rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông một số kỹ năng cần thiết trong dạy học đại số, giải tích

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1.1. Điều 24, luật giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, …, bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm
2002) cũng đã chỉ rõ: “… Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát
triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học
cần thiết cho cuộc sống, … rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận
có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt
các vấn đề một cách chính xác …”
1.2 Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn),
trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ
năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu
giải quyết vấn đề
Tuy nhiên, nhận định về phương pháp dạy toán ở trường phổ thông trong
giai đoạn hiện nay, các tác giả Hoàng Tuỵ và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Cách
dạy phổ biến hiện nay là thầy đã ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải
thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính
toán, chứng minh …” [35 ] . “…Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ,
dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để
phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán
nản …" [35, tr.38 ]
1.3 Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, …
đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kỹ năng trong dạy học Đại số
và Giải tích cho học sinh. Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kỹ năng là một
trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành. Việc
- 1 -

dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa,
định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim
viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác” [17, tr.46 ].
Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹ
năng trong dạy học Toán
1.4 Đại số và Giải tích là một trong những nội dung toán học chứa
đựng nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh một số kỹ
năng, chẳng hạn chủ đề phương trình, bất phương trình thích hợp với kỹ năng
phân chia trường hợp riêng; hệ bất phương trình bậc nhất thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn, … Tuy
nhiên, qua quan sát thực tiễn sư phạm cho thấy việc rèn luyện một số kỹ năng
cho học sinh trong dạy học Đại số, Giải tích chưa được chú trọng, còn hời hợt.
Điều này được thể hiện ở những khó khăn sai lầm học sinh thường gặp và
phương pháp dạy học hiện nay.
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến rèn luyện kỹ năng,
chẳng hạn luận văn thạc sỹ của Nguyễn Huy Thao (2006): “ Rèn luyện cho học
sinh khá giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất
phương trình có tham số trong dạy học Toán ở trường THPT”, nhưng chưa có
một công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong dạy
học Đại số và Giải tích.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: “Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông một số kỹ năng cần thiết
trong dạy học Đại số, Giải tích”
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ
năng trong dạy học Đại số, Giải tích
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
Luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau đây:
1.1.Kỹ năng là gì? Vai trò của kỹ năng? Mỗi quan hệ giữa kỹ năng và
tư duy?

- 2 -
1.2. Đề xuất những căn cứ để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng
trong dạy học Đại số, Giải tích
1.3. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số,
Giải tích
1.4. Kết quả thực nghiệm.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Trên cơ sở lý luận trên, nếu rèn luyện cho học sinh đợc một số kỹ năng
trong dạy học Đại số, Giải tích thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở
trường phổ thông
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Các phương pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận,
điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN:
a. Về mặt lý luận: Đã đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần
rèn luyện cho học sinh trong dạy học Đại số, Giải tích
b. Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
toán ở trường THPT
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và Tài liệu tham khảo có 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại
số, Giải tích.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
1.1.2. Vai trò của kỹ năng

1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
- 3 -
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
1.1.5. Mỗi quan hệ giữa tư duy và kỹ năng
1.2. Vấn đề về đổi mới phương pháp dạy
1.3 Kết luận chương 1.
Chương 2 RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ KỸ NĂNG
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH.
2.1. Những căn cứ để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong
dạy học Đại số, Giải tích
2.1.1. Căn cứ 1: Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh khi giải
toán Đại số, Giải tích để xác định những kỹ năng cần tăng cường
rèn luyện cho học sinh, nhằm giúp họ khắc phục những khó khăn,
sai lầm này
2.1.2. Căn cứ 2: Dựa vào đặc thù và chất liệu Đại số, Giải tích
2.1.3. Căn cứ 3: Thực tiễn dạy học Đại số, Giải tích ở trường học
2.2. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, Giải
tích
2.2.1. Kỹ năng 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy diễn (Suy luận
diễn dịch và khai thác triệt để các tình huống có thể rèn luyện cho
học sinh kỹ năng này)
2.2.2. Kỹ năng 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ năng mò mẫn, dự
đoán, phối hợp giữa suy đoán và suy diễn trong quá trình giải
quyết vấn đề.
2.2.3. Kỹ năng 3: Kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng trong quá
trình giải toán
2.2.4 Kỹ năng 4: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện, thiết lập sự
tương ứng giữa các dối tượng tham gia trong bài toán.
2.2.5. Kỹ năng 5: Kỹ năng vẽ và đọc đồ thị, biểu diễn trên trục số trong
quá trình giải toán Đại số và Giải tích

2.2.6. Kỹ năng 6:Kỹ năng toán học hoá các tình hống thực tiễn
- 4 -
2.2.7. Kỹ năng 7: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác
khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.
2.2.8. Kỹ năng 8: Tập luyện cho học sinh diễn đạt một số định nghĩa
theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt hướng tới cách diễn đạt có lợi
cho vấn đề cần giải quyết
2.3. Kết luận chơng 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4 Kết luận chung về thực nghiệm
- 5 -
Chương 1
CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng:
1.1.1. Khái niệm về kỹ năng:
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hành
nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người cần sử dụng
vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là
bản chất đối với nhiệm vụ của được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi có
thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó. Với quá trình đó con người dần
dần hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng để giải quyết các vấn đề.
Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái
niệm kỹ năng như sau:
Quan điểm 1 cho rằng: Kỹ năng là sự nắm vững những có ý thức các
phương thức hoạt động.
Quan điểm 2 cho rằng : Sự sử dụng kiến thức và kỹ xảo đã có để lựa
chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt ra.

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [10, tr. 149]
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kỹ năng, chẳng hạn: “Kỹ
năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực
nào đó vào thực tế” [41, tr. 462] hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình
huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”
[40, tr .15].
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu
trung lại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm,
cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới .
Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết. Cơ sở lý thuyết
đó là kiến thức. Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kỹ năng (phải hiểu
- 6 -
mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần thiết
để triển khai các cách thức đó)
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ năng
Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy
đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý
thức với tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng). Nói cách khác, cần làm
sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong tri
thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt
ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối
tượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu. Chẳng hạn, xét ví dụ: Tìm m
để phương trình :
2x
4

+ (m+2)x
2
+ m
2
– 1 = 0 (1) có nghiệm.
Những thuộc tính được phản ánh trong tri thức là : có chứa tham số,
phương trình trùng phương … Để giải bài toán này ta phải nhớ lại cách giải
phương trình trùng phương, xác định những phép biến đổi cần thiết thích hợp
với mục tiêu: Tìm m để phương trình có nghiệm. Do phương trình trên có dạng
trùng phương nên có thể chuyển được về dạng phương trình bậc 2 và mục tiêu
đặt ra được giải quyết nhờ phép biến đổi t = x
2
(t
≥
0) phương trình chuyển về
phương trình:
2t
2
+ (m+2)t +m
2
– 1 = 0 (2)
Mục tiêu của bài toán là tìm m để pt (2) có nghiệm không âm
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó
khăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu
nhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm và phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn
có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định.
Ví dụ: Biết ax + 1 > 0,
∀
x
∈

(-1; 1), hãy tìm điều kiện của a
Thực chất của mỗi quan hệ đó là: Tìm a sao cho (-1; 1) là tập con của
tập nghiệm bất phương trình ax + 1 > 0
- 7 -
Vì thế, sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau đây:
*. Nội dung của nhiệm vụ, bài tập được đặt ra trừu tượng hoá sẵn sàng bị
che phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự
hình thành kỹ năng.
Ví dụ 1: Giải pt 2x
4
+ 3x
3
+ x
2
+ 3x + 2 = 0
Phương trình trên thực chất là phương trình bậc 2 một ẩn nếu ta chia 2
vế cho x
2

≠
0 thì và đặt ẩn phụ t = x +
2
1
Phương pháp để giải phương trình trên rất đơn giản, tuy nhiên bằng sự
che phủ bởi bậc của phương trình là bậc 4 nên gây cho học sinh không thấy
được mỗi quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán.
*. Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng.
Chẳng hạn, ở ví dụ trên phương trình là phương trình bậc 4 nên nhiều học sinh
rất ngại và có xu hướng tập trung vào phương pháp nhẩm nghiệm, bởi vì học
sinh chỉ mới biết cách giải phương trình có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2

Ngoài ra cũng chịu ảnh hưởng của yếu tố khái quát của đối tượng một
cách toàn thể.
1.1.2 Vai trò của kỹ năng:
Cùng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ
năng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì môn này
được coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực
hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường phổ thông, vì vậy
cần hướng hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh
Toàn). Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vì nếu không có
kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu
cầu giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mỗi quan hệ giữa
học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
- 8 -
thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào
việc giải bài tập.
1.1.3 Sự hình thành kỹ năng:
Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp
các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp
thu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành
động [32, tr 153]
Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toán
phụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung của
bài toán. Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện trong
những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía cạnh
và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và được
biểu thị bằng các từ. Quá trình này diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng
hợp, trìu tượng hoá - khái quát hoá cho tới khi hình thành được mô hình về một
mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa đối với việc giải giải bài toán đã cho. Ở

đây mỗi bước nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy
tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các khía
cạnh mới của đối tượng phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy như là sự
diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Chẳng hạn, bài toán được giải nhờ biến đổi từ
hình thức : “Tìm m để phương trình (m + 2)x
2
+ 2x + m – 3 = 0 có ít nhất 1
nghiệm thuộc [0, 2]” thành hình thức “Tìm m để phương trình (m + 2)x
2
+ 2x +
m – 3 = 0 có nghiệm thuộc [0, 2]”.
Ví dụ về sự diễn đạt lại bài toán “Tìm m để phương trình
mxx
=−+−
45
(m
≥
1) có nghiệm duy nhất”
Có thể phân tích (diễn đạt) bài toán trên bằng cách sau: (phương pháp
khử dấu căn thức). Biến đổi bài toán về dạng:
- x
2
+9 x – 20 – (
2
1
2
−m
)
2
= 0 (2) với điều kiện

54
≤≤
x
- 9 -
Đây là phương trình bậc 2 với điều kiện
54
≤≤
x
nên để tìm m để
phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất nghĩa là phương trình (2) có đúng
một nghiệm
∈
[4, 5]. Điều này có nghĩa là phải chỉ ra:
+ Phương trình có 2 nghiệm kép
∈
[4, 5].



≤=≤
=∆
⇔
54
0
21
xx
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm
∈
[4, 5], một nghiệm
∉

[4, 5].



<
>∆
⇔
0)5().4(
0
ff
Cũng có thể chủ thể diễn đạt bài toán như sau: Giả sử phương trình có 1
nghiệm x
0
, rồi chỉ ra một nghiệm x
1
khác (x
1
= b + a – x
0
). Để phương trình có
nghiệm duy nhất nghĩa là x
0
= x
1
, từ đó sẽ xác định được điều kiện cần của
tham số.
Một ví dụ khác, chứng minh hàm số y = x
3
+ m + 2 đồng biến trên (a, b)
với mọi m.

Đối với học sinh lớp 10 có thể diễn đạt bài toán như sau: Nghĩa là phải
chứng minh: x
1
, x
2
bất kỳ thuộc (a, b) và x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
Nhưng đối với học sinh lớp 12 lại có thể diễn dạt bài toán như sau: “Do
hàm y = f(x) = x
3
+ m + 2 là hàm sơ cấp, liên tục (a, b) nên có đạo hàm (a, b).
Để chứng minh f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi m có nghĩa là chứng minh
f’(x) > 0
∀
x
∈
(a, b) không phụ thuộc vào m”
Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối
tượng để tiến hành giải bài toán.
Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích và tổng hợp những dữ kiện
của giai đoạn trước và được thể hiện trong các khái niệm. Nhưng các khái
niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội. Khi nghiên cứu đối tượng thì trong
tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng.

Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác được những tri thức về đối tượng
đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên. S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá
trình tư duy nhờ phân tích, tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên
hệ ngày càng mới và do đó thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những
- 10 -
phẩm chất này được ghi lại trong khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường
như có thể khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần
quay lại một mặt khác và triong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới. [32, tr
155].
Theo quan điểm này sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như
là những sản phẩm của những tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng
được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính
khác nhau của đối tượng đang được nghiên cứu. Con đường chính của sự hình
thành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối
tượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt
các quan hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm.
Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều
con đường khác nhau. Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, cocn đường
dạy học Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinh
chính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức.
1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn toán:
Có nhiều cách phân loại kỹ năng .
Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản
thành 4 nhóm:
a) Kỹ năng nhận thức:
Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ
năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…
b) Kỹ năng thực hành:
Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải

bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc
trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.
d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.
- 11 -
Theo các tác giả : Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, … lại xem xét
kỹ năng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận
dụng toán học vào đời sống.
1.1.5 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng:
Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau:Kỹ năng là cơ sở
để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quá
trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra
1.2. Về vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán
Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, việc đổi mới phương pháp
dạy học cần thực hiện theo định hướng hoạt động hoá người học, tức là tổ chức
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và
sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Đòi hỏi này xuất phát từ
những yêu cầu của xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ
những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập. Để đáp
ứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ dừng ở việc nêu định hướng đổi mới
phương pháp dạy học, mà phải đi sâu vào những phương pháp dạy học cụ thể
như những biện pháp để thực hiện định hướng nói trên. Trong số đó, phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương pháp
đáp ứng tốt định hướng trên.
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo những tình
huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích
cực chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri
thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích khác.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau đây

(Pietzsch 1981, tr. 16- dẫn theo Nguyễn Bá Kim 2002):
- Học sinh được đặt và một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là
đựoc thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.
- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy
động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề
chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động.
- Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được
kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ
- 12 -
làm cho họ phát triển khả năng tiến hành quá trình như vậy. Nói cách
khác, học sinh được học bản thân việc học.
Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh quá trình phát hiện và giải quyết
vấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình
thức khác nhau của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
• Tự nghiên cứu vấn đề
Trong tự nhiên nghiên cứu vấn đè, tính độc lập của người học được phát
huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện
và giải quyết vấn đề đó. Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập
nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên
cứu này.
• Vấn đáp phát hiện giải quyết vấn đề:
Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề, học trò làm việc không
hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết. Phương tiện
để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc
hành động đáp lại của trò. Như vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của thầy
và trò dưới hình thức vấn đáp.
Với hình thức này, ta thấy dạy học phát hiện giải quyết vấn đề ó phần
giống với phương pháp vấn đáp. Tuy nhiên, hai cách học này thật ra không
đồng nhất với nhau. Nét quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
không phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong một giờ học

nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu các câu hỏi này chỉ đòi
hỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học giải quyết
vấn đề. Ngược lại, trong một số trường hợp, việc giải quyết và phát hiện vấn đề
của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không
phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra
• Thuyết trình và phát hiện giải quyết vấn đề:
Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức
trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề , sau đó chính bản thân thầy phát
hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề (chứ không phải
chỉ đơn thuần nêu lời giải). Trong quá trình đó có sự tìm tòi, dự đoán có lúc
thành công, có lúc thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả.
Như vậy, tri thức trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình
người ta khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá
- 13 -
trình khám phá trật tự. Cấp độ này được dùng nhiều ở những lớp trên như
trung học phổ thông, đại học.
Theo G. Polya: giúp đỡ học sinh là nhiệm vụ quan trọng nhất mà người
thầy phải làm, nhiệm vụ đó không phải là dễ, nó đòi hỏi phải có thời gian và
kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn. Người học
sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh
nghiệm độc lập công tác. Nhưng nếu anh ta một mình đứng trước một bài toán
mà không có một sự giúp đỡ nào, hay với một sự giúp đỡ quá ít thì không có
tiến bộ gì được. Mặt khác, nếu thầy giáo giúp đỡ nhiều quá thì học sinh sẽ
chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo phải giúp đỡ một cách vừa phải, không nhiều
quá cũng không ít quá và như vậy để lại cho học sinh một phần công việc hợp
lý.
Nếu khả năng của học sinh bị hạn chế, thầy giáo ít nhất cũng phải làm
cho học sinh có cảm giác rằng anh ta tự làm lấy. Do đó, sự giúp đỡ của thầy
giáo cần phải kín đáo và không được bắt học sinh phải lệ thuộc vào mình.
Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên, thầy giáo phải đặt địa vị của

mình là một học sonh, nghiên cứu trường hợp đặc biệt của anh ta, cố gắng hiểu
xem anh ta nghĩ gì, đặt một câu hỏi hay hướng dẫn một bước suy luận mà học
sinh có thể tự mình nghĩ ra được [28, tr12]
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, Luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác
giả về khái niệm kỹ năng và vai trò của kỹ năng trong dạy học toán. Đồng thời
cũng đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học
- 14 -
CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ KỸ NĂNG
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH
2.1. Những căn cứ để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong
dạy học Đại số, giải tích
2.1.1. Căn cứ 1: Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của học
sinh khi giải Toán Đại số, Giải tích để xác định những kỹ năng cần tăng
cường rèn luyện cho học sinh nhằm giúp học sinh khắc phục những khó
khăn sai lầm này.
2.1.2. Căn cứ 2: Dựa vào đặc thù và chất liệu Đại số, giải tích
2.1.3. Căn cứ 3: Thực tiễn dạy học Đại số, Giải tích ở trường học.
2.2. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số,
Giải tích
2.2.1.Kỹ năng 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy diễn (suy luận diễn
dịch) và khai thác triệt để các tình huống có thể rèn luyện cho học sinh
kỹ năng này (bằng kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho)
2.2.1.1.Theo tác giải Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra mệnh đề mới
từ một hay nhiều mệnh đề đã có”
- 15 -
Nếu ta bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng suy luận tức là ta đã bồi dưỡng
cho học sinh một phần của tư duy toán học, bởi vì suy luận gắn chặt với suy
nghĩ. Mặt khác, theo kết quả của Kôliagin: “Tư duy toán học bao hàm tư duy

lôgí, mà tư duy lôgic có một thành phần là : rút ra kết luận từ những tiền đề”.
Suy luận diễn dịch hay còn gọi là suy luận suy diễn là suy luận theo
những quy tắc, xác định rằng nếu các tiên đề đúng thì kết luận rút ra cũng
đúng.
Không có ai hoài nghi với nhận định “Toán học là khoa học suy
diễn”[27 ], “Kỹ năng suy diễn dịch là kỹ năng đặc trưng của tư duy toán
học” [3 .tr.5]
Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường phổ thông điều đó chưa thực sự
ý thức một cách đầy đủ, chẳng hạn phương pháp dạy học hiện nay đang nặng
về lối “Thầy giảng – trò nghe”; giáo viên thường bao biện những bước suy
luận mà học sinh có thể tự mình giải quyết, giáo viên chưa sử dụng được hệ
thống câu hỏi và bài tập hợp lý, linh hoạt với từng đối tượng học sinh, nhiều
bài trùng nhau về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng công thức, thiếu bài tập suy luận
diễn dịch, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện có thể có
thể rèn luyện kỹ năng suy diễn; chưa khai thác tốt giữa những chủ đề kiến thức
với nhau thông qua những bước duy diễn không đến mức phức tạp. “Logic của
toán học không chỉ bao gồm các cách diễn đạt mang tính riêng lẻ mà còn có
thể hiện tính hoàn chỉnh của nó” – Alêch xăngđôp (Bàn về toán học trong
nhà trường số 3 - 1980)
Theo lý thuyết tình huống để dạy cho học sinh một tri thức nào đó cách
làm tốt nhất là cài đặt tri thức nào đó vào tình huống nàp đó thích hợp với học
sinh để học sinh lĩnh hội nó thông qua dạy học tích cực và sáng tạo, do dó
muốn phát triển khái niệm suy diễn không thể nào đơn thuần thầy giáo suy
diễn học sinh dõi theo, không thể không quan tâm đến những bài tập tương
thích với mục tiêu suy diễn. Cũng theo lý thuyết tìng huống thì: “Một môi
trường không có dụng ý sư phạm thì không đủ để chủ thể kiến tạo được tất cả
kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội được”[ 17 ,tr.211]
- 16 -
Trong cải cách dạy và học toán ở trường phổ thông trên thế giới, bất kỳ
ở nước nào cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc giảng dạy các phương

pháp suy luận toán học trong trường phổ thông, vì nó nắm được các phương
pháp đó thì toán học mới có chất lượng tốt và mới có tiềm lực tiếp thu toán học
ở bậc đại học, cao đẳng [39]
2.2.1.2. Một số điểm cần lưu ý sau nhằm rèn luyện kỹ năng suy diễn
cho học sinh:
a) Nhằm tạo lặp nhiều cơ hội để học sinh tập duyệt, được tiến hành các
hoạt động suy diễn.
Ví dụ 1: Dạy học điều kiện để hàm số f(x) gián đoạn tại 1 điểm x
0
Sau khi học sinh học định nghĩa hàm số liên tục, gián đoạn tại một điểm
có thể dẫn dắt học sinh tìm điều kiện để học sinh gián đoạn tại một điểm qua
một số câu hỏi:
- Hãy cho hàm số gián đoạn tại một điểm x
0
có nghĩa là gì? (tức là hàm
số không liên tục tại điểm x
0
)
- Với điều kiện gì đẻ hàm số f(x) không liên tục tại một điểm x
0
? Nếu
học sinh gặp khó khăn thì có thể dẫn dắt học sinh tiếp:
- Nếu điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
? (f(x) xác
định tại x
0
, tồn tại limf(x) và limf(x) = f(x
0
)

0
xx
→

0
xx
→
- Nếu thiếu một trong các điều kiện trên thì hàm số có liên tục tại điểm
x
0
hay không?
Từ đó, học sinh đưa ra các điều kiện để f(x) gián đoạn tại điểm x
0
nếu:








≠


→→
→
)f(x limf(x) nhnglimf(x) t¹i tånx t¹i Þnh x¸c f(x)
t¹i tån kh«nglimf(x) nhngx t¹i Þnh f(x)x¸c

x t¹i Þnh x¸c kh«ngf(x)
00
0
0
0
xx
0
xx
0
xx
,
- 17 -
Qua ví dụ trên, người thầy giáo đã biết lợi dụng sự phân bậc hoạt động
để điều khiển quá trình dạy học theo hướng tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần
thiết
Ví dụ 2: Dạy về chiều biến thiên của hàm số bậc hai:
y = ax
2
+ bx + c (a > 0).
Sau khi lập tỷ số
b)xx(a
xx
yy
21
12
12
++=
−
−
, không nên đột nhiên thông báo

với HS rằng: Nếu x
2
và x
1
thuộc






∞+− ;
a2
b
thì
12
12
xx
yy
−
−
> 0, mà có thể nêu
cho học sinh câu hỏi:
Biểu thức a(x
2
+ x
1
) + b sẽ chắc chắn dương nếu như x
2
và x

1
thuộc vào
khoảng nào?

b)xx(a
xx
yy
21
12
12
++=
−
−
, không nên đột nhiên thông báo với HS rằng:
Nếu x
2
và x
1
thuộc






∞+− ;
a2
b
thì
12

12
xx
yy
−
−
> 0, mà có thể nêu cho học sinh
câu hỏi:
Biểu thức a(x
2
+ x
1
) + b sẽ chắc chắn dương nếu như x
2
và x
1
thuộc vào
khoảng nào?
Ví dụ 3: Sau khi học xong Định lý về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức: f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0).
Nếu Δ < 0 thì af(x) > 0 ∀x.
Nếu Δ = 0 thì af(x) > 0 ∀x ≠
a2
b
−
.
Nếu Δ > 0 thì af(x) > 0 ∀x ∈ (- ∞; x
1
) ∪ (x

2
; + ∞)
af(x) < 0 ∀x ∈ (x
1
; x
2
).
Có thể hỏi HS: Quan sát Định lý, hãy cho biết, trong trường hợp nào thì
f(x) luôn giữ nguyên một dấu? (Chỉ có trường hợp Δ < 0).
- 18 -
- Muốn f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x, cần có những điều kiện gì?
(f(x) luôn nhận dấu dương tức là f(x) luôn giữ nguyên một dấu ⇒ Δ < 0. Với Δ
< 0 thì f(x) luôn cùng dấu hệ số a với mọi x, từ đó a > 0. Ngược lại, nếu a >
0; ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu hệ số a, tức là f(x) > 0 ∀x. Vậy điều kiện cần
tìm là a > 0, Δ < 0).
Những câu hỏi dẫn dắt trên đây có dụng ý giúp HS đi đến một kiến thức
rất quan trọng của Đại số 10, đó là tam thức không đổi dấu.
Tuy nhiên, cần tính đến một tình huống: HS gặp khó khăn ở câu hỏi thứ
hai, khi đó có thể dẫn dắt thêm: Nếu f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x thì
dấu của f(x) có thay đổi hay không? Vậy thì Δ phải như thế nào?
b) Có những tính chất có thể suy ra một cách trực tiếp từ định lý trước
đó mà không trải qua nhiều bước suy diễn nên để học sinh độc lập chiếm lĩnh.
Viện sỹ A.Đ.Alêcxanđrov đã phát biểu: “Nếu chúng ta không tư duy
lôgic thì phải dạy chính nó chứ không phải dạy lập luận có sẵn ”[ 1 ,tr59]
Ví dụ 4: Sau khi học sinh đã học định lý: “Một dãy có giới hạn thì bị
chặn” , giáo viên có thể hỏi học sinh các câu hỏi kiểu sau:
- Một dãy không bị chặn có hội tụ không?
- Một dãy bị chặn thì dãy đó có hội tụ không?
Qua ví dụ trên, nếu thầy giáo không cho học sinh luyện tập các bước suy
diễn đơn giản thì học sinh sẽ mắc phải sai lầm: “Một dãy bị chăn thì hội tụ”. ở

đây học sinh đã nhầm lẫn giữa quy tắc: P
⇒
Q thì Q
⇒
P
Việc yêu cầu học sinh như vậy có tác dụng tập luyện cho học sinh hoạt
động lật ngược vấn đề, đồng thời khắc phục những sai lầm kiểu như trên.
Ví dụ 5: Sau khi dạy bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm có thể
yêu cầu học sinh phát biểu bất đẳng thức Cauchi cho 3 và cho n số
c) Chú trọng khai thác những tình huống mà ở đây vừa luyện tập được
khái niệm suy diễn, vừa nảy sinh áp dụng để giải quyết những vấn đề liên quan.
Đồng thời lưu ý việc gợi động cơ, truyền thụ tri thức phương pháp trong những
trường hợp này
- 19 -
Ví dụ 6: Khi dạy hàm số tuần hoàn, thầy giáo không chỉ đặt mục tiêu là
học sinh nắm được khái niệm mà còn vươn tới việc làm cho học sinh biết vận
dụng nhữg kiến thức này trong khi xử lý một số vấn đề liên quan.
Có thể nêu câu hỏi: giả sử f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T, a là hằng số,
biết rằng phương trình: f(x) = a có một nghiệm x
0

∈
[0,T], hỏi phương trình có
nghiệm khác nào?
Học sinh trả lời: x
0
là n
0

⇒

f(x
0
) = a, f(x) tuần hoàn chu kỳ T, nên f(x
0
+
kT) = f(x
0
) = a (k
∈
Z)
⇒
x
0
+ kT là n
0
Sau khi học sinh phát hiện ra phương trình có nghiệm dạng x
0
+ kT, giáo
viên có thể nhấn mạnh với học sinh:
Đối với hàm số tuần hoàn giúp ta rút ngắn khoảng tìm nghiệm vì có
những bài toán tìm nghiệm trên toàn tập khó khăn, đặc biệt là khi giải phương
trình lượng giác, bất phương trình lượng giác.
Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài toán:
1. Giải bất phương trình: a) Sin2x >sin4x
b) sinx +sin3x < sin2x + sin4x
2. Các bài toán hàm số lượng giác:Chẳng hạn vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 7: Sau khi học định nghĩa tiếp tuyến của đường cong ta có 4 bài
toán về tiếp tuyến như sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x, m) tại 1 điểm
M(x

0
,y
0
)
∈
(C)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp
tuyến là k
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x,m) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(x
A
, y
A
)
Bài toán 4: Biện luận về số tiếp tuyến có tính chất nào đó kẻ được từ 2
điểm tới đồ thị (C) : y = f(x,m)
Tuỳ theo mức độ của từng đối tượng học sinh mà có thể dẫn dắt học sinh
chiếm lĩnh bài toán 2, 3, 4 từ bài toán 1 hoặc từ bài toán 1 sang bài toán 4.
- 20 -
Như vậy, giáo viên đã vận dụng quan điểm hoạt động thể hiện qua tư
tưởng phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Ví dụ8: Trong chương trình phân Ban sách giáo khoa 10 hiện nay định lý
đảo về dấu của tam thức bậc hai không đưa vào ,nhưng định lý này có ứng
dụng hết sức phong phú .Vì vậy giáo viên có thể dẫn dắt để học sinh tìm ra
định lý này như sau:
Để dẫn đến Định lý đảo, có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Nhìn vào Định
lý về dấu của tam thức bậc 2, hãy cho biết, trong trường hợp nào thì tồn tại
một số
α
để f(

α
) trái dấu với hệ số a? (Đáp: ∆ > 0).
Hãy so sánh số
α
với các nghiệm của tam thức f(x)? (Đáp: x
1
< α < x
2
).
Sau khi HS trả lời các câu hỏi này, thầy giáo thực hiện khâu thể chế hoá
[17, tr. 208], xác nhận định lý và tiếp tục nhấn mạnh rằng: Trước đây, muốn
chứng minh phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt, ta phải tính ∆ và
chứng minh ∆ > 0. Tuy nhiên, điều đó không phải bao giờ cũng dễ dàng thực
hiện được. Nay, có thêm một phương pháp mới, đó là chỉ ra một số α thích
hợp sao cho af(α) < 0. Theo cách này, khâu mấu chốt là phải “mò mẫm” được
số α, để “mò mẫm”, cần phải dựa vào đặc thù của f(x) và có thể phải trải qua
một số lần thử nhất định.
Để củng cố, có thể cho HS làm bài tập sau: Chứng minh rằng tam thức
f(x) = (x - m)(x - n) + (x - n)(x - p) + (x - p)(x - m) có 2 nghiệm phân biệt,
trong đó m < n < p.
Nếu HS gặp khó khăn trong khâu tìm α, có thể gợi ý thêm:
- Các hệ số của f(x) phụ thuộc những số nào? Dấu của f(x) còn phụ thuộc
vào tương quan của x với những số nào? (Với m, n, p).
- Trước hết hãy thử xét xem, bản thân các số đó khi đem thay vào f(x) sẽ
cho kết quả với dấu như thế nào?
Sau khi lần lượt thay m, n, p vào f(x), HS sẽ phát hiện ra rằng 3f(n) < 0, và
đi đến khẳng định: Tam thức có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

thoả mãn x
1
<
n < x
2
.
- 21 -
2.2.2. Kỹ năng 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng mò mẫn, dự đoán, kết
hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn
đề
2.2.2.1.Vấn đề phát triển kỹ năng dư đoán và suy đoán là rất rộng và
khó, bởi vậy chúng tôi chỉ xem xét kỹ năng này trên một số khía cạnh của dự
đoán mà thôi.
Trong nhiều tài liệu viết về dự đoán có rất nhiều tác giả đưa ra các thuật
ngữ khác nhau, chẳng hạn như "phán đoán", … Tuy nhiên, nói chung lại thì
đều rằng: từ dụ kiện của bài toán ban đầu, hoặc các kiến thức đã có bằng một
số hoạt động toán học có thể dự kiến, định lượng được kết quả bài toán.
Khi xét về nguồn gốc và sự phát triển của toán học tác giả Nguyễn Bá
Kim đã phát biểu: "Nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát
triển, trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có "thực nghiệm" và "quy nạp"
Còn nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ - GPôlya cho
rằng: “Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận, là chứng minh.
Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán. Nếu
việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó thì việc hình thành toán học như thế
nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có
lý’’[27, tr.6].“Với ai đang học toán tất nhiên sẽ học chứng minh, nhưng
phải học cả dự đoán nữa” [ 27]
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cũng có nhiều quan điểm tương đồng với
GPôlya. Ông rất coi trọng quan điểm dạy cho học sinh mò mẫm, dự đoán
những cách giải mày mò, mù quáng trước những vấn đề không vội vàng, …

[38, tr.243]
Thế nhưng trong dạy toán ở trường hiện nay, việc tạo ra các tình huống
để học sinh dự đoán dường như không có. Điều này được thể hiện: Nhiều giáo
viên luôn luôn bằng cách nào đó để được bài giảng sinh động, truyền kiến thức
càng nhiều cho học sinh càn tốt. Phải chăng, họ cho rằng: Nếu để học sinh dự
đoán thì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lượng kiến thức truyền thụ sẽ bị hạn chế.
- 22 -
Thực ra, nếu để học sinh dự đoán tìm tòi mò mẫn đúng là tốn thời gian,
khối lượng kiến thức truyền thụ kiến thức cho học sinh được ít trong một tiết
học nhưng “sẽ được đền bù nhanh chóng khi tư duy độc lập của học sinh đã
phát triển” [ 5, tr.115].
Phương pháp dạy học này làm cho học sinh gặp phải một số sai lầm, khó
khăn trước những bài toán có dạng tìm tòi (tìm quỹ tích, tìm giá trị nhỏ nhất)
hoặc nhiều lúc giáo viên trình bày kiến thức một cách áp đặt mà học sinh
không biết do đâu mà có điều đó (như: kẻ đường phụ, thêm bớt một lượng nào
đó, … )
Ví dụ 9: Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân hoặc vuông, biết
rằng:
B
A
tgB
tgA
2
2
sin
sin
=
(*)
Có học sinh đã giải bài toán này như sau:
(*)

⇔
tgA.sin
2
B = tgB.sin
2
A

⇔

B
A
A
B
cos
sin
cos
sin
=

⇔
sinB.cosB = sinA.cosA
⇔
sin2A = sin2B
⇔
2A = 2B
⇔
tâm giác ABC là tam giác cân
ở đây học sinh đã mắc phải sai lầm là chưa nắm chắc chắn cách giải
phương trình lượng giác cơ bản:
βα

sinsin =
và chưa sử dụng hết giả thiết A,
B, C là 3 góc của tam giác, đồng thời kết luận của giả thiết còn thiếu
Nếu học sinh có thói quen dự đoán, suy đoán thì họ sẽ biết định hướng
bài toán như sau:
Xuất phát từ chỉ quan sát thấy vai trò của một góc B, A bình đẳng với
nhau trong đẳng thức đã cho, ta dự đoán rằng: Nếu
∆
ABC cân thì chỉ có thể
^
A

=
^
B
hoặc
^
C
= 90
0
Ví dụ 10: Cho a,b là hai số tự nhiên và a + b = 2003, a
≤
1002. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức A = ab . (Cho học sinh lớp 10)
Có nhiều học sinh giải bài toán như sau:
- 23 -
Do a, b
∈
N và tổng a + b không đổi nên áp dụng bất đẳng thức Cauchi
cho 2 số ta có:

2
2






+
≤
ba
ab
Mà a +b = 2003 nên
2
2
2003






≤
ab
. Vậy Max
2
2







+
=
ba
ab
Sai lầm của học sinh trên là chưa nắm được đầy đủ cấu trúc định nghĩa
giá trị lớn nhất: Nếu biêu thức A
≤
a thì chưa khẳng định chắc chắn giá trị lớn
nhất bằng a mà phải xét thêm điều kiện dấu “=” xẩy ra .
Bên cạnh đó có học sinh giải như sau:
Sau khi chứng minh
2
2
2003






≤
ab
và họ đi xét điều kiện để dấu “=”
xẩy ra là:








∈
=+
≤
=
Nba
ba
a
ba
,
2003
1002
Hệ này vô nghiệm nên đã kết luận không tồn tại giá trị lớn
nhất
Học sinh trên đã thắc mắc sai lầm là A
≤
a thì giá trị lớn nhất của biểu
thức A nếu có chỉ có thể là a. Mà A không bằng a được nên A không có giá trị
lớn nhất.
Nếu học sinh có thói quen dự đoán thì sẽ biết thử một số trường hợp:
Ta cho (a,b) cặp giá trị, chẳng hạn a tự tăng dần
Cho a = 0 khi đó b = 2003 thì ab = 0
Cho a = 1 khi đó b = 2002 thì ab = 2002
Cho a = 2 khi đó b = 2001 thì ab = 4002
.
.
Cho a = 1002 khi đó b = 1001

Ta nhận thấy a càng lớn thì ab càng lớn. Mặt khác, a càng lớn, b càng
giảm hay a càng lớn thì b – a càng nhỏ. Vì vậy ta sự đoán rằng, nếu b – a càng
nhỏ thì ab càng lớn
- 24 -
Đó chỉ là điều dự đoán. Do vậy ta cần phải tiến hành các bước chứng
minh để khẳng định hay bác bỏ điều dự đoán ở trên. Ta hãy biểu diễn tích ab
qua a + b (giả thiết) và b – a (điều dự đoán).
Để xuất hiện tích ab ta có thể bình phương đối với a + b và b – a. Khi đó:
ab =
( ) ( )
4
22
abba
−−+
Vì a + b = 2003 nên bài toán được chuyển thành: Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức ab =
( ) ( )
4
2003
22
ab
−−
với điều kiện ràng buộc của bài toán
Qua sự mò mẫm, dự đoán giúp cho học sinh giải quyết bài toán một cách
hoàn chỉnh, có cơ sở - điều mà nhiều học sinh không giải được
Từ ví dụ trên cho ta thấy rằng trong dạy học Toán không rèn luyện cho
học sinh kỹ năng dự đoán thì nhiều học sinh phải bó tay trước những bài toán
không quá phức tạp.
2.2.2.2. Những yêu cầu và biện pháp thực hiện để rèn luyện cho học sinh
những kỹ năng dự đoán:

Tác dụng phát triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sự
rèn luyện tư duy lôgíc mà còn ở sự phát triển kỹ năng suy đoán và tưởng tượng
pháp [20, tr 30]
Vậy để rèn luyện cho học sinh kỹ năng này cần:
a) Thứ nhất: có quan điểm và thái độ đúng mực với việc tập luyện cho
học sinh dự đoán.
Trong dạy học toán không chỉ hoàn toàn bỏ qua việc tập luyện cho học
sinh suy đoán, tuy vậy không nên thoái quá đối với vấn đề dự đoán. chẳng phải
khi nào cũng buộc học sinh dự đoán và không phải trong những trường hợp đều
có hàm lượng dự đoán như nhau. Giáo viên cần căn cứ vào trình độ nhận thức
của học sinh để yêu cầu mức độ độc lập của học sinh dự đoán, đối với vấn đề
nào đó thì chỉ cần họ dự đoán một phần.
Tác giả P.I.pitcatxixtur và B.I.Cosơtiaiev “phù hợp với dự đoán chỉ là
những thông tin khoa học vào phản ánh các mỗi liên hệ và quan hệ; giữa các
- 25 -