chỉ phơng của d là u =[ u ’, j ]= (1; 0; 1)
x = 1 + t

phơng trình tham số của d là:  y = 2
z = 3 + t


( t lµ tham số)

Dạng 9 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q), ( (P) và (Q) không song song )
Hớng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) , ( n P vµ n Q )
- ChØ phơng của d là u = [ n P, n Q]
-Xác định một điểm thuộc d: ( bằng cách giải hệ tạo bởi phơng trình
hai mặt phẳng và cho trớc giá trị một ẩn.) ( Đa bài toán về dạng 2)
Ví Dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là
giao tuyến của (P): x + y + z - 1 = 0 vµ (Q): 2x - 3y +z +3 = 0.
Lời giải
- Pháp tun cđa (P) lµ n P = (1; 1; 1 ); Pháp tuyến của (Q) là n Q = (2; -3; 1)
Chỉ phơng của d là u = [ n P, n Q] = (4; 1; -5)
x + y + z − 1 = 0
cho x = 0 ⇒ y=1 vµ z = 0

2 x − 3 y + z + 3 = 0

Toạ độ điểm M d tho¶ m·n hƯ 
⇒ M(0; 1; 0 ) ∈ d

 x = 4t

phơng trình tham số của d là  y = 1 + t
 z = −5t


( t là tham số )

Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phơng trình tổng quát của
đờng thẳng về dạng phơng trình tham số.
Dạng 10 : Đờng thẳng d song song và cách đều hai đờng thẳng song song d1
và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Hớng dẫn: - Chỉ phơng của d là chỉ phơng của d1 và d2
- Xác định toạ độ ®iĨm M ∈ d1, N∈ d2 ⇒ to¹ ®é trung điểm I của MN d

Đa bài toán về dạng 2.

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
x = 2 + 3t

x 4 y +1
z
d1:  y = −3 + t ( t lµ tham sè ) vµ d2:
=
=

3
1
−2
 z = 4 2t


Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d 1 và d2
đồng thời cách đều hai đờng thẳng đó.
9


Lời giải
Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phơng của d là u = (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 toạ độ trung điểm I của MN là
I(3; -2; 2) ∈ d
 x = 3 + 3t

⇒ ph¬ng trình tham số của d là y = 2 + t
 z = 2 − 2t


( t lµ tham số )

Nhận xét : - phơng trình của d và d1 chỉ khác nhau toạ độ của điểm đi qua.
- Giả sử d 1 và d2 đợc thay bằng phơng trình tổng quát thì cách xác
định điểm đi qua và véc tơ chỉ phơng tơng tự nh dạng 9.
Dạng 11 : Đờng thẳng d là phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 cắt nhau.
Hớng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I của d1 và d2
- Lấy điểm A d1 ( A khác I)
- Xác định B d2 sao cho IA = IB (tìm đợc hai điểm B1 và B2 thoả

mÃn)
+ Với điểm B1 trung ®iĨm I1 cđa AB1 ⇒ d ®i qua I và I1
+ Với điểm B2 trung điểm I2 của AB2 d đi qua I và I2
Đa bài toán về dạng 3.
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz . Viết phơng trình tham số của d là phân
giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng
d1: x 1 = y + 1 = z
2
1
−1
Lêi gi¶i

x = 3 − t
vµ d2:  y = 2t
( t lµ tham sè ).

 z = −1 + t


 x = 1 + 2t '

Phơng trình tham số của d1 là: y = −1 + t '
 z = −t '

3 − t = 1 + 2t '

xÐt hÖ 2t = −1 + t ' t=0 và t=1 thoả mÃn cả 3 phơng trình trong hệ.
1 + t = t '

d1 cắt d2 tại điểm I(3; 0; -1)

Lấy A(1; -1; 0) d1. B d2 toạ độ của B(3-t; 2t; -1+t)
IA = IB ⇒ t = 1 hc t = -1.

Vậy có hai điểm B thoả mÃn là B1(2; 2; 0) vµ B2(4; -2; -2)
3 1
* gäi I1 là trung điểm của AB1 I1=( ; ; 0)
2

2
3 1
phân giác thứ nhất đi qua I và I1 . II1 =(
; ; 1) ⇒ chØ ph¬ng cđa d lµ
2 2
u = (-3; 1; 2)
 x = 3 − 3t

phân giác thứ nhất là y = 0 + t ( t lµ tham sè )
 z = −1 + 2t


10


5 3
* gọi I2 là trung điểm của AB2 I1=( ;
; -1)
2

2

1 3
phân giác thứ nhất đi qua I vµ I2 . II 2 =(- ;
; 0) ⇒ chỉ phơng của d là
2 2
x = 3 3t

u = (-1; -3; 0) phân giác thứ hai lµ  y = 0 + t ( t lµ tham sè )
 z = −1 + 2t


D¹ng 12 : Đờng thẳng d là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng d1 và
d2 chéo nhau.
Phân tích : giả sử d là đờng vuông góc chung của d1 và d2 chéo nhau thì d là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P) vµ (Q) :(P) chøa d vµ d1 ; (Q) chứa d và d2
Hớng dẫn :
- Xác định chỉ phơng cđa d1 vµ d1 lµ u 1 vµ u 2
- Chỉ phơng của d là u =[ u 1, u 2]
- Viết pt mặt phẳng (P) chứa d và d1
- Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d và d2
- d là giao tuyến của (P) và (Q) ( Đa bài toán về dạng 9 )
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai đờng thẳng chéo nhau:
d1:

x 1 y +1 z − 5
=
=
2
3
1

vµ d2:

x −1 y + 2 z +1
=
=
3
2
2

Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là đờng vuông góc chung của d1 và d2.
Lời giải:
Ta có : chỉ phơng của d1 là: u 1=(2; 3; 1);
Chỉ phơng của d2 là : u 2= (3; 2; 2)
d là đờng vuông góc chung của d1 và d2
Chỉ phơng của d là u = [ u 1, u 2] = (4; -1; -5)
Gäi (P) chøa d vµ d1 pháp tuyến của (P) là n P=[ u 1, u ]=(-14; 14; -14)
Hay pháp tuyến của (P) là n P = (-1; 1; -1)
§iĨm M(1; -1; 5) ∈ (P)
⇒ phơng trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0 -x +y - z +7 = 0
Gäi (Q) chøa d vµ d2 pháp tuyến của (Q) là n Q=[ u , u 2]=(8; -23; 11)
Điểm N(2; -1; -1) (Q)
phơng trình của (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0 8x- 23y +11z43=0
− x + y − z + 7 = 0
8 x − 23 y + 11z − 43 = 0
22
2
22
2
Cho y = 1 ⇒ x =
vµ z = ⇒ ®iÓm A( ; 1; ) ∈ d

3
3
3
3
22

 x = 3 + 4t

Vậy phơng trình tham số của d là :  y = 1 − t
( t lµ tham sè )

2
z = 5t
3


Xét hệ

Dạng 13 : Đờng thẳng d đi qua điểm M, vuông góc với đờng thẳng d1 và cắt
đờng thẳng d2 .
11


Phân tích : - do d cắt d2 tại N N d2 và N d
- Khi đó MN là chỉ phơng của d MN . u 1 = 0 toạ độ điểm N
- Đa bài toán về dạng 3.
Hớng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N d2
- Lập véc tơ MN =? , xác định chỉ phơng của d1
- do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ toạ độ điểm N
- d là đờng thẳng đi qua M và N đà biết ( dạng 3)

Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Lập phơng trình đờng thẳng d ®i qua M(2;
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2
3; 3) vuông góc với d1:
và cắt d2 :  y = 2 − t ( t là tham số)
=
=

1
3
1
z = 1 + t


Lời giải:
Ta có: chỉ phơng của d1 là : u 1 = (1; 3; 1)
Do d c¾t d2 ⇒ N(-3; 2 - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) là chỉ phơng
của d
do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ t = -5 ⇒ MN = (-5; 4; -7)
 x = 2 5t

phơng trình tham số của d lµ :  y = 3 + 4t
 z = 3 7t


( t là tham số)

Dạng 14 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu của d 1
trên mặt phẳng (P).
Phơng pháp : - Xác định pháp tuyến n P của (P), chỉ phơng u 1 của d1

- gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 1 và vuông góc với (P) phơng trình
(Q)
- d là giao tuyến của (P) và (Q)
(Dạng 9)
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d
x = 2 + 3t
là hình chiếu của d1 : y = 1 t trên mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = 0.

z = 3 + t


Lêi gi¶i :
Ta cã : M(2 ; 1 ; 3 ) ∈ d1
Chỉ phơng của d1 là u 1= (3; -1; 1); Pháp tuyến của (P) là n P=(2; -3; 1)
Do d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q)
chứa d1 và vuông góc với (P).
pháp tuyến của (Q) là n Q=[ u 1, n P] = (2; -1; -7)
⇒ ph¬ng trình của (Q) là : 2( x - 2) (y – 1) – 7( z - 3) = 0
⇔ 2x –y -7z +18 = 0
⇒ chØ ph¬ng cđa d lµ : u =[ n P, n Q] = ( 22; 16; 4 )
Hay chỉ phơng của d là u =(11; 8; 2)
2 x − 3 y + z + 1 = 0
cho z=1 ⇒ x= - 31 vµ y = - 9 ⇒ A(- 31 ;- 9 ; 1) ∈ d
4
2
4 2
2 x − y − 7 z + 18 = 0

XÐt hÖ: 

12


31

x = + 11t

4

9

phơng trình tham số của d lµ :  y = − + 8t
2

z = 1 + 2t




( t là tham số )

Dạng 15 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d biết d vuông góc với
(P) đồng thời cắt cả hai đờng thẳng d1 và đờng thẳng d2.
Phơng pháp:
- giả sử d cắt d1 và d2 tại M và N dạng toạ độ của M và N MN ?
- d vuông góc (P) pháp tuyến n P của (P) cùng phơng MN toạ độ của M, N
( Đa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
d . biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đ x = 3 + t
ờng thẳng d1:  y = 2 + 3t vµ d2:


 z = 1 − 2t


x = 2 − t'

 y = 3 + t'
 z = 4 + 2t '


( t vµ t là tham số )

Lời giải:
Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N toạ độ của N (2- t; 3 + t; 4 + 2t’)
⇒ MN =( -t’ - t - 1; t’ - 3t +1; 2t’ +2t +3)
Ph¸p tun cđa (P) là n P= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P) MN và n P cùng phơng.
t 't − 1 t '−3t + 1 2t '+2t + 3
− 1 vµ t’= − 13
⇒ t=
=
=
1
2
1
4
12
11 5 3
1 2 1

⇒ M( ; ; ) ∈ d1 , MN =( ; ; ) chỉ phơng của d là u =(1; 2; 1)
4 4 2
3 3 3
11

x = 4 + t

5

⇒ phơng trình tham số của d là : y = + 2t
; ( t lµ tham sè )
4

3

z = 2 + t



Dạng 16 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d. biết d song song với
hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đờng thẳng d1 và d2 .
Phân tích:
- do d // (P) và d//(Q) chỉ phơng của d là tích có hớng của hai pháp tuyến của
(P) và (Q).
- do d cắt d1 và d2 tại M và N dạng toạ độ của M và M MN cùng phơng với
chỉ phơng của d toạ độ cụ thể của M phơng trình tham số của d
Hớng dẫn:
- Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) là n P và n Q
- Xác định chỉ phơng của d là u = [ n P, n Q]
13

- Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d víi d1 vµ d2
- LËp MN , MN // u toạ độ của M
phơng trình tham số của d
Ví dụ: Viết phơng trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng
(P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai ®êng th¼ng d1:
x = 1 + t
x = 3 − t'


 y = 2 − t , d2:  y = 1 + 2t '
 z = 1 + 2t
z = 2 t'



Lời giải
Ta có: pháp tuyến của (P) là: n P= ( 1; 2; -1)
Pháp tuyến của (Q) lµ: n Q= (-1; -1; 2)
Do d //(P) vµ d//(Q) chỉ phơng của d là u = [ n P, n Q]= ( 3; -1; 1)
Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t) d
d cắt d2 tại N toạ ®é cđa N lµ N(3-t’; 1+2t’; 2-t’) ∈ d
MN = (-t - t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 )
− t − t '+2 t + 2t '−1 − 2t − t '+1
=
=
3
−1
1

8 13 9
⇒ M( ;
; )
7 7 7
8

x = + 3t

7

13
Vậy phơng trình tham số của d là:  y = − t

7

9

z = 7 + t

MN // u ⇒

⇒ t = t’ =

1
7

; ( t lµ tham số )

Bài tập tự luyện :
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1;

3) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng AB.
( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007)
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4)
Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng MN.
( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
Bài3: Trong không gian với hệ toạ ®é Oxyz. Cho hai ®iĨm M(1; 0; 2) vµ N(3; 1;
5) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua M và N.
( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần 2 năm 2007)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt ph¼ng
( α ) : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc
với ( )
( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2008)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng
( ) : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc
với ( )
( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt ph¼ng
( α ): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với
( )
( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008)
14


Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phơng trình của đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB)
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng
(P): 2x +3y 4z +5 =0 vµ (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phơng trình tham số của
đờng thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).

(Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Lập phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng
x3 y 3 z −3
d1:
=
=
1
3
1

x = 2 − t

vµ d2:  y = 2t (Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
z = 8 + t


 x = −4 − t

Bµi 10: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d:  y = −1 + 8t
 z = −3t


trªn mặt phẳng (P): 3x + 2y +z 5 = 0.(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm
2009)
Bài 11: Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả
x = 3 + t
hai đờng th¼ng d1:  y = 2 + 5t

 z = −1 + 4t


(t ∈ R);

x = 2 − t'
d2:  y = 4 + 2t '

z = 6 + t '


(t R )

(Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ ®é Oxyz, cho hai ®êng th¼ng
x y −1 z + 2
d1: =
=
2
−1
1

 x = −1 + 2t

d2:  y = 1 + t
z = 3


(t R)

Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y 4z =0 và
cắt cả hai đơng thẳng d1 và d2.

( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007)
Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phơng trình đơng thẳng d song
song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0
và cắt hai đờng thẳng d1:

x + 4 y − 4 z +1
x−4 y z−2
, d2:
=
=
= =
2
−3
3
−2
3
4

(§Ị 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 14: Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vuông góc với đờng
x = 3
x +1 y + 4 z + 2
thẳng d1:
và cắt đờng thẳng d2:  y = 8 − t
=
=

3
1
1

z = 9 − t


(t R)

(Đề 7 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng
thẳng d1:

x2 y +2 z 3
,
=
=
2
1
1

d2:

x 1 y 1 z +1
=
=
1
2
1

Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006)
15

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đờng thẳng
x = −3 + 2t

d:  y = 1 − t
 z = 1 + 4t


, viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm

với đờng thẳng d.
2004)

x = 0

Bài 17: Cho hai đờng thẳng d1:  y = 1
( t ∈ R), d2:
z = 1 − t


 x = −2 + 2t '

(t’ ∈ R)
y = 1
z = 0


Viết phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi d1 và d2.
Bài 18: Viết phơng trình đờng thẳng d song song , cách đều d 1, d2 và thuộc mặt

phẳng chứa hai đờng thẳng d1, d2.
d1: x + 2 = y − 5 = z 9 ;
3

đáp án:

1

x = t

Bài 1 : y = 2 − 3t
 z = 1 + 2t


4

;

d2 : x = y + 3 = z + 7
3

−1

4

(tham sè t ∈ R)

x − 3 y − 4 z −1
=
=

−1
−1
3
 x = 1 + 2t

Bµi 3 :  y = t
(tham sè t ∈ R)
 z = 2 + 3t


Bµi 2 :

 x = −1 + t

Bµi 4 :  y = 2 − 2t
 z = 3 + 2t


(tham sè t ∈ R)

 x = 1 + 2t

Bµi 5 :  y = 2 − 3t
 z = 3 + 6t


(tham sè t ∈ R)

 x = 3 + 2t


Bµi 6 :  y = −2 − 2t
 z = −2 + t


(tham sè t ∈ R)

x y−2 z−2
=
=
2
−1
1
 x = −1 + t

Bµi 8 : d :  y = −1 − 10t
 z = −7t


Bµi 7 :

(tham sè t ∈ R)

16


x = 3 + t

Bµi 9 : d :  y = −2 − 2t
 z = 7 + 5t


34 9

 x = − 13 + 13 t

167 40

− t
Bµi 10:  y = −
13 13

z = t


x = 2

Bµi 11:  y = 3
 z = −1 + t


x − 2 y z +1
= =
7
1 −4
 x = −2 + 8t

Bµi 13 :  y = −3t
 z = 2 − 4t


(tham sè t ∈ R)

(tham sè t ∈ R)

(tham sè t ∈ R)

Bµi 12:

(tham sè t ∈ R)

x−2 y −3 z −3
=
=
−5
7
8
x −1 y − 2 z − 3
Bµi 15 :
=
=
1
−3
−5
x+4 y+2 z−4
Bµi 16 :
=
=
3
2
−1

Bµi 14 :

 x = t
x = t


Bài 17 : có hai phân giác lµ :  y = 1 (t ∈ R ) vµ  y = 1
z = t
z = t


 x = −1 + 3t

Bµi 18 :  y = 1 − t
(tham sè t ∈ R)
 z = 1 + 4t


(t R)

Kiểm nghiệm
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là
một thành công của ngời giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đà tổ chức cho các em
học sinh lớp 12A2, 12A5, 12A6 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các
bài toán viết phơng trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả rất khả
quan, cụ thể nh sau:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Lớp 12A2

30%
18%
48%
4%
Lớp 12A5
17%
56%
25%
2%
Lớp 12A6
13%
40%
37%
10%
Rõ ràng là đà có sự khác biệt giữa các em học sinh trớc và sau khi học thc hiện
đề tài. Nh vậy chắc chắn phơng pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đà giúp các em
17


phân loại đợc bài tập và nắm khá vững phơng pháp làm và trình bày bài giúp các
em tự tin hơn trong học tập cũng nh khi đi thi .
C. Kết luận và đề xuất
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và
có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đà thu đ ợc
một số kết quả nhất định sau :
1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc một số phơng pháp và biết
vận dụng vào giải các bài tập cơ bản, bài tập vận dụng trong sách giáo
khoa...
2) Một số đề thi häc sinh giái, häc sinh líp chän cã thĨ sử dụng phơng
pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.

3) Là một phơng pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về
đờng thẳng
Xây dựng phơng pháp giảng dạy theo quan ®iĨm ®ỉi míi lµ viƯc mµ toµn x·
héi vµ ngµnh đang quan tâm. Tuy nhiên không có phơng pháp nào vạn năng theo
nghĩa có thể giải đợc mọi bài toán. Vấn đề đặt ra là trong quá trình giảng dạy
chúng ta luôn luôn cố gắng tìm tòi suy nghĩ, cải tiến phơng pháp giảng dạy cho
thích hợp để không ngừng nâng cao chất lợng giảng dạy.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà
tôi nghiên cứu có thể vẫn còn hạn chế rất mong đợc độc giả góp ý kiến để đề tài
đợc hoàn thiện
Xác nhận của BGH

Thờng Xuân, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Ngời thực hiện
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
tôi tự làm, không sao chép nội dung của
ngời khác.

Vũ Thị Hoa

18