bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH




Bùi Thò Hạnh



BƯỚC CHUYỂN TỪ LƯNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC SANG LƯNG GIÁC
TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG





Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Tóan
Mã số : 60 14 10




LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ VĂN PHÚC



Thành phố Hồ Chí Minh – 2007
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Cách đây rất lâu, con người đã biết sử dụng kiến thức lượng giác trong thực tế cuộc sống,
chẳng hạn như đo góc quay của kim đồng hồ, đo khoảng cách giữa các ngôi sao gần, hoặc để đo
khoảng cách giữa các con tàu trên đại dương… Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác đã có từ
khi nào? Và kiến thức ấy xuất hiện trong tình huống nào? Khi ấy con người đã dùng lượng giác để
giải quyết thứ tự các dạng toán nào?
Ngày nay, trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông, kiến thức lượng giác được
đưa vào giảng dạy chủ yếu ở 3 khối lớp (lớp 9, lớp 10, lớp 11). Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức
lượng giác được giảng dạy hiện nay ở bậc phổ thông có đi theo trình tự giống như kiến thức lượng
giác trong quá khứ đã đi qua hay không? Đồng thời giữa từng cặp khối lớp (Lớp 9 sang lớp 10); lớp
10 sang lớp 11 thì kiến thức lượng giác có sự gián đoạn hoặc kế thừa không?
Lượng giác là một nội dung học phong phú. Trong chương trình môn Toán, lượng giác được
giảng dạy ở cả 3 khối lớp của cấp THPT, và cả ở lớp 9 của cấp THCS, với nội dung cụ thể như sau:
 Ở lớp 9: Lượng giác có mặt ở phần: Hệ thức lượng trong tam giác vuông qua bài tỉ số
lượng giác của góc nhọn.
 Ở lớp 10: Lượng giác được đề cập trong 2 phần.
- Chương II (Sách Hình học 10): Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng.
- Chương VI (Sách Đại số 10): Góc lượng giác và công thức lượng giác.
 Ở lớp 11: Lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác.
 Ở lớp 12: Lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm, tích phân…
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển từ lượng giác Lớp
9 sang lượng giác ở Lớp 10 để tìm các yếu tố gián đoạn hoặc sự kế thừa của các kiến thức ấy.

Ở Lớp 9, lượng giác luôn gắn liền với tam giác vuông, đi liền với nó là các tỉ số giữa cạnh
đối với cạnh huyền, cạnh kề với cạnh huyền … của 1 tam giác vuông. Do vậy lượng giác ở lớp 9
còn có tên gọi khác là
lượng giác trong tam giác
. Ở đây học sinh đã “giải được tam giác vuông”
khi biết ít nhất 2 yếu tố của nó trong đó phải có ít nhất 1 yếu tố độ dài, đồng thời số đo của 1 góc
nhọn nằm trong phạm vi từ 0
o
đến 90
o
.
Ở Lớp 10, lượng giác có mặt trong 2 cuốn SGK Hình học 10 và Đại số 10.
Trong cuốn Hình học 10 thì lượng giác có mặt trong chương tích vô hướng 2 véctơ và ứng
dụng, đi liền sau đó là giải tam giác thường. Và từ đây số đo của góc đã được mở rộng ra từ 0
o
đến
180
o
.
Trong cuốn Đại số 10 thì lượng giác có mặt ở phần góc lượng giác và công thức lượng giác,
mà góc lượng giác lại có số đo là 1 số thực bất kỳ.
Do có sự tương ứng giữa số thực  và điểm M trên đường tròn lượng giác nên với mọi số
thực  cho trước sẽ tìm được duy nhất 1 điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo AM = .
Từ đó, điểm M có thể nằm ở bất kỳ 1 vò trí nào trên đường tròn lượng giác mà chỉ phụ thuộc vào số
thực  cho trước. Bởi vậy lượng giác ở lớp 10 còn có tên gọi khác là lượng giác trong đường tròn.

Từ những vấn đề vừa trì
nh bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ
thông”.

Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau:
- Tại sao lượng giác trong tam giác lại được giảng dạy trước lượng giác trong đường tròn?
- Lượng giác trong tam giác đã trang bò những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của
lượng giác trong tam giác.
- Lượng giác trong đường tròn đã trang bò những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của
lượng giác trong đường tròn.
Qua đó cho thấy có mối quan hệ nào giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong
đường tròn?
Việc nghiên cứu về bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường
tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông là thực sự cần thiết; vì nó cho phép hiểu rõ hơn những
điều kiện và ràng buộc của quá trình truyền thụ tri thức gắn liền với lượng giác trong tam giác và
lượng giác trong đường tròn.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua những ghi nhận ban đầu được trình bày ở trên, dẫn chúng tôi đến các câu hỏi dưới đây, mà
việc tìm kiếm câu trả lời là mục đích của luận văn này.
Trong quá khứ kiến thức lượng giác được hình thành trong tình huống nào? Các kiến thức lượng
giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?
Trong 1 số giáo trình được giảng dạy ở trường Sư phạm, các TCTH nào được xây dựng xung
quanh lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.
Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình
huống nào? Đâu là các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng
giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở
phổ thông? Có sự gián đoạn hoặc kế thừa từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường
tròn?
Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá
trình làm việc với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện
cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?
Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn không? Đó là những khó khăn nào?
Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ

cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào
tạo này như thế nào?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi, dựa vào khung lý thuyết tham
chiếu là didactic Toán cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể
chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học – praxéologie), tổ chức didactic và khái niệm hợp
đồng didactic. Sự chọn lựa này xuất phát từ những lý do sau:
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh,
tìm ra ý nghóa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và
chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng
didactic là cần thiết, vì để chuẩn bò cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp
đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự
tiến triển mong đợi.
Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan hệ thể chế với
tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó. Qua đó cho chúng tôi biết tri thức xuất hiện ở đâu, có
vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri thức bò ảnh hưởng bởi những ràng buộc
nào trong mối quan hệ với thể chế.
Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán học (trong lý
thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học theo những quan điểm
khác nhau và bằng những cách khác nhau thành 1 hệ thống các nhiệm vụ xác đònh. Đánh giá từng
thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có
dễ hiểu không? Phạm vò hợp thức như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai?
Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là công cụ
phân tích thực tế dạy học. Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp ta xác đònh một số
quy tắc của hợp đồng didactic.
Đặc biệt ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách
nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được
quy đònh bởi các văn bản hay bởi đònh nghóa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng
tri thức, vào những ước đònh được hình thành trong quá trình giảng dạy.
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm
hiểu câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn.
Q
1
: Trong quá khứ, kiến thức lượng giác được hình thành gắn liền với tình huống nào?
Kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?
Q
2
: Trong một số giáo trình ở Đại học; các TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam
giác, lượng giác trong đường tròn.
Q
3
: Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong
tình huống nào? Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam
giác, lượng giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu
với các TCTH được giảng dạy ở bậc phổ thông.
Q
4
: Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong
bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng
được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?
Q
5
: Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó
khăn nào?
Q
6
: Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên
những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu

không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào?
5. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:
 Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ.
 Phân tích một số giáo trình được dùng trong đào tạo giáo viên ở trường sư phạm để
làm rõ chiến lược đào tạo nói chung, cũng như mối quan hệ của thể chế này với đối
tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.
 Phân tích đồng thời chương trình và SGK Toán các lớp 9 và 10 để làm rõ mối quan hệ
thể chế với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn và
đưa ra các giả thuyết nghiên cứu.
 Xây dựng các tình huống thực nghiệm dựa trên các giả thuyết nghiên cứu
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này gồm:
 Mở đầu
 Chương 1: Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác
qua các thời kỳ. Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong
tam giác và lượng giác trong đường tròn.
 Chương 2: Mối quan hệ thể chế với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong
đường tròn trong chương trình Toán ở bậc phổ thông.
 Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.
 Kết luận.
Chương 1
SƠ LƯC QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA KIẾN THỨC LƯNG
GIÁC QUA CÁC THỜI KỲ. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN
QUAN ĐẾN LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ LƯNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG
TRÒN

1.1. Sơ lược quá trình hình thành và phát triển
1.1.1. Thời kỳ thứ nhất
Ngay từ thời kỳ cổ Hy Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài, Kim Tự Tháp,

người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng trùng với khái niệm côsin ngày nay. Độ
lớn của các tỉ số này rất quan trọng đối với những người xây dựng Kim Tự Tháp, bởi vì họ cần tính
toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau.
Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone thế kỷ IV và V trước công nguyên
đã tích lũy một lượng lớn dữ liệu về thiên văn.
Về sau, những kiến thức lượng giác đầu tiên đã xuất hiện ở thời kỳ cổ Hy Lạp do nhu cầu
của thiên văn. Lúc bấy giờ Hippác và Plôtême (thế kỷ thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng
về sự liên hệ giữa góc ở tâm đường tròn với chiều dài cung bò chắn.
Tóm lại:
Trong thời kỳ thứ nhất, kiến thức lượng giác mới chỉ là một lý thuyết về những thủ
thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể qui về những tam giác. Vì lẽ đó, người
Hy Lạp hồi xưa gọi bộ môn này là “tam giác lượng” tức là đo đạc các tam giác. “Tam giác lượng”
phát sinh trên cơ sở của hình học, có ngôn ngữ hình học và được áp dụng vào các bài toán hình học
do các vấn đề cụ thể của kỹ thuật thời bấy giờ đặt ra.
1.1.2. Thời kỳ thứ hai
Trong nhiều thế kỷ, lượng giác đã xuất hiện như là một khoa học về “tam giác lượng”. Đến
thế kỷ 17 và 18, cùng với việc ra đời và phát triển mạnh của giải tích toán đã tạo điều kiện cho
lượng giác phát triển hơn nhưng theo một hướng mới. Trước đây, các đại lượng của lượng giác chỉ
được coi như là phương tiện để giải quyết các vấn đề của hình học thì nay đã trở thành đối tượng
để nghiên cứu. Các đại lượng đó được xem như là những hàm và một hướng mới của lượng giác đã
phát triển gọi là “giác lượng” – tức là đo đạc về góc được xuất hiện. Lý thuyết về các hàm lượng
giác được Ơle nghiên cứu lần đầu tiên (1748) trong tác phẩm “Mở đầu về giải tích của các vô cùng
bé”. Trong đó các hàm lượng giác được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi.
Hướng mới trên đây của lượng giác bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và
sóng điện từ. Các hàm sin và côsin bây giờ được nghiên cứu như là các chuỗi lũy thừa.

!4
x
!2
x

1xcos

!5
x
!3
x
xxsin
42
53



Như vậy, ở thời kỳ thứ hai, người ta đã vận dụng kiến thức của giải tích vào lượng giác để
nghiên cứu các hàm lượng giác một cách chính xác, giải thích rõ ràng các tính chất của chúng, để
rồi sau đó lại áp dụng các hàm lượng giác này vào các bài toán của thực tế như: dao động của lò
xo, của con lắc, việc đo đạc, các hiện tượng thủy triều, chu kì một trăng mọc,… (Trích Lê Đình Phi
– Nguyễn Đức Thuần – Nguyễn Đình Thọ – Quốc Trinh (1975), Hướng dẫn giảng dạy lượng giác
cấp III, NXB Giáo dục).
1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác, lượng giác trong
đường tròn
Chương này có mục đích trả lời cho nhóm câu hỏi Q
2
cụ thể là:
Trong các giáo trình Toán ở bậc Cao đẳng, Đại học
 TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam giác.
 TCTH nào gắn liền với lượng giác trong đường tròn.
Để xây dựng các TCTH tham chiếu, chúng tôi sẽ tham khảo một số giáo trình sau:
- Nguyễn Mạnh Quý; Nguyễn Tiến Đức (1980) Toán tập 1 (Sách đào tạo và bồi dưỡng)
NXB Giáo dục.
- Nguyễn Duy Thuận (1998) Đại số và giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ

Trung học Sư phạm) NXB Giáo dục.
1.2.1. Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác
Trong giáo trình Toán tập 1 (Đã nói ở trên) chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan
đến lượng giác trong tam giác là:
T
1
(Chuyển đổi): Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của
góc nhỏ hơn 45
o
.
(Trong giáo trình Toán tập 1 của tác giả Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Tiến
Đức thì sin

, cos

, tg

, cotg

được gọi là các hàm số lượng giác của góc

).
T
2
(Tính GT): Tính giá trò các hàm số lượng giác của góc đặc biệt.
T
3
(Dựng góc

): Dựng góc nhọn


khi biết 1 trong các hàm số lượng giác của nó.
T
4
(Tìm góc

): Tìm góc nhọn

khi biết 1 hàm số lượng giác của nó.
T
5
(Giải tg vuông) Giải tam giác vuông (khi biết 1 cạnh và 1 góc nhọn hoặc biết trước 2
cạnh).
T
6
(Giải tg thường) Giải tam giác thường (Biết 2 góc và 1 cạnh).
1.2.1.1. Các tổ chức toán học gắn liền với kiều nhiệm T
1(Chuyển đổi)

“Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của góc nhỏ hơn
45
o
”
Có 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này:

1
đònh lý:
 Dùng đònh lý nói về hàm số lượng giác của 2 góc phụ nhau. Nếu 2 góc phụ nhau thì:
 sin của góc này bằng cosin của góc kia và cosin của góc này bằng sin của góc kia.
 tang của góc này bằng cotang của góc kia và cotang của góc này bằng tang của góc

kia.

1
đònh lý: Đònh nghóa của hàm số lượng giác
Như vậy:
Trong đònh nghóa này, tác giả đã dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng có cùng 1 góc
nhọn, để từ đó xác lập các tỉ số đồng dạng; đồng thời tác giả gọi sin, cos, tg, cotg là các hàm số
lượng giác của 1 góc  mà trước đó không hề đưa vào khái niệm hàm số lượng giác. Điểm đặc biệt
nữa của đònh nghóa này là sau phần đònh nghóa thì tác giả đã suy ra ngay 2 công thức:



cos
sin
tg
và


tg
1
gcot


1

đònh lý
:
 Đònh lý nói về điều kiện để 2 tam giác vuông đồng dạng.
 Đònh lý “Một đường thẳng song song với 1 cạnh của 1 tam giác tạo thành với 2 cạnh kia
một tam giác mới có 3 cạnh tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác thứ nhất.

Kỹ thuật thứ 2 giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

1

bảng số
: Dùng bảng số với 4 chữ số thập phân

1

(bảng số):
Đònh nghóa các hàm số lượng giác.
Nhận xét:

 Hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T
1
, có đặc điểm giống nhau là cuối cùng đều
phải dùng đến Bảng số với 4 chữ số thập phân; mặc dù lúc đầu nhìn thì thấy khác.
 Nếu số đo các góc có số phút là 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ thì ta chỉ việc
tra bảng là có kết quả, nhưng nếu số đo các góc có số phút khác số phút ở trên thì học
sinh phải sử dụng thêm phần hiệu chính.
1.2.1.2. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T
2

(Tính GT)
“Tính giá trò các hàm số lượng giác của góc đặc biệt” (30
o
, 45
o
, 60
o

).
Có 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

2

tam giác vuông
:
(Nếu góc là 30
o
hoặc 60
o
) thì nội dung kỹ thuật này như sau:
- Vẽ 1 tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 30
o
hoặc 60
o
. (Đây là nửa tam giác đều cạnh BC).
* Nếu góc nhọn là 45
o
thì vẽ một tam giác vuông cân làm tương tự như trên.
Sau đó áp dụng đònh nghóa hàm số lượng giác để tính.

2

(tam giác vuông):
Đònh nghóa các hàm số lượng giác.
Nhận xét:

Đặc điểm của kỹ thuật 
2

tam giác vuông
là phải dựng tam giác vuông, có số đo của 1 góc nhọn
bằng số đo đã cho. Từ đó vận dụng đònh nghóa các hàm số lượng giác của góc  để thiết lập các tỉ
số cần thiết.
- Kết quả của phép tính là các số đúng.
(Ví dụ:

3
1
;3;
2
2
;
2
1
)
- Ưu điểm của kỹ thuật này là vận dụng được ngay lý thuyết vừa học vào phần bài tập, qua đó
sẽ khắc sâu kiến thức.
- Nhược điểm của kỹ thuật này là: Nếu yêu cầu tính giá trò các hàm số lượng giác của góc
không đặc biệt thì kỹ thuật này không phát huy được.
Kỹ thuật thứ 2 giải quyết kiểu nhiệm vụ này là

2

bảng lượng giác
:
Nội dung kỹ thuật này như sau:
- Tra trong bảng sin hoặc cos hoặc tg hoặc cotg để tìm giá trò các hàm số lượng giác đã cho.


2 bảng lượng giác:
Đònh nghóa các hàm số lượng giác của góc .

2 bảng lượng giác
:
Các tỉ số của 2 tam giác vuông đồng dạng.
1.2.1.3. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T
3

(Dựng góc )

“Dựng góc nhọn  khi biết một hàm số lượng giác của nó”.
Trong kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi thấy có 4 nhiệm vụ con
như sau:
a
b
N
O
M
y

T
31
: Dựng 1 góc nhọn  khi biết
b
a
sin 
Với a, b  N*; a <
b
 9


31
: Vẽ góc vuông xOy. Lấy 1 đoạn thẳng làm đơn vò.
x
- Trên Oy lấy 1 điểm M sao cho OM = a.
- Lấy M làm tâm, vẽ một cung tròn có bán kính R = b cắt Ox tại N;
- Góc

MNO = 
d
y
Q

O
P
c

31
: Đònh nghóa hàm số lượng giác của góc nhọn
T
32
: Dựng góc nhọn khi biết cos =
d
c
; c,d  N*; c < d ≤ 9

32
: Vẽ góc vuông xOy
x
- Trên Ox lấy điểm P sao cho OP = c.

- Lấy P làm tâm vẽ 1 cung tròn có bán kính R = d cắt Oy tại Q.
- Góc

OPQ = 

32
: Đònh nghóa hàm số lượng giác của góc nhọn

T
33
: Dựng góc nhọn khi biết tg =
n
m
; m,n  N*, m; n ≤ 9
R
y

S
O
n

33
:
- Vẽ góc vuông Oxy sao cho OS = m.
- Trên Ox lấy điểm R sao cho OR = n.
m
- Góc


ORS= 


33
: Đònh nghóa hàm số lượng giác của góc nhọn
x
T
34
: Dựng góc nhọn khi biết cotg =
q
p
; p,
q
 N*, p; q ≤ 9
y
R

S
O
p

34
:
- Dựng góc vuông Oxy.
q
- Trên Ox lấy điểm R sao cho OR = p
- Trên Oy lấy điểm S sao cho OS = q
x
- Góc

ORS = 


34
: Đònh nghóa các hàm số lượng giác của góc nhọn
Công nghệ giải thích cho các công nghệ trên là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác vuông đồng
dạng có chung 1 góc nhọn.
Nhận xét:

- Chúng tôi tạm gọi các kỹ thuật

31
; 
32
; 
33
; 
34
thuộc nhóm kỹ thuật 
3
(dựng góc).
- Ngoài kỹ thuật dựng góc nhọn đã trình bày ở trên, vẫn còn cách khác để dựng góc nhọn khi
biết 1 giá trò hàm số lượng giác của nó đó là:
- Nếu sin
 = A thì tra bảng với 4 chữ số thập phân xem A = sin của góc bao nhiêu độ.
- Dùng thước đo góc, ta sẽ dựng được góc nhọn ở trên.
- Tương tự cho cos
, tg, cotg.
1.2.1.4. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ
T
4

(Tìm góc )

“Tìm góc nhọn  khi biết 1 hàm số lượng giác của nó”
Kỹ thuật

4
để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

4
:
- Tra bảng 4 chữ số thập phân và tính được số đo góc
.
- Dùng thước đo góc để dựng góc nhọn có số đo là
.

4
: Đònh nghóa hàm số lượng giác của góc nhọn.
1.2.1.5. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ “T
5(Giải tg vuông)
: “Giải tam giác
vuông”
Trong kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi thấy có 2 dạng đó là: Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh góc
vuông và 1 góc nhọn và giải tam giác vuông khi biết 2 cạnh.
T
51
:“Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn”

51
:
- Tính góc nhọn còn lại (dựa vào đònh lý tổng 3 góc trong 1 tam giác là 180
o
).

- Tính 2 cạnh còn lại (dựa vào đònh nghóa các hàm số lượng giác của góc nhọn. Thực chất là
dựa vào đònh lý.
“Trong 1 tam giác vuông:
 Một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.
 Một cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối, hay nhân với
cotang góc kề”.

51
:
- Đònh lý tổng 3 góc trong tam giác.
- Đònh lý về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

51
:
- Các yếu tố để chứng minh đònh lý về tổng 3 góc trong tam giác, các tỉ số của 2 tam giác
vuông đồng dạng có chung 1 góc nhọn.
T
52
: “Giải tam giác vuông khi biết 1 cạnh góc vuông và cạnh huyền”.

52
:
- Tính cos của 1 góc nhọn
 (khi biết 1 cạnh kề và cạnh huyền)
- Tra bảng 4 chữ số thập phân để tìm giá trò của
.
- Tính góc nhọn còn lại (dựa vào đònh lý tổng 3 góc trong 1 tam giác).
- Tính cạnh góc vuông còn lại (Dựa vào đònh lý Pitago hoặc đònh lý nói về mối quan hệ
giữa cạnh và góc trong 1 tam giác vuông).


52
:
- Đònh lý Pitago.
- Đònh lý về mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

52
:
- Chứng minh đònh lý Pitago và các yếu tố để chứng minh nó.
- Tỉ số đồng dạng của 2 tam giác vuông.
Như vậy đến đây học sinh đã hoàn toàn giải được tam giác vuông khi biết 2 yếu tố trong đó
phải có 1 yếu tố độ dài.
1.2.1.6. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
6(Giải tg thường)
“Giải tam giác
thường”
Kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là hình thành nên các tam giác vuông có thể giải
được dựa vào các yếu tố đã cho.
Đoạn trích sau đây thể hiện kiểu nhiệm vụ này.
Bảng 1.1: Thống kê số lượng bài tập và ví dụ ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ của lượng giác trong
tam giác
Kiểu
nhiệm vụ
T
1

(Chuyển đổi)
T
2

(Tính GT)

T
3

(Dựng
góc )
T
4

(Tìm góc
)
T
5

(Giải tam
giác vuông)
T
6

(Giải tam
giác thường)
Số lượng
ví dụ
0 0 0 0 2 0
Số lượng
bài tập
2 1 1 1 2 1
Nhận xét chung:
Khi phân tích các TCTH tham chiếu liên quan đến lượng giác trong tam giác, chúng tôi có 1
vài ghi nhận sau:
 Cách dùng từ “hàm số lượng giác” để chỉ cho sin, cos, tg, cotg là chưa chính xác.

 Tính đơn điệu của sin; cos; tg; cotg trong lý thuyết nói rất kỹ nhưng trong phần bài tập
không có 1 bài nào.
 Để tìm sin, cos, tg, cotg hoặc tìm  khi biết 1 trong các “hàm số lượng giác” của
nó, tác giả chỉ hướng dẫn cách tra bảng và như vậy vai trò của máy tính bỏ túi là mờ
nhạt.
 Qua bảng thống kê số lượng bài tập và ví dụ thì thấy kiểu nhiệm vụ T
5
: Giải tam giác
vuông được ưu tiên hơn.
1.2.2. Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong đường tròn
Trong giáo trình “Nguyễn Duy Thuận (1998) đại số và giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên
tiểu học hệ Trung học sư phạm) NXB Giáo dục, chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ sau liên quan
đến lượng giác trong đường tròn đó là:
T
1
(Chuyển đổi độ, radian) “Chuyển đổi giữa độ và radian”
T
2
(Xác đònh điểm cuối B) “Xác đònh điểm cuối B của cung AB khi biết số đo của nó”.
T
3
(Tính GTHSLG) “Tính các giá trò sin

, cos

, tg

, cotg

khi biết số đo góc


”
T
4
(Tính GT còn lại) “Tính các giá trò sin

, cos

, tg

, cotg

. Khi biết 1 trong các giá trò ấy”.
T
5
(Chứng minh đẳng thức) “Chứng minh đẳng thức lượng giác”.
1.2.2.1. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ
T
1 (chuyển đổi độ, radian)
Chuyển đổi giữa độ và radian

1
:
Dùng công thức:
- Cung

o
có số đo bằng
.
180


radian
- Cung x radian có số đo bằng
o
180 .x



1
:
 Một nửa đường tròn có số đo bằng  radian.
 Do đó góc bẹt cũng có số đo bằng  radian.
Với lý do, đơn vò “độ” tỏ ra bất tiện trong khoa học kỹ thuật. Vì vậy người ta đã dùng 1 đơn
vò khác là radian, được đònh nghóa như sau:
“Cung 1 radian là cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn hay bằng
1
2
độ dài đường
tròn”.
Và do đó từ đây có một tương ứng giữa “độ” và “radian” (là một số thực) hay nói cách khác
là giữa độ và số thực.
1.2.2.2. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
2
“Xác đònh điểm cuối của cung
lượng giác , khi biết số đo của nó”.
AB

2
:
Trên đường tròn đònh hướng, lấy điểm A làm điểm gốc. Điểm cuối B của cung này được xác

đònh bởi hệ thức sđ =
 .
AB

2
:
 Đònh nghóa đường tròn đònh hướng
 Đònh nghóa cung lượng giác là:
Đường vạch ra bởi 1 điểm M chạy trên đường tròn đònh hướng
từ điểm gốc A đến điểm B của đường tròn được gọi là cung lượng giác
AB.

A
O

+
Ký hi
ệu
AB
Công nghệ của công nghệ

2
:
 Công thức chuyển đổi giữa độ và radian.
 Nếu bán kính R = 1 thì độ dài cung tròn bằng số đo của cung tròn ấy.
Nhận xét:
Trong giáo trình này, khái niệm cung lượng giác được đưa vào trước, sau đó mới
đònh nghóa góc lượng giác như sau:
“Cho cung lượng giác AB, hình tạo ra bởi tia OM khi điểm
M chạy trên đường tròn đònh hướng từ A đến B (vạch ra cung lượng

giác AB) được gọi là góc lượng giác.
O

A
+



B
M
Kí hiệu (O
A, OB)
Do đó sđ(OA, OB) = sđ
AB
Trong đònh nghóa này,
không đề cập đến điểm M có thể trùng B một lần hay nhiều lần. Khi
ấy sđ(OA, OB) =
 + k2 (k  Z).
Cũng tương tự như vậy sđ =
 + k2 (k  Z).
AB
1.2.2.3. To
å chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
3(Tính GTHSLG)
“Tính các giá trò
sin
, cos, tg, cotg”
Trước khi vào phân tích kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi
lướt qua đònh nghóa “hàm số lượng giác” của giáo trình này
như sau:

“Trong mặt phẳng toạ độ, góc (OA, OM) =
 có cạnh
cuối OM cắt đường tròn đơn vò tại điểm M(x, y).
O

A
+


y

x
y
M
x
 cos = x ; tg =
sin
cos



 sin = y ; cotg =
cos
sin



Rõ ràng với mỗi góc
, các giá trò cos, sin, tg, cotg đều xác đònh được. Người ta gọi
cos, sin, tg, cotg là những hàm số lượng giác”.

Nhận xét:

 Tác giả đònh nghóa các hàm số lượng giác nhưng lại không nói rõ miền xác đònh; miền
giá trò của từng hàm số.
 cos, sin, tg, cotg được gọi là các giá trò mà không nói rõ các giá trò của hàm số
lượng giác hay các giá trò lượng giác của góc
 (!).
 Góc  ở đây hiểu là góc lượng giác nên có số đo bất kỳ.
Như vậy:
Trong phần TCTH tham chiếu của lượng giác trong tam giác thì nói cho góc nhọn.
Còn trong TCTH tham chiếu của lượng giác trong đường tròn thì mở rộng ra là góc lượng giác
 có
số đo bất kỳ và không thông qua giai đoạn trung gian là góc
  [0
o
, 180
o
].

3
:
 Xác đònh toạ độ của điểm M trên đường tròn đơn vò sao cho
sđ =
 . Ta có M (x, y)
AM
Sử dụng đò
nh nghóa các “giá trò sin
, cos, tg, cotg”

3

:
Đònh nghóa các giá trò sin
, cos, tg, cotg.

3
: Đònh nghóa góc, cung lượng giác.
“Theo đònh nghóa của hàm số lượng giác, nếu biết giá trò của góc
 có thể xác đònh được dấu
của sin
, cos, tg, cotg dựa vào vò trí của điểm M trên đường tròn đơn vò trong mặt phẳng toạ
độ”.
1.2.2.4. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
4

(Tính GT còn lại)
“Tính các giá trò sin,
cos
, tg, cotg khi biết 1 trong các giá trò ấy”.

4
:
Đối với kiểu nhiệm vụ này và trong giáo trình tham khảo chúng tôi thấy có các kỹ thuật sau
để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:
 Dùng các hệ thức cơ bản.
 Dùng bộ công thức liên hệ của các cung (góc) có liên quan đặc biệt (đối, bù, phụ, hơn
kém
; hơn kém /2).
 Dùng phương pháp hình học (Xác đònh toạ độ của điểm M (x, y) trên đường tròn đơn
vò trong mặt phẳng toạ độ).


4
:
 Đònh nghóa các giá trò sin, cos, tg, cotg.
 Đònh nghóa góc lượng giác.
Nhận xét: Trong các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này chúng tôi thấy kỹ thuật “dùng các
hệ thức cơ bản” được ưu tiên sử dụng nhiều hơn.
1.2.2.5. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
5(Chứng minh đẳng thức)
“Chứng
minh các đẳng thức lượng giác”.

5
:
Đối với kiểu nhiệm vụ này, trong giáo trình tham khảo, chúng tôi thấy có các kỹ thuật sau
để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
 Dùng các hệ thức cơ bản hoặc cung liên kết.
 Dùng công thức cộng, nhân đôi, hằng đẳng thức.
 Cuối cùng biến đổi sao cho 2 vế bằng nhau.

5
:
Các hệ thức cơ bản; các công thức cộng, nhân đôi, cung liên kết. Lý thuyết giải thích cho
công nghệ

5
là:

5
: Các phép biến đổi tương đương.
Bảng 1.2: Thống kê số lượng bài tập và ví dụ ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ của lượng giác trong

đường tròn
Kiểu nhiệm vụ
T
1

(Chuyển đổi độ,
radian)
T
2

(Xác đònh điểm
cuối B)
T
3

(Tính
GTHSLG)
T
4

(Tính GT
còn lại)
T
5

(Chứng
minh đẳng
thức)
Số lượng ví dụ 3 1 1 1 1
Số lượng bài tập 2 2 2 1 5

Nhận xét chung:
Khi phân tích các TCTH tham chiếu liên quan đến lượng giác trong đường tròn, chúng tôi có
1 vài ghi nhận sau:
- Trong giáo trình tham khảo không nói đến tính biến thiên của sin
, cos, tg, cotg.
- Không nêu bật được đặc điểm của góc lượng giác là cùng một ký hiệu góc lượng giác (OA,
OB) nhưng có vô số góc lượng giác, số đo các góc này hơn kém nhau một bội nguyên của 2

(hay 360
o
).
- Tương tự cũng không nêu bật được đặc điểm của cung lượng giác đó là những cung lượng
giác có số đo hơn kém nhau 1 bội nguyên 2
 (hay 360
o
) sẽ có điểm cuối trùng nhau.
- Từ bảng thống kê trên, chúng tôi thấy kiểu nhiệm vụ T
5

(chứng minh đẳng thức)
được ưu tiên hơn.
Trên đây là các TCTH tham chiếu cho phép chúng tôi phân tích trở lại vấn đề có thể xây
dựng được những TCTH cần giảng dạy liên quan đến lượng giác trong tam giác và lượng giác trong
đường tròn trong chương trình và SGK ở bậc phổ thông trong chương 2.

Chương 2
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ
LƯNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN Ở
BẬC PHỔ THÔNG

2.1. Mở đầu
Mục đích chủ yếu của chương này là làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Toán ở bậc
phổ thông với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn. Cụ thể, chúng tôi sẽ làm
rõ và giải quyết các vấn đề đặt ra trong 4 nhóm câu hỏi Q
3
, Q
4
, Q
5
, Q
6
.
Q
3
: Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình
huống nào?
Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong
đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở phổ thông.
Q
4
: Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong bước
chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua
những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?
Q
5
: Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó khăn nào?
Q
6
: Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những

công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy
trình đào tạo này như thế nào?
Trong các chương trình CCGD năm 1990 và chương trình SGK chỉnh lý năm 2000 thì lượng
giác trong đường tròn không được giảng dạy ở lớp 10. Nhưng sang chương trình thí điểm phân ban
2003 và phân ban đại trà năm 2006, với lý do tránh dạy dồn dập kiến thức lượng giác ở lớp 11, một
nội dung mà học sinh cho là khó nhớ, khó học, khó vận dụng… thì những người làm chương trình đã
đưa phần góc lượng giác và công thức lượng giác từ lớp 11 xuống Chương VI của SGK Đại số 10.
Bởi vậy trong chương trình thí điểm 2003 và phân ban đại trà 2006; lượng giác trong đường
tròn được dạy và học ở lớp 10.
Giữa 2 bộ sách thí điểm 2003 và phân ban đại trà hiện nay, về nội dung và phân phối
chương trình là hoàn toàn giống nhau. Do vậy để thuận lợi trong việc nghiên cứu tìm kiếm sự kế
thừa hoặc yếu tố gián đoạn giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn, chúng
tôi đã chọn phân tích các tài liệu sau.
1. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005). Sách giáo khoa Toán 9 tập 1. NXB Giáo dục.
2. Tôn Thân (Chủ biên) (2006). Sách Bài tập Toán 9 tập 1. NXB Giáo dục.
3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2005). Sách giáo viên Toán 9 tập 1. NXB Giáo dục
4. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006). Sách giáo khoa Hình học 10. NXB Giáo dục.
5. Văn Như Cương (Chủ biên) (2006). Sách Bài tập Hình học 10. NXB Giáo dục.
6. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006). Sách Giáo viên hình học 10. NXB Giáo dục.
7. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006). Sách Giáo khoa Đại số 10. NXB Giáo dục.
8. Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) (2006). Sách Bài tập Đại số 10. NXB Giáo dục.
9. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2006). Sách giáo viên Đại số 10. NXB Giáo dục.
10. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 THPT
(2006). NXB Giáo dục.
2.2. Lượng giác trong tam giác (lượng giác ở lớp 9)
 Phần lý thuyết
Như chúng ta đã biết, chương “Hệ thức lượng trong tam giác vuông” được coi như một ứng
dụng của chương “Tam giác đồng dạng”. Trước đây, trong chương trình cũ, chương này được sắp
xếp ở lớp 8, ngay sau chương “Tam giác đồng dạng”. Trong chương trình mới, vì phải chuyển 1
phần hình học không gian xuống lớp 8 nên chương này được chuyển lên lớp 9. Mục đích của

chương này là giải tam giác vuông khi biết hai cạnh hoặc 1 cạnh và 1 góc nhọn. Với mục đích ấy,
SGK Toán 9, tập 1 đã đưa bài “Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông” vào
trước, sau đó mới đến bài “Tỉ số lượng giác của góc nhọn”.
Trong bài “Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông” SGK đã xây dựng
được các công thức tính độ dài đường cao, hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền, khi biết
2 cạnh.
Trong bài “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” với tình huống đưa ra là:
Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của 2 cạnh thì có biết được độ lớn của các góc
nhọn hay không?
Sách giáo khoa đưa ra đònh nghóa sau:
“Cho góc nhọn
. Vẽ một tam giác có 1 góc nhọn . Khi đó:
c
sin ; c
c
¹nh ®èi c¹nh kỊ
os =
¹nh hu
y
Ịn c¹nh hu
y
Ịn
 

cc
tg ; cot g
c
¹nh ®èi ¹nh kỊ
¹nh kỊ c¹nh ®èi
 

Như vậy:
 Khi nói đến các tỉ số lượng giác (TSLG) của góc nhọn thì luôn đi kèm với nó là 1 tam
giác vuông. Tỉ số của các cạnh trong 1 tam giác vuông. Do vậy các TSLG của 1 góc
nhọn luôn luôn dương và ta có
0< sin
 < 1; 0 < cos < 1.
 sin, cos, tg, cotg được gọi là các TSLG của góc nhọn, đây là điểm khác biệt so
với cách gọi trong 2 giáo trình tìm TCTH tham chiếu trước đây.
Chúng tôi cho rằng, có thể có các kiểu nhiệm vụ sau trong lượng giác trong tam giác.
T
1
(viết, tính) : Viết (Tính) các TSLG của 1 góc nhọn.
T
2
(Dựng góc) : Dựng 1 góc nhọn khi biết 1 TSLG của góc ấy.
T
3
(So sánh) : So sánh các TSLG của cùng góc nhọn (2 hay nhiều góc nhọn) .
T
4
(Chứng minh) : Chứng minh các hệ thức cơ bản.
T
5
(Tam giác vuông) : Giải tam giác vuông.
T
6
(Phụ nhau) : Tỉ số lượng giác của các góc phụ nhau.
T
7

(Tam giác thường) : Giải tam giác thường.
2.2.1. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ
T
1

(viết, tính)
: Viết (Tính) các TSLG của 1 góc nhọn.

1
:
 Đặt góc nhọn ấy vào trong 1 tam giác vuông đã biết 2 yếu tố (2 cạnh hoặc 1
cạnh với 1 góc nhọn).
 Dùng đònh nghóa TSLG của góc nhọn để tính (viết) các TSLG.

1
:
Đònh nghóa TSLG của góc nhọn.

1
:
Để giải thích cho đònh nghóa TSLG của góc nhọn, chúng tôi dựa vào đònh lý sau:
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau, nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:
 Khi có 1 góc nhọn bằng nhau.
 Khi có 2 cạnh góc vuông tỉ lệ với nhau từng đôi một.
 Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ với nhau từng đôi một.
Nhận xét:

1
là kỹ thuật thuần túy hình học, áp dụng đònh nghóa TSLG của góc nhọn  thì ta viết được
sin

, cos, tg, cotg bằng bao nhiêu.
 Đặc biệt ở đây thể chế không nói đến cách dùng MTBT hoặc bảng số để tìm TSLG của
góc
 cho trước mà chỉ đề cập một cách tường minh trong 2 ví dụ trên.
 Kỹ thuật 
1
này là vết của kỹ thuật 
2
(Tính GT) trong TCTH tham chiếu.
2.2.2. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ
T
2

(dựng góc)
: Dựng góc nhọn khi biết 1 TSLG của góc ấy.
T
21
: Dựng góc nhọn  khi biết
a
sin
b

 ; a, b  N*, a< b  9
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, kỹ thuật đưa ra như sau:

21
: Vẽ góc vuông Oxy.
 Lấy 1 đoạn thẳng làm đơn vò.
 Trên Oy lấy điểm M sao cho
OM = a.

b
N
M
O

y
a
 Lấy M làm tâm vẽ 1 cung tròn có bán kính R =
b; cắt Ox tại N. Khi ấy góc

ONM

 .

21
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn
x
T
22
: Dựng góc nhọn  khi biết
c
cos
d


;
c, d
 N*, c< d  9
y
d


O
P
c
Q

22
: Vẽ góc vuông Oxy
 Trên Ox lấy P sao cho OP = c.
 Lấy P làm tâm vẽ 1 cung tròn có
bán kính R = d, cắt Oy tại Q.
x
 Góc

OPQ



22
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn
T
23
: Dựng góc nhọn khi biết tg =
m
n
; m, n  N*, m; n  9

23
: Vẽ góc vuông Oxy
 Trên Oy lấy S sao cho OS = m

n R
x

S
O
m
y
 Trên Ox lấy R sao cho OR = n
 Góc

OSR



23
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn



T
24
: Dựng góc nhọn  khi biết
p
cot g
q
 ; p, q  N*, p; q  9

24
: Dựng góc vuông Oxy
 Trên Oy lấy V sao cho OV = q

 Trên Ox lấy U sao cho OU = p
 Góc OVU




24
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn

Lý thuyết để giải thích cho các công nghệ

21
, 
22
, 
23
, 
24
tương tự trong 
1
.
p
q
U
x
O
y
V

Nhận xét:

- Chúng tôi tạm gọi các kỹ thuật

21
; 
22
; 
23
; 
24
thuộc nhóm kỹ thuật 
2
(dựng góc) thì nhận
thấy

2
(dựng góc) là vết của kỹ thuật 
3
(dựng góc) trong TCTH tham chiếu.
- Kỹ thuật

2
(dựng góc) thuần túy chỉ là kỹ thuật mang đặc trưng hình học bình thường.
- Kỹ thuật này được trình bày tường minh trong các ví dụ sau:
Ví dụ 3 trang 73: Dựng góc nhọn
, biết
2
tg
3



Ví dụ 4 trang 74: Dựng góc nhọn
, biết sin = 0,5
Trong ví dụ trên thì giá trò của sin
 là số thập phân nếu viết dưới dạng phân số thì
1
sin
2


đều là số hữu tỉ đồng thời 0 < sin
 < 1. Kỹ thuật này một lần nữa xuất hiện trong bài 13 trang 77
với nội dung
“Dựng góc nhọn
, biết:
a) sin
=
2
3
b) cos  = 0,6
c) tg
 =
3
4
d) cotg  =
3
2

Nhận thấy: Trong 2 ví dụ và bài tập ở trên đều cho sin
 và cos có giá trò là số hữu tỉ

dương dạng
a
b
hoặc số thập phân dương mà khi viết dưới hình thức số hữu tỉ phải có dạng
a
b
(với
a
01
b

).
 tg và cotg luôn cho là số hữu tỉ dương có dạng
a
b
.
SGK và SBT không đưa ra bất kỳ một ví dụ hoặc bài tập nào mà giá trò của sin
, cos, tg,
cotg
 là số thập phân có nhiều chữ số ở phần thập phân, hoặc phân số mà tử và mẫu là các số tự
nhiên
 10 (có 2 chữ số trở lên).
Ví dụ:
15 17
;
26 142

Như vậy ở đây chúng tôi thấy tồn tại ngầm ẩn một quy tắc của hợp đồng didactic là:
R
1

: Dùng thước khắc vạch dựng góc nhọn

khi biết 1TSLG của nó luôn cho:
 sin

và cos

có giá trò là phân số dương dạng
a
b
hoặc số thập phân dương mà khi viết
dưới dạng phân số phải có dạng
a
b
(với
a
01
b

 ).
 tg

và cotg

luôn cho là phân số dương có dạng
a
b
.
Quy tắc hợp đồng này được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T
2

(dựng góc) của lượng giác trong
tam giác.
Cần nói thêm rằng bài “Bảng lượng giác” và bài đọc thêm “Tìm TSLG và góc bằng MTBT
casio FX220” được trình bày sau phần ví dụ và bài tập nêu trên, đồng thời sau đó SGK yêu cầu: “Dùng
bảng lượng giác hoặc MTBT tìm góc nhọn x.
Rõ ràng thể chế mong muốn học sinh thành thạo cách tìm góc nhọn
 khi biết 1 TSLG của
nó bằng MTBT hoặc bảng lượng giác. Điều này được thể hiện rõ trong sách giáo viên như sau:
“Đây là loại bài dạng thực hành là chính. Do đó, cần chú ý đến mục tiêu cuối cùng là học sinh
phải biết tìm các TSLG của 1 góc cho trước và ngược lại, tìm số đo góc nhọn khi biết 1 TSLG của
góc đó”. Như vậy đến đây nếu yêu cầu dựng góc nhọn
 khi biết 1TSLG của nó mà không giới hạn
dụng cụ thì học sinh có thể dùng thước khắc vạch để dựng góc nhọn
 hoặc dùng bảng số; MTBT để
tính số đó góc
, từ đó dùng thước đo góc (đo độ) để dựng góc nhọn .
2.2.3. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ
T
3

(so sánh)
: So sánh các TSLG của góc nhọn
T
31
: So sánh 1 TSLG của 2 hay nhiều góc

31
: Sử dụng nhận xét sau
Khi góc
 tăng từ 0

o
đến 90
o
thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm.

31
: Cấu tạo của bảng lượng giác hoặc thông qua máy tính bỏ túi

31
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn
T
32
: So sánh sin với cos hoặc tg với cotg

32
:
 Đưa về cùng sin hoặc cùng cos.
Hoặc  Đưa về cùng tang hoặc cùng cotang.
Bằng cách: Dùng đònh lý “Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc
này bằng cotang góc kia”.
Nhận xét:

 Ngoài kỹ thuật được trình bày ở trên thì học sinh có thể dùng bảng lượng giác hoặc
MTBT. Tính trực tiếp giá trò của từng TSLG, sau đó có kết quả.

32
:
 Đònh lý TSLG của 2 góc phụ nhau.
 Bảng lượng giác.
 MTBT.


32
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn
T
33
: So sánh 2 TSLG của cùng 1 góc nhọn hoặc 2 góc phụ nhau.

33
: Đưa về so sánh giữa tg với sin hoặc so sánh giữa cotg với cos, dựa vào công
thức:
sin
tg ;
cos




cos
cot g
sin





33
: Vào công thức:

sin
tg ;

cos




cos
cot g
sin




Trong đó 0 < sin
; cos < 1

33
: Đònh nghóa TSLG của góc nhọn.
Nhận xét:
Các kỹ thuật

31
; 
32
; 
33
chúng tôi tạm gọi vào nhóm 
3

(so sánh)
. Nhận thấy 

3

(so sánh)
không là
vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu.
Giải thích cho sự vắng mặt của kỹ thuật này trong TCTH tham chiếu.
Chúng tôi đã trình bày trong phần: Nhận xét chung của TCTH tham chiếu.
Trong SGK không giới thiệu tường minh tính đơn điệu của từng TSLG của góc nhọn
 mà chỉ đề
cập đến vấn đề này thông qua bảng số và MTBT dựa vào nhận xét “Khi
 tăng từ 0
o
đến 90
o
thì sin và
tan
 tăng, còn cos và cot giảm dần”.
Như vậy: Nếu so sánh TSLG của 2 hay nhiều góc nhọn (Ví dụ: sin
, sin, sin…) hoặc so
sánh giữa sin với cos hoặc tg với cot của 2 góc phụ nhau thì ta dựa vào nhận xét trên.
 Vấn đề đặt ra là: SGK không nêu ràng buộc của các góc ,  đồng thời cũng không cho
,  có số đo bất kỳ và cũng không có một sự giải thích nào ở đây. Chúng tôi cho rằng ở
đây có sự ngầm ẩn trong việc cho số đo của các góc
,  trong dạng toán trên thông qua
quy tắc
R
2
: Không dùng bảng số và MTBT luôn so sánh được các TSLG sau:
 tan


với sin

; 0
o
<

< 90
o
; tan

với cos

; (

+

= 90
o
)
 cot

với cos

; 0
o
<

< 90
o
; cot


với sin

; (

+

= 90
o
)
Mở rộng quy tắc R
2
:
Không dùng bảng số và MTBT luôn so sánh được:
 tan

với
sin
;0 ; 90
cos







oo
 cot


với
sin
;0 ; 90
cos







oo
2.2.4. Tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ
T
4

(Chứng minh)
: Chứng minh các hệ thức cơ bản

4
:
 Mô phỏng một tam giác vuông có ghi rõ các cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền.
 Dùng đònh nghóa TSLG của góc nhọn để viết được
c
sin ; c
cc
¹nh ®èi c¹nh kỊ
os =
¹nh hun ¹nh hun
 

cc
tg ; cot g
¹nh ®èi ¹nh kỊ
c¹nh kỊ c¹nh ®èi
 

 Biến đổi về hệ thức cần chứng minh.
Nhận xét:
 Như vậy
sin
tg
cos



và
cos
cot g
sin



được coi là hệ thức cơ bản và được đưa vào phần
bài tập.
 Trong bài tập 15 trang 77 (SGK) cho phép học sinh vận dụng kết quả bài tập 14 để giải
như sau:
“Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0.8, hãy tính các TSLG của góc C.
Gợi ý:
Sử dụng bài tập 14”.

 Rõ ràng từ đây SGK cho phép học sinh được quyền vận dụng các hệ thức cơ bản để chứng
minh, như vậy học sinh đã có 2 cách để tính tg
, cotg đó là tính bằng đònh nghóa các TSLG
của góc nhọn đó là:
cc
tg ; cot g
¹nh ®èi ¹nh kỊ
c¹nh kỊ c¹nh ®èi
 
Hoặc thông qua hệ thức cơ bản:
sin
tg
cos



;
cos
cot g
sin





4
: Công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên là:
- Dựa vào đònh nghóa TSLG của góc nhọn.
- Đònh lý Pitago.


4
: Lý thuyết giải thích cho công nghệ 
4
là
Đònh nghóa TSLG của góc nhọn.
 Kỹ thuật 
4

(Chứng minh)
không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu.
Sở dó kỹ thuật này không là vết của kỹ thuật nào trong TCTH tham chiếu, bởi lẽ:
Sau phần đònh nghóa các “hàm số lượng giác của góc nhọn
”, tác giả đã đưa ra ngay kết
quả là:
Từ đònh nghóa trên ta có:
sin
tg
cos



và
1
cot g
tg



Như vậy: Từ đây người học có quyền suy ra:
cos

cot g
sin



và tg . cotg = 1