Tiểu luận môn Đầu tư tài chính Đa dạng hóa tối ưu so với đa dạng hóa đơn giản: Chiến lược danh mục đầu tư 1N không hiệu quả như thế nào?

Đa dạng hóa tối ưu so với đa dạng hóa đơn giản:ĐA DẠNG
Chiến lược danh mục đầu tư 1/N không hiệu quả như thế nào?Đa
dạng hóa đơn giản so với tối ưu: Chiến lược danh mục đầu tư 1/N không hiệu quả như
thế nào?
Victor DeMiguel
London Business School
Lorenzo Garlappi
University of Texas at Austin
Raman Uppai
London Business School and CEPR
Chúng tôi đánh giá các biểu hiện ngoài mẫu của mô hình phương saiphương sai-trung bình dựa trên mẫu
trung bình dựa trên mẫu, và phần mở rộng của nó được thiết kế để giảm lỗi chênh lệchsai số ước tính, liên
quan đến danh mục đầu tư đơn giản 1/N đơn giản. Trong 14 mô hình , chúng ta tôi đánh giá qua bảy bộ
dữ liệu thực nghiệm, không cái mô hình nào là tốt hơn so với quy tắc 1 / N1/N về hệ sốtỷ số Sharpe, lợi
nhuậntỷ suất sinh lợi tương đương chắc chắn, hoặc doanh thu, mà chỉ ra rằng, ngoài mẫu, đạt đượclợi ích
từ đa dạng hóa tối ưu là cân đối hơnbị mất đi bởi chênh lệch dự toánsai số ước tính. Dựa trên các thông số
hiệu chỉnh trên thị trường chứng khoán Mỹ, kết quả phân tích và mô phỏng của chúng tôi cho thấy rằng
cửa sổ ước tínhkhung thời gian ước tính là cần thiết cho các chiến lược phương saiphương sai-trung bình
dựa trên mẫu bình phương dựa trên mẫu và phần mở rộng để hoàn thiện hơn chuẩn mực 1 / N1/N của nó là
khoảng 3.000 tháng đối với một danh mục đầu tư với 25 tài sản và khoảng 6.000 tháng đối với một danh
mục đầu tư với 50 tài sản. Điều này cho thấy vẫn còn nhiều "dặm để đi" trước những khi những lợi nhuận
ích hứa hẹn bởi việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu thực sự có thể được thực hiện ngoài mẫu. (JEL G11)
Trong khoảng thế kỷ thứ tư, Rabbi Issac bar Aha đề xuất các quy tắc sau đây để phân bổ tài sản:
"Người ta phải luôn luôn phân chia tài sản của mình thành ba phần:. Một phần ba vào đất đai,
một phần ba vào hàng hóa và một phần ba giữ lại để sẵn sàng sử dụng"
1
. Sau một thời gian
tạm lắng "ngắn ngủi" trong các tài liệulý thuyết về phân bổ tài sản, đã có những tiến bộ đáng kể
bắt đầu với công việc mở đường của Markowitz (1952)
2
, người đã tìm thấy nguyên tắc tối ưu

cho việc phân bổ tài sản trên tài sản rủi ro trong một môi trường tĩnh khi nhà đầu tư chỉ quan
tâm đến giá trị trung bình và phương sai của lợi nhuậntỷ suất sinh lợi của danh mục đầu tư. Bởi
vì việc thực hiện các danh mục đầu tư với những khoảnh khắcthay đổithời điểm được ước tính
thông qua mẫu của chúng là phổ biến để tạo ra tỷ trọng mà dao động đáng kể theo thời gian và
hoạt động kém đối với ngoài mẫu, nỗ lực đáng kể đã được dành cho việc xử lý sai số ước tính
với mục tiêu cải thiện hiệu quả của mô hình Markowitz.
Một vai trò nổi bật trong văn họclý thuyết rộng lớn này là do cách tiếp cận Bayesian để ước
lượng sai số, với nhiều bổ sung (của nó )nhiều sự thực hiện từ điều chỉnh từ phương pháp (cách
tiếp cận) thống kê hoàn toàn dựa vào diffuse-priorscác tiền lệ khuếch tán (Barry, 1974; Bawa,
Brown, và Klein, 1979), đển "thu hẹp các ước lượng " (Jobson, Korkie, và Ratti, 1979; Jobson và
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 1
Korkie, 1980; Jorion, 1985, 1986), đến các phương pháp gần đây dựa trên một mô hình định giá
tài sản để xác lập một tiên nghiệm (P'astor năm 2000; P 'Astor và Stambaugh, 2000)
4
.

Phân bổ như nhau là tập hợp các phương pháp tiếp cận phi-Bayesian để dự đoán sai số , trong đó
bao gồm các quy tắc phân bổ danh mục đầu tư "mạnh mẽbền vững" (Goldfarb và Iyengar, 2003;
Garlappi, Uppal, andWang, 2007); các quy định tắc danh mục đầu tư được thiết kế để đa dạng
hóa một cách tối ưu các rủi ro trên thị trường và các rủi ro dự toán (Kan và ChuZhou, 2007); các
danh mục đầu tư mà khai thác các ràng buộc hạn chế trọng yếuthời điểm bị áp đặt bởi cấu trúc
các yếu tố cấu trúc lợi nhuậntỷ suất sinh lợi (Mackinlay và Pastor, 2000), các phương pháp tập
trung vào việc giảm sai số trong việc ước tính toán ma trận hiệp phương sai ( Best và Grauer
năm 1992; Chan, Karceski , và Lakonishok năm 1999; Ledoit andWolfvà Wolf, 2004a, 2004b),
và, cuối cùng, các quy định danh mục đầu tư áp đặt những hạn chếràng buộc của việc bán khống
(Frost và Savarino, 1988; Chopra năm 1993; Jagannathan và Ma, 2003) .
5
Mục tiêu của chúng tôi trong bài viết này là để hiểu các điều kiện mà trong đó phương sai-trung
bình các mô hình danh mục đầu tư tối ưu phương sai - trung bình có thể được dự kiến sẽ thực
hiện tốt ngay cả trong khi có sự hiện diện của rủi ro ước tính. Để làm điều này , chúng tôi đánh

giá các biểu hiện ngoài mẫu của qui quy tắc danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên
mẫu phương sai - trung bình dựa trên mẫu và các phần mở rộng khác nhau của nó được thiết kế
để giảm tác động của sai số ước tính liên quan đến việc thực hiện quy tắc đa dạng hóa danh mục
đầu tư đơn giản. Chúng tôi xác định các quy tắc đơn giản là cái nằm trong phân số 1 / N1/N của
tài sản được phân bổ cho một trong N tài sản sẵn sang sàng cho đầu tư tại mỗi ngày tái cân bằng .
Có hai lý do cho việc sử dụng các quy tắc đơn giản như một chuẩn mực . Đầu tiên , nó rất dễ
dàng để thực hiện bởi vì nó không dựa trên ước tính các lợi nhuận những thay đổi tỷ suất sinh
lợi tài sản trọng yếu hoặc dựa trên sự tối ưu hóa . Thứ hai, mặc dù mô hình lý thuyết phức tạp
được phát triển trong 50 năm qua và tiến bộ trong các phương pháp để ước tính các thông số của
các mô hình này , các nhà đầu tư tiếp tục sử dụng quy tắc phân bổ đơn giản như vậy để phân bổ
của cải của họ trên tài sản
6
. Tuy nhiên, chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng mục đích của nghiên
cứu này không phải là để ủng hộ việc sử dụng suy nghiệm ( phỏng đoán )kinh nghiệm 1 / N1/N
như một chiến lược phân bổ tài sản, mà chỉ sử dụng nó như một chuẩn mực để đánh giá việc thực
hiện các quy định danh mục đầu tư khác nhau được đề xuất trong tài liệu .
Chúng ta so sánh việc thực hiện ngoài mẫu của 14 mô hình danh mục đầu tư khác nhau có liên
quan tới chính sách 1 / N1/N qua bảy bộ dữ liệu thực nghiệm về lợi nhuậntỷ suất sinh lợi hàng
tháng, bằng cách sử dụng ba tiêu chí thực hiện sau đây: (i) tỷ lệ Sharpe ngoài mẫu; (ii) lợi
nhuậntỷ suất sinh lợi tương đương đương-chắc chắn (CEQ) cho các lợi ích kỳ vọng của một nhà
đầu tư phương saiphương sai-trung bình - trung bình, và (iii) doanh thu (khối lượng giao dịch)
cho mỗi chiến lược đầu tư. 14 mô hình được liệt kê trong Bảng 1 và thảo luận trong phần 1. Bảy
bộ dữ liệu thực nghiệm được liệt kê trong bảng 2 và được mô tả trong Phụ lục A.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 2
Bảng này liệt kê các mô hình phân bổ tài sản khác nhau, chúng tôi xem xét. Cột cuối cùng của bảng đưa ra
chữ viết tắt được sử dụng để liên tưởng các chiến lược trong các bảng, nơi chúng tôi so sánh việc thực hiện các
chiến lược danh mục đầu tư tối ưu so với chiến lược 1/N. Các kết quả cho hai hiến lược không được báo cáo.
Lý do không báo cáo kết quả cho chiến lược tiền lệ khuếch tán Bayesian là trong một giai đoạn ước tính đó là
chiều dài mà chúng ta xem xét (60 hoặc 120 tháng), danh mục đầu tư tiền lệ khuếch tán Bayesian rất giống với
danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu. Lý do không báo cáo kết quả cho danh mục đầu tư

multi-prior robust được mô tả trong Garlappi, Uppal, và Wang (2007) là họ cho thấy rằng danh mục đầu tư tối
ưu vững là bình quân gia quyền của giá trị phương sai-trung bình và danh mục đầu tư phương sai tối thiểu p,
các kết quả cho cả hai đều đã được báo cáo.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 3
Bảng này liệt kê các bộ dữ liệu khác nhau được phân tích, số lượng tài sản rủi ro là N trong mỗi bộ dữ liệu ,
nơi mà số sau khi "+" cho biết số danh mục đầu tư yếu tố có sẵn , và khoảng thời gian kéo dài. Mỗi bộ dữ liệu
có tỷ suất sinh lợi vượt quá hàng tháng trên Tín phiếu Mỹ 90 ngày danh nghĩa (từ trang web Ken French).
Trong cột cuối cùng là chữ viết tắt được sử dụng để tham khảo các bộ dữ liệu trong các bảng đánh giá hiệu
quả hoạt động của các chiến lược danh mục đầu tư. Lưu ý là trong Wang (2005), các danh mục đầu tư sắp xếp
theo 25 quy mô và giá trị sổ sách so với giá trị thị trường, chúng tôi loại trừ danh mục đầu tư có chứa 5 doanh
nghiệp lớn nhất, bởi vì thị trường, SMB, và HML gần như là một tổ hợp tuyến tính của 25 danh mục đầu tư
Fama - French. Cũng lưu ý rằng trong bộ dữ liệu số 5, 6, và 7, sự khác biệt duy nhất là trong danh mục đầu tư
yếu tố có sẵn: trong bộ dữ liệu số 5, nó là MKT vốn chủ sở hữu của Mỹ, trong bộ dữ liệu số 6, chúng là những
danh mục đầu tư MKT, SMB, và HML, và trong bộ dữ liệu số 7, chúng là những danh mục đầu tư MKT,
SMB, HML, và UMD. Bởi vì các kết quả cho " FF- 3 yếu tố " bộ dữ liệu gần như giống hệt với những kết quả
cho " FF -1- yếu tố , " chỉ có kết quả của " FF -1- yếu tố " được báo cáo.
Đóng góp đầu tiên của chúng tôi là để cho thấy rằng trong 14 mô hình được đánh giá , không cái
nào là tốt hơn so với chuẩn mực đơn giản 1 / N1/N đơn giản về tỷ lệ Sharpe , lợi nhuận tỷ suất
sinh lợi tương đương chắc chắn, hoặc doanh thu. Mặc dù điều này đã được thể hiện trong các tài
liệu liên quan đến một số các mô hình trước đó ,
7
chúng tôi chứng minh rằng điều này là đúng :
(i) cho một loạt các mô hình mở rộng bao gồm một số phát triển hơn gần đây hơn , (ii) sử dụng
ba số liệu hiệu suất , và ( iii) trên một vài bộ dữ liệu . Nhìn chung, các chính sách không bị giới
hạnràng buộc mà cố gắng để kết hợp lỗi dự toánsai số ước tính biểu hiện (thực hiện) tệ hơn nhiều
so với bất kỳ chiến lược hạn chếràng buộc bán khống và cũng thực hiện tệ hơn nhiều so với
chiến lược 1 / N1/N . Hạn chế áp đặt trên các chiến lược danh mục đầu tư Bayesian và chiến
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 4
lược danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu và phương sai - trung bình dựa trên
mẫu dẫn đến chỉ có một sự cải thiện khiêm tốn nhất trong chỉ số Sharpe và lợi nhuậntỷ suất sinh

lợi CEQ , mặc dù nó cho thấy một sự giảm đáng kể trong doanh thu. Trong tất cả các mô hình tối
ưu hóa nghiên cứu trước đây , danh mục đầu tư phương sai tối thiểu phương sai - tối thiểu với
những hạn chếràng buộc được nghiên cứu trong Jagannathan và Ma (2003 ) biểu hiện (thực hiện)
tốt nhất về hệ sốtỷ số Sharpe . Nhưng mô hình này ngay cả cung cấp một hệ sốtỷ số Sharpe tốt
hơn về mặt thống kê so với chiến lược 1 / N1/N của một trong bảy bộ dữ liệu thực nghiệm , một
lợi nhuận CEQ mà không toost tốt hơn về mặt thống kê so với chiến lược 1 / N1/N trong một vài
bộ dữ liệu này , và doanh thu luôn cao hơn so với chính sách 1 / N1/N .
Để hiểu rõ hơn những lý do cho biểu hiện yếu kém của các chiến lược danh mục đầu tư tối ưu so
với chuẩn mực 1 / N1/N, đóng góp thứ hai của chúng tôi là đưa ra một biểu thức phân tích cho
chiều dài giới hạn của cửa sổ ước lượngkhung thời gian ước tính đó là cần thiết cho các chiến
lược phương sai-trung bình dựa trên mẫuphương sai - trung bình dựa trên mẫu để đạt được lợi
nhuận CEQ cao hơn so với chiến lược 1 / N1/N. Chiều dài cửa sổ ước lượngkhung thời gian ước
tính giới hạn này là một hàm sốchức năng của các tài sản, hệ sốtỷ số Sharpe dự tínhkỳ vọng của
danh mục đầu tư phương saiphương sai-trung bình - trung bình, và hệ sốtỷ số Sharpe của chính
sách 1 / N1/N. Dựa trên các thông số được hiệu chỉnh với dữ liệu thị trường chứng khoán Mỹ,
chúng ta thấy rằng chiều dài giới hạn của cửa sổ ước lượngkhung thời gian ước tính là 3.000
tháng đối với một danh mục đầu tư chỉ có 25 tài sản, và hơn 6.000 tháng đối với một danh mục
đầu tư với 50 tài sản. Mức độ nghiêm trọng của sai số ước lượng là đáng ngạc nhiên nếu chúng
tôi cho rằng, trong thực tế, các mô hình danh mục đầu tư này thường được ước tính chỉ sử dụng
60 hoặc 120 tháng của dữ liệu.
Bởi vì các kết quả phân tích trên đây chỉ dành cho các chiến lược phương saiphương sai-trung
bình dựa trên mẫu - trung bình dựa trên mẫu , nên chúng tôi sử dụng dữ liệu mô phỏng để kiểm
tra tính mở rộng đa dạng của nó cái mà đã được phát triển một cách rõ ràng để đối phó với sai số
ước tính. Đóng góp thứ ba của chúng tôi là chỉ ra rằng các mô hình này cũng cần một cửa sổ ước
lượngkhung thời gian ước tính rất dài trước khi chúng có thể được kỳ vọng sẽ làm tốt hơn chính
sách 1 / N1/N . Từ các kết quả mô phỏng của này , chúng tôi kết luận rằng chiến lược danh mục
đầu tư từ các mô hình tối ưu hóa dự kiến sẽ tốt hơn chuẩn mực 1 / N1/N nếu : (i) các cửa sổ ước
lượngkhung thời gian ước tính là dài , (ii) hệ sốtỷ số Sharpe dự tínhkỳ vọng của danh mục đầu tư
hiệu quả theo phương sai - trung bìnhphương sai-trung bình cao hơn đáng kể so với danh mục
đầu tư 1 / N1/N , và ( iii) số lượng tài sản là nhỏ. Hai điều kiện đầu tiên là trực quan. Lý do cho

điều kiện cuối cùng là số lượng tài sản càng nhỏ ngụ ý rằng thông số được ước tính càng ít và, do
đó , ít chỗ cho sai số ước lượng. Hơn nữa , mọi thứ khác là như nhau , một số lượng tài sản ít hơn
làm đa dạng hóa đơn giản kém hiệu quả hơn so với đa dạng hóa tối ưu.
Trực giác cho những phát hiện của chúng tôi là việc thực hiện các mô hình phương saiphương
sai-trung bình - trung bình, cả hai vector lợi nhuậntỷ suất sinh lợi vượt quá kỳ vọng vượt dự kiến
trên lãi suất phi rủi ro và ma trận hiệp phương sai của lợi nhuậntỷ suất sinh lợi phải được ước
tính. Nó cũng được nghiên cứu ( Merton , 1980) rằng dữ liệu theo một chuỗi thời gian rất dài là
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 5
cần thiết để ước tính lợi nhuận kỳ vọng một cách chính xác , tương tự , ước tính của ma trận hiệp
phương sai được vận hành (xử lý) một cách tệ hại (Green và Hollifield năm 1992; Jagannathan
và Ma , 2003). Trọng lượngỷ trọng danh mục đầu tư dựa trên các ước tính mẫu của những
khoảnh khắcthay đổithời điểm này dẫn đến trọng lượngtỷ trọng tích cực và tiêu cực cực kỳ cách
xa so với tối ưu
8
. Kết quả là, " sai lầm trong việc phân bổ " xảy ra bởi việc sử dụng tỷ trọng 1 /
N1/N có thể trở nên nhỏ hơn so với sai số gây ra bằng cách sử dụng tỷ trọng từ một mô hình tối
ưu hóa với các dữ liệu đầu vào đã được ước tính với sai số . Mặc dù thuộc tính " sai số tối đa"
của danh mục đầu tư phương saiphương sai-trung bình - trung bình đã được mô tả trong các tài
liệu ( Michaud , 1989; Best và Grauer , 1991) , đóng góp của chúng tôi là chỉ ra rằng bởi vì ảnh
hưởng của sai số ước lượng đến tỷ trọng là rất lớn , thậm chí các mô hình được thiết kế một cách
rõ ràng để giảm ảnh hưởng của sai số ước lượng chỉ đạt được thành công khiêm tốn .
Lý do thứ hai tại sao các quy tắc 1 / N1/N hoạt động tốt trong các bộ dữ liệu chúng ta xem xét là
do chúng ta đang sử dụng nó để phân bổ của cải trên các danh mục đầu tư cổ phiếu hơn là các cổ
phiếu riêng lẻ. Vì danh mục đầu tư đa dạng có mức dao động thấp hơn tài sản riêng lẻ, sự thất
thoát từ đa dạng hóa đơn giản so với đa dạng hóa tối ưu là nhỏ hơn nhiều khi phân bổ của cải
trên danh mục đầu tư. Mô phỏng của chúng tôi cho thấy rằng chính sách đa dạng hóa tối ưu sẽ
ưu thế quy tắc 1 / N1/N chỉ cho mức độ rất cao của biến động có đặc trưng riêng. Một ưu điểm
khác của quy tắc 1 / N1/N là nó là đơn giản để áp dụng cho một số lượng lớn tài sản, trái ngược
với mô hình tối ưu hóa, thường yêu cầu các thông số bổ sung để ước tính là số lượng tài sản tăng
lên.

Trong tất cả các thí nghiệm của chúng tôi , việc lựa chọn N đã được quyết định bởi các bộ dữ
liệu . Một câu hỏi tự nhiên phát sinh sau đó là : N là gì? Có nghĩa là, do số lượng và loại tài sản
gì chiến lược 1 / N1/N hoạt động tốt hơn so với mô hình danh mục đầu tư tối ưu hóa? Kết quả
cho thấy chiến lược đơn giản 1 / N1/N đơn giản có nhiều khả năng để làm tốt hơn so với các
chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa khi : (i) N là lớn , bởi vì điều này cải thiện khả năng đa
dạng hóa, ngay cả khi nó là đơn giản, trong khi tương tự lại tăng số tham số được ước tính trong
một mô hình tối ưu hóa , (ii) các tài sản không có một lịch sử dữ liệu đủ dài để cho phép cho một
dự toán chính xác của những khoảnh khắcthời điểm . Trong phân tích thực nghiệm , chúng ta
xem xét bộ dữ liệu với N = {3 , 9, 11 , 21, 24 } và tài sản từ danh mục đầu tư vốn chủ sở hữu
được dựa trên phân loại ngành công nghiệp , danh mục đầu tư cổ phần được xây dựng trên đặc
điểm cơ bản của công ty , và cũng có chỉ số vốn chủ sở hữu quốc tế. Trong mô phỏng , N =
{ 10 , 25, 50 } và lợi nhuận tài sản được điều chỉnh để phù hợp với thu nhập trên danh mục đầu
tư của chứng khoán Mỹ . Các kết quả dựa trên thực nghiệm và mô phỏng cho thấy một cửa sổ dự
toánkhung thời gian ước tính của M = 120 tháng , phát hiện chính của chúng tôi là không nhạy
cảm với các loại tài sản chúng tôi xem xét hoặc việc lựa chọn số lượng tài sản , N.
Chúng ta rút ra hai kết luận từ các kết quả. Đầu tiên, nghiên cứu của chúng tôi cho thấy rằng mặc
dù đã có tiến bộ đáng kể trong việc thiết kế các danh mục đầu tư tối ưu, nỗ lực nhiều hơn cần
phải được dành cho việc cải thiện dự toánước tính trong những khoảnh khắcthay đổithời điểm,
và đặc biệt là dự kiến lợi nhuậntỷ suất sinh lợi kỳ vọng. Đối với điều này, phương pháp bổ sung
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 6
cho kỹ thuật thống kê truyền thống cổ điển và Bayesian bằng cách khai thác qui luật thực nghiệm
được trình bày cho một tập hợp các tài sản (Brandt, Santa-Clara, và Valkanov, 2007) có thể đại
diện cho một hướng đầy hứa hẹn để theo đuổi. Thứ hai, do sự đơn giản vốn có và chi phí thực
hiện qui tắc đa dạng hóa đơn giản 1 / N1/N tương đối thấp, một chiến lược như vậy sẽ được sử
dụng như một chuẩn mực tự nhiên để đánh giá việc thực hiện các quy tắc tài sản phân bổ phức
tạp hơn. Đây là một trở ngại quan trọng cho cả nghiên cứu khoa học đề xuất mô hình phân bổ tài
sản mới và các chiến lược quản lý danh mục đầu tư "hoạt độngchủ động" được cung cấp bởi các
ngành đầu tư.
Phần còn lại của bài nghiên cứu được sắp xếp như sau . Trong Phần 1 , chúng tôi mô tả các mô
hình khác nhau của phân bổ tài sản tối ưu và đánh giá hiệu suất của chúng. Trong phần 2, chúng

tôi giải thích phương pháp của chúng tôi để so sánh hiệu suất của các mô hình này với 1 / N1/N ,
kết quả của sự so sánh này cho bảy bộ dữ liệu thực nghiệm được đưa ra trong Mục 3 . Phần 4 có
chứa các kết quả phân tích về độ dài giới hạn của cửa sổkhung thời gian dự toán cần thiết cho
chính sách phương saiphương sai-trung bình dựa trên mẫu - trung bình dựa trên mẫu để làm tốt
hơn chuẩn mực 1 / N1/N , và trong phần 5 chúng tôi trình bày một phân tích tương tự cho các mô
hình lựa chọn danh mục đầu tư khác bằng cách sử dụng dữ liệu mô phỏng . Các thí nghiệm khác
nhau mà chúng tôi thực hiện để xác minh sự vững mạnhtính bền vững của các kết quả được mô
tả ngắn gọn trong Phần 6 , với các chi tiết được báo cáo trong một phụ lục riêng biệt mang tên "
chi tiết thực hiện và kiểm tra độ vững" , cái mà có sẵn từ các tác giả . Kết luận của chúng tôi
được trình bày trong mục 7 . Các bộ dữ liệu thực nghiệm , chúng tôi sử dụng được mô tả trong
Phụ lục A và bằng chứng cho kết quả phân tích chính được đưa ra trong Phụ lục B.
1. Mô tả các mô hình phân bổ tài sản được xem xét:
Trong phần này, chúng tôi thảo luận về các mô hình khác nhau từ các tài liệu lựa chọn danh mục
đầu tư mà chúng tôi xem xét. Bởi vì các mô hình này rất quen thuộc với hầu hết người đọc,
chúng tôi chỉ cung cấp một mô tả ngắn gọn của từng cáimô hình, và thay vào đó tập trung vào
giải thích các mô hình khác nhau có liên quan đến nhau như thế nào. Danh sách các mô hình
chúng tôi phân tích được tóm tắt trong Bảng 1, và các chi tiết về cách thực hiện các mô hình này
được đưa ra trong phụ lục riêng biệt của bài nghiên cứu này.
Chúng tôi sử dụng R
t
để biểu thị N-vector của lợi nhuận tỷ suất sinh lợi vượt quá (so với tài sản
phi rủi ro) trên N tài sản rủi ro cho đầu tư vào ngày t. Vector N-chiều μ
t
được sử dụng để biểu thị
lợi nhuận kỳ vọng trên tài sản rủi ro vượt quá tỷ lệ phi rủi ro, và t để biểu thị tương ứng với ma
trận hiệp phương sai lợi nhuận N × N, với các bản sao mẫu của chúng được đưa ra bởi μ
t
và t,
tương ứng. Cho M biểu thị chiều dài vược vượt quá những khoảnh khắcthời điểm được ước tính,
và T là tổng chiều dài của các chuỗi dữ liệu. Chúng tôi sử dụng 1

N
để xác định một vector N
chiều của chúng, và I
N
để xác định ma trận đồng nhất N × N. Cuối cùng, x
t
là vector tỷ trọng
danh mục đầu tư được đầu tư vào các tài sản rủi ro N, với 1- 1
T
N
. x
t
đầu tư vào các tài sản phi rủi
ro. Vector tỷ trọng tương đối trong danh mục đầu tư với chỉ tài sản rủi ro là
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 7

Và và được tiêu chuẩn hóa bằng giá trị tuyệt đối của tổng tỷ trọng danh mục đầu tư, | 1
T
N
. x
t
|,
bảo đảm rằng chiều (hướng) của vị trí danh mục đầu tư được giữ trong một vài trường hợp tổng
tỷ trọng lượng trên tài sản rủi ro là âm.
Để thuận lợi cho việc so sánh giữa các chiến lược khác nhau, chúng ta xem xét một nhà đầu tư
có sở sự ưa thích được mô tả đầy đủ bởi các trung bình và phương sai và trung bình của một
danh mục đầu tư được lựa chọn, x
t
. Tại mỗi thời điểm t, người ra quyết định lựa chọn x
t

để tối đa
hóa lợi ích kỳ vọng :

trong đó γ có thể được hiểu như sự lo ngại rủi ro của nhà đầu tư. Đáp án của sự tối ưu hóa trên là
x
t
= (1 / γ)
∑
−1
t
µ
. Vector tỷ trọng danh mục đầu tư tương đối được đầu tư vào N tài sản rủi ro
tại thời điểm t là

Hầu như tất cả các mô hình mà chúng ta xem xét cung cấp tỷ trọng danh mục đầu tư có thể được
thể hiện như trong phương trình (3), với sự khác biệt chính là ở cách người ta ước tính μ
t
và
Σ
t
.
1.1. Danh mục đầu tư đơn giản:

Chiến lược đơn giản ("ew" hoặc "1 / N1/N") mà chúng ta xem xét liên quan đến việc tổ chức một
tỷ trọng danh mục đầu tư w
ew
t
= 1 / N1/N trong mỗi tài sản rủi ro N. Chiến lược này không liên
quan đến bất kỳ tối ưu hóa hoặc dự toán và hoàn toàn bỏ qua các dữ liệu. Để so sánh với tỷ trọng
trong phương trình (3), người ta cũng có thể nghĩ đến danh mục đầu tư 1 / N1/N như một chiến

lược ước tính những khoảnh khắcthời điểm μ
t
và
Σ
t
, mà còn áp đặt các hạn chế μ
t
α
Σ
t
1
N
cho tất
cả t, có nghĩa là lợi nhuận kỳ vọng là tỷ lệ thuận với tổng rủi ro hơn là rủi ro hệ thống.
1.2. Danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫuphương sai – trung bình dựa
trên mẫu:
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 8
Trong mô hình phương saiphương sai-trung bình – trung bình (mv) của Markowitz (1952), nhà
đầu tư tối ưu hóa sự cân bằng giữa giá trị trung bình và phương sai của lợi nhuậntỷ suất sinh lợi
danh mục đầu tư. Để thực hiện mô hình này, chúng tôi thực hiện theo các phương pháp "plug-in"
cổ điển, đó là chúng ta giải quyết vấn đề trong phương trình (2) với giá trị trung bình và phương
sai ma trận lợi nhuận tài sản thay thế bởi các bản sao mẫu
∧
µ
và
∧
Σ
của chúng, một cách tương
ứng. Chúng tôi sẽ gọi chiến lược này là "danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên
mẫuphương sai – trung bình dựa trên mẫu ". Lưu ý rằng chiến lược đầu tư này hoàn toàn bỏ qua

khả năng sai số ước lượng .
1.3. Phương pháp Bayesian để ước tính sai số :
Theo phương pháp Bayesian, ước lượng của μ và
Σ
được tính bằng cách sử dụng phân phối dự
đoán của lợi nhuận tài sản. Phân phối này là thu được bằng cách hợp nhất các sác xuất có điều
kiện, f (R|μ,
Σ
), trong đó μ và
Σ
liên quan đến một tiên nghiệm chủ quan xác định, p (μ,
Σ
).
Trong tài liệu, cách tiếp cận Bayesian để ước tính sai số đã được thực hiện theo những cách khác
nhau. Trong các phần sau, chúng tôi mô tả ba cách thực hiện phổ biến mà chúng tôi xem xét.
1.3.1 Danh mục đầu tư diffuse-priortiền lệ khuếch tán Bayesian. Barry (1974), Klein và
Bawa (1976), và Brown (1979) cho thấy rằng nếu tiên nghiệm được chọn trở nên phân tán, thì , p
(μ,
Σ
) α |
Σ
|
-

-(N+1)/2
, và sác xuất có điều kiện là đơn giản, sau đó phân phối dự đoán là một kiểm
định student-t với giá trị trung bình
∧
µ
và phương sai

∧
Σ
(1 + 1 / M). Do đó, trong khi vẫn sử
dụng giá trị trung bình theo thời gian để ước tính lợi nhuận kỳ vọng, phương pháp này thổi
phồng ma trận hiệp phương sai theo hệ số (1 + 1 / M). Đối với một cửa sổkhung thời gian ước
tính đủ dài M (như trong nghiên cứu của chúng tôi, trong đó M = 120 tháng), ảnh hưởng của điều
chỉnh này là không đáng kể, và hiệu suất của các danh mục đầu tư diffuse-priortiền lệ khuếch tán
Bayesian là hầu như không thể phân biệt của so với danh mục đầu tư phương sai – trung bình
dựa trên mẫu. Vì lý do này, chúng tôi không trình bày kết quả cho chiến lược Bayesian này.
1.3.2 Danh mục đầu tư rút gọn Bayes-Stein. Các danh mục đầu tư Bayes-Stein ("bs") là một
ứng dụng của ý tưởng về ước lượng rút gọn được tiên phong bởi Stein (1955) và James và Stein
(1961), và được thiết kế để xử lý các sai số khi dự đoán lợi nhuận kỳ vọng bằng cách sử dụng
ước lượng của mẫu

trong đó
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 9
và
∧
µ
min
t
≡

∧
µ
T
t
.
∧
w

min
t
là lợi nhuận vượt trung bình trong danh mục đầu tư phương sai tối thiểu
toàn mẫu,
∧
µ
min
t
. Những ước lượng này "thu nhỏ" giá trị trung bình mẫu để hướng tới một "giá
trị trung bình lớn",
µ
. Trong phân tích của chúng tôi, chúng tôi sử dụng các ước lượng được đề
xuất bởi Jorion (1985, 1986), người mà xem giá trị trung bình lớn,
µ
, là giá trị trung bình của
danh mục đầu tư phương sai tối thiểu, μ
min
. Ngoài việc thu hẹp ước tính giá trị trung bình, Jorion
cũng đưa ra sai số dự toán trong ma trận hiệp phương sai qua các phương pháp ước lượng
Bayesian truyền thống.
1.3.3. Danh mục đầu tư Bayes dựa trên niềm tin vào một mô hình định giá tài sản . Theo
phương pháp tiếp cận " Dữ liệu và mô hình " ( " dm " ) Bayesian phát triển trong P'astor (2000)
và P'astor và Stambaugh (2000) , mục tiêu thu hẹp phụ thuộc vào niềm tin tiên nghiệm của nhà
đầu tư trong một mô hình định giá tài sản đặc biệt , và mức độ thu hẹp được xác định bởi sự thay
đổi của niềm tin tiên nghiệm liên quan đến các thông tin có trong dữ liệu. Các danh mục đầu tư
là một sự chọn lọc sâu hơn của các danh mục đầu tư thu hẹp vì chúng được xem như chuyên
quyền của việc lựa chọn một mục tiêu thu hẹp,
µ
, và các hệ số thu hẹp, φ , bằng cách sử dụng
niềm tin của nhà đầu tư về tính hợp lệ của một mô hình định giá tài sản. Chúng tôi thực hiện

phương pháp tiếp cận " Dữ liệu và mô hình " sử dụng ba mô hình định giá tài sản khác nhau: mô
hình định giá tài sản vốn ( CAPM ) , mô hình ba nhân tố Fama và Frech (1993), và mô hình bốn
yếu tố Carhart (1997) . Trong phân tích thực nghiệm của chúng tôi , chúng tôi xem xét một nhà
đầu tư Bayesian có niềm tin Bayesian trong mô hình định giá tài sản nắm giữ một tiên nghiệm về
mức độ của việc định giá sai . Đặt biến α phản ánh việc định giá sai này . Chúng tôi giả định tiên
nghiệm được phân phối bình thườngchuẩn xung quanh α = 0, và với giá trị chuẩn của độ kín của
nó là
α
σ
= 1% mỗi năm. Theo suy luận , điều này ngụ ý rằng các nhà đầu tư tin rằng với 95%
xác suất việc định giá sai một khoảng giữa -2% và +2 % trên cơ sở hàng năm .
1.4 Danh mục đầu tư với những hạn chế thời điểm:
Trong phần này, chúng tôi mô tả chiến lược danh mục đầu tư áp đặt các hạn chế về dự toán lợi
nhuận tài sản trong nhất thời.
1.4.1 Danh mục đầu tư có phương sai tối thiểu:
Theo chiến lược phương sai tối thiểu ( "min " ) , chúng tôi lựa chọn danh mục đầu tư tài sản rủi
ro giảm thiểu phương sai của lợi nhuậntỷ suất sinh lợi, đó là:
Thực hiện chính sách này, chúng ta chỉ ước tính được ma trận hiệp phương sai của lợi nhuậntỷ
suất sinh lợi tài sản (ma trận hiệp phương sai mẫu) và hoàn toàn bỏ qua các ước tính về lợi
nhuậntỷ suất sinh lợi kỳ vọng
11
. Ngoài ra, mặc dù chiến lược này không rơi vào cấu trúc chung
của phương sai trung bình lợi nhuận mong đợiích kỳ vọng, tỷ trọng của nó có thể được coi là một
trường hợp hạn chế của phương trình (3), nếu phương sai trung bình của một nhà đầu tư hoặc bỏ
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 10
qua lợi nhuận kỳ vọng hoặc tương đương, hạn chế dự kiến sẽ trở lại để họ có giống nhau trên tất
cả các tài sản, đó là μt α 1N.
1.4.2 Danh mục đầu tư giá trị trong mô hình thị trường. Chiến lược tối ưu trong mô hình
CAPM là danh mục đầu tư thị trường có tỷ trọng phân bổ theo giá trị (“mv”). Vì vậy, đối với mỗi
bộ dữ liệu, chúng tôi xác định một danh mục đầu tư "thị trường" chuẩn mực và báo cáo tỷ lệ

Sharpe và CEQ để giữ danh mục đầu tư này. Doanh thu của chiến lược này là 0.
1.4.3 Danh mục đầu tư của mô hình định giá tài sản với các yếu tố không quan sát được.
Mackinlay và Pastor (2000) cho rằng nếu tỷ suất sinh lợi có cấu trúc yếu tố chính xác nhưng có
một số yếu tố không quan sát được, thì việc định giá sai kết quả được chứa trong ma trận hiệp
phương sai của các số dư. Họ sử dụng cái nhìn sâu sắc này để xây dựng một ước lượng của tỷ
suất sinh lợi kỳ vọng đó là ổn định hơn và đáng tin cậy hơn so với dự toán thu được bằng cách sử
dụng phương pháp truyền thống. Mackinlay và Pastor cho rằng, trong trường hợp này, ma trận
hiệp phương sai của tỷ suất sinh lợi có dạng như sau:
trong đó ν và σ
2
là những đại lượng dương. Họ sử dụng tối đa khả năng ước tính của ν, σ
2
, và μ
để lấy được tương ứng với ước tính trung bình và ma trận hiệp phương sai của lợi nhuận nhận
được của tài sản. Tỷ trọng danh mục đầu tư tối ưu thu được bằng cách thay thế những ước tính
vào phương trình (2). Chúng tôi biểu thị danh mục đầu tư chiến lược này là " mp ".
1.5 Danh mục đầu tư ràng buộc bán khống:
Chúng tôi cũng xem xét một số chiến lược mà hạn chế bán khống. Các mẫu dựa trên phương sai
trung bình hạn chế ( mv -c ) , Bayes - Stein- hạn chế ( bs -c ), và phương sai tối thiểu hạn chế (
min- c ) thu được bằng cách áp đặt một hạn chế bổ sung vào tỷ trọng danh mục đầu tư trong
những vấn đề tối ưu hóa tương ứng.
Để giải thích ảnh hưởng những hạn chế của bán khống, thấy rằng việc áp đặt các hạn chế xi ≥ 0,
i = 1 , , N trong việc tối ưu hóa phương sai trung bình cơ bản , phương trình (2) theo Lagrange
như sau:
trong đó λt là N × 1 vector của nhân Lagrange cho các khó khănràng buộc của bán khống. Sắp
xếp lại phương trình (8), chúng ta có thể thấy rằng giá trị phương sai trung bình trong tỷ trọng
danh mục đầu tư hạn chế tương đương với tỷ trọng lượng không bị giới hạn nhưng với vector
điều chỉnh trung bình: ~ μt = μt λt. Để xem lý do tại sao đây là một hình thức biến động trên lợi
nhuận kỳ vọng, lưu ý t mũ hạn chế bán khống trên tài sản có khả năng bị ràng buộc khi lợi nhuận
kỳ vọng của nó là thấp. Khi hạn chế cho tài sản liên kết, λt , i> 0 và lợi nhuận kỳ vọng tăng từ μt,

ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 11
i để . Do đó , áp đặt một hạn chế bán khống trên phương sai trung bình mẫu cơ bản tương đương
với " co lại thu hẹp" tỷ suất sinh lợi kỳ vọng ở mức trung bình.
Tương tự như vậy, Jagannathan và Ma (2003) cho thấy rằng áp đặt một hạn chế bán khống trên
danh mục đầu tư phương sai tối thiểu tương đương với thu hẹp lại yếu tố của ma trận phương sai
- hiệp phương sai. Jagannathan và Ma (2003, p trang. 1654 ) thấy rằng, với áp lực bán khống
trong danh mục tối thiểu rủi ro là định lượng sự co giản của ma trận hiệp phương sai. Vì phát
hiện này, chúng tôi không đánh giá mỗi quả hoạt độnghiệu suất của các mô hình khác như vậy là
tốt nhấtBest và Grauer (1992); Chan , Karcesk , và Lakonishok (1999); Ledoit và Wolf ( 2004a ,
2004b) - đã được phát triển để đối phógiải quyết với các vấn đề liên quan đến ước tính hiệp
phương sai ma trận.
13

Thúc đẩy bởi mong muốn xem xét liệu kết quả hoạt động các mẫu danh mục đầu tư có thể được
cải thiện bằng cách bỏ qua tỷ suất sinh lợi kỳ vọng ( mà rất khó để ước tính ) nhưng vẫn có tính
đến mối tương quan giữa tỷ suất sinh lợi, chúng tôi cũng xem xét một chiến lược mới mà đã
không được xem xét trong các tài liệu hiện có. Chiến lược này, ký hiệu là "g- min- c" là sự kết
hợp của chính sách 1/N và chiến lược hạn chế phương sai tối thiểu, và nó có thể được hiểu như
là một đơn giản tổng quát của danh mục đầu tư phương sai tối thiểu hạn chế bán khống. Nó thu
được bằng cách áp đặt thêm một ràng buộc về vấn đề tối phương sai thiểu ( 6): w ≥ 1 N, với một
∈ [0, 1 / N ]. Nhận thấy rằng danh mục đầu tư phương sai tối thiểu ràng buộc bán khống tương
ứng với các trường hợp trong đó a = 0 , trong khi thiết lập một = 1/N mang lại danh mục đầu tư
1/N . Trong phần thực nghiệm, chúng tôi nghiên cứu các trường hợp trong đó a = ½*1/N, tùy
tiện chọn là đoạn giữa danh mục đầu tư hạn chế, phương sai tối thiểu và danh mục đầu tư 1/N.
1.6 Kết hợp tối ưu của danh mục đầu tư:
Chúng tôi cũng xem xét danh mục đầu tư mà là sự kết hợp của các danh mục đầu tư, chẳng hạn
như danh mục đầu tư có phương sai trung bình, danh mục đầu tư phương sai tối thiểu, và danh
mục đầu tư có tỷ trọng đều. Danh mục đầu tư hỗn hợp được xây dựng bằng cách áp dụng ý
tưởng độ co giản trực tiếp đến trọng lượng danh mục đầu tư. Đó là, thay vì đầu tiên ước tính
những thời điểm và sau đó xây dựng danh mục đầu tư với những thời điểm, một cách trực tiếp có

thể xây dựng danh mục đầu tư của các hình thức
trong đó X
c
và X
d
là 02 danh mục đầu tư tham khảo được lựa chọn bởi các nhà đầu tư. Hai danh
mục đầu tư hỗn hợp mà chúng ta xem xét được mô tả như sau:
1.6.1 Danh mục đầu tư của Kan và Zhou (2007).
Để cải thiện các mô hình sử dụng ước lượng độ co giãn Bayes - Stein ước lượng độ co giản, Kan
và Zhou (2007) đề xuất một danh mục quy định danh mục đầu tư "ba - quỹ" ( " mv -min " ) quy
định danh mục đầu tư, trong đó vai trò của quỹ thứ ba là để giảm thiểu "rủi ro định lượngước
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 12
tính". Trực giác cơ bản mô hình thừa kế là vì nguy cơ dự toán không thể được đa dạng hóa bằng
cách giữ chỉ là một sự kết hợp của các danh mục đầu tư tiếp tuyến và các tài sản rủi ro, nhà đầu
tư cũng sẽ được hưởng lợi từ việc nắm giữ một số danh mục đầu tư rủi ro tài sản khác, đó là, một
quỹ thứ ba. Kan và Zhou tìm kiếm ba quỹ quy định danh mục đầu tư tối ưu này trong các lớp học
của danh mục đầu tư, có thể được diễn tả như một sự kết hợp của các danh mục đầu tư mẫu trung
bình phương sai và dựa trên danh mục đầu tư phương sai tối thiểu. Danh mục đầu tư này là hỗn
hợp:
trong đó c và d được lựa chọn tối ưu để tối đa hóa tiện ích kỳ vọng của trung bình phương sai. Tỷ
trọng trong rủi ro tài sản được biểu hiện trong phương trình (10), đó là:
1.6.2 Hỗn hợp danh mục đầu tư tỷ đều trọng đều và danh mục đầu tư tối thiểu rủi
rophương sai:
Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một chiến lược đầu tư mới ký hiệu là "ew -min" đã không được
nghiên cứu trong các tài liệu hiện có. Chiến lược này là sự kết hợp của 1/N danh mục đầu tư và
danh mục đầu tư phương sai tối thiểu, chứ không phải là danh mục đầu tư phương sai trung bình
và danh mục đầu tư phương sai tối thiểu được xem xét trong Kan và Zhou (2007) và Garlappi, U
ppal, và Wang (2007). Một lần nữa, động lực của chúng tôi là xem xét danh mục đầu tư này là vì
lợi nhuậntỷ suất sinh lợi kỳ vọng có nhiều khó khăn để ước tính hơn hiệp phương sai, ta có thể
muốn bỏ qua dự toán tỷ suất sinh lợi trung bình lợi nhuận nhưng không phải làbỏ qua ước tính

của hiệp phương sai. Và như vậy, người ta có thể muốn kết hợp danh mục đầu tư 1/N với danh
mục đầu tư phương sai tối thiểu. Cụ thể,
danh mục đầu tư chúng tôi xem xét là:
trong đó c và d được lựa chọn để tối đa hóa lợi nhuậntỷ suất sinh lợi kỳ vọng của nhà đầu tư
trung bình phương sai-trung bình.
2 . Phương pháp đánh giá hiệu suất
Mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu hiệu suất của từng mô hình nói trên qua một loạt các bộ dữ
liệu đã được xem xét trong các tài liệu về phân bổ tài sản. Các bộ dữ liệu được coi là được tóm
tắt trong Bảng 2 và được mô tả trong Phụ lục A.
Phân tích của chúng tôi dựa trên một phương pháp "mẫu cuốn chiếu". Cụ thể, với một bộ dữ liệu
T-tháng, tỷ suất sinh lợi tài sản, chúng tôi chọn một khung thời gian ước tính chiều dài M = 60
hay M = 120 tháng. Trong mỗi tháng t, bắt đầu từ t = M + 1, chúng tôi sử dụng các dữ liệu trong
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 13
M tháng trước đó để ước tính các thông số cần thiết để thực hiện một chiến lược cụ thể. Các
thông số ước tính này sau đó được sử dụng để xác định trọng số danh mục đầu tư tương đối trong
chỉ trong rủi ro danh mục đầu tư tài sản. Sau đó chúng tôi sử dụng những trọng số để tính toán sự
trở lại trong tháng t + 1. Quá trình này được tiếp tục bằng cách thêm các tính cho giai đoạn tiếp
theo trong bộ dữ liệu và thả trở lại sớm nhất, cho đến khi kết thúc bộ dữ liệu được đạt tới. Kết
quả của cách tiếp cận khung thời gian cuốn chiếu này là một loạt các tỷ suất sinh lợi ngoài mẫu
hàng tháng T - M được tạo ra bởi mỗi chiến lược danh mục đầu tư được liệt kê trong Bảng 1, cho
mỗi bộ dữ liệu thực nghiệm ở bảng 2.
Với tỷ suất sinh lợi tài sản ngoài mẫu haàng tháng tạo ra bởi mỗi chiến lược và trong mỗi bộ dữ
liệu, chúng tôi tính ba số lượng. Một, chúng tôi đo tỷ số Sharpe ngoài mẫu của chiến lược k, định
nghĩa là trung bình tỷ suất sinh lợi vượt quá ngoài mẫu (so với tài sản phi rủi ro), , chia cho
độ lệch chuẩn mẫu của chúng,
Để kiểm tra xem tỷ số Sharpe của hai chiến lược được phân biệt về mặt thống kê, chúng tôi cũng
tính giá trị p-value của sự khác biệt, bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận được đề xuất bởi
Jobson và Korkie (1981) sau khi thực hiện điều chỉnh chỉ ra trong Memmel (2003).
Để đánh giá hiệu quả của lỗi ước lượng về hoạt động, chúng tôi cũng tính toán trong mẫu tỷ số
Sharpe cho mỗi chiến lược. Này được tính bằng cách sử dụng nhiều chuỗi thời gian, đó là với

khung thời gian dự toán M = T. Một cách chính thức, tỷ số Sharpe trong mẫu của chiến lược là k:
Với , là trung bình mẫu và phương sai ước tính, và là danh mục đầu tư thu được với
những ước tính này.
Hai, chúng ta tính tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương (CEQ), được định nghĩa là tỷ lệ rủi ro
mà nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận chứ không phải là áp dụng chiến lược đầu tư rủi ro đặc thù.
Chính thức, chúng tôi tính toán tỷ suất sinh lợi CEQ của chiến lược k trong đó μk và σ
2
k
là giá trị trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lợi vượt quá ngoài mẫu cho chiến lược k, và γ
là lo ngại rủi ro.
17
Kết quả chúng tôi báo cáo là đối với trường hợp γ = 1, kết quả cho các giá trị
khác của γ được thảo luận trong phụ lục riêng biệt với kiểm tra tính vững. Để kiểm tra xem tỷ
suất sinh lợi CEQ từ hai chiến lược là khác nhau về mặt thống kê, chúng tôi cũng tính giá trị p-
value của sự khác biệt, dựa trên các tính chất tiệm cận của các hình thức chức năng của người dự
toán cho các phương tiện và phương sai.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 14
Ba, để có được một gợi ý về số lượng giao dịch cần thiết để thực hiện từng chiến lược đầu tư,
chúng tôi tính toán doanh thu danh mục đầu tư, định nghĩa là tổng trung bình của các giá trị tuyệt
đối của các giao dịch trên các tài sản có sẵn N.
trong đó là tỷ trọng danh mục đầu tư trong tài sản j tại thời điểm t trong chiến lược k;
là trọng lượng danh mục đầu tư trước khi tái cân bằng tại t+1 và là tỷ trọng
danh mục đầu tư mong muốn tại thời điểm t + 1 , sau khi cân đối lại. Ví dụ, trong trường hợp của
chiến lược 1/N , , nhưng có thể khác nhau do sự thay đổi giá tài
sản giữa t và t + 1. Số lượng doanh thu được xác định ở trên có thể được hiểu là phần trăm trung
bình tài sản được giao dịch trong mỗi giai đoạn thời gian. Đối với chiến lược chuẩn 1/ N chúng
tôi báo cáo doanh thu tuyệt đối của nó , và cho tất cả các chiến lược khác doanh thu của họ có
liên quan tới chiến lược chuẩn.
18

Ngoài việc báo cáo doanh thu thô cho mỗi chiến lược , chúng tôi cũng báo cáo một biện pháp
kinh tế này bằng cách báo cáo như thế nào chi phí giao dịch tỷ lệ thuận với doanh thu được tạo ra
bởi điều này ảnh hưởng đến lợi nhuận từ một chiến lược cụ thể
19
. Chúng tôi thiết lập chi phí giao
dịch tỷ lệ bằng 50 điểm cơ bản cho mỗi giao dịch là giả định trong Balduzzi và Lynch (1999 ),
dựa trên các nghiên cứu chi phí cho mỗi giao dịch cho cổ phiếu riêng lẻ trên sàn NYSE bởi Stoll
và Whaley (1983), Bhardwaj và Brooks ( 1992), và Lesmond , Ogden, và Trzcinka ( 1999).
Để là tỷ suất sinh lợi của chiến lược k trên danh mục đầu tư của N tài sản được tái cân
bằng trước đó, là . Khi danh mục đầu tư là cân đối lại tại thời điểm t +
1, nó làm phát sinh một trong các giao dịch tài sản của . Biểu thị bằng c các
chi phí giao dịch theo tỷ lệ, chi phí của toàn bộ tài sản là . Vì vậy,
chúng ta có thể viết sự gia tăng của tài sản cho chiến lược k như sau:
với các chi phí giao dịch được đưa ra bởi .
Đối với mỗi chiến lược, chúng tôi tính toán tỷ suất sinh lợi-thua lỗ đối với các chiến lược 1/N.
Tỷ suất sinh lợi-thua lỗ được định nghĩa là tỷ suất sinh lợi bổ sung cần thiết cho chiến lược k để
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 15
thực hiện cũng như các chiến lược 1/N về tỷ số Sharpe. Để tính toán tỷ suất sinh lợi-thua lỗ mỗi
tháng, giả sử và là trung bình và biến động ngoài mẫu hàng tháng của tỷ suất sinh lợi
thuần từ chiến lược 1/N, và và là số lượng tương ứng cho chiến lược k. Sau đó, tỷ suất
sinh lợi-thua lỗ từ chiến lược k là:
3. Kết quả từ Bảy bộ dữ liệu thực nghiệm được xem xét:
Trong phần này, chúng ta so sánh kết quả thực nghiệm của các chiến lược tài sản phân bổ tối ưu
được liệt kê trong Bảng 1 để chuẩn chiến lược 1/N. Đối với mỗi chiến lược, chúng tôi tính toán
trên tất cả các bộ dữ liệu được liệt kê trong bảng 2, trong mẫu và out-of- mẫu tỷ lệ Sharpe (Bảng
3), sự trở lại CEQ (bảng 4) , và doanh thu ( Bảng 5). Trong mỗi bảng, các chiến lược khác nhau
được kiểm tra được liệt kê trong các hàng, trong khi các cột tham khảo các bộ dữ liệu khác nhau.
3.1 Tỷ số Sharpe:
Hàng đầu tiên của Bảng 3 cho biết tỷ lệ Sharpe của chiến lược chuẩn 1/ N cho các bộ dữ liệu
khác nhau được xem xét. Hàng thứ hai của bảng, "mv ( trong mẫu), " cho tỷ số Sharpe của chiến

lược phương sai-trung bình Markowitz trong mẫu, có nghĩa là, khi không có sai số ước tính;
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 16
bằng xây dựng, đây là tỷ lệ cao nhất Sharpe của tất cả các chiến lược được xem xét. Lưu ý tầm
quan trọng của sự khác biệt giữa tỷ số Sharpe trong mẫu cho chiến lược trung bình phương sai và
chiến lược 1/ N đưa ra một phương pháp của sự thua lỗ từ đa dạng hóa đơn giản hơn là đa dạng
hóa tối ưu khi không có sai số ước tính. Cho bộ dữ liệu chúng tôi đang xem xét, khác biệt này là
đáng kể. Ví dụ, đối với các dữ liệu đầu tiên được xem xét trong Bảng 3 ( "S & P lĩnh vực" ),
danh mục đầu tư phương sai-trung bình trong mẫu có tỷ số Sharpe hàng tháng 0,3848, trong khi
tỷ số Sharpe của chiến lược 1/N là ít hơn một nửa, chỉ 0,1876 . Tương tự như vậy, trong cột cuối
cùng của bảng này (đối với bộ dữ liệu " FF- 4 yếu tố"), tỷ số Sharpe trong mẫu cho chiến lược
trung bình phương sai là 0,5364, trong khi đó đối với chiến lược 1/N chỉ là 0,1753.
Để đánh giá tầm quan trọng của lợi ích tiềm năng mà thực sự có thể được công nhận bởi một nhà
đầu tư, nó là cần thiết để phân tích biểu hiện ngoài mẫu của các chiến lược từ các mô hình tối ưu
hóa. Sự khác biệt giữa chiến lược của trung bình phương sai trong mẫu và tỷ số Sharpe ngoài
mẫu cho phép chúng tôi đánh giá mức độ nghiêm trọng của sai số ước tính. So sánh này cung
cấp kết quả nổi bật. Từ tỷ số Sharpe ngoài mẫu được báo cáo trong dòng tiêu đề " mv" trong
bảng 3, chúng ta thấy rằng đối với tất cả các dữ liệu này, chiến lược mẫu dựa trên trung bình
phương sai có tỷ lệ Sharpe thấp hơn đáng kể so với tỷ lệ Sharpe trong mẫu.
Hơn nữa, tỷ lệ Sharpe ngoài mẫu của chiến lược mẫu dựa trên trung bình phương sai thấp hơn so
với chiến lược 1/N cho tất cả, nhưng có một ngoại lệ trong những bộ dữ liệu, với ngoại lệ là bộ
dữ liệu "FF- 4 yếu tố" (mặc dù sự khác biệt là không đáng kể về mặt thống kê). Đó là, hiệu quả
của sai số ước tính là rất lớn mà nó làm mất hoàn toàn lợi ích từ đa dạng hóa tối ưu. Ví dụ, đối
với các bộ dữ liệu "S & P lĩnh vực" danh mục đầu tư mẫu dựa trên trung bình phương sai có tỷ
số Sharpe là 0,0794 so với giá trị trong mẫu 0,3848, và 0,1876 cho chiến lược 1/N . Tương tự
như vậy, đối với bộ dữ liệu "quốc tế", tỷ số Sharpe trong mẫu cho chiến lược trung bình phương
sai là 0,2090, trong đó giảm xuống -0,0332 đối với ngoài mẫu, trong khi tỷ số Sharpe của chiến
lược 1/N là 0,1277.
Việc so sánh các tỷ số Sharpe xác nhận những nguy cơ của việc sử dụng các ước tính mẫu cổ
điển dựa trên những thay đổi của tỷ suất sinh lợi tài sản để thực hiện danh mục đầu tư phương sai
trung bình của Markowitz. Như vậy, quan sát đầu tiên của chúng tôi là ngoài mẫu, chiến lược

1/N thường tốt hơn so với chiến lược mẫu dựa trên trung bình phương sai nếu một người không
thực hiện bất cứ điều chỉnh cho sự hiện diện của sai số ước tính.
Nhưng những gì về biểu hiện các chiến lược phân bổ tối ưu ngoài mẫu đó có giải thích một cách
rõ ràng cho các sai số tính toán? Quan sát thứ hai của chúng tôi là , nói chung, chiến lược
Bayesians không có vẻ là rất hiệu quả xử lý với sai số ước tính. Trong Bảng 3 , các chiến lược
Bayes-Stein, "bs" có một tỷ số Sharpe ngoài mẫu thấp hơn so với chiến lược 1/N cho tất cả các
bộ dữ liệu ngoại trừ "MKT / SMB / HML" và "FF- 4 yếu tố", và ngay cả trong những trường hợp
này sự khác biệt là không đáng kể về mặt thống kê ở mức độ thông thường ( p-value là 0,25 và
0,48 tương ứng) . Thực tế, tỷ số Sharpe cho danh mục đầu tư Bayes-Stein chỉ tốt hơn một chút
hơn so với danh mục đầu tư mẫu dựa trên trung bình phương sai. Lý do là vì trong bộ dữ liệu của
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 17
chúng tôi lợi tức của chiến lược Bayes-Stein chỉ là một cải tiến nhỏ trên chiến lược phương sai-
trung bình ngoài mẫu có thể bị truy tìm ngược lại sự thật là trong khi phương pháp BayesStein
làm giảm tỷ trọng danh mục đầu tư, các trọng số kết quả vẫn còn gần hơn với trọng số trung bình
phương sai ngoài mẫu hơn là trọng số tối ưu trong mẫu. Chiến lược Dữ liệu và Mô hình " dm ",
trong đó ưu tiên của nhà đầu tư vào việc định giá sai α của mô hình ( CAPM; Fama và Pháp năm
1993; hoặc Carhart, 1997) có độ sát 1% mỗi năm ( σ
α
= 1,0 %), cải thiện so với phương pháp
Bayes-Stein cho ba tập dữ liệu "S & P lĩnh vực ", " quốc tế " và " FF- 4 yếu tố”. Tuy nhiên, chiến
lược "dm" biểu hiện tốt hơn so với chiến lược 1/N chỉ đối với bộ dữ liệu "FF- 4 yếu tố", trong đó
chiến lược " dm " với σ
α
= 1% đạt được một tỷ số Sharpe của 0,2355, lớn hơn so với tỷ số Sharpe
của 0,1753 cho chiến lược1 / N, nhưng sự khác nhau là không đáng kể về mặt thống kê (giá trị p
là 0,17 ). Như chúng ta đã ghi trong phụ lục " thực hiện chi tiết và kiểm tra tính vững " mà có sẵn
từ các tác giả, sự hoạt động được cải thiện của chiến lược " dm " so với bộ dự liệu " FF- 4 yếu tố
" là do mô hình Carhart (1997) cung cấp một mô tả tốt về tỷ suất sinh lợi chéo cho danh mục đầu
tư theo quy mô và giá trị sổ sách so với giá trị thị trường.
Quan sát thứ ba của chúng tôi là về danh mục đầu tư được dựa trên những hạn chế về sự thay đổi

của tỷ suất sinh lợi. Từ hàng trong bảng 3 dưới cái tên chiến lược phương sai tối thiểu, chúng tôi
thấy rằng bỏ qua các ước tính về tỷ suất sinh lợi kỳ vọng hoàn toàn nhưng khai thác các thông tin
về mối tương quan không dẫn đến thành quả tốt hơn, so với chiến lượt phương sai-trung bình
ngoài mẫu -” “mv” trong tất cả các bộ dữ liệu nhưng” “FF- 4 yếu tố.” Bỏ qua tỷ suất sinh lợi
trung bình thì rất thành công trong việc giảm tỉ trọng danh mục đầu tư: Tỉ trọng tỉ trọng danh
mục đầu tư ngoài mẫu dưới chiến lược phương sai tối thiểu thì hợp lý hơn nhiều so với dưới
chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu. Ví dụ, trong bộ dữ liệu ”“quốc tế”, tỉ trọng danh
mục phương sai-trung bình đầu tư vào chỉ số thế giới dao động từ -140 % đến 124 %, không phải
là từ -148195 % xuống +116828 % như nó đã thực hiện trong chiến lược phương sai-trung bình.
Mặc dù chiến lược 1/N có một tỷ lệ Sharpe cao hơn so với chiến lược phương sai-tối thiểu cho
các bộ dữ liệu “S & P lĩnh vực”, và” “FF-4 yếu tố”, cho “”ngành công nghiệp”, “”quốc tế” và bộ
dữ liệu “”MKT / SMB / HML”, chiến lược phương sai-tối thiểu có một tỷ lệ Sharpe cao hơn,
nhưng sự khác biệt không có ý nghĩa thống kê (giá trị p lớn hơn 0.20 ), chỉ bộ dữ liệu “”FF -1-
yếu tố” mang lại khác biệt có ý nghĩa thống kê trong tỷ lệ Sharpe. Tương tự như vậy, danh mục
tỉ trọng-giá trị thị trường có tỷ lệ Sharpe thấp hơn so với 1/N trong tất cả các bộ dữ liệu, trong đó
một phần là do các ảnh hưởng công ty qui mô nhỏ. Tỉ lệ Sharpe ngoài mẫu cho phương pháp
“”mp” đề xuất bởi Mackinlay và Pastor (2000) cũng ít hơn so với chiến lược 1/N cho tất cả các
bộ dữ liệu chúng tôi xem xét.
Quan sát thứ tư của chúng tôi trái ngược với quan điểm thường thấy của những nhà đầu tư thực
tế, những hạn chế không thể cải thiện thành quả một cách hiệu quả nếu đứng riêng lẻ; đó là, tỷ lệ
Sharpe của chiến lược giới hạn phương sai-trung bình dựa trên mẫu, “mv-c” ít hơn so với chiến
lược 1/N đối với những bộ dữ liệu “S & P lĩnh vực”, “công nghiệp”, “quốc tế” và “MKT / SMB /
HML” (với giá trị p là 0.09, 0.03, 0.17, và 0.02 tương ứng), trong khi ngược lại thì đúng cho bộ
dữ liệu “FF-1-yếu tố” và “FF-4 yếu tố”, và sự khác biệt có ý nghĩa thống kê chỉ đúng cho bộ dữ
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 18
liệu “FF-1-yếu tố”. Tương tự như vậy, các chiến lược Bayes-Stein với những hạn chế bán khống,
“bs-c”, có một tỷ lệ Sharpe thấp hơn so với chiến lược 1/N cho bốn bộ dữ liệu đầu tiên, và làm
tốt hơn so với chiến lược naive đối với dữ liệu “FF-1-yếu tố” và “FF-4 yếu tố, nhưng một lần
nữa giá trị p chỉ có ý nghĩa đối với “FF-1-yếu tố”.
Quan sát thứ năm của chúng tôi là kết hợp danh mục những hạn chế với vài hình thức của tỷ

suất sinh lợi thu hẹp thường hiệu quả hơn nhiều trong việc làm giảm ảnh hưởng của sai số ước
tính. Điều này có thể được nhìn thấy, ví dụ, bằng cách kiểm tra chiến lược phương sai-tối thiểu-
giới hạn, “min -c”, mà co lại hoàn toàn (bằng cách bỏ qua chúng) ước tính của tỷ suất sinh lợi kỳ
vọng, trong khi đồng thời thu hẹp các giá trị extreme của ma trận hiệp phương sai bằng cách áp
đặt những hạn chế bán khống. Kết quả cho thấy trong khi các chiến lược 1/N có tỷ lệ Sharpe cao
hơn so với chiến lược “min -c” cho dữ liệu “S&P lĩnh vực” và “FF -1- yếu tố”, ngược lại thì
đúng đối với dữ liệu “công nghiệp”, “quốc tế”, “MKT/SMB/HML” và “FF- 4 yếu tố”, mặc dù sự
khác biệt chỉ có ý nghĩa thống kê đối với dữ liệu “FF- 4 yếu tố”. Phát hiện này cho thấy rằng nó
có thể là tốt nhất để bỏ qua các dữ liệu về tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, nhưng vẫn khai thác cấu trúc
tương quan giữa tài sản để giảm thiểu rủi ro, với các giới hạn nhằm giúp giảm ảnh hưởng của các
lỗi trong tính toán ma trận hiệp phương sai. Lợi ích từ kết hợp hạn chế và thu hẹp cũng là cơ sở
cho chính sách phương sai-tối thiểu tổng quát hóa, “g-min-c”, mà có một tỷ lệ Sharpe cao hơn so
với 1/N trong tất cả dữ liệu, nhưng hai bộ dữ liệu “S & P lĩnh vực” và “FF-1-yếu tố”, mặc dù
thành quả này chỉ có ý nghĩa thống kê với “FF-4 yếu tố”.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 19
Cuối cùng, hai danh mục đầu tư hỗn hợp, “mv-min” và “ew-min,” mô tả trong Phần 1.6.1 và
1.6.2, không mang lại thành quả có ý nghĩa thống kê tốt hơn 1/N.
3.2 Tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương
So sánh tỷ suất sinh lợi CEQ trong Bảng 4 xác nhận các kết luận từ phân tích các tỷ số Sharpe:
Chiến lược phương sai-trung bình trong mẫu có mức tỷ suất sinh lợi CEQ cao nhất, nhưng bên
ngoài mẫu thì không có chiến lược nào từ các mô hình tối ưu có thể luôn đạt được tỷ suất sinh lợi
CEQ mà cao hơn về mặt thống kê đối với chiến lược 1/N. Trong thực tế, chỉ có hai trường hợp
mà tỷ suất sinh lợi CEQ từ các mô hình tối ưu hóa cao hơn về mặt thống kê đối với tỷ suất sinh
lợi CEQ từ mô hình 1/N. Điều này xảy ra trong dữ liệu “FF-1-yếu tố”, trong đó danh mục
phương sai-trung bình-hạn chế “mv-c” có lợi tức CEQ 0,0090 và chiến lược “bs-c” có lợi tức
CEQ 0,0088, trong khi chiến lược 1/N có CEQ 0,0073, với giá trị p-value của sự khác biệt là
0.03 và 0.05, tương ứng.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 20
3.3 Doanh thu danh mục đầu tư
Bảng 5 bao gồm các kết quả cho doanh thu danh mục đầu tư, tiêu chuẩn đo lường thành quả thứ

ba của chúng tôi. Dòng đầu tiên báo cáo doanh thu thực tế của chiến lược 1/N. Bảng A báo cáo
doanh thu của tất cả các chiến lược có liên quan tới chiến lược 1/N, và bảng B chúng tôi báo cáo
lãitỷ suất sinh lợi -–thua lỗ, như được xác định trong phương trình (17).
Từ bảng A của bảng 5, chúng ta thấy rằng trong tất cả các trường hợp doanh thu cho danh mục
đầu tư từ các mô hình tối ưu hóa cao hơn rất nhiều so với chiến lược chuẩn 1/N. So sánh doanh
thu trên toàn bộ dữ liệu khác nhau, nó là bằng chứng cho thấy rằng doanh thu của các chiến lược
từ các mô hình tối ưu hóa thì nhỏ hơn, tương đối khi so với chiến lược 1/N trong dữ liệu
“MKT/SMB/HML” hơn là các bộ dữ liệu khác. Đây không phải là đáng ngạc nhiên do thực tế là
hai trong số ba tài sản trong bộ dữ liệu này, HML và SMB, được tích cực quản lý danh mục đầu
tư và, như được giải thích ở trên, vì số tài sản trong bộ dữ liệu này là nhỏ (N = 3), vấn đề ước
lượng thì ít nghiêm trọng. Điều này cũng được xác nhận bởi bảng B của bảng 5,nơi dữ liệu
“MKT / SMB / HML” nhiều chiến lược có mức lãi-lỗ hơi tiêu cực, ngụ ý rằng ngay cả trong sự
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 21
hiện diện của một phần chi phí giao dịch, các chiến lược có thể đạt được một tỷ lệ Sharpe cao
hơn so với chiến lược 1/N.
So sánh doanh thu danh mục đầu tư cho các mô hình tối ưu khác nhau, chúng ta thấy rằng doanh
thu đối với các danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu “mv” là lớn hơn đáng kể so
với chiến lược 1/N. Danh mục đầu tư Bayes - Stein, “bs” có ít doanh thu hơn so với danh mục
đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu, và Dataand -Mô hình tiếp cận Bayes, “dm”, cũng
thường thành công trong việc giảm doanh thu, so với danh mục đầu tư phương sai-trung bình.
Danh mục đầu tư phương sai-tối thiểu, “min” , thậm chí còn thành công hơn trong việc giảm
doanh thu, và chiến lược Mackinlay và Pastor (2000) thì vẫn chưa thành công hơn. Ngoài ra, như
người ta mong đợi, các chiến lược với những hạn chế bán khống có doanh thu thấp hơn nhiều
chiến lược không bị giới hạn. Từ bảng B của bảng 5, chúng ta thấy rằng đối với một số bộ dữ
liệu “min -c” và ‘g -min -c” những chiến lược có một tỷ lệ lãi-lỗ hơi tiêu cực, ngụ ý rằng trong
những trường hợp các chiến lược này đạt được một tỷ lệ Sharpe cao hơn so với chiến lược 1/N
ngay cả khi có sự hiện diện của các chi phí giao dịch.
3.4 Tóm tắt kết quả từ các tập dữ liệu thực nghiệm
Từ các thảo luận ở trên, chúng tôi kết luận rằng các chiến lược từ mô hình tối ưu hóa, không có
chiến lược duy nhất nào mà luôn luôn tốt hơn chiến lược 1/N về tỷ lệ Sharpe. Nhìn chung, chiến

lược 1/N có tỷ lệ Sharpe cao hơn (hoặc không thể phân biệt về mặt thống kê) liên quan đến chính
sách hạn chế, trong đó, lần lượt, có tỷ lệ Sharpe cao hơn so với các chính sách không bị giới hạn.
Về CEQ, không có chiến lược từ các mô hình tối ưu luôn tốt hơn so với chiến lược chuẩn 1/N.
Và về doanh thu, chỉ chiến lược “VW”, trong đó các nhà đầu tư nắm giữ danh mục đầu tư thị
trường và không giao dịch tại tất cả, là tốt hơn so với chiến lược 1/N.
4. Kết quả từ nghiên cứu phân tích các lỗi ước tính
Phần này xem xét phân tích một số yếu tố quyết định kết quả thực nghiệm xác định trước đó.
Mục tiêu của chúng tôi là phải hiểu lý do tại sao các chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa khác
nhau không mang lại thành quả tương đối tốt hơn so với chiến lược 1/N. Chúng tôi tập trung vào
việc xác định mối quan hệ giữa thành quả tỷ suất sinh lợi dự kiến (đo bằng tỷ suất sinh lợi CEQ)
của các chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa khác nhau và của chiến lược 1/N, như một hàm số
của : (i) số tài sản, N, (ii) độ dài của dữ liệu tính toán, M, (iii) tỷ lệ ex ante Sharpe của chiến lược
phương sai-trung bình, và (iv) tỷ lệ Sharpe của chiến lược 1/N.
Như trong nghiên cứu của Kan và Zhou (2007), chúng tôi xử lý các tỷ trọng danh mục đầu tư
như là một hệ số ước tính, có nghĩa là, như một hàm số của dữ liệu. Danh mục đầu tư tối ưu do
đó có thể được xác định bằng cách trực tiếp giải quyết vấn đề của việc tìm kiếm tỷ trọng mà tối
đa hóa lợi ích mong đợi, thay vì đầu tiên ước tính những thay đổi mà các tỉ trọng phụ thuộc, và
sau đó xây dựng các quy tắc danh mục đầu tư tương ứng. Áp dụng điều này, chúng tôi mang lại
một thước đo của sự thua lỗ dự kiến phát sinh trong việc sử dụng một chiến lược đặc biệt đầu tư
dựa trên ước tính hơn là những thay đổi thật sự.
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 22
Chúng ta hãy xem xét một nhà đầu tư lựa chọn một vector tỉ trọng danh mục đầu tư, x, để tối đa
hóa chiến lược phương sai-trung bình sau [ xem phương trình (2)] :

Tỉ trọng tối ưu là , và lợi ích tối ưu hóa tương ứng là

trong đó S
2

*

= Μ ∑-1μ là tỷ số Sharpe bình phương của danh mục tiếp tuyến ex ante các tài sản
rủi ro. Vì μ và ∑ không được biết trước, tỉ trọng danh mục tối ưu cũng là không rõ, và được ước
tính là một hàm số của các dữ liệu có sẵn:

Chúng tôi xác định thua lỗ dự kiến tự việc sử dụng một ước lượng cụ thể của tỉ trọng x như sau:

trong đó kỳ vọng E [U (x)] đại diện cho các lợi ích trung bình thực hiện bởi một nhà đầu tư “thực
hiện” chiến lược x vô hạn nhiều lần.
Khi sử dụng danh mục đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu xmv, μ và ∑ được ước tính từ
các đối tác mẫu của họ, μ = 1M ∑ M t = 1 Rt và ∑ = 1M ∑ M t = 1 (Rt - μ) (Rt - μ), và sự biểu
hiện tỉ trọng cho danh mục đầu tư tối ưu là x = 1 γ ∑-1 Μ. Dựa trên giả định rằng việc phân phối
tỷ suất sinh lợi là bình thường, μ và ∑ độc lập và được phân phối như sau: Μ ~ N (μ,∑ / M) và
M∑ ~ WN (M - 1,), trong đó WN (M - 1) là denote phân phối Wishart với M - 1 bậc tự do và ma
trận hiệp phương sai ∑.
Tương tự cách tiếp cận như trong nghiên cứu Kan và Zhou (2007), chúng tôi tìm được sự thua lỗ
dự kiến từ việc sử dụng các quy tắc 1/N. Bằng cách so sánh tổn thất dự kiến, LMV, từ việc sử
dụng chính sách phương sai-trung bình dựa trên mẫu đến những tổn thất dự kiến, Lew, từ việc sử
dụng chiến lược 1/N, chúng ta có thể phân tích các điều kiện mà quy tắc 1/N dự kiến sẽ cung cấp
một sự thua lỗ thấp/cao hơn dự kiến so với chính sách phương sai-trung bình. Để thuận lợi cho
việc so sánh giữa các chính sách này, chúng tôi xác định giá trị quan trọng M*mv của chiến lược
phương sai-trung bình dựa trên mẫu như số lượng nhỏ nhất của thời gian ước tính cần thiết cho
danh mục phương sai-trung bình thực hiện tốt hơn, tính trung bình, quy tắc 1/N. Công thức,

Cũng như trong Kan và Zhou, chúng ta xem xét ba trường hợp: (1) vector của tỷ suất sinh lợi dự
kiến không được biết trước, nhưng ma trận hiệp phương sai của tỷ suất sinh lợi được biết đến;
(2) vector của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng được biết đến, nhưng ma trận hiệp phương sai của tỷ suất
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 23
sinh lợi thì không, và (3) cả vector của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng và ma trận hiệp biến chưa được
biết và cần phải được ước tính. Các đề xuất sau đây xuất phát từ các điều kiện cho quy tắc
phương sai-trung bình dựa trên mẫu để làm tốt hơn quy tắc 1/N cho ba trường hợp.

Đề xuất 1: cho S
2

*
= Μ∑ -1μ là tỷ lệ Sharpe bình phương của danh mục tiếp tuyến (phương sai-
trung bình) đầu tư các tài sản rủi ro và S
2

ew
= (1∑ Nμ) 2/1∑ N 1N∑ tỷ lệ Sharpe bình phương
của danh mục đầu tư 1/N. sau đó:
1. Nếu μ là không rõ và ∑ được biết đến, chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu
có một thua lỗ dự kiến thấp hơn hơn chiến lược 1/N nếu:

2. Nếu μ được biết đến và ∑ là không rõ, chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu
có một thua lỗ dự kiến thấp hơn hơn chiến lược 1/N nếu:

Trong đó
3. Nếu cả hai μ và ∑ chưa được biết, chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu có
một thua lỗ dự kiến thấp hơn hơn chiến lược 1/N nếu:

Trong đó

Từ sự bất bình đẳng (23), chúng ta thấy rằng nếu μ là chưa biết nhưng ∑ được biết đến, sau đó
chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu có nhiều khả năng thực hiện tốt hơn chiến lược
1/N nếu số lượng giai đoạn ước tính các thông số, M, là cao và nếu số lượng tài sản hiện có, N,
là thấp. Vì k trong phương trình (25) đang gia tăng trong M và giảm trong N, sự bất bình đẳng
(24) cũng cho thấy trường hợp μ được biết đến nhưng∑ là không rõ, các chiến lược phương sai-
trung bình dựa trên mẫu có nhiều khả năng để làm tốt hơn chiến lược 1/N nếu như M tăng và N
giảm. Cuối cùng, đối với trường hợp trong đó cả hai thông số chưa biết, chúng tôi lưu ý vì h> 0,

phía bên trái của phương trình (26) luôn luôn nhỏ hơn phía bên trái của phương trình (24).
Để minh họa cho tác động của giả định 1 ở trên, chúng tôi tính toán giá trị quan trọng M
*

mv
, như
được xác định trong phương trình (22), trong ba trường hợp được xem xét trong giả định. Trong
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 24
hình 1, chúng tôi hiển thị độ dài quan trọng của giai đoạn lập dự toán cho ba trường hợp, như
một hàm số của số lượng tài sản, cho các giá trị khác nhau của tỷ lệ ex ante Sharpe của danh mục
đầu tư tiếp tuyến, S
*
, và danh mục đầu tư 1/N, S
ew
. Chúng ta hiệu chỉnh sự lựa chọn của S
*
và
S
ew
với tỷ lệ Sharpe báo cáo trong Bảng 3 cho dữ liệu thực nghiệm. Từ bảng 3, chúng ta thấy
rằng tỷ lệ Sharpe dựa trên mẫu cho chiến lược phương sai-trung bình là khoảng 40% cho bộ dữ
liệu S & P lĩnh cực, khoảng 20% cho các bộ dữ liệu ngành công nghiệp và quốc tế, và khoảng 15
% cho danh mục đầu tư tỉ trọng thị trường, vì thế chúng tôi coi chúng là ba đại diện của giá trị tỷ
lệ Sharpe của danh mục đầu tư tiếp tuyến: S
*
= 0,40 (bảng A và B), S
*
= 0,20 (bảng C và D ), và
S
*

= 0,15 (bảng E và F). Từ Bảng 3,chúng tôi cũng thấy rằng tỷ lệ Sharpe của chiến lược 1/N là
khoảng một nửa so với chiến lược phương sai-trung bình dựa trên mẫu. Vì vậy, trong bảng A,
chúng tôi thiết lập tỷ lệ Sharpe của chiến lược 1/N là S
ew
= 0,20, và trong bảng C, chúng tôi thiết
lập nó là 0,10. Chúng tôi cũng muốn xem xét một viễn cảnh thiết lập lớn hơn, trong đó tỷ lệ ex
ante Sharpe kỳ vọng của danh mục đầu tư 1/N là nhỏ hơn nhiều so với giá trị danh mục đầu tư
phương sai-trung bình - chỉ một phần tư chứ không phải là một nửa tỷ lệ Sharpe của danh mục
đầu tư phương sai-trung bình dựa trên mẫu, S
*
, vì thế, trong bảng B, chúng tôi thiết lập S
ew
=
0,10, và trong bảng D, chúng tôi đặt nó là 0.05. Tương tự như vậy, đối với bảng E và F, được
hiệu chỉnh dữ liệu cho thị trường chứng khoán Mỹ, chúng tôi thiết lập S
ew
= 0.12 và S
ew
= 0,08,
tương ứng; các giá trị này thu được từ Bảng 6 cho dữ liệu mô phỏng, các chi tiết của dữ liệu mô
phỏng được quy định tại Mục 5.1.
Hình 1: Số lượng tháng ước tính để chiến lược phương sai-trung bình đạt được thành quả tốt hơn
chiến lược 1/N
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH – NHÓM 20 Trang 25